多元函数微分学复习题

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多元函数微分学练习题及答案

9、二元函数 z 3( x y) x 3 y 3的极值点是( ). 10、函数u sin x sin y sin z满足
x y z ( x 0, y 0, z 0)的条件极值是
2 ( ).
二、讨论函数 z
x x3
y y3
的连续性，并指出间断点类型.
三、在球面 x2 y2 z2 5R2 (x 0, y 0, z 0)上，求函数
xyz3 3 3R5,故 x2 y2 z6 27R10
令 x2 a, y2 b, z2 c, 又知 x2 y2 z2 5R2
则
abc3
27
a
b
c
5
a
0, b
0, c
0
5
四、1、
z x (ln y) x ln y1 ,
zy
ln x y
x ln y
2、ux
f1
yf
.
2
( yz xyzx ) f3 ,
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,

2024年考研高等数学一多元函数微分学历年真题

2024年考研高等数学一多元函数微分学历年

真题

在2024年考研高等数学一的多元函数微分学部分，历年真题一直是备考的重要资料。通过复习历年真题，不仅可以熟悉考试题型，还能够理解题目的解题思路和考点要点。本文将为大家呈现2024年考研高等数学一多元函数微分学的历年真题，供大家参考复习备考。

第一节：选择题

1. 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微分，且对任意 $t$ ，有$f(tx_0,ty_0)=tf(x_0,y_0)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial

x}|_{(x_0,y_0)}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}$ 的关系是（）。

A. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}+2\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$

B. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}-2\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$

C. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}+3\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$

D. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}-3\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$

多元函数微分学复习题及标准答案

多元函数微分学复习题及答案

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第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1. 极限lim x y x y x y

→→+00

242= （提示：令22

y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于

12 (D) 存在且不等于0或1

2、设函数f x y x y y x

xy xy (,)sin sin

=+≠=⎧

⎨⎪⎩⎪1100

，则极限lim (,)x y f x y →→0

= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2

3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪

⎩

⎪22

2222000

，则(,)f x y （ A ）

（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，

2222

lim

0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，

(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件

多元函数微分学章节复习

本章教学要求：

1．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。

2．熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。

3．熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数的偏导数。

4．能熟练地求全微分。

5．了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题。

例题讲解：

一、填空题

1．函数的定义域是___________________________。

2．如果f(x＋y，x－y)＝xy，则f(x，y)＝______________。

3．设z＝ln(xy)，则dz＝________________。

4．二元函数的定义域是________________________。

5．设，则dz＝________________。

6．设z＝(1＋xy)x，则＝_____________。

7．设f(x，y)＝ln(x＋e xy)，则＝________________。

8．函数的定义域是________________________。

9．函数的定义域是________________________。

10．设z＝f(u，v)，u＝xy，，则＝________________。

11．设e z－xyz＝0，则＝________________。

分析与解答：

1．函数的定义域是___________________________。

1．要使函数有意义，必须：，

即

因此，该函数的定义域是D＝{(x，y)；x2＋y2≠1，|y|≤|x|，x≠0}

2．如果f(x＋y，x－y)＝xy，则f(x，y)＝______________。

多元函数的微分学典型例题

例 1 设 2 2 y xy x z + - = ．求它在点 ) 1 , 1 ( 处沿方向v = ) sin , cos ( a a 的方向导数，并指出：

（1）沿哪个方向的方向导数最大？（2）沿哪个方向的方向导数最小？（3）沿哪个方向的方向导数为零？

解 1 ) 1 , 1 ( = x z ， 1 ) 1 , 1 ( = y z ． ) 1 , 1 (v z

¶ ¶ a a sin cos + = ．因此

（1）函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4

a = 取最大值，即沿方向 ) 1 , 1 ( 的方向导

数最大．

（2）函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 p

a - = 取最小值，即沿方向 ) 1 , 1 ( - - 的方

向导数最小．

（3） 4

a - = 是函数 a a a j sin cos ) ( + = 的零点，即沿方向 ) 1 , 1 (- 的方向

导数为零．

例 2 如果函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处可微，且从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 方向的方向导数为2，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 方向的方向导数为 2 - ．求（1）该函数在点 ) 2 , 1 ( 处的梯度；

（2）该函数在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向导数．解（1）设 x f 和 y f 分别表示函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处关于x 和 y 的偏导数，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 的方向为 1 l ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 的方向为 2 l ，则 1 l 和 2 l 的方向余弦分别为 ) 0 , 1 ( 和 ) 1 , 0 ( - ，于是就有

多元函数微分学复习题

一、偏导数与全微分

在多元函数微分学中，偏导数和全微分是非常重要的概念。偏导数表示函数在某一变量上的变化率，而全微分则表示函数在所有变量上的变化率。

1. 对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求关于 x 的偏导数∂f/∂x 和关于 y 的偏导数∂f/∂y。

2. 对于函数 z = e^(x+y)，求关于 x 的全微分 dz。

3. 对于函数 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，求关于 x, y, z 的全微分 df。

二、链式法则与隐函数定理

链式法则和隐函数定理是多元函数微分学中的重要工具，它们用于求解复杂的多元函数导数和隐函数的导数。

1. 对于函数 z = f(x, y) = x^2 + y^2，其中x = rcosθ，y = rsinθ，求 dz/dr 和dz/dθ。

2. 对于方程 x^2 + y^2 + z^2 = 1，求 dz/dx 和 dz/dy。

三、方向导数与梯度

方向导数和梯度是用来描述函数在某一方向上的变化率的工具，它们在多元函数微分学中也是非常重要的概念。

1. 对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求点 (1, 2) 处沿着向量 v = (3, 4) 的方向导数。

2. 对于函数 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，求点 (1, 1, 1) 处的梯度。

四、极值与最值

极值和最值是多元函数微分学中的核心概念，它们用于求解函数的最大值和最

小值。

1. 对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求函数的极值点和极值值。

多元函数微分学复习题

一、偏导数与全微分

在多元函数微分学中，偏导数与全微分是非常重要的概念。偏导数用来描述一个函数在某一点上沿着某个坐标轴方向的变化率，而全微分则是描述函数在某一点上的变化率。下面我们通过一些具体的例子来复习一下这两个概念。

例1：计算函数 f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 在点 (1,2) 处的偏导数。

解：对于 f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 ，我们分别对 x 和 y 求偏导数。对于 x 的偏导数，我们将 y 视为常数，即有：

∂f/∂x = 2x + 3y

对于 y 的偏导数，我们将 x 视为常数，即有：

∂f/∂y = 3x + 2y

所以，在点 (1,2) 处的偏导数分别为：

∂f/∂x = 2(1) + 3(2) = 8

∂f/∂y = 3(1) + 2(2) = 7

例2：计算函数 f(x,y) = e^x + ln(y) 在点 (1,2) 处的全微分。

解：对于 f(x,y) = e^x + ln(y) ，我们需要先计算其偏导数。对于 x 的偏导数，我们有：

∂f/∂x = e^x

对于 y 的偏导数，我们有：

∂f/∂y = 1/y

所以，在点 (1,2) 处的全微分为：

df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy

= e^x dx + (1/y) dy

= e^1 dx + (1/2) dy

= e dx + (1/2) dy

二、梯度与方向导数

梯度和方向导数是多元函数微分学中与偏导数和全微分密切相关的概念。梯度描述了一个函数在某一点上的变化率最大的方向，而方向导数则描述了函数在某一点上沿着某个给定方向的变化率。

多元函数微分学单元测试题及答案解析

多元函数微分学单元测试题A

一、选择题

1. 极限2420

0lim

y x y x y

y x x +→→= （）

A.等于0；

B.不存在；

C.等于 12；

D.存在且不等于0或1

. 2.设),(b a f y '存在，则y

y b a f y b a f y )

,(),(lim 0

--+→= （）

A.),(b a f y '；

B. 0； C . 2),(b a f y '； D.

),(b a f y '. 3. 若函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处不连续，则 ( ) A.

) ,(lim 0

0y x f y y x x →→必不存在； B.) ,(00y x f 必不存在；

C. ) ,(y x f 在点) ,(00y x 必不可微；

D.) ,(), ,(0000y x f y x f y x 必不存在.

4.函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( ) A. 充分而不必要条件; B. 必要而不充分条件; C. 必要而且充分条件; D. 既不必要也不充分条件.

5.函数xy x

z +=arcsin

的定义域是（） A.

{}0,|),(≠≤x y x y x ； B.{}0,|),(≠≥x y x y x ；

{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤⋃x y x y x ；

{}{}0,0|),(0,0|),(<<⋃>>y x y x y x y x .

6、函数22(,)ln()f x y x y =-的定义域是（）

微积分第七章-多元函数微分学习题

Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点的变化率。
讨论方向导数与梯度的关系
总结词
方向导数是多元函数在某点处沿某一方向的变化率，而梯度表示函数在该点处沿梯度方向变化最快。
详细描述
方向导数的最大值即为梯度的大小，而梯度的方向就是方向导数的最大值所在的方向。因此，在多元函数的极值问题中，梯度为零的点是重要的候选点。
总结词
方向导数与梯度的关系可以通过偏导数和向量运算进行推导和证明。
计算多元函数的方向导数
总结词
方向导数是多元函数在某点处沿某一方向的变化率，可以通过对函数在该点的各个方向上的偏导数进行线性组合得到。
详细描述
方向导数的计算公式为：[frac{Delta z}{Delta x} = lim_{{Delta x to 0}} frac{f(x_0 + Delta x) - f(x_0)}{Delta x}]其中，$Delta x$ 是沿某一方向上的增量，$Delta z$ 是函

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1. 极限lim x y x y

x y

→→+00

242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于

12 (D) 存在且不等于0或1

2 2、设函数f x y x y y x

xy xy (,)sin sin

=+≠=⎧

⎨⎪⎩⎪1100

，则极限lim (,)x y f x y →→0

= （ C ）

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2

3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪

⎩

⎪22

2222000

，则(,)f x y （ A ）

（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =

，

0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，

(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件

(B)充分而非必要条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）

(A)

x y 22

(B) -

+y x y 22 (C) y

x y 22

多元函数微分学复习题

多元函数微分学补充题

1.已知函数(,)z z x y =满足222

z z x y z x y ∂∂+=∂∂，设1111u x v y x z x ϕ⎧

⎪=⎪

⎪=-⎨⎪⎪=-⎪

⎩

，对函数(,)u v ϕϕ=，

求证

ϕ∂=∂。

2.设(,,)u f x y z =，f 是可微函数，若

y x z f f f x

'''=

，证明u 仅为r 的函数，

其中r =

3.设)(2

2y x u u +=具有二阶连续偏导数，且满足2

1y x u x

u x y

u x

u +=+∂∂-

∂∂+

∂∂，

试求函数u 的表达式。

4.设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且0)1(=f ，(1)1f '=

，又

u f =满足

=∂∂+

∂∂+

∂∂z

u y

u x

u ，试求)(r f 的表达式。

5.函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,满足

02=∂∂∂y

x f ，且在极坐标系下可表成

(,)()f x y h r =

，其中r =),(y x f 。

6.若1)1(,0)0(),(='==f f xyz f u 且

)(2

223

xyz f z y x z

y x u '''=∂∂∂∂，求u .

7.设函数)(ln 2

2y x f u +=满足

)(y x y

u x

u +=∂∂+

∂∂，试求函数f 的表达式.

8.设二元函数(,)||(,)f x y x y x y ϕ=-，其中(,)x y ϕ在点(0,0)的一个邻域内连续。

试证明函数(,)f x y 在(0,0)点处可微的充要条件是(0,0)0ϕ=。 9.已知点)2,1,Q(3),1,0,1(与-P ,在平面122=+-z y x 上求一点M ,使得

(完整版)多元函数微分学复习习题及答案

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第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1.极限lim x y x y x y →→+00

242

= （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于

12； (D)存在且不等于0或12

2223 0x y →→45、设u x =arctan ，则∂x

= （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22

6、设f x y y x (,)arcsin

=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14；（B ）14；（C ）-12；（D ）12

7、若)ln(y x z -=，则=∂∂+∂∂y

z y x z x

（ C ）（A ）y x +；（B ）y x -；（C ）21；（D ）2

1-． 8、设y

x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u --；（B ）22v u u v --；（C ）22v u v u +-；（D ）22v u u v +-． 9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ）

(A)

10、设z 11（A （C 12(f x （A （C 1、极限2、极限3、函数z x y =+ln()的定义域为 ??????? 。答：x y +≥1

4、函数z x y

=arcsin 的定义域为 ??????? 。答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭

多元函数微分学习题

第五部分多元函数微分学第1页共27页

第五部分多元函数微分学（1）

[选择题]

简单问题1-36，中等问题37-87，困难问题88-99。

?x?3y?2z?1?01．设有直线l:?及平面?:4x?2y?z?2?0，则直线l()

2倍？Y10z？3.0（a）平行于？。（b）在路上？。（c）垂直于？。（d）然后呢？歪曲回答：C

?xy,(x,y)?(0,0)?2．二元函数f(x,y)??x2?y2在点(0,0)处()

? （x，y）？(0,0)? 0，（a）连续，偏导数存在（b）连续，偏导数不存在（c）不

连续，偏导数存在（d）不连续，偏导数不存在a:c

?x?u?v?u?()3．设函数u?u(x,y),v?v(x,y)由方程组?确定，则当时，

u?v22?xy?u?v?(a)

十、五、uy（b）（c）（d）u？似曾相识？似曾相识？似曾相识？答案：B

4．设f(x,y)是一二元函数，(x0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是()

（a）如果f（x，y）在点（x0，Y0）是连续的，那么f（x，y）在点（x0，Y0）是

可微的。

(b)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。(c)若

f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)可微。(d)若f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。答：d5．函数f(x,y,z)?(a)(,答：a

3.x2？y2？点（1，±1,2）处Z2的梯度为（）

多元微分学复习题答案.doc

―z =击5?的定义域是（{(x, y)| / < 4x,0 < X2 + / <

1}).函数

g =润+)，. 2]

A 5.函数z = -x/y2在点（2 , 1 ）处对x的偏导数为（；OX

_ 1

7 (2J))广=-1

(2,1)

)

•

成）.

（1,2）4

dz = 48c/x+i08dy

（A）］血,（*。+&'，。+匀）-/（*。'“。）

A O （B）Hm/（*。+&40+颂）一/（*。"。）Ax

（C）/（—+&，，.）-六*.，））Ax （D）hm/（毛）'月 + 颂）一，（％丸）Ax

多元微分学复习题答案

一、填空题

7 = In X——的定义域是({3y)|x>0,0 V]2 +,2 < [}) yji-x2 - y2

2.设二元函数/。,了）=旦】，则f（x-y,x+y）=（-21—）.

x y JT _）广

2 2

3.设函数/(x+j) = xj,则f(x,y)=(* 一)').

4.设函数z = e'+，，则翌=（；=2/+、（1 + 2/））.

dx志~

6.函数z = 2xy2-x/y2在点（1 , 2）处对），的偏导数为

= (4xy + 2~)

(i,2) y

7.二元函数z=x2y3在点（3, 2）处的全微分是（

8.函数z = %2+5y2 -6x + 10y+ 6 的驻点是(

三、选择题:

I.以下极限中，（c ）表示阳

2.以下结论中正确的是（C ）

（A）f（x,y）在点（％了。）处一阶偏导数存在，则f（x,y）在点（乩,光）连续;

（B）f（x,y）在点（％坊）处一阶偏导数存在，则f（X,y）在点（工0，光）可微;

多元函数微分学练习题及答案

4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
三 .设 Lx,y,z,ln xlny3ln z(x2y2z25R2)
求得此函数一定的义稳 R，域定，3R R，内点也唯是所求函数的，所最求大最值 fR,大 R点 , 3值 Rl为 n33R5.
lnxlny3lnzln3 3R5
xyz3 3 3R5,故 x2y2z6 27R10
令 x2 a, y2 b,z2 c, 又知x2 y2 z2 5R2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy

ln x y
Hale Waihona Puke Baidu

多元函数微积分复习试题

多元函数微积分复习题

一、单项选择题

1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

A. 若0

lim x x

y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0

lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处

∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处

∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22

y ∂∂.

5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).

A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;