福建省福州市2016_2017学年高二数学下学期期中试题文

福建省福州市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
2017.4.27
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确
的，请把答案填在答卷相应位置上）
1．在复平面内，复数2(12)i -对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是 ①y ＝cos x(x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x(x ∈R)是周期函数． A ．①②③
B ．③②①
C ．②③①
D ．②①③
3．根据所给的算式猜测1234567×9+8等于
1×9+2=11 ；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；…… A ．1 111 110
B ．1 111 111
C ．11 111 110
D ．11 111 111
4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是 A.没有一个内角是钝角 B. 至少有两个内角是钝角 C.有三个内角是钝角 D. 有两个内角是钝角
5. 给出下列命题：
①对任意x ∈R ，不等式x 2
＋2x>4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则c a >c
b ”的逆否命题．其中真命题只有
A ． ①③
B ．①②
C ． ①②③
D ．②③
6．若圆的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋2cos θ，
y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2t －1，
y ＝6t －1
(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是
A ．过圆心
B ．相交而不过圆心
C ．相切
D ．相离
7．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．已知x>0，y>0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则
()cd
b a 2
+的
最小值是 A ．4
B ．1
C ．2
D.0
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
9．在极坐标系中，定点A(1，π
2
)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，
当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________ 10．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是______
11．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下：
根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a ∧
∧
=+，据此模型来预测当x= 20时，y 的估计值为 12. 给出下列等式：
22
1
121213-=⨯⨯；
2
2231
12132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯；
3
32241
1214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，…… 由以上等式推出一个一般结论：
对于n n n n N n 2
1
)1(22132421213,
2*
⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ =
三、解答题（本大题共有３个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明
过程.） 13．（本小题满分12分）
已知命题p ：lg(x 2
－2x －2)≥0；命题q ：0<x<4.若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数x
的取值范围． 14. （本小题满分 12 分）
已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19
b 2＋
c 2
的最小值．
15．（本小题满分12分）
已知某圆的极坐标方程为ρ2
－42ρcos (θ－π4)＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)在圆上所有的点(x ，y)中x·y 的最大值和最小值．
第Ⅱ卷
四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 16．满足条件|z －i|＝|3－4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 A ．一条直线
B ．圆
C ．两条直线
D ．椭圆
17．用数学归纳法证明“4
2n －1
＋3n ＋1
(n ∈N ＋)能被13整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时
为了使用归纳假设，对42k ＋1
＋3
k ＋2
变形正确的是
A ．3(4
2k －1
＋3
k ＋1
)－13×4
2k －1
B ．4×42k
＋9×3k
C ．(4
2k －1
＋3
k ＋1
)＋15×4
2k －1
＋2×3k ＋1
D ．16(4
2k －1
＋3
k ＋1
)－13×3
k ＋1
18．设F 1和F 2是双曲线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2sec θ，y ＝tan θ
(θ为参数)的两个焦点，点P 在双曲线上，
且满足∠F 1PF 2＝90°，那么△F 1PF 2的面积是 A ．2 B.
5
2
C ．1
D ．5
19．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋
a 2
c 2
＋…＋a n
c n 的最小值是
A ．2n
B.1
n
C.n
D. n
五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）
20．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2rsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r>0)的公共弦所在直线的方程为
21．已知关于x 的不等式 ()
7a x 1
x 22
≥-+
在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a
的最小值为_______
六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明
过程.） 22．（本小题满分12分）
已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－35
的直线，直线与圆x 2＋y 2
＝25交于B 、C 两
点． (1)请写出该直线的参数方程以及BC 中点坐标； (2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标．
23.（本小题满分14分）
（1）已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2
＋(b ＋2)2
＋(c －3)2
的最小值． （2）请用数学归纳法证明： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n
(n≥2，n ∈N ＋)．
高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 CDDB CBCA
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分 9. ⎝
⎛⎭⎪⎫
22，3π4 10. (－∞，8] 11. 211.5 12. 1-n n 2
)1(1∙+ 三、解答题：本大题共有4个小题，共36分 13．（本小题满分12分）
解: 由lg(x 2
－2x －2)≥0，得x 2
－2x －2≥1，
∴x≥3，或x≤－1.即p ：x≥3，或x≤－1. …………………２分 ∴非p ：－1<x<3.又∵q ：0<x<4，
∴非q ：x≥4，或x≤0. …………………５分 由p 且q 为假，p 或q 为真知p ，q 一真一假，…………………６分
当p 真q 假时，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x≥3，或x≤－1，
x≥4，或x≤0，
得x≥4，或x≤－1； …………………9分
当p 假q 真时，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1<x<3，
0<x<4，得0<x<3，
∴实数x 的取值范围是{x|x≤－1，或0<x<3，或x≥4}．………………１２分 14. （本小题满分12分）
解：(1)因为f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c≥|(x＋a)－(x －b)|＋c ＝|a ＋b|＋c ，……３分
当且仅当－a≤x≤b 时，等号成立． 又a>0，b>0，所以|a ＋b|＝a ＋b ，
所以f(x)的最小值为a ＋b ＋c. …………………６分 又已知f(x)的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得
⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c×12＝(a ＋b ＋c)2＝16，……………9分
即14a 2＋19b 2＋c 2≥8
7. ………………１０分 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝2
7
时等号成立，
故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是8
7. ………………１２分 15．（本小题满分12分）
解：(1)原方程可化为ρ2
－42ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4
)＋6＝0，
即ρ2
－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① ………………２分
因为ρ2
＝x 2
＋y 2
，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以①可化为x 2
＋y 2
－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2
＋(y －2)2
＝2，此方程即为所求圆的普通方程．………………４分
设cos θ＝
2
－
2
，sin θ＝
2
－2
，
所以参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋2cos θ
y ＝2＋2sin θ
(θ为参数)．…………………６分
(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ) ＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ
＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2
.②…………………８分 设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin (θ＋π
4)，t ∈[－2，2]．…１０分
所以xy ＝3＋22t ＋t 2
＝(t ＋2)2
＋1. 当t ＝－2时xy 有最小值为1；
当t ＝2时，xy 有最大值为9. ………………１２分
第Ⅱ卷
一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 16-19 ＢＤＣＤ
二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分 20. 2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 21. ２
三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分 22． （本小题满分１２分） 解: (1)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5－35
t ，y ＝－3＋4
5
t (t 为参数)，…………………２分
代入圆的方程得t 2
－545t ＋9＝0，∴t M ＝t 1＋t 22＝275
，
则x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4425，3325.…………………５分 (2)设切线方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5＋tcos α，
y ＝－3＋tsin α
(t 为参数)，
代入圆的方程得t 2
＋(10cos α－6sin α)t ＋9＝0. Δ＝(10cos α－6sin α)2
－36＝0，…………………８分 整理得cos α(8cos α－15sin α)＝0， cos α＝0或tan α＝8
15
.
∴过A 点切线方程为x ＝5,8x －15y －85＝0. …………………１０分 又t 切＝－b
2a
＝3sin α－5cos α，
由cos α＝0得t 1＝3，由8cos α－15sin α＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝8
17，cos α＝15
17
，可得t 2＝－3.
将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫40
17，－7517.…………１２分
23. （本小题满分１４分）
解：（1）由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2
＋(b ＋2)2
＋(c －3)2
]≥[2(a－1)＋2(b ＋2)＋c －3]2
， …………………４分
∴9[(a－1)2
＋(b ＋2)2
＋(c －3)2
]≥(2a＋2b ＋c －1)2
. …………………５分 ∵2a＋2b ＋c ＝8，∴(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2
≥499
，
∴(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2
的最小值是499.…………………６分
（2）证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝3
4
.
所以等式成立．…………………８分
(2)假设当n ＝k(k≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k≥2，k ∈N ＋)．…………………１０分
当n ＝k ＋1时，
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1（k ＋1）2＝
k ＋12k ·（k ＋1）2
－1（k ＋1）2＝（k ＋1）k·（k ＋2）2k·（k ＋1）2＝k ＋22（k ＋1）＝（k ＋1）＋1
2（k ＋1）
，…13分 所以当n ＝k ＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知，对n≥2，n ∈N ＋时，等式成立．………………１４分。