浮动利率债券久期和凸性的研究
久期和凸性分析
0
5年 10年 20年 15 55 210
10％
7.3% 12.3% 31.2%
从表中看出：（1）长生命期的债券（如前面的
永续年金图形）与息票利率变化之间的关系具有 明显的凸性性质；（2）短期债券（如前面的3年 期债券）的价格－利率关系几乎是一条直线，只 有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（3） 凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而 降低。（4）低利率水平下的凸性大于高利率水平 下的凸性。（5）债券价格与利率关系在曲线的低 利率部分更加弯曲。
首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响。
P k 9% 10% 0.01 d ( ) (10)( ) (10)( ) 0.0909 或9.09 ％ P 1 k 1 10% 1.10
这里的价格变化为9.09%，小于所导出的9.33% 的变化幅度。这个未预料出的9.33%9.09%=0.24%的变化就表现了凸性的影响。即：
债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条 凸函数而不是一条直线函数。 下图对一个10年期零息票到期收益率为10％的债 券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格变 化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系的 影响。
债券价值 （美元）
凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）
650 600 550 500 450 400 350 300
什么是梯形投资法？梯形投资法是什么意思？ 梯形投资法，又称等期投资法，就是每隔一段时 间，在国债发行市场认购一批相同期限的债券， 每一段时间都如此,接连不断，这样，投资者在以 后的每段时间都可以稳定地获得一笔本息收入。 梯形投资法就是将全部投资资金平均投放在各种 期限的证券上的一种组合方式。具体的做法是买 入市场上各种期限的证券，每种期限购买数量相 等，当期限最短的证券到期后，用所兑现的资金 再购买新发的证券，这样循环往复，投资者始终 持有各种到期日证券，并且各种到期日的数量都 是相等的。这种情况反映在图形上，形似间距相 等的阶梯，故称“梯形投资法”。这种方法的特 点是计算简单，收益稳定，便于管理，但不便于 根据市场利率变动转换证券。
最新-国债的久期与凸性阶跃现象研究 精品
国债的久期与凸性阶跃现象研究北京世纪纵横科技发展有限公司研究员陈四勇一般认为，如果国债到期收益率不变，随着到期时间的临近，久期随之缩短。
但是并不尽然。
比如96国债⑹，相关信息如下证券代码000696期限10年期债券类别附息券付息方式每年付息发行日期1996年6月14日起息日期1996年6月14日到期日2019年6月14日我们观测在到期收益率不变时，付息前一日和付息日久期与凸性的变化日期到期收益率全价元久期年凸性2001年6月13日3391500437419262001年6月14日339138234212220表1我们可以看到在到期收益率不变都为339，2001年6月14日的久期与凸性都较2001年6月13日高。
对于附息国债，如果保持收益率不变，在付息日的久期比付息前一日的久期更长，我暂命名其为久期阶跃现象；同样地，付息日凸性也存在凸性阶跃现象。
这种阶跃现象还没有学者做过研究，投资者更没有注意到它对我们投资组合的影响。
产生久期与凸性阶跃现象的原因为什么会产生这种久期与凸性阶跃现象呢？这还得从附息国债的到期收益率计算公式说起，对于每年付息一次的附息债，到期收益率计算公式如下①为当前该国债的价格为每年支付的利息债券面值为当前距下一次付息的时间以年为单位为当前到到期日之间的付息次数即为到期收益率复利实际上该公式是一个分段函数，每一个付息期间函数表达式并不一致。
等式的右边+1项多项式，当每付息一次，该多项式将减少一项。
久期相当于上式的一阶微分，所以久期的计算公式②也是一个分段函数，每一个付息期间函数表达式并不一致。
正因为它们表达式的不同，而导致其久其在付息日前后久期不连续，这就产生了久期的阶跃现象。
同样的原因，也产生了凸性阶跃现象。
一个三年期债券在到期收益率不变时久期--日期关系图③图1久期与凸性阶跃现象对投资的影响由于久期与凸性阶跃现象的存在，使得该债券在付息后对于价格的变化更敏感。
同样收益率的变化，该债券在付息日比付息前一日使价格变化幅度增大；但是价格变化的没有明显差别。
关于利率类债券的久期和凸性的研究
关于利率类债券的久期和凸性的研究作者：钟惠平来源：《财税月刊》2018年第05期摘要通过对债券和债券组合所面临的利率风险的提出，引出债券利率敏感性的两个度量工具，即修正久期和凸性。
在对麦考利久期、修正久期、凸性进行概念介绍时，同时也介绍了修正久期和凸性的适用情况，并运用实例分析进行说明。
关键词利率类债券；麦考利久期；修正久期；凸性当投资者投资利率类债券时，总是希望获得收益，而唯恐价格发生不利变动导致自己的资产价值受损。
市场上的基准利率是债券价格的晴雨表，而基准利率是不稳定的，使得投资者的资产价值经常发生变动，这就是投资者面临的利率风险。
投资者需要了解到自己面临的利率风险的大小，即债券价格相对于利率变化的敏感性。
通俗来说，就是当基准利率变化发生变化时，对应债券价格的变化幅度。
债券价格的变动程度越大，债券的敏感性越大，变动程度越小，则债券的敏感性越小。
比如，同样作为利率类债券，当利率上升（下降）0.01%，A债券的价格下降（上升）了0.5%，而B债券上升（下降）了0.4%，我们会说，A债券的利率敏感性大于B债券的，即A债券的利率风险更大。
我们通常利用修正久期和凸性去表示债券的利率敏感性。
当利率水平变化幅度很小时，修正久期可以囊括利率的变化所带来的债券价格的变化。
但由于债券的价格收益率曲线并非为一条直线，而是凸型的，这就决定了当利率水平发生较大幅度的变动时，仅仅依靠修正久期，没有办法完全反映债券价格相对于利率变化的敏感性。
这时，我们需要引进一个新的概念，就是凸性，运用修正久期和凸性去衡量债券价格相对于利率的敏感性，使得债券的预测价格和实际理论价格的误差变得很小。
以下理论的假设前提是利率期限结构是水平的。
一、久期首先我们引入了久期的概念，久期是最早由美国经济学家麦考利于1938年提出，被称为麦考利久期。
最初是将麦考利久期作为衡量投资者进行债券投资的回收期限，后来逐渐才将它作为衡量债券价格的利率敏感性的一个指标。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
久期和凸性
1 5 10 15 20
0.93 4.05 6.61 7.96 8.53
ห้องสมุดไป่ตู้
要求的收益率＝14％（到期收益率） 1 5 10 15 20 0.92 3.98 6.33 7.37 7.65 0.92 3.83 5.95 6.91 7.24 0.91 3.71 5.68 6.59 6.98 0.91 3.60 5.46 6.37 6.80
债券久期的计算公式为：
C1 C3 (Cn F ) C2 d 1 2 3 ... t /P 2 3 t (1 k ) (1 k ) (1 k ) (1 k )
上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加 权。现金流入包括利息C和赎回本金F，并且时间加 权数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再 除以债券价格P（债券估值公式中的P）。
债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条 凸函数而不是一条直线函数。 下图对一个10年期零息票到期收益率为10％的债 券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格变 化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系的 影响。
债券价值 （美元）
凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）
650 600 550 500 450 400 350 300
期 限 票息 票息
0
5年 10年 20年 15 55 210
10％
7.3% 12.3% 31.2%
从表中看出：（1）长生命期的债券（如前面的
永续年金图形）与息票利率变化之间的关系具有 明显的凸性性质；（2）短期债券（如前面的3年 期债券）的价格－利率关系几乎是一条直线，只 有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（3） 凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而 降低。（4）低利率水平下的凸性大于高利率水平 下的凸性。（5）债券价格与利率关系在曲线的低 利率部分更加弯曲。
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文久期和凸性分析是在金融市场中用于评估债券投资风险和收益的重要工具。
久期是衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标，而凸性则是衡量债券价格对利率波动的非线性变化。
下面我们将详细介绍久期和凸性的概念、计算方法以及其在投资决策中的应用。
首先，久期是衡量债券投资风险的关键指标。
它是一个衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标。
具体来说，久期表示的是债券的平均回本期限，也就是该债券的现金流入与出的时间加权平均。
久期越长，表示债券的回本期限越长，价格受利率变动的影响越大。
反之，久期越短，表示债券的回本期限越短，价格受利率变动的影响越小。
计算久期的方法有几种，其中一种是Macaulay久期。
Macaulay久期的计算公式为：Macaulay久期=（C1*T1+ C2*T2+...+Cn*Tn）/B，其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格。
除了久期，凸性也是衡量债券投资风险的重要指标。
凸性描述了债券价格对利率波动的非线性响应。
凸性可以帮助投资者更好地了解债券价格的波动性以及在不同市场环境下债券的价格变化趋势。
凸性大的债券价格波动幅度相对较大，而凸性小的债券价格波动幅度相对较小。
计算凸性的方法有几种，其中一种是麦堪昆凸性。
麦堪昆凸性的计算公式为：麦堪昆凸性=（C1*T1^2+C2*T2^2+...+Cn*Tn^2）/（B*(1+r)^2），其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格，r为债券的到期收益率。
久期和凸性分析在投资决策中有着重要的应用。
首先，久期和凸性可以帮助投资者衡量债券投资的风险。
通过计算久期和凸性，投资者可以了解债券价格对利率变动的响应程度，从而判断债券投资的风险水平。
其次，久期和凸性可以帮助投资者优化投资组合。
久期和凸性可以作为评估不同债券的工具，投资者可以在不同债券之间做出选择，以实现投资组合的风险和收益平衡。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
债券估值利率期限结构久期和凸性
债券估值利率期限结构久期和凸性债券估值是指根据市场上的利率水平和债券的特性来计算债券的价格。
债券的价格受到利率期限结构、久期和凸性等因素的影响。
利率期限结构是指不同期限的债券在市场上的利率水平。
通常情况下，长期债券的利率收益率要高于短期债券的利率收益率。
这是因为长期债券面临的风险更高，投资者需要获得更高的回报来补偿这种风险。
当利率期限结构呈正斜率时，说明市场预期未来的利率将上升；当利率期限结构呈负斜率时，说明市场预期未来的利率将下降。
利率期限结构的变动将直接影响到债券的估值。
久期是用来衡量债券价格对利率变动的敏感程度的指标。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感程度就越高。
久期可以分为修正久期和加权久期。
修正久期是指债券价格对利率变动的弹性，加权久期是修正久期与债券价格的比率。
债券价格的变动可以通过久期来估计，当利率上升时，债券价格下降；当利率下降时，债券价格上升。
凸性是衡量债券价格对利率变动的曲线特性的指标。
凸性可以分为正凸性和负凸性。
正凸性意味着当利率变动时，债券价格变动幅度大于久期所预测的价格变动幅度；负凸性则相反，债券价格变动幅度小于久期所预测的价格变动幅度。
凸性的存在使得债券价格对利率变动具有非线性的特点。
债券估值的计算可以通过利用上述因素来进行。
首先需要确定债券的现金流量，包括债券的票息和到期本金。
然后根据当前市场利率水平计算债券的现金流量的现值。
利用久期和凸性的概念，可以对债券价格对利率变动的敏感程度和非线性特征进行估计。
通过对债券价格进行敏感性分析，可以评估债券投资的风险和回报。
在实际应用中，债券估值是金融机构、投资者和资产管理公司等机构的重要工具。
通过债券估值，投资者可以获得债券的合理市场价格，从而进行合理的投资决策。
同时，债券估值也有助于机构进行风险管理和资产配置，以实现收益最大化或风险最小化的目标。
总之，债券估值是根据利率期限结构、久期和凸性等因素来计算债券价格的过程。
利用这些指标，投资者可以衡量债券价格对利率变动的敏感程度和非线性特征，从而做出理性的投资决策。
补充知识：关于凸性和久期
关于凸性与久期1．久期久期又是衡量债券价格对收益率变动敏感程度的指标。
推导：（1）为确定收益率的变动对价格的影响，公式两边对y 求导：（2）整理该式，得到：（3） 该式表示收益率的微小变动所引起的价格的变化值。
等式两边除以P ，则给出价格变化的百分比近似值： （4）公式中括号内的部分除以P ，被称为麦考雷持续期（用MD 表示），即（5）nn y M y c y c y c y c P )1()1(....)1()1()1(32++++++++++=1132)1()()1()()1()2()1()1(+++-++-+++-++-=n n y M n y c n y c y c dy dP ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++-=n n y nM y nc y c y c y dy dP )1()1()1(211112 Py nM y nc y c y c y P dy dP n n 1)1()1()1(2111112⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++-= MD yP dy dP +-=111MD *为修正持续期，即（6）（7）修正持续期的意义：收益率的变动所引起的债券价格变动百分比的近似值。
由式（7）得到（8） 含义：给定收益率变动条件下价格变化百分比的近似值。
例3：假设息票率6%的25年期债券的交易价格是70.3570（见表1），按照有关公式计算出其修正持续期是10.62。
如果收益率上升10个基点（由9%上升到9.10%，一个基点是0.0001或0.1%），价格变动近似百分比是：-10.62×0.0010= -0.0106= -1.06%查看前面的表2，发现价格的实际变动比例是-1.05%；同理，如果收益率下降10个基点（由9%下降到8.90%），算出的价格变动近似百分比是+1.06%，而表2列明的价格百分比的实际值是1.07%。
该例说明，在收益率发生微小变动时，用修正持续期可以较好地算出债券价格变动百分比的近似值（存在误差的原因在后面谈到凸性时解释）。
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文久期是衡量债券价格对利率变动的敏感性的指标。
它表示债券的平均回收期，即投资者从持有债券获得的现金流量的平均到期时间。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。
久期的计算方法有两种：修正久期和加权久期。
修正久期是用来衡量债券特定到期收益率的变动对债券价格的影响。
加权久期是用来衡量整个收益率曲线上的利率变动对债券价格的影响。
久期计算公式如下：修正久期=Σ(CFt*t)/P加权久期=Σ(CFt*t*DFt)/P其中，CFt表示在第t期获得的现金流量，t表示现金流量获得的时间，DFt表示第t期的贴现因子，P表示债券价格。
凸性是衡量债券价格对利率变动的曲率的指标。
它表示债券价格变动与利率变动之间的关系。
凸性为正表示当利率上升时，债券价格下降的幅度大于利率下降时债券价格上升的幅度。
凸性为负则相反。
凸性的计算方法如下：C=(P--2P+P+)/(P*Δy^2)其中，P-表示利率下降时的债券价格，P+表示利率上升时的债券价格，Δy表示利率变动的大小。
久期和凸性的分析有助于投资者理解债券投资的风险和回报特征。
首先，久期可以帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性。
当投资者预计利率上升时，可以选择久期较短的债券，降低利率上升对债券价格的影响。
其次，凸性可以帮助投资者评估利率变动对债券价格变动的曲线形状。
当投资者预计利率波动较大时，可以选择凸性较高的债券，以获得更高的回报。
此外，久期和凸性分析对债券组合管理也具有重要意义。
投资者可以通过调整久期和凸性来优化债券组合的风险和回报特征。
例如，投资者可以通过组合久期较短和久期较长的债券，实现对利率变动的敏感性的平衡。
同时，投资者还可以通过组合凸性为正和凸性为负的债券，实现对利率变动的曲线形状的平衡。
综上所述，久期和凸性分析是债券投资领域重要的工具。
久期帮助投资者理解债券价格对利率变动的敏感性，凸性帮助投资者理解债券价格对利率变动的曲线形状。
通过久期和凸性分析，投资者可以评估债券的风险和回报特征，并优化债券组合的风险和回报特征。
久期和凸性
久期与凸性就是衡量债券利率风险的重要指标,就是衡量债券价格对利率的敏感程度。
久期具有双面性,在利率上升周期,要选择久期小的债券;在利率下降周期,要选择久期大的债券。
凸性具有单面性,就就是凸性越大,债券的风险越小,选择凸性较大的债券,对持有者越有利。
久期描述了价格-收益率(利率)曲线的斜率,斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大,而凸性描述了这一曲线的弯曲程度,或者就是由于该曲线的非线性程度较大,使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大,无法以统一的数字来判断,因此再次对斜率的变化进行衡量,引入凸性参数。
凸性就就是债券价格对收益率曲线的二阶导数,就就是对债券久期(受利率影响,对利率敏感性)的再度测量。
在利率变化很小的时候,传统的久期(就是以每期现金流现值占总体现值的比)可以近似衡量债券价格与利率之间关系,但就是更为精确的衡量则就是修正久期。
久期(也称持续期,duration)就是1938年由F、R、Macaulay提出的,以衡量债券利率风险最常用的指标,反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。
直观地讲,就就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化它就是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重就是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。
久期的计算比较麻烦,一般投资者没有必要自己去计算它。
久期取决于债券的三大因素:到期期限,本金与利息支出的现金流,到期收益率。
债券的久期越大,利率的变化对该债券价格的影响也越大,因此,该债券所承担的利率风险也越大。
在降息时,久期大的债券价格上升幅度较大;在升息时,久期大的债券价格下跌的幅度也较大。
由此,投资者在预期未来降息时,可选择久期大的债券;在预期未来升息时,可选择久期小的债券。
案例:某只债券基金的久期就是5年,如果利率下降1个百分点,则该基金的资产净值约增加5个百分点;反之,如果利率上涨1个百分点,则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失。
久期与凸性最通俗的理解
久期与凸性最通俗的理解
久期是证券价值变动的百分比对到期收益率变动的敏感性，同时考虑到利率变化和到期收益变化是成正比的，故当利率变化是，久期大的债券对这个变化的敏感度会越高，表现便是亏得越大或者赚的更多。
凸性是对久期的补充在价值变动的百分比过大时，仅用久期进行利率敏感性分析误差会比较大，凸性就是用来减少误差的。
久期也称持续期，是以未来时间发生的现金流，按照目前的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以其距离债券到期日的年限求和，然后以这个总和除以债券目前的价格得到的数值。
久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了价格/收益率曲线的弯曲程度。
凸性是债券价格对收益率的二阶导数。
例如：如果一只债券收益率下降了10BP，大概涨了多少钱？
10BP*久期
例如一只4.5久期的债券收益率下降10BP大概上涨了4.5*10=45 也就是0.45元。
如果债券市场上涨，什么样的券涨得更多？久期长，凸性大。
通俗点的说法：久期：与期限相关，可以反映价格对利率变动的敏感性，久期越长，对利率敏感性越高。
凸性：债券涨跌的弹性。
久期与凸度的计算与应用实训心得
久期与凸度的计算与应用实训心得在进行久期与凸度的计算与应用的实训过程中，我学到了很多关于债券定价和风险管理的重要概念和技巧。
久期计算：
久期是衡量债券价格对利率变动敏感性的重要指标。
它的计算涉及到债券的现金流量、到期时间和当前市场利率。
在实训中，我学会了使用久期的公式和计算方法，包括修正久期的概念。
这使我能够准确地评估债券价格在利率变动下的变化情况，并更好地理解债券投资的风险特征。
凸度计算：
凸度是对债券价格波动性的度量，它衡量债券价格对利率变动的敏感性变化率。
凸度的计算需要债券的久期和现金流量的信息。
在实训中，我学会了凸度的计算公式和方法，并了解了凸度与久期之间的关系。
凸度的计算帮助我更好地理解债券价格的非线性变化，并能够更准确地估计价格变动。
应用实践：
久期和凸度的计算对于债券投资组合管理和风险控制非常重要。
通过对久期和凸度的计算，我能够评估不同债券的价格敏感性和风险水平。
在实训中，我学会了使用久期和凸度来优化债券投资组合，以达到预期的风险收益平衡。
我可以根据久期和凸度的信息来调整持有的债券种类和权重，以实现对利率变动的更好抵御能力。
此外，我还学会了利用久期和凸度来评估利率敏感性和价格波动性对冲策略的有效性。
通过对久期和凸度的计算和分析，我能够确定哪些对冲策略可以最大程度地降低债券组合的风险。
通过这次久期与凸度的计算与应用实训，我深入了解了这两个重要的概念以及它们在债券投资和风险管理中的作用。
债券价格波动和利率风险衡量方法——“久期”与“凸性”运用
$396,389.88
1,189,169.64
$527,594.93 0.683013455
$360,354.44
1,441,417.74
$527,594.93 0.620921323
$327,594.94
1,637,974.71
$2,637,974.65
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$2,000,000.00
5,620,251.57
(4) = (2)×(3)
现金流 的现值
(5)
现金流的现值 对债券市价的
比率(权重)
(6) = (5)×(1) 现金流的现值对 债券市价的比率 与现金流动所需
时间的乘积
1年
$80
0.9091
$72.73
0.076535648
0.076535648
2年
$80
0.8264
$66.12
0.069581689
....
(n)CFn (1r)n
n
PV(CFt )t
t1
P0
n
PV(CFt )
t1
对公式的解释
• 公式中的分母是利息和本金支付流的现值，即 债券的市场价格；而分子则是指：全部利息和 本金的现金流用相同的到期收益率(而不是使用 预期将来每一次支付发生时的即期利率)来进行 折现，然后，将所有经过折现后的现金流的现 值用作权重(weights)对各次支付所需要的时间 进行加权，最后再作加总
d P 2 .554 61 % 5 9 2 .585144% 6； 59814 P
$ 2 ,0,0 00 0 10 0 .0255 4 4 $ 1 ,6 9.5 4 99 8 .0 8。 8 6 01
“麦考莱久期”
浮动利率债券久期和凸性的研究
A Study on Duration and Convexity of Floating -
Rate Notes
作者： 林茂[1];刘俊[2]
作者机构： [1]西南财经大学MBA教育中心;[2]西南财经大学金融学院
出版物刊名： 数量经济技术经济研究
页码： 82-92页
主题词： 浮动利率债券;利差久期;利率久期;利差凸性;利率凸性
摘要：本文首先推导了浮动利率债券的利差久期、利率久期、利差凸性和利率凸性的封闭式计算公式，适用于任意结算日。
随后对久期的敏感性研究发现，浮动利率债券的利差久期总体上大于利率久期，且二者都是距离下一付息日时间的递增函数；利差久期是剩余付息次数的递增函数；在贴现利差大于（等于、小于）基本利差时，利率久期是剩余付息次数的递减（不变、递增）函数；利率久期和利差久期都是贴现利差的递减函数。
最后使用封闭式公式计算四支浮动利率债券的久期和凸性，同时计算有效久期和有效凸性来检验，发现两种计算方法的结果很接近。
债券的久期和凸性
)
D D* 1 y
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
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4
债券的久期
dP/ P D D* dy 1 y
D
T t1
t
[
Ct (1 y)t
/
T t1
Ct (1 y)t
]
其中，wt为t时期的权重
T
t wt
t1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
2. 到期收益率越大（息票率越大），则凸性越小 3. 到期日越远（同等次数、同等量的现金流但支
付越分散），凸性越大。 4. 凸性减少了债券的波动性。
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30
债券的凸性
凸性具有减少久期近似误差的性质。利率变化引起债券 价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅 度要小。因此，在其他条件相同时，人们应该偏好凸性大 的债券。
根据泰勒公式
p(y) dP 1 dy 1 1 d2P(dy)2 p dy p 2 p dy2
Ddy 1c(dy)2 2
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31
债券的凸性
例 到期收益率 调整久期
5％ 4.33年
债券价格 凸性
100 26.3849
给定以上数据，当到期收益率上升到7％时，债券的价格将如何变化？
pD D*py4.331002%8.66
凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映 了债券带来的现金流的集中程度，现金流越集中凸 性越小，现金流越分散则凸性越大。 注意：久期是平均意义上的到期时间。
凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发 生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
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久期与凸性的理解
久期与凸性的理解(2010-12-22 10:43:20)最近在研究企业债券的投资，对于某些术语了解了一下，在此与大家共同学习一下,我的心得是，久期和凸性都是衡量利率风险的指标，衡量债券价格对利率的敏感程度；但久期具有双面性，就是在利率上升周期，要选择久期小的债券，而在利率下降周期，要选择久期大的债券；而凸性是具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小，因此需要选择凸性较大的债券。
久期描述了价格-收益率（利率）曲线的斜率，斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大，而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量，引入凸性参数。
凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。
简单计算方法为：例如债券久期为3，那么当市场利率提高1%，那么债券价格就近似下跌3*1%=3%；凸性用于衡量债券久期对市场利率变化的敏感性，比如债券凸性为3，那么当市场利率提高1%，那么债券久期就近似上升3*1%=3%。
在利率变化很小的时候，传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比例为权重计算的加权平均到期日）可以近似衡量债券价格和利率之间关系，但是更为精确的衡量则是修正久期。
什么是久期？久期（Ｄｕｒａｔｉｏｎ）——久期是衡量债券利率风险最常用的指标，反映的是市场利率变化引起债券价格变化的幅度。
直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
公式如下：久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化久期的分析方法债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。
在降息时，久期大的债券价格上升幅度较大；在升息时，久期大的债券价格下跌的幅度也较大。
由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。
久期运用的局限性久期运用的前提是假设债券价格与收益率之间的反比关系是线性的，因此，久期计算的收益率变动所引起价格变动的值，只是一个近似的公式。
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标关于久期，一篇科普性质的文章可见：本文将稍显晦涩。
关于债券价格，首先明确，债券的价格是其产生的未来现金流按到期收益率贴现的现值。
我们认为市场中有利率期限结构（Term Structure of Interest Rates），它实际上是即期利率（Spot Rate）曲线，精确地说，是各种期限的无风险零息债券到期收益率所构成的曲线。
用C表示现金额，y表示利率期限结构中的到期收益率，则：到期收益率曲线非水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}}特殊地，到期收益率曲线水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{(1+y)^{t}}久期在讨论久期和凸性时，我们始终关心的是利率变动和价格之间的关系。
如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数：\operatorname d P=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname d y_{t}旨在建立实用的久期概念，我们不做严格的数学推导，而因此做一系列近似。
我们假设到期收益率曲线在变化时平行移动，并且提出一个近似的共同因子，便有：\begin{aligned} \operatorname d P&=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname dy_{t}\\&\appro-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}} \; \operatorname d y\end{aligned}有时我们用V(C_t)表示一笔现金的现值，用d_t表示折现因子，上式也可以写成：\begin{aligned} \operatorname d P&=-\frac{1}{1+y}\sum_{t=1}^{n} t \cdot V(C_t) \; \operatorname d y\\ &=-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} t \cdot d_tC_t \; \operatorname d y \end{aligned}出于我们的目的，自然是要考察 {\operatorname dP/P\over\operatorname dy} ，这刻画了市场利率变化时债券价格的变化程度。