2.2微分中值定理
微分中值定理的证明及应用
微分中值定理的证明及应用
微分中值定理是一系列中值定理的总称，通常包括罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。它们将函数与其导数联系起来，从而可以利用导数的局部性来研究函数的整体性质，是研究函数的有力工具。因此，微分中值定理在微分学中占有很重要的地位。
1 微分中值定理历史发展
人们对微分中值定理的认识始于古希腊时代。当时的数学家们发
现，过抛物线顶点的切线必平行于抛物线底端的连线，阿基米德还利用该结论求出了抛物线弓形的面积。这其实就是拉格朗日中值定理的特殊情形。1635年，意大利数学家卡瓦列里在《不可分量几何学》中描述：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，即卡瓦列里定理。它反映了微分中值定理的几何形式。
1637 年法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，即函数在极值点处的导数为零。1691 年法国数学家罗尔在《方程的解法》中给出了多项式形式的罗尔定理，后来发展成一般函数的罗尔定理，并且正是由费马定理推导而出。后来，法国数学家拉格朗日于1797 年在《解析函数论》中首先给出了拉格朗日中值定理，并予以证明。它也是微分中值定理中最为主要的定理。同样是来自法国的著名数学家柯西，这位近代微分学的奠基者，对微分中值定理进行了更加深入的研究。他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》和《微分计算教程》，在分析上进行了严格的叙述和论证，使得微积分摆脱了对几何、运动的直观理解和物理解释，对微积分理论进行了重构，从而极大地推动了数学分析严格化的进程[1-2] 。他在《无穷小计算教程概论》中严格地证明了拉格朗日中值定理，后来又在《微分计算教程》中将拉格朗日中值定理推广为广义中值定理—柯西中值定理。柯西认为中值定理是微分学中最核心的定理，比如可以利用该定理严格证明洛必达法则，并研究泰勒公式的余项等。从柯西起，微分中值定理成为了研究函数非常重要的工
高等数学教材a
高等数学教材a
高等数学是大学数学的重要组成部分，作为一门专业性较强的学科，它的教材编写至关重要。本文将介绍高等数学教材A的编写内容、特
点和结构。
一、教材内容
高等数学教材A的内容主要包括以下几个方面：
1. 函数与极限：包括函数的概念、基本性质，以及函数极限的定义
和计算方法。
2. 微分学：主要介绍导数的概念、性质和计算方法，以及一阶导数
和二阶导数的应用。
3. 积分学：包括定积分的概念、性质和计算方法，以及定义在闭区
间上的函数的定积分和不定积分的概念和计算方法。
4. 微分方程：主要介绍常微分方程的基本概念、性质和求解方法，
以及一阶和二阶常微分方程的具体应用。
二、教材特点
高等数学教材A具有以下几个特点：
1. 系统性：教材内容安排合理，从函数与极限开始，循序渐进地引
入微分学、积分学和微分方程等内容，保证了教材的系统性。
2. 理论联系实际：教材注重将数学理论与实际问题相结合，通过具体的例子和应用，增强学生对数学知识的理解和应用能力。
3. 适应性强：教材内容既符合国内高等数学教学大纲的要求，又兼顾了国际高等数学的前沿发展动态，适应了不同层次和需求的学生。
4. 难度适中：教材内容难度安排合理，既考虑到了学生对数学基础知识的掌握程度，又引导学生逐步提高解题能力，兼顾了难度和学习效果的平衡。
三、教材结构
高等数学教材A的结构如下：
第一章函数与极限
1.1 函数的概念与性质
1.2 极限的概念与计算方法
第二章微分学
2.1 导数的概念与性质
2.2 微分中值定理与导数的应用
第三章积分学
3.1 定积分的概念与性质
3.2 不定积分的概念与计算方法
高等数学c教材答案同济大学
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导言
高等数学C是同济大学在数学系开设的一门课程，旨在帮助学生深
入理解高等数学的概念、原理和应用。本文将提供同济大学高等数学
C教材的答案，以供学生参考和学习。
第一章导数与微分
1.1 函数、极限与连续
题目1：计算极限$\lim\limits_{x\to 2}(x^2+3x-4)$。
解答：将$x$代入函数中，得到$\lim\limits_{x\to 2}(2^2+3\cdot2-4)$，计算得$\lim\limits_{x\to 2}(4+6-4)=6$。
题目2：判断函数$f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \text{如果 }x<0\\ 2, & \text{如果 }x=0\\ \sqrt{x}, & \text{如果 }x>0 \end{cases}$在$x=0$处是否连续。
解答：由定义，函数在$x=0$处连续，当且仅当$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$。代入函数并计算可得$-1=2=0$，
显然不成立，因此函数在$x=0$处不连续。
1.2 导数与微分
题目1：计算函数$f(x)=3x^2+5x-2$在$x=1$处的导数。
解答：根据导数的定义，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为
$f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$。代入函数并计算可得
$f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{3(1+h)^2+5(1+h)-2-(3-5-2)}{h}$，进一步
微分中值定理的重要性
微分中值定理的重要性
微分中值定理是高等数学中微分学的主要知识点。在确定罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的基础上，深入分析了不同中值定理的推广形式。在确定微分中值定理经典证明的前提下，分析以上之间的关系。找出所有相关的证明形式，并分析
1.引言
在数学研究中，微分中值定理起着非常重要的作用。在最近的数学考研中，与微分中值定理相关的命题层出不穷。因此，对这部分问题的分析不仅能使我们深刻理解和认识微分中值定理的知识，而且对后续问题的解决也至关重要。
微分中值定理一般涵盖罗尔（roll）定理，拉格朗日（lagrange）中值定理，柯西(cauchy)中值定理和泰勒(taylor)公式。上述部分彼此不断递进。分析某个函数整体和部分，和众多函数彼此间的关系。对了解函数的属性和根的存在性等部分具有关键的价值。学微分中值定理这部分的时候，我们需要了解为何要学习，以及与其他定理间的关系与使用。基于教材进行分析，我们逐渐了解到导数微分的关键性，然而并未讲解怎样使用，所以需要强化导数的使用，但是微分中值定理是导数使用的理论前提。因此此部分知识非常关键。其是此后分析函数极限，单调，凹凸性的前提。基于微分中值定理的形成进行分析，此处主要的基础是函数最值问题。而处理上述问题是使用微分中值定理。
学者们对微分中值定理的分析经历了200多年，主要从费马大定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展时期。也正是在上述发展时期，学者们开始了解它们的内在联系和根本特征。微分中值定理是浓缩版的概
括，上面的概括和美国数学家克莱默对数学史上任何阶段大众对数学贡献的评价，那些能够统一过去，为未来发展找到出路的概念，应该算是最深的定义了。从广义的角度看，微分中值定理定义如下。
微分中值定理
取x=0，则 C arcsin0 arccos0 0
即 arcsin x arccos x ,
2 x (1, 1)
2
又当
x
1
2
时，arcsin(1)
arccos(1)
综上所述可得 arcsin x arccos x ,
2 x [1, 1]
2
4.1 微分中值定理
f (x) g(x) C
4.1 微分中值定理
经济数学
4.1.2 拉格朗日中值定理推论
(3) 举例
+例3
证明 arcsin x arccos x , x [1, 1] 2
证明： 由于 (arcsin x arccos x) 1 1 0 由推论1可知 1 x2 1 x2
arcsin x arccos x C, x (1, 1)
上连续；
又因为 f (x) 3x2 6x，所以 f (x)在 (3, 0)内可导；而 f (3) f (0)
所以满足定理的条件。且
f (x) = 3x2 +6x，
所以有以下等式：
f () 32 6 0.
解得 0， 2 . 因为 0不在开区间 (-3, 0)内.故舍去.
所以，取 2 ，使得 f () 0.
一个常数，即
f (x) C
4.1 微分中值定理
经济数学 4.1.3 拉格朗日中值定理推论
微积分：微分中值定理
微分中值定理 用微商研究函数 弹性与相关变化率 最优化问题 洛必达（L’Hospital）法则
3.1微分中值定理
新课内容：
一、罗尔（Rolle）定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 难点: 用中值定理证题
罗尔定理判断方程f x 0有根.
用拉格朗日定理证明等式或不等式
3.1微分中值定理
在（0，1）内至少有一个根。
证 构造函数：
f (x) ax4 bx3 cx2 (a b c)x,
f (x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可微，
且，f (0) f (1) 0, 由Rolle定理，
在(0，1)内至少有一点，使f ( ) 0， 即4a 3 3b 2 2c (a b c) 0, 4a 3 3b 2 2c a b c. 可见，是方程
4ax3 3bx2 2cx a b c 的根。
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数y f x满足 (1)在闭区间a, b上连续，
(2) 在开区间a,b内可微，
则在a, b内至少存在一点，使
f (b) f (a) f ( )
ba
几何解释
y
C
y f (x)
M
B
曲线 y=f(x)上至少
定义 如果当x x0 (或x )时,两个函数f ( x) 与g( x)都趋于零或都趋于无穷大, 那末极限
微分中值定理
f′（x）=1/x 在（1，e）上至少有一个实根．
证 因为（lnx）′=1x,不妨构造函数F（x）=f（x）-lnx， 显然F（x）在［1，e］上也连续，在（1，e）上可导，且
F（1）=f（1）-ln1=0，F（e）=f（e）-lne=0. 即F（1）=F（e）.
三、柯西中值定理
【例3】
设函数f（x）在［a，b］上可导，0<a<b，证明存在 ξ∈（a，b），使得 证 因为0<a<b，故在［a，b］上f（x），F（x）=lnx连 续且可导，又 从而由柯西中值定理知至少存在一点ξ∈（a，b），使得
谢谢聆听
三、柯西中值定理
柯西中值定理 如果函数f（x） 及g（x）在闭区 间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，且g′（x） ≠0，则存在一点ξ∈（a，b），使得
很明显,如果g（x）=x,那么g′（x）=1,g（b）-g（a） =b-a,上式就可以写成
这就是拉格朗日中值定理,这说明, 柯西中值定理是拉格朗 日中值定理的推广.
由罗尔定理得，存在一点ξ∈（1，e），使得 F′（ξ）=0，
而F′（ξ）=f′（ξ）-1/ξ=0. 即存在一点ξ∈（1，e），使得f′（x）=1/x成立．
一、罗尔中值定理
罗尔定理表明，若连结曲线两端的弦是水平的，则 曲线上必有一点，该点的切线也是水平的．如果将曲线 转一个角度，这时弦与切线的水平性虽被破坏了，但它 们相互平行的性质仍保持，进而得到下面的定理．
微分中值定理
微分中值定理
微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。
一、微分中值定理的历史演变
古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。
1.费马定理
法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有
明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。
2.罗尔定理（引理）
法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有
微分中值定理的证明以及应用
微分中值定理的证明以及应用
1 微分中值定理的基本内容
微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :
1.1 罗尔中值定理[2]
如果函数f 满足:
(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;
(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）
,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]
如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;
(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式
()()()=
f a f b f b a
ξ-'-
成立.
1.3 柯西中值定理[2]
如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）
,使得 ()
()
()()g ()()
f f b f a
g b g a ξ
ξ'-=
'-
2 三定理的证明
2.1 罗尔中值定理的证明[2]
根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使
《微分学中值定理》课件
微分学中值定理在解 决实际问题中具有广 泛的应用价值，如物 理、工程、经济等领 域。
微分学中值定理是微 积分的重要工具，可 以用来证明其他微积 分定理，如罗尔定理 、拉格朗日中值定理 等。
微分学中值定理在数 学分析、高等数学等 课程中具有重要地位 ，是学生学习和研究 的重要内容。
微分学中值定理的应用
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
概率论与数理统计：微分学中值定理在概率论与数理统计的证明和计算中也有应用
微分学中值定理在其他学科领域的应用
物理学：在力 学、电磁学、 热力学等领域
的应用
经济学：在边 际分析、最优 化理论等领域
微分中值定理及其应用和推广论文
微分中值定理及其应用和推广
王泓元
摘要：微分中值定理包括罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（lagrange）中值定理、柯西（cauchy）中值定理、泰勒（Taylor）定理。
微分中值定理是反映函数与导数之间关系的重要定理，也是微积分学的理论基础，也是沟通导数值与函数值之间的桥梁，它利用导数的局部性质来推断函数的整体性质的工具。在许多方面它都有着重要的作用，在进行一些公式推导和定理证明中都有很多应用。
关键词：中值定理；推广；应用
2. 微分中值定理的基本内容
2.1罗尔（Rolle ）中值定理
“罗尔定理”这个名字是由德罗比什在1834年给出的。 罗尔在当时提出的这个结论，主要是针对多项式函数的，现在所看到的罗尔定理则一般适用于一般的函数。而且证明的方法也与罗尔的有所不同，罗尔是利用纯代数的方法加以证
明的，而后人则是以分积分的理论证明的[1]
。
罗尔在《方程的解法》论著中给出了“在多项式
01110=+++--n n n n a x a x a x a 中，至少有一个实根。”的论断。正好是定理的一个特例，这也是以上定理称为罗尔定理的原因。 2.1.1罗尔定理 若函数)(x f 满足如下条件：
（i ） f 在闭区间[a,b]上连续； （ii ） f 在开区间（a,b ）内可导； （iii ）)()(a f b f =，
则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf .
2.1.2罗尔定理的证明
证明：由（i ）知)(x f 在[a,b]上连续，故)(x f 在[a,b]上必能有最大值M 和最小值m ，此时，分两种情况来谈论：
微分中值定理公式
微分中值定理公式
微分中值定理：
1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2、应用：
（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。
（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。
（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。
（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。
3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)
4、优势：
（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；
（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；
（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；
（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。
微分中值定理
(x0)=0
(x0)=0 表示函数 f 在 x0 点的变化率为零，故导数 为零的点常称为 f(x)的驻点(逗留点、稳定点).
在 xoy 平面上，若 x0 为函数的极值点，且函数图 象在(x0,f(x0))处存在切线，则此切线必为水平线.
“(x0)=0”是可导函数 f 在 x0 取到极值的必要条 件，并非充分. 例如，(x)=x3，(0)=0，但 x=0 点 不是 f 的极值点.
1 Joseph Louis Lagrange(1736-1813)法国数学家，奠定变分法基础的雄 才, 18 至 19 世纪承先启后的数学大师.
证一：作辅助函数
F(x)=(x)f(a) f (b) f (a) (xa)
ba
(F(x)=(x) f (b) f (a) (xa))
ba
则有：FC[a,b]，FD(a,b)，且 F(a)=F(b)=0. 由
证明：“必要性”. 显然成立. “充分性”. 取定 x0I，则xI (0,1):
(x)=f(x0)+(x0+ (xx0))(xx0)=f(x0)，
设函数 f, g 均在区间 I 上可导，且(x)g(x)，则存 在常数 c 使得(x)g(x)+c.
F(x) f (x) g(x)
证明 f (x) ln(x 1 x2 )在(, )上 严格单调增
导，由 Lagrange 中值定理，
微分中值定理
证明x5 方 5x程 10有且仅有 1的 一 正 个 . 实
(2) 唯一性 设x 1 另 (0 ,1 )x 有 1 , x 0 ,使 f(x1)0.
f(x)在x0,x1 之间 满足Rolle定理的条件.
至少存在 (在x一 0,x1之 个)间 使, 得
f()0.
但 f(x )5 (x4 1 ) 0,(x(0,1))矛盾, 故假设不真! 为唯一实根.
(a,b), 都有 f()0.
(b)若Mm. 所以最值不可能同时在端点取得.
设 Mf(a), 则在(a,b)内至少存在一, 点
使 f()M .[a,b],有 f(x)f(),
由 Fermat引理, f()0. 7
Rolle定理 若函f数 (x)满足 : (1) 在闭区 [a,间 b]上连;续 (2) 在开区 (a,间 b)内可;导
20
由拉格朗日 以中 得值 出定 其理 它 ？ 可 的
f( b ) f( a ) f () ( b a )
f ()
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) ( x 2 x 1 )
( 1 )f( x ) 0 x ( a ,b ). ?
f(x)常数 .
(2)|f(x)|M . ? |f( x ) f( x 0 ) | M |x x 0 |.
(3 )f(x ) 0( 0 ). ?
微分中值定理生活举例 理论说明以及概述
微分中值定理生活举例理论说明以及概述
1. 引言
1.1 概述
在微积分中，微分中值定理是一种重要的数学工具和原理。它通过描述函数在某个开区间内点的变化与函数在该区间端点处及其导数之间的关系，帮助我们了解函数的性质和特征。微分中值定理广泛应用于物理、工程、经济等领域，具有重要的实际意义。
1.2 文章结构
本文将从以下几个方面对微分中值定理进行深入研究。首先，在第2部分中，我们将通过生活举例来阐述微分中值定理在实际应用场景中的作用。然后，在第3部分，我们将对微分中值定理进行详细的定义和表述，并探讨其物理背景和应用领域。接着，在第4部分，我们将介绍微分中值定理的其他类型及相关定理，以便更全面地了解该定理在不同情况下的变体和应用。最后，在第5部分，我们将总结并强调文章主要观点，并展望未来对微分中值定理的进一步研究方向。
1.3 目的
本文旨在通过生动有趣的生活举例，详细阐述微分中值定理的实际应用和重要性，并对其进行理论说明和概述。通过系统性地介绍微分中值定理及其相关领域，读者将能够更好地理解该定理的内涵和广泛的应用前景。同时，本文也为未来研究微分中值定理的方向提供了一些展望。
2. 微分中值定理生活举例:
2.1 实际应用场景:
微分中值定理是微积分中的重要概念之一，它在许多实际应用场景中都有重要作用。以下是一些生活中常见的实际应用场景，可以通过微分中值定理进行解释和说明：
a) 交通流量分析：假设某条道路上的车辆速度已知，并且知道某一时刻某位置处的车辆密度。利用微分中值定理，我们可以证明至少存在一个位置，在该位置处的车辆密度等于该位置处的平均速度。
微分中值定理在中学数学中的应用
微分中值定理在中学数学中的应用
【摘要】
微分中值定理是微积分中的重要定理，在中学数学中也有广泛的
应用。本文首先介绍了微分中值定理的基本概念和数学表达式，然后
详细说明了如何利用微分中值定理求解函数的增减性问题和证明函数
的单调性。接着，讨论了微分中值定理在解决实际问题中的应用，例
如求曲线的切线方程等。最后结合实际案例总结了微分中值定理在中
学数学中的重要性，强调其在函数分析和求解实际问题中的价值。微
分中值定理在数学教育中的应用范围广泛，对学生的数学思维和问题
解决能力有很好的培养作用，是中学数学中不可或缺的重要内容。
【关键词】
微分中值定理、中学数学、基本概念、数学表达式、增减性问题、单调性、实际问题、应用范围、重要性。
1. 引言
1.1 微分中值定理在中学数学中的应用
微分中值定理在中学数学中的应用主要体现在对函数的增减性问题、单调性、以及实际问题的解决上。通过微分中值定理，我们能够
推导出函数在某个区间内的增减性以及单调性，进而更好地理解函数
的性质和变化规律。
微分中值定理也可以用来证明函数的单调性。通过对函数的导数进行分析，并应用微分中值定理，我们可以得出函数在某个区间内的单调性，进而推断出整个函数的单调性。这为我们在研究函数的性质和特点时提供了重要的工具和技巧。
微分中值定理也被应用于解决实际问题中。通过将实际问题建模为数学函数，并使用微分中值定理来分析函数的特点和趋势，我们可以更好地理解问题的本质，提出解决方案，并进行有效的预测和决策。
微分中值定理在中学数学中的应用不仅可以帮助我们更深入地理解函数的性质和变化规律，还可以指导我们解决实际问题，提高数学建模和分析的能力。其在中学数学教育中的重要性不可忽视，为学生提供了更丰富和深入的数学学习体验。
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§2.2 微分中值定理
一、罗尔定理 设函数()f x 满足
（1）在闭区间［a ,b ］上连续； （2）在开区间（a ,b ）内可导； （3）()()f a f b =.
则至少存在一点()a b x Î，，使得()0f x ¢=.
几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在(,())A a f a 和(,())B b f b 之间是连续曲线［包括点A 和点B ］.
条件（2）说明曲线()y f x =在A ，B 之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线［不包括点A 和B ］
条件（3）说明曲线()y f x =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()y f x =在A 点和B 点之间［不包括点A 和B ］至少有一点，它的切线平行于x 轴。
注意：构造辅助函数时，可考虑以下形式
（1）()()k
F x x f x =（加法） （2）()
()k
f x F x x =
（加法） （3）()()kx
F x f x e =（函数加导数）
【例1】设()f x 在[]0，3上连续，在()0，3内可导，且()()()0123f f f ++=，
()31f =，试证：必存在()ξ∈0，3，使()0f ξ'=。
证 ()f x Q 在[]0，3上连续，()f x ∴在[]0，2上连续，且有最大值M 和最小值m ,
于是(0)m f M ≤≤；(1)m f M ≤≤；(2)m f M ≤≤，
故[]1
(0)(1)(2)3
m f f f M ≤
++≤。 由连续函数介值定理可知，至少存在一点[]c ∈0，2，使得
()[]1
(0)(1)(2)13
f c f f f =
++= 因此()()3f c f =，且()f x 在[]c ，3上连续，()c ，3内可导，由罗尔定理得出必存在()()03ξ∈⊂c ，3，，使得()0f ξ'=。
【例2】 设()f x 在[]0，1上连续，在()01，内可导，且()()2
3
1
3
0f x dx f =⎰.
求证：存在()0，1x Î使()0f x ¢
= 证 由积分中值定理可知，存在轾
Î犏臌
2,13c ，使得()()2
3
1
213f x dx f c ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
⎰
得到 ()()23
1
3
(0)f c f x dx f ==⎰
对()f x 在[]0c ，上用罗尔定理（三个条件都满足）， 故存在()
0(01)c ，，x 翁，使()0f x ¢=
【例3】（07）设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=。
分析：令()()()()F x f x g x F x =-⇒在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，在题设条件下，要证存在(,)a b ξ∈，()0F ξ''=。已知()()0F a F b ==，只需由题设再证(,)c a b ∃∈，
()0F c =。
证明：由题设11[,]
(,),max ()()a b x a b M f x f x ∃∈==，
22[,]
(,),max ()()a b x a b M g x g x ∃∈==。
若12x x =，取12c x x ==，则()0F c =。
若12x x ≠，不妨设12x x <，则111()()()0F x f x g x =-≥，222()()()0F x f x g x =-≤ 12[,]c x x ⇒∃∈，()0F c =
由()()()0F a F c F b ===，对()F x 分别在[,]a c 和[,]c b 用罗尔定理
12(,),(,)a c c b ξξ⇒∃∈∃∈，使得12()()0F F ξξ''==。
再对()F x '用罗尔定理12(,)(,)a b ξξξ⇒∃∈⊂，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=。 二、拉格朗日中值定理 设函数()f x 满足
（1）在闭区间[]a b ，上连续； （2）在开区间()a b ，内可导。 则存在()a b ξ∈，，使得
()()
()f b f a f b a
ξ-'=-
或写成()()()()()f b f a f b a a b ξξ'-=-<<
有时也写成()()()()00001f x x f x f x x x θθ'+∆-=+∆∆< 几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在点()() A a f a ，和点()() B f b b ，之间［包括点A 和点B ］是连续曲线。 条件（2）说明曲线()y f x =［不包括点A 和点B ］是光滑曲线。 结论说明曲线()y f x =在A 、B 之间［不包括点A 和点B ］至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。 推论1 若()f x 在()a b ，内可导，且()0f x '≡，则()f x 在()a b ，内为常数。 推论 2 若()()f x g x ，在()a b ，内皆可导，且()()f x g x ''≡，则在()a b ，内 ()()f x g x c =+，其中c 为一个常数。 推论3 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则 000(1)()(),(,) ()()([,])(2)[,],()() f x g x x a b f x g x x a b x a b f x g x ''=∈⎧=∈⇔⎨ ∃∈=⎩ （注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当()()f a f b =时的特殊情形，就是罗尔定理） 【例1】 设不恒为常数的函数()f x 在[]a b ，上连续，()a b ，内可导，且 ()()f a f b =，证明()a b ，内至少有一点ξ，使得()0f ξ'>. 证 由题意可知存在(,)c a b Î使得 ()()()f c f a f b ≠= 如果()()f c f a >，则()f x 在[]a c ，上用拉格朗日中值定理存在1(,)a c x Î，使 ()1()() 0f c f a f c a ξ-'= >- 如果()()f b f c >，则()f x 在[]c b ，上用拉格朗日中值定理存在2(,)c b x Î，使 ()2()() 0f b f c f b c ξ-'= >-， 因此，必有(,)a b x Î，使得()0f ξ'> 成立. 【例2】 设()0f x ''<，(0)0f =，证明对任意10x >，20x >恒有 1212()()()f x x f x f x +<+ 证 不妨假设12x x £，由拉格朗日中值定理有