八年级数学下册1.3线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线习题课件新版北师大版
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(新)北师大版八年级数学下册1.3《线段的垂直平分线》课件(共2课时)
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课堂精讲
【类比精练】 1．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°， AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则 ∠ABD= 35 度．
解：∵在△ABC中，AB=BC， ∠ABC=110°， ∴∠A=∠C=35°， ∵AB的垂直平分线DE交AC于点D， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=35°， 故答案为：35．
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课前小测
5.已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则 PB= 6 . 6.如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交 AB于E.若CE平分∠ACB，∠B=40°， 则∠A= 60 度.
目录 contents
课堂精讲
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课后作业
10．如图．AB=AC，MB=MC．求证：直线AM 是线段BC的垂直平分线． 证明：∵AB=AC， ∴点A在BC的垂直平分线上， ∵BM= CM， ∴点M在BC的垂直平分线上， ∴直线AM是BC的垂直平分线．
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课后作业
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课堂精讲
【类比精练】 2.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于 点P，探究：点P是否也在边AC的垂直平分线上． 证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P， ∴PA=PB，PB=PC． ∴PA=PB=PC． ∴点P必在AC的垂直平分线上．
目录 contents
7．如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分 线的交点P恰好在AC上，且AC=10 cm，则B点到 P点的距离为 5cm ．
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北师大版八年级数学下册1.3线段垂直平分线 线段垂直平分线的性质与判定-讲练课件-(共30张PPT)
4.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分
线 上.
几何语言：
∵ AP＝BP ，
∴点P在AB的垂直平分线上．
5.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是
（D）
A.AO＝BO
B.PO⊥AB
C.PO是AB的垂直平分线
D.点P在AB的垂直平分线上
例2
如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝
∠ = ∠，
证明：在△ABM和△ABN中， = ，
∠ = ∠，
∴△ABM≌△ABN( ASA )．
∴AM＝AN，BM＝BN.
∴点A，B都落在MN的垂直平分线上．
∴AB垂直平分MN.
7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分
线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12.
点．已知PA＝4，则线段PB的长为 4 ．
2．如图，若AC＝AD，BC＝BD，则（ B ）
A．CD垂直平分AB
B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB
D．以上均不对
3．如图，AD⊥BC于点D，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，
则AB，AC，CE的长度关系为（ D ）
A．AB＞AC＝CE
B．AB＝AC＞CE
数学(RS版)
八年级下册
第一章 三角形的证明
第7课
线段垂直平分线的性质与判定
新课学习
线段垂直平分线的性质
1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等 ．
几何语言：
∵CD是AB的垂直平分线，
∴ AC＝BC ．
1.3.1线段垂直平分线的性质与判定-北师大版八年级数学下册习题课件
*9.(2020·河南)如图，在△ABC 中，AB＝BC＝ 3，∠BAC＝30°，
分别以点 A，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点 D，
连接 DA，DC，则四边形 ABCD 的面积为( )
A．6 3 B．9
C．6
D．3 3
【点拨】如图，连接 BD 交 AC 于点 O，根据已知条件得到 BD 垂直平分 AC，进而得 BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的 性 质 得 到 ∠ACB ＝ ∠BAC ＝ 30°， 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 得 到 ∠DAC＝∠DCA＝60°，易得△ABD，△BCD 均为含 30°角的直 角三角形，可求得 AD＝CD＝ 3AB＝3， 于是 S 四边形 ABCD＝12AB·AD＋12BC·CD＝3 3. 【答案】D
*10.如图，点 C 是△ABE 的 BE 边上一点，点 F 在 AE 上，D 是 BC 的中点，且 AB＝AC＝CE.给出下列结论： ①AD⊥BC；②CF⊥AE； ③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE. 其中正确的结论有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点拨】∵∴AB＋BD＝DC＋CE＝DE. ∴①④正确．由已知条件无法得到 CF⊥AE 和∠1＝∠2， ∴②③错误．
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
(2)AB＝BC＋AD. 提示：点击 进入习题
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
提示：点击 进入习题
提示：点击 进入习题
提示：点击 进入习题
提提示示： ：点点击击证进进明入入习习：题题 由(1)知△ADE≌△FCE，∴AE＝FE.
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
12．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC，AM⊥ BC 于点 M，AD 平分∠MAC，交 BC 于点 D，交 BE 于点 F， AM 交 BE 于点 G.
北师大版八年级数学下册《1.3 第1课时 线段的垂直平分线》课件
P3
P2 P1
B
活动探究
作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由
于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从
而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.
P
(B) A
l
B (A)
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？ 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等. 你能验证这一结论吗？
35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段
之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线， 点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ B ） A. 6 B. 5 C C. 4 D. 3 A D E A
试一试：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线. 证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
B
D E
∴DE=CE(角平分线上的点
到角的两边的距离相等）. ∴ OE是CD的垂直平分线.
O
C
A
当堂练习
1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是 （ A ）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ．
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｄ
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使
DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有
八年级下册1、3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定习题新版北师大版
10．【2019·温州】如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线，E是AB边上一点，过点C作 CF∥AB，交ED的延长线于点F. (1)求证：△BDE≌△CDF；
证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F. ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD. ∴△BDE≌△CDF(AAS)．
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
2．如图，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一 直线上，则AB＋DB与DE的关系是( C ) A．AB＋DB>DE B．AB＋DB<DE C．AB＋DB＝DE D．不能确定
3．【2020·呼伦贝尔】如图，AB＝AC，AB的 垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°， 则∠DBC的度数是( D ) A．25° B．20° C．30° D．15°
【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB.选项 A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC 及PC⊥AB即可得到PC是线段AB的垂直平分线．故作法正 确；对于“过点P作PC⊥AB于点C”①或取AB的中点C(即 AC＝BC)②，要先让所作辅助线满足①或②，再证明 所作辅助线满足②或①，从而得到PC是线段AB的垂 直平分线，故选项B不正确，选项C，D作法正确． 【答案】B
解：∵△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF＝2. ∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3. ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AC＝AB＝3.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，G为三角形外一点， 且GB＝GC. (1)求证：AG垂直平分BC； 证明：∵GB＝GC，AB＝AC， ∴点G，点A在BC的垂直平分线上． 又∵两点确定一条直线， ∴AG垂直平分BC.
*4.如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB 和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在 点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D ) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm
新北师大版八年级下册初中数学 课时1 线段的垂直平分线 教学课件
第一章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
课时1 线段的垂直平分线
第一页，共二十七页。
学习目标
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的判定.（重点、难点）
第二页，共二十七页。
新课导入
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 什么叫线段的垂直平分线？
第三页，共二十七页。
新课讲解
知识点1 线段的垂直平分线的性质
线上．
其中正确的是( D )
A．①②③ B．②③④
C．①③④
D．①②③④
第二十六页，共二十七页。
拓展与延伸
在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的 直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.
70°或20°
分析：分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如 图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°； 如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得 ∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.故∠B＝70° 或20°.
第十五页，共二十七页。
新课讲解
练一练
1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上
的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
证明：因为AB是线段CD的垂直平分线，
所以EC＝ED，FC＝FD.
EC＝ED，
在△ECF和△EDF中，
EF＝EF，
所以△ECF≌△EDF(SSS)．FC＝FD，
所以∠ECF＝∠EDF.
典例分析
例 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直 平 分 线 MN与 AB 交于 点 D ，与 AC 交于 点 E ，则 ∠ BCD ＝ ________． 10°
分析：在△ABC中，∵∠B＝90°， ∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°. ∵MN是线段AC的垂直平分线， ∴DC＝DA. ∴∠DCE＝∠A＝40°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.
3 线段的垂直平分线
课时1 线段的垂直平分线
第一页，共二十七页。
学习目标
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的判定.（重点、难点）
第二页，共二十七页。
新课导入
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 什么叫线段的垂直平分线？
第三页，共二十七页。
新课讲解
知识点1 线段的垂直平分线的性质
线上．
其中正确的是( D )
A．①②③ B．②③④
C．①③④
D．①②③④
第二十六页，共二十七页。
拓展与延伸
在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的 直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.
70°或20°
分析：分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如 图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°； 如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得 ∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.故∠B＝70° 或20°.
第十五页，共二十七页。
新课讲解
练一练
1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上
的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
证明：因为AB是线段CD的垂直平分线，
所以EC＝ED，FC＝FD.
EC＝ED，
在△ECF和△EDF中，
EF＝EF，
所以△ECF≌△EDF(SSS)．FC＝FD，
所以∠ECF＝∠EDF.
典例分析
例 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直 平 分 线 MN与 AB 交于 点 D ，与 AC 交于 点 E ，则 ∠ BCD ＝ ________． 10°
分析：在△ABC中，∵∠B＝90°， ∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°. ∵MN是线段AC的垂直平分线， ∴DC＝DA. ∴∠DCE＝∠A＝40°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.
1.3 线段的垂直平分线第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 北师版数学八年级下册课件
在数学中，光靠观察是不够的，还需要
理性的证明.
如何证明这 个结论呢？
线段垂直平分线的性质
已知：如图所示，直线MN⊥ AB，垂足是C，并且AC=BC，P是 MN上任一点.
求证：PA=PB.
M P
证明：∵ MN⊥ AB ， ∴ ∠PCA= ∠PCB=90°.
A
C
B
又∵ AC=BC， PC=PC，
N
∴ △PCA≌ △PCB（SAS）.
定理中说线段垂直平分线上的任一点到线 段两个端点的距离相等，但是在证明过程中， 只是随机选了一种情况来证明，这并不影响定 理的正确性，因为所选的点是任意的.
线段垂直平分线的判定
你还记得上节课学过的关于互逆命题和互逆定 理的知识吗？
逆命题定义：在两个命题中，如果一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一 个命题的逆命题.
∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
线段垂直平分线的性质
M
由证明过程可以看出，两组对应
P
线段分别相等，那么这个事实的几 何意义是什么？
A
三角形两条边对应相等意味 着线段垂直平分线上的点到线段 两个端点的距离相等.
C
B
N
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平 分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政 治上的纠葛，被关进监狱，并被处以死刑.在监狱里，他思考改 圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活. 他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来 的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来 说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解 决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几 何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规 作图也一直被遵守并流传下来.
北师大版八年级数学下册课件：1.3.1线段的垂直平分线(共17张PPT)
P
P在线段 AB的垂直平分线上
∟
PAPB
温馨提示：这个结论是经常用来证明 A
B
两条线段相等的根据之一.
合作探究
讲授新课
例1 如图：直线MN是线段AB的垂直平分线， 点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为
什么？
合作探究
讲授新课
你能写出下面这个定理的逆命题吗？
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端 点的距离相等．
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真， 则需证明它；如果假，则需用反例说明．
合作探究
性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上．
巩固训练 2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB 于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
A
D
E
B
C
解：∵DE为AB的垂直平分线 ∴AE=BE ∵△BCE的周长等于50 ∴BE+EC+BC=50 即：AE+EC+BC=50 ∴AC+BC=50 ∵AC=27 ∴BC=23
已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任 意一点. 求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，
M P
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
A
C
B
∴△PCA≌△PCB（SAS）；
N
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
讲授新课
性质定理：线段垂直平分线上的点到 这条线段的两端点的距离相等．
P在线段 AB的垂直平分线上
∟
PAPB
温馨提示：这个结论是经常用来证明 A
B
两条线段相等的根据之一.
合作探究
讲授新课
例1 如图：直线MN是线段AB的垂直平分线， 点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为
什么？
合作探究
讲授新课
你能写出下面这个定理的逆命题吗？
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端 点的距离相等．
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真， 则需证明它；如果假，则需用反例说明．
合作探究
性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上．
巩固训练 2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB 于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
A
D
E
B
C
解：∵DE为AB的垂直平分线 ∴AE=BE ∵△BCE的周长等于50 ∴BE+EC+BC=50 即：AE+EC+BC=50 ∴AC+BC=50 ∵AC=27 ∴BC=23
已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任 意一点. 求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，
M P
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
A
C
B
∴△PCA≌△PCB（SAS）；
N
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
讲授新课
性质定理：线段垂直平分线上的点到 这条线段的两端点的距离相等．
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