★★矩阵位移法(李廉锟_结构力学)

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§10-1 概述
2. 坐标系
结构力学
结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量 结构整体坐标系 用于描述结构整体的量—— 用于描述结构整体的量 结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。 结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。
单元局部坐标系固定在单元上， 轴与杆轴重合, 单元局部坐标系固定在单元上， 轴与杆轴重合,自 x 固定在单元上 x 轴逆时针旋转90 轴正向。 轴逆时针旋转 0时的方向为 y 轴正向。用于描述单元的杆 端力和杆端位移等。 端力和杆端位移等。
结构力学
EA l 0 0 EA l 0 0 6EI l2 2EI l ⋅ 0 6EI − 2 l 4EI l
uie ve i θi e e u j e vj θ e j
FN 1 1 e 2 FN 2
{Fe}= (F i 0 F j N N
杆端力向量
0) (10-3) )
T
u1
1
e
2
u2 v2
杆端位移向量
{δe} = (ui vi uj vj ) (10-4)
T
v1
其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对 应的关系。 应的关系。
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§10-1 概述
结构力学
1. 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系
截面直杆单元e 截面直杆单元 , 其杆端位移列向量与杆端力列 向量分别为 T e {δe} = ui vie θi e ⋮ uje vje θ je
{Fe} = F e xi

Fe yi
EA e EA e EA e (uj −uie ) = ⋅ui − ⋅ uj l l l EA e EA e EA e Fe = (uj −uie ) = − ⋅ui + ⋅ uj xj l l l Fe = − xi
（a） ）
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§10-2 单元刚度矩阵
四、基本概念
1. 结点和单元
结构力学
单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面 最基本的分析部件， 单元 最基本的分析部件 直杆。 直杆。 梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单 受轴力、 梁单元 受轴力 刚架）。 元（梁、刚架）。 轴力单元——只受轴力作用的单元（桁架）。 只受轴力作用的单元（桁架）。 轴力单元 只受轴力作用的单元 单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定， 单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单 结点联结 元也就全部确定了。 元也就全部确定了。 构造结点:杆件的转折点、汇交点、 构造结点: 杆件的转折点 、汇交点 、 支承点和截面突 变点。 变点。 非构造结点: 非构造结点 : 一根等截面直杆内的单元与单元之间的 结点。 结点。
结构力学
） 5 13,14,15） 6 16,17,18） （ ） （
6
2 1
3
5Байду номын сангаас
4 10,11,12） （ ）
3 7,8,9） （ ）
4
Y X
1 （1,2,3） ）
2 （4,5,6） ）
ϕ
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§10-1 概述
3. 杆端位移和杆端力
结构力学
不忽略单元的轴向变形时， 不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结 点都有3个独立的位移 个独立的位移（ 个独立线位移 个独立线位移、 个角位 点都有 个独立的位移 （ 2个独立线位移 、 1个角位 每一个铰结点则有2个独立线位移 个独立线位移。 移），每一个铰结点则有 个独立线位移。
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§10-1 概述
矩阵位移法基本思想: 矩阵位移法基本思想 •化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件，杆件称作单元。 将结构拆成杆件，杆件称作单元。 单元 单元的连接点称作结点。 单元的连接点称作结点。 结点 对单元和结点编码. 基本未知量:结点位移 对单元和结点编码 基本未知量 结点位移
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§10-1 概述
结构矩阵分析方法特点与分类 特点与分类： 二、结构矩阵分析方法特点与分类：
结构力学
(1) 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。 (2) 各种情况可统一处理，通用性强。 各种情况可统一处理，通用性强。 (3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。 矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。 以力作为基本未知量。 矩阵力法(或称柔度法) 以力作为基本未知量 矩阵位移法(或称刚度法） 矩阵位移法(或称刚度法）——采用结点位移作为基 采用结点位移作为基 本未知量。借助矩阵进行分析， 本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种 杆系结构受力、变形等计算的方法。 杆系结构受力、变形等计算的方法。 对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。 对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。 因易于编制通用的计算程序
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§10-1 概述
结构力学
平面桁架铰结点只有两个独立的线位移， 平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此 对应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应， 对应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应， 但实际上桁架单元的剪力总是为零的， 但实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有
1 5
结构力学
6 2
3 6
3
5
4
1
4
2
•单元分析
单元杆端力
⇔ 单元杆端位移 •集零为整 ------ 整体分析 结点外力 ⇔ 单元杆端力 结点外力 ⇔ 单元杆端位移
(杆端位移 结点位移 杆端位移=结点位移 杆端位移 结点位移) 结点外力 ⇔ 结点位移
e
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§10-2 单元刚度矩阵
第十章
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4
矩阵位移法
概述 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵的坐标转换 结构的原始刚度矩阵
结构力学
§10-5 支承条件的引入 §10-6 非结点荷载的处理 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 §10-8 几点补充说明
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§10-1 概述
手算与电算比较： 一、手算与电算比较：
手算：小型、简单问题，讲究技巧。 手算：小型、简单问题，讲究技巧。
结构力学
超静定结构分析： 力法，位移法，力矩分配法。 超静定结构分析： 力法，位移法，力矩分配法。
电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、 电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、 通用性。 通用性。 结构力学中的电算方法 —结构矩阵分析方法 结构矩阵分析方法 (杆件有限元法 杆件有限元法) 杆件有限元法 结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、 结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、 以矩阵作为数学表述形式、 以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手 段大规模的计算方法。 段大规模的计算方法。
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§10-1 概述
5. 正负号规定（强调） 正负号规定（强调） 杆端位移和杆端力的正负号： 杆端位移和杆端力的正负号： 的正负号
结构力学
凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值， 凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值， 反之为负值。 反之为负值。 力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。 力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。 逆时针方向为正 作用在结点上的外力和结点位移的正负号： 作用在结点上的外力和结点位移的正负号： 结点上的外力和结点位移的正负号 与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正， 与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正， 反之为负。 反之为负。 逆时针转的结点力矩和结点转角为正值, 转的结点力矩和结点转角为正值 以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为 负值。 负值。
4. 结点力和结点位移
结构力学
作用于结点上的所有的力的合力, 作用于结点上的所有的力的合力 沿坐标轴方 结点力向量。 向分解为三个分量, 构成该结点的结点力向量 向分解为三个分量 构成该结点的结点力向量。 与结点力向量对应的是结点位移向量， 与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵 结点位移向量 位移法的基本未知量 基本未知量。 位移法的基本未知量。 注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的 注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。 整体坐标系
单元 分析 建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程， 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵 整体 分析 由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程， 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵 用矩阵形式表示位 移法基本方程 用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程
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§10-1 概述
平面刚架单元的杆力列向量为
{Fe} = (F i N Fi S Mi Fj N Fj S
Mj )
T
(10-1) )
平面刚架单元的杆端位移列向量为
{δe}= (ui vi θi uj vj θj )T
(10-2） ）
注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的， 注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有 几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。 几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。
理论基础：位移法 ；分析工具：矩阵 ； 分析工具： 理论基础： 计算手段：计算机 计算手段：