(完整版)六年级“分数拆分”补充资料
小学数学六年级分数裂变习题解答
小学数学六年级分数裂变习题解答——极客数学帮杨妙武老师分数裂项也叫分数拆分，分数拆分频繁的出现在各地的小升初考试中，有些学生信手拈来，而对于大部分学生而言，往往感觉一头雾水，不知从何下手。
其实，笔者认为，作为计算题中重要的一类题型，不同于解方程，简便计算等，分数拆分的规律性更强，只要找到其中的规律，区别相同和不同之处，坚持练习，大家就能够轻轻松松的破解分数裂项。
下面我们就一起来找找它的规律。
相信大家对于上面的分数裂项早已烂熟于心，因为，以此类推，再将 后面的分数进行裂项，就会愉快的发现除了首项的和最后一项，拆分出来的其它分数都会相互抵消，所以，看似复杂繁琐的分数计算经过巧妙地拆分最终的结果就会转 化为。
而大家平常见到的大部分分数裂项的题目都由这一道题演变而来，因此，这道题目我们把它称作分数裂项的基本类型。
在基本类型中，我们关注的是一下两个方面，一是分数裂项的形式往往是分母上是由两个数相乘，而且这两个相乘的数之间的差都相等，例如2和3相差1，3和4相差1,4和5也相差1，二是分母上相乘两数之间的差和分子之间的关系，基本类型中，分母上的两个数相差就和分子是相等的。
需要强调的是，学习奥数，切不可小觑基本类型的重要性，只有彻底明白基本类型的原理，才能避免被各种变形搞的晕头转向。
我们来看看常见的几种变形。
变形1：在做分数裂项的计算时，首先要做的就是观察。
此题与基本类型中的分母形式相同，都是有两个数相乘，而且两数之差都为1，而分母都为2，相互之间不相等，那么我们该如何去处理这道题呢？既然大家对于基本类型掌握的已经游刃有余，那么我们能不能将此题变5049149481541431321⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯31-2161321==⨯21501501-2110099299982652542432⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯成基本类型呢，答案是肯定的。
经过提取公因式2，很容易发现括号中就是分数裂项中的基本类型，想必大家已经知道了答案，需要指出的是计算完括号里面，千万不要忘记还要×2，才能得到最终的答案。
分数加减法简算——分数的拆分教案(适合五六年级)
小学五年级尖子生数学教案第一讲 分数的拆分（适合五六年级）辽宁省海城市西柳小学[内容及目标]知识基础：北师大版五年数学第一单元分数的加减法。
教学目标：1、熟练掌握分数加减法口算题，形成数感。
2、培养观察比较找规律习惯，养成逆向思维运算，灵活运算，发散思维，发现规律创新解法。
3、积极探究，培养热爱数学的情感。
一、情境导入1、口算：1－21=21 21－31=61 31－41=121 41－51=201 ……（教师给左边学生很快说出右边，学生背对黑板，教师给上表中右边得数能够给出左边的形式么？这一环节训练逆向思维，为教学例题铺垫 ）二、探究新知例1观察上面口算表发现有什么规律？自学方法：观察—比较法，小组合作探究。
答案：分数单位相减，分子不变，分母乘积做分母。
可根据学生水平决定是否归纳字母表示的公式。
提升练习：口算比赛， 正运算：71－81=?…… 逆运算： 561=？……参与面广泛，熟悉口算。
整数四则运算中所用到的定律、性质，在分数中同样适用，而应用这样的定律、性质须结合题目的特点，适当地把一些分数拆分，使得有一些分数可以互相抵消，从而使计算简便。
把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做拆分法。
如: 6521+31，121=31－41。
例1： 计算21 +61+121+201+301。
审题分析：1、读一读。
2、抓特征：启发式提问：看到这些分数是否有一种似曾相识的感觉？（口算表的得数）在什么数学思想的指导下尝试呢？生：运用转化的思想将每个加数转化为两个分数的差。
自学：汇报1:21+61+121+201+301 =1－21+21－31+31－41+41－51+51－61 =5/6教师评价：化繁为简，便于口算，解法创新。
汇报2：通分计算。
（常规方法）教师要表扬学生计算技能强， 做一做：21+61+121+201+301+421+56121+61+121+201+301+421+561 =1－21+21－31+31－41+41－51+51－61+61－71+71－81 =87 引导学生质疑或教师提问：有什么发现？知识类化：分析观察这些分数的特点我们就可以发现，这些分数的分母都可以写成两个连续自然数的乘积，因而每个分数都可以拆分成两个分数的差，最后把拆分后的各个分数相加在一起，就会发现有一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
(完整版)六年级分数裂项法.doc
第二讲分数 1.2NT1.2 分数计算（裂项法）知要点和基本方法分数算是小学数学的重要内容，也是数学的重要内容之一。
分数算同整数算一既有知要求又有能力要求。
法、定律、性是行算的依据，要使算快速、准确，关是掌握运算技巧。
算式真察，剖析算是的特点及个数之的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改运算序，使算便易行，启迪思，培养合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。
公式：（ 1）平方差公式：a2 b2 ( a b) ( a b)（ 2）等差数列求和公式：a1 a2 a3 an 1 a n1a1 a n n2（ 3）分数的拆分公式：① 11) ＝1－ 1n(n n n 1② 1d) ＝1×（1－ 1 ）n(n d n n d 裂项法：例1. 算： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯⋯＋99 11 2 2 3 3 4 10011 1例4.算：＋＋⋯⋯＋10×1111×1219× 20例2.1 1 1算：10× 11＋11×12＋⋯⋯＋59× 60例5.1 1 1 1算2×3＋3×4 ＋⋯⋯＋6× 7＋7× 8例3.算：21＋16＋121＋201＋301＋421六年级第一学期NT例6. 算： 1＋1＋1＋1＋126 12 20例 10. 算：22 2 2 23 15 35 63 99例7. 算：1 1 1 1 1 1 16＋12＋20＋30＋42＋56＋72例 11. 算：11 1 1 1 18 24 48 80 120 168例 8.算：1＋1＋1＋1＋1＋1 315 3563 99 143例 9. 算：14 1711011311 4 7 10 13 16例 12. 算：1＋1＋2＋1＋1＋2＋3＋2＋1＋⋯⋯＋ 1 ＋2＋⋯⋯＋100 ＋99＋⋯⋯＋ 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 100 100 100 100 100例 13. 算： 1＋ 1 ＋1 1 ＋113＋⋯⋯＋1 2 311 2 2 3 2 4 2005例 14．算： 2×（ 1－ 1 2）×（ 1－ 1 2）×（ 1－12）×⋯⋯×（1－12）2005 2004 2003 2第二讲分数 1.2NT六年级 第一学期NT综合计算例 1.计算 : 2005120032003 2004例 2. 计算 : （ 1 5 × 1 1 × 6 ）÷（ 3 × 6 × 5）7 9 11 11 7 9例 3.计算 : 98＋ 99 8 ＋ 999 8＋⋯⋯＋ 9999899999个 9例 4.计算 : （ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1－1）×（ 1－ 1 ）×（ 1－1）×（ 1－ 1）2468357 9例 5. 计算 : 2004 1 － 1 1 ＋2002 1 －3 1 ＋2000 1 －5 1 ＋⋯⋯＋ 4 1 －2001 1 ＋2 1 － 200312 3 2 3 2 3 2 3 2 3例 6.计算 : （ 1＋ 1 ＋1 ＋ 1 ）÷（ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ）979797979797 97979797868686868686 86868686第二讲 分数 1.2NT例 7.计算 : 11 1 11 111 111 11 1=.2 4 610359例 8.计算 :567345 566 =.567 345 222例 9.计算 : 7116 61 1 5 511 4 41 1 3 31 12 = .6 7 5 6 4 5 3 4 2 3例 10. 计算 :11 1 1 1 1 1 1 = .3 6 10 15 21 28 36 451 29 1 29 1 291 29 1 29例 11. 计算 :2 3 30 31 = .1 31 1 31 1 311 31 1 312 328 29计算 :12 3 4 5 6 21 2 3 4 5 6 1例 12.2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7211 2 3 4 5 6 2 3 4 5 62 345 673 456 =7六年级第一学期NT能力训练：1、分数化成最分数：12 ＝18 ＝ 4 ＝13 ＝8 ＝ 2 ＝18 27 20 65 32 82、小数化成最分数：0.75＝ 4.8＝ 1.25＝0.36＝ 3.2＝ 5.4＝3、算：1) 51 2 ÷1 2 ＋ 71 3÷1 3 ＋ 914÷1 4 2005 2005 2005 20053 34 45 51 2 ＋ 2 3 ＋ 3 4 ＋⋯⋯＋ 2004 20054)2)1 1 1 156 ＋72 ＋90＋1102222 25)21 ＋ 77 ＋ 165 ＋⋯⋯＋ 1677 ＋ 20213) 1 1 1 1 18＋24＋48＋80＋120 1 5 11 19 1096) 2 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 20 ＋⋯⋯＋ 1101111111 17)1＋ 26＋ 312＋ 420＋ 530＋ 642＋ 756＋ 872＋ 990第二讲分数 1.2NT137 1531 631272555118) 2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 16 ＋ 32 ＋ 64 ＋ 128 ＋ 256 ＋ 5121 1 1 1 1 19) 3 45 ＋ 4 56 ＋ 5 67 ＋ 6 78 ＋ 7 89 ＋ 8 9 10。
(完整版)六年级“分数拆分”补充资料
多米教育小学数学思维训练题六年级“分数拆分”补充资料姓名：最常用的分数拆分规律有(可以通过计算加以验证):1 1 1(1) - 二-———n (n + 1) n n+1a _ - — 1n (n + a) n n+ a通过对算式中的部分分数进行分拆，使分拆后的某些项互相抵消，可以使些复杂的分数计算变得简便。
【题目】：-+1+ 1+•+ 1+1+ 1。
6 12 20 72 90 110【解析】：仔细观察算式中分母，可以发现每个分数分母都可以分拆成相邻两个自然数的积。
根据前面的规律(1)进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：丄+丄+亠8 9 9 10 10 111 , 1 1 , , 1 1 , 1 1 , 1 1—十―一一十…十—一―十―一一 + 一—一4 45 8 9 9 10 10 112 1192212 20 72 90 110【题目】：【解析】：仔细观察，可以发现算式中前4个分数，分母中两个因数的差正好等于分子 2,都可以分拆成两个单位分数之差，根据前面的规律（2）进行分拆，使其中的 一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：+ —— + _ + —13 15 15 1717 19 19I —丄+丄—丄+丄—丄+丄—丄+丄II 13 13 15 15 17 1719 19_ 111【题目】： 11111 (1) 丄+丄+丄+丄+丄1 2 2 3 3 4 4 55 611 1 1 (2)+ 21 + 3丄 + …+ 20丄。
2612420 【解析】： (1)丄+丄+丄+丄+丄1 2 2 33 44 55 6 1丄11丄1 1丄11丄11_ + — 一 —十―一 —+ — 一 —十―一—2233445562 11 13+ ------ +13 1515 172 17 19192 11 13100第（2）题，先把算式中带分数拆合成整数部分与整数部分、分数部分与分 数部分分别相加，再对分数部分通过分拆、抵消进行简算:1 1 1+ 2 丄 + 3 丄 + …+ 201-1=210+( 1-丄)21=210|°【题目】：(1) 2 2 2 + + +1 22 33 42+••4 52 2•+ -------- + —；98 9999 100(2) 1 1 11 1 +2 1+ 3 1 -+ 4 1 1-+•••+ 981。
小学六年级数学第13讲：分数裂项与分拆(教师版).docx
(2 3 3 4910丿
+ 2x
iii)
1+
(2x3 3x49x10
31、Βιβλιοθήκη + 2x<1
1、
_7
1
1
_23
X
2
<2
一90丿
<2
~10>
_4
_60
_5
_石
也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2〃 +3,所以
2/1 + 3
nx(n + l)x(n + 2)(n+ l)x(n + 2) nx(n + l)x(n + 2)
…3 + 23 + 43 + 16
1x2x3 2x3x48x9x10
(1 1 1
11—
(1x2x3 2x3x48x9x10
=3x
+ 2x
12 8 )
1•
1x2x3 2x3x48x9x10丿
_3xlx
211x2 2x3 2x3 3x4
3 ( 11)
=—x
2(1x2 9x10丿
1 1
—+
8x9 9x10丿
=—r!?]
nx(n+Qx(斤+2k)x(n +3k) 3k nx(n + fc)x(n + 2k) (n+灯x(〃 +2k)x(n +3k)
3对于分子不是1的情况我们有：=
〃（〃 + £）rt + k）
hh （11）
〃（〃 + £）k \ n%+ k丿
六年级拓展 分数的拆分
分数的拆分1例题1 计算1111111261220304256++++++分析：观察这些分数，如果用一般方法通分来计算，计算量很大而且不容易算，现在介绍一种方法，先观察这些分数，分母都可以写成两个连续自然数的乘积，因而每个分数都可以拆分为两个分数的差，最后把拆分后的各个分数相加在一起，有一部分相互抵消。
例题2 计算11111121231231004123++++++++++++⋯++⋯+分析：观察后得知求和后通分显然不行，要用拆分法来计算，要写成1221234(111()1)n n n n n ==+++++⨯-⋯+⨯+每个分数都拆了以后，再把它们加起来。
拓展1111113042567290++++拓展2 计算234101*********⋯⨯⨯⨯+⨯+++拓展3 计算44771011111111313106++++⨯⨯⨯⨯⨯拓展4 计算 25588111114111111135791411117720+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯拓展5 计算567678118917++⨯⨯⨯⨯⨯⨯分数的拆分2 有时需要把一个分数拆分成两个或多个分数单位相加的形式来 计算例1()()11115=+分析：将一个分数写成两个分数单位之和的形式，可以这样：先想出15的两个约数，例如3和5；然后给分数的分子和分母同时乘上这两个约数的和，即乘8，这样原分数的分子是8，分母是15×8，再根据分数的性质，把分子8写成3+5的形式，最后把这个分数拆分成两个分数之和。
例2111118A B C =++，A ，B ，C 是不同的自然数，求两组A ，B ，C 的值。
分析：先把118拆分成两个不同分数单位的和，把拆分后的其中一个分数再拆分成两个不同的分数单位，这样就把118拆分成三个不同的分数单位之和 技法总结：()()111A =+（1）任选A 的两个不同的约数a 和b ；（2）将1A 的分子、分母同时乘以（a+b ）得1()()a b A A a b +=⨯+（3）将上面式子拆分成两个分数之和：1()()a b A A a b A a b =+⨯+⨯+（4）再将这两个分数化简拓展1 ()()11120=+ ()()1115=+拓展2 在括号里填入三个不同的自然数，使等式成立。
小学六年级数学分数拆分的知识点总结
(3)再将两个分数进行约分，得到两个分数单位之和。
若要将1/a拆成n个分数单位之和，可以任选a的n个因数，再按照上面的方法做。
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小学六年级数学分数拆分的知识点总结
小学六年级数学分数拆分的知识点总结
六年级数学知识点：如下
分数分拆是把一个分数分拆成分数单位之和(又称埃及分数)。
一般地，有如下方法将一个分数a的.两个因数x和y;
小学数学六年级课本知识到奥数第一学期第6讲分数除法二(共5节)图文详解有答案
答案详解
六年级数学同步课本延伸奥数
奥赛训练
答案详解
3.分数应用题（一）
六年级数学同步课本延伸奥数 典型例题
六年级数学同步课本延伸奥数 思路点拨
六年级数学同步课本延伸奥数 举一反三
答案详解
六年级数学同步课本延伸奥数 举一反三
答案详解
六年级数学同步课本延伸奥数 举一反三
答案详解
六年级数学同步课本延伸奥数
六年级数学同步课本延伸奥数 举一 举一反三
答案详解
六年级数学同步课本延伸奥数
六年级数学同步课本延伸奥数 思路点拨
六年级数学同步课本延伸奥数
答案详解
六年级数学同步课本延伸奥数
奥赛训练
答案详解
六年级数学同步课本延伸奥数
奥赛训练
答案详解
2.分数的估算
六年级数学同步课本延伸奥数 典型例题
六年级数学从课本知识到奥数（第一学期）
第6讲
分数的除法
六年级数学同步课本延伸奥数
1、分数的拆分 2、分数的估算 3、分数应用题一 4、分数应用题二 5、分数应用题三
1.分数的拆分
六年级数学同步课本延伸奥数 典型例题
六年级数学同步课本延伸奥数 思路点拨
六年级数学同步课本延伸奥数 举一反三
答案详解
六年级数学同步课本延伸奥数 思路点拨
六年级数学同步课本延伸奥数
答案详解
六年级数学同步课本延伸奥数
奥赛训练
答案详解
六年级数学同步课本延伸奥数
奥赛训练
答案详解
题型概述
4.分数应用题二
六年级数学同步课本延伸奥数 典型例题
六年级数学同步课本延伸奥数
六年级数学同步课本延伸奥数 举一反三
六年级分解分数练习题
六年级分解分数练习题
本文档提供了一系列用于六年级学生练分解分数的题目。
这些练题旨在帮助学生加深他们对分数的理解，并提供了一些简单的策略来解决这些问题。
1. 分数的分解
问题一
将下列分数分解为单位分数的和：
a) 3/4
b) 1/2
c) 7/8
问题二
将下列分数分解为整数和单位分数的和：
a) 5/2
b) 9/4
c) 11/3
2. 分数的合并
问题三
将下列分数合并为一个分数：
a) 1/3 和 2/3
b) 2/5 和 3/5
c) 1/6 和 4/6
问题四
将下列分数合并为一个带分数：
a) 5/4 和 1/2
b) 7/3 和 2/3
c) 2/5 和 3/10
3. 应用问题
问题五
班级里有15个学生，其中3/5 是男生。
请计算男生的数量。
问题六
小明将一条绳子切成了5段，其中1/4 长度的绳子用于做手环，剩下的绳子他又将其切成了相等的3段。
请计算每段绳子的长度。
问题七
王老师要将10本书按照1/2 的比例分给两个班级。
请计算每个班级分得的书籍数量。
以上题目旨在帮助六年级学生分解和合并分数，并应用这些技巧解决实际问题。
祝您练习愉快！。
六年级奥数-分数裂项与分拆(教师版)
第十三讲 分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+③对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
六年级奥数优胜教育第13讲：分数裂项与分拆含答案
第十三讲 分数裂项与分拆例1：11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯例2：计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．例3：12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯例4：111111212312100++++++++++例5：22222211111131517191111131+++++=------ .例6：1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+A1.333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯2.计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）3.计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯4.234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++5.2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++6.23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（）B7.计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯8.计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．9.计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ． 10.224466881010133********⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯11.计算：111112123122007+++⋯+++++⋯ 12.111133535735721+++++++++++C13.121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++14.222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 15.2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭16.计算：22222223992131991⨯⨯⨯=---17.计算：222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+1.⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯222222102112111121201541321242.计算：33333333135********+++++++3.132435911⨯+⨯+⨯+⨯4.计算：1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯5.计算：234561111111333333++++++1.计算：22222222(246100)(13599)12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++2. ⑴()2314159263141592531415927-⨯=________； ⑵221234876624688766++⨯=________．3.计算：22222221234200520062007-+-++-+4.计算：222222222212233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯5，()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-⨯-⨯÷÷-=⎡⎤⎣⎦ ．6.计算：53574743⨯-⨯= ．7.计算：1119121813171416⨯+⨯+⨯+⨯= ．8.计算：1992983974951⨯+⨯+⨯++⨯= ．9.看规律 3211=，332123+=，33321236++=……，试求33.36714+++10.计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 11.11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 12.111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13. 1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（14.计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭15. 212391239112923912341023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭16.21239123911239239()()(1)()23410234102234103410+++++++++⨯-+++++⨯+++第十三讲 分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
六年级奥数讲义卷分数的分拆
六 年 级 奥 数 讲 义 卷分 数 的 分 拆一、理解：分数的分拆就是设法将分数写成两个或几个分数的和或差的形式。
二、分数的分拆常用等式：＝ － ， ＝ － （n 、d 都是自然数）三、补充例题： 计算：＋ ＋ ＋ ＋ ＋思路导航：观察发现，每个分数的分子都是3，而分母是两个自然数的乘积，且分子恰好等于分母的两个自然数的差，于是每个分数都可以拆成两个分数的差。
四、练习： 计算下面各题（1） ＋ ＋ ＋ ＋（3） ＋ ＋ ＋…＋1n （n ＋1）1n 1n ＋1d n （n ＋d ）1n 1n ＋d 31×437×10310×13313×16316×1934×71812414818011201216112120130142156172（4） ＋ ＋ ＋ ＋（5） ＋ ＋ ＋ ＋ ＋（6） ＋ ＋ ＋…＋（7）1 ＋3 ＋5 ＋…＋11把1/28表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种） zxc把1/28表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种）28的约数有1、2、4、7、14、28 （取1、2）1/28=（1+2）/[28*（1+2）]=1/84+1/42（取1、4）1/28=（1+4）/[28*（1+4）]=1/140+1/35 （取1、7）1/28=（1+7）/[28*（1+7）]=1/224+1/32 （取1、14）1/28=（1+14）/[28*（1+14）]=1/420+1/3011×414×717×10125×28211×13213×15215×17217×1911931×434×737×10310×13313×16316×1911×2×312×3×413×4×5198×99×10033311×2×3×412×3×4×513×4×5×6117×18×19×20（取1、28）1/28=（1+28）/[28*（1+28）]=1/812+1/29（取2、4）1/28=（2+4）/[28*（2+4）]=1/84+1/42（重复）（取2、7）1/28=（2+7）/[28*（2+7）]=1/126+1/36（取2、14）1/28=（2+14）/[28*（2+14）]=1/224+1/32（重复）（取2、28）1/28=（2+28）/[28*（2+28）]=1/420+1/30（重复）（取4、7）1/28=（4+7）/[28*（4+7）]=1/77+1/44（取4、14）1/28=（4+14）/[28*（4+14）]=1/126+1/36（重复）（取4、28）1/28=（4+28）/[28*（4+28）]=1/224+1/32（重复）（取7、14）1/28=（7+14）/[28*（7+14）]=1/84+1/42（重复）（取7、28）1/28=（7+28）/[28*（7+28）]=1/140+1/35（重复）（取14、28）1/28=（14+28）/[28*（14+28）]=1/84+1/42（重复）所以有1/28=1/84+1/42=1/140+1/35=1/224+1/32=1/420+1/30=1/812+1/29=1/126+1 /36=1/77+1/44，共7种不同的方法。
六年级秋季提高班16次课 分数的拆分
分数的拆分姓名： 日期：【知识要点】1．将单位分数1A分解成n （n=2、3、…）个单位分数之和的方法是：（1）分解：将a 分解成质因数之积，任取a 的几个约数 12,,a a …，n a 。
（2）扩分：()12121n na a a a a a a a +++=⨯+++（3）拆分：121212121()()()nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a =+++⨯++⨯++⨯++。
（4）约分：121212121111()()()n n n naaaa a a a a a a a a a a a a =+++⨯++⨯++⨯++。
2．把一个非单位分数拆分成两个单位分数的和（或差） ，应把原分数的分子、分母同乘以原分母的某两个约数之 和（或差），所选的两个约数之和（或差）应为原分数的 分子的倍数。
再用乘法分配律把 分子写成两部分的和（或差），最后拆分成两个同分母分 数的和（或差），约分使分子为1。
【典型例题】例1 在等式()()1116=+的括号内填入适当的自然数,使等式成立（填出全部结果）。
例2 求出112的所有形如11a b-的表达式。
（其中a 、b 为自然数）。
例3 求出415的所有形如11a b+的表达式。
（其中a 、b 为自然数）。
例4 求出524的所有形如11a b-的表达式。
（其中a 、b 为自然数）例5 等式()()()()()()111111120=+++++的括号里填入适当的自然数，使等式成立。
（分母必须互不相同）课堂小测月 日 姓名：1．求出下列各分数所有形如11A B⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，其中A ，B 为自然数： （1） 115 （2）83 （3） 1252．求出下列各分数所有形如11A B⎛⎫- ⎪⎝⎭的表达式，其中A ，B 为自然数： （1）16（2）185 （3） 125．3.在下面的括号里面填上不相同的6个自然数， 使()()()()()()1111111+++++=这个等式成立。
六年级数学-分数的拆分
什么叫分数的拆分？把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分。
例如：271541181+=； 301451181+=； 221991181+=； 312161-=； 4131121-=；等等。
下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。
当一个分数为)1(1n ＋n ⨯的形式时，可以拆分为111n ＋－n 的形式（n 为自然数，且n 不为0） 即：111)1(1n ＋－n ＝n ＋n ⨯ 例如：5141541201-=⨯=；7161761421-=⨯=分数拆分的具体应用 例·计算：4213012011216121+++++ 7671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差。
例如：9171972632-=⨯=；8131835245-=⨯=；7141743283-=⨯=用公式表示就是：当n 、n+d （n 不为0）都是自然数时，dn n d n n d +-=+⨯11)(具体应用： 计算：20182181621614214122⨯+⨯+⨯+⨯ 12120120118118116116114114112120182181621614214122=+-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯dn n d n n d +-=+⨯11)( 这个公式同学们已经熟悉了。
对这个公式可以进行变形：例如：)8131(5124551241-⨯=⨯= 因为8-3=5 所以提取一个51，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6141(2124221241-⨯=⨯=，这得看计算时的需要了。
练习：计算21171171311391951511⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 215212041)2111(41)211171171131131919151511(41)21174171341394954514(4121171171311391951511=⨯=-⨯=-+-+-+-+-⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1/1*5+1/5*9+1/9*13+1/13*17+1/17*21=1/4*（1-1/5）+1/4*（1/5-1/9）+1/4*（1/9-1/13）+1/4*（1/13-1/17）+1/4* （1/17-1/21）=1/4*（1-1/5+1/5-1/9+1/9-1/13+1/13-1/17+1/17-1/21）=1/4*20/21=5/211/18=1/？+1/？先求出分母18的所有约数：1、2、3、6、9、18要使两个分数单位的和等于1/18，我们可以分别取两个18的约数，用1/18的分子、分母乘这两个约数的和，再通过分拆的办法得到满足两个分数单位的和等于1/18这个条件的一组数。
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多米教育小学数学思维训练题六年级“分数拆分”补充资料姓名:最常用的分数拆分规律有(可以通过计算加以验证)： (1)1n n 1⨯（＋）＝1n －1n 1＋ (2)n n ⨯a （＋a ）＝1n －1n ＋a 通过对算式中的部分分数进行分拆，使分拆后的某些项互相抵消，可以使一些复杂的分数计算变得简便。
【题目】： 16＋112＋120＋…＋172＋190＋1110。
【解析】：仔细观察算式中分母，可以发现每个分数分母都可以分拆成相邻两个自然数的积。
根据前面的规律（1）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：16＋112＋120＋…＋172＋190＋1110＝123⨯＋134⨯＋145⨯＋…＋189⨯＋1910⨯＋11011⨯ ＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋18－19＋19－110＋110－111＝12－111＝922【题目】：2 1113⨯＋21315⨯＋21517⨯＋21719⨯＋119。
【解析】：仔细观察，可以发现算式中前4个分数，分母中两个因数的差正好等于分子2，都可以分拆成两个单位分数之差，根据前面的规律（2）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：2 1113⨯＋21315⨯＋21517⨯＋21719⨯＋119＝111―113＋113―115＋115―117＋117―119＋119＝1 11【题目】：（1）112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋156⨯；（2）112＋216＋3112＋…＋201420。
【解析】：（1）112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋156⨯＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－1 6＝5 6第（2）题，先把算式中带分数拆合成整数部分与整数部分、分数部分与分数部分分别相加，再对分数部分通过分拆、抵消进行简算：（2）112＋216＋3112＋…＋201420＝（1＋2＋3＋…＋20）＋（12＋16＋112＋…＋1420）＝（1＋20）×20÷2＋（112⨯＋123⨯＋134⨯＋…＋12021⨯）＝210＋（1－12＋12－13＋13－14＋…＋120－121）＝210＋（1－121）＝21020 21【题目】：（1）212⨯＋223⨯＋234⨯＋245⨯＋…＋29899⨯＋299100⨯；（2）1112⨯＋2123⨯＋3134⨯＋4145⨯＋…＋9819899⨯。
【解析】：（1）212⨯＋223⨯＋234⨯＋245⨯＋…＋29899⨯＋299100⨯＝2×（112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋…＋19899⨯＋199100⨯）＝2×（1－12＋12－13＋13－14＋…＋198－199＋199－1100）＝2×（1－1 100）＝149 50（2）1112⨯＋2123⨯＋3134⨯＋4145⨯＋…＋9819899⨯ ＝（1＋2＋3＋4＋…＋98）＋（112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋…＋19899⨯） ＝（1＋98）×98÷2＋（1－12＋12－13＋13－14＋…＋198－199） ＝4851＋（1－199） ＝48519899 【题目】：（1）416⨯＋4611⨯＋41116⨯＋…＋47176⨯＋47681⨯； （2）小于8且分母为24的最简分数（分子与分母互质）共有多少个？【解析】：第（1）题，仔细观察可以发现算式中每个分数的分母都是相差为5的两个自然数的乘积，分子都是4。
如果这个算式统乘以5/4，就可以使算式中每个分数都满足：分母中两个因数的差正好等于分子5，即都变成n n ⨯a （＋a ）的形式。
再利用前面的规律（2）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
为使算式的结果不变，这个算式统乘以5/4变形后，还要再统乘以4/5还原。
（1）416⨯＋4611⨯＋41116⨯＋…＋47176⨯＋47681⨯ ＝45×54×（416⨯＋4611⨯＋41116⨯＋…＋47176⨯＋47681⨯）＝45×（54×416⨯＋54×4611⨯＋54×41116⨯＋…＋54×47176⨯＋54×4 7681⨯）＝45×（516⨯＋5611⨯＋51116⨯＋…＋57176⨯＋57681⨯）＝45×（1―16＋16―111＋111―116＋…＋171―176＋176―181）＝45×（1―181）＝64 81第（2）题，小于24且与24互质的数共有8个：1、3、5、7、11、13、17、19、23，先求出分母为24的8个最简真分数：1 24、524、724、1124、1324、1724、1924、2324与24互质的数加上24的倍数仍然与24互质，所以上面的8个最简真分数，每个分数依次加上1、2、3、4、5、6、7之后，所得的假分数（或带分数）仍然是最简分数，且这些分数都小于8。
如：1124、1524……所以小于8且分母为24的最简分数共有：8＋8×7＝64（个）。
【题目】：1＋112＋＋1123＋＋＋1123＋＋＋4＋…＋1123100⋯＋＋＋＋。
【解析】：根据求和公式可得：1 12＋＝11222⨯÷（＋）＝223⨯；1 123＋＋＝1132⨯÷（＋3）＝234⨯；1 123＋＋＋4＝1142⨯÷（＋4）＝245⨯；……1 123100⋯＋＋＋＋＝111002⨯÷（＋100）＝2100101⨯。
所以：1＋112＋＋1123＋＋＋1123＋＋＋4＋…＋1123100⋯＋＋＋＋＝1＋223⨯＋234⨯＋245⨯＋…＋2100101⨯＝2×（112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋…＋1100101⨯）＝2×（1－1 101）＝199 101。