如东中学高三数学中档题冲刺训练七 0805 20

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江苏省如东高级中学第一学期高三数学第二次阶段测试卷

江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题2007.10.7第I 卷 (选择题，共50分)一．选择题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．若22(1)(32)x x x i-+++是纯虚数，则实数x的值是（）A . 1B . 1-C . 1±D . －2 2．下列函数中，在)4,0(π内递减，且关于直线4π=x 对称的函数是（）A.x y 2tan =B.)2cos(x y +=πC. )22cos(x y +=πD.|2sin |x y =3．2|log |y x =的定义域为[, ]a b ，值域为[0, 2]则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为 ( )A ．3B ．43C ．2D ．23 4．若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数，则点(,a b )的轨迹方程 ( ) . 0(0)A x y x -=≠ . 0(0)B x y x +=≠. 20(0)C x y x -=≠ . 20(0)D x y x +=≠5．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,s i n s i n AB AC OP OA AB B AC Cl l =++??uu u r uuu ruu u r uu r uu u r uuu r．则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（Ａ）重心（B ）垂心（C ）内心（D ）外心 6．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程[()]g f x x =的解集为（）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．∅二、填空题：本大题共10小题，第7～11题每小题5分，第12～16题每小题6分，共55分．答案填在题中横线上7．向量=(n,1)与=(4,n)共线且方向相同，则n = __▲ . 8．在△ABC 中，已知15,3,5,4AB CA AB AC BAC ⋅===∠则= _▲ .9．已知ABCDEF 是正六边形，且,AB a AE b ==，则CD = _▲ （用,a b 表示）.10．求值0cos10(tan10sin 50-∙= _▲ 11．已知向量25(cos sin )(cos sin )||5a ααb ββa b =-=，，=，，，则cos ()αβ-= _▲ .12．函数12121x x y +-=+的值域是 _▲ ．13．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点横坐标从小到大依次记为,,,,321⋅⋅⋅P P P 则||42P P等于 _ ▲ . 14．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数，则m 的取值范围是 _▲ ．15．定义在] ,[22-上的偶函数()g x ，当0x ≥时()g x 单调递减，若 (1) ()g m g m -<，则m 的取值范围是 _▲ ．16．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度的比为m ，则m 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算17．设，)2cos ,sin 2(x x =，x ，)1cos (-=其中x ∈[0，2π]．(1)求f (x )=OB OA ·的最大值和最小值；(2)当 OA ⊥OB ，求|AB |．18．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三内角，a ，b ，c 是三内角对应的三边长，已知222.b c a bc +-=（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小19．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与x a -和x 的乘积成正比；②当时2a x =，2a y =；③.)(20t x a x≤-≤其中t 为常数，且]1,0[∈t ．(1)设)(x f y =，求出)(x f 的表达式，并求出)(x f y =的定义域；(2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值 20．已知函数f (x )=(x -a )(x -b )(x -c )．(1)求证：()f x '=(x -a )(x -b )＋(x -a ) (x -c )＋(x -b ) (x -c )；(2)若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．.21．对于函数y=f(x)( x∈D，D为函数定义域)，若同时满足下列条件：①f(x)在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]D⊆，使f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]，那么把y= f(x)(x)D∈称为闭函数．(1) 求闭函数y= –x3符合条件②的区间[a，b]；(2)判定函数f(x)= 31((0,))4x xx+∈+∞是否为闭函数？并说明理由；(3) 若()f x=k k的取值范围．．江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题（加试）2007.10.7一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 1. 已知矩阵121A c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为λ，10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是A 的属于λ的特征值向量，则=-1A2. 若cos sin sin cos x θθθθ=（R θ∈）,则函数2()23f x x x =+-的最大值为3. 设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2008(x )＝4. 给出下列命题：①若函数3()f x x =，则(0)0f '=；②若函数2()21f x x =+，图像上(1,3)P 及邻近点(1,3)Q x y +∆+∆，则42yx x∆=+∆∆；③加速度是动点位移函数()S t 对时间t 的导数；④2lg 2x x y x =+，则2222212x x xx x y x ⋅-⋅'=-．其中正确的命题为．（写上序号）二、解答题：本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算5. (本题8分) 已知函数()ln f x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最值；（Ⅱ）对x D ∈，如果函数()F x 的图像在函数()G x 的图像的下方，则称函数()F x 在D 上被函数()G x 覆盖．求证：函数()f x 在区间()1,+∞上被函数2()g x x =覆盖6．(本题12分) 已知二次函数2()f x ax bx c =++, 满足(0)(1)0f f ==且()f x 的最小值是14-.（Ⅰ）求()f x 的解析式;（Ⅱ）设直线21:(0,)2l y t t t t =-<<其中为常数,若直线l 与()f x 的图象以及y 轴这二条直线和一条曲线所围成封闭图形的面积是1()S t , 直线l 与()f x 的图象以及直线12x =这二条直线和一条曲线所围成封闭图形的面积是2()S t ,已知121()()()2g t S t S t =+,当()g t 取最小值时,求t 的值.江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题参考答案一、选择题 ACBBAC二、填空题7，28，23π9，)(21a b - 10，－2 11，35 12，1(,1)2- 13，π 14，[1,3] 15，1[1,)2-16，),2(+∞三、解答题17解：⑴f (x )=·= -2sin x cos x +cos2x =)42cos(2π+x ．∵0≤x ≤2π ， ∴4π≤2x +4π≤45π．∴当2x +4π=4π，即x =0时，f (x )max =1；当2x +4π=π，即x=83π时，f (x )min = -2．⑵⊥即f (x )=0，2x +4π=2π，∴x =8π．此时||22)12(cos )cos sin 2(-++=x x x=222)12(cos cos sin 4cos sin 4-+++x x x x x=x x x 2cos 2sin 22cos 27272++- =4cos 4sin 24cos 27272πππ++- =231621-． 18，解：（Ⅰ）在△ABC 中，bc a c b A bc a c b +=+=-+222222cos 2又3,21cos π==∴A A ……………………………… 6分（Ⅱ）由正弦定理,又222sin sin sin A B C +=,故222222444a b c R R R += 即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形又,36A B ππ=∴=………………………………………………12分19，解：(1)设()y k a x x =-．由2ax =，2a y =，得：k =4．于是，4()y a x x =-．解关于x 的不等式：02()x t a x ≤≤-，得0≤x ≤212att+．∴函数的定义域为2[0,]12att+，t 为常数，]1,0[∈t ． (2)22)2(4)(4a a x x x a y +--=-= ．当2max ,2,121,2212a y ax t a t at ==≤≤≥+时即时；当]212,0[)(4,210,2212tatx x a y t a t at +-=≤≤<+在时即时上为增函数，故当212atx t=+时,2max 28(12)at y t =+．故112t ≤≤当时，投入2a x =时，附加值y 最大为2a 万元；当210<≤t 时，投入t at x 212+=时，附加值y 最大为22)21(8t at +万元 20，解：(1)∵ f (x )=(x -a )(x -b)(x -c )=ｘ3-(a+b +ｃ)x 2＋(ab+bc+ac )x -abcf ′(x )=3 x 2-2(a+b +ｃ)x ＋(ab+bc+ac )=[ x 2- (a+b )x ＋ab ]＋[ x 2- (a+c )x ＋ac ]＋[ x 2- (b+c )x ＋bc ] =(x -a )(x -b )＋(x -a )(x -c ) ＋(x -b )(x -c )．(2)∵f (x )是R 上的单调函数，∴f ′(x )≥0，对x ∈R 恒成立，即 3x 2-2(a+b+c )x+(ab+bc+ca )≥0 对x ∈R 恒成立． ∴△≤0， 4(a+b+c )2-12(ab+bc+ca ) ≤0， ∴ (a -b )2＋(a -c )2＋ (b -c )2≤0，∴ a=b=c ． ∴f (x )=(x -a )3 ， ∴f (x )关于点(a ，0)对称．证明如下：设点P (x ，y )是 f (x )=(x -a )3图像上的任意一点，y=(x -a )3，点P 关于点(a ，0)对称的点P ′(2a -x ，-y )， ∵(2a -x -a )3=(2a -x )3= -(x -2a )3=-y ，∴点P ′在函数f (x )=(x -a )3的图像上，即函数f (x )=(x -a )3关于点(a ，0)对称21，解 (1)由y =x -3在[a ，b ]上为减函数，得 33,,.b a a b a b ⎧=-⎪=-⎨⎪<⎩可得a = –1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[–1，1]．(2)取x 1 = 1 ， x 2 = 10，可得f (x )不是减函数；取x 1 =21,10x =1100，可得f (x )在(0 ，+∞)不是增函数，所以f (x )不是闭函数．(3)设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则a k b k =+=+⎧⎪⎨⎪⎩故a ， b 是方程x=k22(21)20,2,x k x k x x k ⎧-++-=⎪≥-⎨⎪≥⎩有两个不等实根．当k 2≤-时，2222212,2(21)4(2)0,22(21)20.k k k k k +⎧>-⎪⎪⎪+-->⎨⎪+++-≥⎪⎪⎩解得：94k >-，∴ 9(,2]4k ∈--；当2k >-时，222221,2(21)4(2)0,(21)20.k k k k k k k k +⎧>⎪⎪⎪+-->⎨⎪-++-≥⎪⎪⎩这时k 无解．所以 k 的取值范围是9(,2]4--．参考答案一、1. ⎥⎦⎤-⎢⎣⎡1201 2. 0 3. sinx 4 ①②二、5．（12分）解：（1）1()10f x x'=+>在2[1,]e 恒成立. ∴()f x 在2[1,]e 为增函数. ………………………3分 ∴min ()(1)2f x f ==， 22max ()()2f x f e e ==+ ……………………………6分(2)2()()ln g x f x x x x -=--1(()())210g x f x x x'-=-->在(1,)+∞恒成立. ()()g x f x -在(1,)+∞为增函数. ……………………………9分∴()()(1)(1)0g x f x g f ->-= 得证6．解: (1)由二次函数图象的对称性, 可设211()()24f x a x =--,又(0)01f a =∴= 故2()f x x x =-…………………5分(2) 据题意, 直线l 与()f x 的图象的交点坐标为2(,)t t t -,由定积分的几何意义知1222221201()()()[()()][()()]2t t g t S t S t t t x x dx x x t t dx =+=--------⎰⎰=1222220[()()][()()]ttx x t t dx t t x x dx ---+---⎰⎰132322220[()()]|[()()]|3232t t x x x x t t x t t x =---+---=32431132212t t t -+-+而22111'()43(861)(41)(21)222g t t t t t t t =-+-=--+=---令1'()0,4g t t =⇒=或12t =(不合题意,舍去)当111(0,),'()0,()[,),'()0,(),442t g t g t t g t g t ∈<∈≥递减,递增故当14t =时,()g t 有最小值。

江苏省如东中学高考数学冲刺猜题卷

2008年江苏省如东中学高考猜题卷第Ⅰ卷（必做题）（考试时间：120分钟，满分160分）一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接写在横线上） 1．已知集合{}2,1,0=M ，{}M a a x x N ∈==,2，则集合=N M ．2．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：[)[)[)[)10,20,2;20,30,3;30,40,4;40,50,5;[)[)50,60,4;60,70,2。

则样本在（0，50）上的频数为．3．设有一条回归直线方程为2 1.5y x =-，则当变量x 增加一个单位时，y 平均减少个单位． 4．奇函数32()1f x ax bx cx x =++=在处有极值，则3a b c ++的值为． 5. 命题2",10"x R x ∃∈+<的否定是．6已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为．7定义运算c a bc ad d b -=，若复数i ix +-=324，i i y 212--= 1x i x+-，则=y ． 8．已知x R ∈，［x ］表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-121，[]120=，则使[]x -=13成立的x 的取值范围是____ ___．9．已知圆222(0)x y a a +=>与直线y bx =的交点是(,4)M c ，过此交点的圆的切线是325x dy +=，则b 的值分别是．10．化简tan70cos103sin10tan702cos40+-= ． 11．设56)(2+-=x xx f ，若实数y x ,满足条件()()015f x f y y -≤⎧⎨<≤⎩，则xy的最大值是． 12．一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为． 13．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为．14．设集合{,1},{,1,2},,,{1,2,3,,9}P x Q y P Q x y ==⊆∈，且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(,)x y 所表示的点中任取一个，其落在圆222x y r +=内的概率恰为27，则2r 的一个可能的正整数值是（只需写出一个即可）．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）△ABC 的三边为a ，b ，c ，已知22()CA CB c a b ⋅=--，且2=+b a ，（1）求C cos 的值（2）求△ABC 面积S 的最大值．16．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足2n n S a =-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足21()n n a b n n N +⋅=-∈，求数列{}n b 的前n 项和T (3) 出？并说明理由。

江苏省如东高级中学2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（）A ．3B ．5C ．6D ．72．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A ．26B ．4C ．3D ．223．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-4．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（）A ．23-B ．23C ．3D ．-35．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，312b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =（）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ D ．{|1}x x >-8．当0a >时，函数()()2x f x x ax e =-的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．9．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．310．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>11．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（） A ．35 B ．45 C ．1 D ．8512．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（）A ．3215B ．6415C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省如东高中2007-2008学年第一学期高三第二次阶段测试(数学)

1．若22(1)(32)x x x i-+++是纯虚数，则实数x的值是（）A . 1B . 1-C . 1±D . －2 2．下列函数中，在)4,0(π内递减，且关于直线4π=x 对称的函数是（）A.x y 2tan =B.)2cos(x y +=πC. )22cos(x y +=πD.|2sin |x y =3．2|log |y x =的定义域为[, ]a b ，值域为[0, 2]则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为 ( )A ．3B ．43C ．2D ．234．若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数，则点(,a b )的轨迹方程 ( ) . 0(0)A x y x -=≠ . 0(0)B x y x +=≠. 20(0)C x y x -=≠ . 20(0)D x y x +=≠5．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,s i n s i n AB AC OP OA AB B AC Cl l =++??uu u r uuu ruu u r uu r uu u r uuu r．则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（Ａ）重心（B ）垂心（C ）内心（D ）外心 6．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程[()]g f x x =的解集为（）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．∅二、填空题：本大题共10小题，第7～11题每小题5分，第12～16题每小题6分，共55分．答案填在题中横线上7．向量=(n,1)与=(4,n)共线且方向相同，则n = __▲ . 8．在△ABC 中，已知15,3,5,4AB CA AB AC BAC ⋅===∠则= _▲ .9．已知ABCDEF 是正六边形，且,AB a AE b ==，则CD = _▲ （用,a b 表示）.10．求值00cos10(tan10sin 50∙= _▲ 11．已知向量25(cos sin )(cos sin )||a ααb ββa b =-=，，=，，，则cos()αβ-= _▲ .12．函数12121x x y +-=+的值域是 _▲ ．13．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点横坐标从小到大依次记为,,,,321⋅⋅⋅P P P 则||42P P 等于 _ ▲ .14．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数，则m 的取值范围是 _▲ ．15．定义在] ,[22-上的偶函数()g x ，当0x ≥时()g x 单调递减，若 (1) ()g m g m -<，则m 的取值范围是 _▲ ．16．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度的比为m ，则m 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算17．设，)2cos ,sin 2(x x =，x ，)1cos (-=其中x ∈[0，2π]． (1)求f (x )=·的最大值和最小值；(2)当 OA ⊥OB ，求|AB |．18．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三内角，a ，b ，c 是三内角对应的三边长，已知222.b c a bc +-=（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小19．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与x a -和x 的乘积成正比；②当时2ax =，2a y =；③.)(20t x a x≤-≤其中t 为常数，且]1,0[∈t ．(1)设)(x f y =，求出)(x f 的表达式，并求出)(x f y =的定义域；(2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值 20．已知函数f (x )=(x -a )(x -b )(x -c )．(1)求证：()f x '=(x -a )(x -b )＋(x -a ) (x -c )＋(x -b ) (x -c )；(2)若f (x )是R 上的增函数，是否存在点P ，使f (x )的图像关于点P 中心对称？如果存在，请求出点P 坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由． .21．对于函数y =f (x )( x ∈D ，D 为函数定义域)，若同时满足下列条件：① f (x )在定义域内单调递增或单调递减；② 存在区间[a ，b ]D ⊆，使f (x )在[a ，b ]上的值域是[a ，b ]，那么把y =f (x )(x )D ∈称为闭函数．(1) 求闭函数y = –x 3符合条件②的区间[a ，b ]； (2)判定函数f (x )= 31((0,))4x x x+∈+∞是否为闭函数？并说明理由；(3) 若()f x =k +k 的取值范围．．江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题（加试）2007.10.7一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分1. 已知矩阵121A c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为λ，10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是A 的属于λ的特征值向量，则=-1A2. 若cos sin sin cos x θθθθ=（R θ∈）,则函数2()23f x x x =+-的最大值为3. 设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2008(x )＝4. 给出下列命题：①若函数3()f x x =，则(0)0f '=；②若函数2()21f x x =+，图像上(1,3)P 及邻近点(1,3)Q x y +∆+∆，则42yx x∆=+∆∆；③加速度是动点位移函数()S t 对时间t 的导数；④2lg 2x x y x =+，则2222212x x x x x y x ⋅-⋅'=-．其中正确的命题为．（写上序号）二、解答题：本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算5. (本题8分) 已知函数()ln f x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最值；（Ⅱ）对x D ∈，如果函数()F x 的图像在函数()G x 的图像的下方，则称函数()F x 在D 上被函数()G x 覆盖．求证：函数()f x 在区间()1,+∞上被函数2()g x x =覆盖6．(本题12分) 已知二次函数2()f x ax bx c =++, 满足(0)(1)0f f ==且()f x 的最小值是14-.（Ⅰ）求()f x 的解析式;（Ⅱ）设直线21:(0,)2l y t t t t =-<<其中为常数,若直线l 与()f x 的图象以及y 轴这二条直线和一条曲线所围成封闭图形的面积是1()S t , 直线l 与()f x 的图象以及直线12x =这二条直线和一条曲线所围成封闭图形的面积是2()S t ,已知121()()()2g t S t S t =+,当()g t 取最小值时,求t 的值.江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题参考答案一、选择题 ACBBAC二、填空题7，28，23π9，)(21a b - 10，－2 11，35 12，1(,1)2- 13，π 14，[1,3] 15，1[1,)2-16，),2(+∞三、解答题17解：⑴f (x )=·= -2sin x cos x +cos2x =)42cos(2π+x ．∵0≤x ≤2π ， ∴4π≤2x +4π≤45π．∴当2x +4π=4π，即x =0时，f (x )max =1；当2x +4π=π，即x=83π时，f (x )min = -2．⑵⊥即f (x )=0，2x +4π=2π，∴x =8π．此时||22)12(cos )cos sin 2(-++=x x x=222)12(cos cos sin 4cos sin 4-+++x x x x x=x x x 2cos 2sin 22cos 27272++- =4cos 4sin 24cos 27272πππ++- =231621-． 18，解：（Ⅰ）在△ABC 中，bc a c b Abc a c b +=+=-+222222cos 2又3,21cos π==∴A A ……………………………… 6分（Ⅱ）由正弦定理,又222sin sin sin A B C +=,故222222444a b c R R R +=即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形又,36A B ππ=∴=………………………………………………12分19，解：(1)设()y k a x x =-．由2a x =，2a y =，得：k =4．于是，4()y a x x =-．解关于x 的不等式：02()x t a x ≤≤-，得0≤x ≤212att+． ∴函数的定义域为2[0,]12att+，t 为常数，]1,0[∈t ． (2)22)2(4)(4a a x x x a y +--=-= ．当2max ,2,121,2212a y a x t a t at ==≤≤≥+时即时；当]212,0[)(4,210,2212tat x x a y t a t at +-=≤≤<+在时即时上为增函数，故当212atx t=+时,2max 28(12)at y t =+．故112t ≤≤当时，投入2a x =时，附加值y 最大为2a 万元；当210<≤t 时，投入t atx 212+=时，附加值y 最大为22)21(8t at +万元 20，解：(1)∵ f (x )=(x -a )(x -b)(x -c )=ｘ3-(a+b +ｃ)x 2＋(ab+bc+ac )x -abcf ′(x )=3 x 2-2(a+b +ｃ)x ＋(ab+bc+ac )=[ x 2- (a+b )x ＋ab ]＋[ x 2- (a+c )x ＋ac ]＋[ x 2- (b+c )x ＋bc ] =(x -a )(x -b )＋(x -a )(x -c ) ＋(x -b )(x -c )．(2)∵f (x )是R 上的单调函数，∴f ′(x )≥0，对x ∈R 恒成立，即 3x 2-2(a+b+c )x+(ab+bc+ca )≥0 对x ∈R 恒成立． ∴△≤0， 4(a+b+c )2-12(ab+bc+ca ) ≤0， ∴ (a -b )2＋(a -c )2＋ (b -c )2≤0，∴ a=b=c ． ∴f (x )=(x -a )3 ， ∴f (x )关于点(a ，0)对称．证明如下：设点P (x ，y )是 f (x )=(x -a )3图像上的任意一点，y=(x -a )3，点P 关于点(a ，0)对称的点P ′(2a -x ，-y )， ∵(2a -x -a )3=(2a -x )3= -(x -2a )3=-y ，∴点P ′在函数f (x )=(x -a )3的图像上，即函数f (x )=(x -a )3关于点(a ，0)对称21，解 (1)由y =x -3在[a ，b ]上为减函数，得 33,,.b a a b a b ⎧=-⎪=-⎨⎪<⎩可得a = –1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[–1，1]．(2)取x 1 = 1 ， x 2 = 10，可得f (x )不是减函数；取x 1 =21,10x =1100，可得f (x )在(0 ， +∞)不是增函数，所以f (x )不是闭函数． (3)设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则a k b k =+=+⎧⎪⎨⎪⎩故a ， b 是方程x=k +的两个实根，命题等价于22(21)20,2,x k x k x x k ⎧-++-=⎪≥-⎨⎪≥⎩有两个不等实根．当k 2≤-时，2222212,2(21)4(2)0,22(21)20.k k k k k +⎧>-⎪⎪⎪+-->⎨⎪+++-≥⎪⎪⎩解得：94k >-，∴ 9(,2]4k ∈--；当2k >-时，222221,2(21)4(2)0,(21)20.k k k k k k k k +⎧>⎪⎪⎪+-->⎨⎪-++-≥⎪⎪⎩这时k 无解．所以 k 的取值范围是9(,2]4--．参考答案一、1. ⎥⎦⎤-⎢⎣⎡1201 2. 0 3. sinx 4 ①② 二、5．（12分）解：（1）1()10f x x'=+>在2[1,]e 恒成立. ∴()f x 在2[1,]e 为增函数. ………………………3分 ∴min ()(1)2f x f ==， 22max ()()2f x f e e ==+ ……………………………6分(2)2()()ln g x f x x x x -=--1(()())210g x f x x x'-=-->在(1,)+∞恒成立. ()()g x f x -在(1,)+∞为增函数. ……………………………9分 ∴()()(1)(1)0g x f x g f ->-= 得证6．解: (1)由二次函数图象的对称性, 可设211()()24f x a x =--,又(0)01f a =∴= 故2()f x x x =-…………………5分(2) 据题意, 直线l 与()f x 的图象的交点坐标为2(,)t t t -,由定积分的几何意义知1222221201()()()[()()][()()]2t t g t S t S t t t x x dx x x t t dx =+=--------⎰⎰=1222220[()()][()()]ttx x t t dx t t x x dx ---+---⎰⎰132322220[()()]|[()()]|3232t t x x x x t t x t t x =---+---=32431132212t t t -+-+而22111'()43(861)(41)(21)222g t t t t t t t =-+-=--+=---令1'()0,4g t t =⇒=或12t =(不合题意,舍去)当111(0,),'()0,()[,),'()0,(),442t g t g t t g t g t ∈<∈≥递减,递增故当14t =时,()g t 有最小值。

江苏省如东高级中学2023-2024学年高三上学期期中学情检测数学试卷

江苏省如东高级中学2023-2024学年高三上学期期中学情检
测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
三、填空题
四、双空题
五、解答题
17．设正项数列{}n a 的前(1)求n a ；
(2)若1
n n b S =，求1001
i i b =∑.
18．在ABC 中，A B +=(1)求A ；
(2)若27CM =，M 为19．某集团下属公司在2023入生产，该公司的每年资金年增长率为底上缴资金1000万元，并将剩余资金全部投入下一年生产后的剩余资金为n a 万元.(1)求n a ；
(2)若第m （m 为正整数）年年底公司的剩余资金超过20．如图，三棱锥A BCD -CD 上，H 在AD 上，且有
(1)证明：直线EF ，GH ，BD 相交于一点；(2)求直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值.
21．设()()()1ln 1f x x x =++，()()2
g x ax x a =+∈R .
(1)求()f x 的最小值；
(2)若0x ∀≥，()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围.
22．在平面直角坐标系中，直线:240l x y -+=与抛物线2:2C y px =相切.(1)求p 的值；
(2)若点F 为C 的焦点，点P 为C 的准线上一点.过点P 的两条直线1l ，2l 分别与C 相切，直线l 与1l ，2l 分别相交于A ，B ，求证：AF BF ⊥.。

高高考数学如东中学考前原创试题.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作如东中学考前原创试题1，已知点O 是ABC ∆的重心，O A ⊥OB ，AB=6，则AB AC ⋅的值是2，已知等差数列{}n a 中，11100100s t a a a a ≤≤≤≤≤，(1100)s t ≤≤≤，则1100ts a a a a +的最小值是3，已知,,x y R +∈满足411x y-=，不等式（2()230x y a a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是4，已知直线y kx =与函数6xy =的图像交于A ，B 两点，过B 作X 轴的垂线，垂足为C ，BC 分别与函数2xy =和3xy =交于D ，E 两点，连AD ，当A D ∥X 轴时，线段CE 长度为5，已知圆M ：()2214,x y ++=圆N ：()224cos (14sin )1,()x y R θθθ-++-=∈，过圆N 上任一点P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点A,B ，则向量PA 与向量PB 夹角的余弦值为6，在ABC ∆中，B=450，M ，N 分别是边AC ，AB 的中点，且2BM AC CN AB ⋅=⋅，则BA BCBC BA+的值为7，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆()222x a y -+=运动，若∠MPN 恒为锐角，则实数a 的取值范围是8，.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆221169x y +=的左焦点为F ，左准线为l ，,A B 是该椭圆上两动点，120AFB ︒∠=，M 是AB 中点，点/M 是点M 在l 上的射影. 则/MM AB的最大值为答案：72；213117;,;log 6;,52925⎛⎤⎡⎤-∞- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦；22；()(),471,-∞--+∞；421219.如图，在四面体ABCD 中，M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点，且6AB =，8CD =，5NQ =，90BAC ∠=°．（1）判断直线BC 与平面MNQ 是否平行，并说明理由；（2）求证：平面ACD ⊥平面MNQ ．9.（1）不平行，取BC 中点P,因为M,N,Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点，所以12MQDC ,12NQ DC 所以MQ NP ,所以MQ,NP 共面，则BC 与平面MNQ 相交，不平行（2）由（1）可知，MN=3，MQ=4，又NQ=5，由勾股定理可知，MN MQ ⊥,又因为,AB AC MN AB ⊥,所以MN AC ⊥又MQ,AC ⊂平面ADC,MQ AC Q ⋂=,所以MN ⊥平面ADC, 又MN ⊂平面MNQ,所以平面ACD ⊥平面MNQ ．10．【原创】在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．已知3cos b C ＝(13cos )c B -．（1）求sin sin AC的值；（2）若1cos 6B =，ABC ∆的周长为14，求b 的长．【答案】（1）13；（2）b ＝6．【解析】试题分析：（1）根据正弦定理对原式3cos b C ＝()13cos c B -进行化简得3sin cos B C ＝ABCDMNQ()sin 13cos C B -，则 sin 3sin()C B C =+，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin sin A C ＝13．（2）由（1）得c ＝3a ．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝a 2＋9a 2－6a 2×16＝9a 2．解得b ＝6．试题解析：（1）由正弦定理，设，所以33.cosA cosC sinC sinAcosB sinB--=即3sin cos B C ＝()sin 13cos C B - 化简可得 sin 3sin()C B C =+ 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin sin A C ＝13．（2）由sin sin A C ＝13得c ＝3a ．由余弦定理及cos B ＝16得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝a 2＋9a 2－6a 2×16＝9a 2．所以b ＝3a ．又a ＋b ＋c ＝14．从而a ＝2，因此b ＝6．考点：正弦定理，余弦定理的应用．【原创简介】本题是完全原创；原创的理由：①考查对正弦定理，余弦定理的考查，比较容易，需要考生注意对给定式子的化简．13．（原创题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(30)F -，，2(30)F ，.点00()P x y ，是椭圆C 在x 轴上方的动点，且△12PF F 的周长为16.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 到△12PF F 三边的距离均相等. ①当03x =时，求点Q 的坐标； ②求证：点Q 在定椭圆上.解：（1）依题意，3c =，2216a c +=，所以5a =，从而22216b a c =-=，故椭圆方程为2212516y x +=，（2）①当03x =时，01605y =>，则直线1PF 的方程为：815240x y -+=，直线2PF 的方程为：3x =，xyOF 1 F 2P Q所以8152417x y y -+=，且3y x =-，其中815240x y -+>，解得295x =，65y =，所以点Q 的坐标为()9655，；②设()(0)Q x y y >，，则点Q 到△12PF F 三边的距离均为y ，由121212PF F QF F QPF QPF S S S S ∆∆∆∆=++，得()0121111662222y y y PF y PF ⨯⨯=⨯⨯+⋅+⋅，其中1210PF PF +=，所以083y y =，则直线1PF 的方程为：00(3)3y y x x =++，即000(3)30y x x y y -++=，所以0000022003(3)3838(3)y x y x y y y x -++=++，且220012516x y +=，且00003(3)308y x y x y -++>，化简得，()00000203(3)3388355y x y x y y x -++=+，解得053x x =，将053x x =，083y y =代入220012516x y +=，得224199y x +=，所以点Q 在定椭圆上.说明：1. 椭圆的定义多年未考，属基本概念，应关注；2. （2）②的实质是利用相关点法求轨迹方程，在求点Q 横坐标时充分利用了平几知识，数形结合可以简化运算.14．（原创题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为22，点()12 33A ，在椭圆E 上，B 为A 关于原点O 的对称点，(4)P t t -，在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交点分别为C ，D ．（1）求椭圆E 的方程；（2）当t 变化时，求证：直线CD 的斜率为定值．解：（1）易得()()222212331a b +=，且22212b a-=，解得21a =，212b =，所以椭圆E 的方程；2221x y +=；xyOBACDP（2）设00()P x y ，，11( )C x y ，，22( )D x y ，，且0040x y +=，又设1AP PC λ=，2BP PD λ=，其中12λλ∈R ，，则101110111(1)3 2(1)3 x x y y λλλλ⎧+-⎪=⎪⎨⎪+-⎪=⎩，，代入椭圆2221x y +=并整理得，()2222100100114(1)(2)12(1)33x y x y λλλ+++-++=，从而有 ()2210000114(1)(2)2133x y x y λλ++-+=-， ① 同理可得，()2220000114(1)(2)2133x y x y λλ++-+=-， ②①－②得，221200()(21)0x y λλ-+-=，因为220021x y +<,所以12λλ=，从而//AB CD ，故2CD AB k k ==.说明：1. 求椭圆的基本量问题属容易题，但一定要检验结果是否正确，通常会直接影响到后继问题的解答；2. 江苏高考解析几何大题的解答通常不涉及韦达定理，而以向量与椭圆交汇的试题一般可以利用方程的关系优美地解决问题，这类考题应予以重视押题：1.若,x y 是正数，则2211()()2x y y x+++的最小值是 .2.棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，'C A 交平面''AB D 于O ，则三棱锥O ABC -的体积等于 .3.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2()1(1)f x x =--，则函数((()))y f f f x =的零点个数有 .4.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(4),.8n n n S a a n N *=+∈（1）若数列{}n a 成等比数列，求n a ；（2）若数列{}n a 成等差数列，①求n a ；②若,0n n N a *∀∈>，设22222121211181,()32n n nn n A B a a a a a a =++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，当6n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.5.已知函数21()2ln (0).f x x x x xλ=++> （1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求λ的值；（2）求函数()f x 极值点的个数；（3）若对于任意两个不相等的正数12,x x ，均有1212'()'()f x f x x x ->-恒成立，求实数λ的取值范围.。

2025届江苏省南通市如东中学高三压轴卷数学试卷含解析

2025届江苏省南通市如东中学高三压轴卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，11QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A．⎡⎢⎣⎭B．(2⎤⎦C．1⎤⎥⎝⎦D．(1⎤⎦2．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（） A ．53B ．73C ．72D ．2363．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )A ．2B ．3C ．3.5D ．44．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．75．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（） A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -6．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一7．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭8．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+-+的最小值是（）A ．0B ．1C ．32D ．229．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．52C ．53D ．512．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．01二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届江苏省南通市如东高级中学数学高三上期末复习检测试题含解析

2025届江苏省南通市如东高级中学数学高三上期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π122．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（）A ．9B ．8C ．7D ．63．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．134．已知函数()cos 23sin 21f x x x =++，则下列判断错误的是（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 5．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变6．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（） A ．1B ．2C ．2D ．47．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( )A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 8．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-9．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a ，使得13m n a a a ⋅=，65423a a a =+，则14m n+的最小值是（） A ．32B ．2C ．73D ．9410．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π11．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种12．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（）A ．914B ．514C ．37D ．928二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南通市如东县2022-2023学年高三上学期期中数学试题

南通市如东县2022-2023学年高三上学期期中数学试题一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1.已知复数()1i 22i z ⋅+=-（i 为虚数单位），则z =A.2B.3C.4D.52.满足{}{}11,2,3,4A ⊆⊆的集合A 的个数为（）个.A.16B.15C.8D.73.下列选项正确的是A.sin103sin164︒<︒ B.4737cos cos 49ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.sin 508sin144︒<︒D.27tantan $816ππ<4.2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场.歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（）立方米B.3π D.25.过双曲线22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（）B.2D.46.已知()33f x x x =++-，则不等式()()21f x f x ≤-的解集为A.(],1-∞- B.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()0f x >，对定义域内任意的1x ，2x ，当12x x <时，()()2112x f x x f x <.若1122a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11b f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4455c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为A.a b c<< B.c a b<< C.b c a<< D.b a c<<8.对于集合A ，B ，我们把集合(){},,a b a A b B ∈∈记作A B ⨯.例如，{}1,2A =，{}3,4B =，{}1,3C =，则()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4A B ⨯=，()()()(){}1,1,1,3,2,1,2,3A C ⨯=.现已知{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9M =，集合A ，B 是M 的子集，若(),a b A B ∈⨯，(),b a A B ∉⨯，则A B ⨯内元素最多有（）个A.20个B.25个C.50个D.75个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.若函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列命题正确的是A.函数()y f x =的图象与cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象重合 B.33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.062f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.存在唯一的00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0910f x =10.用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形A.五边形B.直角三角形C.直角梯形D.钝角三角形11.已知函数()32247f x x x x =---，其导函数为()y f x '=，下列说法正确的是A.函数()y f x =的单调减区间为2,23⎛⎫-⎪⎝⎭B.函数()y f x =的极小值是-15C.当2a >时，对于任意的x a >，都有()()()()f x f a f a x a '<+-D.函数()y f x =的图象有条切线方程为31y x =-12.已知圆C ：221x y +=直线l ：20x y +-=，下列说法正确的是A.直线l 上存在点P ，过P 向圆引两切线，切点为A ，B ，使得0PA PB ⋅=B.直线l 上存在点P ，过点P 向圆引割线与圆交于A ，B ，使得2PA PB =C.与圆C 内切，与直线l 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D.与圆C 外切，与直线l 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.如图，已知M ，N 是ABC △边BC 上的两个三等分点，若6BC =，4AM AN ⋅=，则AB AC ⋅=_______________.14.若数列{}n a 第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列{}n a 为二阶等差数列，已知数列{}n a 是一个二阶等差数列，且13a =，27a =，313a =，则n a =_______________.15.已知直线4x my =+与抛物线24y x =交于A ，B 两点，若20AOB S =△（O 为坐标原点），则实数m 的值为_______________.16.已知正实数x ，y 满足x y m +=，函数()11,f x y x y y x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为92，则实数m 取值的集合为_______________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分10分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，其中2b c =，2a =，且a b =.（1）求A 的大小；（2）求ABC △的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，O 是AD 的中点AD BC ∥，且4AD =，2AB BC CD ===，PA PD PB PC ====（1）求证：AC ⊥平面POB ；（2）求点B 到面PAC 的距离.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，2211n n n n S S a a ++-=+.（1）求n S ；（2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T .20.（本小题满分12分）已知直三棱柱111ABC A B C -，1AB AC AA ==，90BAC ∠=︒，()11,01BM BC CN CA λλλ==<<.（1）证明：MN ∥面ABC ；（2）当MN 最短时，求二面角11A MN C --的余弦值.已知直线1l ：2y x =，2l ：2y x =-，线段AB 的两个端点分别在直线1l 与2l 上滑动，且4AB =.（1）求线段AB 中点P 的轨迹C 的方程；（2）直线3l ：2y x b =+，4l ：2y x b =-+与轨迹C 有四个交点，求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数()()2ln ,0,3,0.x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩（1）求函数()()()1g x x f x =+的单调区间；（2）若直线与函数()y f x =的图象相切于点()11,A x y ，()22,B x y ，且120x x <<，求直线AB 的方程.2022~2023学年度第一学期期中学情检测高三数学一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】()1i 22i z +=-，∴z =，∴2z =，选A.2.【答案】C 【解析】A 可取{}1，{}1,2，{}1,3，{}1,4，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,3,4，{}1,2,3,4，共8个结果，选C.3.8【答案】C.【解析】sin y x =在()90,180︒︒ ，∴sin103sin164 ︒︒>，A 错.47cos cos 44ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，37cos cos99ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，94ππ<，cos y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴coscos 94ππ>，即3747cos cos 94ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错.()sin 508sin 360148sin148sin144︒=︒+︒=︒<︒，C 对.4.【答案】B【解析】h=，3V =.5.【答案】B 【解析】(),A a b -，(),B a b ，()1,0F c -，1ABF △为正三角形∴a cb +=()2223a c c a +=-，即3a c c a +=-，∴2e =，选B.6.【答案】D 【解析】当13x -≤时，()()21f x f x =-，323x -≤≤，解得3322x -≤≤当13x ->时，因为()()21f x f x ≤-，所以21x x ≤-，解得113x -≤≤.综上，不等式()()21f x f x ≤-的解集为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.7.【答案】D【解析】当120x x <<时，()()()()12211212f x f x x f x x f x x x <⇔<，所以()f x y x=为()0,+∞上的增函数.令()()g x xf x =，因为()0f x >，所以()()2f x g x x x=⋅为()0,+∞上的增函数.因为11425π<<，所以b a c <<.8.【答案】B【解析】设集合A 中元素个数为m ，集合B 中元素个数为n ，A ，B 是M 的子集，若(),a b A B ∈⨯，(),b a A B ∉⨯，则10m n +≤.所以2252m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.当且仅当5m n ==时取等号二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

江苏省高三数学中档题冲刺训练

中档题冲刺训练7 姓名1．猎人射击距离100米远处的目标，命中的概率为0.6。

（1）如果猎人射击距离100米远处的静止目标3次，求至少有一次命中的概率；（2）如果猎人射击距离100米远处的动物，假如第一次未命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物使动物逃跑从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为150米，假如第二次仍未命中，则必须进行第三次射击，而第三次射击时动物离猎人的距离为200米。

假如击中的概率与距离成反比，。

求猎人最多射击三次命中动物的概率。

解：（1）记事件“猎人射击距离100米远处的静止目标3次，至少有一次命中”为A 事件，则P(A)=1-P(A )=1-0.4×0.4×0.4=0.936.（2）记事件“第i 次击中动物”为事件i B （i =1,2,3），记事件“最多射击3次而击中动物”为事件B.由条件P(B 1)=0.6, P(B 1)=326.0⨯=0.4, P(B 1)=216.0⨯=0.3, ∵321211B B B B B B B ⋅⋅+⋅+=,且i B 是相互独立事件,又1B 、21B B ⋅、321B B B ⋅⋅是互斥事件，∴)()()()()()()(321211B P B P B P B P B P B P B P ⋅⋅+⋅+==0.832.2．如图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，AC ⊥CB ，∠ABC=45°，侧面 A 1ABB 1是边长为a 的菱形，且垂直于底面ABC ，∠A 1AB=60°，E 、F 分别是AB 1、BC 的中点.（1）求证EF//平面A 1ACC 1；（2）求EF 与侧面A 1ABB 1所成的角；（3）求三棱锥A —BCE 的体积.解：（1）∵A 1ABB 1是菱形，E 是AB 1中点， ∴E 是A 1B 中点，连A 1C ∵F 是BC 中点， ∴EF ∥A 1C …………12分∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，EF ⊄平面A 1ACC 1， ∴EF//平面A 1ACC 1……………4分（2）作FG ⊥AB 交AB 于G ，连EG ∵侧面A 1ABB 1⊥平面ABC 且交线是AB ∴FG ⊥平面A 1ABB 1，∴∠FEG 是EF 与平面A 1ABB 1所成的角…………6分由AB=a ，AC ⊥BC ，∠ABC=45°，得BG a FB FG ===422 由AA 1=AB=a ，∠A 1AB=60°，得a EG 43= ︒=∠∴=∠∴30,33tan FEG FEG …………8分（3）V A —BCE =V E —ABC 由②EG ⊥AB ，平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，∴EG ⊥平面ABC …………10分48321313a EG BC AC V ABCE =⨯⨯⨯⨯=∴-………………12分 3．设a 、b 为常数，F x b x a x f x f M };sin cos )(|)({+==：把平面上任意一点（a ，b ）映射为函数.sin cos x b x a +（I ）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（II ）证明：当M x f ∈)(0时，M t x f x f ∈+=)()(01，这里t 为常数；（III ）对于属于M 的一个固定值)(0x f ，得}),({01R t t x f M ∈+=，在映射F 的作用下，M 1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？（I ）假设有两个不同的点（a ，b ），（c ，d ）对应同一函数，即x b x a b a F sin cos ),(+=与x d x c d c F sin cos ),(+=相同，即 x d x c x b x a sin cos sin cos +=+对一切实数x 均成立……………………………3分特别令x =0，得a =c ；令2π=x ，得b=d 这与（a ，b ），（c ，d ）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数…………………………………………………………5分（II ）当M x f ∈)(0时，可得常数a 0，b 0，使x b x a x f sin cos )(000+=)()(01t x f x f +=)sin()cos(00t x b t x a +++=x t a t b x t b t a sin )sin cos (cos )sin cos (0000-++=…………………………………7分由于t b a ,,00为常数，设n m n t a t b m t b t a ,,sin cos ,sin cos 0000则=-=+是常数. 从而M x n x m x f ∈+=sin cos )(1………………………………………………………10分（III ）设M x f ∈)(0，由此得x n x m t x f sin cos )(0+=+（t b t a m sin cos 00+=其中，t a t b n sin cos 00-=）在映射F 下，)(0t x f +的原象是（m ，n ），则M 1的原象是},sin cos ,sin cos |),{(0000R t t a t b n t b t a m n m ∈-=+=……………………12分消去t 得202022b a n m +=+，即在映射F 下，M 1的原象}|),{(202022b a n m n m +=+是以原点为圆心，2020b a +为半径的圆……………………………………………………14分4．已知数列}{n a 中，01>a ，且231nn a a +=+。

江苏省如东高级中学高三数学小题强化训练1-14套

高三数学能力题强化训练1班级学号姓名1. 已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N M （）A.{}1>x xB.{}1<x xC.{}11<<-x xD.φ2．设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件 C ．必要而不充分的条件 D ．既不充分也不必要的条件 3．已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x 的取值范围是 4．设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = 5. 定义在区间(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，则()f x 的解析式为6．若函数2()log (2)(0,1) a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2内恒有()0f x >，则()y f x =的单调递增区间为7．设集合{}6,5,4,3,2,1=M ，k S S S ,,,21 都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i b a S ,=、{}j j j b a S ,=（{}k j i j i ,,3,2,1,, ∈≠）都有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧j j j j i i i i a b b a a b b a ,min ,min ，（{}y x ,m in 表示两个数y x ,中的较小者），则k 的最大值是8．(07广东) 已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.高三数学能力题强化训练1答案 1.C 2. B 3. ()()1,00,1 -5. )1lg(31)1lg(32x x -++ 6 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7. 11 8解：若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得32a -±=①当32a -=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或a ≤高三数学能力题强化训练2班级学号姓名1．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（）A.4B.3C.2D.12．设()2 11x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域是（）A.(][)+∞-∞-,11,B.(][)+∞-∞-,01,C.[)+∞,0D. [)+∞,1 3．设集合2{|60}M x x mx =-+=，则满足{1,2,3,6}M M ⋂=的集合M 为 4．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 5．函数())1,0(13log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 6. 设()1ln1x f x x +=-，则函数()12x g x f f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为 7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为at y -⎪⎭⎫⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室 8. (07上海)已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

江苏省如东高级中学高考数学等差数列专题复习(专题训练) 百度文库

一、等差数列选择题1．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸2．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（） A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45B ．50C ．60D ．804．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（）．A ．65B ．16C ．15D ．145．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（）A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（） A ．21B ．20C ．19D ．19或207．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11B ．12C ．23D ．248．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =.则正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n13．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人A ．225B ．255C ．365D ．46514．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（） A ．103B ．107C ．109D ．105 15．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（） A ．9B ．5C ．1D ．5916．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（） A ．25B ．11C ．10D ．917．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（） A ．13B ．26C ．52D ．5618．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩19．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2220．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（） A ．121B ．161C ．141D ．151二、多选题21．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>022．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝023．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．224．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+25．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（） A ．15B ．25C ．45D ．6526．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1227．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（） A ．25n a n =- B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-29．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和．【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-，则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）．故选：D ． 2．C【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 3．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 4．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 5．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==，因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 6．B 【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+，解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 7．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果.【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 8．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤，所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=，解得343a a +=. 故选：B. 10．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 11．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 12．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 13．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=，故选：B 14．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 15．B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B 16．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解．【详解】因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 17．B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=，因为()()3589133224a a a a a ++++=，可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=，故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B. 18．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 19．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 20．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可.【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a ==故选：B二、多选题21．AC【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误，所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<，所以C 正确，D 错误，故选：AC22．ABD【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确；又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 23．ABC【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n -<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n <+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n <-恒成立，由12n -第增，且31222n≤-<，所以32a <，综上可得：322a -≤<，故选：ABC .【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 24．BD【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin 2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.25．ABC【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.26．ACD【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-，对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d d S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.27．BCD【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202020202021a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.28．AD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.29．AC【分析】由题意可知112222n n n n a a a H n -+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误.【详解】解：由112222n n n n a a a H n -+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，② 得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确． 25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 30．AC【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-== 故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。

江苏省南通市如东高级中学2022-2023学年高三上学期12月阶段测试数学试题(含答案解析)

A． 1
B． 0
C．1
D． 2
二、多选题 9．2021 年 7 月 1 日是中国共产党建党 100 周年，某单位为了庆祝中国共产党建党 100 周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位 200 名党员同志进行党史测
试并进行评分，将得到的分数分成 6 组：70,75 ，75,80 ，80,85 ，85,90 ，90,95 ， 95,100 ，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（）
江苏省南通市如东高级中学 2022-2023 学年高三上学期 12 月阶段测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 M x∣y 4x x2 ， N ∣x 22x 2 ，则 M N （）
右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为 8 : 7 .若设明间的宽度
为 a ，则该大殿 9 间的总宽度为（）
A．
7 8
4
a
B．15a
14
a
7 8
5
C．
14a
1
7 8
4
D．15a
14a
7 8
4
4．已知函数 f x sinπ x 3cosπ x( 0) 在0,1 内恰有 3 个最值点和 4 个零点，则
边与单位圆的交点．若
OP
在
x
轴上的投影向量的坐标为
1 3
,
0
，则
cos
2
________.
14．已知数列an 满足 an
an1
an2
1，
a1
2，

江苏省宿迁市沭阳如东中学2023届高三上学期期中数学试题

江苏省宿迁市沭阳如东中学2023届高三上学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、双空题
16．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部
分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，
取正方形ABCD 各边的四等分点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形
EFGH 各边的四等分点,,,M N P Q ，作第3个正方形MNPQ ，依此方法一直继续下去，
就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为
23,,,,;n a a a ¼¼如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形。

江苏省如东高级中学高三数学午休小题训练1-10

江苏省如东高级中学数学午修练习一1.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}I =，集合 {3,4,5},{1,3,6}M N ==则)N C (M I ⋂=______;集合{2,7,8}可以用集合,M N 表示成.；2．函数y =________ ;3．为了得到函数321x y -=-的图象，只需把函数2x y =的图象上所有的点向平移个单位，再向平移个单位;4．函数f(x)是奇函数，当14x ≤≤时，2()45f x x x =-+，则当41x -≤≤-时，函数()f x 的最大值是.；5.如果函数2()(31)(01)x x f x a a a a a =-->≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是 . 6．已知向量,a b 满足|||||a b a b ==+=，则||a b -= ; 若||||||a b a b ==-，则b 与a b +的夹角为 ;江苏省如东高级中学数学午修练习二 1．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B = ；2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为。

3．定义在区间(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，则()f x 的解析式为 ;4．已知函数f(x)＝)12(log 2++ax x a 的值域为R ，则a 的取值范围是 ;5．已知向量(3,1)a = b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=,则b = .6．不等式411x x ≤--的解集是 ;江苏省如东高级中学数学午修练习三1．集合2{|160}P x x =-<，{|2,}Q x x n n Z ==∈，则P Q ⋂= ;2．设映射2:f x x x →-+是实数集A 到实数集B 的映射，若对于实数k B ∈，在A 中不存在原象，则k 的取值范围是 .3．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是 ;4．设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则,,P Q R 的大小关系是；5．设,a b 是不共线的两个非零向量，已知2AB a pb =+ ,BC a b =+ ,2CD a b =- .若,,A B D 三点共线则p的值为 ;6．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为______;江苏省如东高级中学数学午修练习四1．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是；2．函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 .3．已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f；4．已知向量(cos ,sin )a θθ=,向量 (3,1)b =-则|2|a b -的最大值,最小值分别是 ;5．不等式112x<的解集是 ; 6．设,x y 为正数, 则14()()x y xy++的最小值为江苏省如东高级中学数学午修练习五1．设集合2{|60}M x x mx =-+=，则满足{1,2,3,6}M M ⋂=的集合M 为；m 的取值范围为 . 2．为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象上所有点向平移个单位. 3．方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 ; 4．已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==,且a b ≠±，那么a b +与a b -的夹角的大小是 ;5．若不等式2520ax x +->的解集是1{|2}2x x <<，则不等式225(1)0ax x a -+->的解集是 .6．若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是；江苏省如东高级中学数学午修练习六1．若集合13,11,A y y x x ⎧⎫⎪⎪==-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭12,01B y y x x ⎧⎫==-<≤⎨⎬⎩⎭，则A ∩B等于 .2．已知奇函数()f x 和偶函数()g x 满足2)()(++=+-x x a a x g x f ，且()g b a=，则()f a = .3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(6)f 的值为 .4．已知向量(,12),(4,5),OA k OB ==OC =(,10)k -，且A 、B 、C 三点共线，则k = ;5．不等式2||60()x x x R --<∈的解集为 ; 6．函数212()l o g |65|f x x x =-+的单调递增区间为 ;江苏省如东高级中学数学午修练习七1.已知向量集合，{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈,{|(2,2)(1,5),}N a a R λλ==--+∈,则M N ⋂=2．有下列函数：①1y xx =+；②2y =-；③2y =；④2y x =x ，其中最小值为2的函数有 .(注：把你认为正确的序号都填上) 3. 对于[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是 .4．已知0l o g l o g ,10<<<<n m a a a ，则,,1m n 的大小关系是 . 5．已知||1,||3,0O A O B O A O B ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=，设(,O C m O An O B mn R=+∈，则nm等于 .6．不等式113x <+<的解集为 .江苏省如东高级中学数学午修练习八1.设集合2{|0},{|2}A x x a B x x =-<=<，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是 ;2.定义在(,)-∞+∞上的偶函数()f x 满足：(1)()f x f x +=-，且在[1,0]-上是增函数，下面关于()f x 的判断；①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于直线1x =对称；③()f x 在[0,1]上是增函数；④()f x 在[1,2]上是减函数；⑤(2)(0)f f =其中正确的判断是 (把你认为正确的判断的序号都填上). 3．方程233log (10)1log x x -=+的解是______ . 4．已知向量(2,2),(5,)a b k =-=.若||5a b +≤，则k 的取值范围是 . 5．若011lo g 22<++aa a，则a的取值范围是 .6．如果函数21y x ax =+-在闭区间[0,3]上有最小值2-,那么a 的是 ;江苏省如东高级中学数学午修练习九1．设}1)()(|),{(},1||,1|||),{(22=-+-=≤≤=a y a x y x Q y x y x P ，若φ≠⋂Q P ，则a 的取值范围是 ;2.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________.3．函数()f x 定义域为R ，,x y R ∈时恒有()()()f xy f x f y =+，若f +2f =，则f f += ;4．已知三点(2,3),(1,1),(6,)A B C k --，其中k 为常数.若AB AC =，则AB 与AC 的夹角为 .5.已知函数)(x f 的定义域是R ，对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x <,(1)2f =- ,则)(x f 在[3,3]-上的最大值为，最小值为．6．如果函数221y ax ax =+-对于[1,3]x ∈上的图象都在x 轴下方，则a 的取值范围是．江苏省如东高级中学数学午修练习十1．已知集合22{|190}A x x ax a =-+-=，22{|log (58)1}B x x x =-+=，2{|2C x x x =+80}-=，如果A B φ⋂≠且A C φ⋂=，则实数a 的值为 .2.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)()f x f x +=，当01x ≤≤，()f x x =，则当5x ≤6≤时，()f x 的表达式为． 3. 函数y ＝2log 22-x x 的最小值是 ,此时x 的值为 ; 4．把函数11y x =+的图象沿x 轴向右平移2个单位，再将所得图象关于y 轴对称后所得图象的解析式为 ;5．.对,a b R ∈,记,max{,},a a ba b b a b ≥⎧=⎨⎩＜，函数()max{|1|,|2|}f x x x =+-的最小值是 .6.已知||1a b -=，(3,4)b =，当||a 取最大值时，a =.江苏省如东高级中学数学午修练习答案一、1、{}5,4;)N M (C I ⋃；2、]2,1()1,2[⋃--；3、右,3；下,1; 4、1-;5、；6; 二、1、{|,0}x x R x ∈≠；2、(1,2)(2,3)⋃；3、)1lg(31)1lg(32x x -++;4、(1,)+∞;5、1(2；6、),3[)1,1[+∞⋃-; 三、1、{2,0,2}-；2、),41(+∞；3、5(,)2-+∞；4、R Q P <<；5、1-;6、21－3;四、1、4；2、1(,1)3-；3、4x x --；4、4,0;5、(,0)(2,)-∞⋃+∞;6、9；五、1、{2,3} 或{1,6}或φ；5m =或7m =或(m ∈-；2、右,1；3、5=x ;4、2πθ=;5、1{|3}2x x -<<；6、六、1、[1,1]-；2、415；3、0 ；4、32-;5、(3,3)-;6、(,1)-∞和[3,5);七、1、{ (－2, －2) }；2、② ；3、(,1)(3,)-∞⋃+∞；4、1n m <<；5、3；6、(4,2)(0,2)--⋃；八、1、(],4-∞;2、①②⑤；3、5x =；4、[6,2]-；5、)1,21(；6、2-；九、1、11a -≤≤2、15-；3、4-;4、2π或24arccos 25π-； 5、6,6-；6、(－∞,151)；十、1、2-；2、6x -；3、3,4;4、11y x =-+;5、32 ；6、1824(,)55；。

2023届江苏省南通市如东县中高三上学期12月阶段测试数学试题(Word版含答案)

如东县中2022-2023学年高三上学期12月阶段测试数学试题答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{M xy ==∣，{}222x N x -=>∣，则M N =（）A ．{}01xx ∣ B ．{01}x x <∣ C ．{14}xx <<∣ D ．{1}xx <∣ 【答案】B 2．已知20221i i 1iz +=--，则在复平面内，其共轭复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】利用复数的运算化简复数z ，可得其共轭复数z ，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】因为41i =，则2022450522i i i 1⨯+===-，则()()()21i 2i 111i 1i 1i 2z +=+=+=+-+，所以，1i z =-，因此，复数z 所对应的点位于第四象限. 故选：D.3．山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】由题意, 设明间的宽度为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列, 公比为,同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为,则由可得8:7a 478a ⎛⎫⎪⎝⎭5715148a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭471418a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦4715148a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭a 7878718718n na S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-5457187=877818a S a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭-所以总宽度为故选:4．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】数形结合，由第4个正零点小于等于1，第4个正最值点大于1可解. 【详解】，因为，所以，又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，由图像得：，解得：，所以实数的取值范围是.5．已知函数)()ln 1f x x =+，正实数a ,b 满足(2)(4)2f a f b +-=，则242b aa ab b ++的最小值为（） A ．1 B ．2C ．4D ．658【答案】B【详解】()()))ln1ln12f x f x x x +-=+++=，故函数()f x 关于()0,1对称，又()f x 在R 上严格递增；(2)(4)2,240f a f b a b +-=∴+-=即2 4.a b += ()2444 2.224b a b a b a a ab b a b a b a b +=+=+≥=++ 当且仅当164,99a b ==时取得. 6．，则（）A ．B ．2C ．4D ．12445772287151488S a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ()sin ππ(0)f x x x ωωω=>[]0,1ω1023,36⎛⎤⎥⎝⎦1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭1713,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭1723,66⎛⎤ ⎥⎝⎦()πsin ππ2sin π3f x x x x ωωω==-⎛⎫ ⎪⎝⎭[]0,1x ∈ππππ,π333x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()()sin ππ0f x x x ωωω=>[]0,13π7π3ππ32ω≤-<102336ω≤<ω1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()()()4255012512111x x a a x a x a x -+=+++++++2a =2-【答案】C7．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点M ，N ，若21 4OM ON b ⋅≥，则双曲线离心率的取值范围是A ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ D ．⎛ ⎝⎦【答案】B【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程：0bx ay ±=，即b y x a =±，设点()00,P x y ，可得()00by y x x a-=±-，分别联立两组直线方程可得0000,22bx ay bx ay M b a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，0000,22bx ay bx ay N ba --⎛⎫- ⎪⎝⎭， 2222222200002244b x a y b x a y OM ON b a --⋅=-，∵2200221x y a b-=，∴22222200b x a y a b -=， ∴224a b OM ON -⋅=，由题意22244a b b -≥，所以222a b ≥，即22102b a <≤，所以223112b a <+≤，即2312e <≤∴e ⎛∈ ⎝⎦. 8．已知()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()12f x -为奇函数，()21f x -为偶函数．设()01f '=，则()812k f k ='=∑（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】因为()12f x -为奇函数，所以()()1212f x f x +=--，即()()11f x f x +=--，两边同时求导，则有()()11f x f x +='-'，所以()f x '的图象关于直线1x =对称．因为()21f x -为偶函数，所以()()2121f x f x --=-，即()()11f x f x --=-+，两边同时求导，则有()()11f x f x ''---=-+，所以函数()f x '的图象关于点()1,0-对称．所以，()()()24f x f x f x '''=-=--，()()()84f x f x f x '''+=-+=，所以，函数()f x '为周期函数，且周期为8，则有()()()()()02810161f f f f f '''''=====，()()()()4612141f f f f ''''====-，所以()()()()()()812241214160k f k f f f f f =''''''=+++++=∑．故选：B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（）A ．0.040a =B ．200名党员员工测试分数的众数约为87.5C ．得分在[]95,100的人数为4人D ．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85 【答案】ABD【详解】()0.0250.0350.050.030.0251a +++++⨯=，得0.040a =，A 正确； 200名党员员工测试分数的众数约为87.5，B 正确；得分在[]95,100的人数为0.02520020⨯⨯=，C 错误；∵(0.025+0.035+0.040)×5=0.1×5=0.5，所以估计200名党员员工测试分数的中位数为85，D 正确． 10．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（）A ．若AB >，则B ．若为钝角三角形，则C ．若，则有两解D ．若三角形为斜三角形，则【答案】ACD【解析】对于A 选项，若，则，由正弦定理可得，所以，，故A 选项正确；ABC A B C ､､a b c ､､sin sin A B >ABC 222a b c +>30,4,3A b a ===ABC ABC tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=A B >a b >2sin 2sin R A R B >sin sin A B >对于B 选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，B 选项错误；对于C 选项，，则，如图：所以有两解，C 选项正确；对于D ，因为，所以因为，所以，所以，所以D 正确.11．甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（） A ．不同的安排方法共有240种B ．甲志愿者被安排到学校的概率是C ．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种D ．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是【答案】ABD【解析】甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到A ，B ，C ，D 四所山区学校参加支教活动，则共有种安排方法，故A 正确；甲志愿者被安排到A 学校，若甲学校只有一个人，则有种安排方法，若甲学校只有2个人，则有种安排方法，所以甲志愿者被安排到A 学校有种安排方法，所以甲志愿者被安排到A 学校的概率是，故B 正确；若A 学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C 错误；甲志愿者被安排到A 学校有种安排方法，在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的安排方法有24种，ABC C 222cos 02a b c C ab+-=<222a b c +<sin 4sin302b A ==sin b A a b <<ABC tan tan tan()1tan tan B CB C B C++=-tan tan tan()(1tan tan )B C B C B C +=+-()()tan tan πtan B C A A +=-=-tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan tan B C B C B C A B C A +=+-=-tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=A B C D A 14A A A 252454C A 240⋅=2343C A 36⋅=44A 24=362460+=6012404=2353C A 60⋅=60所以在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的概率是，故D 正确. 12．已知抛物线22x y =，点1(,1),,12M t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则下列结论正确的有（） A ．点P 的坐标为(0,1)B ．OA OB ⊥C ．MAB △的面积的最大值为D ．||||PA PB的取值范围是[2,2+ 【答案】AC【解析】由题意，设221212(,),(,)22x x A x B x ，由212y x =，可得y x '=，所以A 点处的切线的斜率为11k x =，B 点处的切线的斜率为22k x =，设过点(,1)M t -的切线方程为1()y k x t +=-，联立方程组21()2y k x t x y +=-⎧⎨=⎩，可得21102x kx kt -++=，由222(1)220k kt k tk ∆=-+=--=，可得12122,2k k t k k +==-，又由221212120022,0202OAOB x x x x kk x x --====--，则12121442OA OB x x k k k k ===-，所以,OA OB 不垂直，所以B 不正确；由22221221222ABx x x xkt x x -+===-，所以AB 的直线方程为222()2x y t x x -=-，即222()2k y t x k -=-，将(0,1)P 代入直线AB 的方程，可得2221102k tk --=，由2220k tk --=知，方程2221102k tk --=成立，所以点P 在直线AB 上，所以A 正确；由点P 在直线AB 上，可设直线AB 的方程为1y tx =+，则点M 到AB的距离为d ，且2121AB x k =-=-===所以3221(2)2MAB S AB d t =⋅=+，因为1[,1]2t ∈，可得292[,3]4t +∈，所以MAB S的最大值为C 正确；242605=由1122,PA PB ====，所以12PA kPB k =，由12122,2k k t k k +==-，可得2212121221()22k k k kt k k k k +=++=-，所以2122122k k t k k +=--，因为1[,1]2t ∈，可得2522[4,]2t --∈--，又由1220k k =-<，设120k u k =<，可得15[4,]2u u +∈--，即14152u u u u ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩，解得22u -≤≤-或122u -≤≤-即||||PA PB的取值范围是[2,2,2[123]-+-，所以D 不正确. 故选：AC.三、填空题:共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，点P 是α的终边与单位圆的交点．若OP 在x 轴上的投影向量的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2=α.【答案】79-14．已知数列满足，，，则的前项积的最大值为.【答案】215．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:3,(2,)O x y T m +=，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且2ABMT =，则实数m 的取值范围是. 【答案】[【解析】M 为AB 的中点，且2AB MT =，TAB ∴为直角三角形，90ATB ∠=︒，若TA ，TB 为切线，且90ATB ∠=︒，则45OTB ∠=︒，在Rt OBT 中，45OTB ∠=︒，90OBT ∠=︒，OB ，则OT ∴过点T 向圆引的两条切线的夹角不小于90︒时，满足题意，则圆心(0,0)O 到(2,)T m 26OT ，解得22m .故选：C.16．已知函数()()31,3ln 2e e e f x mx g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，若()f x 与()g x 的图像上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线e y =对称，则实数m 的取值范围是.{}n a 121n n n a a a ++⋅⋅=12a =212a =-{}n a n【答案】3,3e e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为()f x 与()g x 的图像上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线e y =对称，令(,),(,3ln 2e)M x mx N x x +，则3ln 2e e 2mx x ++=，即2e 3ln 2e mx x -=+在31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即3ln mx x -=在31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解即3ln x m x -=在31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设()3ln x h x x =，31,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()231ln x h x x -'=，当1e e x <<时，()0h x '>，故()h x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,为增函数，当3e e x <<时，()0h x '<，故()h x 在()3e,e 为减函数，而()()33319e ,3e,e e e e h h h ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，故()h x 在31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33e,e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故33e,e m ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即3,3e e m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：D.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤17．在①cos cos 2B b C a c -=+，②sin sin sin A b c B C a c+=-+，③2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若2a =，4c =，AB 边上的中垂线交AC 于D 点，求BD 的长. 解：选①，由cos cos 2B b C a c -=+，可得cos sin cos 2sin sin B BC A C-=+，即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C +=-，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B B C C B B C A =--=-+=-，又(),0,A B π∈，所以sin 0A >，所以1cos 2B =-，所以23B π=，选②，由sin sin sin A b c B C a c +=-+，可得a b cb c a c+=-+，即222a ac b c +=-，所以222222cos b c a ac c a ac B =++=+-，所以1cos 2B =-，又因()0,B π∈，所以23B π=，选③，因为233cos cos sin S BA BC BA BC B B ac B =⋅=-⋅==，所以tan B =()0,B π∈，所以23B π=，则2222cos 28b a c ac B =+-=，所以b =所以222cos2b c aAbc+-===如图，设AB边上的中垂线垂足为点O，因为OD垂直平分AB，所以OA OB=，又OD OD=，所以AD BD=，在Rt AOD△中，2OA=，所以cosOAADA=BD=.18.等差数列的前项和为，且.数列的前项和为，且112nn naT++=(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求21niic=∑.【详解】（1）因为数列为等差数列，且，所以，解得.又因为112nn naT++=, 得111122nn n na nT-+=-=-，当时,.又因为111102ab+=-=所以，10,12,22nnnb nn-=⎧⎪=⎨-⎪⎩≥所以，10,12,22nnnb nn-=⎧⎪=⎨-⎪⎩≥；（2）2nc++=12345678212n na b a b a b a b a b--+-+-+-+--+=135212462(+)()n na a a ab b b b--++++++++=()13521[143]02422()22222nn n n-+---+++++{}na nnS4224,21n nS S a a==+{}n b n n T{}{},n na b{}nccos,,nnna n ncb nπ⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}na4224,21n nS S a a==+()()11114684212211a d a da n d a n d+=+⎧⎨+-=+-+⎩，11, 2.a d==21,na n n*∴=-∈N2n≥112112222n n n n n nn n nb T T------=-=-+=21,na n n*=-∈N123456781...ninic c c c c c c c c c==+++++++++∑=213521024222()2222n n n n ---++++++令13521024222222n n n T --=++++则357212110242422422222n n n n n T -+--=+++++ 所以，13521213022222422222n n n n T -+-=++++-21212222821214n n n ++--=--2131332nn +=-⨯ 所以，24131412n 4T 3332994n n nn ++⎛⎫=-=- ⎪⨯⨯⎝⎭ 综上，221412n 42994ni nc n n +=-++-⨯∑ 19．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===把ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．【解析】（1）证明：如图，设PD 的中点为F ，连接AF ．∵ADP △为等边三角形，∴AF PD ⊥．又平面PAD ⊥平面PBD ，平面PAD 平面PBD PD =， ∴AF ⊥平面PBD ．∵BD ⊂平面PBD ，∴BD AF ⊥．∵1,2,AD BC BD BA ====， ∴222AD BD AB +=，∴BD AD ⊥．又ADAF A =，∴BD ⊥平面PAD ．又∵PA ⊂平面PAD ，∴PA BD ⊥．（2）由（1）知BD ⊥平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABD ．设AD 中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABD ，平面PAD 平面ABD AD =，∴PO ⊥平面ABD ．设AB 中点为O '，连接OO '． ∵//OO BD '，∴OO AD '⊥，故以点O 为坐标原点，OA ，OO '，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则113,0,0,,2,0,,2,0,222A B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴131,0,,,2,222PA PB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，3,2,2PC ⎛=-⎝⎭．设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，由10,21202m AP x mPB x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得,,x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩取 2z =，则(23,2)m =设平面PBC 的法向量为(,,)n a b c =，由120,23202n PB a b n PC a b ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得0,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩取4c =-，则(0,3,4)n =--，11cos ,19||||19m n m n m n ⋅-〈〉===-∴二面角A PB C --的余弦值为1119-20．有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中(3个白球和2个黑球)轮流摸出1球(摸后不放回)，摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.（1）分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .【解析】（1）设“3轮获胜”为事件A ，“5轮获胜”为事件B3轮：白黑黑：311152310⨯⨯=，黑白黑：231154310⨯⨯=，所以，()11110105P A =+= 5轮：最后一球为黑球：343525C C =，所以，()15P B =（2）由（1）得先摸球者获胜的概率为1123101055++=. X 的所有可能取值为：0､1､2､3， 328(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33223322348(1)555555555125P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，32333323257(2)555555555125P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，32212(3)555125P X ==⨯⨯=，分布列为：8485712198()0123125125125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.21．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+＝0a b >>（）的左、右焦点，椭圆上任意一点P 到焦点距离的最小值与最大值之比为13，过1F 且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆C 相交的交点A 、B 与右焦点2F 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意，椭圆上任意一点P 到焦点距离的最小值与最大值之比为13，可得()()1:3a c a c -+=，即2a c =，又由过1F 且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3，可得22222()3b a c a a -==，联立方程组，可得：2a =，1c =，所以2223b a c =-=，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）设2ABF 的内切圆半径为r ，可得()2221||2ABF SAF AB BF r =++⋅，又因为22||8AF AB BF ++=，所以24ABF Sr =，要使2ABF 的内切圆面积最大，只需2ABF S的值最大，由题意直线l 斜率不为0，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x my =-，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()2234690m y my +--=，易得0∆>，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以2121212311ABF S F F y y m =⋅-===++△，设1t ，则2212121313ABF t S t t t∆==++，设13(1)y t t t=+≥，可得2130y t '=->，所以当1t =，即0m =时，2ABF S的最大值为3，此时34r =，所以2ABF 的内切圆面积最大为916π.22．已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，设，，函数有两个极值点1x 、． ①求的取值范围；②若，求的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为，. ①当时，，由可得或，由可得，此时函数的增区间为、，减区间为；②当时，且不恒为零，此时函数的增区间为； ③当时，，由可得或，由可得，此时函数的增区间为、，减区间为.综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为；当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为、，减区间为.（2）①当时，，其中，因为函数有两个极值点，则有两个变号的零点，所以，直线与函数的图象有两个交点（非切点），，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则的极小值为，如下图所示：()()211ln 2f x ax a x x =-++0a >()f x 1a =()()()()31lng x f x m x x x =+--+()m ∈R ()g x ()212x x x <m 123x x ≥12x x +()()211ln 2f x ax a x x =-++()0,∞+()()()()1111ax x f x ax a x x--'=-++=01a <<11a>0f x01x <<1x a >()0f x '<11x a <<()f x ()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a =()()210x f x x-'=≥()f x '()f x ()0,∞+1a >101a <<0f x10x a<<1x >()0f x '<11x a <<()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭01a <<()f x ()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a =()f x ()0,∞+1a >()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a =()()211ln 2g x x m x x x =+--0x >()g x ()ln g x x x m '=--y m =()ln h x x x =-()111x h x x x-'=-=01x <<()0h x '<()h x 1x >()0h x '>()h x ()h x ()11h =由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点（非切点），因此，；②由于的两个变号零点分别为、，得，所以，令，把代入中可得，所以，令，，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则，则，所以，函数，设，则，其中，构造函数，其中，则， ①当时，即当时，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，则，合乎题意； ②当时，则对任意的，，所以，函数在上为增函数，则，合乎题意；③当时，则，设方程的两根为、，1m >y m =()ln h x x x =-1m >()ln g x x x m '=--1x 2x 1122ln ln m x x m x x =-⎧⎨=-⎩2211ln x x x x -=(]211,3x t x =∈21x t x =2211ln x x x x -=12ln 1ln 1t x t t tx t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩()121ln 1t t x x t ++=-()()1ln 1t t p t t +=-(]1,3t ∈()()212ln 1t t t p t t --'=-()12ln t t t t ϕ=--13t <≤()()22212110t t t t tϕ-'=-+=>()t ϕ(]1,3()()10t ϕϕ>=()0p t '>()()32ln3p t p ≤=()1ln 1t t a t +>-()1ln 1a t t t ->+1t >()()1ln 1a t k t t t -=-+1t >()()()()2222211211t a t a k t t t t t +-+'=-=++()22240a ∆=--≤02a ≤≤()0k t '≥()k t '()k t ()1,+∞()()10k t k >=0a <1t >()0k t '>()k t ()1,+∞()()10k t k >=2a >()22240a ∆=-->()22210t a t +-+=1t 2t且，则，所以，必有，当时，，此时函数单调递减，则，不合乎要求. 综上，，所以，，故.12t t <12122201t t a t t +=->⎧⎨=⎩1201t t <<<21t t <<()0k t '<()k t ()()210k t k <=2a ≤()1ln 21t t t +>-1222ln 3xx <+≤。

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