材料力学能量法第1节杆件的变形能

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第十章能量法材料力学课件

§10.2 杆件变形能计算
一. 杆件基本变形的变形能 U=W
F
F
线弹性 U W 1F
2
特殊情况
F
F UW1Fl FN2l
2
2EA
Me
Me UW12Me2M Gx2Ilp
Me 广义表达式
Me UW12Me2M E2lI
UW
1F
2
内力2
2刚度
l
注意：当内力或刚度发生变化时要用
积分或分段计算
(内力)2(x)
必须强调 U W 1F 只适用于线弹性结构 2
面积= 1 底高 2
对非线性材料 U=W=曲线下的面积
可利用积分计算
U uW 0d0Fd
未作特殊说明,均假定材料在线弹性范围内
F
F
例10.2 已知d F E G
解
求 fc=? 1 U W 2Ffc
2U
A
2a
F
C
a
B
fc F
UUCBUBA
aM 1 2(x)d x2aM 2 2(x)d x2aM x2(x)d
l M x M x dx tan l xM x dx
tan x c
M c
Mx
C•
x
Mx
l
M
lMxMxdx
tanxM(x)dx
l
tanxc
M
x xc
.c
dx
x
M M ( x) M c xc l
lM xE M Ixdx E M cI
lM xE M Ixdx E M cI
若需要分段,则: i Mci
M(x) ql x qx2(0 x l) 22
A1
。。。

理论力学中的杆件的变形分析

理论力学中的杆件的变形分析杆件在力学中扮演着重要的角色，广泛应用于各种工程领域。

在理论力学中，对于杆件的变形进行分析是十分重要的，它能帮助工程师和设计师预测和评估结构的性能和可靠性。

本文将介绍杆件的变形分析的基本原理和方法。

1. 弹性变形杆件受到外力作用时，会发生弹性变形。

在弹性变形情况下，杆件会迅速恢复到未受力状态，且不会发生永久形变。

弹性变形是基于胡克定律，即应力与应变成正比。

根据胡克定律，可以得到杆件的弹性形变的方程。

2. 杆件的拉伸和压缩当杆件受到拉伸或压缩作用时，会发生轴向变形。

在理论力学中，我们可以使用材料力学的知识来分析杆件的轴向变形。

拉伸和压缩是杆件最常见的变形形式，例如，建筑物的柱子或者桥梁的支撑杆件都会经历拉伸或压缩。

3. 杆件的弯曲当杆件受到弯曲力矩作用时，会发生弯曲变形。

弯曲是指杆件在垂直于其长度方向上发生形状改变。

在理论力学中，我们可以使用梁的理论来分析杆件的弯曲变形。

通过应力和应变的关系以及几何形状的考虑，可以计算出杆件在弯曲过程中的变形情况。

4. 杆件的扭转当杆件受到扭矩作用时，会发生扭转变形。

扭转是指杆件在一个固定的截面上，某一段杆件相对于其他段发生旋转。

通过扭转变形分析，我们可以计算出杆件在扭转过程中的变形情况。

杆件的变形分析对于在工程设计过程中非常重要。

通过对杆件的变形情况进行准确的分析，可以帮助工程师和设计师了解结构的性能和可靠性。

此外，在设计过程中，合理地选择材料和截面形状也是非常关键的，因为不同的材料和截面形状会直接影响杆件的变形情况。

总之，理论力学中的杆件的变形分析是一个复杂但重要的领域。

它涉及到弹性变形、拉伸和压缩、弯曲和扭转等不同类型的变形。

通过对杆件变形进行准确的分析，可以帮助工程师预测结构的行为，并确保结构的性能和安全性。

对于工程设计和结构优化来说，杆件的变形分析是一项必不可少的工作。

材料力学能量法

B
2m C
F
30° A
能量法/克拉贝隆原理
•解: 由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：
F N1
FN2
A
F
F N 12F115.2kN
AC杆的内力为：
F N 2F N 1c o s3 0 o 9 9 .8k N
杆系的应变能： UFN21LAB FN22LAC 172J 2EA1 2EA2
设节点A的竖直位移 A为
mF
代入应变能的内力表达式：
L
UM 2(x)dxL(F xm )2dx L 2E I 0 2E I
F2L3 FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
能量法/克拉贝隆原理
UF2L3FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
mF L
•从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时的应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相互影响下所做的功）。
2、能量法
利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的方法。
在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。
能量法/基本概念
能量法有关的几个基本概念 1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力
在与它相对应的位移上所作的功 W。
2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个
Ub 125 30
US 3(1)
能量法/克拉贝隆原理
二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)
基本变形下应变能的一般表达式：

材料力学中的能量法

记为 M,F 。 S ,F N ,T
（3）单位力所做的外力虚功为 We =1·
杆件的内力虚功为
* * * * W ( M d F d F d d T d) j i S N l 0
单位力法的虚位移原理表达式为
* * * * (10-16) 1 Δ ( M d F d F d d T d) j S N l 0
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等，方向相反，且均垂直于杆CD的力。根据功的互等定理： F B F F l F 0 .0 8 k N B C D lC D
§10-4、10-5 虚位移原理及单位力法
. 虚位移原理（1）刚体虚位移 —— 满足约束条件的假想的任意微小位移。虚位移原理 ——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。
由于以上分析中没有涉及材料的物理性质， (11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M ,
Δi FS , FN , T是由荷载产生的内力，
d , dd ,
* *
* d j 为广义虚位移，d* ,
为微段的变形虚位移。
Ⅱ. 单位力法（单位载荷法）
(1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条
(c)
(d) 将(a),(d)式代入（11-14）式，得梁的虚位移原理表达式为
* * F Δ ( M d F d ) 0 i i S l n 0
即
i 1
* * F Δ ( M d F d ) i i S l i 1 0
n
外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能)
2 2 lM M ( x ) ( x ) 1 2 U d x d x (3) l 0 2 EI EI 2 2 l 2

材料力学第12章能量方法

9
(2)剪切变形时的应变能及应变能密度工程中的剪切变形，一般是与其他变形相伴存在的，且横截面上的切应力是不均匀分布的。在计算其应变能时，应以单元体为基础。
图12.3
10
剪切变形时的应变能密度为
可见，剪切变形的应变能密度在数值上等于三角形OAB的面积。杆件的剪切应变能为
11
(3)圆轴扭转时的应变能圆轴扭转时，如果材料应力应变关系处于线弹性范围，则扭矩MT与扭转角φ的关系也是一条直线，如图12.4（b）所示。仿照杆件拉伸应变能的证明，则变形过程中扭矩所做的功在数值上等于三角形OAB的面积。有
4
那么，在外力从F1增加到F1+dF1的过程中，外力功的增量为当外力从零开始逐渐增加到F值时，则外力功为代入，得
5
图12.1
6
根据功能原理公式（12.1），则应变能为
式（12.3）为等截面直杆在轴力为常量条件下的应变能计算公式。如果杆件的轴力FN分段为常量时，应变能应为各段应变能的总和，即
7
积分可得整个杆件的应变能Vε为为了更全面地了解应变能，还要知道单位体积内的应变能，即应变能密度（strainenergy dens ity）由式（a）得应变能密度vε
8
显然，应变能密度vε的数值等于如图12.1（c）所示三角形oab的面积。这样，又可以将上式的应变能密度和应变能式（12.5）改写为
第12章
第一节概述
能量方法
在工程结构分析中，经常需要计算结构和构件的变形。使用一般的方法（如积分法）进行变形计算时，需要分析结构和构件的具体变形形式，计算工作量大。特别是对于刚架、桁架和曲杆等变形复杂的超静定结构，一般方法根本无法完成。工程上通常采用能量原理完成结构和构件的变形分析。

材料力学能量方法

例4.4 已知: F, R, EI
求: BV
解: 1. 写 M (x) 并对F 求偏导
F B R F1
A : M ( ) = - FRsin M/F = - Rsin 2. 求 BV M ( ) M 1 /2 BV = EI F Rd = EI 0 (-FRsin )(-Rsin ) Rd
上式适用于线性和非线性弹性或非弹性杆件或杆系。对于线弹性杆或杆系:
FN(x)dx d = EA T(x)dx d = GI t My(x)dx dy = E I y Mz(x)dx dz = E I z
0 FN(x)FN(x) T 0(x)T(x) My0(x)My(x) Mz0(x)Mz(x) dx + G I dx + dx + dx = EA E Iy E Iz l t
l
M 2(x) dx 2 EI
非圆截面杆:
2 FN(x) dx T 2(x) dx M 2(x) dx M 2(x) dx y z V = + + + l 2 EA l 2 GIt l 2 EI y l 2 EI z

功能原理：
W = V
例4.1 知: F , Me , EI , l
求: 外力做的总功 W 解: wB =
P B

B + P
R

1
B
16PR2 + 32PR2 ( 1 – 1 ) = Ed 4 Gd 4 4
例4.9 知:P , l , EI
(省竞赛试题)
y A
P B x l
求: 反向弯曲的挠曲线方程解: 由图乘法求力作用点挠度: y = – {[a(Pab/l )/2](2ab/3l ) + + [b(Pab/l )/2](2ab/3l ) }/EI Pa2b2 = – 3EIl 令 a = x , b = l – x , 并反号, 得 y = Px2(l – 3EIl x)2

材料力学第13章1-能量法-变形能计算

DB EA sin 2
16
13-3 应变能的普遍表达式
❖基础知识
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方向的位移与该点的广义力成正比。
应变能只取决于受力变形的最终状态，因此可采用便于计算的方式计算应变能。
对于双向弯曲弯矩沿形心主轴分解dxeidxeidxei换成若杆件及杆系的变形是以弯曲变形为主的因轴力和剪力远小于弯矩对变形的影响故在计算这类杆件的变形时通常不计轴力和剪力的影响
1
本节重点—你准备好了吗？
• 1、简单变形的变形能计算； • 2、功能原理解决简单题目； • 3、互等定理的理解及应用。
第十三章能量法
解： M( x) F x
F
Vε
M 2 (x) dx
l 2EI
A
l (Fx)2 dx F 2l3
0 2EI
6EI
W
1F 2
wB
由Vε=W 得
wB
Fl 3 3EI
B x l
11
例题2 试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面
的挠度.
解：
A
Vε
M 2( x)dx l 2EI
a 0
(
工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以求结构任一指定点的任意方向的位移，且求解过程简单。
能量法的特点
1．解题简单、适用性广； 2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性
问题；（只讨论线弹性问题） 3．可求解静定与超静定问题；
3、线弹性体（线弹性结构）
（1）材料服从胡克定律。（2）变形微小，各力的作用互不影响。

材料力学第8章-能量法1

能量法
第八章
一、杆件的应变能
能量法
二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理) 应变能普遍表达式(克拉贝隆原理) 三、卡氏定理四、互等定理五、虚功原理单位力法图乘法六、超静定问题力法七、冲击应力
能量法/基本概念能量法基本概念
求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法： 1、分析法/解析法分析法/
(1) k 由截面的几何形状决定: 由截面的几何形状决定: 矩形截面: 矩形截面:k = 1.2, , 圆截面: 圆截面: k = 10/9,圆环形截面:k = 2 ,圆环形截面: (2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲一般实心截面的细长梁: 一般实心截面的细长梁应变能，通常忽略不计。应变能，通常忽略不计。
平衡方程——静力平衡关系静力平衡关系平衡方程几何方程——变形几何关系变形几何关系几何方程变形物理方程——应力应变关系物理方程应力应变关系
2、能量法
利用应变能的概念，利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的应变能的概念方法。方法。在求解组合变形曲杆或杆系以及超静定问题时组合变形、以及超静定问题在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。
O B
2
δ
表明：弹性体的应变能是一个状态量，表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位状态量移的最终值，与加载的过程无关。移的最终值，与加载的过程无关。
能量法/克拉贝隆原理能量法克拉贝隆原理
•应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理) 应变能的普遍表达式设在某弹性体上作用有外力 F1 , F2 ,L , Fn ，在支承约束下，在相应的力 F i方向产生的位移为 δ i ，(i =1,2,…,n)。。

材料力学第8章-能量法4

挠度为负值表示与单位集中力作用方向相反。
第八章能量法
六、超静定问题力法
能量法/超静定问题力法
1、超静定结构静不定次数静定基。一个结构,如果它的支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定, 就称为静定结构。
一个结构,如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定, 就称为超静定结构(内力超静定, 外力超静定)。
M
0 1
a2
-
MF
+
Fa 2
能量法/超静定问题力法
同时考虑1，2，3杆的轴力和AB梁的弯矩有：
1 1i 3 1liF N 0 E F iA N 0 iid ii lL AM B1 0 E M 1 0 dI x i 3 1F N E 0 i F A N 0 iili i L AM B1 0 E M 1 0 dIx
4、如果外力弯矩图不光滑，或者单位力的弯矩图是折线，则应分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也应分段应用图乘法。
能量法/虚功原理单位力法图乘法
例：如图简支梁受均布载荷作用，求跨中C点的挠度。
q
1
A
C
l2
B l2
A
C
l2
B
l2
C1
+
C2
ql2 8 解：先作出外力弯矩图。
+
5l 32
l4
要求跨中C点挠度，就在C点施加横向的单位集中力。然后作出单位集中力的弯矩图。
几何方程，得到补充方程； (4) 补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知
反力。
能量法/超静定问题力法
3、力法正则方程
求解思路和前面求解超静定结构变形的方法类似, 只是在求解静定基的变形时使用单位力法和图形互乘法。

南京工业大学材料力学、材料力学能量方法及应用

则任意时刻第i个力作用位置沿 F i 方向的位移为
i t C i 1 F 1 t C i 2 F 2 t C i F n t n C i 1 F 1 C i 2 F 2 C i F n n i
给β一个增量d β ，外力做元功为
d W F 1 1 d F 2 2 d F n n d
对线弹性结构，应用应变能的概念，可以导出功的互等定理和位移的互等定理，在结构分析中有重要的作用。
一、功的互等定理
先作用第一组力F11 、 F12 、 F1n
引起各力作用位置沿力方向的位移分别为
Δ 1、 1Δ 1、 2 、 Δ 1 n
一、杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
V W
1 2
P
l
1 2
P
Pl EA
P2l FN2l 2EA 2EA
FN或A变化时
V
l
FN2 (x) 2 EA( x)
dx
P
l l
P
2、扭转
m
m
V W 1 m 1mml m2l T2l
2
2 GIp 2GIp 2GIp
当T=T(x)或截面变化
A=A(x)时，可取微段：
EA
F-----广义力 Δ-----广义位移
FFN 轴力
扭转： Tl
GPI
弯曲： Ml
EzI
FT 扭矩
FM 弯矩
二、应变能的普遍表达式
对于多个载荷共同作用时，应变能的计算公式仍可用外
V U
1 2
n i 1
F i i
多个载荷共同作用时，结构的应变能等于各载荷在相应位移（载荷作用点处沿载荷作用方向的位移）上所作功
V l2 F E N 2((x x A ))dxl2 M E 2((x xI))dxl2 T G 2(P x ()x I)dx

材料力学第10章能量法

材料力学第10章能量法在材料力学这门学科中，能量法是一种重要的分析方法。

它可以帮助我们计算杆件受力、弯曲、扭转等方面的机械能量，以及计算受力杆件的变形和应力分布等方面的物理能量。

本文将对材料力学第10章中的能量法做一简要介绍和讲解。

第一节：能量法的基本概念能量法的基本概念是物理学中的能量守恒定律。

根据能量守恒定律，能量可以被转化为其他形式，但总能量守恒不变。

在材料力学中，能量法通过分析杆件的受力变形过程，计算机械能、变形能和应变能等不同形式的能量，来求解某些物理量，如杆件的应力、变形等。

第二节：能量法的应用能量法可以应用在杆件的弯曲、扭转、受力等方面。

其中，弯曲问题是最为常见的。

在弯曲分析中，我们需要计算杆件上各点的剪力和弯矩，使用能量法时，我们可以采用双曲线弧长法和曲率半径法来计算。

在扭转分析中，我们需要计算杆件上各点的切向力和扭矩，使用能量法时，我们可采用扭转角度法和扭转能的变化法来计算。

在受力分析中，我们需要计算杆件上各点的应力和应变，使用能量法时，我们可以用弹性能和破裂能来计算杆件的应力和应变等物理量。

第三节：能量法的计算过程在应用能量法进行分析时，需要进行以下步骤：1. 建立受力变形模型：根据杆件的几何形状和受力情况建立受力变形模型，确定受力分布和变形情况。

2. 确定杆件的位移和应变能量：计算杆件受力变形后的弹性能、变形能等物理能量。

3. 利用能量守恒定律：将机械能、弹性能、变形能和应变能等能量之和等于零，根据能量守恒定律和受力变形模型，求解杆件的位移、应力和应变等物理量。

4. 对解得的结果进行有效检验：通过检查应力、应变等物理量的分布情况，对解得的结果进行有效检验。

总而言之，能量法是材料力学分析领域中非常重要的分析方法。

它广泛应用于工程设计、科研和生产实践等领域。

通过掌握能量法的理论基础和实际应用方法，可以有效地分析和解决杆件受力、弯曲、扭转等方面的技术问题，推动材料力学学科的发展进步。

能量法

L
M ( x ) M ( x ) dx EI Pi
（不仅适用于直木杆，对横截面高度远小于轴线半径的平面曲杆也适用）
n N j l j N j U （桁架结构）拉(压) i Pi j 1 EAj Pi
扭转
T ( x ) T ( x ) i (弧度) dx L GI Pi P
例3.求图示刚架A截面的水平位移和转角。
解：（一）求 f A水平 1. 附加Pf 2. 计算外力 3. 列弯矩方程
一般情形下的应变比能
1) 微元应变能(Strain Energy)
2
1dydz ~ 1dx
1
dy
2dxdz ~ 2dy
3
dx
dz
3dydx ~ 3dz
1 dW= 1dydz 1dx 2 1 2dxdz 2dy 2 1 3dxdy 3dz 2 1 11 2 2 3 3 dxdydz 2
AB: M(x1) = - MB
M ( x1 ) 0 P M ( x1 ) 1 M B
CA: M(x2) = - MB - P(x2 - L/2)
M ( x2 ) L ( x2 ) P 2 M ( x2 ) 1 M B U 2.求 f A : f A P L L M ( x ) M ( x ) M ( x1 ) M ( x1 ) 2 2 2 dx2 dx1 L 0 EI P EI P 2 3 PL ( ) 6 EI
先作用ΔPi ，后作用{Pk|k=1,...,n} ；由功的互等定理，得：
P 1 P2 2 ... P i ... Pn n P i 1 i i

杆件的应变能

m
在弹性体内的应变能 V 。
l
杆件的应变能
梁弯曲后轴线成为一段圆弧，其曲率为
κ1M ρ EI
（b）
它所对应的圆心角为
m
m
θl Mlml ρ EI EI
l
杆件的应变能
与 m 成直线关系如图
外力偶所作的功为
W 1 m
m
2
从而纯弯曲时梁弯曲应变能为
m
Vε
1mθ1Mθ 22
θ θ
杆件的应变能
Vε
1mθ1Mθ
2FNΔl
l FNl Fl EA EA
V 2 FE N2lA 杆2F 件E 的2l应A 变能E 2l A l2
应变能比密度（比能）：单位体积的应变能。记作vFra bibliotekV V
1Fl 2
Al
1
2
E
v
1εσ2
Eε2
2 2E 2
杆件的应变能
（单位 J/m3)
三、等直圆轴在扭转时的应变能
纯剪切应力状态下的比能假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下
wA
Pl3
3EI
()
杆件的应变能
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如图所示,试求此梁内积蓄的弯曲应变能Vε并利用功能原理
求 A 端的挠度 wA。解 : 任一横截面上的弯矩为 f A
M(x) = P x 梁内的应变能为
A
B
x
P
22
23
l
Px Px V 0
dx
2EI
6EI
l
荷载 P 作功为
W
1 2
P
wA
杆件的应变能

能量法求杆件变形

U
l
M 2 (x) dx
2E I
a
Pb l
x1
2
0 2EI
dx1
b
0
Pa l x2 2E I
2
dx2
P2b2 2EI l 2
a3 3
P2a2 2EI l 2
b3 3
P2a2b2 6EI l
W
1 2
P vC
由U W，得：
vC
Pa 2b2 3EI l
例3：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知 EI 为常量。
B
l
M(x) M 0(x) dx
EI
l 0
Px E I dx
Pl 2 2 EI
例6：计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 ΔAB 。EI=常数。
CL12TU12
解： M () PR(1 cos) M 0 () R(1 cos)
AB
2
0
M () M 0 ()
EI
0 EI
3 PR3 PR3
2GI p 2EI
R
(2) T() PR(1 cos) , M() PR sin
T 0 ( ) cos
, M 0 ( ) sin
Ax
l
T()T 0 () Rd
GIp
l
M () M 0 () Rd
EI
R
(3) T() PR(1 cos) , M() PR sin
(
x
)
1
l
dx
EEI I
dx
l
M(x) M 0(x) dx
莫尔定理
l
EI
（莫尔积分）