含参不等式恒成立问题的解法PPT课件
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含参不等式恒成立问题的解法
-2a+4的值恒为正数，则x的取值范围是( )
x
例2、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 .
实数k的取值范围是 。 当t∈[0,1]时，不等式xt>x-1恒成立，求x的取值范围.
—————————— 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的条件为：
ax2+bx+c<0在R上恒成立的等价条件是：
a=b=0 或 a<0 __C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
３、ａ≥f(x)恒成立的等价条件是：__ａ__≥_[f_(_x_)_] _m_ax__; ａ≤f(x)恒成立的等价条件是：__ａ__≤__[f_(_x_)]_m_i_n _。
成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m[-2,2]）
g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
<
x
<1
13 2
∴
x
x
例2、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 .
实数k的取值范围是 。 当t∈[0,1]时，不等式xt>x-1恒成立，求x的取值范围.
—————————— 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的条件为：
ax2+bx+c<0在R上恒成立的等价条件是：
a=b=0 或 a<0 __C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
３、ａ≥f(x)恒成立的等价条件是：__ａ__≥_[f_(_x_)_] _m_ax__; ａ≤f(x)恒成立的等价条件是：__ａ__≤__[f_(_x_)]_m_i_n _。
成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m[-2,2]）
g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
<
x
<1
13 2
∴
x
含参不等式恒成立问题
变式: 恒成立, 的范围. 变式:不等式 x 2 + xp + 1 > p 2 x 对 x ∈ (1, +∞ ) 恒成立,求 p的范围. f ( x ) = x2 + ( p + 2) x + 1 p > 0 对 解:原不等式可转化为 ⅰ)当 ⅰ)当 = ( p + 2 ) 4 (1 p ) < 0时,即8 < p < 0 时,对一切
2
x ∈ (1, +∞ ) 恒成立
f ( x ) > 0恒成立; 恒成立;
2
ⅱ)当 = ( p + 2 ) 4 (1 p ) ≥ 0 时由图可得以下充要条件: 时由图可得以下充要条件: y
≥ 0 f (1) ≥ 0 得 p+2 ≤ 1, 2
p≥0
o 1 x
综合可得 p 的取值范围为( 8, +∞ ) . 结论4:二次函数型在指定区间上的恒成立问题, 结论 :二次函数型在指定区间上的恒成立问题,可以利用根的 分布求解. 分布求解.
.
wk.baidu.com
恒成立, 的范围. 例2:若 p ≤ 2 , x 2 + xp + 1 > p 2 x 恒成立,求 x 的范围. 例3:不等式 x 2 + xp + 1 > p 2 x 对 x ∈ R 恒成立,求 p 的范围. 恒成立, 的范围.
2015-2016高中数学 3.2含参不等式课件 新人教A版必修5.
2时， ( x 2) 0 x 2
2
2时， x a或 x 2 当 a 2时， x 2或 x a
综上：当 a 2时，原不等式的解集是{x x 2}
当a 2时，原不等式的解集是 x x a或x 2 当a 2时，原不等式的解集是 x x 2或x a
（2）原不等式 ( x a )( x 2a ) 0 当 a 0时，原不等式的解集是
来自百度文库
当a 0时，原不等式的解集是 x a x 2a 当a 0时，原不等式的解集是 x | 2a x a
2 ( a 1) x ax 1 0 对于任意 x 恒成立， 2、不等式
若 a R ,你会解此不等式吗？
例 3、不等式 (a 1) x
2
(a 1) x 1 0 对于任意 x 恒成立，
求实数 a 的取值范围。 解：当 a 1 时，不等式为 1 0 恒成立，
a 1 0 3 a 1 当 a 1 时，依题意得 2 (a 1) 4(a 1) 0
2
3
1 c _____. 为{x|- 2< x< 1}, 则 a ___, -2
4、判别下列问题正误,并说明理由。
2 a （1）不等式 ( x 1) 0 与 x 1 0 同解
“恒成立”问题的解法 通用精品课件
友情提醒：
关于“恒成立”问题的策略还有很多，对于某 些“恒成立”题目，不一定用一种方法，还可用多种 方法去处理。这就要求我们养成良好的数学思维，有 良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力， 使所见到的“恒成立”问题更有效地解决。
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
所以 f (x)max f (1) 5 ，∴ m 5 .
3.变变换换主主元元法
处理含参不等式恒成立的某些 问题时，若能适时的把主元变量和 参数变量进行“换位”思考，往往 会使问题降次、简化。
3. 变换主元法：
一元二次含参不等式的解法ppt课件
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
例 3、解不等式：mx2 -2x+1>0
解：∵Δ=4-4m=4(1-m)
∴当 m<0 时,Δ>ห้องสมุดไป่ตู้,此时
1 1m
1 1m
x1
m
x2
f()<0 f()<0
α
o
βx
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
二、二次函数型
（1） 若二次函数 y ax2 bx c (a 0, x R) 的函数值大于 0 恒成立，则
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
一、一次函数型
１、f(x)=ax+b,x[α,β]，根据函数的图象（线段）得 ：
f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立＜ ＞ y
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
第30集含参绝对值不等式恒成立问题
第30集含参绝对值不等式恒成立问题
绝对值不等式是不等式的补充和深化，属于选考内容，高考单独命题，常考查绝对值不等式的解法和性质的应用，难度中档。
解答含参绝对值不等式时，常常采用分类讨论法和分离参数法。分类讨论法，将绝对值不等式转化为分段函数问题来解决，而分离参数法，转化为新函数的最值或值域问题来解决。在研究恒成立问题时，常常数形结合，利用几何意义可以直观解题。
一·绝对值不等式的解法
1·零点分段法：
①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；
②把这些根按从小到大排列，它们把数轴分成若干个区间；
③在所分区间上，根据绝对值的定义去点绝对值符号，讨论所得不等式在这个区间上的解集；
④这些解集的并集就是原不等式的解集。
2·绝对值三角不等式：
二·高考试题剖析
【评注】
本题就是绝对值不等式恒成立问题的典型，将不等式左端视为新函数，求出该函数的最大值，然后转化为一元二次不等式的解法。法1利用零点分段法，思路清晰，作出图象，直观明了；法2利用绝对值三角不等式，简洁迅速，二者殊途同归。在小题中，提倡用法2，节约时间。
【评注】
恒成立的对立面就是无解，要使原不等式无解，只需右端比左端的最小值还小即可。于是本题转化为左端函数的最小值问题，所用方法与例题1一致。
【评注】
本题中，应用零点分段法没有什么可说的，值得注意的是法2，对于变量系数不相同时，怎么拆分利用绝对值三角不等式，这是很多人都面临的困难，本题给出了答案。
一元二次不等式的解法(含参不等式 恒成立问题及根的分布)
f (k1 ) 0
f
(k2 )
0
A
16
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题 1.已知方程 x2 2mx m 12 0 .
变式训练3
(1)若方程有两个不等实根,求 m 的取值范围; (2)若方程中一个根比 1 大,另一个根比 1 小,求 m 的取值范围; (3)若方程中的两根均大于 1,求实数 m 的取值范围.
A
12
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题 归纳小结
借助图像“四看”： “一看”： 开口方向 “二看”： 判别式的正负 “三看”： 对称轴的位置 “四看”： 区间端点值的正负
A
13
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分
两布个正根
两个负根 一正根 一 正 一 负 ， 且
一负根 负的绝对值大
∴方程 ax2bx20的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
由韦达定理得
1 2
1 3
b a
,
(
1 ) (1) 23
2 a
,
得
a
ห้องสมุดไป่ตู้
b
12, 2.
ab10.
A
20
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2bx20的解集为
高考数学复习优质课件：含参不等式恒成立问题新人教版.pptx
x 2a (极大值点)，x 2a (极小值点)；
3
3
由于x [1,2], 对极大值点进行分类，
（i）当
2Biblioteka Baidu 3
1,即0 a
3 2
时， f min
(
x)
f (1)
2 2a 0, 得0 a 1;
（ii）当1
2a 3
2,即
3 2
a
6时，fmin ( x)
f(
2a ) 3
4a 2a 1 0, 得a 3 3 2 , 故a不存在;
思路2、通过分离变量，b 10 ( a x) x
或a x2 (10 b)x
思路3、通过变更主元， (a) 1 a x b 10, a [1 ,2]
x
2
归纳
化归最值 分离变量 变更主元
实质
通过构造 函数，化归 到函数的 性质（最值） 或图像解决
思考：（2010年绍兴市一模数学试卷 理第17题改编） 在区间[t, t 1]上满足不等式 | x3 3 x 1 | 1恒成立，
(2)对任意x1 [1,2]，x2 [2,4], 都有f ( x1 ) g( x2 )恒成立，求实数 a的取值范围.
例题3、已知函数h( x) a x b, 对任意a [ 1 ,2],
x
2
都有h( x) 10在x [1 ,1]恒成立， 4
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美课件
及t[-1，1] 恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，
请说明理由。 *
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
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2.作y=x-1的图像，把y＜0的部分以x轴为对 称轴翻上去，可以得到一个v字，最低点是 (1,0)， y=x-a图像最低点就是(a，0)，画最低点在x 轴上的V字，让两个函数叠加后大于2 可得当最低点在(1,0)右边时，得到a＞3时 成立
1 x
)min =b+1
(x=1时取得)
……（*）
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
又 a>0
∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
∴
x ∈[0,1]时原式恒成立*的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
请说明理由。 *
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
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2.作y=x-1的图像，把y＜0的部分以x轴为对 称轴翻上去，可以得到一个v字，最低点是 (1,0)， y=x-a图像最低点就是(a，0)，画最低点在x 轴上的V字，让两个函数叠加后大于2 可得当最低点在(1,0)右边时，得到a＞3时 成立
1 x
)min =b+1
(x=1时取得)
……（*）
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
又 a>0
∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
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∴
x ∈[0,1]时原式恒成立*的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
含参一元二次不等式解法及简单恒成立
[解]
原不等式等价于 mx2＋mx＋m－1＜0，对 x∈R 恒成立，
当 m＝0 时，0· x2＋0· x－1＜0 对 x∈R 恒成立．当 m≠0 时，由题意，
m＜0， 得 2 Δ＝m －4mm－1＜0 m＜0， ⇔ 2 3m －4m＞0
m＜0， ⇔ 4 ⇔ m＜0，或m＞3
1 时，x|x＜－a或x＞1，
[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点时，才满足题意，
则其相应方程 x2＋2(a－2)＋4＝0 此时应满足 Δ＜0，即 4(a－2)2－ 16＜0，解得 0＜a＜4.故 a 的取值范围是{a|0＜a＜4}．
变式1、是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒 成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．
[解] 若对任意，x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，则满足题意
的函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所 示．由图象可知，此时a应该满足 f－3＜0， f1＜0， －3＜2－a＜1，
25－6a＜0， 即1＋2a＜0， 1＜a＜5，
高中数学导数及应用-不等式恒成立问题课件
时，f (x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。
解：f (x) g(x) x ln x a(x2 1) ,令h(x) x ln x a(x2 1) x 1
(x 1),则h'(x) ln x 1 2ax, h''(x) 1 2a 1 2ax ,
x
x
1若a 0,则h''(x) 0, h'(x)在1， 上单调递增，
求实数m的最大值。
总结：
例2、已知函数f (x) x2 ，g(x) ln x, 2e
证明：f (x) g(x)。
总结：
综合练习：
已知函数f (x) x2 a x sinx,若x 0时，f (x) 0 2
恒成立，求实数a的取值范围。
变式练习：
已知函数f (x) ln x a(x 1), g(x) ln x ,当x 1 x 1
（2）切点的三个作用：①求切线斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上。
类型二：利用导数研究函数的单调性 (1)求函数的单调区间
方法:判断导函数的符号 步骤：①求函数定义域；
②求函数的导函数； ③解不等式f '(x) 0 (或 f '(x) 0)，求出 递增区间(或递减区间)。
注意：求单调区间前先求定义域（定义域优 先原则）；单调区间是局部概念，故不能用“∪” 连接，只能用“，”或“和”。
解：f (x) g(x) x ln x a(x2 1) ,令h(x) x ln x a(x2 1) x 1
(x 1),则h'(x) ln x 1 2ax, h''(x) 1 2a 1 2ax ,
x
x
1若a 0,则h''(x) 0, h'(x)在1， 上单调递增，
求实数m的最大值。
总结：
例2、已知函数f (x) x2 ，g(x) ln x, 2e
证明：f (x) g(x)。
总结：
综合练习：
已知函数f (x) x2 a x sinx,若x 0时，f (x) 0 2
恒成立，求实数a的取值范围。
变式练习：
已知函数f (x) ln x a(x 1), g(x) ln x ,当x 1 x 1
（2）切点的三个作用：①求切线斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上。
类型二：利用导数研究函数的单调性 (1)求函数的单调区间
方法:判断导函数的符号 步骤：①求函数定义域；
②求函数的导函数； ③解不等式f '(x) 0 (或 f '(x) 0)，求出 递增区间(或递减区间)。
注意：求单调区间前先求定义域（定义域优 先原则）；单调区间是局部概念，故不能用“∪” 连接，只能用“，”或“和”。
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax
分析：本题二次项系数含有参数，()044222
>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵()044222
>+=-+=∆a a a
解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a
a a x 24
222++--=
∴当0>a 时,解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或
当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>
21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22
例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax
分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2
>--=+-x x a x x a
∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；
例3 解不等式042
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题
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含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元
二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax
分析：本题二次项系数含有参数，()044222
>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵()044222
>+=-+=∆a a a
解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a
a a x 24
222++--=
∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或
当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
>
21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22
例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax
分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a
∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x
2021届高三二轮复习微专题课件——不等式恒成立或有解问题(共37张PPT)
INNOVATIVE DESIGN
微课二 不等式恒成立或有解问题
内 容
1
///////
题型分类突破
索
2
///////
题型跟踪训练
引
1
题型分类突破
题型一 分离法求参数的取值范围 【例1】(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； 解 当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，x∈R， f′(x)＝ex＋2x－1. 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.
在区间(1，e]上，g′(x)>0，函数g(x)为增函数.
由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4， 所以实数a的取值范围是(－∞，4].
索引
感悟升华
根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，如f(x)≥a 恒成立，则f(x)min≥a，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数 范围.
索引
【例 1】(2)当 x≥0 时，f(x)≥12x3＋1，求 a 的取值范围. 解 由 f(x)≥12x3＋1 得，ex＋ax2－x≥12x3＋1，其中 x≥0， ①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a∈R. ②当 x>0 时，分离参数 a，得 a≥－ex－21xx3－2 x－1， 记 g(x)＝－ex－12xx3－2 x－1， g′(x)＝－（x－2）exx－3 12x2－x－1.
微课二 不等式恒成立或有解问题
内 容
1
///////
题型分类突破
索
2
///////
题型跟踪训练
引
1
题型分类突破
题型一 分离法求参数的取值范围 【例1】(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； 解 当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，x∈R， f′(x)＝ex＋2x－1. 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.
在区间(1，e]上，g′(x)>0，函数g(x)为增函数.
由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4， 所以实数a的取值范围是(－∞，4].
索引
感悟升华
根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，如f(x)≥a 恒成立，则f(x)min≥a，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数 范围.
索引
【例 1】(2)当 x≥0 时，f(x)≥12x3＋1，求 a 的取值范围. 解 由 f(x)≥12x3＋1 得，ex＋ax2－x≥12x3＋1，其中 x≥0， ①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a∈R. ②当 x>0 时，分离参数 a，得 a≥－ex－21xx3－2 x－1， 记 g(x)＝－ex－12xx3－2 x－1， g′(x)＝－（x－2）exx－3 12x2－x－1.
含参不等式恒成立问题的解法完美课件
*y=x2+2-３-３211y=kxy=2 xy=
*
小结: 3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。
k≥2
*小结: 练习2、k≥2含参不等式恒成立问题的解法PPT完美
*
又 令1+2t=m（m > 1），则
*例3、若不等式x +2 ≤a(x+y)对一切
所以a的范围是 [2, 正无穷﹚
*1.由函数图象可知，当x∈(0,1)时x^2是单调增函数，
*
4.（1）求导得f'(x)=-2x²+2ax+4/(x²+2）²
由题意f'（x）≥0在x∈[-1,1]上恒成立
即不等式x²-ax-2≤0恒成立.因此-a-1≤0且a-1≤0
因此a∈[-1,1]，所以集合A=[-1,1]
*一、基础知识点：αβoxyf()>0f()<0
*
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是： ______________________。
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是： ______________________。
３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。
*
小结: 3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。
k≥2
*小结: 练习2、k≥2含参不等式恒成立问题的解法PPT完美
*
又 令1+2t=m（m > 1），则
*例3、若不等式x +2 ≤a(x+y)对一切
所以a的范围是 [2, 正无穷﹚
*1.由函数图象可知，当x∈(0,1)时x^2是单调增函数，
*
4.（1）求导得f'(x)=-2x²+2ax+4/(x²+2）²
由题意f'（x）≥0在x∈[-1,1]上恒成立
即不等式x²-ax-2≤0恒成立.因此-a-1≤0且a-1≤0
因此a∈[-1,1]，所以集合A=[-1,1]
*一、基础知识点：αβoxyf()>0f()<0
*
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是： ______________________。
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是： ______________________。
３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。
含参一元二次不等式的解法
对应方程根的大小，若x1,x2分别是方程ax2+bx+c=0的两根，一般分为x1>x2, x1=x2 , x1<x2 进行讨论.
若某级已确定，可直接进入下一级讨论.
题型二
恒成立问题
例2 已知关于x下列不等式： (a-2)x2 + (a-2)x +1 恒为非负 ≥0 对任意 x∈ R都成立 ≥0 恒成立， 的解集为 R 试求a的取值范围. 解：令y=(a-2)x2 + (a-2)x +1,
2
的定义域为R，则实数k的取值 范围是 [0,1] .
题型二
恒成立问题
优化设计P64 变式2
课后作业
1.优化设计课时训练P21
课后拓展
思考题1.不等式(a＋1)x2＋ax＋a＞m(x2＋x＋1)对任意x恒成立 ，试比较a与m的大小． 2.已知函数y＝x2＋2(a－2)x-8，对∀a∈[－3,1]，y＜0恒成立， 则求x的取值范围。
解: ①当 a2－ 1＝0 时，a＝1 或－1. 若 a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立． 1 若 a＝－1， 则原不等式为 2x －1＜0 即 x ＜ 不合题意， 2
舍去． ②当 a2－1≠ 0 时， 即 a≠±1 时，原不等式的解集为 R a2－1＜0 3 的条件是 ，解得－ ＜a＜1. Δ ＝ [－ a－1 ]2＋4 a2－1 ＜0 5
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当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为：(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得:
1<m<
3 2
综20上20年可10月知2日: 适合条件的m的范围是:
练习1:
对于一切 |p| ≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p 恒成立，则实数x的取值范围是： —x—<—-—1—或—x—>—3——。
2020年10月2日
6
例取2值、范①围若不是等—16式1—x—≤2—a<—l＜o—1g—ax—对。x（0,12 ）恒成立，则实数a的 ②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k
2020年10月2日
1
一、基础知识点：
１、f(x)=ax+b,x [α,β]，则：
f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立＜ ＞ y
f()<0 f()<0
α
o
βx
2020年10月2日
2
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 __C_>_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
2020年10月2日
9
例3、若不等式x +2 xy ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成
立解，: 分则令离实参数数xya得的t:取（a值t ≥>范0x）围,x是则2—a—yx≥——y11——2t 2—t1—（1—t。2> 0xy）xy
恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
1 x
)min =b+1
(x=1时取得)
……（*）
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
又 a>0
∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
-1≤ax-bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx
-
1 x
≤a ≤
1x+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x≥
2
b(x=
1时取等号
b
)
又
bx
wenku.baidu.com
-
1 x
在(0,1]上递增
∴
( bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: b-1≤a≤2 b
-11<m
<
3 2
。
4
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m[-2,2]）
m242mm5
4 (mm5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a 2020年10月2日 ≥ [f (x)] max=
5 2
1
即a
≥
5 1 2
10
小结： 4、 通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)
（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使 问题获解。
2020年10月2日
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
b 2020∴年10x月2∈日 [0,1]时原式恒成立的充要条件为: b-1≤a≤2 13
(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
由图易得: -2 2 <k<2 2
2020年10月2日
2
-３ - 2 0 2 ３
x
y= - 2 2 x8
小结:
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数
图象的关系再处理。
练习2、
若 x ≤ kx-1 对x [1,+ ) 恒成立，则实数k的取值范
围是：__k_≥__2________。
11
例４、已知a>0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b>1，证明对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是:
b-1≤a≤2 b；
（2）当0<b≤1，讨论：对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。
2020年10月2日
12
解:(1) b>1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1
g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
< x <1 213
∴
x
（
1 13 2
，1
13 2
）
2020年10月2日
5
小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
值范围是 ————————————。
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
取值范围是 —-—2—2——<k—<—2——2— 。
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
设 y1= x2+2 (x[-3,3])
y2= kx
y y=x2+2
11
y=2 2 x
y=kx
在同一坐标系下作它们的图 象如右图:
的取值范围是
——————————
。
y
①解：设
y1= x2
(x
(0,
1 2
))
y2= logax
在同一坐标系下作它们
y=x2 1
的图象如右图:
4
x
由图易得:
0
1 2
1 y=log 1 x
16
161 ≤a 2020年10月2日 ＜1
7
例2、①若不等式x2 <logax对x（0,12 ）恒成立，则实数a的取
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a<0 __C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≥_[f_(_x_)]_m_a_x __; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≤__[f_(_x)_]_m_in__。
2020年10月2日
3
二、典型例题：
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为：(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得:
1<m<
3 2
综20上20年可10月知2日: 适合条件的m的范围是:
练习1:
对于一切 |p| ≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p 恒成立，则实数x的取值范围是： —x—<—-—1—或—x—>—3——。
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例取2值、范①围若不是等—16式1—x—≤2—a<—l＜o—1g—ax—对。x（0,12 ）恒成立，则实数a的 ②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k
2020年10月2日
1
一、基础知识点：
１、f(x)=ax+b,x [α,β]，则：
f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立＜ ＞ y
f()<0 f()<0
α
o
βx
2020年10月2日
2
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 __C_>_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
2020年10月2日
9
例3、若不等式x +2 xy ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成
立解，: 分则令离实参数数xya得的t:取（a值t ≥>范0x）围,x是则2—a—yx≥——y11——2t 2—t1—（1—t。2> 0xy）xy
恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
1 x
)min =b+1
(x=1时取得)
……（*）
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
又 a>0
∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
-1≤ax-bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx
-
1 x
≤a ≤
1x+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x≥
2
b(x=
1时取等号
b
)
又
bx
wenku.baidu.com
-
1 x
在(0,1]上递增
∴
( bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: b-1≤a≤2 b
-11<m
<
3 2
。
4
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m[-2,2]）
m242mm5
4 (mm5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a 2020年10月2日 ≥ [f (x)] max=
5 2
1
即a
≥
5 1 2
10
小结： 4、 通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)
（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使 问题获解。
2020年10月2日
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
b 2020∴年10x月2∈日 [0,1]时原式恒成立的充要条件为: b-1≤a≤2 13
(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
由图易得: -2 2 <k<2 2
2020年10月2日
2
-３ - 2 0 2 ３
x
y= - 2 2 x8
小结:
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数
图象的关系再处理。
练习2、
若 x ≤ kx-1 对x [1,+ ) 恒成立，则实数k的取值范
围是：__k_≥__2________。
11
例４、已知a>0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b>1，证明对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是:
b-1≤a≤2 b；
（2）当0<b≤1，讨论：对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。
2020年10月2日
12
解:(1) b>1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1
g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
< x <1 213
∴
x
（
1 13 2
，1
13 2
）
2020年10月2日
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小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
值范围是 ————————————。
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
取值范围是 —-—2—2——<k—<—2——2— 。
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
设 y1= x2+2 (x[-3,3])
y2= kx
y y=x2+2
11
y=2 2 x
y=kx
在同一坐标系下作它们的图 象如右图:
的取值范围是
——————————
。
y
①解：设
y1= x2
(x
(0,
1 2
))
y2= logax
在同一坐标系下作它们
y=x2 1
的图象如右图:
4
x
由图易得:
0
1 2
1 y=log 1 x
16
161 ≤a 2020年10月2日 ＜1
7
例2、①若不等式x2 <logax对x（0,12 ）恒成立，则实数a的取
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a<0 __C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≥_[f_(_x_)]_m_a_x __; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≤__[f_(_x)_]_m_in__。
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二、典型例题：
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；