拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用

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拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一,它是勒让德-拉格朗日定理的一个特例。

它是用来描述在一个闭区间内可微函数的平均变化率的存在性及其应用。

在本文中,我们将从拉格朗日中值定理的证明入手,然后介绍其应用场景,以及它在实际问题中的应用。

让我们从拉格朗日中值定理的表述入手。

设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,那么存在ξ∈(a, b),使得:f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)其中f'(ξ)表示函数f(x)在点ξ处的导数。

这个定理表明了在一个闭区间内可微函数的平均变化率存在。

接下来,让我们来证明拉格朗日中值定理。

证明的思路是构造一个辅助函数来辅助完成证明。

我们定义一个函数g(x) = f(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a) * (x - a)。

很容易证明g(x)在闭区间[a, b]上满足罗尔定理的条件,即g(a) = g(b) = f(a) - [f(b) - f(a)] / (b - a) * (b - a) = f(a),g(a) = g(b) = f(b) - [f(b) - f(a)] / (b - a) * (b - a) = f(b)。

根据罗尔定理,存在ξ∈(a, b),使得g'(ξ) = 0。

即g'(ξ) = f'(ξ) - [f(b) - f(a)] / (b - a) = 0,整理得到f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)。

拉格朗日中值定理得到证明。

接下来,让我们来探讨一下拉格朗日中值定理的应用。

在实际问题中,拉格朗日中值定理常常会被用来表示平均变化率、速度、斜率等概念。

当我们需要计算一个函数在某一区间内的平均变化率时,就可以使用拉格朗日中值定理。

又当我们需要计算一个曲线在某一点的切线斜率时,也可以使用拉格朗日中值定理。

这个定理在实际问题中有着广泛的应用。

拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中的巧妙运用

拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中的巧妙运用

拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中的巧妙运用作者:左代丽来源:《新校园(下)》2016年第03期摘要:本文首先介绍了拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用形式和应用范围,对拉格朗日中值定理予以三种方式证明,并结合相关证明不等式例题,介绍了拉格朗日中值定理在高中不等式证明中的巧妙运用。

关键词:拉格朗日中值定理;不等式;证明;应用拉格朗日中值定理是微积分中值定理(包含罗尔定理、柯西定理以及拉格朗日定理)中的一种,对于微积分理论构造有重要的作用。

不等式的证明作为高中数学中较为常见的题型,也是高考中较为常见的题型。

对于不等式证明的解题方式有很多,利用中值定理解不等式是一种常见的方式。

但高中生并没有深入学习微积分,对此种方法的理解不够深入,应用起来稍显笨拙。

一、拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用1.极限问题的求解。

极限问题是高中数学中极限学习的考察重点,在高中数学教学中,许多教师都向学生介绍了洛必达法则、夹逼定理、泰勒公式等解题方式。

这些解题方式原理简单,解题思路顺畅,解题效果较好,极容易被学生吸收。

而利用拉格朗日中值定理来求解极限问题的教学比较少见,一方面,拉格朗日中值定理相对复杂,通常用来解决复杂的极限问题,另一方面,学生对于复杂的极限题目往往具有畏难心理,常常在解题过程中选择放弃。

实际上,利用拉格朗日中值定理来解决复杂的极限问题,其实质在于分解题目,实现对题型的转变,运用拉格朗日中值定理求极限的时候要把握好拉格朗日中值定理与极限问题之间的关联,寻找两者之间的连接点,做好式子的简化,这样才能快速解题。

2.不等式证明的求解。

不等式证明题是不等式教学中最基本的题型之一,解决不等式证明的常规方法有许多,例如:数形结合、导数法等。

利用拉格朗日中值定理来解决不等式证明题,其核心在于对函数的构建,以及进一步探索导数与构建的函数之间的关系,利用这种关系,进一步确定在特定条件下函数成立,继而证明不等式。

常规方法证明较复杂的不等式需要耗费大量的演算时间,且容易在求解过程中产生思维冲突,不利于正确解题,但直接运用拉格朗日中值定理非常简单,能够快速求解。

拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用拉格朗日中值定理(LagrangeMeanValueTheorem)是一种经典的微积分定理,它于1784年由法国数学家拉格朗日首次提出。

它有助于我们解决很多不等式计算问题,使这些问题更加容易推理出正确的结论。

在不等式证明中,拉格朗日中值定理可以作为一个重要的工具,帮助我们建立证明的逻辑链条,以验证不等式的正确性。

首先,让我们介绍拉格朗日中值定理的基本概念。

拉格朗日中值定理是指:给定一个定义在实数闭区间上的函数f,如果该函数在闭区间内连续,那么在这个闭区间内存在某个α,使得:f(α)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

其中a为闭区间的左端点,b为闭区间的右端点。

既然介绍了拉格朗日中值定理背后的基本原理,那么我们就可以来看一看如何运用拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用。

如果要证明某一不等式,那么第一步必须是建立一个函数,用它来描述不等式。

拉格朗日中值定理告诉我们,当一个函数在闭区间上连续时,存在一点,使得函数f(α)=(f(b)-f(a))/(b-a),那么我们就可以利用这一性质,来进行证明。

例如,我们有f(x) = x + x - 1,要证明f(x) 0,当-1 x 1时成立。

首先,将范围[-1,1]表示为[a,b],根据拉格朗日中值定理,求出f(x)在[a,b]区间内的中点α,通过求导数等方法,使f(α)=(f(b)-f(a))/(b-a),即有f(-1/2) = 5/32,由于f(-1/2) > 0,得出f(-1/2) 0,又因为f(x)在[a,b]区间内是连续的,即可知f(x)在[a,b]区间内也是连续的,由此可以说明f(x) 0,当-1 x 1时成立。

再如另一个例子,f(x) = 1-2x+x,要证明f(x) 0,当-1 x 1时成立。

按照上述方法,先找出f(x)的中点α,计算f(0) = 1,由于f(0) > 0,又因为f(x)在[a,b]区间内是连续的,所以f(x) 0,当-1 x 1时成立。

拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用

拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用
j ∈ ( ,) 得 f6 使
厂 ( )一 ,
少存在 一点 ( 口< < 6 )使
> .4 []
证 明 作 辅助 函数
)一 )+ ( - a x- )
从 而有
厂 ( )> ,
O— d

则 g )为形 如 A ( x+B 的 函数 . 因为 厂 )不为形 如 Ax+ B 的函数 , 以至 ( 所 少存在 一点 c∈ ( ,) 使 n6 , 厂c ≠ gc, ,口 () () 但 ( )一 g 口 , ( )一 g 6 ()厂 6 () 情 形 一 ()> g c , c () 此时
a 一 b 一 ( 口一 6 )
至少 存 在 一 个 值 , 厂( 使 n+ Ob一 口 )一 ( )
D 一 口
因为 X 当P> 1 为单调增 函数 , < < a 时 b ,
所 以
6 < < n川 ,
或 厂() ( ) 6 一厂 口 一 ( + 6 a ) 6 ( - ) (
关 于拉格 朗 日中值 定理 的证明及 应用有 许多
专 门的研 究 , 利用 拉格 朗 日中值定 理 证 明不 等 式 有许 多方便 之 处. 文 着重 介 绍 如何 利 用拉 格 朗 本 日中值定 理来分 析证 明一些 常见 的不 等式 。
又因为
fO 引≤ 1 S C
所 以原式 成立 。


两边 同 时取绝对 值
li —s I S — I n s i Y — ( ) n l C O

证 明 设 , z ( )= lx ( n ,z> O , 其在 [ , )则 口 6 ]上连 续 , 口 6 上 可导 , f ( )= . 在( ,) 且 z : : 由拉

浅析定拉格朗日中值定理及其应用

浅析定拉格朗日中值定理及其应用

浅析定拉格朗日中值定理及其应用中值定理证明是考研数学中最大的难点,综合性与灵活性很强。

拉格朗日中值定理是中值定理中重要的一项内容,也是考生们较难掌握的知识点。

我们可以从以下几部分来理解掌握拉格朗日定理的内容、证明、与应用。

一、拉格朗日中值定理的内容如果函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使等式成立()f ξ'=()()f b f a b a --。

注:1.拉格朗日中值定理条件与罗尔定理及柯西中值定理条件相同,即“闭区间连续,开区间可导”。

2.拉格朗日中值定理与罗尔定理及柯西中值定理相互关联,罗尔定理是()()f a f b =时,拉格朗日中值定理的特殊情形。

拉格朗日中值定理又为()g x x =时,柯西中值定理的特殊情形。

积分中值定理同可看作拉格朗日中值定理的特殊情形。

二、拉格朗日中值定理的证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()a,b a,b ,,=0,f b f a f b a f b f a f b a f b f a F x f b af b f a F x f x f a x a b aF a F b f b f a F x a b F f b a ξξξξξξ-'=--'-=--'---=----==-''∃∈=-设为的原函数之一在上连续,在上可导,则使即。

注:1.考情:考研考试中曾考察过拉格朗日中值定理证明过程,拉格朗日中值定理的内容及证明是同学们必须掌握的知识内容。

2.学情:拉格朗日中值定理可被理解为罗尔定理的推广,同时拉格朗日中值定理也是通过罗尔定理来证明的。

在使用罗尔定理证明的过程中,最重要的一步就是构造函数。

在拉格朗日中值定理的证明过程中,()F x 的构造尤为重要,对原函数加减常数后求导无影响,故在式中添加了()f a -,并将x 写为()x a -。

拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理的应用

高教论坛在数学分析中,微分中值定理主要包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理及泰勒公理等.微分中值定理是导数应用的重要基础,其中,拉格朗日中值定理的应用最为广泛。

下面,分别介绍拉格朗日中值定理的内容及其应用。

1拉格朗日中值定理的内容定理[1]:如果函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导.则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得注释:(1)拉格朗日中值定理又称为有限增量定理,该定理建立了函数与导数的关系,这样就可以利用导数的性质研究函数的性质。

(2)罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,拉格朗日公式恰好为0阶泰勒公式。

(3)拉格朗日中值定理可以证明等式和不等式,也可以研究函数的单调性、凹凸性及其连续性等性质。

2证明等式由于拉格朗日中值定理的结论本身就是一个等式,因此可以利用该定理证明某些等式。

例1[2]:闭区间[a,b]上连续,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得证明:因f(x)连续,故它的原函数存在,设为F(x),由牛顿—莱布尼茨公式,有在区间[a,b]上,对函数F(x)应用拉格朗日中值定理,在开区间内至少存在一点ξ,使得故3不等式的证明拉格朗日中值定理中的ξ位于开区间(a,b)内,可以利用这一属性证明不等式。

例2[2]:证明当时,有.证明:设,显然f(t)在[0,x]上满足拉格朗自中值定理的条件,根据定理,应有即又由于,有,即4求极限利用拉格朗日中值定理可以解决某些特殊极限的计算问题。

例3[3]:求解:原式因为,所以当,有,故原式.5研究函数的性质利用拉格朗日中值定理可以研究函数的单调性、凹凸性及连续性.这里仅给出定理在函数一致连续方面的应用举例。

例4[4]:证明在上一致连续。

证明:由于f(x)在上一致连续,因此在[0,2]上一致连续,于是,使得当且时,有.另一方面,因为在上严格单调递减,所以在上恒有,于是,对,应用拉格朗日中值定理,得这样,对给定的ε,取,则当且时,有现取,则对,当时,一定有或,从而必有这表明f(x)在上一致连续。

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用泰勒公式和拉格朗日中值定理是微积分中常用的重要工具,它们在证明不等式中有很多简单应用。

下面将分别介绍泰勒公式和拉格朗日中值定理,并给出一些简单的不等式应用例子。

一、泰勒公式泰勒公式是描述函数在一些点附近的近似表达式。

对于一个函数f(x),如果它在一些点a处具有n+1阶可导,那么根据泰勒公式,我们可以得到以下的展开式:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中,R_n(x)是拉格朗日余项,并且满足以下形式:R_n(x)=f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!泰勒公式的一个直接应用就是可以用它来证明不等式,我们可以通过展开函数,对比系数,再将恒等式转化为不等式,来获取我们想要的结论。

例如,我们想要证明在[0,1]区间上,e^x>=1+x+x^2/2,可以使用泰勒公式展开e^x,然后对比系数:e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+R_n(x),(n≥2)对于n=2,展开式为:e^x=1+x+x^2/2+R_2(x)我们知道e^x是递增的函数,所以对于x∈[0,1],e^x的取值在[1,e]之间。

而对于1+x+x^2/2,将x替换为1,可以得到2.5、所以我们只需要证明对于[0,1]区间内的x,有2.5>=e^x即可。

假设在[0,1]区间内存在一些点c,使得R_2(c)=e^c-(1+c+c^2/2)>0,即e^c>1+c+c^2/2、由于R_2(c)的形式具有e^c的余项特征,我们可以使用拉格朗日中值定理来讨论。

根据拉格朗日中值定理,存在一个点d∈(0,c),使得R_2(d)=R_2(c)-R_2(0)=e^c-(1+c+c^2/2)-2<=0。

拉格朗日中值定理的证明与应用

拉格朗日中值定理的证明与应用

拉格朗日中值定理的证明与应用屈俊1,张锦花2摘要:本文首先用辅助函数法,区间套法,参数变异法,巴拿赫不动点定理法,行列式法,旋转坐标法,面积法证明了拉格朗日中值定理。

然后用具体的例子,说明了如何应用拉格朗日中值定理求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题。

关键字:拉格朗日中值定理 证明 应用三大微分中值定理(其中包括罗尔中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值)是《数学分析》中的一个重要章节。

微分中值定理建立了函数与导数之间的联系,他们使微积分建立在严密而坚实的基础上,构成了微积分优美的基本理论,而且是利用导数研究函数的性质与状态的重要理论基础。

拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个,是微分学应用的桥梁。

由于罗尔中值定理条件的限制,他的用途没有拉格朗日中值定理广泛,在证明拉格朗日中值定理时方法多样,下面介绍证明拉格朗日中值定理时常常采用的方法以及用具体的例子说明拉格朗日中值定理的应用。

(一)拉格朗日中值定理的证明拉格朗日(Lagrange)中值定理:若函数(x)f 满足如下条件: (1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()()()f b f a f b aξ-=-拉格朗日中值定理的几何意义:函数()y f x = 在区间[,]a b 上的图形是连续光滑曲线弧AB 上至少有一点C ,曲线在C 点的切线平行于弦AB.从拉格朗日中值定理的条件与结论可见,若()f x 在闭区间[]a,b ,两端点的函数值相等,即()()f a f b = ,则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此,我们只须对函数()f x 作适当变形,便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.证明:1.1:辅助函数法目前教材的常见证明方法如下: 作辅助函数()()()(x)()(),[,],f b f a x f f a b a x a b b aϕ-=---∈-由于函数()f x 在闭区间[]a,b 上连续,在开区间(,)a b 上可导,并且有()()0,a b ϕϕ==于是由Rolle 定理,至少存在一点(,)a b ξ∈ ,使得'()0.ϕξ= 对()x ϕ 的表达式求导并令'()0.ϕξ=整理后便得到'()()()f b f a f b aξ-=-1.2行列式令()1()()1.()1f a a F x f b b f x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭根据拉格朗日中值定理的条件知,函数()F x 在闭区间[]a,b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,并且有''()1()()1(x)10f a a F x f b b f ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由于()F(a)0,F b == 所以根据罗尔中值定理知,在(,)a b 内至少有一点ξ ,使得'()0F ξ= ,即'()1()10()10f a a f b b f ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭根据行列式的性质不难得到'()1()f(a)00,()10f a a f b b a f ξ⎛⎫ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭在按照第三列展开该行列式得'[()()]()()0,f b f a f b a ξ---=即'()()()f b f a f b aξ-=-证毕1.3旋转坐标法分析:做辅助函数'(x)y sin ()cos ,F x f x θθ==-+ 因为(b)sin (b)cos ,()sin ()cos ,F b f F a a f a θθθθ=-+=-+由sin ()().cos f b f a tg b aθθθ-==- 可得()().F a F b =经此坐标轴的旋转变换,使旋转角θ 满足()().f b f a tg b aθ-=- 由此,构造辅助函数为()sin ()cos F x x f x θθ=-+即可把问题转化为符合罗尔定理的条件。

拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理,可以帮助我们研究函数的性质和变化趋势。

它的证明基于连续函数的性质和导数的定义,下面我们来详细介绍该定理的证明及其应用。

拉格朗日中值定理的表述如下:设函数f在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)上可导,则在(a, b)内至少存在一个点c,使得f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)。

证明:我们定义一个辅助函数g(x) = f(x) - ((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a),则g(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)上可导。

根据导数的定义,我们有g'(x) = f'(x) - ((f(b)-f(a))/(b-a))。

根据罗尔定理,若g(x)在闭区间[a, b]的两个端点值相等,则必存在一个点c,使得在(a, b)内g'(c) = 0。

根据g'(x)的定义,我们可以得到f'(c) - ((f(b)-f(a))/(b-a)) = 0,即f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)。

所以根据罗尔定理,定理得证。

拉格朗日中值定理的应用非常广泛。

下面我们来介绍一些常见的应用场景。

1. 确定函数在某区间上的最值:通过拉格朗日中值定理,我们可以找到函数在某个区间上的最大值和最小值。

首先求出函数在该区间的导数,然后利用拉格朗日中值定理找到导数为零的点,再将这些点代入函数,即可得到最大值和最小值。

2. 研究函数的增减性:通过拉格朗日中值定理,我们可以找到函数在某个区间上的单调性。

若f'(x)>0,则函数在该区间上是增加的;若f'(x)<0,则函数在该区间上是减少的。

3. 证明函数的性质:拉格朗日中值定理可以帮助我们证明函数的某些性质。

对于严格单调函数,若在一个区间上导数恒大于零(或小于零),则函数在该区间上是严格递增(或递减)的。

拉格朗日中值定理的证明及应用

拉格朗日中值定理的证明及应用
拉格朗日(拉式)中值定 理的证明方法及应用
精选
1
一、定义:如果函数 f x 满足:
1、在闭区间a, b 上连续
2、在开区间a,b 内可导
则至少存在一点 a,b ,使得
ffbfa
ba
精选
2
二、证明方法
做辅助函数
可以利用弦倾角法做辅助函数
精选
3
y
f x
由图得:
< <
22
oa
tan c sio n sfb b a fa


科学一班五组
成员: 郭浩 刘均 王浚臣
李莎莎 许琴 王旭洪
刘兴隆 董大鹏 昝精航选
10
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理得:fx fx 0 fx x 0 ( 界于 x 0 与 x之间)
则有:fx fx 0 fx x 0
fx 0 fx x 0
fx0M ba
精选
8
令Kfx0M ba,则对任意 xa,b
有 fx K ,即 f x在 a,b 内有界。
精选
9

1+1=?

让我看看 几点了
So easy
精选
5
例1:设 f (x)在 [a , b] 上连续, 在 (a ,b) 内可导,

且 0ab, 证明存在 (a,b), 使
证明
等式
af(b)bf(a) f()f()
ab(ba)
2
证:∵ 所证结论左边为 F b
Fa
af(b)bf(a) fb(b)f(aa)
ab(ba)
ba
设辅助函数

中值定理在不等式证明中的应用

中值定理在不等式证明中的应用

本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理,其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法:直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中,给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况:区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明,以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍•关键词:拉格朗日中值定理;泰勒公式;柯西中值定理;积分中值定理;不等式AbstractThis paper idea wrote in in equality proof of use freque ntly duri ng several of the mea n value theorem, which in the Lagra nge mea n value theorem proving in equality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to con struct auxiliary fun ctio n. in the applicati on of proof in equalities of the Taylor mea n value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the fun cti on extreme value point or the most value point, the in terval of known at any point. And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify in equality. And Cauchy mid-value theorem and in tegral mea n value theorem in the applicati on process to prove the in equality were briefly discussedKey words:The Lagrange Mean Value Theorerp Taylor's Formula; Cauchy Mean Value Theorem; In equality ;The Mean Value Theorem for In tegrals摘要 (I)Abstract (I)1引言 (1)2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (2)2.1拉格朗日中值定理 (2)2.2利用拉格朗日中值定理证明不等式 (2)2.2.1 直接公式法( 2) 2.2.2 变量取值法( 4) 2.2.3 辅助函数构造法 (5)3泰勒中值定理在不等式证明中的应用 (7)3.1 泰勒中值定理............................... ( 7) 3.2利用泰勒公式证明不等式( 7) 3.2.1 中点取值法( 7) 3.2.2 端点取值法( 9) 3.2.3 极值取值法( 9) 3.2.4 任意点取值法(11)4柯西中值定理在不等式证明中的应用 (14)4.1柯西中值定理 (14)4.2利用柯西中值定理证明不等式 (14)5积分中值定理在不等式证明中的应用 (16)5.1 积分中值定理(16)5.2利用积分证明不等式 (16)结束语 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1引言不等式也是数学中的重要内容,也是数学中重要方法和工具.中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也称微分中值定理)为中心,介值定理是中值定理的前奏,罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广.利用中值定理证明不等式,是比较常见和实用的方法.人们对中值定理的研究,从微积分建立之后就开始了以罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础,它们建立了函数值与导数值之间的定量联系,中值定理的主要作用在于理论分析和证明;应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态. 此外,在极值问题中有重要的实际应用.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论,它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间,对它的研究时有出现.特别是近十年来,我国对中值定理的新证明进行了研究,仅在国内发表的文章就近60篇.不等式的证明不仅形式多种多样,而且证明方式多变,常见的方法有:利用函数的单调性证明,利用微分中值定理证明,利用函数的极值或最值证明等,在众多方法中,利用中值定理证明不等式比较困难,无从下手,探究其原因,一是中值定理的内容本身难理解,二是证明不等式,需要因式而变,对中值定理的基础及灵活性要求较高.我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题,不等式是初等数学中最基本的内容之一,我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究,找出它们的共性,以方便我们日后的教学研究工作的开展.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用2.1拉格朗日中值定理拉格朗日(grange , 1736-1813,法国数学家,力学家,文学家)• 拉格朗日中值定理设函数f x在闭区间[a,b]上连续,在开区间a,b内可导,则在开区间(a,b)内至少存在一点X。

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

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解题方法:利用导数研究函 数单调性、构造辅助函数等
拉格朗日中值定理在高考题中 的妙用:证明不等式、求参数 范围等
解题技巧:灵活运用定理, 结合其他数学知识
如何掌握和运用拉 格朗日中值定理解 题
公式:若函数f(x)在 [a,b]上连续,且对所 有x∈[a,b],满足f'(c) = f(b)-f(a)/b-a,则称c 为f(x)在[a,b]上的拉格 朗日中值。
常见形式:在高考数学 中,拉格朗日中值定理 常常以如下形式出现: 证明函数在某个区间内 单调,或者证明函数在 某个区间内的值域。
解题思路:通过构造辅助函数,利用拉格朗日中值定理证明不等式
解题步骤:根据不等式的特点,选择适当的辅助函数,利用拉格朗日中值定理推导不等 式
结论:利用拉格朗日中值定理证明不等式是一种有效的解题方法,能够简化证明过程
原理:利用拉格朗日 中值定理,通过构造 辅助函数,将函数的 最值问题转化为求解 方程的问题。
拉格朗日中值定理在 高考题中的妙用
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目录
拉格朗日中值定理的概 述
拉格朗日中值定理在 高考题中的常见形式
拉格朗日中值定理在 高考题中的妙用举例
如何掌握和运用拉格 朗日中值定理解题
总结与展望
拉格朗日中值定理 的概述
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拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一,它 反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与 区间内某点的局部变化率的关系。
适用范围:适用于函 数在闭区间上连续、 开区间上可导的情况, 且函数的最值存在。

拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用拉格朗日中值定理(Lagrange Interpolation Theorem)是一个多项式插值定理,其证明用到了不等式的技巧。

它的应用非常广泛,在数学、物理、工程等多个领域都发挥着重要作用。

在不等式证明中,拉格朗日中值定理也可以发挥作用。

首先,我们来看拉格朗日中值定理的描述:如果在区间[a, b]上有n + 1个不同的点x0, x1, ..., xn,则存在一个多项式P(x),使得对于任意的i,有P(xi)=f(xi)。

这里,f(x)是在[a, b]上定义的函数。

拉格朗日中值定理有很多应用,其中之一就是在不等式证明中的应用。

下面我们来看一个例子,证明 f(x) = x2 + x + 1在满足 0 < x < 1 的所有 x 上都大于 0。

首先,我们将 [0, 1] 划分成 n 个相等的小区间,即[0, 1/n], (1/n, 2/n],…,((n-1)/n, 1],然后求出每个小区间内的端点,得到 x0=0, x1=1/n, x2=2/n,...,xn=1。

我们记 f(x) 的值在每个端点 xi 上的值为 yi,即y0=f(0)=1, y1=f(1/n), y2=f(2/n)...,yn=f(1)=2。

根据拉格朗日中值定理,我们知道在 [0,1] 上存在一个多项式 P(x),使得 P(xi)=yi,即 P(0)=1,P(1/n)=f(1/n), P(2/n)=f(2/n)...,P(1)=2。

由 Taylor 展开式,我们知道 P(x) 的形式为P(x)=y0+y'0(x-x0)+y''0(x-x0)(x-x1)+...+y^(n-1)0(x-x0)...(x-x_n-1)因此,可以求出 P(x) 的表达式,其中的系数可以用分母为n!的组合数表示,即P(x)=sum_{i=0}^ny_iC_i(x)只要把 C_i(x) 表示出来,就可以求出 P(x) 的表达式。

拉格朗日中值定理的证明及其应用

拉格朗日中值定理的证明及其应用

拉格朗日中值定理的证明及其应用【摘要】拉格朗日中值定理是微积分中重要定理之一,其证明方法关键在于构造一个辅助函数,再应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算、区间套定理四个方面分析构造辅助函数的思路和方法,利用该辅助函数证明了拉格朗日中值定理,并以具体实例说明如何应用拉格朗日中值定理.【关键词】罗尔中值定理;拉格朗日中值定理;辅助函数1 引言拉格朗日中值定理是微分学的重要定理之一,它的证明通常以罗尔中值定理作为预备定理,其证明方法关键在于构造一个辅助函数,而辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件,证明的过程就是对辅助函数应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.罗尔定理中这个条件很特殊,它使罗尔定理的应用受到限制.如果把这个条件取消,但仍保留另外两个条件,并且相应改变结论,即得微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算三种方法证明了拉格朗日中值定理,并从具体实例说明了如何应用拉格朗日中值定理.2 拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理的证明过程就是对所构造的辅助函数(该辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件)应用罗尔中值定理.由于构造辅助函数的思路不同,拉格朗日中值定理的证法有多种.首先我们给出罗尔中值定理和拉格朗日中值定理[1]如下:罗尔中值定理若函数满足以下条件:(1)在连续;(2)在可导;(3).则至少存在一点,使.拉格朗日中值定理若函数满足以下条件:(1)在连续;(2)在可导,则在内至少存在一点,使.2.1 利用坐标旋转构造辅助函数如果函数在闭区间上连续;在内可导.图2.1如图2.1所示,由坐标旋转图形的不变形可知,只要把坐标轴旋转到与直线重合,在新坐标下图形显然满足罗尔定理条件,通过罗尔定理即可得出结论.为此可引入旋转坐标变换[2].因为,所以有逆变换.记.取旋转角时,在上连续;在内可导,由,可得,即,因此,满足罗尔定理的条件,故至少存在一点使,亦即,.2.2 利用分析表达式构造辅助函数由拉格朗日中值定理结论可知,欲证,即要证,换言之即证在区间内有零点.据此利用罗尔定理可得拉格朗日中值定理.证明令,则在区间连续,在内可导,且,即.故由罗尔定理知,至少存在一点,使.即.注意这辅助函数所表示的曲线是曲线和直线之差,而这直线通过原点且与曲线在上两端点的连线平行,从而使得满足罗尔中值定理的条件.2.3 利用向量运算构造辅助函数引理 2.1[3]在平面直角坐标系中,已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为,,,则三角形ABC面积为.于是可以引用引理证明拉格朗日中值定理如下:若在内连续,在内可导,则在内连续,在内可导,且,所以由罗尔中值定理知:在内至少存在一点使得,而.故.通过对拉格朗日中值定理的证明方法的分类总结,发现证明方法的确多种多样.一般来说大多采用的是构造辅助函数的方法,我们从分析和几何的角度加以分析总结,分析法构造辅助函数主要有原函数构造法;几何法是利用图形的特征进行分析,从而构造出需要的辅助函数,与分析法有异曲同工之妙,同时也可以认为是上面某些分析方法的几何解释.另外我们还总结了一些特殊方法,它们不需要构造辅助函数,仍可以得证,如区间套定理证明法.通过分类总结,有助于开阔我们的思路,对微分中值定理的认识也会更加深入.3 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础.它作为中值定理的核心,有着广泛的应用,在很多题型中都起到了化繁为简的作用.下面通过举例说明拉格朗日中值定理在四个方面的应用.3.1 证明不等式证明不等式的方法很多,但对于某些不等式,用初等解法不一定解得出来.拉格朗日中值定理在不等式中有很重要的应用,往往能够化难为易.在应用中关键是取适当函数,利用中值公式将所要证明的不等式与导函数联系起来,在根据的某些性质证出所要求的不等式.比如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函数增量形式等题型.例 3.1 证明对一切都成立.证明设,取闭区间.因为在上满足拉格朗日中值定理条件.所以,至少存在一点,使得.即. (3.1)因为,即,又.所以,(3.2)又因为,所以由(3.1)﹑(3.2)知,即.3.2 函数单调性的判定由拉格朗日中值定理得到下面的结论:设函数上连续,在内可导,则(1)如果,则上单调递增.(2)如果,则上单调递减.下面我们具体的看一下它的应用.例 3.2 证明在上单调增加.证明若令,则只需证明单调增加.,对函数应用拉格朗日中值定理得到,得到.因此,由上面结论推出单调增加,从而在上单调增加.3.3 证明方程根的存在性在拉格朗日中值定理的条件下,若加上条件,则可知在开区间内至少存在一点,使得这是拉格朗日中值定理的特殊情形,称为罗尔中值定理,可用于证明方程的根的存在性.证明方程根的存在性时所给根的范围就是区间,把所给方程设为函数,就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性.例 3.5 证明若方程有正根,则方程必有一个小于的正根.证明设= ,.易证在上满足拉格朗日中值定理条件,并且.所以,由罗尔中值定理可知,至少存在一点,使得,即方程,有一个小于的正根.由上面的例题,我们见到了中值定理在求解初等数学题中的优越性.因此,将微积分的方法应用于初等数学中,将它作为教学的辅助手段是可取的.3.4 证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是拉格朗日中值定理应用中很重要的一项,在证明等时中起到了化繁为简的作用,为以后的等式证明提供了方面.例 3.7 设在上连续,在内可导,且,试证,,使得.证明令,则在上满足拉格朗日中值定理条件,故存在,使得,由条件,可得,再令,则在上满足拉格朗日中值定理条件,故存在,使得,综合上述两式可得,即.用初等数学的方法解数学题,有时需要很高的技巧,并且很繁琐,往往此时利用微积分方法会化繁为简,化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用定理结论或推论,经过适当的变形或运算等得出所要的结论.结束语著名的拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一,在理论和应用上都有着及其重要的意义.该定理叙述简单明了,并有明确的几何意义,一般掌握问题不大,但要深刻认识定理的内容,特别是点的含义,就有较大难度.熟练掌握定理本质,在解题时会化繁为简,化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用定理结论或推论,经过适当的变形或运算等得出所要的结论.参考文献:[1]刘士强.数学分析(上)[M].南宁:广西民族出版社,2000.[2]刘振航.关于拉格朗日中值定理的证明[J].天津商学院学报,2002,22(3):35-36.[3]张娅莉,汪斌.拉格朗日中值定理的证明和应用[J].信阳农业高等专科学校学报,2005,15(4):88-90.。

拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中一个重要的定理,它是由法国数学家拉格朗日在18世纪中期提出的。

这个定理是微积分中的基本定理之一,在求函数的近似值和证明其他定理中经常被使用。

拉格朗日中值定理的表述是:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导。

则必存在一个点c,使得a<c<b,并且f'(c)=(f(b)−f(a))/(b−a)。

其中f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。

设函数f(x)满足上述条件,我们构造另一个函数F(x)=f(x)−((f(b)−f(a))/(b−a))x,这是一个连续函数,在[a,b]上可导。

因为F(x)是连续的,且在(a,b)内可导,根据罗尔定理,存在一个点c∈(a,b),使得F'(c)=0。

由于F'(c)=f'(c)−(f(b)−f(a))/(b−a)=0,即得f'(c)=(f(b)−f(a))/(b−a),定理得证。

拉格朗日中值定理有很多重要的应用,下面简要介绍两个常见的应用:1. 函数极值点的存在性证明:如果一个函数在区间[a,b]上连续,并且在开区间(a,b)内可导,即满足拉格朗日中值定理的条件,那么必然存在至少一个点c∈(a,b),使得f'(c)=0。

这个结论可以用来证明函数的极大值和极小值的存在性。

2. 求函数值的近似值:假设我们需要求一个函数f(x)在闭区间[a,b]上的某个特定点x∗的函数值f(x∗),但是函数表达式很复杂,难以直接求解。

如果我们能够找到一个点c∈(a,b),使得f'(c)=(f(b)−f(a))/(b−a),那么根据拉格朗日中值定理,函数f(x)在闭区间[a,b]上至少存在一个点c,使得f(x)在点c的导数等于f(x∗)的斜率。

于是我们可以用f(x∗)≈f(c)+f'(c)(x∗−c)来近似求解f(x∗)的值。

拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

117科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION科 技 教 育DOI:10.16661/ki.1672-3791.2019.09.117拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用①陈海伟(商丘工学院教务处 河南商丘 476000)摘 要:拉格朗日中值定理揭示了函数在某区间内的整体性质和在该区间内某一点的导数之间的关系,是微分中值定理的核心定理之一。

通过典型例题的解析分析说明利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤和辅助函数的构造方法。

关键词:拉格朗日中值定理 辅助函数 不等式证明中图分类号:O172 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2019)03(c)-0117-02①作者简介:陈海伟(1983—),男,汉族,河南商丘人,本科,讲师,中级经济师,研究方向:决策最优化。

1 预备知识拉格朗日中值定理[1]:如果函数()f x 满足:(1)在闭区间[a ,b ]上连续;(2)在开区间(a ,b )内可导,则在内至少存在一点ξ,使得'()()()f b f a f a bξ−=−。

2 利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤[2]利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤可以总结为以下三步:(1)构造辅助函数()f x ;(2)选择恰当的应用区间(a ,b );(3)考虑中值ξ的取值范围。

其关键点在于辅助函数的构造和应用区间的选择。

在实际应用中往往是根据需要证明的不等式来逐步逆推出需要构造辅助函数()f x 并选择恰当的应用区间(a ,b )。

下面通过典型例题的解析讲解来分析说明辅助函数的构造方法。

3 典型例题解析t例1 证明:当0x >时,ln(1)1xx x x<+<+。

分析:从ln(1)1x x x x<+<+逆推。

ln(1)1xx x x <+<+1ln(1)11x x x +⇒<<+ln(1)x x+,要逆推凑成()()f b f a a b−−,()()()f b f a f a bξ−=−、1()11f xξ<<+)(ξ选择合适的取值范围)。

拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用摘要:拉格朗日中值定理是微分学突出的成果,在微积分中占有非常重要的地位,且它是微分学的基础定理之一,是沟通函数与导数之间的桥梁,在理论及其应用上都有极其重要的意义。

通过对定理的再认识,对拉格朗日中值定理的应用做了一定研究,主要探讨了拉格朗日中值定理在求极限、证明不等式、证明函数单调性等方面的应用。

关键词:拉格朗日定理;罗尔定理;应用中图分类号:O171文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2020)14-0294-02收稿日期:2019-06-06基金项目:陕西省高等教育教学改革研究项目(17GY021)作者简介:李兵方(1980-),男,河南商丘人,副教授,硕士,研究方向:高等数学教学与研究。

一、拉格朗日中值定理证明引理:(洛尔(Rolle)定理)若函数f满足如下条件:(1)f在闭区间[a,b]上连续,(2)f在开区间(a,b)内可导,(3)f (a)=f (b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f ′(ξ)=0。

证明:我们不妨设f (x)在[a,b]上不恒为常数。

因为如果f (x)恒为常数,则f ′(x)=0在(a,b)上处处成立,这时定理的结论是明显的。

定理:若函数f (x)满足:(1)在[a,b]连续,(2)在(a,b)可导,则在(a,b)内至少存在一点ε,使f′(ε)=f (b)-f (a)b-a (见下图)。

这个定理从几何图形上看是很明显的。

上图画出了[a,b]上的一条曲线y=f (x),连接A、B两点,作弦AB,它的斜率是tanα=f (b)-f (a )b-a 。

如果f (x)在(a,b)内可导,也就是过曲线y=f (x)上每一点都可以作一条切线,那么在曲线上至少有一点P (ε,f (ε)),使得过P点的切线τ与弦AB平行,即两者的斜率相等。

而切线τ的斜率是f ′(ε),故f ′(ε)=f (b)-f (a)b-a ,这就是中值定理表达的内容。

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北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人,创造了历年最高成绩。

会计硕士保录班考取30多人,中传郑凯程考研历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!家威勇夺中传新闻传播硕士状元,王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元,(他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布,随时可以查看播放。

)对于如此优异的成绩,凯程辅导班班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的刻苦学习,是很难达到优异的成绩。

考研路上,拼搏和坚持,是我们成功的必备要素。

王少棠本科学校:南开大学法学录取学校:北大法学国际经济法方向第一名总分:380+在来到凯程辅导之前,王少棠已经决定了要拼搏北大法学院,他有自己的理想,对法学的痴迷的追求,决定到最高学府北大进行深造,他的北大的梦想一直激励着他前进,在凯程辅导班的每一刻,他都认真听课、与老师沟通,每一个重点知识点都不放过,对于少棠来说,无疑是无比高兴的是,圆梦北大法学院。

在复试之后,王少棠与凯程老师进行了深入沟通,讲解了自己的考研经验,与广大考北大法学,人大法学、贸大法学等同学们进行了交流,录制为经验谈,在凯程官方网站能够看到。

王少棠参加的是凯程考研辅导班,回忆自己的辅导班的经历,他说:“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方,我有明确的复习目标,有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理,每天6点半就起床了,然后是吃早餐,进教室里早读,8点开始单词与长难句测试,9点开始上课,中午半小时吃饭,然后又回到教室里学习了,夏天比较困了就在桌子上睡一会,下午接着上课,晚上自习、测试、答疑之类,晚上11点30熄灯睡觉。

”这样的生活,贯穿了我在辅导班的整个过程,王少棠对他的北大梦想是如此的坚持,无疑,让他忘记了在考研路上的辛苦,只有坚持的信念,只有对梦想的勇敢追求。

龚辉堂本科西北工业大学物理考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部)作为跨地区跨校跨专业的三跨考生,在凯程辅导班里经常遇到的,五道口金融学院本身公平的的传统,让他对五道口充满了向往,所以他来到了凯程辅导班,在这里严格的训练,近乎严苛的要求,使他一个跨专业的学生,成功考入金融界的黄埔军校,成为五道口金融学院一名优秀的学生,实现了人生的重大转折。

在凯程考研辅导班,虽然学习很辛苦,但是每天他都能感觉到自己在进步,改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态,进入了高强度学习状态。

在这里很多课程让他收获巨大,例如公司理财老师,推理演算,非常纯熟到位,也是每个学生学习的榜样,公司理财老师带过很多学生,考的非常好。

在学习过程中,拿下了这块知识,去食堂午餐时候加一块鸡翅,凯程考研历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!经常用小小的奖励激励自己,寻找学习的乐趣。

在辅导班里,学习成绩显著上升。

在暑期,辅导班的课程排得非常满,公共课、专业课、晚自习、答疑、测试,一天至少12个小时及以上。

但是他们仍然特别认真,在这个没有任何干扰的考研氛围里,充实地学习。

在经过暑期严格的训练之后,龚对自己考入五道口更有信心了。

在与老师沟通之后,最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择,决定之后,让他更加发奋努力。

五道口成绩公布,龚辉堂成功了。

这个封闭的考研集训,优秀的学习氛围,让他感觉有质的飞跃,成功的喜悦四处飞扬。

另外,在去年,石继华,本科安徽大学,成功考入五道口金融学院,也就是说,我们只要努力,方向正确,就能取得优异的成绩。

师弟师妹们加油,五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。

黄同学(女生)本科院校:中国青年政治学院报考院校:中国人民大学金融硕士总分:跨专业380+初试成绩非常理想,离不开老师的辛勤辅导,离不开班主任的鼓励,离不开她的努力,离不开所有关心她的人,圆梦人大金融硕士,实现了跨专业跨校的金融梦。

黄同学是一个非常腼腆的女孩子,英语基础算是中等,专业课是0基础开始复习,刚刚开始有点吃力,但是随着课程的展开,完全能够跟上了节奏。

初试成绩公布下来,虽然考的不错,班主任老师没有放松对复试的辅导,确保万无一失,拿到录取通知书才是最终的尘埃落地,开始了紧张的复试指导,反复的模拟训练,常见问题、礼仪训练,专业知识训练,每一个细节都训练好之后,班主任终于放心地让她去复试,果然,她以高分顺利通过复试,拿到了录取通知书。

这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。

张博,从山东理工大学考入北京大学法律硕士,我复习的比较晚,很庆幸选择了凯程,法硕老师讲的很到位,我复习起来减轻了不少负担。

愿大家在考研中马到成功,也祝愿凯程越办越好。

张亚婷,海南师范大学小学数学专业,考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向,成功实现了自己的北师大梦想。

特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。

孙川川,西南大学考入中国传媒大学艺术硕士,播音主持专业。

在考研辅导班,进步飞快,不受其他打扰,能够全心全意投入到学习中。

凯程老师也很负责,真的很感谢他们。

在凯程考研辅导班,他们在一起创造了一个又一个奇迹。

从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说:考取人大,是我的梦想,我一直努力,肯定能够成功的,只要我们不放弃,不抛弃,并且一直在努力前进创造成功的条件,每个人都能够成功。

正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。

我相信,每个人都能够成功。

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