新人教版初中八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题导学案

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部编版人教数学八年级上册《13.4课题学习最短路径问题导学案》最新精品优秀导学单

1 前言：该导学案（导学单）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。

实用性强。

高质量的导学案（导学单）是高效课堂的前提和保障。

（最新精品导学案）课题：13.4 课题学习：最短路径问题【学习目标】1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。

2、能将实际问题中的“地点”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化。

3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用。

4、在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。

进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中的应用。

【学习重难点】重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题。

一、知识链接复习旧知：1.两点之间，_______最短。

2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_______最短。

3．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_________。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______ 。

4．平移性质：(1)平移前后图形的形状和大小________。

(2)对应点连线______________。

自主学习（新知）：精读课本第85-87页，用红色的笔对有关概念进行勾画并找出自己的疑惑和要讨论的问题，准备在课堂上讨论质疑。

如图所示，从A 地到B 地有三条路选择，你会选走那条路最近？你的理由是什么？②A B ① ③。

人教版数学八年级上册第十三章13.4《最短路径问题》学案

13.4课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只需连结这两点，与直线的交点即为所求．以下图，点A，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C，使CA ＋CB最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只需找到此中一个点对于这条直线的对称点，连结对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．CA ＋CB最短，以下图，点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使这时先作点 B 对于直线 l 的对称点 B′，则点 C 是直线 l 与 AB′的交点．为了证明点 C 的地点即为所求，我们不如在直线上此外任取一点C′，连结 AC′，BC′，B′ C′，证明 AC＋CB ＜AC′＋ C′ B.以下：证明：由作图可知，点 B 和 B′对于直线l 对称，因此直线 l 是线段 BB′的垂直均分线．由于点 C 与 C′在直线 l 上，因此 BC ＝B′ C， BC′＝ B′ C′.在△ AB′ C′中， AB′＜ AC′＋ B′ C′，因此 AC ＋B′ C＜ AC′＋ B′ C′，因此 AC ＋BC＜AC ′＋ C′ B.【例 1】在图中直线l 上找到一点M，使它到A，B 两点的距离和最小．剖析：先确立此中一个点对于直线l 的对称点，而后连结对称点和另一个点，与直线l 的交点 M 即为所求的点．解：以下图： (1)作点 B 对于直线 l 的对称点B′；(2)连结 AB′交直线 l 于点 M.(3)则点 M 即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转变到一条直线上，而后用“两点之间线段最短”解决问题 .2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转变为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，无论题目怎样变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个中心，全部作法都同样．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求依据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，经过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这种最值问题时，要仔细审题，不要只注企图形而忽视题意要求，审题不清致使答非所问．3．利用平移确立最短路径选址选址问题的重点是把各条线段转变到一条线段上．假如两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处组成线段的差最大，假如两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处组成的线段的和最小，都能够用三角形三边关系来推理说明，往常依据最大值或最小值的状况取此中一个点的对称点来解决．解决连结河两岸的两个点的最短路径问题时，能够经过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转变为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们往常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转变到一条直线上，进而作出最短路径的方法来解决问题．【例 2】如图，小河畔有两个乡村A， B，要在河畔建一自来水厂向 A 村与 B 村供水．(1)若要使厂部到A，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？剖析： (1)到 A，B 两点距离相等，可联想到“ 线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等”，又要在河畔，因此作AB 的垂直均分线，与EF 的交点即为切合条件的点．(2)要使厂部到 A 村、 B 村的距离之和最短，可联想到“ 两点之间线段最短”，作A(或B)点对于 EF 的对称点，连结对称点与 B 点，与 EF 的交点即为所求．解： (1)如图 1，取线段AB 的中点 G，过中点 G 画 AB 的垂线，交EF 于 P，则 P 到 A，1B 的距离相等．也可分别以A、 B 为圆心，以大于2AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点 P 即为所求．(2)如图 2，画出点 A 对于河岸 EF 的对称点 A′，连结 A′ B 交 EF 于 P ，则 P 到 A，B的距离和最短．【例 3】如图，从 A 地到 B 地经过一条小河( 河岸平行 )，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应怎样选择桥的地点才能使从 A 地到 B 地的行程最短？思路导引：从 A 到B 要走的路线是A→ M→ N→B，以下图，而MN是定值，于是要使行程最短，只需AM＋ BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从 C 到 B 应是余下的行程，连结BC的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥地点，MN即为所建的桥．解： (1)如图2，过点 A 作AC 垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2 )连结BC 与河岸的一边交于点N.(3)过点N 作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的地点．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转变在一条线段上，进而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段经过近似于镜面反射的方式转变成一条线段，如图，AO＋ BO＝AC 的长．因此作已知点对于某直线的对称点是解决这种问题的基本方法．【例 4】 ( 实质应用题 ) 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的 AO，BO) ，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，而后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总行程最短？图 a图b解：如图b.(1)作 C 点对于 OA 的对称点 C1，作 D 点对于 OB 的对称点 D1，(2) 连结 C1D 1，分别交OA，OB 于 P，Q，那么小明沿C→P→ Q→ D 的路线行走，所走的总行程最短．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的重点．先做出此中一点关于对称轴的对称点，而后连结对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．依据垂直均分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的重点距离的最值问题的有效方法．【例 5】以下图， A，B 两点在直线的距离之差最大．运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些l 的双侧，在l 上找一点C，使点 C 到点A、 B剖析：本题的打破点是作点A(或 B)对于直线 l 的对称点 A′ (或 B′ )，作直线 A′ B( AB′ )与直线 l 交于点 C，把问题转变为三角形随意两边之差小于第三边来解决．解：以下图，以直线l 为对称轴，作点 A 对于直线l 的对称点A′，A′ B 的连线交l于点 C，则点 C 即为所求．原因：在直线 l 上任找一点 C′ (异于点 C)，连结 CA ，C′ A，C′ A′，C′ B.由于点 A， A′对于直线 l 对称，因此 l 为线段 AA′的垂直均分线，则有 CA＝ CA′，因此CA－CB＝ CA′ － CB＝ A′ B.又由于点 C′在 l 上，因此 C′ A＝C′ A′ .在△A′ BC′中，C′A－ C′ B＝C′ A′ － C′ B＜A′ B，因此 C′ A′ － C′B＜ CA－C B.点拨：依据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，经过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。

人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例

3.课堂小结，教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对最短路径问题有一个全面的认识。
4.鼓励学生在课后进行深入研究，不断提高自己的数学素养。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过引入实际生活中的最短路径问题，如旅行路线规划、物流配送等，使学生能够直观地理解最短路径问题的意义和应用，提高学生的学习兴趣。
3.教师引导学生运用坐标系、函数、图论等知识，分析问题、解决问题。
（三）小组合作
1.学生分组进行讨论，培养学生的团队合作意识。
2.教师组织小组间的交流与分享，促进学生间的互帮互助。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点进行针对性指导。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结最短路径问题的解决方法。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为“人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题”，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等基础知识的基础上进行学习的。通过对最短路径问题的探究，旨在培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3.组织学生探讨、交流最短路径问题的解决方法，培养学生合作学习的能力。
4.引导学生运用图论中的最短路径算法解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
5.对学生进行评价，了解学生对最短路径问题的理解和运用程度，及时进行教学调整。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.设计具有挑战性和吸引力的数学问题，激发学生的求知欲。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上敢于发表自己的观点，培养学生的创新精神。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“如何找到两点之间的最短路径？”、“最短路径问题在实际生活中有哪些应用？”等。

课题学习最短路径问题导学案(带习题和答案)

13.4课题学习－最短路径问题【学习目标】1．掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2．理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

3．通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。

【课前预习】1．平面直角坐标系xOy 中，已知A(－1－0)－B(3－0)－C(0－－1)三点，D(1－m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD 的面积为（－A ．B ．23C ．43D ．832．A－B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上 C ．线段AB 的反向延长线上 D ．直线l 上3．x 是数轴上任意一点表示的数，若|x ﹣3|+|x+2|的值最小，则x 的取值范围是（） A ．x≥3B ．x≤﹣2C ．﹣2≤x≤3D ．﹣2＜x ＜34．下列四种说法：①线段AB 是点A 与点B 之间的距离；②射线AB 与射线BA 表示同一条射线；③两点确定一条直线；④两点之间线段最短．其中正确的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（） A ．750米B ．1000米C ．1500米D ．2000米6．在等腰－ABC 中，AB=AC－一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长31为－－A．7B．7或11C．11D．7或107．如图－点P是直线a外一点－PB⊥a－点A－B－C－D都在直线a上－下列线段中最短的是( )A．PA B．PB C．PC D．PD8．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）9．如图，在－ABC中，－ACB＝90°，以AC为底边在－ABC外作等腰－ACD，过点D作－ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，－ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则－PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．2010．如图，等边△ABC的边长为4－AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为－－A．15°B．22.5°C．30°D．45°【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1．举出常见的轴对称图形：_____（至少写三个）。

八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题说课稿(新版)新人教版

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题说课稿（新版）新人教版一. 教材分析八年级数学上册13.4课题学习“最短路径问题”是新人教版教材中的一项重要内容。

这一节内容是在学生掌握了平面直角坐标系、一次函数、几何图形的性质等知识的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是最短路径问题的研究，通过实例引导学生了解最短路径问题的背景和意义，学会利用图论知识解决实际问题。

教材中给出了两个实例：光纤敷设和城市道路规划，让学生通过解决这两个实例来理解和掌握最短路径问题的求解方法。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于平面直角坐标系、一次函数等知识有了一定的了解。

但是，对于图论知识以及如何利用图论解决实际问题还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握图论知识，并能够将其应用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图论知识解决最短路径问题的方法。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生体验到数学在实际生活中的应用价值。

四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法。

2.教学难点：如何将实际问题转化为图论问题，并利用图论知识解决。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习和掌握最短路径问题的求解方法。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过展示实例和动画效果，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过展示光纤敷设和城市道路规划的实例，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。

2.新课导入：介绍图论中最短路径的概念和相关的数学知识。

3.实例分析：分析光纤敷设和城市道路规划两个实例，引导学生将其转化为图论问题。

4.方法讲解：讲解如何利用图论知识解决最短路径问题，包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法等。

数学人教版八年级上册13.4 最短路径问题导学案.4最短路径问题导学案张燕

13.4 课题学习最短路径问题
学习内容：
最短路径问题．
学习目标：
1．识别并掌握最短路径的几种基本模型．
2．能将生活中的实际情境数学化．
3．借助几何画板直观演示，让学生经历观察、猜想、证明等数学活动的过程．学习重点：
识别并掌握最短路径的几种基本模型．
一、情境引入
如图所示，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
选最近，理由是．
二、协作探究
问题1 已知点A 、B 在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小．
作图理由：
l A
B
问题2 已知点A 、B 在直线l 的同侧，在l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小．
作法：
证法：
问题3 已知：如图，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的两个定点，在BC 上求一点M ，使△MEF 的周长最短．
B C l
B A
问题4 如图，P 为∠MON 内一定点，分别在OM 与ON 上找点A 、B ，使△ABP 的周长最小．
三、思维拓展
问题5 如图：牧马人从某地出发，先到草地边某一牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷休息，他怎么走最近呢？请画出最短路径．
N
四、课堂小结
五、课后作业
某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建一货栈D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．试问在公路边上是否存在一点D，使送货路程最短？若存在，请画出D点所在的位置；若不存在，请说明理由．
B
A。

人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计2

人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计2一. 教材分析《人教版数学八年级上册》第13.4课题学习“最短路径问题”是本册内容的一个重要组成部分。

本节课主要让学生了解最短路径问题的背景和应用，掌握利用图的性质和简单的图算法解决最短路径问题的方法。

通过本节课的学习，学生能够进一步提高分析问题和解决问题的能力，培养逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的相关知识，如图的定义、图的表示方法、图的性质等。

同时，学生也了解了一些简单的算法，如深度优先搜索、广度优先搜索等。

但部分学生对这些知识的掌握程度不够扎实，对算法的理解也相对模糊。

因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们更好地理解和掌握本节课的内容。

三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和应用，理解最短路径的概念。

2.掌握利用图的性质和简单的图算法解决最短路径问题的方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的解决方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。

2.教学难点：算法的原理和实现，以及如何将实际问题转化为最短路径问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.案例教学法：分析具体的最短路径问题案例，让学生直观地了解问题的解决过程。

3.算法分析法：引导学生分析算法的原理和实现，提高学生的逻辑思维能力。

4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示最短路径问题的背景、应用和解决方法。

2.案例材料：准备一些具体的最短路径问题案例，供学生分析和讨论。

3.编程环境：为学生提供编程环境，以便他们在课堂上实践算法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示最短路径问题的背景和应用，如地图导航、网络通信等。

引导学生关注最短路径问题，激发学生的学习兴趣。

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计 (新版)新人教版

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计（新版）新人教版一. 教材分析“课题学习最短路径问题”是人教版八年级数学上册第13.4节的内容。

这部分内容主要让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

教材通过引入一个实际问题，引导学生探讨并找出解决问题的方法，从而培养学生解决问题的能力和兴趣。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，如图的定义、图的表示方法等。

但是，对于图的最短路径问题，学生可能还没有直观的理解和认识。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的已有知识，通过实例讲解、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握最短路径问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探讨实际问题，培养学生解决问题的能力和兴趣。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的热爱，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的实际应用，图论中的最短路径算法。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出最短路径问题，并运用图论知识解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解最短路径问题的解决方法，帮助学生理解和掌握。

3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对最短路径问题的理解。

六. 教学准备1.教学素材：准备一些实际问题的案例，以及相关的图论知识介绍。

2.教学工具：多媒体教学设备，如PPT等。

3.学生活动：让学生提前预习相关内容，了解图论的基本知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最短路径问题，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解从一个城市到另一个城市，如何找到最短的路线。

2.呈现（15分钟）讲解最短路径问题的定义，以及图论中最短路径算法的基本原理。

通过PPT等教学工具，展示相关的知识点，让学生直观地了解最短路径问题。

13.4课题学习-最短路径问题教案 2022-2023学年度人教版八年级数学上册

13.4课题学习－最短路径问题教案一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念和特点；2.掌握最短路径问题相关的算法和求解方法；3.能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

二、教学重点1.最短路径问题的基本概念和特点；2.最短路径问题的相关算法和求解方法。

三、教学难点能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

四、教学内容1. 最短路径问题的概念和特点最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要是求解两点之间经过路径长度最短的问题。

最短路径问题的特点有：•可以用图来表示，顶点表示路径的起点和终点，边表示路径；•可以是有向图或无向图；•边上可以有权值，表示路径长度。

2. 最短路径问题的相关算法和求解方法最短路径问题有多种求解方法和算法，常用的有以下几种：2.1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径，直到到达终点。

迪杰斯特拉算法的步骤如下：1.初始化起点到各个顶点的最短距离，起点到起点的最短距离为0，其他顶点的最短距离为无穷大；2.选择一个未访问且距离起点最近的顶点，标记为已访问；3.更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前的最短距离，则更新最短距离；4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。

2.2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种用于求解多源最短路径问题的算法。

它的基本思想是通过计算任意两个顶点之间的最短路径，来得到整个图的最短路径。

弗洛伊德算法的步骤如下：1.初始化距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；2.对于每个顶点对(i, j)，尝试经过某个中间顶点k来更新距离，如果从i到j的距离大于从i到k再到j的距离，则更新距离；3.重复步骤2，直到所有顶点对的最短路径都被计算。

2.3. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

新人教版八年级数学上册《13-4 最短路径问题》导学案(无答案)

新人教版八年级数学上册《13.3.4最短路径问题》导学案学习目标1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题；2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用；3、能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想。

重点：利用作图解决最短路径问题。

难点：利用作图解决最短路径问题。

时间分配复习检测5分、自主探究10分、合作提升10分、检测巩固15分学习过程自主学习案课堂导学案一、复习回顾1．轴对称的性质是什么？2．如何作已知图形的轴对称图形？3、三角形的三边关系是什么？二、自主学习合作探知探究1 如图所示，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最短。

AB探究2如图所示，A，B在直线L的同侧，在L上求一点P，使得PA+PB最短。

AB探究3 如图所示，A是锐角∠MO N内部一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C组成三角形，使三角形的周长最小。

导入（情景导入）据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再到B地（A，B位于和的同侧），走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？这就是著名的“将军饮马”问题。

聪明的你能解决这个问题吗？BA合作探究探究1、作法提示：A、P、B三点一线时，PA+PB最短。

探究2、作法提示：作点A关于直线L的对称点A/，A/B交L于P点，此时PA+PB最短。

探究3、作法提示：分别作点A关于直线OM，ON的对称点A/A//，连接A/A//。

典例合作交流例1“将军饮马”问题。

（详见课本85页）据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再到B地（A，B 位于和的同侧），走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？例2 造桥选址问题。

（详见课本86-87页）A和B两地在一条和的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。

八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题导学案新版新人教版2

13.4 最短路径问题学习目标：体会利用作图解决最短路径问题学习重点：体会利用作图解决最短路径问题学习难点：体会利用作图解决最短路径问题一、自主学习1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？2、两点在一条直线异侧：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

二、合作探究与展示问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．作法：FEDCBA①②③三、课堂检测：（1题为必做题； 2题为选做题。

）1、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。

2、某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到D处座位上，，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？总结反思：BC．D.OA张村李庄lAB2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接DE 和BF ，分别取DE 、BF 的中点M 、N ，连接AM 、CN 、MN ，若AB=22，BC=23，则图中阴影部分的面积为（）A ．46B ．26C ．22D ．232．2017年世界未来委员会与联合国防治荒漠化公约授予我国“未来政策奖”，以表彰我国在防治土地荒漠化方面的突出成就．如图是我国荒漠化土地面积统计图，则荒漠化土地面积是五次统计数据的中位数的年份是( )A ．1999年B ．2004年C ．2009年D ．2014年3．一次函数332y x =-+的图象如图所示,当33y -<<时,则x 的取值范围是（）A ．34x -<<B ．12x -<<C ．04x <<D ．12x -<<4．直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的中线长是（） A ．10 B ．8 C ．6D ．55．如图，在中，，则的度数为（）A ．B ．C ．D ．6．如图所示，一次函数y 1=kx+4与y 2=x+b 的图象交于点A ．则下列结论中错误的是（）A ．K ＜0，b ＞0B ．2k+4=2+bC ．y 1=kx+4的图象与y 轴交于点（0，4）D ．当x ＜2时，y 1＞y 27．已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（） A ．45，48B ．44，45C ．45，51D ．52，538．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，则菱形的边长等于（）A ．10B ．20C ．7D ．59．如图，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线12y x b =+与ABC ∆有交点时，b 的取值范围是( )A ．11b -≤≤B ．112b -≤≤ C ．1122b -≤≤D ．112b -≤≤10．方程()22113(1)x x x -+=-中二次项系数一次项系数和常数项分别是（）A ．1，-3，1B ．-1，-3，1C ．-3，3，-1D ．1，3，-1二、填空题11．如图，已知一次函数y ＝ax+b 和y ＝kx 的图象相交于点P ，则根据图中信息可得二元一次方程组y ax bkx y =+⎧⎨-=⎩的解是_____．12．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S 甲2=2，S 乙2=1.5，则射击成绩较稳定的是_____________（填“甲”或“乙“）． 13．已知a =b ﹣23，则代数式222a ab b -+的值为_____． 14．计算12＝_____，（﹣6）2＝_____，37﹣7＝_____．15．已知1x =是一元二次方程220x mx +-=的一根，则该方程的另一个根为_________．16．飞机着陆后滑行的距离s （米）关于滑行的时间t （秒）的函数表达式是s =60t -1.5t 2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了__________米． 17．若b 为常数，且214x ﹣bx+1是完全平方式，那么b ＝_____．三、解答题18．已知平行四边形ABCD 的两边AB 、BC 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋－＝0的两个实数根． (1)当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若AB 的长为2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？19．（6分）如图，在正方形ABCD 中，点M 在CD 边上，点N 在正方形ABCD 外部，且满足∠CMN ＝90°，CM ＝MN ．连接AN ，CN ，取AN 的中点E ，连接BE ，AC ，交于F 点．（1） ①依题意补全图形； ②求证：BE ⊥AC ．（2）请探究线段BE ，AD ，CN 所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB ＝1，若点M 沿着线段CD 从点C 运动到点D ，则在该运动过程中，线段EN 所扫过的面积为______________（直接写出答案）．20．（6分）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．求每件商品售价是多少元时，商店销售这批服装获利能达到12000元？21．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x 轴的正半轴上，且OC＝2OB．（1）点F是直线BC上一动点，点M是直线AB上一动点，点H为x轴上一动点，点N为x轴上另一动点（不与H点重合），连接OF、FH、FM、FN和MN，当OF+FH取最小值时，求△FMN周长的最小值；（2）如图2，将△AOB绕着点B逆时针旋转90°得到△A′O′B，其中点A对应点为A′，点O对应点为O'，连接CO'，将△BCO'沿着直线BC平移，记平移过程中△BCO'为△B'C'O″，其中点B对应点为B'，点C对应点为C'，点O′对应点为O″，直线C'O″与x轴交于点P，在平移过程中，是否存在点P，使得△O″PC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=10cm，点D从点A出发沿AC方向以1cm/s 的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA2cm/s的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t(0<1≤10)s．过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，DE．（1）用含t的式子填空：BE=________ cm ，CD=________ cm．（2）试说明，无论t为何值，四边形ADEF都是平行四边形；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由．23．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．（1）求证：AE＝CF．（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．24．（10分）某公司销售人员15人，销售经理为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如表所示：每人销售量/件1800 510 250 210 150 120人数 1 1 3 5 3 2(1)这15位营销人员该月销售量的中位数是______，众数是______；(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为210件，你认为是否合理？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额，并说明理由．25．（10分）目前由重庆市教育委员会，渝北区人们政府主办的“阳光下成长”重庆市第八届中小学生艺术展演活动落下帷幕，重庆一中学生舞蹈团、管乐团、民乐团、声乐团、话剧团等五大艺术团均荣获艺术表演类节目一等奖，重庆一中获优秀组织奖，重庆一中老师李珊获先进个人奖，其中重庆一中舞蹈团将代表重庆市参加明年的全国集中展演比赛，若以下两个统计图统计了舞蹈组各代表队的得分情况：（1）m＝，在扇形统计图中分数为7的圆心角度数为度．（2）补全条形统计图，各组得分的中位数是分，众数是分．（3）若舞蹈组获得一等奖的队伍有2组，已知主办方各组的奖项个数是按相同比例设置的，若参加该展演活动的总队伍数共有120组，那么该展演活动共产生了多少个一等奖？参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．B【解析】【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【详解】∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，∴矩形绕中心旋转180 阴影部分恰好能够与空白部分重合，∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，∴阴影部分的面积＝12×矩形的面积，∵AB=22，BC=3∴阴影部分的面积＝12×22×36．故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．2．C【解析】【分析】把数据的年份从小到大排列，根据中位数的定义即可得答案，【详解】把数据的年份从小到大排列为：2014年、1994年、2009年、2004年、1999年，∵中间的年份是2009年，∴五次统计数据的中位数的年份是2009年，故选：C．【点睛】本题考查中位数，把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字(或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．3．C【解析】【分析】函数经过点（0，3）和（1，-3），根据一次函数是直线，且这个函数y随x的增大而减小，即可确定．【详解】解：函数经过点（0，3）和（1，-3），则当-3＜y＜3时，x的取值范围是：0＜x＜1．故选：C．【点睛】认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．4．D【解析】【分析】如图，根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线求出CD=AB即可．【详解】解：如图，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB==10，∵CD是△ABC中线，∴CD=AB=×10=5，故选D．【点睛】本题主要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出CD=AB是解此题的关键．5．C【解析】【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．【详解】∵平行四边形ABCD，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠A+∠C=140°，∴∠A=∠C=70°，∴∠B=110°，故选：C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．6．A【解析】【分析】利用一次函数的性质结合函数的图象逐项分析后即可确定正确的选项．【详解】解：∵y1=kx+4在第一、二、四象限，y2=x+b的图象交于y轴的负半轴，∴k＜0，b＜0故A错误；∵A点为两直线的交点，∴2k+4=2+b，故B 正确；当x=0时y 1=kx+4=4，∴y 1=kx+4的图象与y 轴交于点（0，4），故C 正确；由函数图象可知当x ＜2时，直线y 2的图象在y 1的下方，∴y 1＞y 2，故D 正确；故选：A ．【点睛】本题考查两直线的交点问题，能够从函数图象中得出相应的信息是解题的关键．注意数形结合． 7．A【解析】【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．【详解】数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54，所以这组数据的众数为45，中位数为12×(45+51)=48，故选A.【点睛】本题考查了众数与中位数，熟练掌握众数与中位数的概念以及求解方法是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．一组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．8．D【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA 、OB ，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， 11,,22OA AC OB BD AC BD ∴==⊥ ∵AC=8，BD=6，∴OA=4，OB=3，5AB∴==即菱形ABCD的边长是1．故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．9．B【解析】【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝12x+b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．【详解】解：直线y=12x+b经过点B时，将B（3，1）代入直线y＝12x+b中，可得32+b=1，解得b=-12；直线y=12x+b经过点A时：将A（1，1）代入直线y＝12x+b中，可得12+b=1，解得b=12；直线y=12x+b经过点C时：将C（2，2）代入直线y＝12x+b中，可得1+b=2，解得b=1．故b的取值范围是-12≤b≤1．故选B．【点睛】考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．10．A【解析】【分析】先把方程化为一般形式，然后可得二次项系数，一次项系数及常数项.【详解】解：把方程()22113(1)x x x -+=-转化为一般形式得：x 2−3x ＋1＝0，∴二次项系数，一次项系数和常数项分别是1，−3，1．故选：A ．【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．二、填空题11．42x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】直接利用已知图形结合一次函数与二元一次方程组的关系得出答案．【详解】如图所示：根据图中信息可得二元一次方程组{0y ax b kx y +-＝＝的解是：4{2x y --＝＝．故答案为：4{2x y --＝＝．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，正确利用图形获取正确信息是解题关键． 12．乙【解析】【分析】直接根据方差的意义求解．方差通常用s 2来表示，计算公式是：s 2=1n [（x 1-x¯）2+（x 2-x¯）2+…+（x n -x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．解：∵S 甲2=2，S 乙2=1.5，∴S 甲2＞S 乙2，∴乙的射击成绩较稳定．故答案为：乙．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 13．1【解析】【分析】由已知等式得出a b -=-2222()a ab b a b -+=-计算可得答案．【详解】解：a b =-∴a b -=-∴(22222(=12)a ab b a b -+=--= 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了完全平方的运算，其中熟练掌握完全平方公式是解题的关键．14． 6 ．【解析】【分析】根据二次根式的性质化简）2，利用二次根式的加减法计算.【详解】＝）2＝6，＝故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【解析】【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解根据根与系数的关系进行计算即可．【详解】设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系可得：1×x 1=－2， ∴x 1=－2.故答案为：－2.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，明确根与系数的关系是解题的关键.16．1【解析】【分析】将260 1.5s t t =-化为顶点式，即可求得s 的最大值．【详解】解：2260 1.5 1.5(20)600s t t t =-=--+，则当20t =时，s 取得最大值，此时600s ，故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m ．故答案为：1．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会将二次函数的一般式化为顶点式，根据顶点式求函数的最值．17．±1【解析】【分析】根据完全平方式的一般式，计算一次项系数即可.【详解】解：∵b 为常数，且14x 2﹣bx+1是完全平方式， ∴b ＝±1，故答案为±1．【点睛】本题主要考查完全平方公式的系数关系，关键在于一次项系数的计算.三、解答题18．（1）m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的边长是；（2）平行四边形ABCD的周长是1．【解析】试题分析：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，整理得：（m﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.1，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.1；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.1，把m=2.1代入原方程得x2﹣2.1x+1=0，解得x1=2，x2=0.1，∴C▱ABCD=2×（2+0.1）=1．考点：一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质．19．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）2BE2AD＋CN，证明见解析；（3）3 4 .【解析】分析：（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=∠MCN=45°，从而得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；（2）212CN．根据正方形的性质可得出2AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF=12CN，由线段间的关系即可证出结论；（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．详解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．②证明：连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=45°，∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴AE=CE=12 AN．∵AE=CE，AB=CB，∴点B，E在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC，∴BE⊥AC．（2）BE=22AD+12CN．证明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，∴AF=FC．∵点E是AN中点，∴AE=EN，∴FE是△ACN的中位线．∴FE=12 CN．∵BE⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°．∵∠FCB=45°，∴∠FBC=45°，∴∠FCB=∠FBC，∴BF=CF．在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，∴BF=2 BC．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∴BF=22AD．∵BE=BF+FE，∴BE=22AD+12CN．（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD∥CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB=1，∴CF=DF=12BD=22，22，∴S 梯形DFCN =12（DF+CN ）•CF=12）=34．点睛：本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是：（1）根据垂直平分线上点的性质证出垂直；（2）用AD 表示出EF 、BF 的长度；（3）找出EN 所扫过的图形．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．20．70或80【解析】【分析】要求服装的单价，可设服装的单价为x 元，则每件服装的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可；【详解】解：设单价应定为x 元，根据题意得：(x−50)[800−(x−60)÷5×100]=12000，(x−50)[800−20x+1200]=12000，整理得，x 2−150x+5600=0，解得1x =70，2x =80；答：这种服装的单价应定为70元或80元.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键.21．（12）满足条件的点P 为：（，0）或（163，0）或（5，0）【解析】【分析】（1）先求出点A ，点B 坐标，用待定系数法求出直线BC 的解析式，作点O 关于直线BC 的对称点O'（816,55），过点O'作O'H ⊥OC 于点F ，交BC 于点H ，此时OF+FH 的值最小，求出点F 坐标，作点F 关于直线AB 与直线OC 的对称点，连接F'F''交直线AB 于点M ，交直线OC 于点N ，此时△FMN 周长有最小值，由两点距离公式可求△FMN 周长的最小值；（2）分O''C ＝PC ，O''P ＝PC ，O''P ＝O''C 三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣2，∴点A（﹣2，0），点B（0，2）∴OB＝2∵OC＝2OB．∴OC＝4∴点C（4，0）设直线BC解析式为：y＝kx+2，且过点C（4，0）∴0＝4k+2∴k＝1 2 -∴直线BC解析式为：y＝12-x+2，如图，作点O关于直线BC的对称点O'（816,55），过点O'作O'H⊥OC于点F，交BC于点H，此时OF+FH的值最小．∴点F的横坐标为8 5∴点F（86 55，）作点F关于直线OC的对称点F'（86,55 -），作点F关于直线AB的对称点F''（418,55 -）连接F'F''交直线AB于点M，交直线OC于点N，此时△FMN周长有最小值，∴△FMN周长的最小值＝22 84186125 5555⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）∵将△AOB绕着点B逆时针旋转90°得到△A'O’B，∴O'点坐标（2，2）设直线O'C的解析式为：y＝mx+b∴2204m bm b=+⎧⎨=+⎩∴14 mb=-⎧⎨=⎩∴直线O'C的解析式为：y＝﹣x+4 如图，过点O'作O'E⊥OC∴OE＝2，O'E＝2∴EC＝O'E＝2∴∠O'CE＝45°∵将△BCO'沿着直线BC平移，∴O''O'∥BC，O'C∥O''C'，∴设O'O''的解析式为y＝12-x+n，且过（2，2）∴2＝12-×2+n∴n＝3∴直线O'O''的解析式为y＝12-x+3若CO''＝CP，∵O'C∥O''C'，∴∠O'CE＝∠O''PC＝45°∵CO''＝CP∴∠CO''P＝∠O''PC＝45°∴∠O''CP＝90°∴点O''的横坐标为4，∴当x＝4时，y＝12×4+3＝1∴点O''（4，1）∴CO''＝1＝CP∴点P（5，0）若CO''＝O''P，如图，过点O''作O''N⊥CP于N，∵O'C∥O''C'，∴∠O'CE＝∠O''PC＝45°∵CO''＝O''P∴∠O''CP＝∠CPO''＝45°，∴∠CO''P＝90°，且CO''＝O''P，O''N⊥CP∴CN＝PN＝O''N＝12CP设CP＝a，∴CN＝PN＝O''N＝12CP＝12a∴点O''（4+12a，12a），且直线O'O''的解析式为y＝﹣12x+3∴12a＝﹣12（4+12a）+3∴a＝4 3∴CP＝4 3∴点P（163，0）若CP＝O''P，如图，过点O''作O''N⊥CP于N∵O'C∥O''C'，∴∠O'CE＝∠O''PM＝45°∴∠O''PN＝∠O''PM＝45°，且O''N⊥CP∴∠NPO''＝∠PO''N＝45°∴PN＝O''N∴O''P2PN＝CP设PN＝b，则O''N＝b，CP＝PO''2b∴点O''坐标（2b+b，﹣b），且直线O'O''的解析式为y＝12-x+3∴﹣b＝12-×（2b+b）+3∴b＝2+2∴CP＝2∴点P坐标（2，0）综上所述：满足条件的点P为：（2，0）或（163，0）或（5，0）【点睛】本题考查了利用轴对称思想解决线段和最小值或周长最小的问题，以及等腰三角形的分类讨论问题，综合性较强，综合运用上述几何知识是解题的关键．22．（1）（1）2t ，10-t；（2）见解析；（3）满足条件的t的值为5s或203s，理由见解析【解析】【分析】（1）点D从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，由路程=时间×速度，得AD=t, CD=10-t,; 点E从点B出发沿BA方向以2 cm/s的速度向点A匀速运动,所以BE=2t；（2）因为△ABC 是等腰直角三角形，得∠B=45°，结合BE= 2t，得EF=t, 又因为∠EFB和∠C都是直角相等，得AD∥EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形ADFE是平行四边形；（3）①当∠DEF=90°时，因为DF平分对角，四边形EFCD是正方形，这时AD=DE=CD =5，求得t=5;②当∠EDF=90°时，由DF∥AE，两直线平行，内错角相等，得∠AED=∠EDF=90°，结合∠A=45°，AD= 2 AE , 据此列式求得t值即可；③当∠EFD=90°，点D、E、F在一条直线上，△DFE不存在. 【详解】（1）由题意可得BE=2tcm，CD=AC-AD=(10-t)cm，故填：2t ，10-t；（2）解：如图2中∵CA=CB，∠C=90°∴∠A=∠B=45°，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°∴∠FEB=∠B=45°∴EF=BF∵2，∴EF=BF=t∴AD=EF∵∠EFB=∠C=90°∴AD∥EF，∴四边形ADFE是平行四边形（3）解：①如图3-1中，当∠DEF=90°时，四边形EFCD是正方形，此时AD=DE=CD，∴t=10-t,∴t=5②如图3-2中，当∠EDF=90°时，∵DF∥AC，∴∠AED=∠EDF=90°，∵∠A=45°∴2AE，∴22- 2t)，解得t= 20 3③当∠EFD=90°，△DFE不存在综上所述，满足条件的t的值为5s或20 3s.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．23．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC ，OB=OD ，AC=BD ，∠ABC=90°，证出OE=OF ，由SAS 证明△AOE ≌△COF ，即可得出AE=CF ；（2）证出△AOB 是等边三角形，得出OA=AB=2，AC=2OA=4，在Rt △ABC 中，由勾股定理求出=ABCD 的面积．【详解】(1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，在△AOE 和△COF 中，OA OCAOE COF OE OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE ＝CF ；（2）解：∠AOD ＝120°，所以，∠AOB ＝60°，∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴OA ＝AB ＝2，∴AC ＝2OA ＝4，在Rt △ABC 中，BC=，∴矩形ABCD 的面积＝AB•BC ＝2×【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题关键在于利用勾股定理进行计算24．（1）210，210；（2）合理，理由见解析【解析】【分析】(1)根据中位数和众数的定义求解；(2)先观察出能销售210件的人数为能达到大多数人的水平即合理．【详解】解：(1)按大小数序排列这组数据，第7个数为210，则中位数为210；210出现的次数最多，则众数为210；故答案为：210，210；(2)合理；因为销售210件的人数有5人，210是众数也是中位数，能代表大多数人的销售水平，所以售部负责人把每位销售人员的月销售额定为210件是合理的．【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．25．（1）25，54；（2）如图所示见解析；6.5，6；（3）该展演活动共产生了12个一等奖．【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图中的数据，即可得到总的组数，进而得出各分数对应的组数以及圆心角度数；（2）根据中位数以及众数的定义进行判断，即可得到中位数以及众数的值；（3）依据舞蹈组获得一等奖的队伍的比例，即可估计该展演活动共产生一等奖的组数．【详解】（1）10÷50%＝20（组），20﹣2﹣3﹣10＝5（组），m%＝520×100%＝25%，320×360°＝54°，故答案为：25，54；（2）8分这一组的组数为5，如图所示：各组得分的中位数是12（7+6）＝6.5，分数为6分的组数最多，故众数为6；故答案为：6.5，6；（3）由题可得，220×120＝12（组），∴该展演活动共产生了12个一等奖．【点睛】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，直线y ax b =+过点()0,3A 和点()2,0B -，则方程0ax b +=的解是（）A ．3x =B ．2x =-C ．0x =D ．3x =-2．某次自然灾害导致某铁路遂道被严重破坏，为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车，问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（） A ．12012045x x -=+ B ．12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 3．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）A ．含有45°角的两个直角三角形B ．腰相等的两个等腰三角形C ．边长相等的两个等边三角形D ．一个钝角对应相等的两个等腰三角形4．(2)0x x -=根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 5．《中国诗词大会》是央视科教频道自主研发的一档大型文化益智节目，节目带动全民感受诗词之趣，分享诗词之美，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵．比赛中除了来自复旦附中的才女武亦姝表现出色外，其他选手的实力也不容小觑．下表是随机抽取的10名挑战者答对的题目数量的统计表，则这10名挑战者答对的题目数量的中位数为答对题数（）答对题数 4 5 7 8人数 3 4 2 1A ．4B ．5C ．6D ．76．在解分式方程31x -+21x x+-=2时，去分母后变形正确的是（） A ．()()3221x x -+=- B ．()3221x x -+=- C ．()322x -+=D ．()()3221x x ++=-7．如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm ，到屏幕的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为( )A ．6cmB ．12cmC ．18cmD ．24cm8．反比例函数(0)ky k x=≠的图象如图所示，以下结论错误的是（）A ．0k >B ．若点()1,3M 在图象上，则3k =C ．在每个象限内，y 的值随x 值的增大而减小D ．若点()1,A a -，()2,B b 在图象上，则a b > 9．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（） A ．2(2)(2)4x x x +-=- B ．24+3(2)(2)3x x x x x -=+-+ C ．2+4(4)x xy x x x y -=+D ．21(1)(1)a a a -=+-10．下列分式2410xy x ，22a b a b ＋＋，22x y x y －＋，221a aa ＋－最简分式的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_____．12．如图所示，将直角三角形, ,,沿方向平移得直角三角形，,阴影部分面积为_____________.13．若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为________． 14．使分式x 12x --有意义的x 范围是_____． 15．如图，已知正方形ABCD ，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，将正方形ABCD 沿直线EF 翻折，使点B 刚好落在AD 边上的点G 处，连接GF 交CD 于点H ，连接BH ，若AG ＝4，DH ＝6，则BH ＝_____．16．八年级（1）班安排了甲、乙、丙、丁四名同学参加4×100米接力赛，打算抽签决定四人的比赛顺序，则甲跑第一棒的概率为______．17．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点1B 在y 轴上，顶点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、⋯在x 轴上，已知正方形1111A B C D 的边长为1，11B C O 60∠=，112233B C //B C //B C //⋯，则正方形2018201820182018A B C D 的边长是______．三、解答题18．（111842432（2）(743743+-19．（6分）如图，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()2,3A -、()6,0B-、()1,0C -.（1）请直接写出点A 关于原点对称的点的坐标；（2）将ABC ∆绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到111A B C ∆，画出111A B C ∆，直接写出点A 、B 的对应点的点1A 、1B 坐标；（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.20．（6分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD=5cm ，求AB 的长．21．（6分）某旅游纪念品店购进一批旅游纪念品，进价为6元.第一周以每个10元的价格售出200个、第二周决定降价销售，根据市场调研，单价每降低1元，一周可比原来多售出50个，这两周一共获利1400元.(1)设第二周每个纪念品降价x 元销售，则第二周售出个纪念品(用含x 代数式表示); (2)求第二周每个纪念品的售价是多少元?22．（8分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 23．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A 、B 、C 、D 都在格点上．。

人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例

3.培养学生自主探究、发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的乐趣，提高学生学习数学的兴趣。
2.培养学生面对困难时积极思考、勇于挑战的精神，增强学生的自信心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识和社会责任感。
三、教学重难点
2.跨学科教学：结合其他学科的知识，如地理、信息技术等，拓宽学生的知识视野，培养学生的综合能力。
六、教学资源
1.教材：人教版八年级上册数学教材。
2.辅助材料：相关的最短路径问题的案例、练习题和拓展问题。
3.现代教育技术：多媒体课件、网络资源等。
七、教学评价
1.学生评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩等方面进行评价。
（二）讲授新知
在导入新课后，我会开始讲解最短路径问题的相关知识。首先，我会向学生们介绍最短路径问题的定义，让学生们明白什么是最短路径。接着，我会讲解解决最短路径问题的基本方法，如坐标系法、函数法等。在讲解的过程中，我会结合具体的例子，让学生们更直观地理解这些方法。
（三）学生小组讨论
在讲授完新知识后，我会让学生们进行小组讨论。我会给每个小组提供一个实际问题，让他们运用所学知识，合作解决这个最短路径问题。这样的讨论，可以培养学生的团队合作精神，也可以让学生们在实践中加深对知识的理解和应用。
3.互动评价：小组之间进行互动评价，相互学习和提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身的优点和不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予意见和建议，促进共同进步。
3.教师评价：教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。

人教版初中初二八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题精品导学案

第十三章三角形．4 课题学习最短路径问题外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？__________________________________； ______________________________． l 的对称点？一、要点探究探究点1：牧人饮马问题实际问题：如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？数学问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题．问题1：现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？问题2：如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？要点归纳：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．如图所示．问题3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：课堂探究教学备注配套PPT讲授2．探究点1新知讲授（见幻灯片5-15）练一练：如图，直线l 是一条河，P 、Q 是两个村庄．欲在l 上的某处修建一个水泵站，向P 、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）典例精析例1：如图，已知点D 、点E 分别是等边三角形ABC 中BC 、AB 边的中点，AD =5，点F 是AD 边上的动点，则BF +EF 的最小值为（） A ．7.5 B ．5C ．4D ．不能确定方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解．例2：如图，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A ，B ，C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时点C 的坐标是（） A ．（0，3） B ．（0，2） C ．（0，1） D ．（0，0）方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置．探究点2：造桥选址问题实际问题：如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ．桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？教学备注3．探究点2新知讲授（见幻灯片16-24）2．如图，平移B 到E ，使BE 等于河宽，连接AE 交河岸于M ，作桥MN ，此时路径AM +MN +BN 最短．要点归纳：解决最短路径问题的方法：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择．二、课堂小结1．如图，直线m 同侧有A 、B 两点，A 、A ′关于直线m 对称，A 、B 关于直线n 对称，直线m 与A ′B 和n 分别交于P 、Q ，下面的说法正确的是（）A ．P 是m 上到A 、B 距离之和最短的点，Q 是m 上到A 、B 距离相等的点 B ．Q 是m 上到A 、B 距离之和最短的点，P 是m 上到A 、B 距离相等的点C ．P 、Q 都是m 上到A 、B 距离之和最短的点D ．P 、Q 都是m 上到A 、B 距离相等的点第1题图第2题图第3题图2．如图，△AOB =30°，△AOB 内有一定点P ，且OP =10．若在OA 、OB 上分别有动点mnA'PQ BA最短路径问题牧人饮马问题造桥选址问题轴对称+线段公理平移当堂检测教学备注配套PPT 讲授5．课堂小结6．当堂检测（见幻灯片24-28）Q、R，则△PQR周长的最小值是（）A．10 B．15 C．20 D．303．如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____ 米．4．如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当P A+PB的值最小时，在图中画出点P．5．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短？拓展提升：6．（1）如图△，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点；（2）如图△，在△AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点；（3）如图△，在△AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．图△ 图△ 图△参考答案自主学习一、知识链接1．解：△最短，因为两点之间，线段最短．2．解：PC最短，因为垂线段最短．3．两边之和大于第三边斜边大于直角边4．解：如图．课堂探究二、要点探究探究点1：牧人饮马问题问题1 解：连接AB，与直线l相交于一点C．根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求．问题2 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′．问题3 证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．△AC +BC= AC +B′C = AB′，AC′+BC′= AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，△AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC最短．练一练D例1 B 解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD 对称．△点F在AD上，故BF=CF．即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值．例2 A 解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．探究点2：造桥选址问题画一画：（1）（2）如图所示．（3）（4）如图所示．问题解决：1．证明：另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1．由平移的性质知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1．AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1＋M1N1＋BN1转化为AA1＋A1N1＋BN1．在△A1N1B中，因为A1N1+B1＞A1B，因此AM1＋M1N1＋BN1＞AM+MN+BN．2．证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM，MN=CD，BD∥CE，BD=CE，所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN．若桥的位置建在CD处，连接AC，CD，DB，CE，则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN．在△ACE中，∵AC+CE＞AE，∴AC+CE+MN＞AE+MN，即AC+CD+DB＞AM+MN+BN，∴桥的位置建在MN处，A到B的路径最短．当堂检测1．A 2．A 3．10004．解：如图，点P即为所求．5．解：作AF△CD，且AF=河宽，作BG △CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E ′，D′．作DD′，EE′即为桥．理由：由平移的性质可知，AD//FD′，AD=FD′．同理，BE=GE′．由两点之间线段最短可知，GF最小．拓展提升：6．解：如图所示．。

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题导学案(无答案)新人教版(2021年整理)

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课题：课题学习将军饮马问题学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．预习案回忆：以前学过的最短路径问题的根据有哪些?问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？追问2 请你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗，然后证明探究案点B′是点B 关于直线l 的对称点，你能用所学的知识证明从A 到l 再到B 的路程中AC +BC 最短吗?追问证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C ′(与点C 不重合）,证明AC +BC ＜AC ′+BC ′？这里的“C ′"的作用是什么？将军饮马问题你学会了吗？基本过程是什么？BAl练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．课堂小结：（1)本节课研究问题的基本过程是什么？(2）轴对称在所研究问题中起什么作用?你还有哪些疑问？姓名_________ 分数_________检测案如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,且AC=BD,若A到河岸CD 的中点的距离为500m，若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？。

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