§7 多元函数微积分(浙师大)

因r
≥ 0 ，故当θ = = 1,θ =
π
2
时取最大值，θ
=−
π
2
时取最小值，
易见，当 r
π
2
时，
f ( x, y ) 取最大值19 ；
当r
= 1,θ = −
π
2
时，
f ( x, y ) 取最小值 −11 。
⎛ 3 3⎞ x2 y 2 例 2．设椭圆 + = 1 在 A ⎜1, ⎟ 点的切线交 y 轴于 B 点， 2 4 9 ⎝ ⎠
积。 练习 10 证明：锐角三角形内一点到三顶点联线成等角时，该点到三 顶点距离之和为最小。
7
0 0
t
t
练习 3 计算曲面积分
I = ∫∫ 2 x3 dydz + 2 y 3 dzdx + 3( z 2 − 1)dxdy
Σ
其中 Σ 是曲面 z
= 1 − x 2 − y 2 ( z ≥ 0) 的上侧.
5
教案七：多元函数微积分
练习 4 设平面区域 D （1）
= [ 0, π ] × [ 0, π ] ， L 为 D 的正向边界，试证
注：也可利用格林公式来做。 例 6．从已知 ∆ABC 的内部的点 P 向三边作三条垂线，求使此三条垂 线长的乘积为最大的点 P 的位置。 解：设 P 到 AB, AC , BC 的距离分别为 x, y , z 。则
cx + by + az = 2S ，
其中 S 为 ∆ABC 的面积。
xyz =
1 1 cx + by + az 3 1 2S 3 cx ⋅ by ⋅ az ≤ ( ) = ( ) ， abc abc 3 abc 3 = az 时成立，且可达到。
设 l 为从 A 到 B 的直线段，试计算
− ∫⎜ ⎝ x +1
l
⎛ sin y
⎞ ⎤ 3 y ⎟dx + ⎡ ⎣cos y ln ( x + 1) + 2 3 x − 3 ⎦ dy 。 ⎠
解
x 2 yy ′ x2 y 2 + = 1 的两边对 x 求导，得 + =0 将 2 9 4 9
9x 92 3 3 =− ， y ′(1) = − ， 4 9 2 4y
（1） 证明曲线积分 I 与路径 L 无关； （2） 当 ab = cd 时，求 I 的值.
6
教案七：多元函数微积分
练习 7 计算
2 2 2 2 2 2 I =v ∫ ( y − x )dy + (2 z − x )dy + (3x − y )dz L
其中 L 是平面 x +
y + z = 2 与柱面 x + y = 1 的交线， 从 z 轴正向看去， f ( x, y ) 有一阶连续的偏导数，且
1 f ( x, y ) = x 2 + 4 y 2 + 15 y = r 2 cos 2 θ + 4r 2 sin 2 θ + 15r sin θ 4 r 2 15 2 2 r 2 15 = + r sin θ + 15r sin θ = + (2 + r sin θ ) 2 − 15 。 4 4 4 4
π
2
例 4．设函数 Q(x,y)在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，
∫ 2 xydx + Q ( x, y ) dy
与路径无关，且对于任意 t 有
( t ,1) (1, t )
∫(0,0)
求 Q(w，y). 解
2 xydx + Q ( x, y )dy = ∫
( 0, 0 )
2 xydx + Q ( x, y )dy即 B 的坐标为 (0Fra bibliotek 2 3) .
− ⎜ ∫⎝ x +1
l
⎛ sin y
=∫
l
sin y dx + cos y ln ( x + 1) dy − 3 ∫ ydx − (2 x − 1)dy x +1 l (0, 2 3) 3 3 = − sin ⋅ ln 2 3 3 2 (1, ) 2
=⎡ ⎣sin y ln ( x + 1) ⎤ ⎦
v ∫ xe
L
sin y
− sin y sin x dy − ye − sin x dx = v ∫ xe dy − ye dx
L
（2）
v ∫ xe
L
− sin y
dy − yesin x dx ≥ 2π 2 f ( x) 连续且恒大于零，
2
练习 5 设
F (t ) =
∫∫∫ f ( x
Ω (t )
2
教案七：多元函数微积分
故 原式 =
21 3 3 − sin ⋅ ln 2 。 4 2
例 3．计算曲面积分
∫∫ (2 x + z )dydz + zdxdy ， 其 中
S
S 为曲面
z = x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ 1) ，且法向量与 z 轴的正向成锐角。 解 （ 同合一投影法）即利用
cosα z cosα 和 dydz = cos αdS = dxdy = cos β − 1 cos β
x
sin ydx + e cos ydy = d (e sin y )
x x x x x
故
∫ e sin ydx + e cos ydy = e sin y
L
(0,0) =0 (2a,0)
而 L 的参数方程为
x = a + a cos t , y = a sin t , 0 ≤ t ≤ π ,
所以
− ∫ b( x + y )dx + axdy
− 3 ∫ ydx − (2 x − 1)dy
l
因线段 AB 的方程为 y = 2 3 −
3 x， 2
− 3 ∫ ydx − (2 x − 1)dy
l
= − 3 ∫ (2 3 −
1 1
0
3 3 x)dx − (2 x − 1)d (2 3 − x) 2 2
=
3 21 (3 + x ) dx = 2∫ 4 0
L
=−
∫ [− ba (sin t + sin t cos t + sin
π
2 0
4
2
t ) + a 3 (1 + cos t ) cos t dt
]
教案七：多元函数微积分
⎛π ⎞ 1 = a b⎜ + 2 ⎟ − πa ⎝2 ⎠ 2
2
3
因此
⎛π ⎞ 1 I = a 2b ⎜ + 2 ⎟ − π a 3 . ⎝2 ⎠ 2
因 P ( x, y )
= 2 xy ，由题意知
3
教案七：多元函数微积分
∂Q ∂P = = 2 x ，从而 Q ( x, y ) = x + c( y ) ∂x ∂y
2
而 等式左边=
∫
1 2 [t 0 t
+ c( y )]dy = t 2 + ∫ c( y )dy
0 t 0
1
等式右边 = 故
2 ∫ [1 + c( y )]dy = t + ∫ c( y)dy 0 1
即 y′ = −
1
教案七：多元函数微积分
⎛ 3 3⎞ x2 y 2 椭圆 + = 1 在 A ⎜1, ⎟ 点的切线方程为 4 9 2 ⎝ ⎠
y−
即
3 3 3 ( x − 1) ， =− 2 2
3 x + y = 2 3 ， 令 x = 0 ，得 y = 2 3 ， 2
⎞ ⎡cos y ln ( x + 1) + 2 3 x − 3 ⎤ dy 3 y ⎟dx + ⎣ ⎦ ⎠
L 为逆时针方向..
练习 8 设二元函数
f (0,1) = f (1,0) y
。证明：单位圆周上至少存在两点满足方程
∂ ∂ f ( x, y ) − x f ( x, y ) = 0 。 ∂x ∂y
练习 9
x2 y 2 求平面 x + 2 y − 2 z = 1 含在椭圆柱体 + = 1 内的面 4 9
教案七：多元函数微积分
第七讲
例1． 求函数
多元函数微积分
f ( x, y ) = x 2 + 4 y 2 + 15 y 在
Ω=
{( x, y ) 4 x
2
+ y 2 ≤ 1 上的最大、小值。
}
解 令x =
1 ，则 r cos θ ， y = r sin θ （ 0 ≤ r ≤ 1， 0 ≤ θ ≤ 2π ） 2
（1）讨论 F (t ) 在区间 (0, +∞ ) 内的单调性； （2）证明当 t
> 0 时， F (t ) >
2
π
G (t ) .
练习 6 设
f ′( x) 连续， L 为上半平面 ( y > 0) 内的有向分段光滑曲
线，其起点为 ( a, b) ，终点为 (c, d ) .记
I =∫
1 x 2 ⎡ ⎤ ⎡ y 2 f ( xy ) − 1⎤ 1 + y f ( xy ) dx + 2 ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ dy y y L
等号当且仅当 cx = by
作业： 练习 1 已知
f ( x, y )在[a,b;a,b]上有定义， 除正方形 y = φ ( x)
以外的点都连续。问：
[a, b; a, b]
b z
上一条连续曲线