7圆锥曲线
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论1.圆锥曲线的定义:(1)定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。
若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
抛物线定义中,定点和定直线是焦点和准线,要注意定点不在定直线上,否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.(2)抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系,要善于运用定义对它们进行相互转化。
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时=1()。
方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。
(2)双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上:=1()。
方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。
(3)抛物线:开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):(1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
(2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。
4.圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(以()为例):①范围:;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:两条准线;⑤离心率:,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。
圆锥曲线
圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。
其统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆:当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前,古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线,并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时,得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”,把双曲线叫做“超曲线”,把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上,阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面,得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆,双曲线和抛物线,但严格来讲,它还包括一些退化情形。
具体而言:1) 当平面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行,且过圆锥顶点,结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,并与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交,且过圆锥顶点,结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线的一支(另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线)。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交,且过圆锥顶点,结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上,二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同,也包含了椭圆,双曲线,抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点(严格来讲,这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形,因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛,并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线公式大全(总7页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率:1212180<α≤0(tan x x y y --==)α 2、直线方程:⑴点斜式:直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k : ()00x x k y y -=- ⑵斜截式:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b :b kx y += ⑶两点式:已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠:121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式:已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ,与y 轴的交点为B ),0(b :1x y a b+= ⑸一般式:0=++C By Ax (A 、B 不同时为0, 斜率BAk -=,y 轴截距为BC -) (6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=)的直线方程为过(轴垂直,90α3、直线之间的关系:222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行:{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在,212121C C B B A A ≠=⑵垂直:{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在,02121=+B B A A⑶平行系方程:与直线0=++C By Ax 平行的方程设为:0=++m By Ax⑷垂直系方程:与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为:0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程:过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为:0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中,λ取任何一切实数R ,则直线一定过定点),(00y x ,即0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式:(1)两点间距离公式:两点),(),,(222211y x P x x P :()()21221221y y x x P P -+-=(2)点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=(3)两平行线间的距离公式:1l :01=++C By Ax 与2l :02=++C By Ax 平行,则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程:⑴标准方程:()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ,半径为r .⑵一般方程:022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )其中圆心为(,)22D E --,半径为r =2、直线与圆的位置关系 点),(00y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔)(点在圆外)(点在圆上)(点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程:(1)当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+-- (2)当点),(00y x P 在圆222r y x =+外,则设直线方程()00x x k y y -=-,并利用d=r 求出斜率,即可求出直线方程【备注:切线方程一定是两条,考虑特殊直线k 不存在】④弦长公式:222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+-- 3、两圆位置关系:21O O d =⑴外离:r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切:r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交:r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切:r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含:r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1.椭圆焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ,即21||||2MF MF a +=(212||a F F >)第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ,即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤2.双曲线顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称,关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 222122()F F c c a b ==-离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±焦半径 0,0()M x y 左焦半径:10MF a ex =+ 右焦半径:20MF a ex =-下焦半径:10MF a ey =+ 上焦半径:20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: ab 22焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ,即21||||2MF MF a -=(2102||a F F <<) 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ,即(1)MFe e d=>【备注】1、双曲线和其渐近线得关系:由双曲线求渐进线:x a b y a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线:λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2.等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e =2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法: ①求交点,利用两点间距离公式求弦长; ②弦长公式 ) (消y x x x x k x x k l ]4))[(1(1212212212-++=-+=五、.直线与圆锥曲线的关系1、直线与圆锥曲线的关系如:直线y =kx +b 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)的位置关系:图形标准方程 22y px = ()0p >22y px =- ()0p >22x py = ()0p >22x py =- ()0p >开口方向 向右 向左 向上 向下定义 与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)顶点 ()0,0离心率 1e =对称轴 x 轴y 轴范围0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2px =2p y =-2p y =焦半径 0,0()M x y 02pMF x =+02pMF x =-+02pMF y =+02p MF y =-+通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径:2HH p '=焦点弦长 公式 12AB x x p =++参数p几何意义参数p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔直线与椭圆相交?⎩⎨⎧ y =kx +bx 2a 2+y2b 2=1⇔有2组实数解,即Δ>0.直线与椭圆相切?⎩⎨⎧ y =kx +bx 2a 2+y2b 2=1⇔有1组实数解,即Δ=0,直线与椭圆相离⎩⎨⎧y =kx +bx 2a 2+y2b 2=1⇔没有实数解,即Δ<【备注】(1)韦达定理(根与系数的关系){AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-(2){b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(b x x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”:把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程,作差→弦的斜率与中点的关系;0202y a x b k -=(椭圆) 0202y a x b k =(双曲线)3、关于抛物线焦点弦的几个结论(了解)设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦,1122(,)(,)A x y B x y 、,直线AB 的倾斜角为θ,则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切;π;⑸112. ||||FA FB P+=⑷焦点F对A B、在准线上射影的张角为2。
七年级数学圆锥曲线知识点
七年级数学圆锥曲线知识点数学是一门严谨而又具有挑战性的学科。
在初中阶段,学生接触到了许多新的知识点,其中圆锥曲线是比较重要的一个部分。
本文就七年级数学圆锥曲线知识点展开阐述。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是指在平面上以两条互相垂直的直线为坐标轴的坐标系。
其中,水平的那条被称为x轴,垂直的那条被称为y 轴。
通过这个坐标系,我们可以用点的坐标来表示位置,以及运用坐标系的相关知识进行问题求解。
二、二次函数的图象二次函数的图象是一个开口向上或向下的U形曲线。
其一般式为y=ax²+bx+c,其中a、b、c分别代表系数。
通过不同系数的变化,可以控制二次函数的开口方向和大小,以及对称轴的位置。
三、圆的方程圆是一种特殊的曲线,其上的所有点到圆心的距离都相等。
圆可以通过其直角坐标系下的方程来表示,一般式为(x-a)²+(y-b)²=r²,其中(a,b)表示圆心坐标,r表示半径。
四、椭圆的方程椭圆是圆锥曲线中的一种,其具有两个不同的半轴。
椭圆可以通过其直角坐标系下的方程来表示,一般式为(x-a)²/b²+(y-b)²/a²=1,其中(a,b)表示椭圆中心坐标。
五、抛物线的方程抛物线是一条开口向上或向下的曲线。
其一般式为y=ax²+bx+c,其中a、b、c分别为系数。
通过修改a系数的符号和大小,可以控制抛物线的开口方向和大小。
六、双曲线的方程双曲线是圆锥曲线中的一种,其图象类似于两个分离的打开的U形曲线。
双曲线可以通过其直角坐标系下的方程来表示,一般式为(x-a)²/b²-(y-b)²/a²=1,其中(a,b)表示双曲线中心坐标。
七、焦点、准线、离心率当学生熟练掌握了各种圆锥曲线的方程后,需要学习相关基础概念。
焦点是指椭圆和双曲线上的一个点,是运用方程进行计算的重要参数。
准线是与椭圆和双曲线有关的直线,也是进行计算的基础参数之一。
圆锥曲线 公式
圆锥曲线公式全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:圆锥曲线是解析几何中的重要概念,它是平面上一类特殊曲线的总称,包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在数学中,圆锥曲线的研究具有深远意义,它们在解决各种实际问题中发挥着重要作用。
本文将详细介绍圆锥曲线的公式及其性质,帮助读者更好地理解这些曲线在数学中的应用。
首先我们来看圆的公式。
圆是一种特殊的圆锥曲线,它被定义为平面上所有到某一点(圆心)距离相等的点的集合。
圆的标准方程为:(x-a)² + (y-b)² = r²其中(a, b)为圆心坐标,r为半径。
这个方程描述了平面上所有满足条件的点,构成了一个圆。
圆的性质包括与坐标轴的交点、圆心、半径等,这些性质在几何中有着重要的应用。
其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
椭圆在坐标轴上的形状、焦点位置等,都可以由这个方程来描述。
双曲线是另一种圆锥曲线,它由满足到两个定点(焦点)的距离之差为常数的点的集合构成。
双曲线的标准方程为:第二篇示例:圆锥曲线是数学中重要的曲线之一,它包括抛物线、椭圆、双曲线和圆。
在二维平面几何中,这些曲线可以用一般形式的方程表示。
本文将讨论圆锥曲线的公式和性质。
1. 抛物线的方程抛物线是一种平面曲线,其形状呈现对称性,并且可以看作是一个点到一条固定直线的距离等于一个常数的轨迹。
一般来说,抛物线的方程可以表示为:y=ax^2+bx+c其中a、b和c为常数,且a不为0。
这种形式的抛物线称为标准形式的抛物线方程。
抛物线的开口方向取决于系数a的正负性。
2. 椭圆的方程椭圆是另一种常见的圆锥曲线,它与抛物线不同的是,椭圆是一个点到两个固定点(焦点)的距离之和等于一个常数的轨迹。
椭圆的方程可以表示为:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1其中a和b为正常数,且a和b之间的大小关系可以决定椭圆的长短轴方向。
3. 双曲线的方程双曲线也是圆锥曲线的一种类型,它的形状类似两条平行的直线。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一:定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。
在定义的应用中,可以寻找符合条件的等量关系,进行等价转换和数形结合。
适用条件需要注意。
例1:动圆M与圆C1:(x+1)+y=36内切,与圆C2:(x-1)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。
例2:方程表示的曲线是什么?题型二:圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时,需要将方程化成标准方程,然后判断。
对于椭圆,焦点在分母大的坐标轴上;对于双曲线,焦点在系数为正的坐标轴上;对于抛物线,焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
例1:已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是什么?例2:当k为何值时,方程是椭圆或双曲线?题型三:圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中,可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。
PF,PF2=n,m+n,m-n,mn,m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1:椭圆上一点P与两个焦点F1,F2的张角为α,求△F1PF2的面积。
例2:已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P 为双曲线上一点,且∠F1PF2=60,求该双曲线的标准方程。
题型四:圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中,可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式,求解离心率和渐近线的值、最值或范围。
在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1:已知F1、F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是多少?例2:双曲线的两个焦点为F1、F2,渐近线的斜率为±1/2,求双曲线的标准方程。
题型五:圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中,需要注意参数的取值范围,可以通过消元或代数运算求解。
例1:求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2:求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
题型六:圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性,可以通过对称性求解问题。
圆锥曲线知识总结
1.圆锥曲线的两个定义:〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段F F,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|F F|,定义中的“绝对值〞与<|F F|不可无视。
假设=|F F|,那么轨迹是以F,F为端点的两条射线,假设﹥|F F|,那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母〞,其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
例题讲解:①定点,在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是( )A. B.C. D.〔〕;②方程表示的曲线是__ __点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕:〔1〕椭圆:焦点在轴上时〔〕〔参数方程,其中为参数〕,焦点在轴上时=1〔〕。
方程表示椭圆的充要条件是什么?〔ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B〕〔2〕双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上:=1〔〕。
方程表示双曲线的充要条件是什么?〔ABC≠0,且A,B异号〕。
〔3〕抛物线:开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。
例题讲解:①方程表示椭圆,那么的取值范围为____②假设,且,那么的最大值是____,的最小值是___〔①双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,那么该双曲线的方程_______②设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线C过点,那么C的方程为_______3.圆锥曲线焦点位置的判断〔首先化成标准方程,然后再判断〕:〔1〕椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
圆锥曲线知识点总结大全
圆锥曲线知识点总结大全终于要学习圆锥曲线知识点了,高二数学本身的知识体系而言,它主要是对数学知识的深入学习和新知识模块的补充。
圆锥曲线知识点总结有哪些你知道吗?一起来看看圆锥曲线知识点总结,欢迎查阅!圆锥曲线知识点大全圆锥曲线的应用【考点透视】一、考纲指要1.会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用数形结合、几何法求某些量的最值.2.进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法.二、命题落点1.考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型求解,如例1;2.考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力,如例2;3.考查双曲线的概念与方程,考查考生分析问题和解决实际问题的能力,如例3.【典例精析】例1:(2004?福建)如图,B地在A地的正东方向4km 处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(2-2)a万元B.5a万元C. (2+1)a万元D.(2+3)a万元解析:设总费用为y万元,则y=a?MB+2a?MC∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,∴曲线PG是双曲线的一支,B 为焦点,且a=1,c=2.过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得=e,即MB=2MD.∴y= a?2MD+2a?MC=2a?(MD+MC)≥2a?CE.(其中CE是点C到准线l的垂线段).∵CE=GB+BH=(c-)+BC?cos600=(2-)+2×=. ∴y≥5a(万元).答案:B.例2:(2004?北京,理17)如图,过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.解析:(1)当y=时,x=.又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得,所求距离为.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.由y12=2px1,y02=2px0,相减得:,故.同理可得,由PA、PB倾斜角互补知, 即,所以, 故.设直线AB的斜率为kAB, 由,,相减得, 所以.将代入得,所以kAB是非零常数.例3:(2004?广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)解析:如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360.由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,依题意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,故双曲线方程为.用y=-x代入上式,得x=±680,∵|PB||PA|,∴x=-680,y=680,即P(-680,680),故PO=680.答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处.【常见误区】1.圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景, 考生在数学建模及解模上均不同程度地存在着一定的困难, 回到定义去, 将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键;2.圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质, 考生往往只能浮于表面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般去逐步归纳,并设法推导论证.【基础演练】1.(2005?重庆) 若动点()在曲线上变化,则的最大值为( )A. B.C. D.22.(2002?全国)设,则二次曲线的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.3.(2004?精华教育三模)一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10] 在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为( )A. B.1 C. D.24. (2004?泰州三模)在椭圆上有一点P,F1、F2是椭圆的左右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有( )A.2个B.4个C.6个D.8个5.(2004?湖南) 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为.6.(2004?上海) 教材中坐标平面上的直线与圆锥曲线两章内容体现出解析几何的本质是.7.(2004?浙江)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1,(1)若直线AP 的斜率为k,且|k|?[],求实数m的取值范围;(2)当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.8. (2004?上海) 如图, 直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.(1)求点Q的坐标;(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.9.(2004?北京春) 2003年10月15日9时,神舟五号载人飞船发射升空,于9时9分50秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点A距地面200km,远地点B 距地面350km.已知地球半径R=6371km.(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程;(2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约,问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s?(结果精确到1km/s)(注:km/s即千米/秒)关于双曲线知识点总结双曲线方程1. 双曲线的第一定义:⑴①双曲线标准方程:. 一般方程:.⑵①i. 焦点在x轴上:顶点:焦点:准线方程渐近线方程:或ii. 焦点在轴上:顶点:. 焦点:. 准线方程:. 渐近线方程:或,参数方程:或.②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则:构成满足(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:.⑸共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.例如:若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线的方程?解:令双曲线的方程为:,代入得.⑹直线与双曲线的位置关系:区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P 在双曲线,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距离比为m︰n.简证:=.常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线方程知识点在高考中属于比较重要的考察点,希望考生认真复习,深入掌握。
方法技巧专题07 圆锥曲线的概念及其几何性质(解析版)
方法技巧专题7 圆锥曲线的概念及其几何性质 解析版一、 圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架二、圆锥曲线的定义、方程【一】圆锥曲线的定义1、椭圆(1)秒杀思路:动点到两定点(距离为2c )距离之和为定值(2a )的点的轨迹;(2)秒杀公式:过抛圆的一个焦点作弦AB ,与另一个焦点F 构造FAB ∆,则FAB ∆的周长等于a 4。
(3) ①当c a 22>时,表示椭圆;②当c a 22=时,表示两定点确定的线段;③当c a 22<时,表示无轨迹。
2、双曲线(1)秒杀思路: ①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a ;②注意定义中两个加强条件:(I )绝对值; (II )22a c <; ③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);(2)秒杀公式:过双曲线的一个焦点作弦AB (交到同一支上),与另一个焦点F 构造FAB ∆,则FAB ∆的周长等于AB a 24+。
(3) ①当22a c <时,表示双曲线; ②当22a c =时,表示以两定点为端点向两侧的射线;③当22a c >时,无轨迹; ④当20a =时表示两定点的中垂线。
3、抛物线(1)秒杀思路:到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。
所以,一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。
(2)秒杀公式一:焦点在x 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列,则横坐标成等差数列,反过来也成立。
(3)秒杀公式二:作过抛物线焦点且倾斜角为︒60或︒120的弦,两段焦半径分别为:32,2pp .1. 例题【例1】设P 是椭圆2212516x y +=上的点,若21,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于 ( )A.4B.5C.8D.10【解析】利用椭圆的定义得12PF PF +=102=a ,选D 。
【例2】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【解析】如图,22QF BN =,12QF AN =,||||AN BN +=124)(221==+a QF QF .【例3】已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为_______.【解析】,8,2222121=+=-r r r r 得21PF PF +=32. 【例4】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A.1342222=-y xB.15132222=-y xC.1432222=-y xD.112132222=-y x【解析】由双曲线定义得4=a ,5=c ,3=b ,选A 。
圆锥曲线焦点公式
圆锥曲线焦点公式
圆锥曲线焦点公式可用于确定圆锥曲线上任意一点到焦点的距离。
根据圆锥曲
线的类型,焦点公式会有所不同。
对于椭圆、抛物线和双曲线,其焦点公式可分别表示为:
椭圆的焦点公式:c = √(a² - b²)
其中,c表示焦距,a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
抛物线的焦点公式:焦点为(x = h + p, y = k),其中(h, k)为抛物线的顶点,p为
焦半径。
双曲线的焦点公式:c = √(a² + b²)
双曲线有两个焦点,分别位于双曲线的主轴上,c表示焦距,a和b分别表示
双曲线的长半轴和短半轴。
这些焦点公式有助于我们确定圆锥曲线上各个点与其对应焦点之间的距离,从
而更好地理解和分析圆锥曲线的性质和特点。
需要注意的是,焦点公式仅适用于标准形式的圆锥曲线,在一些特殊的情况下,可能需要根据具体曲线方程进行推导和计算。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|+|F1B|=
2 p
;④以弦
AB
为直径的圆与准线相切.
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2,且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,P 为椭圆上任意一点,
记点 P 到 l1 , l2 的距离分别为 d1 , d2 ,则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ,
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ,解得 p 2 ,
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ,所以 | BC | 2 | BN | ,所以 BC 2 ,所以 BN 2 ,
CF 3
p3
所以 BN BF 4 , BC 8 ,
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF , AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ,因为 P 在椭圆上,所以 x2 4 4 y2 ,
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
,
y [1,1],
[解析]
所以当
y
1 3
时,
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
,所以
圆锥曲线专题:定值问题的7种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题:定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段长度,图形面积,角度,直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常见的解题方法有两种:法一、先猜后证(特例法):从特殊入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关;法二、引起变量法(直接法):直接推理、计算,并在计算推理过程中消去参数,从而得到定值。
2、直接法解题步骤第一步设变量:选择适当的量当变量,一般情况先设出直线的方程:b kx y +=或n my x +=、点的坐标;第二步表示函数:要把证明为定值的量表示成上述变量的函数,一般情况通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距离等)用引入的变量表示出来;第三步定值:将中间结果带入目标量,通过计算化简得出目标量与引入的变量无关,是一个常数。
二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题,可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值,进而给后面一般情况的处理提供一个方向;2、在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢;3、巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算。
三、常见条件转化1、对边平行:斜率相等,或向量平行;2、两边垂直:斜率乘积为-1,或向量数量积为0;3、两角相等:斜率成相反数或相等或利用角平分线性质;4、直角三角形中线性质:两点的距离公式5、点与圆的位置关系:(·1)圆外:点到直径端点向量数量积为正数;(2)圆上:点到直径端点向量数量积为零;(3)圆内:点到直径端点向量数量积为负数。
四、常用的弦长公式:(1)若直线AB 的方程设为b kx y +=,()11y x A ,,()22y x B ,,则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411(2)若直线AB 的方程设为n my x +=,()11y x A ,,()22y x B ,,则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后,化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。
23个圆锥曲线专题
23个圆锥曲线专题圆锥曲线是二维平面上的一类重要曲线,包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都可以通过圆锥与平面的交点或者截割方式来定义。
下面我将从多个角度全面地介绍关于圆锥曲线的23个专题。
1. 圆锥曲线的定义,圆锥曲线是指平面上与一个固定点F(焦点)和一条固定直线l(准线)的距离之比为常数e的点P的集合。
其中,e称为离心率。
2. 椭圆的性质,椭圆是焦点到准线的距离之和为常数的点的集合。
椭圆具有对称性、焦点性质、切线性质等。
3. 双曲线的性质,双曲线是焦点到准线的距离之差为常数的点的集合。
双曲线具有两支、渐近线、焦点性质、切线性质等。
4. 抛物线的性质,抛物线是焦点到准线的距离等于点到准线的垂直距离的点的集合。
抛物线具有对称性、焦点性质、切线性质等。
5. 圆锥曲线的方程,椭圆、双曲线和抛物线都可以用方程来表示。
椭圆的标准方程是(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1,双曲线的标准方程是(x/a)^2 (y/b)^2 = 1,抛物线的标准方程是y^2 = 2px。
6. 圆锥曲线的参数方程,除了使用方程表示,圆锥曲线还可以使用参数方程表示。
参数方程是将x和y表示为一个参数t的函数,例如椭圆的参数方程是x = acos(t),y = bsin(t)。
7. 圆锥曲线的图像与性质,根据离心率的不同取值,圆锥曲线可以呈现出不同的形状和性质。
当离心率e小于1时,曲线为椭圆;当离心率e等于1时,曲线为抛物线;当离心率e大于1时,曲线为双曲线。
8. 圆锥曲线的焦点与准线,椭圆和双曲线有两个焦点,而抛物线只有一个焦点。
焦点是定义圆锥曲线的重要元素,它与准线共同决定了曲线的形状。
9. 圆锥曲线的离心率,离心率是圆锥曲线的一个重要参数,它描述了焦点与准线之间的距离关系。
离心率越大,曲线形状越扁平,离心率越小,曲线形状越接近于圆。
10. 圆锥曲线的渐近线,双曲线具有两条渐近线,它们是曲线的特殊性质。
渐近线是曲线无限延伸时趋近的直线,与曲线的切线垂直。
圆锥曲线的性质
简介两千多年前,古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线,并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时,得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”,把双曲线叫做“超曲线”,把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上,阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
圆锥曲线具有许多优良的性质,并能直接联系实际应用,因此在高中数学中占据重要地位。
在高考中所占分值一般为20分左右,且多与其他知识点相结合、以压轴题的形式出现,综合性强,难度较大。
掌握它的一些重要性质,至关重要。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面,得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆,双曲线和抛物线,但严格来讲,它还包括一些退化情形。
具体而言:1) 当平面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行,且过圆锥顶点,结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,并与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交,且过圆锥顶点,结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线的一支(另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线)。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交,且过圆锥顶点,结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上,二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同,也包含了椭圆,双曲线,抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点(严格来讲,这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形,因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛,并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质)。
圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一概念:为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,核心在x 轴上:)0(12222 b a by ax =+.ii. 中心在原点,核心在y 轴上:)0(12222 b a bx ay=+.②一般方程:)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程:12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x (一象限θ应是属于20πθ ). ⑵①极点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2.③核心:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距:2221,2b a c c F F -==. ⑤准线:ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率:)10( e ace =. ⑧通径:垂直于x 轴且过核心的弦叫做通经.坐标:),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==,方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是ace =咱们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆:12222=+by ax 上的点.21,F F 为核心,若θ=∠21PF F ,则21F PF ∆的面积为2tan2θb (用余弦定理与a PF PF 221=+可得). 若是双曲线,则面积为2cot 2θ⋅b .二、双曲线方程.1. 双曲线的第一概念:以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=- asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆⑴①双曲线标准方程:)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-.一般方程:)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 核心在x 轴上:极点:)0,(),0,(a a - 核心:)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程:0=±b ya x 或02222=-by a xii. 核心在y 轴上: 极点:),0(),,0(a a -. 核心:),0(),,0(c c -. 准线方程:c a y 2±=. 渐近线方程:0=±b x a y 或02222=-bx a y ,参数方程:⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴,实轴长为2a , 虚轴长为2b ,焦距2c. ③离心率ace =. ④准线距c a 22(两准线的距离);通径ab 22.⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑶等轴双曲线:双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线,其渐近线方程为x y ±=,离心率2=e . ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有一路的渐近线:02222=-b y a x .⑸共渐近线的双曲线系方程:)0(2222≠=-λλby ax 的渐近线方程为02222=-by ax 若是双曲线的渐近线为0=±b ya x 时,它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x . 例如:若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p解:令双曲线的方程为:)0(422≠=-λλy x ,代入)21,3(-得2822=-y x ⑹直线与双曲线的位置关系:区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结:1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数量可能有0、二、3、4条.2.若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求肯定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线12222=-b y a x ,则常常利用结论1:从双曲线一个核心到另一条渐近线的距离等于b.2:P 到核心的距离为m = n ,则P 到两准线的距离比为m ︰n. 简证:ePF e PF d d 2121= =n m.三、抛物线方程.3. 设0 p ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:注:①x c by ay =++2极点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则核心半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则核心半径为2P y PF +=.③通径为2p ,这是过核心的所有弦中最短的.④px y 22=(或py x 22=)的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222(或⎩⎨⎧==222pt y ptx )(t 为参数).四、圆锥曲线的统一概念..4. 圆锥曲线的统一概念:平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时,轨迹为椭圆;当1=e 时,轨迹为抛物线;当1 e 时,轨迹为双曲线;当0=e 时,轨迹为圆(a ce =,当b a c ==,0时).圆锥曲线一.大体概念练习:1、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到抛物线核心距离之和取得最小值时,点P 的坐标为2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为3、抛物线2(0)y ax a =≠的核心坐标是 ,准线方程是 。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结___________________________________1、圆锥曲线的两个定义:(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段F F,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|F F|,定义中的“绝对值”与<|F F|不可忽视。
若=|F F|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|F F|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
Attention:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。
4.圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(以()为例):①范围:;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:两条准线;⑤离心率:,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。
(2)(2)双曲线(以()为例):①范围:或;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;④准线:两条准线;⑤离心率:,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线:。
(3)抛物线(以为例):①范围:;②焦点:一个焦点,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线;⑤离心率:,抛物线。
圆锥曲线的一些经典结论
圆锥曲线的一些经典结论1. 圆锥曲线有四种类型:椭圆、抛物线、双曲线和圆。
2. 椭圆:椭圆是圆锥曲线的一种,它由离心率小于1的点构成。
椭圆具有两个焦点和一个长轴和短轴。
3. 抛物线:抛物线是圆锥曲线的一种,它具有一个焦点和一个直线作为其轴线。
所有的点到焦点的距离都等于其到轴线的距离。
4. 双曲线:双曲线是圆锥曲线的一种,它由离心率大于1的点构成。
双曲线具有两个焦点和两个分离的曲线枝。
5. 圆:圆是圆锥曲线的一种特殊情况,它的离心率为零,所有的点到圆心的距离相等。
6. 圆锥曲线的方程:圆锥曲线可以通过方程来表示。
例如,椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1,其中(h,k)是椭圆的中心点,a 和b分别是长轴和短轴的长度。
7. 长轴和短轴:圆锥曲线具有两个轴,它们都通过曲线的中心点。
长轴是椭圆或双曲线的主轴,它的长度是贯穿曲线的最长距离。
短轴是与长轴垂直的轴,它的长度是贯穿曲线的最短距离。
8. 离心率:离心率是一个非常重要的指标,用来描述圆锥曲线的形状。
离心率通常用字母e表示,可以通过离心率的定义公式e =c/a来计算,其中c是焦点离中心的距离,a是长轴的长度。
9. 集点定理:集点定理是圆锥曲线研究的基本定理之一。
它表明,对于一个椭圆或双曲线,所有点到两个焦点的距离之和是常数,等于长轴的长度。
10. 曲率:曲率是描述曲线弯曲程度的属性。
圆锥曲线的曲率在不同点上有不同的值,它可以通过曲线的方程来计算。
这些是圆锥曲线的一些经典结论,它们是圆锥曲线理论的基础,可以应用在许多科学和工程领域,如天文学、物理学和工程学等。
07 圆锥曲线中的二级结论及应用(教师版)
查补易混易错点07 圆锥曲线中的二级结论及应用圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论,记住圆锥曲线中一些二级结论,能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。
1设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则(1)|PF1||PF2|=2b21+cos θ;(2)S△PF1F2=b2tan θ2;(3)e=sin∠F1PF2sin∠PF1F2+sin∠PF2F1.2设P点是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则(1)|PF1||PF2|=2b21-cos θ;(2)S△PF1F2=b2tanθ2;(3)e=sin ∠F1PF2|sin ∠PF1F2-sin ∠PF2F1|.3.设A,B为圆锥曲线关于原点对称的两点,点P是曲线上与A,B不重合的任意一点,则k AP·k BP =e2-1.4.设圆锥曲线以M(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.(1)圆锥曲线为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),则k AB=-b2x0a2y0,k AB·k OM=e2-1.(2)圆锥曲线为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则k AB=b2x0a2y0,k AB·k OM=e2-1.(3)圆锥曲线为抛物线y2=2px(p>0),则k AB=py0.5.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A,B两点,且|AF → |=λ|FB → |,则椭圆的离心率等于1(1)cos λλα-+.6.过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ,B 两点,且|AF → |=λ|FB → |,则双曲线的离心率等于|λ-1(λ+1)cos α|.7.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ,B 两点,则两焦半径长为p 1-cos θ,p 1+cos θ,1|AF |+1|BF |=2p ,|AB |=2p sin 2θ,S △AOB =p 22sin θ.1.已知双曲线E 的中心为原点,F (3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为M (-12,-15),则E 的方程为( )A.x 23-y 26=1B.x 24-y 25=1C.x 26-y 23=1 D.x 25-y 24=1【答案】B【解析】由题意可知k AB =-15-0-12-3=1,k MO =-15-0-12-0=54,由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO ·k AB =b 2a 2,即54=b 2a 2,又9=a 2+b 2,联立解得a 2=4,b 2=5,故双曲线的方程为x 24-y 25=1.3.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =32,经过右焦点且斜率为k (k >0)的直线交椭圆于A ,B 两点,已知AF → =3FB →,则k =( )A .1 B.2 C.3 D .2【答案】B【解析】∵λ=3,由结论可得,e =32,由规律得32cos α=3-13+1,cos α=33,k =tan α=2.4.如图,过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ,B ,交其准线l 于点C ,若F 是AC 的中点,且|AF |=4,则线段AB 的长为( )A .5B .6 C.163 D.203【答案】C 【解析】因为1|AF |+1|BF |=2p ,|AF |=4,所以|BF |=43,所以|AB |=|AF |+|BF |=4+43=163.6.已知双曲线C :()22105x y k k -=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,且123F PF π∠=,则12F PF △的面积为().【答案】C【解析】由()22105x y k k -=>,b =123F PF π∠=,由结论可知122tan 2F PF b S θ==△7.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右顶点分别为A ,B ,点P 在椭圆上异于A ,B 两点,若AP 与BP 的斜率之积为-12,则椭圆的离心率为( )【答案】22【解析】k AP ·k BP =-12,e 2-1=-12,∴e 2=12,e =22.8.在椭圆x 225+y 29=1上,△PF 1F 2为焦点三角形,如图所示.(1)若θ=60°,则△PF 1F 2的面积是________;(2)若α=45°,β=75°,则椭圆离心率e =________.【答案】(1)33 (2)6-22【解析】(1)由结论得S △PF 1F 2=b 2tan θ2,即S △PF 1F 2=33.(2)由公式e =sin (α+β)sin α+sin β=sin 60°sin 45°+sin 75°=6-22.9.(2022·荆州模拟)已知P是椭圆x24+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,当∠F1PF2=π3时,则△PF1F2的面积为________.【答案】3 3【解析】由结论可得:S=b2tan θ2,可得S=1·tanπ6=33.标原点,则|AB |为【答案】12【解析】易知2p =3,由结论可得知|AB |=2psin 2α,所以|AB |=3sin 230°=12.15.设F 为抛物线C :y 2=16x 的焦点,过F 且倾斜角为6π的直线交C 于A 、B 两点,O 为坐标原点,则△AOB 的面积为。
圆锥曲线算法
圆锥曲线算法
圆锥曲线是指在平面上生成的一类特殊曲线,包括椭圆、双曲线和抛物线。
下面是关于圆锥曲线的一些常见算法:
1. 椭圆算法:
- 中点椭圆算法(Midpoint Ellipse Algorithm):该算法通过逐步逼近椭圆曲线的各个点,并利用对称性进行计算,实现了高效的椭圆绘制。
- Bresenham椭圆算法:该算法基于Bresenham直线算法,通过分析椭圆的象限对称性,以及对象限内各点的落点判定来绘制椭圆。
2. 双曲线算法:
- 中点双曲线算法(Midpoint Hyperbola Algorithm):该算法类似于中点椭圆算法,通过逐步逼近双曲线曲线的各个点,并利用对称性进行计算,实现了高效的双曲线绘制。
3. 抛物线算法:
- 中点抛物线算法(Midpoint Parabola Algorithm):该算法通过逐步逼近抛物线曲线的各个点,并利用对称性进行计算,实现了高效的抛物线绘制。
这些算法能够在计算机上绘制出高效和精确的圆锥曲线。
具体实现时,您可以根据需要选择适合的算法,并基于C++或其他编程语言进行实现。
对于特定的圆锥曲线问题,还可以考虑使用数学库或图形库提供的相应函数或类来绘制和处理圆锥曲线。
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圆锥曲线一、复习策略高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题,1个填空题,1个解答题),共计22分左右,考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主,难度在中等以下,一般较容易得分,解答题重点考查圆锥曲线中的综合问题.圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、向量等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整.解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的.(1) 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.(2)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域.(3)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值.二、典例剖析题型一:与圆锥曲线定义有关的问题例1.(2008年北京高考)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:D例2.P 是双曲线的右支上一点,M 、N 分别是圆(x +5)2+y 2=4和(x -5)2+y 2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )A. 6B.7C.8D.9答案:D解:设双曲线的两个焦点分别是F 1(-5,0)与F 2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF 1|+2)-(|PF 2|-1)=6+3=9,故选D .题型二:求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等例3.设F 1、F 2为椭圆的两个焦点,以F 2为圆心作圆F 2,已知圆F 2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M 点,若直线MF 1恰与圆F 2相切,则该椭圆的离心率e 为( )A .-1B .2-C .D .答案:A解:易知圆F 2的半径为c ,(2a -c)2+c 2=4c 2,()2+2()-2=0,=-1. 例4.如图,已知△P 1OP 2的面积为,P 为线段P 1P 2的一个三等分点,求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为的双曲线方程.解:以O 为原点,∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图的直角坐标系.设双曲线方程为=1(a >0,b >0).由e 2=,得.∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y=x 和y=-x .设点P 1(x 1,x 1),P 2(x 2,-x 2)(x 1>0,x 2>0),则由点P 分所成的比λ==2,得P 点坐标为(),又点P 在双曲线=1上,所以=1,即(x 1+2x 2)2-(x 1-2x 2)2=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2.①即x 1x 2=.②由①、②得a 2=4,b 2=9,故双曲线方程为=1.题型三:直线与圆锥曲线的位置关系 例5.如图所示,抛物线y 2=4x 的顶点为O ,点A 的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M 、N 两点,求△AMN 面积最大时直线l 的方程,并求△AMN 的最大面积.解法一:由题意,可设l 的方程为y=x +m ,其中-5<m <0.由方程组,消去y ,得x 2+(2m -4)x +m 2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ,∴方程①的判别式Δ=(2m -4)2-4m 2=16(1-m)>0,解得m <1,又-5<m <0,∴m 的范围为(-5,0).设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)则x 1+x 2=4-2m ,x 1·x 2=m 2,∴|MN|=4.点A 到直线l 的距离为d=.∴S △=2(5+m),从而S △2=4(1-m)(5+m)2.=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.∴S △≤8,当且仅当2-2m=5+m ,即m=-1时取等号.故直线l 的方程为y=x -1,△AMN 的最大面积为8.解法二:由题意,可设l 与x 轴相交于B(m ,0),l 的方程为x = y +m ,其中0<m <5. 由方程组,消去x ,得y 2-4y -4m=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ,∴方程①的判别式Δ=(-4)2+16m=16(1+m)>0必成立,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)则y 1+y 2=4,y 1·y 2=-4m ,∴S △==4=4.∴S △≤8,当且仅当即m=1时取等号.故直线l 的方程为y=x -1,△AMN 的最大面积为8.例6.已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).(1)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在.解:(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*)(ⅰ)当2-k2=0,即k=±时,方程(*)有一个根,l与C有一个交点.(ⅱ)当2-k2≠0,即k≠±时Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k).①当Δ=0,即3-2k=0,k=时,方程(*)有一个实根,l与C有一个交点.②当△>0,即k<,又k≠±,故当k<-或-<k<或<k<时,方程(*)有两不等实根,l与C有两个交点.③当Δ<0,即k>时,方程(*)无解,l与C无交点.综上知:当k=±,或k=,或k 不存在时,l 与C 只有一个交点;当<k <,或-<k <,或k <-时,l 与C 有两个交点; 当k >时,l 与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在,设为AB ,且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则2x 12-y 12=2,2x 22-y 22=2两式相减得:2(x 1-x 2)(x 1+x 2)=(y 1-y 2)(y 1+y 2).又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,∴2(x 1-x 2)=y 1-y 2 即k AB ==2.但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB 与C 无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在. 题型四:圆锥曲线中的定值问题例7.(08安徽)设椭圆过点,且左焦点为.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当过点P (4,1)的动直线与椭圆C 相交于两不同点A ,B 时,在线段AB 上取点Q ,满足,证明:点Q 总在某定直线上.解:(Ⅰ)由题意:,解得a 2=4,b 2=2,所求椭圆方程为.(Ⅱ)方法一:设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2).由题设知均不为零,记,则且. 又A、P、B、Q四点共线,从而.于是,.,.从而,(1),(2)又点A、B在椭圆C上,即(1)+(2)×2并结合(3),(4)得4x+2y=4,即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上.方法二:设点Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).由题设,均不为零.且又P,A,Q,B四点共线,可设,于是(1)(2)由于A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,将(1)(2)分别代入C的方程x2+2y2=4,整理得(3)(4)(4)-(3)得.,即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上.题型五:圆锥曲线中的最值问题例8.如图,已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||.(1)求f(m)的解析式;(2)求f(m)的最值.解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1.∴椭圆的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0).故直线的方程为y=x +1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m . ∴A(-m ,-m +1),D(m ,m +1).考虑方程组,消去y 得:(m -1)x 2+m(x +1)2=m(m -1). 整理得:(2m -1)x 2+2mx +2m -m 2=0.Δ=4m 2-4(2m -1)(2m -m 2)=8m(m -1)2.∵2≤m≤5,∴Δ>0恒成立,x B +x C =.又∵A 、B 、C 、D 都在直线y=x +1上.∴|AB|=|x B -x A |·=(x B -x A )·,|CD|=(x D -x C ).∴||AB|-|CD||=|x B -x A +x C -x D |=|(x B +x C )-(x A +x D )|. 又∵x A =-m ,x D =m ,∴x A +x D =0.∴||AB|-|CD||=|x B +x C |·=||·= (2≤m≤5).故f(m)=,m ∈[2,5].(2)由f(m)= ,可知f(m)=.又2-≤2-≤2-,∴f(m)∈.故f(m)的最大值为,此时m=2;f(m)的最小值为,此时m=5.题型六:多曲线的综合问题例9.已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(Ⅰ)当AB⊥轴时,求m、p的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;(Ⅱ)是否存在、的值,使抛物线C2的焦点恰在直线AB上?若存在,求出符合条件的m、p的值;若不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1,)或(1,-).因为点A在抛物线上,所以,即.此时C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.(II)解法一:假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上,由(I)知直线AB的斜率存在,故可设直线AB的方程为y=k(x-1).由消去y得①设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是方程①的两根,x1+x2=.由消去y得. ②因为C2的焦点在直线上,所以,即.代入②有. 即. ③由于x1,x2也是方程③的两根,所以x1+x2=.从而=.解得④又AB过C1、C2的焦点,所以,则⑤由④、⑤式得,即k4-5k2-6=0.解得k2=6. 于是因为C2的焦点在直线上,所以. ∴或.由上知,满足条件的m、p存在,且或,.解法二:设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).因为AB既过C1的右焦点F(1,0),又过C2的焦点,所以. 即.①由(Ⅰ)知x1≠x2,p≠2,于是直线AB的斜率,②且直线AB的方程是,所以.③又因为,所以. ④将①、②、③代入④得. ⑤因为,所以. ⑥将②、③代入⑥得⑦由⑤、⑦得即.解得.将代入⑤得∴或.由上知,满足条件的m、p存在,且或,.冲刺练习一、选择题1.方程的两个根可分别作为()A.一椭圆和一双曲线的离心率B.两抛物线的离心率C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率2.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则()A.B.-4C.4D.3.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为()A.-2B.2C.-4D.44.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()A.( 1,2)B. (1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)5.已知双曲线,则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于()A. B.C. 2D. 46.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若且=1,则点的轨迹方程是()A.B.C.D.7.已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A. B.C. D.8.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若=-4,则点A的坐标是()A.(2,±2) B. (1,±2)C.(1,2)D.(2,2)9.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=,则双曲线方程为()A.-=1B.C.D.10.设是右焦点为的椭圆上三个不同的点,则“成等差数列”是“”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既非充分也非必要条件[提示]二、填空题11.已知为双曲线的两个焦点,为双曲线右支上异于顶点的任意一点,为坐标原点.下面四个命题:A.的内切圆的圆心必在直线上;B.的内切圆的圆心必在直线上;C.的内切圆的圆心必在直线上;D.的内切圆必通过点.其中真命题的代号是___________(写出所有真命题的代号).12.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y2+y22的最小值是___________.113.双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3,则m 等于___________.14.若曲线与直线没有公共点,则的取值范围是_________.15.如图,把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点,则___________.[答案]三、解答题16.如图,F为双曲线C:的右焦点.P为双曲线C右支上一点,且位于轴上方,M为左准线上一点,为坐标原点.已知四边形为平行四边形,.(Ⅰ)写出双曲线C的离心率与的关系式;(Ⅱ)当时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若,求此时的双曲线方程.[答案]17.在直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程;(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.[答案]18.椭圆的两个焦点F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥PF2,|PF1|=,| PF2|=.(I)求椭圆C的方程;(II)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.[答案]19.已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明为定值;(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.[答案]20.已知一列椭圆C n:x2+=1.0<b n<1,n=1,2……若椭圆C上有一点P n,使P n到右准线ln 的距离d是|PnF n|与|P nG n|的等差中项,其中F n、G n分别是C n的左、右焦点.(Ⅰ)试证:b n≤(n≥1);(Ⅱ)取b n=,并用S n表示ΔP n F n G n的面积,试证:(n≥3).[答案]1-5 AADCC 6-10 DBBCA提示:1、方程的两个根分别为2,,故选A.2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,∴ m<0,且双曲线方程为,∴ m=,选A.3、椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),则,故选D.4、双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,∴≥,离心率e2=,∴ e≥2,选C.5、依题意可知,,故选C.6、设P(x,y),则Q(-x,y),又设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0,于是,由可得a=x,b=3y,所以x>0,y>0,又=(-a,b)=(-x,3y),由=1可得.7、设,,,,则,由,则,化简整理得,所以选B.8、F(1,0),设A(,y0),则=(,y0),=(1-,-y0),由=-4y0=±2,故选B.9、由题意知,所以双曲线的方程为.10、a=5,b=3,c=4,e=,F(4,0),由焦半径公式可得|AF|=5-x1,|BF|=5-×4=,|CF|=5-x2,故成等差数(5-x1)+(5-x2)=2×,故选A.答案:11.A、 D解析:设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B,与F1F2切于点M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又点P在双曲线右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a,而|F1M|+|F2M|=2c,设M点坐标为(x,0),则由|F1M|-|F2M|=2a 可得(x+c)-(c-x)=2a解得x=a,显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴,故A、D正确.12. 32解析:显然≥0,又=4()≥8,当且仅当时取等号,所以所求的值为32.13.解析:双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3,即离心率e=3,所以,m=.14.[-1,1]解析:曲线得|y|>1,∴ y>1或y<-1,曲线与直线没有公共点,则的取值范围是[-1,1].15.35解析:把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,,同理其余两对的和也是,又,∴=35.16.解:(I)∵四边形是平行四边形,∴,作双曲线的右准线交PM于H,则,又,.(Ⅱ)当时,,,,双曲线为,设,则,即,将代入双曲线为,得,所以直线OP的斜率为,则直线AB的方程为,代入到双曲线方程得:又,由得,解得,则,所以即为所求.17.解:(1)设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8.已知该圆与直线y=x相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则=2即=4 ①又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得m2+n2=8 ②联立方程①和②组成方程组解得故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)=5,∴a2=25,则椭圆的方程为.其焦距c==4,右焦点为(4,0),那么=4.要探求是否存在异于原点的点Q,使得该点到右焦点F的距离等于的长度4,我们可以转化为探求以右焦点F为顶点,半径为4的圆(x─4)2+y2=16与(1)所求的圆的交点数.通过联立两圆的方程解得x=,y=.即存在异于原点的点Q(,),使得该点到右焦点F的距离等于的长.18.解法一:(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以,a=3.在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2-c2=4,所以椭圆C的方程为=1.(Ⅱ)设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称,所以解得,所以直线l的方程为即8x-9y+25=0. (经检验,符合题意) 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1≠x2且由①-②得③因为A、B关于点M对称,所以x1+x2=-4, y1+y2=2,代入③得=,即直线l的斜率为,所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)19.解:(Ⅰ)由已知条件,得F(0,1),λ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).由,20、证明:(I)由题设及椭圆的几何性质有,故.设,则右准线方程为.因此,由题意应满足即解之得:.即从而对任意.(II)设点的坐标为,则由及椭圆方程易知因,故的面积为,从而.令.由得两根从而易知函数在内是增函数。