2019中考数学二次函数2复习精品教育.doc

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2019年中考数学二次函数专题复习

____________ 直线 x＝ h
值
b 当 x＝－ 2a时，
a>0
4ac－ b2
y 最小值＝ 4a
b
a<0
当 x＝－ 2a时，
当 x＝ h 时， y 最小值＝ k
当 x＝ h 时，
4ac－ b2 y 最大值＝ 4a
y 最大值＝ k
注意：二次函数的性质要结合图象，认真理解，灵活应用，不要死记硬背．
2019 年中考数学二次函数专题复习专题二十二次函数
回眸教材析知识
1.定义：如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么这样的函数称为二次函数．
它的一般形式是 _________________________________________，
顶点式是 ________________________．
2．图象：二次函数的图象是抛物线，它是轴对称图形，其对称轴平行于 y 轴( 或与 y
轴重合 )．注意：二次函数 y＝ax2＋bx＋ c 的图象的开口大小、开口方向只与 a 有关，所以二次
函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象可通过二次函数 y＝ ax2 的图象平移得到．平移可按照如下口
A ．先向左平移 2 个单位，然后向上平移 1 个单位
B．先向左平移 2 个单位，然后向下平移 1 个单位
C．先向右平移 2 个单位，然后向上平移 1 个单位
D．先向右平移 2 个单位，然后向下平移 1 个单位
3． 2018·成都关于二次函数 y＝2x2＋ 4x－ 1，下列说法正确的是 (
诀进行：上加下减，左加右减，即向上或向左用加，向下或向右用减．
3．性质：

2019年中考数学专题汇编二次函数-综合题含知识点汇总(word版有答案解析)

二次函数知识点汇总含二次函数-综合题一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，，，是常数，0叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

初中数学九年级下册《二次函数复习》共5页文档

拓展提高2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）A、a>0,b=0,c>0B、a<0,b>0,c<0C、a>0,b=0,c<0D、a<0,b=0,c<01、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列判断不正确的是（）A、abc>0,B、b2-4ac<0,C、a-b+c<0,D、4a+2b+c>0.3、我校初三篮球比赛中，如图1所示，队员甲在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）求抛物线的表达式．（2）此时，若对方队员乙在甲前方0.5m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3m，那么乙能否拦截成功？学生独立思考后交流小组合作完成感悟与收获通过今天的学习你有哪些收获？大家交流一下。

学生思考交流通过回顾，引导学生进行反思自我检测1．二次函数22(4)5y x=-+的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）．A．向上、直线4x=、(45)，B．向上、直线4x=-、(45)-，C．向上、直线4x=、(45)-， D．向下、直线4x=-、(45)-，2．抛物线2(1)3y x=-+的顶点坐标为_________．3．将抛物线2y x=向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的函数表达式是______ __．4.在同一直角坐标系中，一次函数y ax b=+和二次函数2y ax bx=+的图象可能为（）．1、要接受自己行动所带来的责任而非自己成就所带来的荣耀。

2、每个人都必须发展两种重要的能力适应改变与动荡的能力以及为长期目标延缓享乐的能力。

3、将一付好牌打好没有什么了不起能将一付坏牌打好的人才值得钦佩。

2019年中考二次函数专题复习(附答案)

2019中考二次函数专题复习复习说明：二次函数在中考试卷中属于难点知识，试题中占分比例为15分左右，选择题第10题占3分，解答题第24题占10分，在压轴题第25题中偶尔也会有所涉及。

学生在复习中掌握的程度不同，属于拉分的一部分知识。

由于这部分内容繁多，各类习题庞杂，在复习时应系统复习二次函数的概念性质，在习题的选择上尽量整合，做到一题多变，培养学生解决问题的能力。

下面是2015年全国各省市二次函数试题，录入的试题是与我们陕西省中考试题在题型、难度、考点上都很接近的试题，可供大家参考。

二次函数专题复习一.选择题1、（2015年深圳第8题3分）二次函数)0(2a c bx axy 的图像如下图所示，下列说法正确的个数是（）○10a ；○20b ；○30c ；○4042ac b。

A 、B 、2C 、3D 、4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据抛物线开口方向对①进行判断；根据抛物线的对称轴位置对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，所以③错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以④正确．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠０），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2.（2015?山东莱芜,第9题3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】试题分析：先根据二次函数的图象与系数的关系，又开口方向得a＞0，由对称轴x=＜0可得b＞0，所以一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.故选D考点：二次函数的图象与系数的关系，一次函数的性质3．（2015·湖南益阳第8题5分）若抛物线y=（x ﹣m ）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A ．m ＞1B ．m ＞0C ．m ＞﹣1D ．﹣1＜m ＜0考点：二次函数的性质．分析：利用y=ax 2+bx+c 的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．解答：解：由y=（x ﹣m ）2+（m+1）=x 2﹣2mx+（m 2+m+1），根据题意，，解不等式（1），得m ＞0，解不等式（2），得m ＞﹣1；所以不等式组的解集为m ＞0．故选B ．点评：本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大4、（2015年浙江舟山3分）如图，抛物线221y xxm 交x 轴于点A （a ，0）和B （b ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为 D.下列四个命题：①当>0x 时，>0y ；②若1a，则4b；③抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<1<x x ，且12>2x x ，则12>y y ；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m时，四边形EDFG 周长的最小值为62. 其中真命题的序号是【】A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C.【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题）；勾股定理.【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：①从图象可知当>>0x b 时，<0y ，故命题“当>0x 时，>0y ”不是真命题；②∵抛物线221y xxm 的对称轴为212x，点A 和B 关于轴对称，∴若1a，则3b，故命题“若1a ，则4b”不是真命题；③∵故抛物线上两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ）有12<1<x x ，且12>2x x ，∴211>1x x ，又∵抛物线221y xx m 的对称轴为1x，∴12>y y ，故命题“抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<1<x x ，且12>2x x ，则12>y y ”是真命题；④如答图，作点E 关于x 轴的对称点M ，作点D 关于y 轴的对称点N ，连接MN ，ME 和ND 的延长线交于点P ，则MN 与x 轴和y 轴的交点G ，F 即为使四边形EDFG 周长最小的点.∵2m ，∴223yxx 的顶点D 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（0，3）.∵点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，∴点E 的坐标为（2，3）.∴点M 的坐标为2,3，点N 的坐标为1,4，点P 的坐标为（2，4）. ∴2222112,3758DE MN.∴当2m时，四边形EDFG 周长的最小值为258DEMN.故命题“点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m时，四边形EDFG 周长的最小值为62”不是真命题.综上所述，真命题的序号是③.故选C.5．(2015?江苏苏州,第8题3分)若二次函数y=x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x2＋bx=5的解为A ．120,4x x B ．121,5x x C ．121,5x x D ．121,5x x 【难度】★★【考点分析】二次函数与一元二次方程综合，考察二次函数的图像性质及解一元二次方程。

中考数学二次函数2复习

中考数学二次函数2复习以下是查字典数学网为您引荐的中考数学二次函数2温习，希望本篇文章对您学习有所协助。

中考数学二次函数2温习教学目的(知识、才干、教育) 1.了解二次函数与一元二次方程之间的关系;2.会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点状况;3.会应用韦达定理处置有关二次函数的效果。

4.会应用二次函数的图象及性质处置有关几何效果。

教学重点二次函数性质的综合运用教学难点二次函数性质的综合运用教学媒体学案教学进程一：【课前预习】(一)：【知识梳理】1.二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的状况.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种状况：有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3)当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，那么一元二次方程y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;当二次函数y=ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，那么一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根2.二次函数的运用：(1)二次函数常用来处置最优化效果，这类效果实践上就是求函数的最大( 小)值;(2)二次函数的运用包括以下方面：剖析和表示不同背景下实践效果中变量之间的二次函数关系;运用二次函数的知识处置实践效果中的最大(小)值.3.处置实践效果时的基本思绪：(1)了解效果;(2)剖析效果中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;(4)应用二次函数的有关性质停止求解;(5)检验结果的合理性，对效果加以拓展等.(二)：【课前练习】1. 直线y=3x3与抛物线y=x2 -x+1的交点的个数是( )A.0B.1C.2D.不能确定2. 函数的图象如下图，那么关于x的方程的根的状况是( )A.有两个不相等的实数根;B.有两个异号实数根C.有两个相等实数根;D.无实数根3. 不论m为何实数，抛物线y=x2-mx+m-2( )A.在x轴上方;B.与x轴只要一个交点C.与x轴有两个交点;D.在x轴下方4. 二次函数y =x2-x6(1)求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标;(2)画出函数图象;(3)观察图象，指出方程x2-x6=0的解;(4)求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积. 二：【经典考题剖析】1. 二次函数y=x2-6x+8，求：(1)抛物线与x轴J轴相交的交点坐标;(2)抛物线的顶点坐标;(3)画出此抛物线图象，应用图象回答以下效果：①方程x2 -6x+8=0的解是什么?②x取什么值时，函数值大于0?③x取什么值时，函数值小于0?解：(1)由题意，得x2-6x+8=0.那么(x-2)(x-4)= 0，x1=2，x2=4.所以与x轴交点为(2,0)和(4，0)当x1=0时，y=8.所以抛物线与y轴交点为(0，8);(2)∵ ;抛物线的顶点坐标为(3，-1)(3)如下图.①由图象知，x2-6x+8=0的解为x1=2，x2=4.②当x2或x4时，函数值大于0;③当22. 抛物线y=x2-2x-8，(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点;(2)假定该抛物线与x轴的两个交点区分为A、B，且它的顶点为P ，求△A BP的面积.解：(1)证明：由于关于方程x2-2x-8=0，其判别式△=(-2)2-4(-8)-360，所以方程x2-2x -8=0有两个实根，抛物线y= x2-2x-8与x轴一定有两个交点;(2)由于方程x2-2x-8=0 有两个根为x1=2，x2=4，所以AB=| x1-x2|=6.又抛物线顶点P的纵坐标yP = =-9，所以SABP=12 AB|yP|=273.如下图，直线y=-2x+2与轴、轴区分交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，BAC=90o，过C作CD 轴，垂足为D(1)求点A、B的坐标和AD的长(2)求过B 、A、D三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A动身，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B动身，沿 BC 边向点C以2cm/s的速度移动，回答以下效果：(1) 设运动后末尾第t(单位：s)时，五边形APQCD的面积为S(单位：cm2)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围(2)t为何值时S最小? 求出S的最小值5. 如图，直线与轴、轴区分交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线经过点A、P、O(原点)。

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二次函数专题复习一、中考要求：1．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验． 4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 6．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：(二)中考热点：二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题．三、中考命题趋势及复习对策二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。

针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习.考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

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中考第二轮专题复习---二次函数二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1.定义：一般地，如果cb ac bx axy ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 cbx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数cbx axy ++=2用配方法可化成：()kh x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②kaxy +=2；③()2h x a y -=；④()kh x a y +-=2；⑤cbx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()kh x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线cbx axy ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab （即a 、b同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线cbx axy ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线cbx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbx axy ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()kh x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线cbx axy ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线cbx axy ++=2有且只有一个交点(h ,cbh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数cbx axy ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是kc bx ax=++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线cbx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3） D.（－1，－3）２.已知二次函数cbx axy ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0C A E FBD第２,３题图第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（Ｄ）DO 424O424O 424O 424yx2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+５.抛物线322--=x xy 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x（21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x －，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）． 7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()cx b xy ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=xy 或642--=x xy将0)b （，代入，得c b=.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b=-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；第9题（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为cbx axy ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b ac ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x xy .（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．y Ox解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x xy10.已知抛物线4)334(2+++=x a axy 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax，解得31-=x ，ax342-=．∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a 34-，0）． ∴|334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ，=+=22OC BO BC 224|34|+-a．∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ，252=AC ，1691622+=a BC．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°．由222BC AC AB+=，得)16916(259891622++=+-aa a ．解得41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB，252=AC ，94002=BC．于是222BC AC AB+=．∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．由222BC AB AC+=，得)16916()98916(2522+++-=aa a．解得94=a ．当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由222AB AC BC+=，得)98916(251691622+-+=+aa a．解得94=a ．不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ; 又AB ＝∣x 1 — x 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) ,（2）M(a ，b)，则N(－a ，－ ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.ama m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴a = .这时M 、N 到y 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2×12×（2－m∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A（－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax xy ＝．题（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依意，00＜x ，00＜y ，且250＝xy．∴ 0025x y ＝－． ①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴34020＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E坐标为（21-，45）．设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小．∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小．∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0），∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝， ∴⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 3402---x xy ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小．解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ．∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线aax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ．解得OD ＝3．∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．45251PF＝．由PF ∥EQ ，可得EQPFBQ BF ＝．∴ ∴ 21＝PF ． 21）．∴ 点P 坐标为（－2，以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ， ∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x xy ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛-4921，．（2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ）， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ．∴323-=t h ，其中221<<t ．∴t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t tS ，自变量t的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫⎝⎛-45232，P ．设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m mn ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC，．分以下几种情况讨论： i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m，12-=m（舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫⎝⎛-5854，．图 a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-xy ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点． 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ．因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上，所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ．因此卢浦大桥拱内实际桥长为 385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）．16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号．或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴acx x =⋅21．由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝．所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋aa b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－．∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，aa a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝，∴ a x 321-＝，a x 322+＝．∴ aa ax x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+．∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）． ∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(．又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）．（2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x xy 8329322-=为所求．（3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°．由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2． ∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．。

2019年中考二轮数学练习精品讲解-二次函数

2019年中考二轮数学练习精品讲解-二次函数注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！本章小结小结1本章概述本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法、本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型、通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力、二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结、二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用、小结2本章学习重难点【本章重点】通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解、【本章难点】会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题、【学习本章应注意的问题】1、在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y＝ax2(a≠0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y＝ax2＋k，y＝a(x －h)2一直到y＝ax2＋bx＋c，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度、2、在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征、3、有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验小结3中考透视近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图一元二次方程的近似解一元二次不等式的解集二次函数的最大(小)值在实际问题中的应用二次函数的图象开口方向对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用【一】知识性专题专题1二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质【专题解读】对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握、例1二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图26－84所示，那么以下结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2－4ac ＞0、其中正确的个数是()A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个分析∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半铀，∴c ＞0;∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0、故②③正确、应选C 、【解题策略】解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数、例2假设y ＝ax 2＋bx ＋c ，那么由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是()x -1 0 1ax 21 ax 2+bx +c 8 3A 、y ＝x 2－4x ＋3B 、y ＝x 2－3x ＋4C 、y ＝x 2－3x ＋3D 、y ＝x 2－4x ＋8分析由表格中的信息可知，当x ＝1时，ax 2＝1，所以a ＝1、当x =－1时，ax 2＋bx ＋c＝8，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3，所以c ＝3，所以1×(－1)2＋b ×(－1)＋3＝8，所以b ＝－4、应选A 、【解题策略】此题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x ＝1时，ax 2＝1，x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3和x ＝－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8、例3二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象如图26－85所示，那么函数y ＝ax ＋b 的图象不经过()A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析由图象可知a ＜0，2b a＜0，那么b ＜0，所以y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限、应选A 、【解题策略】抛物线的开口方向决定了a 的符号，b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定、例4二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧、其中正确的个数为()二次函数二次函数的性质二次函数的应用A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个分析由a ＞0，得抛物线开口向上，由2b a-＜0，得对称轴在y 轴左侧，由c ＜0可知抛物线与y 轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确、应选C.【解题策略】此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想、例5假设A 113,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的图象上的三点，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是()A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 2分析因为y ＝x 2＋4x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝－2，所以x =134-与x ＝－34的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当54-＜34-＜14时，y 2＜y 1＜y 3、应选B 、【解题策略】此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x =134-的函数值转化为x ＝－34的函数值、例6在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋1与y ＝－32(x －1)2的图象大致是(如图26—87所示)()分析直线y ＝－x ＋1与y 轴交于正半轴，抛物线y ＝－32(x －1)2的顶点为(1，0)，且开口向下、应选D 、专题2抛物线的平移规律【专题解读】当二次函数的二次项系数a 相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x 轴左、右平移，此时与k 的值无关；顶点上、下变化，即沿y 轴上、下平移，此时与h 的值无关、其口诀是“左加右减，上加下减”、例7把抛物线y ＝－2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是()A 、y ＝－2(x ＋1)2B 、y ＝－2(x －1)2C 、y ＝－2x 2＋1D 、y ＝－2x 2－1分析原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)、应选C 、【解题策略】解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解、例8把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋5，那么()A 、b ＝3，c ＝7B 、b ＝6，c ＝3C 、b ＝－9，c ＝－5D 、b ＝－9，c ＝21分析y ＝x 2－3x ＋5变形为y ＝232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋5－94，即y ＝232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋114，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y ＝2332x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋114＋2，即y ＝x 2＋3x ＋7，所以b ＝3，c ＝7、应选A 、【解题策略】此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y ＝x 2－3x ＋5，那么抛物线y ＝x 2－3x ＋5那么向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y ＝x 2＋bx ＋C 、专题3抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】假设抛物线经过原点，那么c ＝0，假设抛物线的顶点坐标，那么2b a -和244ac b a-的值也被确定等等，这些都表达了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ，b ，c 以及与之有关的代数式的值、例9如图26－88所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋3ax ＋a 2－1的图象，那么a 的值是.分析因为图象经过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，所以a 2－1=0，a ＝±1，因为抛物线开口向下，所以a ＝－1.故填－1:专题4求二次函数的最值【专题解读】在自变量x 的取值范围内，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处取得最值、当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，顶点最低，当x ＝2b a-时，y 有最小值为244ac b a-；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，顶点最高，当x ＝2b a -时，y 有最大值为244ac b a-、例10实数x ，y 满足x 2＋2x ＋4y ＝5，那么x ＋2y 的最大值为.分析x 2＋2x ＋4y ＝5，4y ＝5－x 2－2x ，2y ＝12(5－x 2－2x )，x ＋2y ＝12(5－x 2－2x )＋x ，整理得x ＋2y ＝－12x 2＋52.当x ＝0时，x ＋2y 取得最大值，为52、故填52、专题5二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集、函数值，求自变量的对应值，就是解方程，函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式、例11二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点(2，0)，(－1，6)、(1)求二次函数的解析式；(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y ＞0时x 的取值范围、分析(1)列出关于a ，b 的方程组，求a ，b 的值即可、(2)观察图象求出y ＞0的解集、解：(1)由题意可知，当x ＝2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝6，那么420,6,a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ ∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－4x 、(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y ＞0时，x ＜0或x ＞2、【解题策略】求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决、【二】规律方法专题专题6二次函数解析式的求法【专题解读】用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法、(1)设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)、假设条件是图象经过三个点，那么可设所求的二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将条件代入，即可求出a ，b ，c 的值、(2)设交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)、假设二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，那么可设所求的二次函数解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，将第三点(m ，n )的坐标(其中m ，n 为数)代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般式、(3)设顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)、假设二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，那么可设所求的二次函数解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，将条件代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般式、(4)设对称点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)＋m (a ≠0)、假设二次函数图象上的对称点(x 1，m )，(x 2，m )，那么可设所求的二次函数解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)＋m (a ≠0)，将条件代入，求得待定系数a ,m ，最后将解析式化为一般式、例12根据以下条件求函数解析式、(1)二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；(2)抛物线的顶点为(－1，－3)，与y 轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；(3)抛物线与x 轴交于A (－1，0)，B (1，0)两点，且经过点M (0，1)，求此抛物线的解析式；(4)抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式、分析(1)图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a ，b ，c 的方程组，求出a ，b ，c 的值，即可得到二次函数的解析式、(2)抛物线的顶点坐标，应选用顶点式、(3)由于A (－l ，0)，B (1，0)是抛物线与x 轴的两个交点，因此应选用交点式、(4)显然条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便、解：(1)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，得6,2,423,a b c a b c a b c -+=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得1,2,5.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －5、(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，∴设其解析式为y ＝a (x ＋1)2－3，将点(0，－5)代入，得－5＝a －3，∴a ＝－2，∴所求抛物线的解析式为y ＝－2(x ＋1)2－3、即y ＝－2x 2－4x －5、(3)∵点A (－1，0)，B (1，0)是抛物线与x 轴的两个交点，∴设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －1)，将点M (0，1)代入，得1＝－a ，∴a ＝－1，∴所求抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －1)，即y =－x 2＋1(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，∴设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋3)(x －1)＋4，将点(0，7)代入，得7＝a ·3·(－1)＋4，∴a ＝－1，∴所求抛物线的解析式为y ＝－(x ＋3)(x －1)＋4，即y ＝－x 2－2x ＋7、【解题策略】(1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果、(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式、【三】思想方法专题专题7数形结合思想【专题解读】把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究、例13二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图26－90所示，那么点A (a ，b )在()A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析由图象开口方向向下可知a ＜0，由对称轴的位置可知x ＝2b a-＞0，所以b ＞0，故点A 在第二象限、应选B 、【解题策略】解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置、专题8分类讨论思想【专题解读】分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果、例14抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴交于B (1，0)，C (5，0)两点、(1)求此抛物线的解析式；(2)假设点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)假设一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F )，最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，F 的坐标，并求出这个最短总路径的长、分析(1)用待定系数法求a ，b ，c 的值、(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式、(3)根据轴对称解决最短路径问题.解：(1)根据题意，得c =3，所以30,25530,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以抛物线的解析式为y ＝35x 2－185x ＋3、(2)依题意可知，OA 的三等分点分别为(0，1)，(0，2)，设直线CD 的解析式为y ＝k x ＋b ，当点D 的坐标为(0，1)时，直线CD 的解析式为y ＝－15x ＋1，当点D 的坐标为(0，2)时，直线CD 的解析式为y ＝－25x ＋2、(3)由题意可知M 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，如甲26－91所示，点M 关于x 轴的对称点为M ′30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于抛物线对称轴x ＝3的对称点为A ′(6，3)，连接A ′M ′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A ′M ′的长就是点P 运动的最短总路径的长、所以A ′M ′与x 轴的交点为所求的E 点，与直线x ＝3的交点为所求的F 点、可求得直线A ′M ，的解析式为y ＝34x －32、所以E 点坐标为(2，0)，F 点坐标为33,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，由勾股定理可求出A ′M ′＝152、所以点P 运动的最短总路径(ME ＋EF ＋FA )的长为152、【解题策略】(2)中点D 的位置不确定，需要分类讨论，表达了分类讨论的数学思想、(3)中的关键是利用轴对称性找到E ，F 两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题、专题9方程思想【专题解读】求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y ＝0或x ＝0，通过解方程解决交点的坐标问题、求抛物线与x 轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况、例15抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴交点的个数是()A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个分析可设x 2－2x ＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，可得抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴只有一个交点、应选B 、【解题策略】抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的个数可由一元二次方程ax 2＋bx ＋c＝o(a ≠0)的根的个数来确定、专题10建模思想【专题解读】根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题、例16某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，假设以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱、(1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?分析(1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，假设提高(x －50)元，那么平均每天少销售3(x －50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x －50)]箱，即y ＝90－3(x －50).(2)每天的销售利润可用(x －40)[90－3(x －50)]来表示、(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值、解：(1)y ＝90－3(x －50)，即y ＝－3x ＋240、(2)W ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2＋360x －9600，(3)∵a ＝－3＜0，∴当x ＝2b a-＝60时，W 有最大值，又∵当x ＜60时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝55时，W 取得最大值为1125元，即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润、【解题策略】求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解、例17某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a 元、(1)试求a 的值；(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，假设每年投入广告费为x (万元)，那么产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 与x 之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分、①根据图象提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式；②求年利润S (万元)与广告费x (万元)之间的函数关系式，并计算广告费x (万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S (万元)随广告费的增多而增多、(注：年利润S ＝年销售总额－成本费－广告费)解：(1)由题意得a (1＋25％)＝250，解得a ＝200(元)、(2)①依题意可设y 与x 之间的函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋1，那么421 1.36,1641 1.64,a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得0.01,0.2,a b =-⎧⎨=⎩ ∴y ＝－0.01x 2＋0.2x ＋1、②S ＝(－0.01x 2＋0.2x ＋1)×10×250－10×200－x ,即S ＝－25x 2＋499x ＋500，整理得S =－25(x －9.98)2＋2990.01、∴当0≤x ≤9、98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多、例18某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满、当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲、(注：宾馆客房是以整间出租的)(1)假设某天每间客房的定价增加了20元，那么这天宾馆客房收入是元；(2)设某天每间客房的定价增加了x 元，这天宾馆客房收入y 元，那么y 与x 的函数关系式是；(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y ＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元、分析此题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题、解：(1)18000(2)y =12-x 2＋10x ＋18000 (3)当y ＝17600时，－12x 2＋10x ＋400=0，即x 2－20x －800＝0、解得x ＝－20(舍去)或x ＝40、180＋40＝220，所以这天每间客房的价格是220元、例19〔09·泰安〕如图26－93(1)所示，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的直线y＝＋m 与x 轴交于点E 、(1)求点E 的坐标；(2)求过A ，O ，E 三点的抛物线的解析式、解：(1)如图26－93(2)所示，过A 作AF ⊥x 轴于F ，那么OF =OA cos60°=1，AF =OF tan60°∴点A (1、代入直线解析式，得×1＋mm，∴y=x当y =0时，x，解得x ＝4，∴点E (4，0)、(2)设过A ，O ，E 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，∵抛物线过原点，∴c ＝0，∴1640,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为y＝x 2.例20如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)、(1)求点B 的坐标；(2)求过点A ，O ，B 的抛物线的表达式、解：(1)如图26－95所示，过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，那么AF ＝2，OF ＝1、∵OA ⊥OB ，∴∠AOF ＋∠BOE ＝90°、又∵∠BOE ＋∠OBE ＝90°，∴∠AOF ＝∠OBE 、∴Rt △AFO ∽Rt △OEB 、 ∴BE OE OB OF AF OA==＝2 ∴BE ＝2，OE ＝4、∴B (4，2)、(2)设过点A (－1，2)，B (4，2)，O (0，0)的抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋C 、那么2,1642,0.a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,23,20.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求抛物线的表达式为y ＝12x 2－32x .例21如图26－96所示，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点，顶点为D 、(1)求抛物线的解析式；(2)将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式、解：(1)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点，∴01,200,b c c =++⎧⎨=++⎩解得3,2,b c =-⎧⎨=⎩ ∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋2、(2)∵A (1，0)，B (0，2)，∴OA ＝1，OB ＝2，可得旋转后C 点的坐标为(3，1)、当x ＝3时，由y =x 2－3x ＋2得y ＝2，可知抛物线y ＝x 2－3x ＋2过点(3，2)、∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋1、例22如图26－97所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B 、(1)求抛物线的解析式；(2)点D (m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标、解：(1)∵抛物线y =ax 2＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，∴40,4 4.a b a a --=⎧⎨-=⎩ 解得1,3.a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4、(2)如图26－98所示，点D (m ，m ＋1)在抛物线上，∴m ＋1＝－m 2＋3m ＋4，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝－1或m ＝3、∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(3，4)、由(1)得B 点的坐标为(4，0)，∴OC =OB ，∴∠CBA ＝45°、设点D 关于直线BC 的对称点为点E 、∵C (0，4)，∴CD ∥AB ，且CD ＝3，∴∠ECB ＝∠DCB ＝45°，∴E 点在y 轴上，且CE ＝CD ＝3、∴OE ＝1，∴E (0，1)、即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为(0，1)、2017中考真题精选点评：此题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义、关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小、2.〔2017黑龙江牡丹江，18，3分〕抛物线y=ax 2+bx ﹣3过点〔2，4〕，那么代数式8a+4b+1的值为〔〕A 、﹣2B 、2C 、15D 、﹣15考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。