离散数学第1-3章_习题解答-简化
02324离散数学(课后习题解答(详细)
离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
离散数学第3版习题答案
离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。
离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。
在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。
第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。
(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。
(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。
(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。
(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。
(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。
1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。
离散数学课后习题答案(第一章)
（2）根据合式公式的定义，说明下列公式是合式公式。 a） ( A → ( A ∨ B )). A 是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。这个过程可以简记为：A；(A∨B)；(A→(A∨B)) 同理可记 b） ((¬A ∧ B) ∧ A). A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A) c） ((¬A → B) → ( B → A)) A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A)) d） (( A → B ) ∨ ( B → A)). A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A)) （3）对下列公式用指定的公式进行代换。 a） ((( A → B ) → B ) → A), 用 ( A → C ) 代换 A ，用 (( B ∧ C ) → A) 代换 B
P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 ¬( P ↔ Q)
b) 如果张三和李四都不去，他就去。 P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (P∧Q)→R c) 我们不能既划船又跑步。 P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 ┓(P∧Q) d) 如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏。 P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P→(Q↔R) （7）用符号形式写出下列命题。 a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S)) b) 我今天进城，除非下雨。 P: 我今天进城。Q:天下雨。┓Q→P c) 仅当你走我将留下。 P: 你走了。 Q:我留下。Q→P 1-4 (7)证明下列等价式。 a) A → ( B → A) ⇔ ¬A → ( A → ¬B ) 证明： A→(B→A)⇔ ┐A∨(┐B∨A) ⇔ A∨(┐A∨┐B) ⇔ A∨(A→┐B) ⇔┐A→(A→┐B)
离散数学答案(尹宝林版)第一章习题解答
第一章 命题逻辑习题与解答⒈ 判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。
⑴ 2x 3 = 0。
⑵ 前进！⑶ 如果8 + 7 > 20，则三角形有四条边。
⑷ 请勿吸烟！⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗？⑹ 如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。
⑺ 如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。
解 ⑶,⑹,⑺表达命题，其中⑶,⑹表达真命题，⑺表达假命题。
⒉ 将下列命题符号化： ⑴ 逻辑不是枯燥无味的。
⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。
⑶ 他生于1963年或1964年。
⑷ 只有不怕困难，才能战胜困难。
⑸ 只要上街，我就去书店。
⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。
⑺ 如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。
⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。
⑼ 我进城的必要条件是我有时间。
⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。
⑾ 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。
解 ⑴ p ：逻辑是枯燥无味的。
“逻辑不是枯燥无味的”符号化为p 。
⑵ p ：我看见的是小张。
q ：我看见的是老李。
“我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ⌝∧⌝。
⑶ p ：他生于1963年。
q ：他生于1964年。
“他生于1963年或1964年”符号化为p q 。
⑷ p ：害怕困难。
q ：战胜困难。
“只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为q p 。
⑸ p ：我上街。
q ：我去书店。
“只要上街，我就去书店”符号化为p q 。
⑹ p ：小杨晚上做完了作业。
q ：小杨晚上没有其它事情。
r ：小杨晚上看电视。
s ：小杨晚上听音乐。
“如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。
⑺ p ：林芳在家里。
q ：林芳做作业。
r ：林芳看电视。
“如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。
⑻ p ：三角形三条边相等。
q ：三角形三个角相等。
（完整版）洪帆《离散数学基础》（第三版）课后习题答案
（完整版）洪帆《离散数学基础》（第三版）课后习题答案第1章集合1、列举下列集合的元素 (1) ⼩于20的素数的集合 (2) ⼩于5的⾮负整数的集合 (3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、⽤描述法表⽰下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i I i ∈≤≤ (2) {2,4,8,}L 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}L答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下⾯哪些式⼦是错误的？ (1) {}{{}}a a ∈答：正确 (2) {}{{}}a a ? 答：错误 (3) {}{{},}a a a ∈答：正确 (4) {}{{},}a a a ? 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下⾯哪些论断是正确的？哪些是错误的？ (1) {}a S ∈错误(2) {}a R ∈正确 (3) {,4,{3}}a S ? 正确 (4) {{},1,3,4}a R ? 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ? 正确 (7) {}a R ?错误 (8) R φ?正确 (9) {{}}a R φ?? 正确 (10) {}S φ?错误 (11) R φ∈错误 (12) {{3},4}φ?正确5、列举出集合,,A B C 的例⼦，使其满⾜A B ∈，B C ∈且A C ?答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ?。
6、给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ=8、设128{,,,}A a a a =L 由17B 和31B 所表⽰的A 的⼦集各是什么？应如何表⽰⼦集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '? (2) ()A B C '?? (3) ()A B C ?? (4)()()A B A C (5) ()A B '? (6) A B ''? (7) ()B C '? (8)B C ''? (9) 22A C - (10)22A C ? 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '?=(2) {1}A B ?=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '??= (3) {2}B C ?=，(){1,2,4}A B C ??=(4) {1,2,4,5}A B ?=，{1,2,4}A C ?=，()(){1,2,4}A B A C = (5) (){2,3,4,5}A B '?= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''?= (7){1,2,4,5}B C ?=，(){3}B C '?= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''?=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ?=10、给定⾃然数集N 的下列⼦集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}A B C D = (2) (())A B C D φ=(3) ()B A C -?解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ?=，(){4,5}B A C -?= (4) ()A B D '??解：{3,4,5,6}A B B A '?=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '??=11、给定⾃然数集N 的下列⼦集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表⽰为由,,,,A B C D E 产⽣的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或 (5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =L ，{3,6,9,12,}D =L ，{1,3,5,7,}E =L {2,4,6,8}B C =? {3,6,9}=A D ? {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}??L{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==??L(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-?--?-L (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==L 是的倍数C D ?12、判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。
《离散数学》部分习题答案
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p) ⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p)) ⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1) (2) 主合取范式为： ⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1 ⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)xF∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学习题一,二参考答案
《离散数学》习题一参考答案第一节 集合的基数1.证明两个可数集的并是可数集。
证明：设A ，B 是两可数集，},,,,,{321 n a a a a A =，},,,,,{321 n b b b b B = ⎪⎩⎪⎨⎧-→j b i a N B A f j i 212: ，f 是一一对应关系，所以|A ∪B|=|N|=0ℵ。
2．证明有限可数集的并是可数集证：设k A A A A 321,,是有限个可数集，k i a a a a A in i i i i ,,3,2,1),,,,,(321 ==⎪⎩⎪⎨⎧+-→==i k j a N A A f ij k i i )1(:1，f 是一一对应关系，所以|A|=| k i i A 1=|=|N|=0ℵ。
3.证明可数个可数集的并是可数集。
证：设 k A A A A 321,,是无限个可数集， ,3,2,1),,,,,(321==i a a a a A in i i i i⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+→=∞=i j i j i a N A A f ij i i )2)(1(21:1 ， 所以f 是一一对应关系，所以|A|=| ∞=1i i A |=|N|=0ℵ。
4.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。
证明：设整系数n 次多项式的全体记为}|{1110Z a a x a x a x a A i n n n n n ∈++++=--则整系数多项式所构成的集合 ∞==1N n A A ；由于k x 的系数k a 是整数，那么所有k x 的系数的全体所构成的集合是可数集，由习题2“有限个可数集的并是可数集”可得n A 是可数集，再又习题4“可数个可数集的并是可数集”得出整系数多项式所构成的集合 ∞==1N n A A 也是可数集。
5.证明不存在与自己的真子集等势的有限集合.证明：设集合A 是有限集，则|A|=n ，若B 是A 的真子集，则|B|≤|A|=n ，A-B ≠φ，即|A-B|=|A|-|AB|＞0；又A=（A-B ）∪B ，（A-B ）B=φ，所以，，就是|A|＞|B|，即得结论。
离散数学第1章答案
解： （1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。原命题可符号化：P∧Q。 （2）P：我看书，Q：我听音乐。原命题可符号化：P∧Q。 （3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。原命题可符号化：P∧Q。 （4）P：努力学习，Q：成绩会好。原命题可符号化：P→Q。 （5）P：休息好，Q：工作好。原命题可符号化：Q→P。 （6）P：a 是偶数，Q：b 是偶数，R：a+b 是偶数。原命题可符号化：（P∧Q）→R。 （7）P：我们游泳，Q：我们跑步。原命题可符号化：┐（P∧Q）。 （8）P：我反悔，Q：太阳从西边出来。原命题可符号化：P→Q。 （9）P：f(x)在点x0处可导， Q：f(x)在点x0处可微。原命题可符号化：P→ ←Q。 （10）P：张老师讲这门课，Q：李老师讲这门课，R：王老师讲这门课。原命题可符号化： （┐P∧┐Q）→R。 （11）P：四边形 ABCD 是平行四边形，Q：四边形 ABCD 的对边平行。原命题可符号化： P→ ←Q。 （12）P：你给我写信，Q：信在途中丢失了。原命题可符号化：┐P← ∣ →（P∧Q）。 4. 判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。 （1）(Q→R∧S) （2）(P→←(R→S)) （3）((┐P→Q) →(Q→P))) （4）(RS→F) （5）((P→(Q→R))→((P→Q) →(P→R))) 解： （1）、（2）、（5）是合式公式，（3）、（4）不是合式公式。 5. 否定下列命题： （1） 桂林处处山清水秀。 （2） 每一个自然数都是偶数。 解： （1）桂林并非处处山清水秀。 （2）并不是每一个自然数都是偶数。或：有些自然数不是偶数。 6. 给出下述每一个命题的逆命题、否命题和逆否命题。 （1） 如果天下雨，我将不去。 （2） 仅当你去我才不去。 （3） 如果Δ=b2−4ac<0，则方程ax2+bx+c=0无实数解。 （4） 如果我不获得奖学金，我就不能完成学业。 解： （1）逆命题：如果我不去，那么天下雨。
离散数学答案版(全)
第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。
教学目的：1. 熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2. 熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3. 熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4. 熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5. 熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1 .命题的概念及判断2 .联结词，命题的翻译3. 主析（合）取范式的求法4. 逻辑推理教学难点：1. 主析（合）取范式的求法2. 逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母 A , B,…，Z或带下标的大写字母或数字表示,如A i, [10], R等，例如A1：我是一名大学生。
A1：我是一名大学生.[10]:我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1否定联结词「P1.2.2合取联结词A1.2.3 析取联结词V1.2.4 条件联结词—125126 与非联结词T性质：(1)P T P=「( PAP)二「P；(2)(P T Q)T( P T Q) -「( P T Q) - PAQ；(3)( P T P)T( Q TQ) -「P T「Q= P V Q。
127 或非联结词J性质:(1) P J P=「( P V Q) =「P;(2)( P J Q )；( P J Q) =「( P J Q) = P V Q;(3)( P J P)J( Q J Q) =「P Q=P V-Q) = PAQ1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2 ）如果P是公式，则「P是公式；（3）如果P、Q是公式,则PAQ、PVQ、P > Q、P Q都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用（1）、（2）、（3）所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
(完整版)哈工大《离散数学》教科书习题答案
教材习题解答第一章 集合及其运算8P 习题3. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
解：2210x x ++=的根为1x =-，故所求集合为{1}- 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈；b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆； m)对每个集A ，{}A A =；n){}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈；r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈；t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证： 12n A A A ===证明：由1241n A A A A A ⊆⊆⊆⊆⊆，可得12A A ⊆且21A A ⊆，故12A A =。
同理可得：134n A A A A ====因此123n A A A A ====6.设{,{}}S φφ=，试求2S ？解：2{,{},{{}},{,{}}}S φφφφφ=7.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
证明：（1）当n ＝0时，0,2{},212S S S φφ====，命题成立。
（2）假设当(0,)n k k k N =≥∈时命题成立，即22S k =（S k =时）。
那么对于1S ∀（11S k =+），12S 中的元素可分为两类，一类为不包含1S 中某一元素x 的集合，另一类为包含x 的集合。
(完整版)《离散数学》同步练习答案
华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1）设：p：派小王去开会。
q：派小李去开会。
则命题：“派小王或小李中的一人去开会”可符号化为：(p∨⌝q) ∧ (⌝p∨q) 。
（2）设A，B都是命题公式，A⇒B，则A→B的真值是T。
（3）设：p：刘平聪明。
q：刘平用功。
在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p∧q。
（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A → B⇔⌝A∨B。
（5）设，p：径一事；q：长一智。
在命题逻辑中，命题：“不径一事，不长一智。
”可符号化为：⌝ p→⌝q 。
（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德•摩根律为⌝（A ∧ B）⇔⌝A ∨⌝B）。
（7）设，p：选小王当班长；q：选小李当班长。
则命题：“选小王或小李中的一人当班长。
”可符号化为：(p∨⌝q) ∧ (⌝p∨q) 。
（8）设，P：他聪明；Q：他用功。
在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。
”可符号化为：P∧Q 。
（9）对于命题公式A，B，当且仅当 A → B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A⇒B。
（10）设：P：我们划船。
Q：我们跑步。
在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。
”可符号化为：⌝ (P∧Q) 。
（11）设P , Q是命题公式，德·摩根律为：⌝（P∨Q）⇔⌝P∧⌝Q）。
（12）设P：你努力。
Q：你失败。
在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。
”可符号化为：⌝P→Q。
（13）设p：小王是100米赛跑冠军。
q：小王是400米赛跑冠军。
在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军。
”可符号化为：p∨q。
（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A→C为一重言式时，称C可由A逻辑地推出。
二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A→B⇔⌝A∧B。
（⨯）2.命题公式⌝p∧q∧⌝r是析取范式。
（√）3.陈述句“x + y > 5”是命题。
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
离散数学课后习题答案
第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是… … ”、“不仅……，而且… … ”、“一面……，一面… … ”、“……和… … ”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p : 2是无理数，p 为真命题。
（2）p : 5能被2 整除，p 为假命题。
（6）p →q 。
其中，p : 2是素数，q：三角形有三条边。
由于p 与q 都是真命题，因而p →q 为假命题。
（7）p →q ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p 为假命题，q 为真命题，因而p →q 为假命题。
（8）p : 2000年10 月1 日天气晴好，今日（1999 年2 月13 日）我们还不知道p 的真假，但p 的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
离散数学第1章习题解答
第一章 命题逻辑 习题与解答1. 判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。
(1) 32−x 。
(2) 前进！(3) 如果2078>+，则三角形有四条边。
(4) 请勿吸烟！(5) 你喜欢鲁迅的作品吗？(6) 如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。
(7) 如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。
解 (3), (6), (7) 表达命题，其中 (3), (6) 表达真命题，(7) 表达假命题。
2. 将下列命题符号化：(1) 逻辑不是枯燥无味的。
(2) 我看见的既不是小张也不是老李。
(3) 他生于1963年或1964年。
(4) 只有不怕困难，才能战胜困难。
(5) 只要上街，我就去书店。
(6) 如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。
(7) 如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。
(8) 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。
(9) 我进城的必要条件是我有时间。
(10) 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。
(11) 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。
解(1) 逻辑是枯燥无味的。
:p“逻辑不是枯燥无味的”符号化为p ¬。
(2) 我看见的是小张:p我看见的是老李:q“我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ¬∧¬。
(3) 年他生于 1963 :p年他生于 1964 :q“他生于1963年或1964年”符号化为q p ⊕。
(4) 害怕困难:p战胜困难:q“只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为p q ¬→。
(5) 我上街:p我去书店:q“只要上街，我就去书店”符号化为q p →。
(6) 小杨晚上做完了作业:p小杨晚上没有其它事情:q小杨晚上看电视:r小杨晚上听音乐:s“如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。
(7) 林芳在家里:p林芳在做作业:q林芳在看电视:r“如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。
离散数学第1章习题答案
<><><>100;{[];;} ;( *S){>1;}( * x){(>1){("\n !"); 0;}>;>[>];1;}( *S){(>1);}( * *x){((S)){("\n !");0;}*>[>];>;1;}( N){e;*(*)(());(S); (N){(2);2;}((S)){();(" ");}}(){ n;("请输入待转换的值n：\n");("");(n);}习题1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1)离散数学是计算机专业的一门必修课。
(2)李梅能歌善舞。
(3)这朵花真美丽！(4)３＋２＞６。
(5)只要我有时间，我就来看你。
(6)x＝５。
(7)尽管他有病，但他仍坚持工作。
(8)太阳系外有宇宙人。
(9)小王和小张是同桌。
(10)不存在最大的素数。
解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。
(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。
其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。
其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。
2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？(1)(P(P∨Q))。
(2)(P Q)(Q P)))。
(3)((P Q)(Q P))。
(4)(Q R∧S)。
(5)(P∨)S。
(6)((R(Q R)(P Q))。
解 (1)是命题公式。
(2)不是命题公式，因为括号不配对。
(3)是命题公式。
(4)是命题公式。
(5)不是命题公式，因为没有意义。
(6)不是命题公式，因为R(Q R)(P Q) 没有意义。
3.将下列命题符号化：(1)我们不能既划船又跑步。
(2)我去新华书店，仅当我有时间。
离散数学(1-4章)自测题(答案)
《离散数学》题库答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q5.答：（1）6.答：2不是偶数且-3不是负数。
7.答：（2）8.答：⌝P ，Q→P9.答：P(x)∨∃yR(y)10.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))11、a、(P→Q)∧R解：(P→Q)∧R⇔(⌝P∨Q )∧R⇔(⌝P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）⇔(⌝P∧(Q∨⌝Q)∧R)∨((⌝P∨P)∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔m3∨ m1∨m7 （主析取范式）⇔m1∨ m3∨m7⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6 （主合取范式）b、Q→(P∨⌝R)解：Q→(P∨⌝R)⇔⌝Q∨P∨⌝R⇔M5（主合取范式）⇔ m0∨ m1∨ m2∨m3∨ m4∨m6 ∨m7 （主析取范式）c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式)12、a、P→Q，⌝Q∨R，⌝R，⌝S∨P=>⌝S证明：(1) ⌝R 前提(2) ⌝Q∨R 前提(3)⌝Q （1），（2）析取三段论(4) P→Q 前提(5)⌝P （3），（4）拒取式(6)⌝S∨P 前提(7) ⌝S （5），（6）析取三段论b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理c、A，A→B， A→C， B→(D→⌝C) => ⌝D证明：（1） A 前提（2） A→B 前提（3） B (1)，(2) 假言推理（4） A→C 前提（5） C (1)，(4) 假言推理（6） B→(D→⌝C) 前提（7） D→⌝C (3)，(6) 假言推理（8）⌝D (5)，(7) 拒取式d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确13.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。
离散数学第三版课后习题答案
由此可得（A\B）\（B\C）（A\B）\C。
3）方法一：（A\C）\C
=A\（B∪C）(根据1))
=A\（C∪B）（并运算交换律）
4）真。因为是集合{}的元素；
5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；
6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；
8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4.对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
A′∪B=(A∪A′)∪B（∪的交换律）
A′∪B=X∪B（互补律）
A′∪B=Ｘ（零壹律）
方法三：因为A′X且BX，所以根据定理2的3）就有A′∪BＸ；
另一方面，由于BA′∪B及根据换质位律可得B′A′A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3），可得X=B∪B′A′∪B，即XA′∪B；
所以，A′∪B=Ｘ。
=（A\C）\B（根据1））
方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，xB，xC。由为x∈A，xC，所以，x∈A\C。又由xB，x∈（A\C）\B。所以，（A\B）\C（A\C）\B。
同理可证得（A\C）\B（A\B）\C。
9.设A、B是Ⅹ全集的子集，证明：
ABA′∪B=XA∩B′=
[解](采用循环证法)
离散数学辅助教材
概念分析结构思想与推理证明
第一部分
集合论
离散数学习题解答
离散数学课后习题答案(第一章)
Q 表示“我将去镇上。 ” R 表示命题“我有时间。 ” 以符号形式写出下列命题 a) 如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。 b) 我将去镇上，仅当我有时间时。 c) 天不下雪。 d) 天下雪，那么我不去镇上。 （4） 用汉语写出一些句子，对应下列每一个命题。
a) Q � ( R ∧ ¬P) Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
(┓P ∧R)→Q Q→R ┓P P→┓Q
b) R ∧ Q R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) (Q → R ) ∧ ( R → Q ) Q:一个数是奇数。R:一个数不能被 2 除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被 2 整除并且一个数不能被 2 整除，则它是奇数。 (5) 将下列命题符号化。 a) 王强身体很好，成绩也很好。 设 P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b) 小李一边看书，一边听音乐。 设 P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c) 气候很好或很热。 设 P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d) 如果 a 和 b 是偶数，则 a + b 是偶数。 设 P： a 和 b 是偶数。Q：a+b 是偶数。P→Q e) 四边形 ABCD 是平行四边形，当且仅当它的对边平行。 设 P：四边形 ABCD 是平行四边形。Q ：四边形 ABCD 的对边平行。P↔Q f) 停机的原因在于语法错误或程序错误。 设 P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。 （P∨ Q）→ R (6) 将下列复合命题分成若干原子命题。 a) 天气炎热且正在下雨。 P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b) 天气炎热但湿度较小。 P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c) 天正在下雨或湿度很大。 R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d) 刘英与李进上山。 A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e) 老王或小李是革新者。 M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f) 如果你不看电影，那么我也不看电影。 L:你看电影。M:我看电影。 ┓L→┓M g) 我既不看电视也不外出，我在睡觉。 P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。
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A C AC
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离散数学习题解答 12. 设 A B 且 A B可能吗？
可能
如： A＝{a}
B＝{a , b , {a} }
14. 对任意的集合 A B C，确定下列命题是真或假： （1）如果 A B 及 B C ，则 A C （3）如果 A B 及 B C ，则 A C （1）真 证：B C x ( xB xC ) AB AC AB （3）假 反例：A＝{a}
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2 1 1 1 1
3 0 1 1 1
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1 1 1 1
离散数学习题解答 *5. 设 A＝{1，2，3，4} ， R＝{ 1, 2 ， 2, 4， 3, 3}
S＝{ 1, 3 ， 2, 4， 4, 2}
（1）求出 R∪S， R∩S，R - S， R
或： x(Q( x) y ( P( y ) F ( x, y ))) 。。。 或：y (Q( y ) x( P( x) F ( x, y ))) 。。。
【此处假设非快即慢，没有等速的情况：F(x,y)等价于非F(y, x)】
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P89 习题2.5
3. 设 A＝{0，1}，构成 ( A )× A 解： ( A ) ＝｛ ，｛0｝，｛1｝，｛0, 1｝｝
(A)×A
＝ ｛ ，｛0｝，｛1｝，｛0, 1｝｝× { 0, 1 }
＝ { ,0,
8
R Q
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离散数学习题解答 *11.(1) (A →B) ∧ (A →C ), 步 骤 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
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(B ∧ C ) , D ∨A 推得 D 根 据
断 言（真）
反证法
D D ∨A A (A →B) ∧ (A →C ) A →B B
A →C C B∧C (B ∧ C) (B ∧ C)∧ (鲁东大学 B ∧ C)
（4）某些卡车慢于所有火车，但至少有一火车，快于每一卡车。
解：设P(x)：x为火车，Q(x)：x为卡车，F(x,y)：x比y快。 （3） x( P( x) y (Q( y ) F ( x, y ))) （4） x(Q( x) y ( P( y ) F ( y, x)))
x( P( x) y (Q( y ) F ( x, y )))
ch1-ch3 习题解答
主讲：鲍永平 数学与统计科学学院
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离散数学习题解答 1. 设 P 是命题“天下雪”； Q 是命题“我去镇上”； R 是命题“我有时间”。
P6 习题1.1
（1）用逻辑符号写出以下命题： （i）如果天不下雪和我有时间，那么我去镇上。 P∧R →Q （i i ）我去镇上，仅当我有时间。 Q →R
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2. 否定下列命题
（1）上海处处清洁 上海并非处处清洁
P14 习题1.2 4. （2）(P→Q)∧(R→Q) (﹁P∨Q)∧(﹁R∨Q)
(﹁P∧﹁R)∨Q ﹁(P∨R)∨ Q P∨R→Q 其它题易证
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R∨
Q)
∨Q∨R)∧( P∨Q∨ R)∧( P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ Q∨R )∧ P
(P ∨ Q ∨ R ) ∧ (P∨Q ∨
(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) ( 0 , 7 ) (P∧Q∧R)∨(
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R)
P∧ Q∧ R )
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P60 习题2.1
A C常真吗？试举例说明。
9~14 能判真假即可
9. 设 A B C是集合，如果 A B和 BC， A C可能吗？
A C 可能 但 不常真
例如： A＝{a} A＝{a} B＝{{a}} B＝{{a}} C＝{{{a}}, {a} } C＝{{{a}}}
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离散数学习题解答 P21习题1.3 （1） 若未加说明，可用真值表求
练习 3. 求下列各式的主析取范式和主合取范式：
( P ∨ Q) → ( P Q ) Q) ∨ (( P → P∨ P∨ Q )∧( Q →P)
( P ∨
( P ∧ Q ) ∨ (( ( P ∧ Q )∨ (( ( P ∧ Q ) ∨ (( ( P ∧ Q ) ∨ (
若有 Q(x,y): x=y
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离散数学习题解答 18. 如果论述域是｛a,b,c}，试消去下列公式中的量词： (1) x R(x) ∧ x S(x) R(a) ∧ R(b) ∧ R(c) ∧ ( S(a) ∨ S(b) ∨ S(c) )
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x y
(
E( x ) ∧ O( y ) → O( x+y )
)
4)有两个奇数它们的和是奇数
xy
(
O( x )∧O( y ) ∧O( x+y )
)
10) 如果1=3，那么任何整数的平方是正的 ( 1=3 ) → x
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( I( x )→
N( x ) ∧ x 0 )
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R＝{ x, y | x A ∧y B ∧3 x-y 7 }
解：R＝{ 5, 1 , 5, 2 , 6, 1 , 6, 2 , 6, 3 , 7, 1 , 7, 2 , 7, 3 , 8, 1 , 8, 2 , 8, 3 } 1 5 MR ＝ 6 7 8
步 骤
断 言（真） P∧Q P
根
据
1 2
3 4 5 6
P 附加前提 T, 1, I2 T, 1, I1
P T, 3, 4, I3 CP规则
P∨Q
P∨Q→R R P∧Q→R
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P39 习题1.6
11. 设 P(x, y, z) 表示 x * y ＝z，E( x, y )表示 x＝y，G(x , y)表示 x > y，论述域是整数，将下列断言译成逻辑符。 2)如果 xy 0，那么 x 0并且 y 0 x y ( P(x, y,0) → E( x, 0 ) ∧ E( y, 0 )
)
3)如果 y ＝1，则对一切x， xy＝x y ( E( y, 1 ) → x P(x, y, x)
)
4) 2x=6，当且仅当 x＝3
x ( P(2, x, 6) E( x, 3 )
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)
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离散数学习题解答 13. 将下列断言符号化，自行选用谓词，式中要有量词。 （3）每一火车都比某些卡车快。
步 骤
1 2
3
P P∨Q
Q
P 附加前提 P
T, 1 ,2, I5 P T, 3, 4, I5 P T, 5, 6, I3 CP规则
4 5 6 7 8
Q∨R R
R→S S P→S
也可先把前两式转化成蕴含式
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离散数学习题解答 CP规则
12. (3) P ∨ Q → R P ∧ Q → R
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1. 设 P 是命题“天下雪”；
Q 是命题“我去镇上”；
R 是命题“我有时间”。
（2）对下命题用中文写出语句： （ i）
Q （R ∧
P）
我去镇上当且仅当我有时间且天不下雪。 （i v） （R ∨ Q ）
说我有时间或我去镇上是不对的.
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离散数学习题解答 （ 3） ( P → Q ∧ R ) ∧ ( P → ( Q ∧ R )
( P ∨Q ∧ R ) ∧ (P ∨ Q∧ R )
( P ∨Q ) ∧ ( P ∨R ) ∧ ( P ∨ Q ) ∧ (P ∨ R ) Q) ∧
( P ∨Q∨R)∧( P∨Q∨ R)∧( P ∨R ∨ Q )∧( P∨R ∨ (P ∨ Q∨R )∧(P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ R∨Q)∧( P ∨ (
前提： P → Q ∨ R， S →
R， P∧S
结论：Q
步 骤
1 2 3 4 5 6 7
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断 言（真）
P∧S
根
据
P P→Q∨R
Q∨R S S→ R
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P T, 1, I2 P T, 2,3, I3 T, 1, I2 P T, 5,6, I3 数学与统计科学学院 T, 4,7, I5
3
4
P
R→P
5
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R
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T，3, 4, I4
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9. (1) 如果今天是星期二，那么我有一次计算方法测验或物理测验。如果 物理老师生病，那么没有物理测验。今天是星期二并且物理老师生病。 所以我有一次 计算方法测验。 设 P :今天是星期二 Q :我有一次计算方法测验 R :我有物理测验 S :物理老师生病