《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习：第二篇第6讲幂函数与二次函数

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第2讲等差数列及其前n 项和A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·福建)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析在等差数列{a n }中，∵a 1＋a 5＝10.∴2a 3＝10，∴a 3＝5，又a 4＝7，∴所求公差为2. 答案 B2．(2013·山东实验中学诊断)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，那么S 9＝( )．A ．2B ．8C ．18D ．36解析设等差数列的公差为d ，则由a 1＋a 3＋a 11＝6，可得3a 1＋12d ＝6，∴a 1＋4d ＝2＝a 5.∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝9×2＝18.答案 C3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．7解析两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B4．(2012·东北三校一模)在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n的最大值为( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·江西)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.解析设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3＋b 3＝(a 1＋2d 1)＋(b 1＋2d 2)＝(a 1＋b 1)＋2(d 1＋d 2)＝7＋2(d 1＋d 2)＝21，所以d 1＋d 2＝7，所以a 5＋b 5＝(a 3＋b 3)＋2(d 1＋d 2)＝21＋2×7＝35. 答案 356．(2013·沈阳四校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 6三、解答题(共25分)7．(12分)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 7＋a 12＝12，a 2·a 7·a 12＝28，求数列{a n }的通项公式．解由a 2＋a 7＋a 12＝12，得a 7＝4.又∵a 2·a 7·a 12＝28，∴(a 7－5d )(a 7＋5d )·a 7＝28，∴16－25d 2＝7，∴d 2＝925，∴d ＝35或d ＝－35. 当d ＝35时，a n ＝a 7＋(n －7)d ＝4＋(n －7)×35＝35n －15；当d ＝－35时，a n ＝a 7＋(n －7)d ＝4－(n －7)×35＝－35n ＋415. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝35n －15或a n ＝－35n ＋415.8．(13分)在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S nn ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·咸阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18解析 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.答案 B2．(2012·广州一模)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州调研)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析 ∵a n ＝2n ＋1，∴a 1＝3，∴S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，∴S n n ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列， ∴前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案 754．(2012·诸城一中月考)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案 11 7三、解答题(共25分)5．(12分)在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.6．(13分)(2012·四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③(i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. 综上可得a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－2.(2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1. 令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。

高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2

因此
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3

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＋4，得 x>－1，选 B.
法二设 g(x)＝f(x)－2x－4，则 g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)
－2>0，g(x)在 R 上为增函数．由 g(x)>0，即 g(x)>g(－1)．∴x>－1，选 B.
答案 B 3．(2012·浙江)设 a>0，b>0.
A. 若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a>b B. 若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a<b C. 若 2a－2a＝2b－3b，则 a>b
(i)当 a<0，b>0 时，23x>－2ab，解得 x>log23－2ab； (ii)当 a>0，b<0 时，23x<－2ab，解得 x<log23－2ab. 6．(13 分)(2012·潍坊一模)已知函数 f(x)在(－1,1)上有定义，f12＝－1，当且仅当 0<x<1 时，f(x)<0，且对任意 x、y∈(－1,1)都有 f(x)＋f(y)＝f1x＋＋xyy，试证明： (1)f(x)为奇函数；
学海无涯
第 2 讲函数的单调性与最值
A 级基础演练(时间：30 分钟满分：55 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)
1．(2013·长沙一模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是
( )．
A．y＝x2
B．y＝|x|＋1
C．y＝－lg|x|
D．y＝2|x|
解析对于 C 中函数，当 x>0 时，y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且
学海无涯
(2)f(x)在(－1,1)上单调递减．证明 (1)函数 f(x)的定义域为(－1,1)，再由 f(x)＋f(y)＝f1x＋＋xyy，令 x＝y＝0，得 f(0)＝0，令 y＝－x，得 f(x)＋f(－x)＝f1x－－xx2＝f(0)＝0， ∴f(x)＝－f(－x)，即 f(x)为奇函数． (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减．令 0<x1<x2<1，则 f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝ x2－x1 f1－x 1x2. ∵0<x1<x2<1，∴x2－x1>0,1－x1x2>0，即1x－2－x2xx11>0. 又∵(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0， ∴x2－x1<1－x 2x1，∴0< 1x－2－x2xx11<1. 由题意，知 f1x－2－x1xx21<0，即 f(x2)<f(x1)， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，又 f(x)为奇函数且 f(0)＝0， ∴f(x)在(－1,1)上单调递减. 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见

高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：2.6 幂函数与二次函数94

第6讲幂函数与二次函数【2014年高考会这样考】1．求二次函数的解析式、值域与最值．2．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题.对应学生24考点梳理1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝x 12、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)幂函数的图象都过点(1,1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上是单调递增；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)在(0，＋∞)上是单调递减．3．五种幂函数的比较(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较函数性质特征y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇偶奇[来源: ]非奇非偶奇单调性单调递增x ∈[0，＋∞)时，单调递增 x ∈(－∞，0] 时，单调递减单调递增单调递增x ∈(0，＋∞)时，单调递减 x ∈(－∞，0)时，单调递减定点(0,0)，(1,1)(1,1)解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象[来源: ]定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形【助学·微博】两种方法函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.三种形式二次函数表达式(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k ))；(3)两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(其中a ≠0，x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标)．考点自测1.(人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B2．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧α>0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B3．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．解析由A ，C ，D 的图象知f (0)＝c <0.又abc >0，∴ab <0，∴对称轴x ＝－b2a >0，知，A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c >0，∴ab >0，∴对称轴x ＝－b 2a <0，∴B 错误．答案 D4．(2012·湖北)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )． A.2π5 B.43C.32D.π2解析观察函数图象可知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(0,1)，故可设f (x )＝ax 2＋1，又函数图象过点(1,0)，代入可得a ＝－1，所以f (x )＝－x 2＋1，所以S ＝⎠⎛1－1(1－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331－1＝43.答案 B5．(2012·江苏)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋14a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2.又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ＋m ＋6＝－a ， ∴m ＝－12a －3，∴c ＝f (m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －32＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －3＋14a 2＝9. 答案9对应学生26考向一求二次函数的解析式【例1】►若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [审题视点] 对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．【训练1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数．解法一设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)， ∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意知最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∴函数的解析式是f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二依题意知：f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0. 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即－9a ＋44＝8，解之，得a ＝－4.∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.考向二二次函数的图象与性质【例2】►已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．[审题视点] 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数的对称轴进行分析讨论求解．【训练2】求函数y＝x2－2ax－1在x∈[0,2]时的值域．解由已知可得，函数y的对称轴为x＝a.①当a<0时，y min＝f(0)＝－1.y max＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a.所以函数的值域为[－1,3－4a]．②当0≤a≤1时，y min＝f(a)＝－(a2＋1)，y max＝f(2)＝3－4a，所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]．③当1<a≤2时，y min＝f(a)＝－(a2＋1)，y max＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]．④当a>2时，y min＝f(2)＝3－4a，y max＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a，－1]．考向三幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值．解∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.∵函数y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－13<(3－2a)－13等价于a＋1>3－2a>0，或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得a <－1或23<a <32. 故a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <－1或23<a <32. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．【训练3】已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14.(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解 (1)设f (x )＝x a ，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)a ，解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，∴14＝2β，解得β＝－2，∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象，如图所示．由图象可知：f (x )，g (x )的图象均过点(－1,1)与(1,1)． ∴①当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；②当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．对应学生27方法优化2——如何解决二次函数与其它函数图象有公共点的问题【命题研究】通过对近三年高考试题的统计可以看出，本讲主要考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用，以及幂函数的图象及性质，重点考查数形结合与等价转化两种数学思想．以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题．【真题探究】►(2012·山东)设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()．A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0[教你审题] 第1步构造方程；第2步设出方程的根；第3步由待定系数法确定方程的相关系数；第4步由对应系数相等确定x1、x2的关系式；第5步判断符号．[一般解法] 利用函数与方程思想求解．由题意知函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)的图象有且仅有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，等价于方程1x＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)有两个不同的根x1，x2，即方程ax3＋bx2－1＝0有两个不同非零实根x1，x2，因而可设ax3＋bx2－1＝a(x－x1)2(x－x2)，即ax3＋bx2－1＝a(x3－2x1x2＋x21x－x2x2＋2x1x2x－x2x21)，∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0. 当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0. [优美解法]不妨设a <0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，如图所示，其中点A (x 1，y 1)关于原点的对称点C 也在函数y ＝1x 的图象上，坐标为(－x 1，－y 1)，而点B 的坐标(x 2，y 2)在图象上也明显的显示出来．由图可知，当a <0时，x 2>－x 1，所以x 1＋x 2>0，y 2<－y 1，所以y 1＋y 2<0，同理当a >0时，则有x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0，故选B.[答案] B[反思] 准确使用数形结合思想，起到事半功倍的效果．【试一试】已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C ．[3,12] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析依题意得f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，f (－1)＝2b －c ，方程f ′(x )＝0的两个根满足x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－2)＝12－8b ＋c ≥0，f ′(－1)＝3－4b ＋c ≤0，f ′(1)＝3＋4b ＋c ≤0，f ′(2)＝12＋8b ＋c ≥0，在坐标平面bOc 内画出该不等式组表示的平面区域D 及直线2b －c ＝0，平移直线2b －c ＝0，当该直线经过平面区域D 内的点(0，－3)与(0，－12)时，f (－1)＝2b －c 分别取得最小值与最大值，最小值与最大值分别是3,12，选C. 答案C 对应学生235A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·临州质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )．A ．y ＝1x (x ∈R ，且x ≠0)B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ∈R )C ．y ＝x (x ∈R )D ．y ＝－x 3(x ∈R )解析对于f (x )＝－x 3，∵f (－x )＝－(－x )3＝－(－x 3)＝－f (x )，∴f (x )＝－x 3是奇函数，又∵y ＝x 3在R 上是增函数，∴y ＝－x 3在R 上是减函数．答案 D2．(2013·怀远模拟)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )．A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．答案 B3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2.答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析设f (x )＝x α，由f (4)f (2)＝3，得4α2α＝3，解得α＝log 23，故f (x )＝x log 23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13. 答案 136．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4ac －164a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0. 答案 a >0，ac ＝4三、解答题(共25分)7．(12分)设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3. 令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．8．(13分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]∴⎩⎨⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎨⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3. B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·合肥八中月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x >1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析若a ≤－2，则－a 2≥1，且－12a ≤14<1，则f (x )分别在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上为减函数，又函数在x ＝1处的值相同，故f (x )在R 上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，则a <0，且⎩⎪⎨⎪⎧ －12a ≤1，－a 2≥1，得a ≤－2.故选C.答案 C2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________．解析函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，包含两个方面：函数g (x )＝x 2－ax ＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋∞)上的单调性．由于g (x )＝x 2－ax ＋2开口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，g (2)≥0，a 2≤2，∴1<a ≤3.答案 (1,3]4．(2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，则m 的取值范围是________．解析当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，2m <－(m ＋3)，2m <－4，－(m ＋3)<1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－(m ＋3)<2m ，2m <1，－(m ＋3)<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案 (－4，－2)三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．6．(13分)设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)．(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(2)设a >2，求函数f (x )的最小值．解 (1)∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，①当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，＋∞时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24； ②当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1<x <a 2时，f (x )单调递增，当x <1时，f (x )单调递减，则f (x )的最小值为f (1)＝a －1.由于a 24－(a －1)＝(a －2)24>0，故f (x )的最小值为a －1.。

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第二篇第8讲函数与方程

第 8 讲函数与方程A 级基础演练 (时间： 30 分钟满分： 55 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1．函数 f(x)＝sin x －x 零点的个数是 ()．A ．0B ． 1C ． 2D ． 3解析 f ′ (x)＝cos x －1≤0，∴f(x)单调递减，又 f(0)＝0，∴则f(x)＝ sin x －x 的零点是唯一的．答案 B2．(2013 ·泰州模拟 )设 f(x)＝e x ＋x －4，则函数 f(x)的零点位于区间 ()． A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析 ∵f(x)＝e x ＋x －4，∴f ′ (x)＝e x ＋ 1>0，∴函数 f(x)在 R 上单调递增．对于 A 项， f(－1)＝e －1＋ (－1)－ 4＝－ 5＋e －1<0，f(0)＝－ 3<0，f(－1)f(0)>0，A 不正确，同理可验证 B 、 D 不正确．对于 C 项，∵f(1)＝ e ＋ 1－ 4＝e －3<0， f(2) ＝e 2＋ 2－ 4＝ e 2－2>0，f(1)f(2)<0，故选 C.答案 C． ·石家庄期末 ) 函数 f(x)＝2 x－ 2－a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a 3 (2013 x的取值范围是()．A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析由条件可知 f(1)f(2)<0，即 (2－2－ a)(4－ 1－ a)<0，即 a(a －3)<0，解之得 0<a<3.第 1 页共 8 页答案 C4．(2011 ·东山 )已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x) ＝ x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间 [0,6]上与 x 轴的交点的个数为( )．A ．6 B． 7 C． 8 D． 9解析当 0≤ x<2 时，令 f(x)＝x3－＝，得x ＝或＝x 0 x 1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为 2，可知 y＝ f(x)在[0,6)上有 6 个零点，又f(6)＝f(3× 2)＝f(0)＝ 0，∴f(x)在[0,6] 上与 x 轴的交点个数为7.答案 B二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )x2，x≤0，g(x)＝f(x)－x－a，若函数 g(x)有两个零点，5．已知函数 f(x)＝f x－1 ， x>0，则实数 a 的取值范围为 ________．解析设 n 为自然数，则当n<x≤ n＋ 1 时， f(x)＝(x－ n－ 1)2，则当 x>0 时，函数 f(x)的图象是以 1 为周期重复出现．而函数y＝x＋a 是一族平行直线，当它过点 (0,1)(此时 a＝ 1)时与函数 f(x)的图象交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数 a 的取值范围为a<1.答案(－∞， 1)x＋1，x≤0，6．函数 f(x)＝则函数 y＝f[f(x)]＋ 1 的所有零点所构成的集合为log2x，x>0，________．解析本题即求方程f[f(x)] ＝－ 1 的所有根的集合，先解方程f(t)＝－ 1，即t≤0，t>0， 1 1或log2t＝－ 1，得 t＝－ 2 或 t＝2.再解方程 f(x)＝－ 2 和 f(x)＝2.t＋1＝－ 1第 2 页共 8 页x ≤0， x>0，x ≤0， x>0，即或和1 或 1 x ＋1＝－ 2log2x ＝－ 2 x ＋1＝2log2x ＝ 2.1 1 得 x ＝－ 3 或 x ＝ 4和 x ＝－ 2或 x ＝ 2.1 1答案－ 3，－ 2，4， 2三、解答题 (共 25 分 )17．(12 分 )设函数 f(x)＝ 1－ x (x>0)． (1)作出函数 f(x)的图象；1 1(2)当 0<a<b ，且 f(a)＝ f(b)时，求 a ＋ b 的值； (3)若方程 f(x)＝ m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围．解 (1)如图所示．1(2)∵f(x)＝ 1－ x1 x－1，x ∈ 0，1] ，＝11－ x ，x ∈ 1，＋∞ ，故 f(x)在 (0,1]上是减函数，而在 (1，＋∞ )上是增函数，由 0<a<b 且 f(a)＝f(b)，111 1得 0<a<1<b ，且 a －1＝1－b ，∴ a ＋b ＝2. (3)由函数 f(x)的图象可知，当0<m<1 时，方程 f(x)＝m 有两个不相等的正根．8．(13 分 )已知函数 f(x)＝ x 3 ＋2x 2 －ax ＋ 1.(1)若函数 f(x)在点 (1， f(1))处的切线斜率为 4，求实数 a 的值； (2)若函数 g(x)＝ f ′(x)在区间 (－1,1)上存在零点，求实数 a 的取值范围．解由题意得 g(x)＝ f ′ (x)＝3x 2 ＋4x － a.(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，∴ a＝3.第 3 页共 8 页1 (2)法一①当 g(－ 1)＝－ a－1＝0，a＝－ 1 时，g(x)＝f′(x)的零点 x＝－3∈(－1,1)；7②当 g(1)＝7－a＝ 0，a＝7 时， f′ (x)的零点 x＝－3?(－ 1,1)，不合题意；③当 g(1)g(－ 1)<0 时，－ 1<a<7；＝4× 4＋ 3a ≥0，－1<－2，43<1④当时，－3≤ a<－1.g 1 >0，g －1 >04综上所述， a∈ －3，7 .法二 g(x)＝f′(x)在区间 (－1,1)上存在零点，等价于 3x2＋4x＝a 在区间 (－1,1)上有解，也等价于直线 y＝a 与曲线 y＝3x2＋4x 在(－1,1)有公共点．作图可得4a∈ －3， 7 .或者又等价于当x∈(－1,1)时，求值域．2＋4x＝ 3 x＋2 2 4 4.a＝3x3 －∈ －，7 3 3B 级能力突破 (时间： 30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 )1．(2011 ·陕西 )函数 f(x)＝x－ cos x 在[0，＋∞ )内( )．A ．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点解析令 f(x)＝0，得x＝cos x，在同一坐标系内画出两个函数 y＝x与 y＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x＝cos x 只有一个解．∴函数 f(x)只有一个零点．第 4 页共 8 页答案 B2．(2012 ·辽宁 )设函数 f(x)(x∈ R)满足 f(－x)＝ f(x)， f(x)＝f(2－ x)，且当 x∈[0,1]时， f(x)＝x3又函数g(x)＝π ，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－1，3上的. |xcos( x)|2 2零点个数为( )．A ．5 B． 6 C． 7D． 8解析由题意知函数 y＝f(x)是周期为 2 的偶函数且 0≤x≤1 时， f(x)＝x3，则当－ 1≤ x≤0 时，f(x)＝－ x3，且 g(x)＝|xcos(x)|π，所以当 x＝0 时，f(x)＝ g(x)．当1 3 2x≠0 时，若 0<x≤2，则 x ＝xcos( x)π，即 x＝|cos πx|.同理可以得到在区间－1， 0 ，1， 1 ，1，3上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得2 2 2关系式等号两边函数的图象，如图所示，有 5 个根．所以总共有 6 个．答案 B二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )3．已知函数 f(x)满足 f(x＋1)＝－ f(x)，且 f(x)是偶函数，当 x∈[0,1] 时， f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k 有4 个零点，则实数k 的取值范围为________．解析依题意得f(x＋ 2)＝－ f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以 2 为周期的函数． g(x)＝f(x)－kx－ k在区间 [－ 1,3]内有 4 个零点，即函数 y＝f(x)与 y＝k(x＋1)的图象在区间 [ －1,3]内有 4 个不同的交点．在坐标平面内画出函数 y ＝f(x)的图象 (如图所示 )，注意到直线 y＝k(x＋1)恒过点 (－ 1,0)，由题及图象可1知，当 k∈ 0，4时，相应的直线与函数y＝f(x)在区间 [－1,3] 内有 4 个不同的第 5 页共 8 页1交点，故实数 k 的取值范围是0，4 .1答案0，44．若直角坐标平面内两点 P， Q 满足条件：① P、Q 都在函数 f(x) 的图象上；② P、Q 关于原点对称，则称点对 (P、Q)是函数 f(x)的一个“友好点对” (点对 (P、Q)与点对 (Q ， P) 看作同一个“友好点对” ) ．已知函数 f(x) ＝2x2＋4x＋1，x<0，2 则 f(x)的“友好点对”的个数是 ________．x，x≥0，e解析设 P(x， y)、Q(－ x，－ y)(x>0)为函数 f(x)的“ 友好点对”，则2 2 2 y＝e，－ y＝2(－ x) ＋4(－ x)＋1＝2x －x4x＋1，∴2 2－＋＝，在同一坐标系中作函数＋2x4xx 1 0e2 2y1＝e x、y2＝－ 2x＋4x－ 1 的图象， y1、y2 的图象有两个交点，所以f(x)有 2 个“友好点对”，故填 2.答案 2三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )设函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a>0， a， c∈ R)．(1)设 a>c>0.若 f(x)>c2－2c＋a 对 x∈[1 ，＋∞ )恒成立，求 c 的取值范围；(2)函数 f(x)在区间 (0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？a＋ c 解(1)因为二次函数 f(x)＝ 3ax2－2(a＋c)x＋c 的图象的对称轴为 x＝3a，由a＋c 2a 2条件 a>c>0，得 2a>a＋ c，故3a <3a＝3<1，即二次函数 f(x)的对称轴在区间[1，＋∞ )的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞ )内是增函数．若f(x)>c2－ 2c＋a 对 x∈ [1，＋∞ )恒成立，则 f(x)min＝ f(1)>c2－ 2c＋a，即 a－c>c2－ 2c＋a，得 c2－c<0，第 6 页共 8 页所以 0<c<1.(2)①若 f(0) f(1)·＝c·(a－c)<0，则c<0，或 a<c，二次函数 f(x)在 (0,1)内只有一个零点．②若 f(0)＝c>0，f(1)＝ a－ c>0，则 a>c>0.因为二次函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋ c 的图象的对称轴是 x＝a＋c而a＋c ＝3a .f 3a －a2＋ c2－ac<0，3aa＋ c a＋ c所以函数 f(x)在区间 0，3a和3a ，1 内各有一个零点，故函数 f(x)在区间(0,1)内有两个零点．6．(13 分 )已知二次函数 f(x)＝x2－ 16x＋q＋3.(1)若函数在区间 [ －1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数 t(t≥0)，当 x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间 D，且区间 D 的长度为12－ t(视区间 [a， b] 的长度为 b－a)．解(1)∵函数 f(x)＝ x2－16x＋q＋3 的对称轴是 x＝ 8，∴f(x)在区间 [ －1,1]上是减函数．f 1 ≤ 0，∵函数在区间 [ － 1,1] 上存在零点，则必有即f －1 ≥0，1－ 16＋q＋3≤0，∴－ 20≤q≤12.1＋ 16＋q＋3≥0，(2)∵0≤ t<10， f(x)在区间 [0,8] 上是减函数，在区间 [8,10] 上是增函数，且对称轴是 x＝8.①当 0≤t≤ 6 时，在区间 [t,10]上， f(t)最大， f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即 t2－ 15t＋52＝0，解得 t＝15±17，∴ t＝15－ 17 2 2；②当 6<t≤8 时，在区间 [t,10]上， f(10)最大， f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得 t＝8；③当 8<t<10 时，在区间 [t,10]上， f(10)最大， f(t)最小，第7 页共 8 页∴f(10)－f(t)＝12－ t，即 t2－17t＋72＝ 0，解得 t＝8,9，∴t＝9.15－17综上可知，存在常数t＝，8,9 满足条件 .特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容 .第8 页共 8 页。

2014届高考数学人教A版(理)一轮复习第二章2.4二次函数与幂函数

2.4 二次函数与幂函数一、选择题1. 幂函数43y x =的图象是（）答案 A2.已知幂函数()f x 的图象经过点(2,4),则()f x 的解析式为( ) A.()2f x x = B.2()f x x = C.()2x f x = D.()2f x x =+答案 B3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤2，log 2x －，x ＞2，则f (f (5))＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤2，log 2x －，x ＞2，所以f (f (5))＝f [log 2(5－1)]＝f (2)＝22－2＝1. 答案 B4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为( )． A ．2 B.34 C.23 D ．0解析由x ≥0，y ≥0x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12t ＝2x ＋3y 2＝2－4y ＋3y 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫y －232＋23在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时， t 取到最小值，t min ＝34. 答案 B5．二次函数f (x )＝x 2－ax ＋4，若f (x ＋1)是偶函数，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：由题意f (x ＋1)＝(x ＋1)2－a (x ＋1)＋4＝x 2＋(2－a )x ＋5－a 为偶函数，所以2－a ＝0，a ＝2. 答案：D6.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a ＞c ＞bB.a ＞b ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a答案：A7 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}解析设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b2a对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642. 答案 D 二、填空题8．已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是________．解析：∵0<0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1， ∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m<(1.30.7)m，∴幂函数y ＝x m在(0，＋∞)上单调递增，故m >0. 答案：(0，＋∞)9．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析由已知条件当m ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0－12m≤－2时，函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，解得0≤m ≤14.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 10．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，f，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，3k －2<0，4k －1>0，解得12<k <23.答案：(12，23)11．已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.解析由题意，设y ＝f (x )＝x α，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1. 答案 ±112．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．答案 (0,1) 三、解答题13．已知函数f (x )＝2x －x m且f (4)＝－72，(1)求m 的值；(2)求f (x )的单调区间．解析：(1)f (4)＝24－4m ＝－72，∴4m＝4.∴m ＝1.故f (x )＝2x－x .(2)由(1)知，f (x )＝2·x －1－x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数，又y ＝x －1，y ＝－x 均为减函数，故在(－∞，0)，(0，＋∞)上f (x )均为减函数． ∴f (x )的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．14．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．解设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)(a <0)，则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝(4a ＋2)2－36a 2＝016a 2＋16a ＋4－36a 2＝0,20a 2－16a －4＝0 5a 2－4a －1＝0，(5a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝－15，或a ＝1舍去因此f (x )的解析式为f (x )＝－15(x －1)(x －3)．15．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解析：(1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． ∵f (x )图象的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x .又∵函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x .①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图象对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．16．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．解不等式ax 2－2x ＋2>0等价于a >2x －2x2，设g (x )＝2x －2x2，x ∈(1,4)，则g ′(x )＝2x 2－x －xx 4＝－2x 2＋4x x4＝－2x x －x4，当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，g (x )≤g (2)＝12，由已知条件a >12，因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第二篇第9讲函数的应用

第 9 讲函数的应用A 级基础演练 (时间： 30 分钟满分： 55 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )1．(2013 ·成都调研 )在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为( )．x解析由题意可得 y＝ (1＋10.4%) .2．(2013 ·青岛月考 )某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元．一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟 )与打出电话费 s(元 ) 的函数关系如图，当打出电话 150 分钟时，这两种方式电话费相差()．40A ．10 元B．20 元C．30 元 D. 3元解析设 A 种方式对应的函数解析式为 s＝ k1t＋20，B 种方式对应的函数解析式为 s＝ k2t，1当 t＝100 时， 100k1＋ 20＝100k2，∴ k2－k1＝5，第 1 页共 8 页1t＝ 150 时， 150k2－150k1－20＝150×5－20＝ 10.答案 A3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元 )分别为 L1＝5.06x－2150.15x 和 L2＝2x，其中 x 为销售量 (单位：辆 )．若该公司在这两地共销售辆车，则能获得最大利润为( )．A ．45.606 万元B． 45.6 万元C．45.56 万元D． 45.51 万元解析依题意可设甲销售x 辆，则乙销售 (15－x)辆，总利润 S＝L1＋ L2，则总利润 S＝5.06x－ 0.15x2＋2(15－x) ＝－ 0.15x2＋3.06x＋ 30＝－ 0.15(x－10.2)2＋0.15× 10.22＋ 30(x≥0)，∴当 x＝10 时， Smax＝45.6(万元 )．答案 B4．(2013 ·太原模拟 )某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10 万元 )与营运年数 x(x∈ N* )为二次函数关系 (如图所示 )，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大()．A ．3 B． 4 C． 5D． 62y 解析由题图可得营运总利润y＝－(x－6)＋ 11，则营运的年平均利润x＝－ x 25＋12，－x* y≤－2 25∵x∈N ，∴x·＋12＝ 2，x x25当且仅当 x＝x，即 x＝ 5 时取“＝”．∴x＝5 时营运的年平均利润最大．答案 C二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：加密发送解密明文――→密文――→密文――→明文第 2 页共 8 页已知加密为 y＝a x－2(x 为明文， y 为密文 )，如果明文“3通”过加密后得到密文为“6，”再发送，接受方通过解密得到明文“3，”若接受方接到密文为“14，”则原发的明文是 ________．解析依题意 y＝a x－2 中，当 x＝ 3 时， y＝6，故 6＝ a3－2，解得 a＝2.所以加密为 y＝2x－ 2，因此，当 y＝14 时，由 14＝2x－2，解得 x＝ 4.答案 46．如图，书的一页的面积为 600 cm2，设计要求书面上方空出 2cm 的边，下、左、右方都空出 1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析设长为 a cm，宽为 b cm，则 ab＝600，则中间文字部分的面积 S＝ (a － 2 － 1)(b － 2) ＝ 606－ (2a ＋ 3b)≤ 606 －×＝，当且仅当2a ＝，即max＝486.2 6 600 4863b a＝ 30，b＝20 时， S答案30 cm、 20 cm三、解答题 (共 25 分 )7．(12 分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分 )与通话费 y( 元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y1，y2 与通话时间 x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解(1)由图象可设 y1＝ k1x＋ 29，y2＝ k2x，把点 B(30,35)， C(30,15)分别代入1 1y1，y2 得 k1＝5， k2＝2.∴y1＝1 ＋，2＝15x29 y 2x.(2)令 y1＝ y21 12 ，即x＋ 29＝ x，则 x＝96 .5 2 3第 3 页共 8 页2当 x＝ 963时， y1＝y2，两种卡收费一致；2当 x<963时， y1>y2，即使用“便民卡”便宜；2当 x>963时， y1<y2，即使用“如意卡”便宜．8．(13 分 )(2013 济·宁模拟 )某单位有员工 1 000 名，平均每人每年创造利润10 万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N * )名员工从事3x第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10 a－500万元 (a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取值范围是多少？解(1)由题意得： 10(1 000－ x)(1＋0.2x%)≥10×1 000，即x2－500x≤0，又 x>0，所以 0<x≤500.即最多调整 500 名员工从事第三产业．3x(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10 a－500 x 万元，从事原来产业3x 的员工的年总利润为10(1 000－x)(1＋ 0.2x%)万元，则 10 a－500 x≤10(1 000213x 2－x)(1＋ 0.2x%)，所以 ax－500≤ 1 000＋2x－x－500x，22x 2x 1 000所以 ax≤500＋1 000＋x，即 a≤500＋x＋1 恒成立，2 1 0002x 1 000因为500x＋x≥ 2 500×x＝4，2x 1 000当且仅当500＝x，即 x＝500 时等号成立．所以 a≤5，又 a>0，所以 0<a≤5，即 a 的取值范围为 (0,5]．B 级能力突破 (时间： 30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分)第 4 页共 8 页1．(2013 ·潍坊联考 )一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x， y剪去部分的面积为20，若 2≤x≤10，记 y＝f(x)，则 y＝f(x)的图象是( )．10解析由题意得 2xy＝ 20，即 y＝x，当 x＝2 时， y＝5，当 x＝ 10 时， y＝1 时，排除 C， D，又 2≤ x≤ 10，排除 B.答案 A2．(2011 ·湖北 )放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，t 其含量 M(单位：太贝克 )与时间 t(单位：年 )满足函数关系： M(t)＝M02－30，其中 M0 为 t＝0 时铯 137 的含量．已知t＝30 时，铯 137 含量的变化率是－10ln 2(太贝克 /年 )，则 M(60)＝()．A ．5 太贝克B． 75ln 2 太贝克C．150ln 2 太贝克D．150 太贝克t 1解析由题意 M′ (t)＝M02－30－30 ln 2，－ 1 1M′(30)＝M02 × －30ln 2＝－ 10ln 2，∴M0＝600，∴ M(60)＝600×－ 22 ＝ 150.答案 D二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )3．(2013 ·阜阳检测 )按如图所示放置的一边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动，设顶点 P(x，y)的轨迹方程是 y＝f(x)，则 y＝f(x)在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为 ________．第 5 页共 8 页解析将 P 点移到原点，开始运动，当P 点第一次回到 x 轴时经过的曲线是πππ三段首尾相接的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为4＋2＋1 ＋4＝π＋ 1.答案π＋14．某市出租车收费标准如下：起步价为8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费 )；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘坐一次出租车付费22.6 元，则此次出租车行驶了________km.8， 0<x≤3，解析由已知条件 y＝8＋ 2.15 x－3 ＋ 1， 3<x≤8，8＋ 2.15×5＋2.85 x－8 ＋1，x>8，由 y＝ 22.6 解得 x＝9.答案9三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )(2011 湖·南 )如图，长方体物体E 在雨中沿面P( 面积为S)的垂直方向做匀速度移动，速度为 v(v>0)，雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或 P 的平行面 (只有一个面淋雨 )的淋雨量，假设其值与 |v－ c|× S 成正比，比例系数为101；②其他面的1淋雨量之和，其值为2.记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离 d＝100，3面积 S＝2时，(1)写出 y 的表达式；(2)设 0<v≤ 10,0<c≤ 5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量 y 最少．解(1)由题意知， E 移动时单位时间内的淋雨量为3 1 100 3 1 5|v－ c|＋2，故 y＝v20|v－c|＋2＝v(3|v－ c|＋10)．20(2)由(1)知，第 6 页共 8 页当0<v≤c 时， y＝5(3c－3v＋ 10)＝5 3c＋10－15；vv5 5 10－3c当 c<v≤10 时， y＝v(3v－ 3c＋10)＝v＋15.5 3c＋10 －15，0<v≤c，v故 y＝510－3c＋15，c<v≤10.v10①当 0<c≤3时， y 是关于 v 的减函数，3c故当 v＝10 时， ymin＝20－2 .10②当3 <c≤ 5 时，在 (0，c]上， y 是关于 v 的减函数；在 (c,10]上， y 是关于 v50的增函数．故当 v＝ c 时， ymin＝c .6．(13 分)(2013 徐·州模拟 )某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150 元，草皮每平方米造价为 30 元．(1)设半圆的半径 OA＝ r(米)，设建立塑胶跑道面积S 与 r 的函数关系 S(r)；(2)由于条件限制 r∈ [30,40]，问当 r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？ (精确到元 )解(1)塑胶跑道面积22－(r－ 8)2＋×10 000－πr×2S＝π[r ] 82r80 000100＝r＋8πr－64π∵π.r2＜10 000，∴ 0＜r ＜.π(2)设运动场的造价为 y 元，y ＝×80 000＋ 8πr－ 64π＋ 30× 10 000－80 000 150r r第7 页共 8 页－8πr＋64π)＝ 300 000＋120×80 000＋8πr － 7 680 π. r80 00080 000令 f(r)＝r＋ 8πr，∵ f′ (r)＝8π－r 2 ，当r∈[30,40]时， f′ (r)＜0，∴函数 y＝300 000＋ 120×80 000＋8πr －7 680 π在[30,40]上为减函数．∴当 r r ＝40 时， ymin≈636 510，即运动场的造价最低为636 510 元.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第8 页共 8 页。

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习配套word版文档：第十二篇第3讲数学归纳法.pdf

学海无涯
第 3 讲数学归纳法
A 级基础演练(时间：30 分钟满分：55 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)
1．用数学归纳法证明不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1＞16247(n∈N*)成立，其初始值至
少应取
( )．
A．7
B．8
C．9
D．10
解析
左边＝1＋12＋14＋…＋2n1－1＝11－－2112n＝2－2n1－1，代入验证可知 n 的最小
4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；
5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；
一个整数 n 所拥有数对为(n－1)对．
学海无涯
(n－1)n 设 1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴ 2 ＝60，
∴n＝11 时还多 5 对数，且这 5 对数和都为 12，
12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，
∴第 60 个数对为(5,7)．
(1)求 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)； (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，试求使得 Sn<2n 成立的最小正整数 n，并给出证明．解 (1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想 an＝2n＋1. (2)Sn＝n(3＋22n＋1)＝n2＋2n，使得 Sn<2n 成立的最小正整数 n＝6. 下证：n≥6(n∈N*)时都有 2n>n2＋2n. ①n＝6 时，26>62＋2×6，即 64>48 成立； ②假设 n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k 成立，那么 2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2 ＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即 n＝k＋1 时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的 n≥6(n∈N*)

教育文档《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习第二篇第3讲函数的奇偶性与周期性

＝ 2－ |x|，
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`````
2π 显然当 x∈[ － 1,0] 时， f(x) 为增函数；当 x∈[0,1] 时， f(x)为减函数， cos ＝－
3
1 2
2π ＝
31 2 > ，又
f
1 －
＝f
1 2 >f
， sin 3
2
22 > ，又 f －
3 ，所以 2
f cos
2π 3 >f
第 2 页共 6 页
`````
＝ 1，得 f(1) ＝ 0，令 x＝ y＝－ 1，得 f(－ 1)＝ 0.
(2) 令 y＝－ 1，有 f(－ x)＝－ f(x)＋ xf(－ 1)，代入 f(－ 1)＝ 0 得 f(－ x)＝－ f(x) ，所以 f(x)是 (－∞，＋ ∞) 上的奇函数．
8． (13 分 )设定义在 [－ 2,2] 上的偶函数 f(x) 在区间[－ 2,0] 上单调递减，若 f(1 －
1 2(x－ 2)，
1 ∴f(x) ＝－ 2( x－ 2)(1<x<3) ．
∴f(x) ＝
1 2x，－ 1≤ x≤ 1，
1 － 2 x－ 2 ， 1< x<3.
由 f(x)＝－
1
2 ，解得 x＝－ 1.
∵f(x) 是以 4 为周期的周期函数，
1 ∴f(x) ＝－的所有 x＝ 4n－ 1(n∈Z) ．
x＝－ f(x)．当 x＝ 0 时， f(0)＝ 0，故 f(x) 为奇函数，且 f(x)＝ 1－ 2－x 在 [0 ，＋ ∞) 2
上为增函数， f(x)＝ 2 x－ 1 在 (－∞，0)上为增函数，又 x≥ 0 时 1－ 2－ x≥ 0，x<0

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第三篇第3讲导数的应用(二)-(9004)

第3 讲导数的应用(二)A 级基础演练(时间：30 分钟满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共20 分)1．(2013 ·北京东城模拟)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f (x)在开区间(a，b)内有极小值点( )．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个答案 A3 22．(2013 ·苏州一中月考)已知函数f(x)＝x ＋ax ＋(a＋6) x＋1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是( )．A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)2解析f′(x)＝3x ＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3 或a＞0 有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a6.答案 Bln2x3．(2013 ·抚顺质检)函数y＝的极小值为x( )．A. 4 22 B．0 C.e D．1 e解析函数的定义域为(0，＋∞)，2ln x－ln －ln x ln x－22xy′＝ 2 .2 ＝x x函数y′与y 随x 变化情况如下：x (0,1) 1 (1，e2) e2 (e2，＋∞)y′－0 ＋0 －第 1 页共8 页y 0 4 2 eln2x则当x＝1 时函数y＝取到极小值0.x答案 B4．(2013 ·南京模拟)设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′( x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是( )．A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2) D．f(2)与f(－2)解析由图象知f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x>2 时，y＝x·f′( x)>0，∴f′( x)>0，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增；同理f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，∴y＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，故选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10 分)3＋3ax2＋3bx＋c 在x＝2 处有极值，其图象在x＝1 处的5．已知函数y＝f(x)＝x切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f (x)极大值与极小值之差为________．解析∵y′＝3x2＋6ax＋3b，2＋6a×2＋3b＝0，3×22＋6a＋3b＝－3 3×1 ?a＝－1，b＝0.∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0 或x＝2. ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.答案 46．已知函数f(x)＝－x2＋6x＋e2－5e－2，x≤e，2＋6x＋e2－5e－2，x≤e，x－2ln x，x>e(其中e 为自然对数的底数，2)>f(a)，则实数 a 的取值范围是________．且e≈ 2.718)．若f(6－a－2x＋6，x≤e，当x≤e时，f′(x)＝6－2x＝2(3－x)>0，解析∵f′(x)＝ 21－，x>e，x共8 页第2页x－2 22)>f(a)，当x>e 时，f′(x)＝1－＝x >0，∴f(x)在R上单调递增．又f(6－a x2>a，解之得－3<a<2.∴6－a答案(－3,2)(共25 分)三、解答题7．(12 分)(2011 北·京)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f (x)的单调区间；(2)求f (x)在区间[0,1]上的最小值．x. 解(1)f′(x)＝(x－k＋1)e令f′( x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)f′(x) －0 ＋k－1f(x) －e是(k－1，＋∞)．是(－∞，k－1)；单调递增区间所以，f(x)的单调递减区间(2)当k－1≤0，即k≤ 1 时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f( x)在区间[0,1]上的最小值为 f (0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2 时，，所以f(x)在区间[0,1] 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增k－1；上的最小值为f(k－1)＝－e当k－1≥1，即k≥ 2 时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f( x)在区间[0,1]上的最小值为 f (1)＝(1－k)e.8．(13 分)(2011 福·建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单ay＝＋10(x－6) 位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式2，其中x－33<x<6，a 为常数．已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．共8 页第3页解(1)因为x＝5 时，y＝11，所以a＋10＝11，a＝2. 22(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该x－3商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2＋10 x－6 x－322,3<x<6. ＝2＋10(x－3)(x－6)从而，f′(x)＝10[( x－6)2＋2(x－3)( x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6)f′(x) ＋0 －f( x) 单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x＝4 是函数 f (x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4 时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．B级能力突破(时间：30 分钟满分：45 分)一、选择题(每小题5分，共10 分)11．函数f(x)＝2e x(sin x ＋cos x)在区间0，x(sin x＋cos x)在区间0，π2 上的值域为( )．A. 1，21π2e2 B.1，21π2e2 ππC．[1，e2] D．(1，e2)1 x(sin x＋cos x)＋1x(cos x－sin x)＝e x cos x，解析f′(x)＝2e2e当0≤x≤π时，f′(x)≥0，且只有在x＝2π时，f′(x)＝0，2π∴f(x)是0，上的增函数，2π1 π∴f(x)的最大值为f2e＝，2 2共8 页第4页f(x)的最小值为f(0)＝1 7.ππ1 1∴f(x)在0，2e2 .故应选A.上的值域为，2 2答案 A3＋2bx2＋cx＋1 有两个极值点x1，x2，且x1 2．(2013 ·潍坊一模)已知函数f(x)＝x∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是( )．3A. －，3B.2 3，6 23C．[3,12] D. －，1222 解析因为f( x)有两个极值点x1，x2，所以f′(x)＝3x＋4bx＋c＝0 有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2f′－2 ≥0，∈[1,2]，所以f′－1 ≤0，f′1 ≤0，即f′2 ≥0，12－8b＋c≥0，3－4b＋c≤0，3＋4b＋c≤0，12＋8b＋c≥0，画出可行域如图所示．因为f(－1)＝2b－c，由图知经过点A(0，－3)时，f(－1)取得最小值3，经过点C(0，－12)时，f(－1)取得最大值12，所以f(－1)的取值范围为[3,12]．答案 C二、填空题(每小题 5 分，共10 分)3 23．已知函数f(x)＝mx ＋nx 的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0 平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．(－1,2)在函数f(x)的图象上，解析由题意知，点故－m＋n＝2.①又f′( x)＝3mxf′(－1)＝－3，2＋2nx，则故3m－2n＝－3.②共8 页第5页联立①②解得：m＝1，n＝3，即f( x)＝x3＋3x2，令f′( x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，则[t，t＋1]? [－2,0]，故t≥－2 且t＋1≤0，所以t∈[－2，－1]．答案[－2，－1]1－x4．(2013 ·长春调研)已知函数f(x)＝＋ln x，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函ax数，则正实数 a 的取值范围为________．1－x解析∵f(x)＝＋ln x，∴f′(x)＝ax ax－12(a>0)，ax∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝a x－12≥0对x∈[1，＋∞)恒成ax立，∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≥1对x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≥ 1. x答案[1，＋∞) 三、解答题(共25 分)5．(12 分)设函数f(x)＝a3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0 的两根分别3x为1,4.(1)当a＝3 且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f (x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．解由f (x)＝a3＋bx2＋cx＋d 得f′(x)＝ax2＋2bx＋c. 3x因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0 的两个根分别为1,4，所以a＋2b＋c－9＝0，16a＋8b＋c－36＝0，(*)(1)当a＝3 时，由(*) 式得2b＋c－6＝0，8b＋c＋12＝0，解得b＝－3，c＝12.又因为曲线y＝f (x)过原点，所以d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.a3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点等价于f′(x) (2)由于a>0，所以f(x)＝3x＝ax2＋2bx＋c≥0 在(－∞，＋∞)内恒成立．由(*) 式得2b＝9－5a，c＝4a.共8 页第6页又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，由a>0，Δ＝9 a－1 a－9 ≤0得a∈[1,9]．即a 的取值范围是[1,9]．x－1－f(0)x＋1 6．(13 分)(2012 新·课标全国)已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)e 2x2.(1)求f (x)的解析式及单调区间；(2)若f (x)≥12＋ax＋b，求(a＋1)b 的最大值．2xx－1－f(0)＋x. 解(1)由已知得f′(x)＝f′(1)e所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1.又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e.x－x＋12.由于f′(x)＝e x－1＋x，从而f( x)＝e2x故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′( x)>0.从而，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．x－(a＋1) x≥ b.① (2)由已知条件得e1－bx－(a＋1)x<b， (i)若a＋1<0，则对任意常数b，当x<0，且x< 时，可得 ea＋1因此①式不成立．(ii) 若a＋1＝0，则(a＋1)b＝0.x－(a＋1)x， (iii) 若a＋1>0，设g(x)＝e则g′(x)＝ex－(a＋1)．当x∈(－∞，ln(a＋1))时，g′(x)<0；当x∈(ln(a＋1)，＋∞)时，g′(x)>0.从而g(x)在(－∞，ln(a＋1))上单调递减，在(ln( a＋1)，＋∞)上单调递增．故g(x)有最小值g(ln( a＋1))＝a＋1－(a＋1)ln( a＋1)．所以f( x)≥12＋ax＋b 等价于b≤a＋1－(a＋1)·l n( a＋1)．②2x因此(a＋1)b≤(a＋1)2－(a＋1)2ln( a＋1)．设h( a)＝(a＋1)2－(a＋1)2ln( a＋1)，则第7页共8 页h′(a)＝(a＋1)[1－2ln( a＋1)]．1 1所以h(a)在(－1，e －1)上单调递增，在(e －1，＋∞)上单调递减，故h( a)2 21在a＝e －1 处取得最大值．2从而h(a)≤e2，即(a＋1)b≤e8.1e1 2当a＝e －1，b＝时，②式成立．故f(x)≥2 2 12＋ax＋b. 2xe综上得，(a＋1)b 的最大值为2.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.共8 页第8页。

【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学人教A版(理)第二篇第6讲幂函数与二次函数

b 在 x∈－∞，－2a上单调
在
b x∈－∞，－2a上
递减
单调递增在
b x ∈ －2a，＋∞ 上
单调性
b 在 x∈－2a，＋∞上单调
递增
单调递减
奇偶性
b＝0 时为偶函数，b≠0时为非奇非当______ 偶函数
2 4 ac － b b －， 2a 4a
(
)．
解析
观察函数图象可知二次函数 f(x)的图象的顶点坐标
为(0,1)，故可设 f(x)＝ax2＋1，又函数图象过点(1,0)，代入
2 可得 a＝－1，所以 f(x)＝－x2＋1，所以 S＝－ 1(1 － x )dx 1
＝
x31 4 x－－1＝ . 3 3
答案
B
1 1 A．－2，－，，2 2 2 1 1 C．－，－2,2， 2 2
)． 1 1 B．2，，－，－2 2 2
(
1 1 D．2，，－2，－ 2 2
答案
B
2．(2011· 浙江)设函数数 α 等于
－x，x≤0， f(x)＝ 2 x ，x>0，
若 f(α)＝4，则实 ( )．
定点
(0,0)，(1,1) _____________
(1,1)
4. 二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)பைடு நூலகம்ax2＋bx＋ c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
4ac－b2 ，＋∞ 4a
2 4 ac － b －∞， 4a

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第六篇第5讲数列的综合应用

第5讲数列的综合应用A级基础演练(时间：30 分钟满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共20 分)1．已知{a n}为等比数列．下面结论中正确的是()．2 2 2A．a1＋a3≥2a2 B．a1＋a3≥2a2C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4>a2解析设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1 时不正确；选项C，当q＝－21 时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2 时不正确；选项 B 正确，因为a1＋2 2a3≥2a1a3＝2a2.答案 B2．满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N* )，它的前n 项和为Sn ，则满足S n>1 025的最小n 值是()．A．9 B．10 C．11 D．12* )，所以a n n－1，Sn解析因为a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N＋1＝2a n，a n＝2＝2n－1，则满足S n>1 025 的最小n 值是11.答案 C3．(2013 ·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批1 同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n)＝2n( n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )．A．5 年B．6 年C．7 年D．8 年2.当n＝1 时也适合，据解析由已知可得第n 年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n题意令a n≥150? n≥5 2，即数列从第8 项开始超过150，即这条生产线最多生产7 年．答案 C共8 页第1页4．(2013 ·福州模拟)在等差数列 {a n }中，满足3a 4＝7a 7，且 a 1>0，S n 是数列 { a n }前 n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝ ()．A ．7B ．8C ．9D ．10解析设公差为d ，由题设 3(a 1＋3d)＝7(a 1＋6d)，所以 d ＝－4 33a1<0.4解不等式 a n >0，即 a 1＋(n －1) －1>0，33a37所以 n< ，则n ≤ 9，4当 n ≤ 9 时，a n >0，同理可得 n ≥ 10时， a n <0. 故当 n ＝9 时， S n 取得最大值．答案 C二、填空题(每小题5 分，共 10 分)2－x ＜2nx( n ∈N *)的解集中整数的个数为5．(2012 ·安庆模拟)设关于x 的不等式 xa n ，数列 {a n } 的前 n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析由 x2－x ＜2nx(n ∈N * )，得 0＜x ＜2n ＋1，因此知 a n ＝2n.∴S 100＝ 100 2＋200 2 ＝10 100.答案 10 1006．(2013 ·南通模拟)已知 a ，b ，c 成等比数列，如果 a ，x ，b 和 b ，y ，c 都成等a c差数列，则＋＝________. x y解析赋值法．如令 a ，b ，c 分别为2,4,8，可求出 x ＝ a ＋b ＝3，y ＝ 2b ＋c ＝6， 2a c＋＝2.x y答案 2三、解答题(共25 分)7．(12 分)已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，S5＝35，a5 和a7 的等差中项为13.(1)求a n 及S n；(2)令b n＝42(n∈N*)，求数列{b n}的前n 项和T n.a n－1第2页共8 页解(1)设等差数列{a n}的公差为d，因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2，所以a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n n－1 S n＝3n＋2 ×2＝n2＋2n.2＋2n.(2)由(1)知a n＝2n＋1，4所以b n＝2＝a n－11n n＋11 1＝－，n n＋112 所以T n＝1－＋1 1－2 3＋⋯＋1 1－nn＋11 n＝1－.＝n＋1 n＋1n＋1＋1，n 8．(13 分)(2012 广·东)设数列{a n} 的前n 项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2 ∈N* ，且a1，a2＋5，a3 成等差数列．(1)求a1 的值；(2)求数列{ a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1 1＋＋⋯＋a1 a21 3a n<2.(1)解当n＝1 时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①当n＝2 时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②又a1，a2＋5，a3 成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)，③由①②③解得a1＝1.n＋1＋1， (2)解∵2S n＝a n＋1－2∴当n≥ 2 时，有2S n－1＝a n－2n＋1，两式相减整理得a n＋1－3a n＝2 n－1＝1，n，则a3 a n n＋1n－·2 2 2a n＋1＋1即n ＋2＝2 32a n a1n－1＋2 .又＋2＝3，知2 2a n3n－1＋2 是首项为3，公比为的等比数列，2 2第3页共8 页a n∴n－1＋2＝3 2 32n－1，即a n＝3n－2n，n＝1 时也适合此式，∴a n＝3n－2n.(3)证明由(2)得1 1＝n－2n.a n 3当n≥ 2 时，32n>2，即3n－2n>2n，1 ∴＋a1 1＋⋯＋a21a n<1＋122＋123＋⋯＋1212n＝1＋1 31－n－1 <2.2 B级能力突破(时间：30 分钟满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共10 分)1．(2012 ·济南质检)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋⋯＋f(2n)等于( )．A．n(2n＋3) B．n(n＋4)C．2n(2 n＋3) D．2n( n＋4)解析由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，2则(4k＋1) ＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，2＋3n. f(2)＋f(4)＋⋯＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋⋯＋(2×2n＋1)＝2n答案 Aπ2．(2012 ·四川)设函数f(x)＝2x－cos x，{a n} 是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)8＋⋯＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝( )．1 2 C.1 2 D.132A．0 B.πππ16 8 16解析设g(x)＝2x＋sin x，由已知等式得g a1－πππ2 ＋g a 2 ＋⋯＋g a2－5－2 ＝ππππππ0，则必有a3－2(否则若a3－＞0，则有a1－＋a5－＝a2－＝0，即a3＝2 2 2 2 2ππ＋a4－3－3－2 ＝2 a 2 ＞0，注意到g(x)是递增的奇函数，g a ππ2 ＞0，g a1－2第4页共8 页π＞g －a5－2 ＝－g a5－πππππ，g a1－＋g a5－＞0，同理g a2－＋g a4－2 2 2 2 2πππππ＞0，g a1－＋g a2－＋⋯＋g a5－＞0，这与“g a1－＋g a2－＋⋯2 2 2 2 2ππ＋g a5－＝0”相矛盾，因此a3－＞0 不可能；同理a3－2 2 π＜0 也不可能)；2又{ a n} 是公差为ππππ3π的等差数列，a1＋2×＝，a1＝，a5＝，f( a3)＝f8 8 2 4 4π＝π2π2－a1a5＝13 －cos＝π，[f(a3)]π2 16答案 D二、填空题(每小题5分，共10 分)n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n 3．设曲线y＝x＝lg x n，则a1＋a2＋a3＋⋯＋a99 的值为________．n(x∈N*)，所以在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，故切解析由y′＝(n＋1)x线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，令y＝0 得x n＝n，所以a1＋a2＋a3＋⋯＋a99n＋11 2＝lg x1＋lg x2＋⋯＋lg x99＝lg(x1·x2·⋯·x99)＝lg××⋯×2 399＝lg99＋11＝99＋1－2.答案－24．(2012 ·沈阳四校联考)数列{a n} 的前n 项和为S n，若数列{a n} 的各项按如下规律排列：1 1 ，，23 2 1 2 3 1 2 3 4，，，，，，，，⋯，3 4 4 4 5 5 5 51 2，，⋯，n nn－1，⋯，有如下运算和n结论：3①a24＝；8②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，⋯是等比数列；2＋nn③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，⋯的前n 项和为T n＝；4④若存在正整数k，使S k<10，S k＋1≥10，则a k＝5 3.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)第5页共8 页解析依题意，将数列{a n} 中的项依次按分母相同的项分成一组，第n 组中的数的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分母均是n＋1，分子由1 依次增大到n，第n组中的各数和等于1＋2＋3＋⋯＋nn＝2.n＋16 6＋17 7＋1对于①，注意到21＝2 <24<2＝28，因此数列{a n}中的第24 项应3是第7 组中的第3个数，即a24＝，因此①正确．8对于②、③，设b n 为②、③中的数列的通项，则b n＝1＋2＋3＋⋯＋n n＝，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n 项和n＋1 2等于1×2n n＋122＋nn＝，因此②不正确，③正确．4对于④，注意到数列的前 6 组的所有项的和等于2＋66 1＝10 ，因此满足条件4 2的a k 应是第6 组中的第 5 个数，即a k＝5，因此④正确．7综上所述，其中正确的结论有①③④.答案①③④三、解答题(共25 分)5．(12 分)已知各项均不相等的等差数列{a n} 的前四项和为14，且a1，a3，a7 恰为等比数列{b n}的前三项．(1)分别求数列{ a n}，{b n} 的前n 项和S n，T n；S n T n(2)记数列{ a n b n} 的前n 项和为K n，设c n＝，求证：c n＋1>c n(n∈N* )．K n4a1＋6d＝14， (1)解设公差为d，则2＝a1 a1＋6d ，a1＋2d解得d＝1 或d＝0(舍去)，a1＝2，所以a n＝n＋1，S n＝n n＋32 .又a1＝2，d＝1，所以a3＝4，即b2＝4.b2所以数列{ b n} 的首项为b1＝2，公比q＝＝2，b1所以b n＝2n，T n＝2n＋1－2.第6页共8 页1＋3·22＋⋯＋(n＋1)·2n，①(2)证明因为K n＝2·2故2K n＝2·22＋3·23＋⋯＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，②①－②得－K n＝2·21＋22＋23＋⋯＋2n－(n＋1)·2n＋1，n＋1，则c n＝SnT n ∴K n＝n·2＝K nn－1 n＋3 2n＋1 .2c n＋1－c n＝n＋1－1n＋4 2n＋2 －2n－1n＋3 2n＋12n＋1＋n＋22＝n＋2 >0，2* )．所以c n＋1>c n(n∈N6．(13 分)(2012 重·庆)设数列{ a n} 的前n 项和S n 满足S n＋1＝a2S n＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{ a n}是首项为1的等比数列；(2)若a2＞－1，求证：S n≤n2(a1＋a n)，并给出等号成立的充要条件．证明(1)由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1.因a2≠0，故a1＝1，得a2a1＝a2，又由题设条件知S n＋2＝a2S n＋1＋a1，S n＋1＝a2S n＋a1，两式相减得S n＋2－S n＋1＝a2(S n＋1－S n)，即a n＋2＝a2a n＋1，由a2≠0，知a n＋1≠0，因此a n＋2＝a2.a n＋1综上，a n＋1＝a2 对所有n∈N*成立．从而{ a n}是首项为1，公比为a2 的等比数*成立．从而{ a n}是首项为1，公比为a2 的等比数a n列．(2)当n＝1 或2 时，显然S n＝n2(a1＋a n)，等号成立．n－1 设n≥3，a2＞－1 且a2≠0，由(1)知，a1＝1，a n＝a2 ，所以要证的不等式化为：2 n－1 1＋a2＋a2＋⋯＋a2 ≤nn－12(1＋a2 )(n≥3)，2 n 即证：1＋a2＋a2＋⋯＋a2≤n＋1n2 (1＋a2)( n≥2)，第7页共8 页当a2＝1 时，上面不等式的等号成立．r n－r当－1＜a2＜1 时，a2－1 与a2 －1，(r＝1,2，⋯，n－1)同为负；r n－r当a2＞1 时，a2－1 与a2 －1，(r＝1,2，⋯，n－1)同为正；r n－r r n－r n 因此当a2＞－1 且a2≠1 时，总有(a2－1)(a2 －1)＞0，即a2＋a2 ＜1＋a2，(r ＝1,2，⋯，n－1)．上面不等式对r从1 到n－1 求和得2 n－1 n2(a2＋a2＋⋯＋a2 )＜(n－1)(1＋a2)．n＋12 n n由此得1＋a2＋a 2 (1＋a2)．2＋⋯＋a2＜综上，当a2＞－1 且a2≠0 时，有S n≤n2(a1＋a n)，当且仅当n＝1,2 或a2＝1 时等号成立.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.共8 页第8页。

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编6：指数函数、对数函数及幂函数

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编6：指数函数、对数函数及幂函数一、填空题1 ．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）计算:()=++-3233ln 125.09loge__★__.【答案】112 ．（江苏省丰县中学2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）如图,已知过原点O 的直线与函数8log y x =的图像交于A,B 两点,分别过A,B 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图像交于C,D 两点;若//BC x 轴,则点A 的坐标为_____________.【答案】213,log 36⎫⎪⎭3 ．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）=+5lg 2lg ________.【答案】14 ．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知函数()a ax x y3log 221+-=在[)+∞,2上为减函数,则实数a 的取值范围是__★__.【答案】(]4,4-5 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知函数1()log (01)axf x a b x-=+＜＜为奇函数,当(1]x a ∈-，时,函数()f x 的值域是(1]-∞，,则实数a b +的值为______.【答案】26 ．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(1,3]7 ．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）已知51a -=,函数()log (1)a f x x =-,若正实数m 、n 满足 ()()f m f n >,则m 、n 的大小关系为____【答案】m>n8 ．（江苏省灌云县陡沟中学2014届高三上学期第一次过关检测数学试题）若))3((.2),1(1,2,2)(21f f x x g x e x f x 则⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=-的值为_______; 【答案】29 ．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）已知函数||)(a x ex f -=(a 为常数),若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数,则a 的取值范围是 ___.【答案】(]1,∞-10．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值是______. 【答案】511．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）若函数()xf x a x a =--(a>0且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是___________【答案】}1|{>a a12．（江苏省灌云县陡沟中学2014届高三上学期第一次过关检测数学试题）函数212()log (23)f x x x =--+的单调递增区间是_____________;【答案】(1,1)-13．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知函数nmy x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值,则该函数为偶函数的概率为______.【答案】1314．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）若点(,9)a 在函数3x y=的图像上,则6tanπa 的值为______. 【答案】315．（江苏省灌云县陡沟中学2014届高三上学期第一次过关检测数学试题）把函数xy 2=图象上所有点向_____平移一个单位可得12+=x y 的图象;【答案】左。

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第六篇第4讲数列求和-(9019)

第 4讲数列求和A 级基础演练(时间：30 分钟满分：55 分)一、选择题(每小题5 分，共 20 分)n －1·n ，则S 17＝ 1．数列 {a n }的前 n 项和为S n ，已知 S n ＝1－2＋3－4＋⋯ ＋ (－1)()．A ．8B ．9C ．16D ．17解析S 17＝1－2＋ 3－4＋5－ 6＋⋯ ＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋ (－4＋5)＋(－6＋7)＋⋯ ＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋⋯ ＋1＝9. 答案 B2．(2013 ·广州调研)等比数列 {a n }的前 n 项和为S n ，若 a 1＝1，且 4a 1,2a 2，a 3 成等差数列，则S 4＝ ()．A ．7B ．8C ．15D ．16解析设数列 {a n } 的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3， ∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q2，即 q 2－4q ＋4＝0，41－2∴q ＝2.∴S 4＝＝15. 1－2 答案 C13．(2013 ·临沂模拟)在数列 {a n }中，a n ＝ n n ＋12 013 ，若{ a n }的前 n 项和为，则项2 014 数 n 为( )．A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 0141解析 ∵a n ＝n n ＋111 1 n2 013 ＝＝－，∴S n ＝1－＝，解得 n ＝2 013. n n ＋1 n ＋1 n ＋1 2 014 答案 C4．(2012 ·新课标全国)数列 { a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前 60 项和为()．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830共7 页第1页解析当n＝2k 时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1 时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋1＋a2k＋3＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝⋯＝a61.∴a1＋a2＋a3＋⋯＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋⋯＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋⋯＋(4×30－1)＝30×3＋1192＝30×61＝1 830.答案 D二、填空题(每小题5分，共10 分)15．(2011 ·北京)在等比数列{a n}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|2＋|a2|＋⋯＋|a n|＝________.解析设等比数列{a n} 的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以1n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋⋯ q＝－2；等比数列{| a n|}的公比为|q |＝2，则|a n|＝×22＋|a n|＝1 1－1－12＋⋯＋2n－1)＝n－1)＝2n2(1＋2＋2 2(2 2.n－1－1 答案－2226．数列{ a n} 的前n 项和为S n，a1＝1，a2＝2，a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N* )，则S100＝________.解析由a n＋2－a n＝1＋(－1) ＋2－a2k＝2，n，知a2ka2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝⋯＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.∴S100＝(a1＋a3＋a5＋⋯＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋⋯＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋⋯＋100)＝50＋100＋2 ×50＝2 600.2答案 2 600三、解答题(共25 分)7．(12 分)(2013 包·头模拟)已知数列{x n} 的首项x1＝3，通项x n＝2n p＋nq(n∈N*，p，q 为常数)，且x1，x4，x5 成等差数列．求：(1)p，q 的值；(2)数列{ x n}前n 项和S n.共7 页第2页4p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5 解(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.＝2x4，得3＋2n＋n，所以S n＝(2＋22＋⋯＋2n)＋(1＋2＋⋯＋n)＝2n＋1－2(2)由(1)，知x n＝2n n＋1＋2 .18．(13 分)已知数列{ a n}的前n 项和为S n，且a1＝1，a n 2S n(n＝1,2,3，⋯)．＋1＝(1)求数列{ a n} 的通项公式；3(2)设b n＝log n＋1)时，求数列2(3a1b n b n＋1的前n 项和T n.解(1)由已知得1a n＋1＝n，2Sa n＝12Sn－1 n≥ 2 ，3得到a n 2a＋1＝n(n≥2)．∴数列{a n} 是以a2 为首项，以3为公比的等比数列．2又a2＝1 1 1 2S 2a1＝1＝，2∴a n＝a2×32n－2＝1232 n－2(n≥2)．1，n＝1，又a1＝1 不适合上式，∴a n＝12 32 n－2，n≥ 2.3 3 (2)b n＝log2(3a n＋1)＝log2 32·32n－1＝n.1 1 ∴＝b n b n n 1＋n＋11 1＝－1＋n.n∴T n＝1 1 1＋＋＋⋯＋b1b2 b2b3 b3b41b n b n＋1＋1＝1－112＋1 1－2 3＋1 1－3 4＋⋯＋1 1－n 1＋n1 n＝1－.＝1＋n n＋1第3页共7 页B 级能力突破 ( 时间：30 分钟满分：45 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分) 1．(2012 ·福建)数列{ a n } 的通项公式a n ＝ncosn π ，其前 n 项和为S n ，则 S 2 012等 2于 ()．A ．1 006B ．2 012C ．503D ．0解析因 cos n π 呈周期性出现，则观察此数列求和规律，列项如下：a 1＝0， 2 a 2＝－ 2，a 3＝0，a 4＝4，此 4 项的和为2.a 5＝0，a 6＝－ 6，a 7＝0，a 8＝8，此 4 项的和为2.依次类推，得 S 2 012＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋⋯ ＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＝2 012 4×2＝1 006.故选A . 答案 A2．(2012 ·西安模拟)数列 {a n }满足a n ＋a n＋1＝ 1*)，且 a 1＝1，S n 是数列 { a n }2( n ∈N的前 n 项和，则 S 21＝ ()．A. 21 2B ．6C ．10D ．111解析依题意得 a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝，则 a n ＋2＝a n ，即数列 { a n }中的奇数2项、偶数项分别相等，则 a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋⋯ ＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10× 1＋1＝6，故选B .2 答案 B二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分)13．(2013 ·长沙模拟)等差数列 {a n } 中有两项 a m 和 a k (m ≠k)，满足a m ＝，a k ＝k1， m则该数列前 mk 项之和是 S mk ＝________. 解析设数列 { a n }的首项为a 1，公差为d .则有1 a m ＝a 1＋ m －1 d ＝， k解得1 a 1＝， mk11 a k＝a1＋k－1 d＝，md＝，mk 第4页共7 页mk mk－11所以S mk＝mk·＋mk 2mk＋1 1·＝mk2 .答案m k＋124．设f(x)＝x4x＋2，利用倒序相加法，可求得 f4111 ＋f211 ＋⋯＋f1011 的值为________．解析当x1 ＋x2 ＝ 1 时，f( x1) ＋f( x2) ＝4x14x1＋2＋4x24x2＋2＝2×4x1＋x2＋2×4x1＋4x2＝1. 4x1＋x2＋4x1＋4x2 ×2＋4设S＝f 111＋f211＋⋯＋f1011 ，倒序相加有2S＝ f111＋f1011 ＋ f211＋f911＋⋯＋f 1011 ＋f111 ＝10，即S＝5.答案 5三、解答题(共25 分)5．(12 分)设数列{ a n}满足a1＋3a2＋32a3＋⋯＋3n－1a n n*. ＝，n∈N3(1)求数列{ a n}的通项；(2)设b n＝n，求数列{b n}的前n 项和S n.a n思维启迪：(1)由已知写出前n－1 项之和，两式相减．(2)b n＝n·3n 的特点是数列{ n}与{3 n} 之积，可用错位相减法．2a3＋⋯＋3n－1a n＝n 解(1)∵a1＋3a2＋3，①3∴当n≥ 2 时，n－1a1＋3a2＋3 －1＝2a3＋⋯＋3n－2a n，②3n－1a n＝1 1 ①－②得3 ，∴a n＝n.3 31 1 1在①中，令n＝1，得a1＝，适合a n＝n，∴a n＝n.3 3 3共7 页第5页n(2)∵b n＝，∴b n＝n·3n.a n2 3 n∴S n＝3＋2×3 ＋3×3 ＋⋯＋n·3，③∴3S n＝32＋2×33＋3×34＋⋯＋n·3n＋1. ④n＋1 2 3 n④－③得2S n＝n·3 －(3＋3 ＋3 ＋⋯＋3 )，nn＋1－3 1－31－3 即2S n＝n·3 ，∴S n＝n＋12n－1 3＋434.探究提高解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3 n－1a n} 的前n 项n－1a n，进而求得a n；另外乘公比错位和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项 3相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．6．(13 分)(2012 泰·州模拟)将数列{a n} 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9⋯已知表中的第一列数a1，a2，a5，⋯构成一个等差数列，记为{b n}，且b2＝4，b5＝10.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，⋯构成数列{ c n} ，其前n 项和为S n.(1)求数列{ b n}的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13＝1.①求S n；*} ，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取②记M＝{ n|(n＋1)c n≥λ，n∈N值范围．解(1)设等差数列{b n}的公差为d，则b1＋d＝4，b1＋4d＝10，解得b1＝2，d＝2，所以b n＝2n.(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q.第6页共7 页由于前 n 行共有 1＋3＋5＋⋯ ＋ (2n －1)＝n2 个数，且 32<13<42，a 10＝b 4＝8，所以 a 13＝a 10q3＝8q 3，又 a 13＝1，所以解得 q ＝12.n －1，因此c n ＝2n · 由已知可得 c n ＝b n q1 2n－1＝ n n －2. 21 2 3 所以 S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋⋯ ＋ c n ＝－1＋0＋ 1＋⋯＋2 2 2n n －2， 21 1 22Sn ＝2 20＋ 1＋⋯ ＋n －1 n n －2 ＋ n －1， 2 2因此 1 1 1 1 2S n ＝－1＋ 0＋ 1＋⋯＋ 2 2 21 n －2－ 2 n 1 n －1＝4－ n －2－ 2 2n n ＋2 n －1＝4－ n －1 ，2 2 n ＋2解得 S n ＝8－ n －2 .2n②由①知 c n ＝ n －2，不等式 (n ＋1)c n ≥ λ，可化为2n n ＋1 n －2 ≥ λ. 2n n ＋1 设f (n)＝ n －2 ， 2计算得 f(1)＝4，f (2)＝f(3)＝6，f(4)＝5，f(5)＝154 .因为 f( n ＋1)－f (n)＝n ＋1 2－nn －1，2所以当 n ≥ 3 时， f( n ＋1)<f(n)．因为集合M 的元素个数为 3，所以 λ的取值范围是(4,5]. 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计 ·高考总复习》光盘中内容.共7 页第7页。

创新设计高考数学人教A版理一轮复习第二篇第6讲幂函数与二次函数

第6讲幂函数与二次函数A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·临州质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()．11??x??(x∈R)B．y＝xA．y＝(x∈R，且≠0) 2x??3(x∈＝－xR)D．y yC．＝x(x∈R)3333是xx)＝－(x)，∴f＝－(－x)(＝－(－xf)＝－x解析对于f()＝－x－，∵f(x)33在Rx上是减函数．在R上是增函数，∴yx奇函数，又∵y＝＝－答案 D 2．(2013·怀远模拟)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()．1121－x，④yxy＝＝，③y＝x．①Ay＝x，②231321－＝x，④，③y＝xB．①y＝x＝，②yxy21231－xx，④yy，②＝x＝，③y＝＝C．①yx21321－x，④y ＝x，③yD．①＝x，②y＝xy＝232为开口向上x＝的定义域为R且为奇函数，故应为图①；yxy解析因为＝的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．B答案．2x的取值范围ba)＝g(b)，g(x)＝－x，则＋4x－3，若有f(3．已知函数fx)＝e(－1 ．() 为2) ，2 B．(2＋－A．[2－2，22＋2](1,3)C．[1,3] ．D22a2a b＋44＋b－2＋4b－3?e成立，故－＝－bb解析f(a)＝g(b)?e1－＝－b＋2. 2<b－2>0，解得2<2－答案B，>0x，x2??．) (a)＋f(1)＝0，则实数a4．已知函数f(x)＝的值等于若f(，0x≤x＋1，?3． D C．1 ．－3 B．－1 A，≤0a>0，a????＝或解得a(a)＋2＝0?(1)解析f(a)＋f＝0?f，01＋2＝2a＋2＝0a＋??3. －A答案) 分每小题5分，共10二、填空题(1??4f????＝________.3.5．若f(x)是幂函数，且满足则f＝2????2fα4?f?4α＝3，解得α＝log3，故f(xx，由＝3，得)＝xlog3，所＝解析设f(x)α222?2f?1111????????log3＝2－flog＝3＝2log＝.以2222233????1答案32－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a6．若二次函数f(x)＝ax，c满足的条件是________．，>0a??，>0a???解析由已知得?16－ac40.＝4－ac?0＝?a4?4＝，a答案>0ac)三、解答题(分共25y时，<1x≤1当－为最小正周期的周期函数．2上以R是定义在)x(f设)分(12．7．11??，??.求函数在[2k－1,2k)的表达式是幂函数，且经过点＋1)(k∈Z)上的＝f(x 82??表达式．11??n，??在函数图象上，求得n，由点＝3.－1,1)上，f(x)＝x解设在[82??令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，3.又f(x)周期为－(x2k)2，∴f(x－2k)＝33(k∈Z)．＝(x－2k2k)＝(x－k)).即f(x)f ∴(x)＝f(x－22－2ax＋5(ax)＝x>1)．(8．(13分)已知函数f(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x，x∈[1，a＋1]，总有|f(x)112－f(x)|≤4，求实数a的取值范围．222(a>1)，) ＋5－a(1)∵f(x)＝(x－a解∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]，5＝a1－2a＋f?1?＝a，????2. a∴即＝解得22，＝1－2a＋5f?a?＝1，a??2. a≥(－∞，2]上是减函数，∴∵(2)f(x)在区间，－a≤a1＋1]，且(a＋1)－a又x ＝∈[1，a2.＝5－ax)＝f(a)2∴f(x)＝f(1)＝6－a，f(minmax，)|≤4x)－f(x|∵对任意的x，x∈[1，a＋1]，总有f(21213.≤a≤a≥2，∴2≤f(x)≤4，得－1a≤3，又∴f(x)－minmax B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)2，1x≤x＋ax，??＝f(x)．1(2013·合肥八中月考)已知函数2，x>1ax＋x，?则“a≤－2”是“f(x)在R上单调递减”的()．B ．必要而不充分条件A．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件C．充分必要条件a11解析若a≤－2，则－≥1，且－≤<1，则f(x)分别在区间(－∞，1]和(1，422a)x(f若上单调递减，R在)x(f故处的值相同，1＝x又函数在上为减函数，)∞＋1?，≤－1?a2?得a≤－2.故选在R上单调递减，则a<0，且C. a??，－≥12C答案22＋axbx≥1，方程1，a＋b＋c(x)＝axbx＋＋c，a为正整数，c≥2．二次函数f＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是()．6．B．4 C．5 DA．3解析由题意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.当a越大，y＝f(x)的开口越小，当a越小，y＝f(x)的开口越大，而y＝f(x)的开口最大时，y＝f(x)过(0,1)，(1,1)，b12－4ac>0，a(a－，a＝－b，－＝，又b4)>0，1则c＝，a＋b＋c＝1.a＋b＝022aa>4，由于a为正整数，即a的最小值为5.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)2－ax＋2)在(2，＋∞log)＝(x)上为增函数，则实数a的取值范围3．已知函数f(x a 为________．2－ax＋2)在(2，＋＝log(x∞)上为增函数，包含两个方面：函解析函数f(x)a2－ax ＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋＝数g(x)x∞)上的单调性．由于2－ax＋2开口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函g(x)＝x数，所以，>1a??，0?≥g?2?∴1<a≤3.a?，≤2?2答案(1,3]x－2.若同时满足条件：＝2 ＋3)，g(x)－f)已知(x)＝m(x2m)(x＋m(2012·4．北京①?x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则m的取值范围是________．解析当x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，当x＝1时，g(x)＝0，m＝0不，a[的单调性，一定存在区间)x(g和函数)x(f时，根据函数>0m符合要求；当．时不符合第①m>0≥0，故≥0且g(x)＋∞)使f(x)时，如图所示，如果符合①的m<0条的要求；当，如果符的两个零点都得小于1(x)要求，则函数f至少有一个零点小于－x)则函数f(合第②条要求，有两个不相等的零点，其x)，问题等价于函数f(4，函数，较小的零点小于－4中较大的零点小于1满足m＋3)，故m)的两个零点是2m，－(f(x，m<0m<0，??，＋m＋3?，3?<2m－?m2m<－???－<4<m解第一个不等式组得－或，2<－4，m<12m??，－?＋3?<1m＋3?<－4－?m ．，－2)m的取值范围是(－42，第二个不等式组无解，故所求2) ，－－4答案()分共25三、解答题(2．f(3))满足fk(2)<＋k＋2(k∈Z5．(12分)已知函数f(x)＝x －)的解析式；的值并求出相应的f(xk(1)求＋x)1－qf(>0，使函数g(x)＝，试判断是否存在(2)对于(1)中得到的函数f(x)q17?，－??请1,2]上的值域为；若不存在，？若存在，求出q(2q－1)x在区间[－8??说明理由．在第一象限是增函数．(x)f(2)<f(3)，∴f(1)解∵2<2. k2>0，解得－故－k1<＋k＋1.＝0或k∈Z，∴k＝又∵k22. ＝xf(x)时，－kk＋＋2＝2，∴或当k＝0k＝1 (1)知q(2)假设存在>0满足题设，由2 1,2]．∈[－－q1)x＋1，xg()＝－qxx＋(221＋14qq2－????处和顶点，g(－1))－∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(1，qq42??222214qq?4－1?＋4q1＋4q＋1＝)＝xg，≥0＝q－－(2＝－g－(取得．而1)3)∴(max q4q4q4q4．17，8g(x)＝g(－1)＝2－3q＝－4. min解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．2＋|2x－a|(x∈R x)＝x，a为实数)．6．(13分)设函数f((1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a>2，求函数f(x)的最小值．解(1)∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.1?2，aa，x≥x＋2x－?2?＝(x)(2)f1?2?，<a2x＋a，xx－21122－(a ＋1)，由a>2，x＝(x＋1)≥a，得x>1xa①当x≥时，f(x)＝，＋2x－a2221aa????a，＋∞????＝；)在的最小值为f 时单调递增，f(x故f(x)224????1a22＋(a－1)，故当1<x<1)a＝(x－时，f(x)单调递＝f<②当xa时，(x)x2－x＋22增，当x<1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a－1.22?a－2?a1.－的最小值为a)，故1)(a－＝>0f(x－由于44。