近几年高考试题汇编集合与常用逻辑用语
专题01 集合与常用逻辑用语专项高考真题总汇(带答案与解析)
专题01集合与常用逻辑用语1．【2021·浙江高考真题】设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B = （）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D【解析】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤< .故选：D.2．【2021·全国高考真题】设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .3．【2021·全国高考真题（理）】设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.4．【2021·全国高考真题（理）】已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.5．【2021·浙江高考真题】已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b =，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件故选：B.6．【2021·全国高考真题（理）】已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【解析】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．7．【2021·全国高考真题（理）】等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．8．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B = ðA ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =- ð.故选A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.10．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选C ．【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.11．【2020年高考天津】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩ðA ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知{}2,1,1U B =--ð，则(){}U 1,1A B =- ð.故选C ．【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.12．【2020年高考北京】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选D ．【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C 【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U .故选C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P I Q =A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集定义求解.【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==I I .故选B.【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.17．【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.18．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<，则{|22}M N x x =-<< ．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分．19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞ ．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =- .故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.21．【2019年高考天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B = A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】因为{1,2}A C = ，所以(){1,2,3,4}A C B = .故选D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．22．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】∵{1,3}U A =-ð，∴(){1}U A B =- ð.故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.23．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.24．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件.故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围.25．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.26．【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC|”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.27．【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2A B =I .故答案为{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．28．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.29．【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = ▲.【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B = .【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷 第1题） 已知集合{2,1,0,1,2}M =--，2{|60}N x x x =--…，则M N ⋂=( ) A. {2,1,0,1}--B. {0,1,2}C. {2}-D. {2}2. （2023·新课标I 卷 第7题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列：乙：{}n sn为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3.（2023·新课标II 卷 第2题）设集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =( ) A. 2B. 1C.23D. 1-【2022年真题】4.（2022·新高考I 卷 第1题）若集合{4}M x =<，{|31}N x x =…，则M N ⋂=( ) A. {|02}x x <…B. 1{|2}3x x <…C. {|316}x x <…D. 1{|16}3x x <…5.（2022·新高考II 卷 第1题）已知集合{1,1,2,4}A =-，{||1|1}B x x =-…，则A B ⋂=( ) A. {1,2}-B. {1,2}C. {1,4}D. {1,4}-【2021年真题】6.（2021·新高考I 卷 第1题）设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B ⋂=( ) A. {2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3,4}7.（2021·新高考II 卷 第2题）设集合{1,2,3,4,5,6},U = {1,3,6},{2,3,4}A B ==，则()U A B ⋂=ð( ) A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}【2020年真题】8.（2020·新高考I 卷 第1题）设集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<，则A B ⋃=( ) A. {|23}x x <…B. {|23}x x 剟C. {|14}x x <…D. {|14}x x <<9.（2020·新高考II 卷 第2题）设集合{2,3,5,7}A =，{1,2,3,5,8}B =，则A B ⋂=( ) A. {1,3,5,7} B. {2,3} C. {2,3,5} D. {1,2,3,5,7,8}参考答案1.（2023·新课标I 卷 第1题）解：(,2][3,)N =-∞-⋃+∞，所以{2};M N ⋂=-故选.C 2. （2023·新课标I 卷 第7题） 解：方法1:为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+，111222n S n d da d n a n -=+=+-，112n n S S dn n +-=+， 故{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件，， 反之，{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t 即1(1)n nna S t n n +-=+，故1(1)n n S na t n n +=-⋅+故1(1)(1)n n S n a t n n -=--⋅-，2n …两式相减有：11(1)22n n n n n a na n a tn a a t ++=---⇒-=，对1n =也成立，故{}n a 为等差数列， 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选.C 方法2:因为甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为.d 即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，故{}n S n为等差数列，即甲是乙的充分条件． 反之，乙：{}n S n为等差数列.即11n n S S D n n +-=+，1(1).n SS n D n =+-即1(1).n S nS n n D =+-当2n …时，11(1)(1)(2).n S n S n n D -=-+-- 上两式相减得：112(1)n n n a S S S n D -=-=+-， 所以12(1).n a a n D =+-当1n =时，上式成立．又1112(2(1))2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数.所以{}n a 为等差数列． 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选C3.（2023·新课标II 卷 第2题）解：A B ⊆，则220a -=，1a =，{0,1}A =-，{1,1,0}B =-，满足，选.B 4.（2022·新高考I 卷 第1题）解：因为{|016}M x x =<…，1{|}3N x x =…， 故1{|16}.3M N x x ⋂=<… 5.（2022·新高考II 卷 第1题）解：方法一：通过解不等式可得集合{|02}B x x =剟，则{1,2}A B ⋂=，故B 正确. 法二：代入排除法.1x =-代入集合{||1|1}B x x =-…，可得|1||11|21x -=--=>，1x =-，不满足，排除A 、;4D x =代入集合{||1|1}B x x =-…，可得|1||41|31x -=-=>，4x =，不满足，排除 C ，故B 正确.6.（2021·新高考I 卷 第1题）解：因为集合{}{}24,2,3,4,5A x x B =-<<=，所以{2,3}.A B ⋂= 故选.B7.（2021·新高考II 卷 第2题） 解：由题设可得U {1,5,6}B =ð， 故U (){1,6}.A B ⋂=ð 故选.B8.（2020·新高考I 卷 第1题）解：因为集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<， ={|14}.A B x x ⋃<…故选.C9.（2020·新高考II 卷 第2题）解：因为集合A ，B 的公共元素为：2，3，5 故{2,3,5}.A B ⋂= 故选：.C。
2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)
2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要 条件的是 ( )
A.p:
集合与常用逻辑用语-知识梳理与典型题(非常全面)
集合与常见逻辑用语1．（2021·全国高考真题（理））设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B 【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2．（2021·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．一、集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B 或B ⊇A .(2)真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B交集所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B补集全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A二、充分条件与必要条件充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒pp 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p三、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M 中任意一个x ，有p (x )成立∀x ∈M ，p (x )∃x 0∈M ，∃p (x 0)特称命题存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ，∃p (x )1．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））下列命题中，真命题是（）A ．在ABC 中“AB >”是“sin sin A B >”的充分不必要条件B ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∀∈，20x <”C ．对任意x ∈R ，2x x e e -+≥D ．“若1x >，则0x >”的否命题是“若1x >，则0x ≤”2．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知集合{}220A x x x =-<，{}10B x x =-<，则A B = （）A ．{}12x x <<B ．{}21x x -<<C ．{}10x x -<<D ．{}01x x <<1．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设{}(,)A x y y kx ==，{}(,)21B x y y x ==-，则“11k -≤≤”是“A B ⋂≠∅”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知x 、y ∈R ，则“13x y +≤”是“2291x y +≤”的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．（2021·陕西西安市·高新一中高三二模（理））已知函数()log ,32,3a x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，则“函数()f x 在R 上单调递减”是“1a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2021·河南洛阳市·高二期末（理））使得0a b >>成立的一个充分不必要条件是（）A ．110b a>>B ．a b e e >C ．22a b >D ．ln ln 0a b >>6．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））设集合{}11A x x =-≤，{}20B x x a =-+<，若A B B ⋃=，则a 的取值范围为（）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞7．（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B = ，则实数a 的取值集合为（）A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．{}2,0,1-D ．{}2,1,0--8．（2021·全国高三月考）2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）是数列{}n a 满足：4n n a a +=()*∀∈N n 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件9．（2021·全国高三其他模拟（理））“2x <”是“162log xx ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021·千阳县中学高三其他模拟（理））已知命题:cos 0p α≠是2()k k Z απ≠∈的充要条件；命题:q 设随机变量~(0,1)N ξ，若32P m ξ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，则31022P m ξ⎛⎫-<<=- ⎪⎝⎭.那么下列命题是假命题的为（）A ．p q ∧B ．p q∨C ．()p q ⌝∧D ．()p q⌝∨1．（2018·北京高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+ ”是“a b ⊥r r”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,23．（2019·天津高考真题（理））设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2019·北京高考真题（理））设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +> ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2019·全国高考真题（理））设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)6．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<7．（2020·全国高考真题（理））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．68．（2020·全国高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（）A ．–4B ．–2C ．2D ．41．C 【分析】利用正弦定理、命题的否定和否命题的关系、基本不等式分别对选项A 、B 和D 、C 进行判断即可求解．【详解】解：对于A ：在ABC 中，当“A B >”时，则a b >，所以由正弦定理有“sin sin A B >”，当“sin sin A B >”时，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >，故a b >，所以“A B >”是“sin sin A B >”的充分必要条件，故A 错误；对于B ：命题“x R ∀∈，20x ”的否定是“0x R ∃∈，200x <”故B 错误；对于C ：对任意的x ∈R ，22x x x x e e e e --+≥⨯=（当且仅当0x =时等号成立），故C 正确；对于D ：“若1x >，则0x >”的否命题是“若1x ，则0x ”，故D 错误；故选：C ．2．D 【分析】解一元二次不等式220x x -<得{}02A x x =<<,进而根据集合运算求解即可.【详解】解一元二次不等式220x x -<得02x <<,故{}{}22002A x x x x x =-<=<<，由于{}{}101B x x x x =-<=<，所以{}01A B x x ⋂=<<.故选：D1．B根据A B ⋂≠∅，可知方程kx =1[,)2+∞有解，求出k 的范围，再根据充分条件和必要条件判断即可.【详解】因为A B ⋂≠∅，所以y kx =与y =kx =1[,)2+∞有解，所以k x ===01k ≤≤，故“11k -≤≤”是“01k ≤≤”的必要不充分条件.故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将A B ⋂≠∅转化为方程kx =在1[,)2+∞有解来处理，同时要注意x 的取值范围.2．A 【分析】根据B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a 的取值范围．【详解】解：B A ⊆ ，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1x a-，要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1x a-，要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅.3．A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的基本性质、特殊值法判断可得出合适的选项.【详解】充分性：若13x y +≤，则22229313x y x y x y ⋅⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+≤，所以，222319x y x y ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭+≤，充分性成立；必要性：取1x =，56y =，则22291369x y =<+，但7163x y =>+，必要性不成立.因此，“13x y +≤”是“2291x y +≤”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.4．A 【分析】根据函数()f x 在R 上单调递减求出实数a 的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】函数()f x 在R 上单调递减11323log 3a a a >⎧⇔⇔<≤⎨-≥-⎩，{}13a a <≤ {}1a a >，所以，“函数()f x 在R 上单调递减”是“1a >”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.5．D 【分析】根据不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，若110b a >>，则可以得到0a b >>；反之当0a b >>时也可以得到110b a >>，所以110b a>>是0a b >>的充分必要条件；故排除A ；B 选项，若a b e e >，则a b >，但不一定得出0a b >>，所以a b e e >不是0a b >>的充分不必要条件；故B 错；C 选项，当3,1a b ==-时，2291a b =>=，故22a b >推不出0a b >>，不是一个充分不必要条件，故排除C ；D 选项，由ln ln 0a b >>可得ln ln ln1a b >>，则1a b >>，能推出0a b >>，反之不能推出，所以ln ln 0a b >>是0a b >>的充分不必要条件；故D 正确.故选：D.【点睛】结论点睛：判定充分条件和必要条件时，一般可根据概念直接判定，有时也需要根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．6．A 【分析】先解出集合A ，根据A B B ⋃=,可知A B ⊆,构造关于a 的不等式组,解得a 的范围.【详解】{}{}11=02A x x x x =-≤≤≤，2a B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，由A B B ⋃=得A B ⊆，所以0a <.故选：A.【点睛】（1）A B B A B ⋃=⇔⊆，A B A A B ⋂=⇔⊆.（2）由B A ⊆求参数的范围容易漏掉=B ∅的情况．7．D【分析】先求出集合A ，由A B B = 得到B A ⊆，再分类讨论a 的值即可.【详解】{}{}22301,2A x N x x *=∈--<=，因为A B B = ，所以B A ⊆，当0a =时，集合{}20B x ax φ=+==，满足B A ⊆；当0a ≠时，集合{}220B x ax x a ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆，{}1,2A =得21a -=或22a-=，解得2a =-或1a =-，综上，实数a 的取值集合为{}2,1,0--.故选：D .【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略0a =时，集合B φ=满足B A ⊆，而错解.8．A【分析】由2+=n n a a c 可得4n n a a +=()*∀∈Nn 成立，反之举反例2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数可得必要性不成立；【详解】∵2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数），∴24++=n n a a c ()*∀∈Nn ，∴224+++=n n n n a a a a ()*∀∈N n ，∴4n n a a +=()*∀∈N n ，∴2+=n n a a c 是4n n a a +=的充分条件．若2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则4n n a a +=()*∀∈N n ，但2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）不成立，所以不是必要的．故选：A.【点睛】本题考查数列与简易逻辑知识的交会，求解时证明结论不成立，可举反例说明.9．B【分析】构造函数()16log 2x f x x -=-，分析该函数的定义域及单调性，解不等式()0f x <，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】构造函数()16log 2x f x x -=-，则函数()f x 为()0,∞+上的增函数，因为()2162log 220f -=-=，所以，当02x <<时，()()20f x f <=，当2x >时，()()20f x f >=，所以，满足162log x x ->的x 的取值范围是()0,2，因为{}2x x <{}02x x <<，因此，“2x <”是“162log x x ->”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.10．A【分析】先判断p 是假命题，q 是真命题，再根据复合命题判断即可.【详解】解：cos 02k πααπ≠⇒≠+ ，则2k απ≠不成立，反之，若2k παπ=+，满足2k απ≠，但cos 0α=，∴cos 0α≠是()2k k Z απ≠∈的既不充分也不必要条件，p ∴是假命题.根据正态分布的对称性得：3123121202222P m P m ξξ⎛⎫-≥ ⎪-⎛⎫⎝⎭-<<===- ⎪⎝⎭，q ∴是真命题，∴p q ∧为假命题，p q ∨，()p q ⌝∧，()p q ⌝∨均为真命题.故选:A.【点睛】本题考查正态分布，复合命题的真假判断，既不充分也不必要条件等，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据正态分布的对称性得q 是真命题，余弦函数的性质得p 是假命题，进而根据逻辑关系求解.1．C【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量,a b 均为单位向量所以|3||3|a b a b -=+ ⇔()()2233a b a b -=+ ⇔22226996a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ⇔169961a b a b -⋅+=+⋅+ ⇔0a b ⋅= ⇔a b⊥r r 所以“|3||3|a b a b -=+ ”是“a b ⊥r r”的充要条件故选：C【点睛】本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题.2．A【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】21,x ≤∴ 11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =- ，故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.3．B【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．4．C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC|⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.5．A【分析】先求出集合A ，再求出交集．【详解】由题意得，{}{}23,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．6．C【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7．C【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.8．B【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
高考数学一轮复习 集合与常用逻辑用语
有理数
数集
整数集
实数集 复数集
集
集
集
符号
3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果 a 是集合 A 中的元素，就说 a ________集合 A， 记作________；如果 a 不是集合 A 中的元素，
就说 a________集合 A，记作________．
(2)集合与集合之间的关系
自查自纠：
1．(1)元素 集合 (2)确定性 互异性 无序性
(3)列举法 描述法
2．N N*(N＋) Z Q R C 3．(1)属于 a∈A 不属于 a∉A
(2)A⊆B 且 B⊆A A⊆B B⊇A A B B A 非空集合 2n 2n－1 2n－2
4．A∪B A∩B ∁UA {x|x∈A 或 x∈B}
解：由 x2－x－2＞0 得(x－2)(x＋1)＞0，解得 x＜－ 1 或 x＞2，所以 A＝{x|x＜－1 或 x＞2}，所以∁RA＝{x|
－1≤x≤2}．故选 B.
(2017·全国卷Ⅱ)设集合 Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2
－4x＋m＝0}．若 Α∩Β＝{1}，则 Β＝( )
A．{1，－3}
a2－a＋1}，且 B⊆A，则 a 的值为________．
解：因为 B⊆A，所以 a2－a＋1∈A，所以 a2－a＋1 ＝3 或 a2－a＋1＝a.由 a2－a＋1＝3，得 a＝2 或 a＝－1； 由 a2－a＋1＝a，得 a＝1.经检验，a＝1 时集合 A，B 不满
足集合中元素的互异性，舍去．故 a＝－1 或 a＝2.故填－
2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念．
(2)了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆
五年高考真题分类汇编：集合与常用逻辑用语
五年高考真题分类汇编：集合与常用逻辑用语一. 选择题1.（2015四川高考，理1）设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）(){|13}A x x -<< (){|11}B x x -<< (){|12}C x x <<(){|23}D x x <<【解析】选A {|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<< ，选A.2.(2015广东高考，理1)若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = （ ）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4【解析】选A 因为()(){}{}|4104,1M x x x =++==--，()(){}{}|4101,4N x x x =--==，所以M N =∅ ，故选A ．3.( 2015新课标全国卷1，理3)设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【解析】选C p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.4.( 2015陕西高考，理1)设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A【解析】选A {}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N = ，故选A ．5.(2015湖北高考，理5)设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解析】A6.（2015天津高考，理4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】选A 2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,2202x x x +->⇔<-或1x >，所以 “21x -< ”是“220x x +-> ”的充分不必要条件，故选A.7.（2015重庆高考，理1）已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA【解析】选D 由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D .8.（2015福建高考，理1）若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ【解析】选C 由已知得{},1,,1A i i =--，故A B = {}1,1-，故选C ．9.(2015重庆高考，理4)“1x >”是“12log (2)0x +<”的（ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】选B 12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B .10.(2015全国卷新课标Ⅱ，理1)已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B = （ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【解析】选A 由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =- ，故选A ．11. （2015天津高考，理1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B = ð( )（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8【解析】选A {2,5,8}U B =ð,所以{2,5}U A B = ð，故选A.12.(2015安徽高考，理3)设:12,:21x p x q <<>，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件13.(2015山东高考，理1)已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则A B = （ ）（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4）【解析】选C .因为{}{}243013A x x x x x =-+<=<<， 所以{}{}{}132423A B x x x x x x =<<<<=<< .故选：C.14.(2015浙江高考，理4)命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【解析】选D 根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.15.(2015浙江高考，理1)已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q = ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]【解析】选C 由题意得，)2,0(=P C R ，∴()(1,2)R P Q = ð，故选C.16.（2015湖南高考，理2）.设A ，B 是两个集合，则“A B A = ”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C. 由题意得，A B A A B =⇒⊆ ，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选C.17.（2015新课标全国卷Ⅰ，文1）已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2【解析】选D18(2015重庆高考，文1)已知集合{1,2,3},B {1,3}A ==，则A B = （ ）(A) {2} (B) {1,2} (C) {1,3} (D) {1,2,3}【解析】选C 由已知及交集的定义得A B = {1,3}，故选C.19.（2015浙江高考，文3)设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】本题采用特殊值法：当3,1a b ==-时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =-=-时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的即不充分也不必要条件.故选D.20.(2015重庆高考，文2)“x 1=”是“2x 210x -+=”的（ ）(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“x 1= ”显然能推出“2x 210x -+=”，故条件是充分的，又由“2x 210x -+=”可得10)1(2=⇒=-x x ，所以条件也是必要的，故选A.21.(2015浙江高考，文1)已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P = （ ） A ．[)3,4 B ．(]2,3 C ．()1,2-D ．(]1,3-【答案】A【解析】由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q = ，故选A.22.(2015天津高考，文1)已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B =（）ð（ ）(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}【答案】B 【解析】{2,3,5}A =,{2,5}U B =ð,则{}A 2,5U B=（）ð,故选B. 23.(2015天津高考，文4)设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选A.24.(2015四川高考，文1)设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝( )(A ){x |－1＜x ＜3} (B ){x |－1＜x ＜1} (C ){x |1＜x ＜2} (D ){x |2＜x ＜3}【答案】A25.(2015山东高考，文1) 已知集合{}|{|24130}A x x B x x x =<<=--<，（)(），则A B ⋂= ( )（A ）1,3（） （B ）1,4（） （C ）（2,3（） （D ）2,4（）） 【答案】C【解析】因为|13B x x =<<｛｝,所以{|24}{|13}(2,3)A B x x x x ⋂=<<⋂<<=，故选C .26.(2015四川高考，文4)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( )(A )充要条件 (B )充分不必要条件(C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之当log 2a ＞log 2b ＞0成立时，a ＞b ＞1也正确.选A27.(2015陕西高考，文1)设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A【解析】由2{|}{0,1}M x x x M ==⇒=，{|lg 0}{|01}N x x N x x =≤⇒=<≤，所以[0,1]M N = ，故答案选A . 28.(2015安徽高考，文2)设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B = （ ）（A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 【答案】B【解析】∵{}6,5,1=B C U ，∴()U A C B = {}1，∴选B . 29.(2015广东高考，文1)若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N = （ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C【解析】{}1M N = ，故选C ．30.(2015山东高考，文5)设m R ∈,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( )（A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m >(B) 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤(C) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m >(D) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤【答案】D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D .31.(2015湖南高考，文3)设x ∈R ，则“x >1”是“2x >1”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题易知“x >1”可以推得“2x >1”， “2x >1”不一定得到“x >1”，所以“x >1”是“2x >1”的充分不必要条件，故选A.32.(2015福建高考，文2)若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1,2D {}0,1【答案】D【解析】由交集定义得{}0,1M N = ，故选D ．33.(2015湖北高考，文3)命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =- 【答案】C .【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C .34.(2015北京高考，文1)若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A B = （ ）A ．{}32x x -<<B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<<【答案】A【解析】在数轴上将集合A ，B 表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A B 为图中阴影部分，即{}32x x -<<，故选A.35.(2015安徽高考，文3)设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵3: x p ，31: x q -∴p q ⇒，但p ⇒/q ，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C .36.(2015湖南高考，文11)已知集合U={}1,2,3,4，A={}1,3,B={}1,3,4,则A (U B ð)=_____.【答案】{1，2，3}.【解析】由题U B ð={2}，所以A (U B ð)={1，2，3}.37. (2014·新课标全国卷Ⅰ理) 已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1，2)C ．[－1，1]D ．[1，2)解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A.38. (2014·新课标全国卷Ⅰ文) 已知集合M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |－2<x <1}，则M ∩N ＝( )A ．(－2，1)B ．(－1，1)C ．(1，3)D ．(－2，3)解析：选B 借助数轴可得M ∩N ＝(－1，1)，选B.39. (2014·新课标全国卷Ⅱ理) 设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}解析：选D N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0，1，2}，所以M∩N＝{1，2}．40. (2014·新课标全国卷Ⅱ文) 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{ x|x2－x－2＝0}，则A∩B ＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：选B法一：因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，A＝{－2，0，2}，所以A∩B ＝{2}，故选B.法二：(代值验证法)将－2，0，2分别代入x2－x－2＝0，经检验知只有2满足题意，故选B.41. (2014·浙江高考理) 设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝()A．∅B．{2}C．{5} D．{2，5}解析：选B由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x＜5}＝{2}．故选B.42. (2014·浙江高考文) 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝()A．(－∞，5]B．[2，＋∞)C．(2，5) D．[2，5]解析：选D∵S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，∴S∩T＝[2，5]．43. (2014·重庆高考理) 已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．非p∧非qC．非p∧q D．p∧非q解析：选D依题意，命题p是真命题．由x>2⇒x>1，而x>1⇒/x>2，因为此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则非q是真命题，p∧非q是真命题，选D.44. (2014·重庆高考文) 已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧非q B．非p∧qC．非p∧非q D．p∧q解析：选A命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题非q为真命题，所以p∧非q 为真命题，选A.45. (2014·安徽高考理) “x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．46. (2014·安徽高考文) 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0解析：选C命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”，故选C.47. (2014·北京高考理) 已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A．{0}B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}解析：选C∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，∴A∩B＝{0，2}，故选C.48. (2014·北京高考文) 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝()A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2} D. {3}解析：选C集合A与集合B的公共元素是1，2，即A∩B＝{1，2}．故选C.49.(2014·大纲高考理)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝()A．(0，4] B．[0，4)C．[－1，0) D．(－1，0]解析：选B由题意可得M＝{x|－1<x<4}，所以M∩N＝{x|0≤x<4}，故选B.50. (2014·大纲高考文) 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为()A．2B．3C ．5D ．7解析：选B 由M ∩N ＝{1，2，6}，故M ∩N 中含有3个元素，故选B.51. (2014·福建高考理) 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k＝1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0，1)，(－1，0)两点，所以△OAB的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.52. (2014·福建高考文) 若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，则P ∩Q 等于 ( )A ．{x |3≤x <4}B ．{x |3<x <4}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |2≤x ≤3}解析：选A 因为P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，所以P ∩Q ＝{x |3≤x <4}，故选A.53. (2014·广东高考理) 已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2}D ．{0，1}解析：选B M ∪N 表示属于M 或属于N 的元素构成的集合，故M ∪N ＝{－1，0，1，2}．54. (2014·广东高考文) 已知集合M ＝{2，3，4}，N ＝{0，2，3，5} ，则M ∩N ＝( )A ．{0，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{3，5}解析：选B 由交集的定义，注意到两集合的公共元素构成的集合为{2，3}，故选B.55. (2014·湖北高考理) 设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C 是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析：选C “存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”⇔“A ∩B ＝∅”．故C 正确．56. (2014·湖北高考文) 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}解析：选C由题意知∁U A＝{2，4，7}，选C.57. (2014·湖南高考理) 已知命题p：若x>y，则－x<－y：命题q：若x>y，则x2>y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(非q)；④(非p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选C由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③非q为真命题，则p∧(非q)为真命题，④非p为假命题，则(非p)∨q为假命题，所以选C.58. (2014·湖南高考文) 设命题p：∀x∈R，x2＋1>0 ，则非p为()A．∃x0∈R，x20＋1>0B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0解析：选B全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”，所以选B.59. (2014·江西高考文) 设全集为R ，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝()A．(－3，0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3，3)解析：选C因为A＝{x|－3<x<3}，∁R B＝{x|x≤－1或x>5}，所以A∩(∁R B)＝{x|－3<x<3}∩{x|x≤－1或x>5}＝{x|－3<x≤－1}.60. (2014·辽宁高考理) 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}解析：选D A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．61. (2014·辽宁高考文) 已知全集U＝R ，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：选D由题知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，选D.62. (2014·山东高考理) 设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝() A．[0，2] B．(1，3)C．[1，3) D．(1，4)解析：选C|x－1|<2⇔－2<x－1<2，故－1<x<3，即集合A＝(－1，3)．根据指数函数的性质，可得集合B＝[1，4]．所以A∩B＝[1，3)．63. (2014·山东高考文) 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝() A．(0，2] B．(1，2)C．[1，2) D．(1，4)解析：选C由题意得集合A＝(0，2)，集合B＝[1，4]，所以A∩B＝[1，2)．64. (2014·陕西高考理) 已知全集U＝R ，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：选D由题知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，选D.65.(2014·陕西高考文) 已知集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝()A．[0，1]B．(0，1)C．(0，1] D．[0，1)解析：选D由题意知，集合M＝[0，＋∞)，N＝(－1，1)，∴M∩N＝[0，1).66. (2014·四川高考理) 已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝() A．{－1，0，1，2}B．{－2，－1，0，1}C．{0，1} D．{－1，0}解析：选A因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝Z，故A∩B＝{－1，0，1，2}．67. (2014·四川高考文) 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A ．{－1，0}B ．{0，1}C ．{－2，－1，0，1}D ．{－1，0，1，2}解析：选D 由二次函数y ＝(x ＋1)(x －2)的图象可以得到不等式(x ＋1)(x －2)≤0的解集A ＝[－1，2]，属于A 的整数只有－1，0，1，2，所以A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选D.68. (2014·天津高考理) 设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选C 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a >b ⇔f (a )>f (b )⇔a |a |>b |b |.选C.69. (2014·天津高考文) 已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则非p 为 ( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解析：选B 全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1的否定是非p ：∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.70．(2013·福建高考理)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ” 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A 本题考查集合与充分必要条件等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力．因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/ a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．71．(2013·辽宁高考理)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝ ( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]【解析】选D 本题考查集合的运算，同时考查对数不等式的解法．求解对数不等式时注意将常数转化为对应的对数，而后准确应用对数函数的单调性进行求解．0<log 4x <1，即log 41<log 4x <log 44，故1<x <4，∴集合A ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．72．(2013·安徽高考理) “a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增” 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选C 本题考查二次函数图象性质以及图象变换，意在考查转化与化归思想．根据二次函数的图象可知f (x )在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，本题不难求解．f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a<0，也就是a ≤0，故“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.73．(2013·浙江高考理)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝ ( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)【解析】选C 本题考查无限元素集合间的交、并、补运算以及简单的一元二次不等式的解法．浙江省每年都会有一道涉及集合的客观题，主要考查对集合语言的理解以及简单的集合运算．T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C.74．(2013·浙江高考理)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选B 本题考查对必要条件、充分条件与充要条件的理解，考查三角函数的诱导公式、三角函数的奇偶性等，意在考查考生的推理能力以及三角函数性质的掌握等．若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z)，且当φ＝π2时，f (x )为奇函数． 75．(2013·重庆高考理)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2} ，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B ) ＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}【解析】选D 本题考查集合运算，意在考查考生运算能力．由题意A ∪B ＝{1,2,3}，且全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}．76．(2013·重庆高考理)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为 ( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0【解析】选D 本题考查全称命题和特称命题，意在考查考生对基本概念的掌握能力．全称命题的否定为特称命题，所以答案为D.77．(2013·新课标Ⅰ高考理)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆A D.A ⊆B【解析】选B 本题考查一元二次不等式的解法和集合的运算，意在考查考生运用数轴进行集合运算的能力．解题时，先通过解一元二次不等式求出集合A，再借助数轴求解集合的运算．集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，选择B.78．(2013·新课标Ⅱ高考理)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N ＝() A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}【解析】选A本题主要涉及简单不等式的解法以及集合的运算，属于基本题，考查考生的基本运算能力．不等式(x－1)2＜4等价于－2＜x－1＜2，得－1＜x＜3，故集合M＝{x|－1＜x＜3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.79．(2013·北京高考理)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝() A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}【解析】选B本题考查集合的含义与运算，意在考查考生基本的运算求解能力．集合B 含有整数－1,0，故A∩B＝{－1,0}．80．(2013·北京高考理) “φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】选A本题考查三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判断等基础知识和基本方法，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．81．(2013·陕西高考理)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为() A．[－1,1]B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】选D本题考查集合的概念和运算，涉及函数的定义域与不等式的求解．本题抓住集合元素是函数自变量，构建不等式并解一元二次不等式得到集合，然后利用补集的意义求解，使集合与函数有机结合，体现了转化化归思想的具体应用．从函数定义域切入，∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.82．(2013·陕西高考理)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选C 本题考查向量的数量积和向量共线的充要条件的判断，涉及向量的模及绝对值的概念．从数量积入手，设α为向量a ，b 的夹角，则|a·b |＝|a ||b |·|cos α|＝|a ||b |⇔|cos α|＝1⇔cos α＝±1⇔向量a ，b 共线．83．(2013·江西高考理)已知集合M {1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i【解析】选C 本题考查集合的交集运算及复数的四则运算，意在考查考生的运算能力．由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4i i 2＝－4i. 84．(2013·广东高考理)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R}，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R}，则M ∪N ＝ ( )A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}【解析】选D 本题考查集合的并集、一元二次方程，旨在考查考生对集合并集的了解．M ＝{x |x (x ＋2)＝0，x ∈R}＝{0，－2}，N ＝{x |x (x －2)＝0，x ∈R}＝{0,2}，所以M ∪N ＝{－2,0,2}．85．(2013·山东高考理)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数 是( )A ．1B ．3C ．5D ．9【解析】选C 本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个86．(2013·山东高考理)给定两个命题p ，q .若非 p 是q 的必要而不充分条件，则p 是非 q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A 本题考查命题、逻辑联结词及充分、必要条件等基础知识，考查等价转化的数学思想，考查分析问题和解决问题的能力．q ⇒非p 等价于p ⇒非q ，非p ⇒/ q 等价于非q ⇒/ p ，故p 是非q 的充分而不必要条件．87．(2013·大纲卷高考理)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】选B 本题考查集合中元素的性质．由集合中元素的互异性，可知集合M ＝{5,6,7,8}，所以集合M 中共有4个元素．88．(2013·湖北卷高考理)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎝⎛⎭⎫12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}【解析】选C 本题主要考查集合的基本运算和不等式的求解，意在考查考生的运算求解能力．由题意可知，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，此时A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}，故选C.89．(2013·湖北卷高考理)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( )A ．(非p )∨(非q )B ．p ∨(非q )C ．(非p )∧(非q )D ．p ∨q【解析】选A 本题主要考查使用简单逻辑联结词来表示复合命题，意在考查考生对基础知识和基本概念的理解与掌握．由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(非p )∨(非q )．90．(2013·四川卷高考理)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝ ( )A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅【解析】选A 本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握．由x 2－4＝0，解得x ＝±2，所以B ＝{2，－2}，又A ＝{－2}，所以A ∩B ＝{－2}，故选A.91．(2013·四川卷高考理)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．非p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．非p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．非p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．非p ：∃x ∈A,2x ∉B【解析】选D 本题考查常用逻辑用语中的∀，∃和非等概念，意在考查考生的逻辑判断能力．因为任意都满足的否定是存在不满足的，所以选D.92．(2013·天津卷高考理)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③【解析】选C 本题考查命题真假的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18，所以①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，所以③是真命题．故真命题的序号是①③.93．(2013·天津卷高考理)已知集合A ＝{x ∈R| |x |≤2}, B ＝{x ∈R| x ≤1}, 则A ∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]【解析】选D 本题考查简单绝对值不等式的解法、集合的运算．意在考查考生对概念的理解能力．解不等式|x |≤2，得－2≤x ≤2，所以A ＝[－2,2]，所以A ∩B ＝[－2,1]．94．(2013·北京高考文)已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B ＝ ( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1} D. {－1,0,1}【解析】选B 集合A 中共有三个元素－1,0,1，而其中符合集合B 的只有－1和0，故选B.95．(2013·重庆高考文)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B ) ＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}【解析】选D 本题主要考查集合的并集与补集运算．因为A ∪B ＝{1,2,3}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D.96．(2013·重庆高考文)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为 ( )A ．存在x 0∈R ，使得x 20<0B ．对任意x ∈R ，都有x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．不存在x 0∈R ，使得x 2<0【解析】选A 本题主要考查全称命题的否定．根据定义可知命题的否定为存在x 0∈R ，使得x 20<0，故选A.97．(2013·安徽高考文)已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1}【解析】选A 本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力．集合A ＝{x |x >－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}，所以(∁R A )∩B ＝{－2，－1}．98．(2013·安徽高考文) “(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选B 本题主要考查充分必要条件的基础知识和基本概念，意在考查考生对方程的求解以及概念的识别．由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，因为“x ＝12或0”是“x ＝0”的必要不充分条件． 99．(2013·山东高考文)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝ ( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅【解析】选A 本题主要考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力．由题意知A ∪B ＝{1,2,3}，又B ＝{1,2}，所以A 中必有元素3，没有元素4，∁U B ＝{3,4}，故A ∩∁U B ＝{3}．100．(2013·山东高考文)给定两个命题p ，q .若﹁ p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁ q的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A本题主要考查充分必要条件的判断，通过等价命题的转化化难为易，也渗透了对转化思想的考查．由q⇒非p且非p⇒/ q可得p⇒非q且非q⇒/ p，所以p是非q的充分而不必要条件．101．(2013·大纲卷高考文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝() A．{1,2}B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5} D．∅【解析】选B本题主要考查集合的补集运算．根据补集的定义可知∁U A＝{3,4,5}．102．(2013·福建高考文)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】选A本题主要考查以点与直线的位臵关系为背景的充分必要条件，意在考查考生的数形结合能力、逻辑推理能力和运算求解能力．“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．103．(2013·福建高考文)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为( )A．2 B．3 C．4 D．16【解析】选C本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握．A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个．104．(2013·新课标Ⅱ高考文)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝() A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}【解析】选C本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生对基本概念的理解．由交集的意义可知M ∩N ＝{－2，－1,0}．105．(2013·湖南高考文) “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A 本题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件的判断，意在考查考生对充分性和必要性概念的掌握与判断．“1<x <2”可以推得“x <2”，即满足充分性，但“x <2”得不出“1<x <2”，所以为充分不必要条件．106．(2013·浙江高考文)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝ ( )A ．[－4，＋∞)B ．(－2, ＋∞)C ．[－4,1]D ．(－2,1]【解析】选D 本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由已知得S ∩T ＝{x |x >－2}∩{x |－4≤x ≤1}＝ {x |－2<x ≤1}＝(－2,1]．107．(2013·浙江高考文)若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A 本题主要考查充要条件的判断、三角函数值等基础知识，意在考查考生的推理论证能力．当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α<cos α；而当sin α<cos α时，α＝0或α＝π6，…. 108．(2013·新课标Ⅰ高考文)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}【解析】选A 本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算．n ＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．109．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．非p∧q C．p∧非q D．非p∧非q【解析】选B本题主要考查常用逻辑用语等基本知识，对分析问题的能力有一定要求．容易判断当x≤0时2x>3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图像，易知命题q为真命题．根据真值表易判断非p∧q为真命题．110．(2013·天津高考文)已知集合A＝{x∈R| |x|≤2}, B＝{x∈R| x≤1}，则A∩B＝()A．(－∞，2]B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]【解析】选D本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算．意在考查考生对概念的理解能力．解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－2,1]．111．(2013·天津高考文)设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】选A本题主要考查充分条件、必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若(a－b)·a2<0，则a≠0，且a<b，所以充分性成立；若a<b，则a－b<0，当a＝0时，(a－b)·a2＝0，所以必要性不成立．故“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件．112．(2013·湖北高考文)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁U A＝()A．{2}B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}【解析】选B本题主要考查集合的补集和交集运算．由题得，∁U A＝{3,4,5}，则B∩∁U A ＝{3,4}．113. (2013·湖北高考文)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(非p)∨(非q) B．(p)∨(非q)C．(非p)∧(非q) D．p∨q【解析】选A本题主要考查逻辑联结词和复合命题．非p：甲没有降落在指定范围；非q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即非p或非q发生．114．(2013·陕西高考文)设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M, 则∁R M为()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)【解析】选B本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法．从函数定义域切入，1－x≥0，∴x≤1，依据补集的运算知识得所求集合为(1，＋∞)．115．(2013·江西高考文)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4 B．2 C．0 D．0或4【解析】选A本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．116．(2013·四川高考文)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝()A．∅B．{2} C．{－2,2} D．{－2,1,2,3}【解析】选B本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握．A，B两集合中只有一个公共元素2，∴A∩B＝{2}，选B.117．(2013·四川高考文)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x ∈A,2x∈B，则()A．非p：∃x∈A,2x∈BB．非p：∃x∉A,2x∈BC．非p：∃x∈A,2x∉BD．非p：∀x∉A,2x∉B【解析】选C本题主要考查含有一个量词的命题的否定，意在考查考生基础知识的掌握．由命题的否定易知选C，注意要把全称量词改为存在量词．118．(2013·广东高考文)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝()A．{0}B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}【解析】选A本题主要考查集合的运算知识，意在考查考生的运算求解能力．因为S＝{－2,0}，T＝{0,2}，所以S∩T＝{0}．119．(2013·辽宁高考文)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝() A．{0}B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}【解析】选B本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考生对集合运算的掌握情况，属于容易题．由已知，得B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B。
高考数学专题集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．集合间的基本关系3．集合的基本运算1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[试一试]1．(2013·辽宁高考)已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()A．(0,1)B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]答案：D2．i是虚数单位，若集合S＝{－i,0，i}，则()A．i2∈S B．i2 010∈SC．i2 012∈S D．i2 013∈S解析：选D i2＝－1∉S；i2 010＝i2＝－1∉S，i2 012＝i4＝1∉S，i2 013＝i∈S，故选D项．3．已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B＝________.答案：∅1．判断集合关系的方法有三种(1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．2．解决集合的综合运算的方法解决集合的综合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解．3．数形结合思想数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．[练一练]1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案：B2．(2014·安徽省“江南十校”联考)已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0}，函数f (x )＝2－x (x ∈A )的值域为B ，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．[0,1]D ．(1，＋∞)解析：选A 由题意知，集合A ＝{x |0≤x ≤1}，∴B ＝{y |1≤y ≤2}，∁R A ＝{x |x <0或x >1}，∴(∁R A )∩B ＝(1,2]．集合的基本概念1.(2013·山东高考)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选C 逐个列举可得．x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．2．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 013＝________. 解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.答案：－1或03．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－32[类题通法]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．集合间的基本关系[典例] (1)(2013·洛阳统考)已知集合A ＝{x |x －2x ≤0，x ∈N }，B ＝{x |x ≤2，x ∈Z }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.[解析] (1)由x －2x ≤0得0<x ≤2，因此A ＝{1,2}；由x ≤2得0≤x ≤4，因此B ＝{0,1,2,3,4}，满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数是23＝8.(2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )， 由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.[答案] (1)D (2)4 [类题通法]1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．2．当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况． [针对训练]1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/ a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．2．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. 答案：[－1，＋∞)集合的基本运算[典例] 均为全集U ＝{1,2,3,4}∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅(2)(2014·武汉市武昌区联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg(x ＋1)≤0}，B ＝{x |3x ≤1}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] (1)∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}． 又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩∁U B ＝{3}．(2)lg(x ＋1)≤0⇒0<x ＋1≤1⇒－1<x ≤0,3x ≤1⇒x ≤0，则A ∩B ＝(－1,0]，∁U (A ∩B )＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．[答案] (1)A (2)C [类题通法]集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． [针对训练]设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)·x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．解析：A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2. 答案：1或2集合中的创新问题角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的V enn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.角度三 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1. [类题通法]解决新定义问题应注意以下几点(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质； (2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； (3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B ⇒/A)；与A的充分不必要条件是B(B ⇒A且A ⇒/B)两者的不同．[试一试]1．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推出“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推出“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[练一练]1．(2014·济南模拟)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由x2－3x>0得x>3或x<0，此时得不出x>4，但当x>4时，不等式x2－3x>0恒成立，所以正确选项为B.2．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________． 解析：原命题与其逆否命题为等价命题． 答案：若b ∈M ，则a ∉M命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析：对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④ [类题通法]在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.充分必要条件的判定[典例] p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)由q⇒綈p且綈p⇒/ q可得p⇒綈q且綈q ⇒/p，所以p是綈q的充分而不必要条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．[答案](1)A(2)A[类题通法]充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．[针对训练]下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.解：(1)若A＝B，则sin A＝sin B，即p⇒q.又若sin A＝sin B，则2R sin A＝2R sin B，即a＝b.故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．(2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．充分必要条件的应用[典例]x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．[解](1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P . ∴[－2,10] [1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[类题通法]利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒ / p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q . [针对训练](2013·浙江名校联考)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0解析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．2．全称量词和存在量词(1)全称量词“所有的”“任意一个”，用符号“∀”表示．(2)存在量词“存在一个”“至少有一个”，用符号“∃”表示．(3)全称命题含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(4)特称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．[试一试]1．(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x ∈B，则()A ．綈p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B解析：选C 由命题的否定易知选C ，注意要把全称量词改为存在量词． 2．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，其否定为________． 答案：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠01．含逻辑联结词命题真假判断： (1)p ∧q 中一假即假． (2)p ∨q 中一真必真．(3)綈p 真，p 假；綈p 假，p 真．2．含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．3．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．[练一练]1．(2013·重庆高考)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0解析：选D 全称命题的否定为特称命题，所以答案为D.2．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1x 20≤2，命题q 是命题p 的否定，则命题p 、q 、p ∧q 、p∨q 中是真命题的是________．解析：p 是真命题，则q 是假命题． 答案：p 、p ∨q全称命题与特称命题的真假判断1.(2014·皖南八校联考)下列命题中，真命题是( ) A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：选C 对于A 选项：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故A 为假命题；对于B 选项：存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项：x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项：x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．2．已知函数f (x )＝x 2＋bx (b ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数 D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：选D 注意到b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数． [类题通法]全称命题与特称命题真假的判断方法[典例] 1，x 2∈R ，[f (x 2－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0[解析] 全称命题的否定为存在性命题，即若p 为“∀x ∈M ，q (x )”，则綈p 为“∃x ∈M ，綈q (x )”，故选C.[答案] C[类题通法]全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．[针对训练]写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：有的三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)p：∃x0∈N，x20－2x0＋1≤0.解：(1)綈p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m20＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等．显然綈p为假命题．(3)綈p：有的菱形的对角线不垂直．显然綈p为假命题．(4)綈p：∀x∈N，x2－2x＋1>0.显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故綈p是假命题．含有逻辑联结词的命题[典例]5∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是() A．②④B．②③C．③④D．①②③(2)(2014·济宁模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a 的取值范围是()A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)[解析] (1)因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x ＝52>1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．因而②③正确．(2)命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[答案] (1)B (2)C解析：p ∧q 为真，∴p 和q 均为真． ∴a 的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)． 答案：[－12，－4]∪[4，＋∞) [类题通法]1．判断“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”形式命题真假的步骤 (1)准确判断简单命题p 、q 的真假；(2)依据[必会3个方法中的第一个方法]判断“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”命题的真假． 2．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． [针对训练]1．(2013·安徽“江南十校”联考)对于下述两个命题，p ：对角线互相垂直的四边形是菱形；q ：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 容易判断p 、q 均为假命题．所以“p ∨q ”为假命题，“p ∧q ”为假命题，“綈p ”为真命题，故真命题的个数为1.2．(2014·江西盟校联考)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“∃x0∈R，x2＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4]D．(－∞，1]解析：选C“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则∀x∈[0,1]，a≥e x，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.。
高考数学必刷真题分类大全-专题01-集合与常用逻辑用语
【答案】D
【试题解析】由题意， B= x x2 4x 3 0 1,3，所以 A B 1,1, 2,3 ,
所以 ðU A B 2, 0 .故选：D.
【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算． 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本 运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解 及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有： （1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【得分要点】 解集合运算问题应注意如下三点：
”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））设
m,
n
为实数，则“
0.1m
0.1n
”是“
lg
1 m
lg
1 n
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2022·上海虹口·二模）已知 l1 ，l2 是平面 内的两条直线，l 是空间的一条直线，则“ l ”是“ l l1 且 l l2 ”
CU A _____.
13．（2022·广东·华南师大附中三模）当 x a 时， x 1 0 成立，则实数 a 的取值范围是____________． x
14．（2022·山东聊城·三模）命题“ x R ，a2 4 x2 a 2 x 1 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围为______.
历年(2019-2023)高考数学真题分类(集合、常用逻辑用语与不等式)练习(附答案)
[答案解析]因为
1 ，所以
|
2
C. |3
16
|0
16 ；因为
4 ，所以
}.所以 ∩
|
A.
1 ,2
|0
B. 1 ,2
1|
1 ，得 1
2 ，所以 ∩
9. [2022 北京，4 分]已知全集
1 ，则∁
A.
2,1
16
|3
| |
1|
(B)
[答案解析]由|
历年（2019-2023）高考数学真题分类（集合、常用逻辑用语与不等式）练习
考点： 集合
一、选择题
2 , 1 ,0,1,2 ，
1. [2023 新高考卷Ⅰ，5 分]已知集合
6
A.
0 ，则 ∩
(C)
2 , 1 ,0,1
B. 0 ,1,2
2
C.
|
[答案解析]解法一因为
∩
|
6
0
1 ,3 ,
1 ,2,4 ，则
C. 1 ,2,4
D. 1 ,2,4,5
1 ,2,4 ，所以∁
3 ,5 ,又
1 ,3 ，
1 ,3,5 .故选A .
4. [2023 全国卷甲，5 分]设全集
∪
0 .当
(A)
A. 1 ,3,5
|
2
1 ,0,1 ，满足 ⊆ .所以
3. [2023 天津，5 分]已知集合
2 ，故选A .
2 ,4,6 ，则 ∪
B. 1 ,2
C. 2 ,4,6
[答案解析]由集合并集的定义，得 ∪
7. [2022 新高考卷Ⅰ，5 分]若集合
集合与常用逻辑用语--2023高考真题分类汇编完整版
集合与常用逻辑用语--高考真题汇编第一章第一节集合1.（2023全国甲卷理科1）设集合{}31,A x x k k ==+∈Z ，{}32,B x x k k ==+∈Z ，U 为整数集，则()U A B = ð（）A.{}3,x x k k =∈ZB.{}31,x x k k =-∈ZC.{}32,x x k k =-∈Z D.∅【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【解析】因为整数集{}{}{}3,3+1,3+2,x x k k x x k k x x k k ==∈=∈=∈Z Z Z Z ，=U Z ，所以(){}3,U A B x x k k ==∈Z ð．故选A ．2.（2023全国甲卷文科1）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}2,5N =，则U N M = ð（）A.{}2,3,5 B.{}1,3,4 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,5【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【解析】因为全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,4}M =，所以{}2,3,5U M =ð，又{2,5}N =，所以{2,3,5}U N M = ð.故选A.3.（2023全国乙卷理科2）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x =（）A.()U M N ð B.U N Mð C.()U M N ð D.U M Nð【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}2x x 即可.【解析】由题意可得{}2M N x x =< ，则(){}2U M N x x = ð，选项A 正确；{}1U M x x =ð，则{}1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}11M N x x =-<< ，则(){}11U M N x x x =- 或ð，选项C 错误；{}12U N x x x =-或ð，则{}12U M N x x x =< 或ð，选项D 错误；故选A.4.（2023全国乙卷文科2）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}0,4,6M =，{}0,1,6N =，则U M N = ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ð即可.【解析】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选A.5.（2023新高考I 卷1）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N =（）A.{}2,1,0,1--B.{}0,1,2 C.{}2- D.{}2【解析】{}(][)260,23,N x x x =--≥=-∞-+∞ ，所以{}2M N =- ，故选C.6.（2023新高考II 卷2）2.设集合{}{}0,,1,2,22A a B a a =-=--，若A B ⊆，则a =（）A.2 B.1 C.23D.1-【解析】因为A B ⊆，所以必有20a -=或220a -=，解得2a =或1a =.当2a =时，{}{}0,2,1,0,2A B =-=，不满足A B ⊆；当1a =时，{}{}0,1,1,1,0A B =-=-，符合题意.所以1a =.故选B.7.（2023北京卷1）已知集合{}20M x x =+，{}10N x x =-<，则M N = （）A.{}21x x -<B.{}21x x -<C.{}2x x - D.{}1x x <【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【解析】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选A.8.（2023天津卷1）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则U B A = ð（）A ．{}1,3,5B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,5【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；【解析】由{3,5}U B =ð，而{1,3}A =，所以{1,3,5}U B A = ð.故选A.第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023新高考I 卷7）已记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a 公差为d ，则()112n n n S na d -=+，111222n S n d d a d n a n -=+=+-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以甲是乙的充分条件.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即()()()1111111n n n n n n nS n S S S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即()11n nna S t n n +-=+，故()11n n S na tn n +=-+，()()()1112n n S n a t n n n -=---≥，两式相减得()1112n n n n n a S S na n a tn -+=-=---，12n n a a t +-=为常数，对1n =也成立，所以{}n a 为等差数列，所以甲是乙的必要条件.所以，甲是乙的充要条件，故选C.3.（2023北京卷8）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2x yy x+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】解法一：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x yy x+化简即可，证明必要性可由2x y y x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法二：由x y y x+通分后用配凑法得到完全平方公式，证明充分性可把0x y +=代入即可；证明必要性把2x yy x+=-代入，解方程即可.【解析】解法一：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y y x y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选C.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy+-+++--+===-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选C.4.（2023天津卷2）“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【解析】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选B.。
最近高考专题 集合、常用逻辑用语、不等式(选填压轴题)(全国通用版)
专题01 集合、常用逻辑用语、不等式 （选填压轴题）一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义A B *＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若{1,2}A =，22{|()(2)0}B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则()C S 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】B 【详解】因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =， 由20x ax，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-a >易知0， -a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -< 220x ax ++=无实根， 若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<或0a <<()2C B =，不符合题意.所以{S =-，故3C S .故选：B.2．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高一月考）向量集合(){},,,S a a x y x y ==∈R ，对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题： ①若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“C 类集”． 其中正确的命题有（ ） A ．①② B ．①③④C ．②③D ．①②④【答案】D 【详解】①若S 为“C 类集”，则对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，对于集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数），可得对于任意,M μαμβ∈，以及任意()0,1λ∈都有()+1M λμαλμβ-∈，故正确；②若S 为“C 类集”，则对于任意1α，1S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()111S λαλβ+-∈， 若T 为“C 类集”，则对于任意2α，2T β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()221T λαλβ+-∈，可得对于任意1212,M M ααββ+∈+∈，以及任意()0,1λ∈，都有()()()12121M λααλββ++-+∈，故正确； ③若1A 为“C 类集”，则对于任意1α，11A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1111A λαλβ+-∈， 若2A 为“C 类集”，则对于任意2α，22A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()2221A λαλβ+-∈， 设12M A A =，M 为12,A A 中元素的合并而得，且不重复，不符合“C 类集”的定义，故错误；④若1A 为“C 类集”，则对于任意1α，11A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1111A λαλβ+-∈， 若2A 为“C 类集”，则对于任意2α，22A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()2221A λαλβ+-∈， 设12M A A =，M 为12,A A 中元素的公共部分，且不为空集，符合“C 类集”的定义，故正确；故选：D.3．（2021·河南南阳中学高一月考）在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误， 而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈， 则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确. 由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⋃⋃⋃⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈， 故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆⋃⋃⋃， 故[][][][]0123Z ⋃⋃⋃=，故③正确. 故选：C.4．（2021·全国高一专题练习）对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和.给定集合{2,3,4,5}S =，定义集合(){},T f A A S A =⊆≠∅，则集合T 的元素的个数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B 【详解】当集合A 为单元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,5，此时()f A 可取2,3,4,5；当集合A 为双元素集时，可取{}{}{}{}{}{}2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，此时()f A 可取5,6,7,8,9； 当集合A 为三元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，此时()f A 可取9,10,11,12， 当集合A 为四元素集时，可取{}2,3,4,5，此时()f A 可取14，综上可知()f A 可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14，共12个值，所以T 的元素个数为12， 故选：B.5．（2021·全国）非空集合A 具有下列性质：①若x 、y A ∈，则xA y∈；②若x 、y A ∈，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（ ） （1）1A -∉；（2）20202021A ∈；（3）若x 、y A ∈，则xy A ∈；（4）若x 、y A ∈，则x y A -∉. A ．（1）（3）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】C 【详解】 由①可知0A ∉.对于（1），若1A -∈，对任意的x A ∈，0x ≠，则1xx A -=∈-， 所以，()0x x A =+-∈，这与0A ∉矛盾，（1）正确； 对于（2），若0x ≠且x A ∈，则1xA x=∈，211A ∴=+∈，321A =+∈， 依此类推可得知，n N *∀∈，n A ∈，2020A ∴∈，2021A ∈，20202021A ∴∈，（2）正确； 对于（3），若x 、yA ，则0x ≠且0y ≠，由（2）可知，1A ∈，则1A y∈，所以，1x xy A y=∈，（3）正确； 对于（4），由（2）得，1,2A ∈，取 2,1x y ==，则1x y A -=∈，所以（4）错误. 故选：C.6．（2021·北京市陈经纶中学高一月考）设集合S ，T ，S N *⊆，T N *⊆，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈②对于任意,x y T ∈，若x y <，则yS x∈；下列命题正确的是（ ） A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S T 有4个元素【答案】A 【详解】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .7．（2021·上海高一期中）已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉，M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是 A ．11 B ．12 C ．15 D ．16【答案】A 【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个， 且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A.8．（2021·全国高一专题练习）已知集合U =R ，2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，则图中阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2【答案】C 【详解】图中阴影部分表示的集合为()U C B A ⋂．∵2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，∴[]2,1,0,1,2A =--，()(),00,2B =-∞⋃，∴(){}0,2U C B A ⋂=．故选C ．9．（2021·全国）已知集合{}*115M x N x =∈≤≤，集合1A ，2A ，3A 满足. ①每个集合都恰有5个元素 ②1A 2A 3A M =集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为(1,2,3)i X i =，则1X 2+X +3X 的值不可能为 A ．37 B ．39C ．48D ．57【答案】A 【详解】分析：求出集合M={x ∈N*|1≤x ≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A 1，A 2，A 3，排除选项B 、C 、D ，由此能求出结果．详解：由题意集合M={x ∈N*|1≤x ≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}， 当A 1={1，4，5，6，7}，A 2={3，12，13，14，15}，A 3={2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3=8+18+13=39，故排除B 选项；当A 1={1，4，5，6，15}，A 2={2，7，8，9，14}，A 3={3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3=16+16+16=48，故排除C 选项；当A 1={1，2，3，4，15}，A 2={5，6，7，8，14}，A 3={9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3=16+19+22=57，故排除D 选项． ∴X 1+X 2+X 3的值不可能为37． 故选A ．10．（2021·全国高一专题练习）对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算“※”，法则如下：当m 、n 都是正奇数时，m ※n =m n +；当m 、n 不全为正奇数时，m ※n =mn .则在此定义下，集合{}**(,)|16,,M a b a b a N b N ※==∈∈中的元素个数是A ．7B ．11C ．13D ．14【答案】C 【详解】试题分析：从定义出发，抓住m 、n 的奇偶性对16实行分拆是解决本题的关键，当m 、n 同奇时，根据m ※n m n =+将16分拆两个同奇数的和，有1153135117997115133151+=+=+=+=+=+=+=+，共有8对；当m 、n 不全为奇数时，根据m ※n mn =将16分拆两个不全为奇数的积，再算其组数即可，此时有116284482161⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，共5对.∴共有8513+=个，故选C.11．（2021·全国高一专题练习）集合()*{,,|S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是 A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【答案】B 【详解】试题分析：从集合S 的定义，(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z <<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有x y z w <<<或w x y z<<<或y z w x <<<或z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈，选B ．12．（2021·江苏高一专题练习）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素.例如：A R =，运算“⊕”为普通乘法；存在1R ∈，使得对任意a R ∈，都有11=a a a ⨯=⨯，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A R =，运算“⊕”为普通减法；②{}|,m n m n A A A m n m N n N **⨯⨯=⨯∈∈表示阶矩阵，，运算“⊕”为矩阵加法；③{}|A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集. 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②③【答案】D 【详解】 试题分析：①若，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②A ={|m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，}，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.13．（2021·浙江省桐庐中学）已知0a >，函若数()32249ax x f a x x =+-+在[]2,1--总有()86f x a ≥+且[]1,1,74x ax m ∀∈-+≤，则m 取值范围是（ ）A ．[6，+∞)B ．[)14,+∞C ．[12，+∞)D ．(6，12]【答案】B 【详解】()86f x a ≥+在[]2,1--上恒成立即()3260124a x x x +--≥+在[]2,1--上恒成立，故()()211260x a x x x ⎡⎤+-++-≥⎣⎦在[]2,1--上恒成立， 当1x =-时，()()211260x a x x x ⎡⎤+-++-=⎣⎦， 当21x -≤<-时，10x +<，故()21260a x x x -++-≤，所以2621xa x x -≤-+在[)2,1--上恒成立，令()()()2223622711353x x g x x x x x x x--===-+-+-+--，令3t x =-，则45t <≤，而7y t t=+在(]4,5为增函数，故2373245t t <+≤，所以()37735435x x <-+-≤-，故()10873g x ≤<， 所以()g x 在[)2,1--的最小值为107，故1007a <≤.因为[]1,1,74x ax m ∀∈-+≤恒成立，故7474m a m a ⎧≥+⎪⎨≥-+⎪⎩对于任意1007a <≤恒成立，所以146m m ≥⎧⎨≥⎩即14m ≥.故选：B.14．（2021·河南高三月考（理））已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点M在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．13B ．12CD【答案】C 【详解】由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，直线l 为x a =-，设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β， 由椭圆的对称性，不妨设M 为第二象限的点，即(),M a t -，()0t >，则tan t c aα=-，tan t c a β-=+.12F MF βα∠=-，()12222222tan tan 222tan tan 1tan tan 21t tct c c cc a c a F MF t b t b b b t c a t βαβααβ---+-∴∠=-====≤==++-+-当且仅当2b t t=，即t b =时取等号，又12tan F MF ∠得最大值为tan 60c b =︒=c ∴=，即2223c c a =-，整理得c a =C故选：C.15．（2021·全国高三模拟预测）已知0x y >>，*n N ∈，则下列结论正确的是（ ） A．sinyx<B．221x y xy +-+的最小值为12 C ．1122n n n nx y nx y x y---≥⋅- D．(y x x y xy ⋅≥【答案】C 【详解】记(0,1)y t x =∈有tan t t >，则sin t =>，易知1x =时有sin y x >A 错误；2222311124333x x y xy y x ⎛⎛⎫+-+=-+-+≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等号，所以最小值为13，B 错误；记(0,1)y t x=∈，则1122n n n n x y nx y x y ---≥⋅-等价于1122(1)0n n t t n t -+-+-≥， 记1122()(1)nn f t ttn t -+=-+-，则112211()22n n n n f t n t t +--+=-'+， ∴()()3221()1104n nf t n t t +-"=--≥，即()f t '单调递增，有()(1)0f t f '<'=，∴()f t 单调递减，则有()(1)0f t f >=，不等式得证，C 正确； 取2x =，1y =，有2(y x x y xy ⋅=<=D 错误．故选：C16．（2021·南京市第十三中学）已知21()ln (0)2f x a x x a =+>若对于任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．[)1,+∞C ．(]3,3-D ．[)1,2e【答案】B 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数，所以()()200,0ag x x x a x'=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：B17．（2021·全国高三专题练习（文））若实数,a b 满足()()221ln 2ln 1a b a b-≥+-，则a b +=（ ）A B C ．2D 【答案】C 【详解】证明不等式ln 1x x ≥+， 令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 故()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=，故ln 1x x ≥+证明成立；又因为2211a b +-≥21a b -，且仅当a =1b 时成立 又因为()()221ln ln 2ln a aa b b b-≥=- 故与题意联立，得()()221ln ln 2ln a aa b b b-==- 令t =2a b ，故有1ln t t -=，解得1t =时成立，综上联立：2a b=1与a =1b解得a ，b 故选：C.18．（2021·银川三沙源上游学校高二月考（理））在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC ∆的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣【答案】C 【详解】解：在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又(0,)2A π∈，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A Cc C C C C ++====+， 因为ABC 为锐角三角形，所以02C <<π，2B AC ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221212222b c b c t t bc c b t t ⎛⎫ ⎪+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 由对勾函数单调性知12y t t =+在35⎛ ⎝⎭上单调递减，在53⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，当t =时，y =35t =时，4315y =；当53t =时，5915y =；所以5915y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈，即222b c bc +的取值范围是5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：C.19．（2021·北京昌平·临川学校高三期末）已知函数221()4()ln x f x k x k x -=++，[)2,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为（ ） A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】 由题设，2121()4()1f x k x k x '=-++⋅-且x ∈(0,)+∞，令1t x=∈(0,)+∞， 要使()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行， ∴若22()()4()1g t f x t k t k'==-++-，121211t t x x =≠=，∴在(0,)+∞上总存在()g t m =有两个解分别为1t 、2t ，而()g t 的对称轴22()t k k=+，故12121224()x x t t k x x k ++==+，而21212()4x x x x +<，∴121212244()x x k x x k x x +=+>+，整理得1212x x k k+>+，[)2,k ∈+∞上2[3,)k k+∈+∞， ∴1213x x +>即可.故选：B 二、多选题20．（2021·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）对任意,A B R ⊆，定义{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂.例如，若{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则{1,4}A B ⊕=，下列命题中为真命题的是（ ） A ．若,A B R ⊆且A B B ⊕=，则A =∅ B ．若,A B R ⊆且A B ⊕=∅，则A B = C ．若,A B R ⊆且A B A ⊕⊆，则A B ⊆ D ．若,A B R ⊆，则()()R RA B A B ⊕=⊕【答案】ABD 【详解】根据定义()()R R A B A B A B ⎡⎤⊕=⋂⋂⎣⎦⎡⎤⎣⎦.对于A ：若A B B ⊕=,则()A B B =R ,()R A B ⋂=∅,()()R R A B B B A ⋂=⇒⊆,()R B A B A =⋂∅⇒⊆,∴A =∅,故A 正确;对于B ：若A B ⊕=∅,则()R A B =∅,()R A B ⋂=∅,A B A A B ⋂=⇒⊆,A B B B A ⋂=⇒⊆,∴A B =,故B 正确;对于C ：若 A B A ⊕⊆,则A B A ⊕⊆,()R A B A ⋂⊆,则B A ⊆.故C 错; 对于D ：左边()()()R RRA B A B AB ⊕=,右边()(){}()()()RRRR RRA B A B A A B AB B =⎡⎤⎡⎤⊕=⋂⎣⎣⎦⎦⋂所以左=右.故D 正确.故选：ABD.21．（2021·福建高三模拟预测）两个集合A 和B 之间若存在一一对应关系，则称A 和B 等势，记为AB ．例如：若A 为正整数集，B 为正偶数集，则AB ，因为可构造一一映射()2x Af x x ∈=．下列说法中正确的是（ ） A ．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同 B ．对三个无限集合A 、B 、C ，若A B ，B C ，则A CC ．正整数集与正实数集等势D ．在空间直角坐标系中，若A 表示球面：2222x y z z ++=上所有点的集合，B 表示平面xOy 上所有点的集合，则AB【答案】ABD 【详解】对于A 选项，设有限集合{}12,,,n A a a a =，{}12,,,m B b b b =，充分性：若AB ，则两个集合A 和B 之间若存在一一对应关系，则对任意的()1,2,,i a i n A =∈，存在i b B ∈，使得i a 与i b 对应，故m n =，充分性成立.必要性：若m n =，即集合A 、B 的元素个数相等， 可构造映射f ，使得()()1,2,,i i b f a i n ==，故AB ，必要性成立，A 对；对于B 选项，对三个无限集合A 、B 、C ， 若AB ，对任意的a A ∈，存在唯一的b B ∈，使得a 与b 对应，又因为B C ，则存在唯一的c C ∈，使得b 与c 对应，故对任意的a A ∈，存在唯一的c C ∈，使得a 与c 对应，故A C ，B 对； 对于C 选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：假设正整数集N *与正实数集R +等势，则存在N *与R +的一个一一对应ϕ，将与N *中n 对应的元素()n ϕ记为n r ，则R +中的元素可以排成一列：1r 、2r 、、n r 、，显然R +中至少有一个单位长度的区间不包含1r ，不妨设此区间为[]11,2I =，将[]1,2三等分，则41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦、5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦中至少有一个区间不含2r ，以2I 表示此区间，将2I 三等分，其左、右两个区间至少有一个不含3r ，记为3I ， 依此类推，可得一列闭区间n I 满足： （i ）123I I I ⊃⊃⊃，且n I 的长度趋于0；（ii ）n n r I ∉，1n =、2、3、.所以，1n n I ∞=≠∅，但对任意的m N *∈，1m n n r I ∞=∉，换言之，1n n I ∞=不在R +中，这是不可能的，这一矛盾说明，N *与R +不等势，C 错； 对于D 选项，如下图所示：球面方程为()22211x y z ++-=，球面与z 轴的正半轴交于点()0,0,2E ，对于球面上任意一点F （不与点E 重合），设直线EF 交平面xOy 于点C ， 则球面上的点F （不与点E 重合）与平面xOy 内的点C 能建立一一对应关系， 假定在平面xOy 上有一理想的点称之为无穷远点，它与点E 对应，这样A B ，D 对.故选：ABD.22．（2021·山东德州·高二期末）我们把有限集合A 中的元素个数用()card A 来表示，并规定()card 0∅=，例如{}1,2,3A =，则()card 3A =.现在，我们定义()()()()()()()()card card ,card card *card card ,card card A B A B A B B A A B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，已知集合{}220x A x e x =+-=，()(){}2ln 10B x x ax x aex =--+=，且*1A B =，则实数a 不可能在以下哪个范围内（ ） A ．21,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】BCD 【详解】对于集合A ，由220x e x +-=，可得22x e x =-，作出函数x y e =与函数22y x =-的图象如下图所示：所以，函数x y e =与函数22y x =-的图象有两个公共点，故()card 2A =. 因为()()card card 1A B A B *=-=，所以，()card 1B =或3.对于集合B ，由()()2ln 10x ax x aex --+=，显然0x >，由ln 0x ax -=，可得ln xa x=，由210x aex -+=，可得11a x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()ln xf x x=，()11g x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象共有1个或3个交点， ()21ln xf x x -'=，当0x e <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当x e >时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，()()max 1f x f e e==，且当1x >时，()0f x >.()2221111x g x e x ex -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，当01x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，()()min 21g x g e==， 作出直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象，如下图所示：由图象可知，当0a ≤、1a e =或2a e=时，直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象共有1个公共点.故选：BCD.23．（2021·江苏省天一中学）设1e ，2e 为单位向量，满足1222e e -≤，12a e e =+，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（ ）A ．1920B ．2029C ．2829D ．1【答案】CD 【详解】设单位向量1e ，2e 的夹角为α，由1222e e -≤，两边平方得54cos 2α-≤，解得3cos 14α≤≤，又12a e e =+，123b e e =+，212||()2a e e ∴=+=||106cos b =+且44cos a b α=+⋅cos 22cos b ba a θ∴==+⋅⋅=244cos cos 53cos αθα+∴=+，令2cos t θ=，则844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++ 3cos 14α≤≤，2953cos 84α∴≤+≤，81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，即2cos θ的取值范围为28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD24．（2021·大名县第一中学高二月考）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线22|:1|C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）A ．图形关于y 轴对称B ．曲线C 恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）C ．曲线CD ．曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3 【答案】ABD 【详解】对于A ，将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x =时，代入可得21y =，解得1y =±，即曲线经过点(0,1),(0,1)-，当0x >时，方程变换为2210y xy x -+-=，由224(1)0x x ∆=--≥，解得x ⎛∈ ⎝⎦，所以x 只能去整数1， 当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0),(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0),(1,1)--，故曲线一共经过6个整点，故B 正确；对于C ，当0x >时，由221x y xy +=+可得222212x y x y xy ++-=≤，（当x y =时取等号），222x y ∴+≤，C 上y C 上任意一点，故C 错误；对于D ，如图所示，在x 轴上图形的面积大于矩形ABCD 的面积：1122S =⨯=，x 轴下方的面积大于等腰三角形ABE 的面积：212112S =⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故D 正确；故选：ABD三、双空题25．（2021·全国高二单元测试）等差数列{}n a 中15141024a a a a ++=+，且513a a =，则5a =______；若集合{}*122nn n N a a a λ∈<+++∣中有2个元素，则实数λ的取值范围是______.【答案】12 9(2,)4【详解】空1：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为15141024a a a a ++=+，且513a a =，所以有：11111114139244432a a d a d a d a a d a d ++++=++=⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，因此51444212a a d =+=+⨯=； 空2：由（1）知：112211(1)4(1)2322n na n n d n n n n n a a a =+-⋅=+-⋅=++++由122nn a a a λ<++⇒+122nna a a λ+++<，设212322nn nna a a n nb ++++==， 222111(1)3(1)34222n n n n n n n n n n b b n ++++++--+-==+-， 显然当1n =时，21b b >，当2,n n N *≥∈时，110n n n n b b b b ++<⇒-<，因此从第2项起，数列是递减数列， 12345972,,,244b b b b ====，所以数列{}n b 的最大项为252b =，因为{}*122nn n N a a a λ∈<+++∣中有2个元素，所以不等式 12()2nna a a λ+++<*只有两个不同正整数根，而数列{}n b 的最大项为252b =，因此2n =一定是不等式()*的解， 因此一定有：924λ<<.故答案为：9(2,)426．（2021·全国）设,A B 是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩ ,01x Bn x B ∉⎧=⎨∈⎩，①若A B ⊆.则对任意x R ∈，(1)m n -=______； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则,A B 的关系为______． 【答案】0B R AC =【详解】解：①∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m=0，m （1-n ）=0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m=n=1，m （1-n ）=0． 综上可得：m （1-n ）=0．②对任意x ∈R ，m+n=1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ，B 的关系为A=∁R B ． 故答案为0，A=∁R B ．27．（2021·海淀·北京市八一中学）已知a b c ，，是ABC ∆的三边长，关于x 的方程21122x c a +-=的解集中只有一个元素，方程322cx b a +=的根为0x =，则ABC ∆的形状为________；若a b ，为关于230x mx m +-=的两个实数根，则实数m 的值_________． 【答案】等边三角形 12- 【详解】关于x 的方程211022x c a +-=的解集中只有一个元素,12()02b c a ∴∆=--=,即2a b c +=，方程322cx b a +=的根为0x =，∴a b =， ∴a b c ==，故三角形为等边三角形.a b ，为关于230x mx m +-=的两个实数根,,3a b m ab m ∴+=-=-,即2120m m +=， 解得12=-m故答案为：等边三角形；-12四、填空题28．（2021·上海桃浦中学高一月考）已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________. 【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7. 【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C =，,B C ∴中所有元素之和为121055++⋅⋅⋅+=； 若C 中仅有一个元素，设{}C a =，则55a a =-，解得：552a =，不合题意； 若C 中有且仅有两个元素，设{}(),C a b a b =<，则()55ab a b =-+， 当6a =，7b =时，()55ab a b =-+，{}6,7C ∴=；若C 中有且仅有三个元素，设{}(),,C a b c a b c =<<，则()55abc a b c =-++； 当1a =，4b =，10c =时，()55abc a b c =-++，{}1,4,10C ∴= 若C 中有且仅有四个元素，设{}(),,,C a b c d a b c d =<<<， 则()55abcd a b c d =-+++，当1a =，2b =，3c =，7d =时，()55abcd a b c d =-+++，{}1,2,3,7C ∴=； 若C 中有且仅有五个元素，若{}1,2,3,4,5C =，此时1234512055⨯⨯⨯⨯=>，∴C 中最多能有四个元素；综上所述：{}6,7C =或{}1,4,10或{}1,2,3,7. 故答案为：{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.29．（2021·山东高考真题）集合M ，N ，S 都是非空集合，现规定如下运算：M N S =()()(){|x x M N N S S M ∈⋃且}x MNS ∉．假设集合{}A x a x b =<<，{}B x c x d =<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足：（1）0ab <，0cd <；0ef <；（2）b a dc f e -=-=-；（3）b ad c fe +<+<+．计算A B C =____________________________________．【答案】{|x c x e <≤或}b x d ≤< 【详解】a b c d +<+，得a c d b -<-；a b c d -=-，得a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理d f <，∴b d f <<．由(1)(3)可得0a c e b d f <<<<<<．∴{}A B x c x b ⋂=<<，{}B C x e x d ⋂=<<，{}C A x e x b ⋂=<<．A B C ={|x c x e <≤或}b x d ≤<．故答案为：{|x c x e <≤或}b x d ≤<30．（2021·上海市实验学校高三月考）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】由集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，得(ax －5)(x 2－a )<0， 当a ＝0时，得20x >，显然不满足题意， 当a >0时，原不等式可化为(50x x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，5a，则解得x <5x a<，所以只需满足5355aa<⎨⎪≤⎪⎩，解得513a ≤<；5a >，则解得x <5x a<<所以只需满足535a ⎧<<⎪⎨⎪⎩9<a ≤25，当a <0时，当0x >时，(ax －5)(x 2－a )<0恒成立，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围是(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭．31．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为___________. 【答案】1010 【详解】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集{}123,,,,n A a a a a =，积数和12(1)(1)(1) 1.n n S a a a =+++-当1n =时，11111n S a a S =+-==，成立； 假设(1)n k k =≥时，12(1)(1)(1)1k k S a a a =+++-当1n k =+时，()11111k k k k k k k k S S a S a S S a ++++=++⋅=++⋅12112(1)(1)(1)1(1)(1)(1)k k k a a a a a a a +=+++-++++ 121(1)(1)(1)(1)1k k a a a a +=++++-综上可得，N *∀∈，12(1)(1)(1) 1.n n S a a a =+++- 则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为： 1111345202211111123420212342021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-=⨯⨯⨯⨯- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2022110102=-= 故答案为：1010.32．（2021·长宁·上海市延安中学高三月考）已知函数()24222x a x x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x f x =，则实数a 的取值范围是______．【答案】04a ≤<【详解】解：设函数()24,2x g x x x+=≥的值域为A ，函数()2,2x a h x x -=<的值域为B ， 因为对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x fx =， 则A B ⊆，且B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个.当[)12,x ∈+∞时，()244x g x x x x+==+， 因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立， 所以[)4,A =+∞，当()2,2x ∈-∞时，()2,2x a h x x -=< ①当2a ≥时，()2,2a x h x x -=<，此时()22,a B -=+∞， 224a -∴<，解得24a ≤<，②当2a <时，()2,2,2a x x a x a h x a x --⎧<=⎨≤<⎩， 此时()h x 在(),a -∞上是减函数，取值范围是()1,+∞，()h x 在[),2a 上是增函数，取值范围是)21,2a -⎡⎣，224a -∴≤，解得02a ≤<，综合得04a ≤<.故答案为：04a ≤<33．（2021·湖南岳阳楼·岳阳一中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且点D 满足2CD DA =，BD =1cos 4ABC ∠=，则2c a +的最大值为____________.【详解】解：由题意得,BD BA AD BD BC CD =+=+， 所以322BD BA BC CD AD =+++,因为2CD DA =，所以32BD BA BC =+， 两边平方得，222944BD BA BC BA BC =++⋅， 所以221844cos c a BA BC ABC =++⋅∠， 得22184c a ac =++， 所以218(2)3c a ac =+-，即2318(2)22c a a c =+-⋅⋅， 因为2222c a ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a c =时取等号， 所以22332(2)182222c a c a a c +⎛⎫+-=⋅⋅≤ ⎪⎝⎭， 令2c a t +=，则223188t t -≤，因为0t >，所以得0t <≤所以当且仅当2a c =时， 2c a +。
2024年高考数学真题分类汇编01：集合与常用逻辑用语
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题ห้องสมุดไป่ตู้
10．（2024·上海）设全集U 1, 2,3, 4,5 ，集合 A 2, 4 ，则 A
．
1．A
参考答案：
【分析】化简集合 A ，由交集的概念即可得解.
【解析】因为 A x | 3 5 x 3 5 , B 3, 1, 0, 2,3 ，且注意到1 3 5 2 ，
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质， a3 b3 和 3a 3b 都当且仅当 a b ，所以二者 互为充要条件. 故选：C.
10． 1, 3, 5
【分析】根据补集的定义可求 A .
【解析】由题设有 A 1,3,5 ，
b
或
a
b
”的（
）条件．
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2024·天津）集合 A 1, 2,3, 4 ， B 2,3, 4,5 ，则 A B （ ）
A．1, 2,3, 4
B．2,3, 4
C．2, 4
D． 1
9．（2024·天津）设 a,b R ，则“ a3 b3 ”是“ 3a 3b ”的（ ）
【解析】因为 A 1, 2,3, 4,5,9, B x x A ，所以 B 1, 4,9,16, 25,81 ，
则 A B 1, 4,9 ， ðA A B 2, 3, 5
故选：D
5．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【解析】对 A，当 a b 时，则 a b 0 ，
高考数学(文)复习五年高考真题分类汇编集合与常用逻辑用语(2019高考复习资料)
第 1 节 集合
题型 1 集合的基本概念 —— 暂无 题型 2 集合间的基本关系 —— 暂无 题型 3 集合的运算
1. （ 2013 山东文 2） 已知集合 A ，B 均为全集 U 1,2,3,4 的子集， 且 eU A B B 1,2 ，则 A eU B （ ） .
4，
A. 3
C．5
D．7
25.（ 2014 福建文 1）若集合 P x 2≤ x 4 , Q x x≥ 3 , 则 P Q 等于（
）
A. x 3≤ x 4
B. x 3 x 4
C. x 2≤ x 3
D. x 2≤ x≤ 3
26.（ 2014 广东文 1）已知集合 M 2,3,4 , N 0,2,3,5 ，则 M N （ ） .
D． 16
解析 A B 1, 3，其中子集有 , 1 , 3 , 1,3 共 4 个 .故选 C.
8. (2013 天津文 1）已知集合 A x R x , 2 ， B x R x? 1 ， 则 A B ( ).
A. ( ,2]
B. 1,2
C. 2,2
8.分析 先化简集合 A ，再借助数轴进行集合的交集运算 .
B. 4
C. 3,4
D.
1.分析 利用所给条件计算出 A 和 eUB，进而求交集 .
解析： 因为 U 1,2,3,4 ， 饀U A B 4 ，所以 A B 1,2,3 .又因为 B 1,2 ， 所以 3 A 1,2,3 .又 饀U B 3,4 ，所以 A 饀U B 3 .故选 A.
2. (2013 安徽文 2） 已知 A x x 1>0 ， B 2， 1，0，1 ，则 CR A B （ ） .
B.
4 第一章 集合与常用逻辑用语 章节综合检测卷(新高考题型)(解析版).
4第一章集合与常用逻辑用语章节综合检测（新高考版综合卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2022·全国·高一课时练习）下列关系中错误的是（）A ．∅{}0B ．{}1,2ZC ．(){}{},,a b a b ⊆D ．{}{}0,11,0⊆【答案】C【详解】对于A ，因为空集是任何非空集合的真子集，所以∅{}0，所以A 正确，对于B ，因为Z 表示的是整数集，所以{}1,2Z ，所以B 正确，对于C ，因为(){},a b 表示此集合中只有一个元素(),a b ，而集合{},a b 表示集合中有2个数,a b ，所以两集合间不存在包含关系，所以C 错误，对于D ，{}0,1和{}1,0是两个相等的集合，所以{}{}0,11,0⊆，所以D 正确，故选：C2．（2022·湖南益阳·模拟预测）命题“()0x ∃∈+∞，，使20x ax c ++≥”的否定是（）A ．()0x ∀∈+∞，，都有20x ax c ++≥B ．()0x ∀∈+∞，，都有20x ax c ++<C ．()0x ∃∈+∞，，使20x ax c ++≥D ．()0x ∃∈+∞，，使20x ax c ++<【答案】B【详解】命题“()0x ∃∈+∞，，使20x ax c ++≥”的否定为()0x ∀∈+∞，，都有20x ax c ++<．故选：B3．（2022·全国·高一单元测试）用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．则图中的阴影部分表示的集合为（）A ．ABC ⋂⋂B ．()U A B CðC ．()U A B C⋂⋂ðD ．()UABC ð故答案为：{32}xx -≤<-∣14．（2022·全国·高一专题练习）若对任意的x A ∈，有1A x∈，则称A 是“则集合11,01,22M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭-,,的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为。
新高考地区专用2024_2025三年高考数学真题分项汇编专题01集合与常用逻辑用语
专题01 集合与常用逻辑用语1．【2024年新高考1卷】若集合M ={x ∣√x <4}, N ={x ∣3x ≥1}，则M ∩N =（ ）A ．{x |0≤x <2 }B ．{x |13≤x <2 }C ．{x |3≤x <16 }D ．{x |13≤x <16 }【答案】D【分析】求出集合M,N 后可求M ∩N .【解析】M ={x ∣0≤x <16},N ={x ∣x ≥13}，故M ∩N ={x|13≤x <16}，故选：D.2．【2024年新高考2卷】已知集合A ={−1,1,2,4},B ={x ||x −1|≤1 }，则A ∩B =（ ）A ．{−1,2}B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{−1,4} 【答案】B【分析】求出集合B 后可求A ∩B .【解析】B ={x|0≤x ≤2}，故A ∩B ={1,2}，故选：B. 3．【2024年新高考1卷】设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B .【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .4．【2024年新高考2卷】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3} 【答案】B【分析】依据交集、补集的定义可求()U A B ⋂.【解析】由题设可得{}U 1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.5．【2024年新高考1卷（山东卷）】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】依据集合并集概念求解.【解析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==，故选：C.【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解实力，属基础题.6．【2024年新高考2卷（海南卷）】设集合A={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】依据集合交集的运算可干脆得到结果.【解析】因为A {2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B =，故选：C.【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简洁.。
高考数学专题复习01 集合与常用逻辑用语
专题01 集合与常用逻辑用语1．【2019年全国Ⅰ卷】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N =( ) A.}{43x x -<< B.}42{x x -<<- C.}{22x x -<< D.}{23x x << 2．【2019年高考全国Ⅱ卷】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =( )A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)3.【2019年高考全国Ⅲ卷】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则AB =( ) A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2 4．【2018年理新课标I 卷】已知集合，则( ) A. B. C. D.5．【2018年理数全国卷II 】已知集合，则中元素的个数为( )A. 9B. 8C. 5D. 46.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1A B =，则B =（ ）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,57.【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 8.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y =+≤∈N ，则A 中元素的个数为( )A ．1B ．5C ．6D ．无数个 9.已知集合{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，则( )A ．{}1AB x x => B ．A B =RC ．{|0}A B x x =<D ．A B =∅10.设集合{|12,}A x x x =-≤≤∈N ，集合{2,3}B =，则B A 等于( )A ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．}3,2,1{D ．{2}11.已知集合{0,1,2}A =，{,2}B a =，若B A ⊆，则a = ( )A ．0B ．0或1C ．2D ．0或1或212.已知集合{}2230,A x x x =+-≤{}2B =<，则A B =( ) A ．{}31x x -≤≤ B ．{}01x x ≤≤ C ．{}31x x -≤<D ．{}10x x -≤≤13.已知集合{|A x y =，2{|log 1}B x x =≤，则A B =( )A.1{|}3x x ≤≤-B.{|01}x x <≤ C ．{|32}-≤≤x x D ．{|2}x x ≤14.设集合{|A x y ==，{|2,x B y y ==3}x ≤，则集合B A C R )(=( ) A ．}3|{<x xB ．{|3}x x ≤C ．{|03}x x <<D ．{|03}x x <≤ 15.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 16.设集合，，则的子集个数为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 3217.设集合,,若,则（ ） A. B. C. D. 18.【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 .19.（2016年山东高考）设集合 则=( )（A ） （B ）（C ） （D ） 20.已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则)(Q C P R =( )A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞21.（2016年四川高考）设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.622.（2016年天津高考）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ） （A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3}（D ）{1,4} 23.（2016年全国I ）设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B = ( )（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)224.（2016年全国II ）已知集合，，则（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 25.（2016年全国III 高考）设集合S = ， 则T S =( )A.[2，3]B.（- ，2] [3,+）C. [3,+）D.（0，2] [3,+）2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R A B (1,1)-(0,1)(1,)-+∞(0,)+∞{1,}A =2,3{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z A B ={1}{12}，{0123}，，，{10123}-，，，，{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>∞U ∞∞U ∞26.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为 ( )A ．2000,10x x x ∃∈++≥RB ．2000,10x x x ∃∈++≤RC ．2000,10x x x ∀∈++≥RD ．2000,10x x x ∀∉++≥R27.【2015高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈28.（2016年浙江高考） 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2x n ≥”的否定形式是( ) A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <29.已知命题；命题：，，则下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 30.【2017山东，理3】已知命题p:；命题q ：若a ＞b ，则，下列命题为真命题的是( )（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q31.【2017课标II 】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。
2011-2019高考文科数学全国卷真题分类汇编(含答案)专题：第2章 集合与常用逻辑用语
第2章 集合与常用逻辑用语1.（2011全国1文1）已知集合，，，则的子集共有（ ）.A.个B.个C.个D.个2.(2012全国文1)已知集合，，则（ ）.A. B. C. D. 3.（2013全国I 文1）已知集合，则（ ）. A. B. C. D. 4.（2013全国II 文1）已知集合，，则（ ）. A. B. C. D.5（2014新课标Ⅰ文1）已知集合，，则（ ）A. B. C. D.6.（2014新课标Ⅱ文1）已知集合，，则（ ）A. B. C. D.7. (2015全国I 文1)已知集合，则集合中元素的个数为（ ）.A. 5B. 4C. 3D. 28. (2015全国II 文1)已知集合，，则（ ）.A. B. C. D.9. (2016全国I 文1)设集合，，则（B )A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7} 10.(2016全国II 文1)已知集合，则(D ) （A ） （B ） （C ） （D ）11．(2017全国I 文1)已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 ( A ){}0,1,2,3,4M ={}1,3,5N =P MN =P 2468{}220A x x x =<－－{}11B x x =<<－A B ⊂≠B A ⊂≠A B =A B =∅{}{}21234A B x x n n A ===∈，，，，，A B ={}14，{}23，{}916，{}12，{}|31M x x =-<<{}3,2,1,0,1N =---MN ={}2,1,0,1--{}3,2,1,0---{}2,1,0--{}3,2,1---{|13}M x x =-<<{|21}N x x =-<<MN =(2,1)-(1,1)-(1,3))3,2(-{}2,0,2A =-{}2|20B x x x =--=A B =∅{}2{}0{}2-{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n B ==+∈=N A B {|12}A x x =-<<{}03B x x =<<=B A ()13,-()10,-()02,()23,{1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤A B ={123}A =，，，2{|9}B x x =<A B ={210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}，，{12}，A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D ．A B=R12(2017全国II 文1设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=A B （A ） A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，，13.【2018全国一文1】已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（A ） A ．{}02， B ．{}12， C ．{}0 D ．{}21012--，，，， 14.【2018全国二文2】已知集合，，则（C ）A ．B ．C ．D ．15.【2018全国三1】已知集合，，则（C ）A ．B ．C ．D ．16.（2014新课标Ⅱ文3）函数在处导数存在，若；是的极值点，则（ ）A.是的充分必要条件B.是的充分条件，但不是的必要条件C.是的必要条件，但不是的充分条件D.既不充分也不必要17.（2013全国I 文5）已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）.A. B. C. D.18.（2014新课标Ⅰ文14）甲.乙.丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.19．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则=A C B UA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,720．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B ={}1,3,5,7A ={}2,3,4,5B =A B ={}3{}5{}3,5{}1,2,3,4,5,7{|10}A x x =-≥{0,1,2}B =A B ={0}{1}{1,2}{0,1,2}()f x 0x x =0:()0p f x '=0:q x x =()f x p q p q q p q q :2<3x x p x ∀∈R ，32:1q x x x ∃∈=-R ，p q ∧p q ⌝∧p q ∧⌝p q ⌝∧⌝A B C B CA ．(-1，+∞)B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅ 21．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2 22．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面第2章 答案BBACB BDABD AAACCCBA C C AB。
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《集合与常用逻辑用语》
集合与运算
1．[2014·北京卷] 已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
2．[2014·福建卷]若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
3．[2014·广东卷]已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝()
A．{0，1} B．{－1，0，2} C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}
4．[2014·湖北卷]U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝() A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
6．[2014·全国卷] 设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝()
A．(0，4] B．[0，4) C．[－1，0) D．(－1，0]
7．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝()
A．[－2，－1] B．[－1，2) C．[－1，1] D．[1，2)
8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
9．[2014·山东卷] 设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝() A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)
10．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝()
A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1)
11．[2014·四川卷]已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝() A．{－1，0，1，2} B．{－2，－1，0，1} C．{0，1} D．{－1，0}
13．[2014·浙江卷]设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝() A．∅B．{2} C．{5} D．{2，5}
14．[2014·重庆卷] 设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B ＝________．
命题及其关系、充分条件、必要条件
14．[2014·安徽卷] “x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
15．[2014·北京卷] 设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
16．[2014·福建卷] 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12
”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
17．[2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
18．[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A ．真，假，真
B ．假，假，真
C ．真，真，假
D ．假，假，假
19．[2014·天津卷] 设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
20．[2014·浙江卷] 已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
21．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．⌝p ∧⌝q
C ．⌝p ∧q
D ．p ∧⌝q
基本逻辑联结词及量词
22．[2014·湖南卷] 已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
23．[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )
A ．p ∨q
B ．p ∧q
C ．(⌝p )∧(⌝q )
D ．p ∨(⌝q )
24．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题： p
1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，
p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，
p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，
p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.
其中的真命题是( )
A ．p 2，p 3
B ．p 1，p 2
C ．p 1，p 4
D ．p 1，p 3。