数列压轴小题

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(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知数列{}n a 中，11n n a a n +-=+，11a =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭)的n 的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3923．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（） A ．(),1-∞ B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，4．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（）A ． (1)n n +B ．(1)4n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（） A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 6．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（） A ．1011B ．910C ．89D ．27．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（） A ．18B ．19C ．20D ．219．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（） A ．12-B ．4-C ．4D ．1210．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n均成立，则实数k 的取值范围为（） A ．27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116a b+取最小值时，n 的值是（） A ．4B ．5C ．6D ．712．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．设数列{}n a 中12a =，若等比数列{}n b 满足1n n n a a b +=，且10101b =，则2020a =__. 14．已知等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是_______.15．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则10S =______. 16．已知等差数列{}n a 中，48a =，84a =，则其通项公式n a =__________17．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．18．若数列{}n a 满足12a =，141n n a a +=+，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______.19．已知数列{}n a 与{}n b 满足11222n n a a a ++++=-，1(1)(1)nn n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，若n S M ≤恒成立，则M 的最小值为_________.20．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是__________．三、解答题21．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+．（1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .()*22n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①24b =，48b =；②2b 是1b 和4b 的等比中项，872T =.若公差不为0的等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且______，求数列n n T na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A . 23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23S =，()*11n n a S n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()111n n n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.24．已知正项等比数列{}n a ，首项13a =，且13213,,22a a a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}nb 满足3321log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a pa q +=+，（其中p 、q 为常数，*n N ∈）.（1）若1p =，1q =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若2p =，1q =，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：22n T n <+，*n N ∈.26．已知数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设2nn n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法可求得n S ，然后解不等式143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可得解.【详解】因为2132123n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⋅⋅⎪⎪-=⎩，所以123n a n a =+-++，()11232n n n a n +∴=++++=, ()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n nS n n n ⎛⎫=⨯-+-++-=⎪++⎝⎭，由21413n n S n n n ⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，化简得2311200n n --≤，解得453n -≤≤， *n ∈N ，所以，满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭的n 的最大值为5.故选：C. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.2．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.3．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围．【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=， 12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----，所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<，因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．4．D解析：D 【分析】根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果.由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥，而(1)1213221121122(2)n n n n n n a aa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=，故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.5．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S =∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩ ∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n kk n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.6．A【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++，因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a S a -===-，解得13a =.因此，塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=，又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=，即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.10．B解析：B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值【详解】解：当[0,2]x ∈时，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，12x <≤时，()f x 的最大值为39()24f =，即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为94，当24x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为912，当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为936，……可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-，由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278k ≥，所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题11．B解析：B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+，又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【分析】由变形可得进而由累乘法可得结合等比数列的性质即可得解【详解】根据题意数列满足即则有而数列为等比数列则则又由则故答案为：2【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用考查了累乘法求数列通项的应用及解析：【分析】由1n n n a a b +=变形可得1n n n a b a +=，进而由累乘法可得202020192018201711a b b b b a =⋅⋅⋅⋅⋅，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意，数列{}n b 满足1n n n a a b +=，即1n n na b a +=，则有20202020201920182201920182017112019201820171a a a a ab b b b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而数列{}n b 为等比数列，则()2019201920182017110101b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅==，则202011a a =，又由12a =，则20202a =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题.14．【分析】本题先求等差数列前n 项和再由此求出数列的前n 项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴∴时数列的前n 项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法考查等差数解析：100-. 【分析】本题先求等差数列前n 项和()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，再由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 【详解】解：∵等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，∴()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--， ∴10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是100-. 故答案为：100-. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15．【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为：【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题【分析】先利用11a S =求出1S ，再利用2n ≥时1n n n a S S -=-可知{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出10S . 【详解】当1n =时，1111112S a a a ，解得11a =，11S = 当2n ≥时，11112nn n n nS S S S S ，整理可得2211n n S S --=，2n S 是首项为1，公差为1的等差数列， 2111n S n n ，{}n a 是正项数列，n S ∴=1010S .【点睛】本题考查等差数列的判断，考查n a 和n S 的关系，属于中档题.16．【解析】∵等差数列{an}中a4=8a8=4∴解得a1=11d=−1∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n 解析：12n -【解析】∵等差数列{a n }中,a 4=8,a 8=4， ∴41813874a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得a 1=11，d =−1，∴通项公式a n =11+(n −1)×(−1)=12−n .17．32【分析】利用数列的递推公式推导出由此能求出数列的前6项和【详解】∵数列中∴解得∴数列的前6项和为：故答案为：32【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法考查递推公式递推思想等基础知识考查运算求解解析：32 【分析】利用数列的递推公式推导出11a =，由此能求出数列{}n a 的前6项和. 【详解】∵数列{}n a 中，22a =，21n n n a a a ++=+，834a =， ∴32112a a a a =+=+，43211224a a a a a =+=++=+，543162a a a a =+=+，6541103a a a a =+=+， 7651165a a a a =+=+，876126834a a a a =+=+=，解得11a =，∴数列{}n a 的前6项和为：()()()()61111112246210324832S a a a a a a =+++++++++=+=，故答案为：32. 【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法，考查递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.18．【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列根据等比数列通项公式求得代入不等式结合可求得结果【详解】数列是以为首项为公比的等比数列由得：即且满足题意的最小正整数故答案为：【点睛】本题考查根据数列递推关解析：11【分析】根据递推关系式可证得数列}1，代入不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】()21411n n a a +=+=，1=，)121=，∴数列}111=为首项，2为公比的等比数列， )1112n -+=⨯，)1121n -=⨯-，由22020n a ≥2020≥，即)1220211837n -≥=⨯≈，92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.故答案为：11. 【点睛】本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.19．【分析】由已知式写出为的式子相减求得检验是否相符求得用裂项相消法求得和由表达式得的范围从而得最小值【详解】∵所以时两式相减得又所以有从而显然所以的最小值为1故答案为：1【点睛】方法点睛：本题主要考查解析：1【分析】由已知式写出n 为1n -的式子，相减求得n a ，检验1a 是否相符，求得n b ，用裂项相消法求得和n S ，由n S 表达式得M 的范围，从而得最小值．【详解】 ∵11222n n a a a ++++=-，所以2n ≥时，12122n n a a a -+++=-，两式相减得1222n n nn a +=-=，又21222a =-=，所以*n N ∈，有2nn a =，从而11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-----，122231111111212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--，显然1n S <，所以1M ≥，M 的最小值为1．故答案为：1．【点睛】方法点睛：本题主要考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，数列求和的常用方法有：（1）公式法，（2）错位相减法，（3）裂项相消法，（4）分组（并项）求和法，（5）倒序相加法．20．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是解析：13【分析】首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】当1n =时，2111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，0n a >，11a ∴=，当2n ≥，2211122n n nn n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得()()()221112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，()()112111221221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，2231111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112121n n +=-+++ 111321n n +=-++，数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13n T → 对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是13.故答案为：13【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n na a n n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+，因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，（2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-，则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.22．（1）2nn a =；（2）选择①：332n n +-；选择②：332nn +-. 【分析】（1）由数列n a 与n S 的关系转化条件为()122n n a a n -=≥，结合等比数列的性质即可得解；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由等差数列的通项公式列方程可得12b d ==，进而可得2n T n n =+，再结合错位相减法即可得解；若选择②，由等比中项的性质结合等差数列的通项公式、前n 项和公式可得12b d ==，再结合错位相减法即可得解. 【详解】（1）当1n =时，11122a S a ==-，可得12a =；当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以1122n n n n n a S S a a --=-=-，即()122n n a a n -=≥，因为120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n nn a -=⋅=；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由题意11438b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得12b d ==；所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2nn a =，所以()2111222n n n nn T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯， ()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，两式相减得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n nn A +=-；若选择②，有2214b b b =⋅，即()()21113b d b b d +=⋅+，即21b d d =，因为0d ≠，所以1b d =，所以8187728362T b d d ⨯==+=，解得12b d ==，所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2nn a =，所以()2111222n n n nn T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯， ()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯. 两式相减，得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-. 【点睛】关键点点睛：（1）当条件中同时出现n a 与n S ，要注意n a 与n S 关系的应用；（2）要明确错位相减法的适用条件和使用方法，细心运算. 23．（1）12n n a ；（2）证明见解析.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-消去n S ，得到{}n a 为等比数列，公式法求通项公式；（2）把12n n a 代入()()111n n n n a b a a +=++，用裂项相消法求出n T ，再证明12n T <.【详解】解：（1）∵11n n a S +=+，∴11(2)n n a S n -=+≥ ∴1n n n a a a +-=，即∴12(2)n n a a n +=≥. 又21111a S a =+=+，2123S a a =+=∴11a =，22a =，∴212a a =也满足12(2)n n a a n +=≥. ∴{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n na（2）由（1）知()()()()11112111121212121n n nn n n n n n a b a a ---+===-++++++.∴1201121111111212121212121n n n nT b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭01111121212212n n =-=-<+++. 【点睛】 (1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；(2)数列求和的方法：公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法．24．（1）3nn a =；（2）13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．【分析】（1）由已知13213,,22a a a 成等差数列求出公比q 后可得通项公式；（2）用裂项相消法求和n S ．【详解】（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得：31212322a a a ⨯=+，即211132a q a a q =+，即232q q =+，所以3q =或1q =-（舍），所以1333n nn a -=⋅=．（2）由（1）知233233111log log log 3log 3(2)n n n n n b a a n n ++===⋅⋅+，则11122n b n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=，所以1111111112324112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．25．（1）()*1(1)2nn a n N --=∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）1p =，1q =-，已知条件可得1(1)nn n a a +-=-，利用累加法及等比数列的求和公式，计算可求数列{}n a 的通项公式；（2）2p =，1q =，121n n a a +=+，化简可得1121n n a a ++=+，通过等比数列的通项公式求得()*21nn a n N =-∈，化简可得11212222n n n n a a +=+≤+-，放缩后，通过分组求和可证得结果. 【详解】（1）∵1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)nn n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2nn a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2n n a n N --=∈（或1,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）. （2）∵2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+，即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12nn a +=，即()*21nn a n N=-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---， ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-，综上说述：()*22n T n n N <+∈.【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.26．（1）2nn a n =⋅；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）12. 【分析】（1）利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）令2n n n c S S =-，分析数列{}n c 的单调性，由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】（1）数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈⎪⎝⎭，则2140a a =>，323202a a =⨯>，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a >，由已知条件可得()121n n n a a n++=， 3211212223222121n n n n a a a n a a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-；（2）1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，因此，()1122n n T n +=-⋅+；（3）21n n n b a n ==，则111123n S n =++++，令2n n n c S S =-，则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++，则1n n c c +>，则数列{}n c 为单调递增数列，所以，数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。

专题16 数列(选填压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

所以 x 0, 2023 ，则方程x x 1 由 2022 个根.①④正确，
2 故选：D.
4．（2022·河南信阳·高二期末（理））二进制数是用 0 和 1 表示的数，它的基数为 2，进位
规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数
a0
a1a2
ak
2
(
k
N
*
）对应的十进制数
记为 mk ，即 mk a0 2k a1 2k1 ... ak1 2 ak 20 ，其中 a0 1 ， ai 0，1（i 1，2，3，，k），
317
4
c13 c23 c33 c173
56 4 c23 16 64 ，
1 所以
c18
4
，所以
7 2
1 c18
4 ，则
1 4
c18
2 7
.
故选：C.
6．（2022·江苏南京·高二期末）将等比数列bn按原顺序分成 1 项，2 项，4 项，…， 2n1 项的各组，再将公差为 2 的等差数列an 的各项依次插入各组之间，得到新数列cn：b1 ，a1 ，
1 2
nt
0
1 2
n
，
若
n
为偶数，此时
1 2
n
0
，则此时不存在 t
N*
，使得
1 nt 2
1 n 2
，
综上：B 选项错误；
设 an 2n 1 ，此时满足 a1 2 1 3 0 ，
也满足 n, s N*, ans 2n s 1， an as 2n 1 2s 1 2n s 2 ，
② n, s N*, ans an as ；③ n N* ，t N*, ant an .定义：同时满足性质①和②的数

小题压轴题专练14—数列(1)-2021届高三数学二轮复习

小题压轴题专练14—数列（1）一、单选题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足sin （a 4﹣1）+2a 4﹣5＝0，sin （a 8﹣1）+2a 8+1＝0，则下列结论正确的是（） A ．S 11＝11，a 4＜a 8 B ．S 11＝11，a 4＞a 8 C ．S 11＝22，a 4＜a 8D ．S 11＝22，a 4＞a 8解：sin （a 4﹣1）+2a 4﹣5＝0，sin （a 8﹣1）+2a 8+1＝0，∴sin （a 4﹣1）+2（a 4﹣1）﹣3＝0，sin （1﹣a 8）+2（1﹣a 8）﹣3＝0，令f （x ）＝sin x +2x ﹣3，可得f ′（x ）＝cos x +2＞0，因此函数f （x ）在R 上单调递增．又f （1）＝sin1﹣1＜0，f （2）＝sin2+1＞0，因此函数f （x ）在（1，2）内存在唯一零点． ∴a 4﹣1＝1﹣a 8，1＜a 4﹣1＜2，1＜1﹣a 8＜2， ∴a 4+a 8＝2，2＜a 4＜3，﹣1＜a 8＜0， ∴S 11＝＝＝11，a 4＞a 8，故选：B ．2．非负实数列{}n a 前n 项和为(0)n n S S >．若分别记2{}n n a 与2{}na n 前n 项和为n T 与n R ，则5525T R S 的最大值与最小值的差为t ，则||(t = ) A ．2 B ．125C ．3D ．165解：由题设和柯西不等式可得：2222223524551234511234552222(2345)()()2345a a a a T R a a a a a a a a a a a S =++++++++++++=，当且仅当10a >且23450a a a a ====时取“= “，∴5525T R S 的最小值为1，又22223524551234512222(2345)()2345a a a a T R a a a a a a =++++++++ 22222222324123451522221(2345)(5555)5234a a a a a a a a a a =+++++⋅+⋅+⋅+ 2222222222222234112234551234552222255115(51)13(52345)(()()54234105a a a a a a a a a a a a a a a S +⋅+++++++++++++=，当且仅当150a a =>且2340a a a ===时取“= “，∴5525T R S 的最大值为213()5，∴125=，故选：B ．A ．100102a ln >B ．99100a ln >C ．99100a ln <D ．10099a ln <解：*1111,()1n n a a a n N n +=->∈+， 11n n a a n -∴->，1211n n a a n --->-，⋯，2112a a ->，将上面的式子相加得到：1111(2)23n a a n n ->++⋯+，即111123n a n>+++⋯+，2n ，令()(1)(1)f x ln x x x =+->-，当0x >时，1()101f x x '=-<+，故当0x >时，()(0)0f x f <=，即(1)ln x x +<， 111(1)n lnln n n n +∴=+<，又12(1)11n n ln n ln ln ln n n ++=++⋯+-， 11111112(1)(1)(1)(1)2323n a ln ln ln ln ln n n n∴>+++⋯+>+++++⋯++=+，即(1)n a ln n >+，2n ，99100a ln ∴>，故选：B ．172n nt +-恒成立，则实数解：由22n S n n =+，可得212(1)(1)(2)n S n n n -=-+-，所以12222n n n a S S n -=-=，所以(2)n a n n =，当1n =时，11222S a ==，所以11a =，满足上式，所以n a n =，*n N ∈，所以231232222n n n T =+++⋯+，234111*********n n n n n T +-=+++⋯++，两式相减得，2311111111122222222n n n n n n n T ++=+++⋯+-=--，所以222n nn T +=-，所以11137|2|22n n n n nn T t n t++++--=⨯-，所以2142n n n t +-，令214()2n n n f n +-=，222212(1)4(1)46(3)(1)()222n n n n n n n n f n f n ++++-+---+-=-=，故当15n 时，(1)()f n f n +>，()f n 单调递增，当6n 时，(1)()f n f n +<，()f n 单调递减，所以3(6)32max f f ==，所以332t ，t 的最小值为332．故选：B ．5．已知数列{}n a 满足对任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得n m S a =，则n a 可能等于()A ．2020nB ．2020nC ．22020nD ．2nn C解：数列{}n a 满足对任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，利用特值法检验n m S a =，对于选项A ：当2020nn a =时，n m S a =，则2020(20201)20202019n m -=，令2n =时，m 不存在；对于选项B ：当2020n a n =时，n m S a =，则(1)20201010(1)20202n n n S n n m +=⨯=+=，取(1)2n n m +=，即可；对于选项C ：当22020n a n =时，n m S a =，则2222(1)(21)2020(12)202020206n n n n S n m ++=⨯++⋯+=⨯=，令2n =时，m 不存在；对于选项2:n n n D a C =当时，n m S a =，当2n =时，12212248S a a C C =+=+=，不存在m ，使得28mm C =，所以不存在，故选：B ．6．已知数列{}n x ，满足11x =，*12(1)()n n x ln x n N +=+∈，设数列{}n x 的前n 项和为n S ，则以下结论正确的是( )A ．1n n x x +>B ．112n n n n x x x x ++-<解：*12(1)()n n x ln x n N +=+∈，把11x =代入递推可得：0n x >，令()(1)f x x ln x =-+，0x >，则()01xf x x '=>+，()f x 在(0,)+∞单调递增， ()(0)f x f ∴>，即当0x >时，恒有(1)ln x x +<成立，0n x >，12(1)n n n x ln x x +∴=+<，112n n n x x x ++∴>>，故选项A 错误；又2121n n x x ++<+，∴选项C 错误； 11(1)2(2)(1)22(2)(1)[(1)]2222n n n n n n nn n n n n n n nx ln x x x ln x x x x x x x x ln x ln x x +++-+++--=-+-==-++，01n x <，令2(1)2x y ln x x =-++，01x <，则220(2)(1)x y x x '=-<++，∴函数2(1)2xy ln x x =-++在(0，1]上递减，(0)0y y ∴<=，11(2)0n n n n x x x x ++∴--<，故选项B 正确；又由12n n x x +>可得12nn x x +<，11x =，112nn x -∴（当且仅当1n =时取“= “)，可得1111112()2222n n n S --++⋯+=-<， 52n S +∴<，故选项D 错误，故选：B ．7．正整数3n 称为理想的，若存在正整数11kn -使得1k n C -，k n C ，1k n C +构成等差数列，A ．40B ．41C ．42D ．前三个答案都不对解：由题意可得11,,k k k n n n C C C -+ 构成等差数列，则112k k k n n n C C C -+=+，化简可得22(41)420n k n k -++-=，以k 为主元整理224420k nk n n -+--=，则k ，题意转化为存在正整数11k n -使得k 成立，于是2n + 为完全平方数，设22n m +=，7n ，令22()442f k k nk n n =-+--，因为f （1）2(1)520f n n n =-=-+>，故[1,1]k n =-，因为2020n ，则443m ．若22(2)(1)22m m m m k ---+===，因为2m -，1m + 奇偶性相反，故对于任意443m 都满足题意．综上，满足题意的有 42 个，故选：C ．8．在正项数列{}n a 中，2113312(*)n n a a n N +=-∈，则下列说法正确的是( )A ．若17a <，则1n n a a +，则1n n a a +<C ．若1111a ，则22114n n a a -+D ．若1111a ，则22112n n a a -+解：由2113312n n a a +=-，可得222111()()13312(7)(19)n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++-=-+=--=--+，因为0n a >，可得7n a >，1n n a a +<；或7n a <，1n n a a +>；故A ，B 均不正确；若1111a ，由数学归纳法假设(*)n k k N =∈时，111k a ，1n k =+时，2113312[1k k a a +=-∈，121]，即有1[1k a +∈，11]，综上可得，111n a ，*n N ∈，则2111n a ，2221222211331169(6)12121212n n n n n a a a a a -+=-++=--+，则21212n n a a -+，上式当21n a =或11时，取得等号，故选：D ．10；③n S n T n ，则()A ．①③正确B ．①④正确C ．②③正确D ．②④正确解：211n nn a a a +=-+，22121(1)0n n n n n a a a a a +∴-=-+=-， 112a =，∴12n a ，11(1)n n n a a a +-=-，∴111111n n na a a +=---， ∴111111n n n a a a +=---，∴12111111111n n a a a a a +++⋯+=---， 11(1)n n n a a a +-=-，2110n nn a a a +=-+>， 11n a +∴-，1n a -同号，1n a ∴<，∴112n a <， 11211111122211n n n n a a a a a +∴+=++⋯+-+--，即1111222n a n n +-++， ∴1112n a n +-+，11516n a +∴<不恒成立，故①错误；112n a <，2121231(1)(21)0n n n n n n a a a a a a +∴--=-+=--，故②正确； 1112n a n +-+，∴111()231n S n n -++⋯++，若56n S n <，则1111231(1)623112n n ln ln ln ln n n n +<++⋯+<++⋯+=++，1(1)6n ln n <+不可能恒成立，56n S n ∴<不能恒成立，故③错误； 211n n n a a a +=-+，211n n n a a a +∴=+-，122212111121122n n nn nk k k n n n k k k T a a a a a n a a a n S a a n +++===∴=++⋯+=+-=+--=+--∑∑∑，112n n n S T a n a n +∴-=+-<，故④正确．故选：D ．10．已知数列{}n a 满足：10a =，*1(1)()n a n n a ln e a n N +=+-∈，前n 项和为n S ，则下列选项错误的是( )（参考数据：20.693ln ≈，3 1.099)ln ≈ A ．21{}n a -是单调递增数列，2{}n a 是单调递减数列B ．13n n a a ln ++C ．2020670S <D ．212n n a a -解：由1(1)n a n n a ln e a +=+-，得1(1)n n a a n a ln e lne +=+-，∴111n na a e e +=+，令n a n b e =，即n n a lnb =，则111n nb b +=+，10a =，11b =．作图如下：由图可得：A ．21{}n a -是单调递增数列，2{}n a 是单调递减数列，因此A 正确；B ．[1n b ∈，2]，11(1)1[2n n n n nb b b b b +∴=+=+∈，3]， 11[2n n a a n n b b e e ++∴=⋅∈，3]，1[2n n a a ln +∴+∈，3]ln ，因此B 正确；C ．12n n a a ln ++，2020123420192020()()()10102693S a a a a a a ln ∴=++++⋯⋯++>，因此C 不正确；D ．由不动点51(+，51)+，得2125112n n b b -+<<，可得：212n n b b -<，221n n a a -∴>，因此D 正确．故选：C ．二、多选题11．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有( ) A ．数列{}n a 递增B ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则0c =D ．若70a =，则方程0n S =有唯一的根13n =解：A 、设等差数列的首项为1a ，公差0d >，则11(1)n a a n d dn a d =+-=+-，所以数列{}n a 是递增数列，故A 选项符合题意；B 、11111111[(1)](1)22222n n S d a a a a n d a n n =+=++-=+-⋅，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项，2d 为公差的等差数列．02d >，该数列是递增的等差数列，故B 选项符合题意； C 、由n a n =得到：(1)2n n n S +=．由n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列可设：n S kn b n c =++．即2(1)()()()2n n n S n c kn b kn kc b n bc +==++=+++．所以当22(1)22()n n n n kn kc b n bc +=+=+++恒成立时，21k =，2()1kc b +=，0bc =．所以12k =，0b =或0c =．当0b =时，1c =．当0c =时，12b =．综上所述，1c =或0c =．故C 选项不符合题意； D 、由70a =，得67S S =，又因为数列{}n a 递增，所以当6n 时，n S 递增，当7n 时，n S 递增．所以n S 最小值是6S 或7S ，所以12110S S a ==<．由当6n 时，0n S <．故当且仅当13n =时，11313713()1302a a S a +===，故D 选项符合题意．故选：ABD ．12．已知数列{}n a 满足：101a <<，1(4)n n n a a ln a +-=-．则下列说法正确的是( ) A ．数列{}n a 先增后减 B ．数列{}n a 为单调递增数列 C ．3n a <D ．202052a >解：因为1(4)n n n a a ln a +-=-，所以1(4)n n n a a ln a +=+-，令()(4)f x x ln x =+-，则13()144xf x x x-'=-=--， ()(4)f x x ln x ∴=+-在(0,3)上单调递增，在(3,4)上单调递减， ()f x f ∴<（3）3=可得：3n a <，则1(4)10n n n a a ln a ln +-=->=，故数列是单调递增数列，101a <<，211(4)41a a ln a ln ∴=+->>， 322(4)4(44)132a a ln a ln ln ln ln =+->+->+>，4335(4)2(42)222a a ln a ln ln =+->+->+>， 2020452a a ∴>>，故选：BCD ．13．如图，已知点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，*()n F n N ∈为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点*()n G n N ∈满足12(23)n n n n n G D a G A a G E +=-+，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是( )A ．313a =B ．数列{3}n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--解E 为AB 中点，∴2n n n G E G A G B =+，∴2n n n G B G A G E =-+，又D 、n G 、B 三点共线，∴2n n n n G D G B G A G E λλλ==-+，又12(23)n n n n n G D a G A a G E +=-+，∴122(23)n n a a λλ+-=⎧⎨=-+⎩，化简可得123n n a a +=+，132(3)n n a a +∴+=+，∴数列{3}n a +是等比数列．又11a =，∴113(3)2n n a a -+=+，∴123n n a +=-，313a ∴=，∴24(12)323412n n n S n n +-=-=---．故选：AB ．14．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[[]]([0,))x x x n ∈可能取到所有值的个数，n S是数列A ．34a = B ．190是数列{}n a 中的项解：当1n =时，[0x ∈，1)，[]0x =，[]0x x =，故[[]]0x x =，即11a =，当2n =时，[0x ∈，2)，[]{0x =，1}，[]{0}[1x x ∈，2)，故[[]]{0x x =，1}，即22a =，当3n =时，[0x ∈，3)，[]{0x =，1，2}，[]{0}[1x x ∈，2)[4，6)，故[[]]{0x x =，1，4，5}，即34a =，以此类推，当2n ，[0x ∈，)n 时，[]{0x =，1，2，⋯⋯，}n ，[]{0}[1x x ∈，2)[4，26)[(1)n ⋯⋯-，(1))n n -，故[[]]x x 可以取的个数为22112312n n n -+++++⋯⋯+-=，即22,22n n n a n -+=，当1n =时也满足上式，故22,2n n n a n N -+=∈，对A ，34a =，故A 正确；对B ，令221902n n n a -+==，即23780n n --=无整数解，故B 错误；对C，12112()2(1)(2)12n a n n n n n ==-+++++，则11111122()12334122n S n n n =-+-+⋯⋯+-=--++， ∴10251126S =-=，故C 正确；对D，212212211222222n a n n n n n +=+--=，当且仅当(6,7)n =时取等号， n N ∈，当6n =时，21166n a n +=+，当7n =时，21167n a n +=+，故当7n =时，21n a n+取最小值，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题15．已知数列{}n a ，{}n b 均为正项等比数列，n P ，n Q 分别为数列{}n a ，{}n b的前n 项积，解：数列{}n a ，{}n b 均为正项等比数列，它们的公比分别为q 、m ， n P ，n Q 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项积，(1)]211121(1)122111(1)1()[5722(1)1()2[]22n n nn n n n n n n n n n nlna lnq lna lnqlnP ln a a a ln a q n n n n lnQ ln b b b n nlnb lnm lnb lnm ln b m ----++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-====--⋅⋅⋅⋅++⋅⋅， 1102lnb lnm ∴-=,122lnm =,解得4m e =,21b e =；由1172lna lnq -=-,152lnq =,解得21a e -=,10q e =；2102183()a e e e -∴=⋅=,28103b e e e =⋅= 则33189105lna lnb ==, 故答案为：9516．已知正项递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2211126n n n n n n a a a a a a ---++=++，设解：由2211126n n n n n n a a a a a a ---++=++，化为：211()()60n n n n a a a a ---+--=，解得12n n a a --=或3-，数列{}n a 是正项递增数列，取12n n a a --=，∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为2，12(1)21n a n n ∴=+-=-，2(121)2n n n S n +-==． ∴2221411111(2)12121n n a n S n n n +-+==+---+，则1682242468211111(1)11111n nn n a a a a a T S S S S S -+++++=-+-+⋯+-⋅----- 11111111(1)()()(1)()335572121n n n -=+-+++-⋯⋯+-+-+当*2()n k k N =∈时，21141k T k =-+；当*21()n k k N =-∈时，211141k T k -=+-． 11,2111,21n n n T n n ⎧-⎪⎪+∴=⎨⎪+⎪+⎩为偶数为奇数．故答案为：11,2111,21n n n T n n ⎧-⎪⎪+=⎨⎪+⎪+⎩为偶数为奇数．2n 时，2n a 2)m 且t m -解：当2n =时，有222121a S S +=，即2222(1)1a a ++=，解得：21a =-，又当2n 时，1n n n a S S -=-，∴由2121n n n a S S n -+=-可得：2211n n S S n -+=-，又221n n S S n ++=，22111n n S S +-∴-=，2n ，又11S =，20S =，∴数列221{}n S -是首项为1，公差为1的等差数列；数列22{}n S 是首项为0，公差为1的等差数列，221n S n -∴=，221n S n =-，1111m m t t t m a a a a S S +--++⋯++==-，且21t m -=，2111m m S S +-∴-=，易知21m +与1m -奇偶性相同，∴当m为奇数时，有153m =；当m为偶数时，有1=，解得：50m =，综上，53m =或50，故答案为：1-；53或50．解：因为12n n na a n +⋅=+，所以123222121352113572121n n n n a a a a a a n n ---⋅⋅⋅⋯⋅⋅⋅=⋅⋅⋯=++；由12n n n a a n +⋅=+，可得1213n n n a a n +++⋅=+，即有2(1)(2)(3)n na n n a n n +++=+，由11a =，312314a a ⨯=⨯，534536a a ⨯=⨯，756758a a ⨯=⨯，⋯，2123(22)(21)(23)2k k a k k a k k----=-⋅，所以当21n k =-，*k N ∈，上式相乘可得，212(21)2k k a k --=，即为21n na n =+；当21n k =-，*k N ∈时，2122121k k k a a k --=+，可得22122212(21)2(21)k k k ka k k k -=⋅=+-+，所以，当2n k =，*k N ∈时，22n na n =+．故答案为：121n +，2,211(*),222nn k n k N n n kn ⎧=-⎪⎪+∈⎨⎪=⎪+⎩．。

数列专题压轴小题

数列专题压轴小题一、单选题1.(2022·全国·模拟预测(理))数列a n 满足a 1=a ，a n +1=3a n -a 2n -1，则下列说法错误的是( )A.若a ≠1且a ≠2，数列a n 单调递减B.若存在无数个自然数n ，使得a n +1=a n ，则a =1C.当a >2或a <1时，a n 的最小值不存在D.当a =3时，1a 1-2+1a 2-2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1a n -2∈12,12.(2022·浙江·杭州高级中学模拟预测)已知数列a n 中，a 1=1，若a n =na n -1n +a n -1n ≥2,n ∈N *，则下列结论中错误的是( )A.a 4=1225B.1a n +1-1a n ≤12C.a n ⋅ln (n +1)<1D.1a 2n -1a n ≤123.(2022·浙江·高三开学考试)已知数列a n 满足递推关系e a n-1=a n e a n +1，且a 1>0，若存在等比数列b n 满足b n +1≤a n ≤b n ，则b n 公比q 为( )A.12B.1eC.13D.1π4.(2022·浙江·模拟预测)已知数列a n 满足a 1=2,a n +1-1=ln a n +b -b n ∈N ∗ ．若a n 有无穷多个项，则( )A.b ≥0B.b ≥-1C.b ≥1D.b ≥-25.(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n (公差不为零)和等差数列b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，如果关于x 的实系数方程2021x 2-S 2021x +T 2021=0有实数解，那么以下2021个方程x 2-a i x +b i =0i =1,2,3,⋅⋅⋅,2021 中，无实数解的方程最多有( )A.1008个B.1009个C.1010个D.1011个6.(2022·全国·高三专题练习)己知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=13a n +2a n n ∈N ∗．记数列a n 的前n 项和为S n ，则( )A.12<S 10<14B.14<S 10<16C.16<S 10<18D.18<S 10<207.(2022·浙江·慈溪中学模拟预测)已知数列a n 满足：a 1=-12，且a n +1=ln a n +1 -sin a n ，则下列关于数列a n 的叙述正确的是( )A.a n >a n +1B.-12≤a n <-14C.a n +1>-a 2na n +2D.a n ≤-242n -18.(2022·浙江省江山中学高三期中)已知数列a n 满足a 1=3，a n +1=a n +2a n-1，记数列a n -2 的前n 项和为S n ，设集合M =125,6225,4517,3512，N =λ∈M λ>S n 对n ∈N *恒成立，则集合N 的元素个数是( )A.1B.2C.3D.49.(2022·浙江省嘉善中学高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1，an=an -1+4a n -1+1a n -1n ∈N *,n ≥2 ，S n 为数列1a n 的前n 项和，则( )A.73<S 2022<83B.2<S 2022<73C.53<S 2022<2 D.1<S 2022<5310.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 、b n 、c n 满足a 1=b 1=c 1=1，c n =a n +1-a n ，c n +2=b n +1b n⋅c n n ∈N * ，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n(n ≥2)，T n =1a 3-3+1a 4-4+⋯+1a n -n (n ≥3)，则下列有可能成立的是( )A.若a n 为等比数列，则a 22022>b 2022B.若c n 为递增的等差数列，则S 2022<T 2022C.若a n 为等比数列，则a 22022T 202211.(2022·浙江·模拟预测)已知各项均为正数的数列a n 满足a 1=1，a n n =a n +1n +1-1a n +1n ∈N *，则数列a n ( )A.无最小项，无最大项B.无最小项，有最大项C.有最小项，无最大项D.有最小项，有最大项12.(2022·浙江浙江·二模)已知a n 为非常数数列且a n ≠0，a 1=μ，a n +1=a n +sin 2a n +λμ,λ∈R ,n ∈N * ，下列命题正确的是( )A.对任意的λ，μ，数列a n 为单调递增数列B.对任意的正数ε，存在λ，μ，n 0n 0∈N * ，当n >n 0时，a n -1 <εC.存在λ，μ，使得数列a n 的周期为2D.存在λ，μ，使得a n +a n +2-2a n +1 >213.(2022·浙江温州·二模)对于数列x n ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，恒有x n ≤M ，则称数列x n有界；若这样的正数M 不存在，则称数列x n 无界，已知数列a n 满足：a 1=1，a n +1=ln λa n +1 λ>0 ，记数列a n 的前n 项和为S n ，数列a 2n 的前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A.当λ=1时，数列S n 有界 B.当λ=1时，数列T n 有界C.当λ=2时，数列S n 有界D.当λ=2时，数列T n 有界14.(2022·北京市育英学校高三开学考试)x 为不超过x 的最大整数，设a n 为函数f x =x x ，x ∈0,n的值域中所有元素的个数.若数列1a n +2n 的前n 项和为S n ，则S 2022=( )A.10121013B.12C.20214040D.1011101215.(2022·浙江浙江·高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1，且T n =a 1a 2⋯⋯a n ，若T n +1=a n T na 2n +1,n ∈N *，则( )A.a 50∈112,111B.a 50∈111,110C.a 10∈18,17D.a 10∈16,1516.(2022·浙江·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=12,a n =1+ln a n +1n ∈N * ，记T n 表示数列a n 的前n 项乘积.则( )A.T 9∈130,126B.T 9∈126,122C.T 9∈122,118D.T 9∈118,11417.(2022·浙江·湖州中学高三阶段练习)已知各项均为正数的数列a n满足a1=1，a n=e a n+1-cos a n+1n∈Ν∗，其前n项和为S n，则下列关于数列a n的叙述错误的是( )A.a n>a n+1n∈Ν∗B.a n<a n+1+a2n+1n∈Ν∗C.a n≤1nn∈Ν∗D.S n<2n n∈Ν∗18.(2022·浙江·镇海中学高三期末)已知无穷项实数列a n满足：a1=t，且4a n+1=1a n-1a n-1，则( )A.存在t>1，使得a2011=a1B.存在t<0，使得a2021=a1C.若a221=a1，则a2=a1D.至少有2021个不同的t，使得a2021=a119.(2022·浙江杭州·高三期末)若数列a n满足a n<a n+1，则下列说法错误的是( )A.存在数列a n使得对任意正整数p，q都满足a pq=a p+a qB.存在数列a n使得对任意正整数p，q都满足a pq=pa q+qa pC.存在数列a n使得对任意正整数p，q都满足a p+q=pa q+qa pD.存在数列a n使得对任意正整数p，q部满足a p+q=a p a q20.(2022·全国·高三专题练习)已知a n是各项均为正整数的数列，且a1=3，a7=8，对∀k∈N*，a k+1=a k+ 1与a k+1=12a k+2有且仅有一个成立，则a1+a2+⋅⋅⋅+a7的最小值为( )A.18B.20C.21D.2221.(2022·浙江·海亮高级中学模拟预测)已知数列{a n},n∈N∗，a n+1=a2n-2a n+m,m∈R，下列说法正确的是( )A.对任意的m∈(0,1)，存在a1∈[1,2]，使数列{a n}是递增数列；B.对任意的m∈94,52，存在a1∈[1,2]，使数列{a n}不单调；C.对任意的m∈(0,1)，存在a1∈[1,2]，使数列{a n}具有周期性；D.对任意的m∈(0,1)，当a1∈[1,2]时，存在a n>3.22.(2022·全国·高三专题练习)已知a n是等差数列，b n=sin a n，存在正整数t t≤8，使得b n+t=b n，n∈N*.若集合S=x x=b n,n∈N*中只含有4个元素，则t的可能取值有( )个A.2B.3C.4D.523.(2022·上海民办南模中学高三阶段练习)已知数列a n满足：当a n≠0时，a n+1=a2n-12a n；当a n=0时，a n+1=0；对于任意实数a1，则集合n a n≤0,n=1,2,3,⋯的元素个数为( )A.0个B.有限个C.无数个D.不能确定，与a1的取值有关24.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n满足a n+1=2a na2n+1，满足a1∈0,1，a1+a2+⋅⋅⋅+a2021=2020，则下列成立的是( )A.ln a1⋅ln a2021>12020 B.ln a1⋅ln a2021=1 2020C.ln a1⋅ln a2021<12020 D.以上均有可能25.(2022·全国·高三专题练习)已知各项都为正数的数列a n 满足a 1=a (a >2)，e -a n +1+a n +1=-1a n+ka n (n ∈N *)，给出下列三个结论：①若k =1，则数列a n 仅有有限项；②若k =2，则数列a n 单调递增；③若k=2，则对任意的M >0，陼存在n 0∈N *，使得n 02a n>M 成立．则上述结论中正确的为( )A.①②B.②③C.①③D.①②③二、多选题26.(2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测)数列a n 满足a 1=a ，a n +1=3a n -a n 2-1，则下列说法正确的是( )A.若a ≠1且a ≠2，数列a n 单调递减B.若存在无数个自然数n ，使得a n +1=a n ，则a =1C.当a >2或a <1时，a n 的最小值不存在D.当a =3时，1a 1-2+1a 2-2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1a n -2∈12,127.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)已知数列a n 满足0<a 1<1，a n +1=a n ln 2-a n +1 n ∈N * ，S n 为数列1a n 的前n 项和，则下列结论正确的是( )A.S n >n n +12B.a 2022>12022C.0<a n <1D.若a 1=13，则a n ≥13⋅2n -128.(2022·江苏·高三开学考试)已知S n 是数列a n 的前n 项和，S n +1=-S n +n 2，则( )A.a n +a n +1=2n -1(n ≥2)B.a n +2-a n =2C.当a 1=0时，S 50=1225D.当数列a n 单调递增时，a 1的取值范围是-14,1429.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知数列a n 满足：a 1=1，a n =123a n -1+5a 2n -1+4 n ≥2 ，下列说法正确的是( )A.∀n ∈N ∗，a n ,a n +1,a n +2成等差数列B.a n +1=3a n -a n -1n ≥2C.2n -1≤a n ≤3n -1n ∈N *D.∀n ∈N *，a n ,a n +1,a n +2一定不成等比数列30.(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知正项数列a n ，对任意的正整数m 、n 都有2a m +n ≤a 2m +a 2n ，则下列结论可能成立的是( )A.a n m +am n=a mn B.na m +ma n =a m +nC.a m +a n +2=a mnD.2a m ⋅a n =a m +n31.(2022·全国·模拟预测)已知数列a n 满足a 3=28，a n =2-1 n+n a n -1n ≥2 ，n ∈N *，数列b n 的前n 项和为S n ，且b n =log 2a 2n +2⋅a 2n -1 -log 2a 2n ⋅a 2n +1 ，则下列说法正确的是( )A.a 4a 2=21 B.a 1⋅a 2=16C.数列a 2n -1a 2n 为单调递增的等差数列 D.满足不等式S n -5>0的正整数n 的最小值为6332.(2022·福建南平·三模)如图，在平面直角坐标系中的一系列格点A i x i ,y i ，其中i =1,2,3,⋅⋅⋅,n ,⋅⋅⋅且x i ,y i ∈Z .记a n =x n +y n ，如A 11,0 记为a 1=1，A 21,-1 记为a 2=0，A 30,-1 记为a 3=-1,⋅⋅⋅，以此类推；设数列a n 的前n 项和为S n .则( )A.a 2022=42B.S 2022=-87C.a 8n =2nD.S 4n 2+5n =3n n +1233.(2022·全国·长郡中学模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n +a n =1对于∀n ∈N *恒成立，若定义Sn(1)=S n ，S n (k )=ni =1S i (k -1) k ≥2 ，则以下说法正确的是( )A.a n 是等差数列B.S n 3 =n 2-n +22-12nC.S nk +2-S nk=A k +1n +k -1k +1 !D.存在n 使得S n 2022=n 20212022!34.(2022·全国·高三专题练习)我们常用的数是十进制数，如1079=1×103+0×102+7×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数11012 =1×23+1×22+0×21+1×20，等于十进制的数13．把m 位n 进制中的最大数记为M m ,n ，其中m ，n ∈N *,n ≥2，M m ,n 为十进制的数，则下列结论中正确的是( )A.M 5,2 =31B.M 4,2 =M 2,4C.M n +2,n +1 <M n +1,n +2D.M n +2,n +1 >M n +1,n +235.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n ln a n +1 +1，则下列说法正确的有( )A.2a 3a 1+a 2<5B.a n +1-a 2n ≤a 2n +1C.若n ≥2，则34≤ni =11a i +1<1D.ni =1ln a i +1 ≤2n -1 ln236.(2022·海南·嘉积中学高三阶段练习)“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A 是一个有限“0，1数列”，f A 表示把A 中每个0都变为1，0，每个1都变为0，1，所得到的新的“0，1数列”，例如A 0,1,1,0 ，则f A =1,0,0,1,0,1,1,0 ．设A 1是一个有限“0，1数列”，定义A k +1=f A k ，k =1、2、3、⋅⋅⋅．则下列说法正确的是( )A.若A 3=1,0,0,1,1,0,0,1 ，则A 1=0,0B.对任意有限“0，1数列”A 1，则A n n ≥2,n ∈N 中0和1的个数总相等C.A n +1中的0，0数对的个数总与A n 中的0，1数对的个数相等D.若A 1=0,0 ，则A 2021中0，0数对的个数为13(41010-1)37.(2022·全国·高三专题练习(理))设数列a n 满足a 1=0，a n +1=ca 3n +2-8c ,n ∈N ∗其中c 为实数，数列a n 2的前n 项和是S n ，下列说法不正确的是( )A.当c >1时，a n 一定是递减数列B.当c <0时，不存在c 使a n 是周期数列C.当c ∈0,14时，a n ∈0,2 D.当c =17时，S n >n -52三、填空题38.(2022·全国·高三专题练习)对于数列a n ，若a n ,a n +1是关于x 的方程x 2-c n x +13n=0的两个根，且a 1=2，则数列c n 所有项的和为________．39.(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数f (x )=log 24x +1 -x ，数列a n 是公差为2的等差数列，若a 1f a 1 +a 2f a 2 +a 3f a 3 +a 4f a 4 =0，则数列a n 的前n 项和S n =__________．40.(2022·全国·高三专题练习)数列a n 满足：a 1=0，a n +1=-a 2n +a n +c .若数列a n 单调递减，则c 的取值范围是________；若数列a n 单调递增，则c 的取值范围是__________.41.(2022·全国·高三专题练习(理))黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数ξ(n )=∞n =1n -s =11s +12s +13s +⋅⋅⋅，我们经常从无穷级数的部分和11s +12s +13s +⋅⋅⋅+1ns 入手．已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且满足S n =12a n +1a n ，则1S 1+1S 2+⋅⋅⋅1S 2021 =______．(其中x 表示不超过x 的最大整数)42.(2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习)已知函数f (x )=1-(x -1)2,0≤x <2f (x -2),x ≥2，若对于正数k n (n ∈N *)，直线y =k n x 与函数f (x )的图像恰好有2n +1个不同的交点，则k 21+k 22+⋯+k 2n =___________.43.(2022·全国·高三专题练习)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3⋯，若b 1>c 1，b 1+c 1=2a 1，a n +1=a n ,b n +1=a n +c n 2，c n +1=a n +b n2，则∠A n 的最大值是________________.44.(2022·上海·高三专题练习)若数列a n 满足a n +a n +1+a n +2+⋯+a n +k =0n ∈N *,k ∈N * ，则称数列a n 为“k 阶相消数列”.已知“2阶相消数列”b n 的通项公式为b n =2cos ωn ，记T n =b 1b 2⋯b n ，1≤n ≤2021，n ∈N *，则当n =___________时，T n 取得最小值45.(2022·上海·高三专题练习)若数列a n 满足a 1=0，a 4n -1-a 4n -2=a 4n -2-a 4n -3=3，a 4n a 4n -1=a4n +1a 4n=12n ∈N *，且对任意n ∈N *都有a n <m ，则m 的最小值为________.46.(2022·全国·高三开学考试(理))用g (n )表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，g (9)=9，10的因数有1，2，5，10，g (10)=5，那么g (1)+g (2)+g (3)+⋯+g (22015-1)=__________．47.(2022·江苏苏州·模拟预测)设函数f 1x =x 2，f 2x =2x -x 2 ，f 3x =13sin2πx ，取t i =i2019，i =0,1,2,⋯,2019，S k =f k t 1 -f k t 0 +f k t 2 -f k t 1 +⋯+f k t 2019 -f k t 2018 ，k =1,2,3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________.(用“<”连接)四、双空题48.(2022·浙江·模拟预测)已知数列a n 对任意的n ∈N ∗，都有a n ∈N ∗，且a n +1=3a n +1,a n 为奇数a n 2,a n 为偶数．①当a1=8时，a2022=_________．②若存在m∈N∗，当n>m且a n为奇数时，a n恒为常数P，则P=_________．49.(2022·全国·高三专题练习)2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.50.(2022·全国·高三专题练习)对于正整数n，设x n是关于x的方程：n2+5n+3x2+x2log n+2x n=1的实根，记a n=12x n，其中x 表示不超过x的最大整数，则a1=______；若b n=a n⋅sin nπ2，S n为b n的前n项和，则S2022=______．。

第四章数列【压轴题专项训练】(解析版)

第四章数列【压轴题专项训练】一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】A 【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解.【详解】∵1(1)n n n a S S n -=->,∴1n n n S a S --=,则21(1)n S n -=-,即2*(N )n S n n =∈,∴22(1)21n a n n n =--=-.易知0n b >,∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==（）,244142(1)n n b n b n +∴==+当11n >+时,1n >,∴当13n ≤<时,1n n b b +>,当3n ≥时,1n n b b +<,又23132,281b b ==,∴当3n =时,n b 有最小值.故选：A2．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤【答案】B 【详解】用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=，解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．3．如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3:4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:7lg0.155≈）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B 【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第n 个正方形的边长为n a ，则12554144()77n n a a a =⨯=⨯=⨯，，.1251()57...414(1())5717nn n a a a -+++=⨯=⨯--.令1251()57...414(1())135717nn n a a a -+++=⨯⨯-≤-，解得117.6677lg 5n ≤+≈，故可制作完整的正方形的个数最多为7个.应选B.4．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10,n a S >，是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，进而由4737a a =得14330a d +=,故()()2111352233n n n d a S na n n-=+=-,再根据二次函数性质即可得当9n =时，n S 取最大值.【详解】设等差数列首项为1a ，公差为d ，因为4737a a =,所以()()113376a d a d +=+,即14330a d +=，10a >，()()2111352233n n n d a S na n n-=+=-，二次函数的对称轴为358.754n ==，开口向下，又∵n *∈N ，∴当9n =时，n S 取最大值.故选:C.5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S S +=+，则6S =（）A ．63B ．127C ．128D ．256【答案】A 【分析】先利用1n n n a S S -=-求通项公式，判断出{}n a 为等比数列，直接求和.【详解】在121n n S S +=+中，令1n =，得23S =，所以22a =．由121n n S S +=+得2121n n S S ++=+，两式相减得212n n a a ++=，即212n n a a ++=，又11a =，212aa =，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以66126312S -==-.故选：A ．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（）A ．90a =B ．1514S S >C ．0 d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值【答案】C 【分析】根据()12n n n a S S n -=-≥推导出80a <，90a =，100a >，结合等差数列的单调性与求和公式判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，由89S S =可得9980a S S =-=，A 选项正确；对于C 选项，由78S S >可得8870a S S =-<，980d a a ∴=->，C 选项错误；对于D 选项，由109S S >可得101090a S S =->，且90a =，80a <，0d >，所以，当8n ≤且n *∈N 时，0n a <，且90a =，则8S 与9S 均为n S 的最小值，D 选项正确；对于B 选项，90a =，0d >，当10n ≥时，90n a a >=，所以，1514150S S a -=>，B 选项正确.故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S n a =，11a =，则n S =（）A ．21n n +B ．()2221n n +C ．221nn -D ．221n n -【答案】A 【分析】根据n S 与n a 的关系可得12n n a n a n +=+，再利用累乘法即可得112(1n a n n =-+，进而利用裂项相消法求和即可.【详解】当2n ≥时，2,n n S n a =则211,(1)n n S n a ++=+且2222S a =，即2214a a +=，所以213a =.两式作差得2211(1)n n n n S S n a n a ++-=+-，即2211(1)n n n a n a n a ++=+-，即()12n n n a na ++=，所以12n n a n a n +=+，即()1121n n a n n a n --=≥+.则()1232212321232211········2(11411n n n n n n n a a a a n n n a a a a a a a n n n n n n n --------=⋯=⋯==-+-++.所以1111112)2(1112(12312n n S n n n n -=-=++=-+-+++.故选：A.8．用数学归纳法证明“()*(31)71n n n N +⋅-∈能被9整除”，在假设n k =时命题成立之后，需证明1n k =+时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（）能被9整除.A ．376k ⨯+B ．1376k +⨯+C ．37 3k ⨯-D ．1373k +⨯-【答案】B 【分析】假设n k =时命题成立，即(31)71k k +⋅-能被9整除，计算当1n k =+时，()131171(31)71k k k k +⎡⎤-⎣⎦++⋅--+⋅⎡⎤⎣⎦()131663177k k k +⎡=⎤-⋅+⋅⎦⋅+⎣+，即可得解.【详解】解：假设n k =时命题成立，即(31)71k k +⋅-能被9整除，当1n k =+时，()131171(31)71k kk k +⎡⎤-⎣⎦++⋅--+⋅⎡⎤⎣⎦()1347(31)7k kk k +-=+⋅+⋅()13137(31)7k kk k +=++⋅+⋅⎡⎤⎣⎦-()1131737(31)7k k k k k ++=+-+⋅⋅+⋅()1631737k k k +=⋅+⋅+⋅()131663177k k k +⎡=⎤-⋅+⋅⎦⋅+⎣+(31)71k k +⋅-能被9整除要证上式能被9整除，还需证明1367k +⋅+也能被9整除故选：B9．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（）A ．376B ．382C ．749D ．766【答案】C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q =，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C10．记n S 为数列{}n a 的前项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是（）A ．(8,14]B ．(14,18]C ．(18,20]D ．81(18,]4【答案】C 【分析】由已知可得数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n 项和公式可得29n S n n =-+，由二次函数的性质可得4n =或5时，n S 取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k 的取值范围．【详解】解：由已知可得102n a n =-，由12n n a a --=-，所以数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2，所以2(1)8(2)92n n n S n n n -=+⨯-=-+，当n =4或5时，n S 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，所以满足条件的4n =和5n =，因为3618S S ==，所以实数k 的取值范围是(]18,20．故选：C ．二、多选题11．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（）A ．31a =-B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =【答案】ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3．2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ．12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（）A ．512a =B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn +【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确；所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确；对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确，故选：BCD.13．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【分析】本题首先可根据1432a a ⋅=得出2332a a ⋅=，与2312a a +=联立即可求出2a 、3a 以及q ，A 正确，然后通过122n n S ++=即可判断出B 正确，再然后通过等比数列求和公式即可判断出C正确，最后根据lg lg 2n a n =即可判断出D 错误.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以142332a a a a ×=×=，联立23233212a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩，解得2384a a =⎧⎨=⎩或2348a a =⎧⎨=⎩，因为公比q 为整数，所以24a =、38a =、322a q a ==，12a =，2n n a =，A 正确，()121222212n n n S +-+=+=-，故数列{}2n S +是等比数列，B 正确；()8982122251012S -==-=-，C 正确；lg lg 2lg 2n n a n ==，易知数列{}lg n a 不是公差为2的等差数列，D 错误，故选：ABC.14．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论正确的是（）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅B ．12321n n a a a a a +++++=-C ．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()1214n n n n c c a a π--+-=⋅【答案】ABD 【分析】根据题中递推公式，求出n S ，n c ，数列的前n 项和，数列的奇数项和，与选项对比即可.【详解】对于A 选项，因为斐波那契数列总满足()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈，所以2121a a a =，()22222312321a a a a a a a a a a ==-=-，()23333423432a a a a a a a a a a ==-=-，类似的有，()21111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+-==-=-，累加得22221231n n n a a a a a a +++++=⋅，由题知222222112311211n n n n n n n n S a a a a a a a a a a ++++++=+++++=⋅=+⋅，故选项A 正确，对于B 选项，因为11a a =，231a a a =-，342a a a =-，类似的有11n n n a a a +-=-，累加得123122++1n n n n a a a a a a a a ++++=+-=-，故选项B 正确，对于C 选项，因为11a a =，342a a a =-，564a a a =-，类似的有21222n n n a a a --=-，累加得13211222++n n n a a a a a a a -+=+-=，故选项C 错误，对于D 选项，可知扇形面积24nn a c π⋅=，故()()2222111124444n n n n n n n n c c a a a a a a ππππ+----⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎝⎭⋅⋅，故选项D 正确，故选：ABD.三、填空题15．用数学归纳法证明关于n 的不等式1111312224n n n +++>++(n ∈N +)，由n=k 递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为________.【答案】增加112122k k -++【分析】先写出当n=k 时左边的代数式，再写出当n=k+1时左边的代数式，相减即可得出结果，注意分母及项数的变化【详解】假设n=k 时，不等式成立，即1112k k ++++…+113224k >，则当n=k+1时，不等式左边=11(1)1(1)2k k ++++++…+1112212(1)k k k ++++=1123k k ++++…+11122122k k k ++++=1112k k ++++…+1111221221⎛⎫++- ⎪+++⎝⎭k k k k =1112k k ++++…+11122122k k k +-++.故答案为：增加112122k k -++16．单调递增的等比数列{}n a 满足12312314,64a a a a a a ++==，令2log n n b a =，则11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为________．【答案】1011【分析】设单调递增的等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的通项公式列方程求出1a 和q ，可得n a 和n b ，根据裂项求和方法可求得结果.【详解】设单调递增的等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，则()2133111464a q q a q ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，所以()2111144a q q a q ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，消去1a 得21144q q q ++=，即22520q q -+=，解得2q =或12q =（舍），所以12a =，111222n n n n a a q --==⨯=，2log n n b a =2log 2nn ==，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++，所以12231011111b b b b b b +++1111112231011=-+-++-11011111=-=.故答案为：101117．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4+a 7+a 10=9，S 14-S 3=77，则使S n 取得最小值时n 的值为____.【答案】5【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 4+a 7+a 10=9，S 14-S 3=77，求得1,a d 即可.设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 4+a 7+a 10=9，S 14-S 3=77，所以113189,118877a d a d +=-=，解得19,2a d =-=所以()()211111022n n n n n S na d na d n n --=+=+=-，所以当5n =时，S n 取得最小值，故答案为：518．已知数列{}n a 的前n 项和为()2*1,1,N n n n S a S n a n ==∈，则数列{}n a 的通项公式为___________.【答案】()21n a n n =+【分析】由题意可得,当2n ≥时，()2111n n S n a --=-，又2n n S n a =，两式相减可得111n n a n a n --=+，再利用累乘法，即可求出2n ≥时数列{}n a 的通项公式，注意当1n =时,11a =代入进行检验即可.【详解】由2n n S n a =，可得当2n ≥时，()2111n n S n a --=-，则2211(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，故111n n a n a n --=+，所以123211232112321211143(1)n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n n n --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⨯=+-+L .当11,1n a ==满足2(1)n a n n =+.故数列{}n a 的通项公式为2(1)n a n n =+.故答案为：2(1)n a n n =+四、解答题19．设数列{}n a 满足11a =，1123n n n a a -+-=⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）13-=n n a ，*n N ∈；（2）3n n S n =⋅，*n N ∈.（1）利用累加法求通项公式；（2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出n S .【详解】（1）由已知，当2n ≥时，2123n n n a a ---=⋅，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()12211312133312313n n n ----=+++++=+⨯=-当1n =时，11131a -==符合上式，13n n a -∴=，*n N ∈.（2）由（1）知()()121213n n n b n a n -=+=+⨯，()0113353213n n S n -=⨯+⨯+++⨯①3n S =()()1213353213213n n n n -⨯+⨯++-⨯++⨯②①-②得()()121232333213n n n S n --=++++-+⋅()()121213332131n n n -=++++-+⋅+()132213113nn n -=⨯-+⋅+-23nn =-⋅所以，3n n S n =⋅，*n N ∈.20．数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2，（1）求{a n }的通项公式；（2）则{a n }的前多少项和最大？【答案】（1）a n ＝34－2n ；（2）前16项或前17项的和最大．【分析】法一：当2n 时，1n n n a S S -=-，当1n =时，11a S =，即可得出．法二：利用S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数的结构特征构造方程组求得首项和公差即可.（2）法一：令0n a ，得3420n - ，解出n 即可得出．法二：由233y x x =-+的对称轴为332x =．利用二次函数的单调性即可得出．【详解】（1）法一：(公式法)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1，满足a n ＝34－2n ．故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n ．法二：(结构特征法)由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知112332d d a ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n ．（2）法一：(公式法)令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17，故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．法二：(函数性质法)由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332，距离332最近的整数为16，17．由S n ＝－n 2＋33n 的图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．21．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项.（1）求n a ，n b ；（2）设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1,2n n n a n b -==；（2）121n n S n =-+.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意列关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，则n a ，n b 可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入n c ，分组后利用等比数列前n 项和与裂项相消法求解数列{}n c 的前n 项和.【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意，4114(41)446102S a d a d ⨯-=+=+=，①又∵124,,a a a 成等比数列，∴2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+，得1a d =，②联立①②可得，11a d ==∴n a n =，12n n b -=；（2）∵1112(1)(1)n n n n n c b a a n n -=+=+++，∴01111111(222)(1)2231n n S n n -=++++-+-++-+＝1211121211n n n n -+-=--++.∴数列{}n c 的前n 项和n S 为121n n S n =-+.22．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1n na a +(n ∈N *)．（1）计算a 2，a 3，a 4；（2）猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14；（2）猜想a n ＝1n，证明见解析.【分析】（1）由递推式直接求出即可；（2）由（1）归纳猜想出n a ，再用数学归纳法证明即可.【详解】（1）a 1＝1，a 2＝111a a +＝12，a 3＝221a a +＝13，a 4＝331a a +＝14.（2）由（1）的计算猜想a n ＝1n .下面用数学归纳法进行证明．①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立．②假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝1k，那么a k ＋1＝111111k k a k a k k ==+++，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n .。

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h，若 1
成等比数列，且 1 1，
， 11，则
6. 已知数列是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．设
，则当 t h h 时，n 的最小值为______．
，
1
7. 已知数列的首项为 1，且满足对任意的正整数 p，q，都有
，数列中， 1 1，
1，若对任
意
1 41 4
4
1
4.【答案】
解：对于，由
1
误；对于，由知： 4
1
1 1 14
4，
14
14
4
14
4
4
1 41 4 14
1
4
⋅4−
−.
1
h 得：
1
1
1
1，
，又 1 4，
1
1，
1
是首项为 4，公比为 2 的等比数列，故错
1
1
1
1 t h，
是递增数列，故正确；对于，由知：h
1，
1
1
1
单调递增，
−
1，将数列中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列，则数列
的前 n 项和为______．
4. 已知数列的首项为 4，且满足
1
1h
，则下列命题：
是等差数列；
是递增
数列；设函数
1
，则存在某个区间
1
1
则其中正确的命题序号为__________．
，使得在
1 上有唯一零点；
. 已知等差数列中，首项 1 ，公差数列的通项公式是______．
所以 1
1
2.【答案】4

压轴数列专题--等差等比数列

凤凰涅槃训练数学专题训练数列专题等差、等比数列一．选择题1．把已知正整数n表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数36的不同等差分拆的个数是（）A．20 B．22 C．19 D．212．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n}（n∈N*）的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则a2009+a2010+a2011等于（）A．1003 B．1005 C．1006 D．20113．一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2、A2A3分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧...，这样画到第n圈，则所得螺旋线CA1，A1A2，A2A3 (3)A3n﹣1，A3n﹣1A3n的总长度S n为（）﹣2A．n（3n+1）πB．C．2π（3n﹣1）D．n（n+1）π4．设{a n}是公比为q的等比数列，首项，对于n∈N*，，当且仅当n=4时，数列{b n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（）A．B．（3，4）C．D．5.把数列一次按第一个括号一个数，按第二个括号两个数，按第三个括号三个数，按第四个括号一个数…，循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25）…，则第50个括号内各数之和为（）A．390 B．392 C．394 D．3966．对于一个有限数列P={P1，P2，…，P n}P的“蔡查罗和”定义为，其中S k=P1+P2+…+P k（1≤k≤n）．若一个99项的数列{P1，P2，…，P99}的“蔡查罗和”为1000，则100项的数列{1，P1，P2，…，P99}“蔡查罗和”为（）A．990 B．991 C．992 D．9937．对于有限数列A：{a1，a2，a3，…，a n}S i为数列A的前i项和，称为数列A的“平均和”，将数字1，2，3，4，5，6，7任意排列，所对应数列的“平均和”的最大值是（）A．12 B．16 C．20 D．228．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N+）且{a n}的前n项和为S n，则=（）A．3 B．C．2 D．9．在数列{a n}中，若存在非零整数T，使得a m+T=a m对于任意的正整数m均成立，那么称数列{a n}为周期数列，其中T叫做数列{a n}的周期．若数列{x n}满足x n+1=|x n﹣x n﹣1|（n≥2，n∈N），如x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），当数列{x n}的周期最小时，该数列的前2010项的和是（）A．669 B．670 C．1339 D．134010．用n个不同的实数a1，a2，…，a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行a i1，a i2，…，a in，记b i=﹣a i1+2a i2﹣3a i3++（﹣1）n na in，i=1，2，3，…，n!，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于（）A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣72011．已知数列{x n}满足x2=，x n=（x n﹣1+x n﹣2），n=3，4，…．若=2，则x1=（）A．B．3 C．4 D．5二．填空题12．数列{a n}为等差数列，a1=19，a26=﹣1，设A n=|a n+a n+1+…+a n+6|，n∈N*．则A n的最小值为．13．已知等差数列{a n}的首项及公差均为正数，令．（1）若等差数列{a n}的首项为20，公差为1，则b6=；（2）当b k是数列{b n}的最大项时，k=．14．n2个正数排成n行n列（如表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且所有公比都相同，已知，则a11=．15．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点个数，则f（4）=，当n＞4时f（n）=（用n表示）16．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4﹣a2=8，a3+a5=26．记T n=，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，T n≤M都成立，则M的最小值是．17．记集合P={ 0，2，4，6，8 }，Q={ m|m=100a1+10a2+a3，且a1，a2，a3∈P }，将集合Q 中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是．18．设C：y=x2（x＞0）上的点为P0（x0，y0），在P0处作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1（x1，y1），然后在P1作曲线C的切线与x轴交于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2（x2，y2），依此类推，作出以下各点：Q3，P3，…Q n，P n…．已知x0=2，则数{x n}的通项公式是．19．如图，第一个图是正三角形，将此正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第2个图，将第2个图中的每一条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第3个图，如此重复操作至第n个图，用a n表示第n 个图形的边数，则数列a n的前n项和S n等于．20．设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{Tn}的最大项，则n0=．21．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为．22．下面给出的四个命题中：①对任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在直线y=2x+1上是数列a n为等差数列的充分不必要条件；②“m=﹣2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的必要不充分条件；③设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）与坐标轴有4个交点A（x1，0），B（x2，0），C（0，y1），D（0，y2），则有x1x2﹣y1y2=0；④将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数的图象．其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）．23．若数列{a n}满足性质“对任意正整数n，都成立”，且a1=1，a20=58，则a10的最小值为．24．对正整数n，设抛物线y2=2（2n+1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于A n，B n 两点，则数列的前n项和公式是．25．各项都为正数的数列{a n}，其前n项的和为S n，且S n=（+）2（n≥2），若b n=+，且数列{b n}的前n项的和为T n，则T n=．26．对于任意正整数j，k，定义a jk=j﹣3（k﹣1），如，a3，4=3﹣3（4﹣1）=﹣6．对于任意不小于2的正整数m、n，设b（j，n）=a j•1+a j•2+…+a j•n，S（m，n）=b（1，n）+b（2，n）+b（3，n）+…+b（m，n），则b（1，n）=；S（2，5）=．27．对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={a i1，a i2，…，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中x i1=x i2=…x ik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于；（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为．28．定义：我们把满足a n+a n﹣1=k（n≥2，k是常数）的数列叫做等和数列，常数k叫做数列的公和．若等和数列{a n}的首项为1，公和为3，则该数列前2010项的和S2010=．29（2013•沈河区校级模拟）已知数列{a n}的前n项和，令，记数列{b n}的前项和为T n，则T31=30．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=，则该数列的前20项的和为．31．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=，则该数列的前20项的和为．32．当n为正整数时，函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（3）=3，N（10）=5，…，设S n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2n﹣1）+N（2n），则S n=．33.设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若，则数列{a n}的前n项和的取值范围是．34．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a n}：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S n，则S19的值为．35．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为．36．对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.32]=0，[5.68]=5．若n为正整数，，S n为数列{a n}的前n项和，则S8=、S4n=．37．定义“和常数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项和都为同一个常数，那么这个数列叫做常数列，这个常数叫做该数列的和常．已知数列{a n}是和常数列，且a1=2，和常为5，那么a18的值为；若n为偶数，则这个数的前n项和S n的计算公式为．38．用α，β，γ三个字母组成一个长度为n+1（n∈N*）个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串可能是αβ或αγ；n=2时排出的字符串可能是αβα，αβγ，αγα，αγβ（如图）．若记这种n+1个字符串中，排在最后一个的字母仍是α的所有字符串的种数为a n，可知，a1=0，a2=2；则a4=；数列{a n}的前2n项之和a1+a2+a3+…+a2n=．39．在数列{a n}中，如果存在非零常数T，使得a m+T=a m对任意正整数m均成立，那么就称{a n}为周期数列，其中T叫做数列{a n}的周期．已知数列{x n}满足x n+1=|x n﹣x n﹣1|（n≥2，n∈N*），且x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），当数列{x n}周期为3时，则该数列的前2007项的和为40．设，则a1+a2+…+a2009=．41．将杨辉三角中的每一个数C n r都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，则=．42．用n个不同的实数a1，a2，…，a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵．对第i行a i1，a i2，…，a in，记b i=﹣a i1+2a i2﹣3a i3+…+（﹣1）n na in（i=1，2，3，…，n!）．例如：用1，2，3可得数阵如下，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24．那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120=．43．若正整数数列1，2，3，…，2n（n∈N*）中各项的最大奇数因子的和为a n﹒求证：44．设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．45．已知数列{a n}中，a1=1，na n+1=2（a1+a2+…+a n）（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项a n；（3）设数列{b n}满足，证明：①（；②b n＜1．46．已知数列{a n}中，a1=1，且点P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若函数，求函数f（n）的最小值；（3）设表示数列{b n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+S n﹣1=（S n﹣1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．47．数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，且，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T n＜2；（3）正数数列{c n}中，a n+1=（c n）n+1（n∈N*），求数列{c n}中的最大项．48．设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n．（Ⅰ）若a11=0，S14=98，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{a n}的通项公式．49．设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．（1）证明；（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．50．抛物线y2=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线交抛物线于A、B两点．（1）求线段AB中点的轨迹方程；（2）若线段AB的垂直平分线交对称轴于点N（x0，0），求证：x0＞；（3）若直线l的斜率依次取时，线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点依次是N1，N2，…，N n，求．51．已知{a n}是首项为2，公比为的等比数列，S n为它的前n项和．（1）用S n表示S n+1；（2）是否存在自然数c和k，使得成立．52．如图，已知△AOB中，OA=b，OB=a，∠AOB=θ（a≥b，θ是锐角），作AB1⊥OB，B1A1∥BA；再作A1B2⊥OB，B2A2∥BA；如此无限连续作下去，设△ABB1，△A1B1B2，…的面积为S1，S2，…求无穷数列S1，S2，…的和．53．已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{a n}的首项a1=1．（1）若q=，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，…，b k，使得a1，b1，b2，…，b k，a2，a3成等差数列，求这k个数；（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）当且仅当q取何值时，在数列{a n}的每相邻两项a k，a k+1之间插入c k（k∈N*，c k∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及{c n}的通项公式（用q表示）．54．设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{a n}：a1是自然数，a n=f （a n﹣1）（n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）求f（99），f（2014）；（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；（Ⅲ）求证：存在m∈N*，使得a m＜100．55．设S n为数列{a n}的前项和，且对任意n∈N*都有S n=2（a n﹣1），记f（n）=．（1）求a n；（2）试比较f（n+1）与f（n）的大小；（3）证明：①f（k）+f（2n﹣k）≥2f（n），其中k≤n且k∈N*；②（2n﹣1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）＜3．56．对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，…，a k}（k=1，2，…，m），即b k 为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n}．（2）设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：b k=a k（k=1，2，…，m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是{a n}的控制数列，求（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）．57．如果存在常数a使得数列{a n}满足：若x是数列{a n}中的一项，则a﹣x也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；（2）若有穷递增数列{b n}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求证：数列{b n}的前n项和；（3）已知有穷等差数列{c n}的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，试判断数列{c n}是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用n0和B表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由．58．将正数数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数a1，a2，a4，a7，…构成数列为{b n}，各行的最后一个数a1，a3，a6，a10，…构成数列为{c n}，第n行所有数的和为s n（n=1，2，3，4，…）．已知数列{b n}是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q，且．（1）求数列{c n}，{s n}的通项公式．（2）求数列{c n}的前n项和T n的表达式．59．若数列A n=a1，a2，…，a n（n≥2）满足|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，n﹣1），数列A n为E 数列，记S（A n）=a1+a2+…+a n．（Ⅰ）写出一个满足a1=a s=0，且S（A s）＞0的E数列A n；（Ⅱ）若a1=12，n=2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n=2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列A n，使得S（A n）=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A n；如果不存在，说明理由．60.设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有a n＞0，．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）证明：a2n+1n≥a2n n+a2n﹣1n．参考答案一．选择题（共11小题）1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B二．填空题（共19小题）12．13．501006 14．15．516．2 17．464 18．19．4n-1 20．4 21．12 22．①③④23．28 24．-n（n+1）25．26．-45 27．217 28．3015 29．30．210131．2101 32．33．34．283 35．836．62n2-n37．338．639．1338 40．41．42．-1080。

【强烈推荐】数列压轴题训练50道(精华,含答案)

数列大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式；（2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++ . 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。

4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。

数列-2024高考数学压轴小题(解析版)

数列-2024高考压轴小题一．选择题（共13小题）1．数列{a n}中，＞1(∈∗)，点（a n，a n+1）在双曲线2y2﹣x2＝1上．若a n+2﹣a n+1＞λ（a n+1﹣a n）恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．[12，+∞)B．(12，+∞)C．+∞)D．（1，+∞）2．已知等比数列{a n}的公比为−13，其前n项和为S n，且a1，2+43，a3成等差数列，若对任意的n∈N*，均有≤−2≤恒成立，则B﹣A的最小值为（）A．2B．76C．103D．53 3．已知数列{a n}满足1=13，r1=(r1)+，1+12+⋯+12⋯＜o∈p恒成立，则m的最小值为（）A．1B．2C．3D．54．已知数列{a n}满足a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n，记数列{a n﹣tn}的前n项和为S n，若S n≤S10对任意的n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[1211，1110]B．(1211，1110]C．[1110，109]D．(1110，109) 5．已知数列{142+4K3}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式12T n＜3a2﹣a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[−1，43]B．[−43，1] C．(−∞，−1]∪[43，+∞)D．(−∞，−43]∪[1，+∞)6．设S n是一个无穷数列{a n}的前n项和，若一个数列满足对任意的正整数n，不等式＜r1r1恒成立，则称数列{a n}为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n均有a n＜a n+1，则{a n}为和谐数列；②若等差数列{a n}是和谐数列，则S n一定存在最小值；③若{a n}的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个．A．0B．1C．2D．37．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且满足S n+1＝2S n+2n+1，若存在实数λ，使不等式λa n≤（n﹣19）S n对任意n∈N*恒成立，则λ的最大值为（）A．﹣24B．﹣18C．−683D．−703 8．已知等比数列{a n}的首项为2，公比为−13，其前n项和记为S n，若对任意的n∈N*，均有A≤3S n−1≤B恒成立，则B﹣A的最小值为（）A．72B．94C．114D．1369．已知等差数列{a n}满足a2＝2，a3+a6＝1+a8，数列{b n}满足b n a n+1a n＝a n+1﹣a n，记{b n}的前n项和为S n，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜22+B−3恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]10．已知数列{a n}的首项是a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+3n+1（n∈N*），设c n＝log2（a n+3）．若存在常数k，使得不等式k≥−1(r16)(∈∗)恒成立，则k的取值范围为（）A．[19，+∞）B．[116，+∞)C．[125，+∞)D．[136，+∞) 11．已知数列{a n}满足1=3，r1=+2−1，记数列{|a n﹣2|}的前n项和为S n，设集合={125，6225，4517，3512}，N＝{λ∈M|λ＞S n对n∈N*恒成立}，则集合N的元素个数是（）A．1B．2C．3D．4 12．设S n是数列{a n}的前n项和，=32−3r1，若不等式≥n∈N+恒成A．13B．16C．19D．13613．S n为数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝5，a3＝10，a4＝17，对任意大于2的正整数n，有S n+1﹣3S n+3S n﹣1﹣S n﹣2+m＝0恒成立，则使得12−2+13−2+⋯+1K1−2+1−2≥2542成立的正整数k的最小值为（）A．7B．6C．5D．4二．多选题（共5小题）（多选）14．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n＝2a n﹣1（n∈N*），b1＝20a4，b n+1＝a n b n（n∈N •），数列{b n}的前n项和为T n，且对∀n∈N*，2T n+400≥λn恒成立，则（）A．a4=45B．数列{1−1}为等差数列C．b n＝16n D．λ的最大值为225（多选）15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且4=235，S7＝28，记T n为数列{1}的前n项和，若T n＜λ恒成立，则λ的值可以是（）A．1B．2C．3D．4（多选）16．已知数列{a n}满足：a1＝2，=2−1K1，n＝2，3，4，…，则下列说法正确的是（）A．5=65B．对任意n∈N*，a n+1＜a n恒成立C．不存在正整数p，q，r使a p，a r，a q成等差数列D．数列{1−1}为等差数列（多选）17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1=(r1)+2，对于任意n∈N*，a∈[﹣2，2]，不等式3⋅2＜2t2+at﹣1恒成立，则t的取值可以是（）A．1B．2C．32D．4（多选）18．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1−1=(1+1)，n∈N*．若对于任意的t∈[1，2]，不等式＜−22−(+1)+2−a+2恒成立，则实数a可能为（）A．﹣4B．﹣2C．0D．22024高考压轴练--数列小题参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．数列{a n }中，＞1(∈∗)，点（a n ，a n +1）在双曲线2y 2﹣x 2＝1上．若a n +2﹣a n +1＞λ（a n +1﹣a n ）恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．[12，+∞)B ．(12，+∞)C ．+∞)D ．（1，+∞）【解答】解：由题意可知：双曲线2y 2﹣x 2＝1的渐近线方程为，因为点（a n ，a n +1）在双曲线2y 2﹣x 2＝1上，则2r12−2=1，且＞1(∈∗)，可得r12−2=1−r12＜0，可知{2}为递减数列，且＞1(∈∗)，则{a n }为递减数列，可得a n +1﹣a n ＜0，且a n +2﹣a n +1＞λ（a n +1﹣a n ），可得＞r2−r1r1−，记点A n （a n ，a n +1），则r2−r1r1−为直线A n A n +1的斜率，记=r2−r1r1−，由双曲线的性质以及{a n }为递减数列可知，直线A n A n +1的斜率{k n }为递减数列，即k n ≤k 1，且随着a 1增大，直线A 1A 2越接近渐近线=，故k 1接近于22，所以则≥故选：C ．2．已知等比数列{a n }的公比为−13，其前n 项和为S n ，且a 1，2+43，a 3成等差数列，若对任意的n ∈N *，均有≤−2≤恒成立，则B ﹣A 的最小值为（）A ．2B ．76C ．103D ．53【解答】解：等比数列{a n}的公比为−13，因为a1，2+43，a3成等差数列，所以2×−131+43= 1+191，解得a1＝2，所以=2[1−(−13)]1−(−13)=32−32⋅(−13)，当n为奇数时，=32+32⋅(13)，易得S n单调递减，且32+32⋅(13)＞32，所以32＜≤1=2；当n为偶数时，=32−32⋅(13)，易得S n单调递增，且32−32⋅(13)＜32，所以43=2≤＜32．所以S n的最大值与最小值分别为2，43．函数=−2在（0，+∞）上单调递增，所以≤(−2)m=43−243=−16．≥(−2)B=2−22=1．所以B﹣A的最小值1−(−16)=76．故选：B．3．已知数列{a n}满足1=13，r1=(r1)+，1+12+⋯+12⋯＜o∈p恒成立，则m的最小值为（）A．1B．2C．3D．5【解答】解：依题意，a n≠0，由r1=(r1)+，得1r1=+(r1)，即r1r1=+1，因此数列{}是首项11=3，公差d＝1的等差数列，则=11+o−1)=+2，即=r2，则当n≥2时，12⋯=13⋅24⋅35⋅⋯⋅r2=2(r1)(r2)=2(1r1−1r2)，1=13= 22×3也符合上式，1+12+⋯+12⋯=2(12−13+13−14+⋯+1r1−1r2)=1−2r2＜1，所以m≥1，即m的最小值为1．故选：A．4．已知数列{a n}满足a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n，记数列{a n﹣tn}的前n项和为S n，若S n≤S10对任意的n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[1211，1110]B．(1211，1110]C．[1110，109]D．(1110，109)【解答】解：由1+22+⋯+2K1=⋅2①，当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，1+22+⋯+2K2K1=(−1)⋅2K1②，①﹣②可得a n＝n+1（n≥2），又a1也符合上式，∴a n＝n+1，令b n＝a n﹣tn＝n+1﹣tn＝（1﹣t）n+1，∴b n+1﹣b n＝（1﹣t）（n+1）+1﹣[（1﹣t）n+1]＝1﹣t为常数，∴数列{b n}是等差数列，首项b1＝2﹣t，∴=2−r(1−pr12×=1−22+3−2，其对称轴为=−3−21−=−3−2−2，∵S n≤S10对任意的n∈N*恒成立，3−2−2≤10.5，解得1211≤≤1110，∴t的取值范围是[1211，1110]．故选：A．5．已知数列{142+4K3}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式12T n＜3a2﹣a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[−1，43]B．[−43，1] C．(−∞，−1]∪[43，+∞)D．(−∞，−43]∪[1，+∞)【解答】解：由142+4K3=1(2r3)(2K1)=14（12K1−12r3），可得T n=14（1−15+13−17+15−19+...+12K3−12r1+12K1−12r3）=14（1+13−12r1−12r3）＜14×43=13．由对任意的n∈N*，不等式12T n＜3a2﹣a恒成立，可得3a2﹣a≥12×13，解得a≥43或a≤﹣1．故选：C．6．设S n是一个无穷数列{a n}的前n项和，若一个数列满足对任意的正整数n，不等式＜r1r1恒成立，则称数列{a n}为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n均有a n＜a n+1，则{a n}为和谐数列；②若等差数列{a n}是和谐数列，则S n一定存在最小值；③若{a n}的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个．A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，由＜r1r1，可得（n+1）S n＜nS n+1，则S n＜n（S n+1﹣S n），即S n＜na n+1，若a n＜a n+1，则S n＜na n＜na n+1，故①正确；对于②，设等差数列{a n}的公差为d，则=22+(1−)，则=2+1−2，即{}为公差为2的等差数列，若{a n}为和谐数列，即＜r1r1，则2＞0，所以关于n的二次函数=22+(1−)开口向上，则在n∈N•上一定存在最小值，故②正确；对于③，取1＜0，=−14，则=11−⋅(1−)=451[1−(−14)]，B r1=B1⋅(−14)，下面证明S n＜na n+1，即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列，即证451[1−(−14)]＜B1(−14)，即证45[1−(−14)]＞o−14)，即证(+45)(−14)＜45，当n＝2k+1，k∈N时，上式左边为负数，显然成立；当n＝2k，k∈N•时，即证(2+45)⋅116＜45，即证16−52−1＞0(⋅)，设op=16−52−1，′(p=16B16−52＞B16−52＞0，则f（k）＞f（1）＞0，即（*）式成立，故③正确．故选：D．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且满足S n+1＝2S n+2n+1，若存在实数λ，使不等式λa n≤（n﹣19）S n对任意n∈N*恒成立，则λ的最大值为（）A．﹣24B．﹣18C．−683D．−703【解答】解：由S n+1＝2S n+2n+1，得r12r1−2=1，∵S1＝a1＝2，∴121=1，∴{2}是首项为1，公差为1的等差数列，则2=1+1×（n﹣1）＝n，即S n＝n•2n，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，验证n＝1也满足，∴a n＝（n+1）•2n﹣1，由λa n≤（n﹣19）S n，得λ（n+1）•2n﹣1≤（n﹣19）•n•2n，即λ≤2oK19)r1．令f（n）=2oK19)r1，则f（n+1）﹣f（n）=2(r1)(K18)r2−2oK19)r1=2(2+3K18)(r1)(r2)= 2(K3)(r6)(r1)(r2)，可得f（1）＞f（2）＞f（3）＝f（4）＜f（5）＜…，∴f（n）min＝f（3）＝f（4）＝﹣24，而λ≤2oK19)r1，∴λ≤﹣24，得λ的最大值为﹣24．故选：A．8．已知等比数列{a n}的首项为2，公比为−13，其前n项和记为S n，若对任意的n∈N*，均有A≤3S n−1≤B恒成立，则B﹣A的最小值为（）A．72B．94C．114D．136【解答】解：S n=2[1−(−13)]1−(−13)=32−32•(−13)，①n为奇数时，S n=32+32•(13)，可知：S n单调递减，且m m∞=32，∴32＜S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n=32−32•(13)，可知：S n单调递增，且m m∞=43，∴43=S2≤S n＜32．∴S n的最大值与最小值分别为：2，43．考虑到函数y＝3t−1在（0，+∞）上单调递增，∴A≤(3−1)m=3×43−143=134．B≥(3−1)B=3×2−12=112．∴B﹣A的最小值=112−134=94．故选：B．9．已知等差数列{a n}满足a2＝2，a3+a6＝1+a8，数列{b n}满足b n a n+1a n＝a n+1﹣a n，记{b n}的前n项和为S n，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜22+B−3恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：由等差数列的性质知a3+a6＝a8+a1＝a8+1，则a1＝1，又a2＝2，则等差数列{a n}的公差d＝a2﹣a1＝1，∴a n＝1+（n﹣1）＝n．由b n a n+1a n＝a n+1﹣a n，得=1−1r1=1−1r1，∴=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1K1−1)+(1−1r1)=1−1r1，则不等式＜22+B−3恒成立等价于1−1r1＜22+B−3恒成立，而1−1r1＜1，∴问题等价于对任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，2t2+at﹣4≥0恒成立．设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，则o2)≥0o−2)≥0，即2+−2≥02−−2≥0，解得：t≥2或t≤﹣2．故选：A．10．已知数列{a n}的首项是a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+3n+1（n∈N*），设c n＝log2（a n+3）．若存在常数k，使得不等式k≥−1(r16)(∈∗)恒成立，则k的取值范围为（）A．[19，+∞）B．[116，+∞)C．[125，+∞)D．[136，+∞)【解答】解：因为S n+1＝2S n+3n+1，所以当n≥2时，S n＝2S n﹣1+3（n﹣1）+1，两式相减，得a n+1＝2a n+3，所以a n+1+3＝2（a n+3），又a1+3＝4，a1+a2＝S2＝2S1+3×1+1＝6，所以a2＝5，a2+3＝2（a1+3），所以数列{a n+3}是以4为首项、2为公比的等比数列，所以+3=4×2K1=2r1，所以c n＝log2（a n+3）＝n+1，所以−1(r16)=(r16)(r1)=2+17r16=1r16+17≤18+17=125，当且仅当n＝4时等号成立，所以≥125，所以k的取值范围为[125，+∞)．故选：C．11．已知数列{a n}满足1=3，r1=+2−1，记数列{|a n﹣2|}的前n项和为S n，设集合={125，6225，4517，3512}，N＝{λ∈M|λ＞S n对n∈N*恒成立}，则集合N的元素个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：令r1=+2−1=，解得a n＝2，即数列{a n}的不动点为2，其生成函数为=+2−1，所以，作出函数=+2−1与函数y＝x的图像如图：故由上图：2＜a n+1＜a n≤3，∴13≤1＜12，∴r1=22−1+1=2(1−14)2+78∈[89，1)，即89≤r1＜，又∵r1−=2−1=2−，∴a n﹣2＝a n（a n﹣a n+1），一方面，由r1≥89得+r1≥179，∴≤917(+r1)，−2=(−K1)≤917(2−r12)，∴=(1−2)+(2−2)+⋯(−2)≤917[(12−22)+(22−32)+⋯+(2−r12)]=917(9−r12)∵a n+1＞2，且当n→+∞，a n+1→2，∴＜917(9−4)=4517，∵4517≥4517，3512＞4517，∴4517，3512∈，另一方面，由r1−2=(−2)(−1)，2＜≤3，得r1−2−2=1−1＞12，又∵1−2=1，2−2=23，3−2=512，∴=(1−2)+(2−2)+⋯(−2)≥1+23+512+512⋅12+⋯+512⋅(12)K3=52−53⋅2K1，又当→+∞，52−53⋅2K1→52，∴λ必须大于等于52，∵125＜52，6225＜52，∴125，6225∉，所以集合N的元素个数是2，故选：B．12．设S n是数列{a n}的前n项和，=32−3r1，若不等式≥n∈N+恒成A．13B．16C．19D．136【解答】解：当n＝1时，1=321−32，所以a1＝18，由=32−3r1，当n≥2时，K1=32K1−3，所以=−K1=32−3r1−32K1+2，所以=3K1+4⋅3，两边同除以3n，所以3=K13K1+4，所以数列{3}是以6为首项，以4为公差的等差数列，所以34(−1)=4+2，所以=(4+2)，由≥n∈N+恒成立，即2(2+1)⋅3≥所以≥2⋅3，设=2⋅3，则r1=r12⋅3r12⋅3=r13=13+13＜1，所以数列{c n}为递减数列，所以≥12×3=16，所以≥136，所以k的最小值为136，故选：D．13．S n为数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝5，a3＝10，a4＝17，对任意大于2的正整数n，有S n+1﹣3S n+3S n﹣1﹣S n﹣2+m＝0恒成立，则使得12−2+13−2+⋯+1K1−2+1−2≥2542成立的正整数k的最小值为（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：依题意知：当n＝3时有S4﹣3S3+3S2﹣S1+m＝0＝a4﹣2a3+a2+m，∵a2＝5，a3＝10，a4＝17，∴m＝﹣2，S n+1﹣3S n+3S n﹣1﹣S n﹣2﹣2＝0，即（S n+1﹣S n）﹣2（S n﹣S n﹣1）+（S n﹣1﹣S n）﹣2＝0，﹣2∴a n+1﹣2a n+a n﹣1﹣2＝0，即（a n+1﹣a n）﹣（a n﹣a n﹣1）＝2，n≥3，又a2﹣a1＝3，a3﹣a2＝5，（a3﹣a2）﹣（a2﹣a1）＝2，∴数列{a n+1﹣a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n+1﹣a n＝2n+1，故a2﹣a1＝3，a3﹣a2＝5，a4﹣a3＝7，…，a n﹣a n﹣1＝2n﹣1（n≥2），由上面的式子累加可得：a n ﹣2=(K1)(3+2K1)2=（n ﹣1）•（n +1），n ≥2，∴1−2=1(K1)(r1)=12（1K1−1r1），n ≥2．由12−2+13−2+⋯+1K1−2+1−2≥2542可得：12[（11−13）+（12−14）+（13−15）+…+（1K1−1r1）]=12（1+12−1−1r1）≥2542，整理得1+1r1≤1342，∵k ∈N *且k ≥2，∴解得：k ≥6．所以k 的最小值为6．故选：B ．二．多选题（共5小题）（多选）14．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ＝2a n ﹣1（n ∈N *），b 1＝20a 4，b n +1＝a n b n （n ∈N •），数列{b n }的前n 项和为T n ，且对∀n ∈N *，2T n +400≥λn 恒成立，则（）A ．a 4=45B ．数列{1−1}为等差数列C ．b n ＝16n D ．λ的最大值为225【解答】解：∵数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ＝2a n ﹣1，∴r1=2−1，∴r1−1=−1，∴1r1−1=−1=1−1+1，∴1r1−1−1−1=1，又11−1=12−1=1，∴{1−1}是以1为首项，公差为1的等差数列，∴B 选项正确；∴1−1=，∴=r1，∴4=54，∴A 选项错误；∴1=20×54=25，∴r1=(r1)，∴r1=r1，∴21=21，32=32，•••，K1=K1，累乘可得：21⋅32⋅⋅⋅⋅⋅K1=21×32×⋅⋅⋅×K1，∴1=，∴b n ＝b 1n ＝25n ，∴C 选项错误，∴=(25+25p2，又对∀n ∈N *，2T n +400≥λn ，∴对∀n ∈N *，25n 2+25n +400≥λn ，∴对∀n∈N*，λ≤25+400+25，又25+400+25≥225×400+25=225，当且仅当25=400，即n＝4时，等号成立，∴λ≤225，∴λ的最大值为225，∴D选项正确．故选：BD．（多选）15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且4=235，S7＝28，记T n为数列{1}的前n项和，若T n＜λ恒成立，则λ的值可以是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵4=235，∴41+4×32=23（51+5×42），整理得12a1+18d＝10a1+20d，即a1＝d，由S7＝28，可得71+7×62=28，即a1+3d＝4，∴a1＝d＝1，∴=+oK1)2=or1)2，1=2or1)=2(1−1r1)，∴=11+12+...+1=2(1−12+12−13+...+1−1r1)=2(1−1r1)=2−2r1．∵T n＜λ恒成立，∴λ≥2．结合选项可知，λ的值可以是2或3或4．故选：BCD．（多选）16．已知数列{a n}满足：a1＝2，=2−1K1，n＝2，3，4，…，则下列说法正确的是（）A．5=65B．对任意n∈N*，a n+1＜a n恒成立C．不存在正整数p，q，r使a p，a r，a q成等差数列D．数列{1−1}为等差数列【解答】解：∵=2−1K1，（n≥2，n∈N*），∴r1=2−1，（n∈N*），∴r1−1=1−1，又a1﹣1＝1≠0，∴1r1−1=11−1=−1=1−1+1，∴1r1−1−1−1=1，且11−1=1，∴数列{1−1}是以首项为1，公差为1的等差数列，∴1−1=，∴=1+1，∴D正确；对A，∵5=1+15=65，∴A正确；对B，∵r1−=(1+1r1)−(1+1)=−1or1)＜0，∴a n+1＜a n，∴B正确；对C，若存在正整数p，q，r使a p，a r，a q成等差数列，则2a r＝a p+a q，∴2+2=2+1+1，∴2=1+1，令p＝3，r＝4，q＝6，满足等式，∴C错误；故选：ABD．（多选）17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1=(r1)+2，对于任意n∈N*，a∈[﹣2，2]，不等式3⋅2＜2t2+at﹣1恒成立，则t的取值可以是（）A．1B．2C．32D．4【解答】解：根据题意，r1=(r1)+2，两边同时取倒数可得，r1r1=1+2，即得r1r1+1=2(+1)，由此可得数列{1+}是首项为2，公比为2的等比数列，所以1+=2⇒=2−1，∴3⋅2=3(2−1)2=3−32＜3，∴2t2+at﹣1≥3，又因为at+2t2﹣4≥0在a∈[﹣2，2]上恒成立，所以−2+22−4≥02+22−4≥0⇒t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：BD．（多选）18．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1−1=(1+1)，n∈N*．若对于任意的t∈[1，2]，不等式＜−22−(+1)+2−a+2恒成立，则实数a可能为（）A．﹣4B．﹣2C．0D．2【解答】解：由a n+1−1=(1+1)，得a n+1−1=r1，∴r1r1−=1or1)=1−1r1，∴=(−K1K1)+(K1K1−K2K2)+⋯+⋯+（a2﹣a1）+a1，＝（1K1−1）+（1K2−1K1）+…+（1−12）+1＝2−1＜2，∵不等式＜−22−(+1)+2−a+2恒成立，∴2≤﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+2，∴2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[1，2]上恒成立，设f（t）＝2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[1，2]，∴o1)=2++1−2+≤0o2)=8+2(+1)−2+≤0，解得a≤﹣2或a≥5，∴实数a可能为﹣4，﹣2．故选：AB．。

2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集则E 为（）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数并且从大到小排列依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3）则下列有可能成立的是（）A ．若 {a n } 为等比数列则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列则 a 20222T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和则（） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数）且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列则下列关系式一定成立的是（）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …）则（）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗）若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立则k 的取值范围是．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小则m 的值只能是2．其中所有正确结论的序号是 .40．如图某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数）记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(答案解析)(3)

一、选择题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a >D ．若20210S >，则20a >2．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（） A ．5B ．6C ．7D ．83．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cos B 的最小值为（）A ．12B．2C ．34D4．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（） A ．2B ．3C ．269D ．2595．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ). A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S6．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（）A ．0B ．nC ．2nD ．3n7．已知等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，则数列{}n a 的前6项之和等于（） A ．11 B ．12 C ．24D ．368．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏9．已知1，1x ，2x ，7成等差数列，1，1y ，2y ，8成等比数列，点()11,M x y ，()22,N x y ，则直线MN 的方程是（）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．70x y --=D ．70x y +-=10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足28a =-，390n S -=，228n S =，则n =（） A ．10B ．11C ．12D ．1311．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n - 12．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．2二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，则39121239S S SS a a a a +++⋅⋅⋅+=___________. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则10S =______.15．数列{}n a 中，11a =，212a =，11211(2)n n n n a a a +-=+≥，则{}1n n a a +⋅的前n 项和n S =__________．16．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 17．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()n n na a n N a *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n项和为n S ，则2015S 的值为___________．18．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项，则数列{}n a 的一个通项公式为______.19．已知正项等比数列{}n a ，12q =，若存在两项m a 、n a 12m n a a a =，则9m n-的最小值为___________. 20．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.三、解答题21．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．22．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且232n n n T S S =+，*n N ∈.（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若有111n n b a +=-，求证：231321n b b b +++<23．已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a pa q +=+，（其中p 、q 为常数，*n N ∈）.（1）若1p =，1q =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若2p =，1q =，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：22n T n <+，*n N ∈. 24．已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈.（1）证明：数列1{}1n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n n a c n =⋅，记数列{}nc 的前n 项和为n T ，求证：314n T ≤<. 25．在①420S =,②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，______，2138,34b b b =-=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34k T >？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 26．已知数列满足递推关系，且10a =，121n n a a -=+.（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >，当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>；当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<，当01q <<时，10a >，此时210a a q =>；当1q >时，10a >，此时210a a q =>；故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C . 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >；当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确；故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.2．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案．【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1）即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列．所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ．【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．3．A解析：A 【解析】分析：用余弦定理推论得222cos 2a c b B ac +-=．由222,,a b c 成等差数列，可得2222a c b += ，所以22222cos 24a c b a c B ac ac+-+==，利用重要不等式可得2221cos 442a c ac B ac ac +=≥=．详解：因为222,,a b c 成等差数列，所以2222a cb += ．由余弦定理推论得2222221cos 2442a cb ac ac B ac ac ac +-+==≥=当且仅当a c =时，上式取等号．故选A ．点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，考查学生的运算能力及转化能力．利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等时，应转化为函数求最值．4．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-，所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=，解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.5．C解析：C 【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=，所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．6．D解析：D由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124n i n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.7．D解析：D 【分析】根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，再根据等差数列前n 项和公式计算即可得答案. 【详解】解：因为等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，所以根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，所以根据等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=得()16666123622a a S +⨯===. 故数列{}n a 的前6项之和等于36.【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和公式，考查运算能力，是中档题.8．C解析：C 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a S a -===-，解得13a =.因此，塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】本题先根据题意求出1x 、2x 、1y 、2y ，再写出点M 、N 的坐标并求MN k ，最后求直线MN 的方程即可. 【详解】解：∵1，1x ，2x ，7成等差数列，∴12121721x x x x +=+⎧⎨=+⎩，解得1235x x =⎧⎨=⎩，∵1，1y ，2y ，8成等比数列，∴12212181y y y y ⋅=⨯⎧⎨=⨯⎩，解得1224y y =⎧⎨=⎩ ∴点()3,2M ，()5,4N ，42153MN k -==- ∴直线MN 的方程：41(5)y x -=⨯-，即10x y --=.故选：B. 【点睛】本题考查等差中项，等比中项，根据两点求直线的一般式方程，是基础题.10．C解析：C 【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得313n n n S S a ---=，从而求得146n a -=，然后由121()()22n n n n a a n a a S -++==求解. 【详解】由题意得322890138n n S S --=-=，所以13138n a -=. 所以146n a -=.所以121()()1922822n n n n a a n a a S n -++====，解得12n =.故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.11．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31，则a 1=1，故an=2n−1. 故选A.12．A解析：A 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=，则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】由推得得到数列表示首项为公比为的等比数列求得和进而得到再结合等比数列求和公式即可求解【详解】由数列的前项和且满足当时两式相减可得即令可得解得所以数列表示首项为公比为的等比数列所以则所以所以故解析：1013【分析】由1n n a S +=，推得11(2)2n n a n a -=≥，得到数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，求得n a 和 n S ，进而得到21n nnS a =-，再结合等比数列求和公式，即可求解. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减，可得()11120n n n n n n a a S S a a ----+-=-=，即11(2)2n n a n a -=≥，令1n =，可得11121a S a +==，解得112a =，所以数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2939121239222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++()9102129211101312-=-=-=-.故答案为：1013. 【点睛】关键点睛：由1n n a S +=，利用1,1=,2n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n na n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键.14．【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为：【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题【分析】先利用11a S =求出1S ，再利用2n ≥时1n n n a S S -=-可知{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出10S . 【详解】当1n =时，1111112S a a a ，解得11a =，11S = 当2n ≥时，11112nn n n nS S S S S ，整理可得2211n n S S --=，2n S 是首项为1，公差为1的等差数列， 2111n S n n ，{}n a 是正项数列，n S ∴=1010S .【点睛】本题考查等差数列的判断，考查n a 和n S 的关系，属于中档题.15．【分析】根据利用等差中项得到是等差数列然后由利用裂项相消法求和【详解】∵∴是等差数列又∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要等差中项以及裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题解析：1n n + 【分析】根据11211(2)n n n n a a a +-=+≥，利用等差中项得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，然后由 1111(1)1n n a n n a n n +==-++⋅，利用裂项相消法求和.【详解】∵11211(2)n n n n a a a +-=+≥， ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，又11a =，212a =， ∴21111d a a =-=，∴1nn a ，1n a n=，∴1111(1)1n n a n n a n n +==-++⋅∴11111111 (1111)1223341n nS n n n n -+-+-++--=+=+=+．故答案为：1nn + 【点睛】本题主要等差中项以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.17．7254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254 【分析】参数a 进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据20154a a =求得a 的值可得答案.【详解】由题意34a a=，当2a ≥时，44a =，52a a =，6a a =，71a =，因此{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015524a a a a ==≠，不合题意，当02a <<时，48a a=，54a =，6a a =，71a =，同理{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015544a a a ===，1a =，1234518a a a a a ++++=，2015403187254S =⨯=.故答案为：7254．【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题．18．【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通解析：817n n a -= 【分析】根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =，218181a a =⨯+=+，23281881a a =⨯+=++，依次类推，1288...1n n n a --=+++，数列{}18n -是首项为1，公比为8的等比数列，所以1881187n n n a --==-，故答案为：817n n a -=【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系.19．【分析】由等比数列的通项公式结合可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】由于则即则由已知可得因此当且仅当时等号成立所以的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的解析：2【分析】12a =可得出4m n =-，利用基本不等式可求得9m n-的最小值. 【详解】12a =，则214m n a a a =，即221121111124m n m n a a q a q a +---⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭，则22m n +-=， 4m n ∴=-，由已知可得m 、n *∈N ，因此，()9994442m n n n n n -=--=+-≥=，当且仅当3n =时，等号成立，所以，9m n-的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键解析：()11332n n +-- 【分析】根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n nn a -+=⨯=，所以31n n a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.三、解答题21．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23n n n c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23n nn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠，则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅，事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明． 22．（1）11a =，12n n a ；（2）证明见解析．【分析】（1）已知等式中令1n =，可求得1a ，在232n n n T S S =+中用1n +代n ，然后两式相减，得出n a 的递推关系，从而可得其通项公式；（2）4n ≥时，由111212(2)2nn n ---=-11528n -≥⋅，用放缩法求出23n b b b +++后可证得不等式成立．【详解】（1）在232n n n T S S =+中令1n =得2211132a a a =+，因为10a >，所以11a =，又由232n n n T S S =+①得211132n n n T S S +++=+②②－①得211113()()2n n n n n n a S S S S a ++++=-++，即211113()2n n n n n a a S S a ++++=++，因为10n a +>，所以1132n n n a S S ++=++③，于是有132(2)n n n a S S n -=++≥④，③－④得1133n n n n a a a a ++-=+，所以2n ≥时，12n na a +=，又由222232T S S =+，即222223(1)(1)2(1)a a a +=+++，整理得22220a a -=，又20a >，所以22a =，所以212a a =．所以12n na a +=，*n N ∈．所以{}n a 通项公式为12n n a ；（2）由（1）111121n n n b a +==--， 4n ≥时，111112121222(2)22n nn n n n ------=⋅-=-11528n -≥⋅，所以118121152n n -≤⋅-，所以23341118111()3715222n n b b b -+++<+++++ 11081110210313()2115422115212121n -=+-<+<+=．【点睛】关键点点睛：本题考查由n S 的关系式求通项公式，考查数列不等式的证明．已知n S 的关系一般可用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推式，然后求解．与数列和有关的不等式的证明，在和不能直接求出时，可利用放缩法适当放缩后使得和能求出，从而证明不等式成立．23．（1）()*1(1)2nn a n N --=∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）1p =，1q =-，已知条件可得1(1)nn n a a +-=-，利用累加法及等比数列的求和公式，计算可求数列{}n a 的通项公式；（2）2p =，1q =，121n n a a +=+，化简可得1121n n a a ++=+，通过等比数列的通项公式求得()*21nn a n N =-∈，化简可得11212222n n n n a a +=+≤+-，放缩后，通过分组求和可证得结果. 【详解】（1）∵1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)nn n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2nn a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2n n a n N --=∈（或1,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）. （2）∵2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+，即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12nn a +=，即()*21nn a n N=-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---， ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-，综上说述：()*22n T n n N <+∈.【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 24．（1）证明见解析，21n n a n +=+；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据已知，表示出1111111n n n n a a a a -----=-=，然后代入11111n n a a ----计算可得1，所以证明出数列1{}1n a -是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出1211(1)22(1)2n n n nn c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅，然后利用裂项相消法计算前n 项和n T ，再判断出数列的单调性，即可证明. 【详解】（1）当132a =时，因为112n n a a -=-，1111111n n n n a a a a -----=-=，所以1111111111111111n n n n n n n a a a a a a a ---------=--==---，所以数列1{}1n a -为首项为111a -，公差为1的等差数列. 又132a =，1121a =-，所以111n n a =+-，解得21n n a n +=+. （2）因为21n n a n +=+，所以1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅. 所以121n n n T c c c c -=++⋅⋅⋅++1121111111112222322(1)2(1)2n n nn n n -=-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅，即11(1)2n nT n =-+⋅，显然1n T <，另一方面，111111121(1)0(1)222(1)2(1)2n n n n n n nn T T n n n n n n ---+-=---=-=>+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅，故数列{}n T 是递增数列，所以134n T T ≥=，因此，314n T ≤<. 【点睛】常见的数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（4）裂项相消：用于通项为分式形式的数列的求和.25．选①k 的最小值为4；选②k 的最小值为4；选③k 的最小值为3；【分析】先由条件求出11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，得出142a b ==，若选①可得2d =，则2n a n =，从而1111n S n n =-+，由裂项相消法求出k T ，可得答案；若选②可得12a d ==，所以2n a n =，一下同选①；若选③可得43d =，从而131142nS n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，由裂项相消法求出k T ，可得答案. 【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由2138,34b b b =-= 所以18b q =，则8384q q -⨯=，解得12q =或23q =-（舍）则1816b q ==，所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭则142a b == 若选① 由4143486202S a d d ⨯=+=+=，则2d = 所以2n a n =，则212nn a a S n n n +=⨯=+ 所以()111111n S n n n n ==-++ 则1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭由314k k T k =>+，则3k >，由k 为正整数，则k 的最小值为4. 若选② 由332S a =，即()11323222a d a d ⨯+=+ ，可得12a d == 所以2n a n =，一下同选①.若选③ 由3423a a b -=，可得()()113238a d a d +-+=，即43d = 所以()()14222233n n n S n n n -=+⨯=+ ()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭ 12111311111311111432424212n n T S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以93118412n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭所以9311124438k k k T ⎛⎫-+ ⎪++⎭>⎝=，即111122k k +<++，也即240k k --> 解得k >23<<，又k 为正整数，则k 的最小值为3. 【点睛】关键点睛：本题考查等差、等比数列求通项公式和等差数列的前n 项和以及用裂项相消法求和，解答本题的关键是将所要求和的数列的通项公式裂成两项的差，即1111n S n n =-+，131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，注意裂项和的系数和求和时相抵消的项以及最后余下的项，属于中档题.26．（1）证明见解析；（2）()12+1nn T n =-⋅.【分析】（1）由121n n a a -=+及等比数列定义得到11121n n a a +-++=即可证明；（2）由（1）知112n n a -+=，所以12n n b n -=⋅，用错位相减法求数列{}n b 的项和n T .【详解】解：（1）由121n n a a -=+，即()1121n n a a -+=+，所以11121n n a a +-++=，所以数列{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知112n n a -+=，所以()112n n n b a n -=+=⋅.所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅，①则12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，②由①②得0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅()12212112n n n n n -=-⋅=---，所以()121nn T n =-⋅+.【点睛】方法点睛：根据递推关系求通项公式的三个常见方法：（1）对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +=+的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式；（2）对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列()f n 前n 项的积时，采用累乘法求数列{}n a 的通项公式；（3）对于递推关系式形如1(0,1,0)n n a pa q p q +=+≠≠的数列，采用构造法求数列的通项.。

高考数学数列压轴题常考题型

数列基本题型一、由a n 与S n 的关系求通项a n ：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *. 1、记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.2、设S n 是数列{a n }的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则S n =________________．3、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.4、n S 为数列{a n }的前n 项和，已知20,243n n n n a a a S >+=+，a n ＝________.注：根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1) 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解．(2) 利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．二、由递推关系式求数列的通项公式1、差商法：一个数列每一项前的系数构成等差或者等比数列：① 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=，a n ＝________.② 已知数列满足{}n a 满足，a n ＝________.2、累加法：a n+1=a n +f (n )③ 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为___________．3、累乘法：a n+1=a n ⋅f (n )④ 设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.4、构造法：⑤ a n+1=pa n +q已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________________． ⑥ a n+1=pa n +q n （等式左右两边同除q n 或者q n+1）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋，则数列{a n }的通项公式为________________．已知数列{an }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n {a n }的通项公式为________________．⑦ a n+1=da n b+ca n （取倒数）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝，则数列{a n }的通项公式为________________．三、数列性质及其应用1、周期性：① 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12<a n <1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________． ② 已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则数列的第2 019项为________． 2、单调性：③ 已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，是递增数列，则实数λ的取值范围是________________．④ 已知数列{a n }的通项公式为，则当a n 取得最大值时，n ＝________. ⑤ 已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，，，则S n 的最大值为________. 性质：（1）按单调性来分：⎩⎪⎨⎪⎧ 递增数列：a n ＋1>a n ，递减数列：a n ＋1<a n ，常数列：a n ＋1＝a n ＝C 常数，摆动数列.（2）在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 3、奇偶并项⑥ 脚标分奇偶项数列{n a }，求a n ＝_________________.数列{n a }满足，求S n ＝_________________.⑦ 隔项等差或等比（数列退项相减或相除，构造隔项等差或等比）数列{a n }满足，求a n ＝_________________.（奇偶项法或待定系数法）数列{a n }满足a n ＝_________________.数列{n a }，求S n ＝_________________. 注：(1) 形如：最终数列中的奇数项和偶数项分别构成等差数列。

高考数学数列难题压轴题练习高三党必做

5.已知数列{an}的前n项和为Sn, S1=6, S2,=4, Sn>0,S2n-1S2n +2S2n+1成等差数列，S2nS2n-1S2n +2成等比数列，求a2016=__________
6.已知数列{an},{bn}满足：a1=1.1, b1=0.2,an+1＝，bn+1＝，
令cn=an-bn,则满足cn≤1/104的n的最小值为（）
数列压轴题
1.设是等比数列的前项和，，且，则 _________.
2.数列的前项和为，项由下列方式给出 .
若，则的最小值为（）
A.200B.202C.204D.205
3.已知数列满足条件，，则的最小值为（）
A.3B.2C.1D.0
4.已知整数数列a0，a1，a2，…，a2014中，满足关系式a0=0，|a1|=|a0+1|，|a2|=|a1+1|，…，|a2014|=|a2013+1|，则|a1+a2+a3+…+a2014|的最小值为__________．
9．数列满足，前ຫໍສະໝຸດ 6项和为540，则 .10.在数列{an}中,a2=2 ,a3=3,an+3+ (-1)nan+1=1,则a18-a17=
11.已知数列{an}满足anan+1= 为偶数，设数列{an}的前n项积为Tn，
若T15=（1/2)60,则a13=
A．9B．10C．11D．12
7.数列{an}满足:nan+2+(n+1)an=(2n+1)an+1-1，a1=1,a2=6,令cn=ancos(nπ/2),则数列{cn}的前n项和Sn=__________

数列压轴题精选

1.数列{n b }满足1b =1，1+n b =2n b +1，若数列{n a }满足1a =1， n a =n b （11b +21b + (1)1-n b ）（n ≥2且n *N ∈）. （1）求2b ，n b b b 及43,. （2）证明：)2(1*11N n n b b a a n nn n ∈≥=+++且（3）证明：)(310)11)......(11)(11(*21N n a a a n ∈<+++2.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立3.设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）4.已知｛a n｝是等差数列，｛b n｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记S n为数列｛b n｝的前n项和。

（1）若b k=a m（m，k是大于2的正整数），求证：S k-1=（m－1）a1；（2）若b3=a i（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛b n｝中每一项都是数列｛a n｝中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛b n｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；5. 已知数列{n a }满足：}(-1)32{a ,,)1-(,n n *11+∈+==+且N n s a a a n n n 是等比数列. （1）求a 的值；（2）求出通项公式n a ；（3）求证：231......11243<+++n a a a .6.数列{}n x 满足:2*110,()n n n x x x x c n N +==-++∈(I)证明:数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < (II)求c 的取值范围,使数列{}n x 是单调递增数列.2.（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--B A S S B A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ，要证15>-n m mn a a a只要证 n m n m mn a a a a a 215++>，因为 45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+，即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证3.证明：必要性. 设}{n a 是公差为d 1的等差数列，则0)()()()(112312311=-=---=---=-+++++++d d a a a a a a a a b b n n n n n n n n n n 所以 ,3,2,1(1=≤+n b b n n ）成立.又)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c 1111632d d d d =++=（常数）（n =1，2，3，…），所以数列}{n c 为等差数列.充分性，设数列}{n c 是公差d 2的等差数列，且1b b n ≤（n =1，2，3，…）. 证法一：①－②得)(3)(2)(423122++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c,3221++++=n n n b b b ，221122)()(d c c c c c c n n n n n n -=-+-=-++++ 221232d b b b n n n -=++∴++， ③从而有.2322321d b b b n n n -=+++++ ④④－③得.0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ⑤ 0,0,023121≥-≥-≥-+++++n n n n n n b b b b b b ， ∴由⑤得).,3,2,1(01 ==-+n b b n n由此不妨设323),,3,2,1(d a a n d b n n n =-==+则（常数）. 由此312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++，从而313211524324d a a d a a c n n n n n -+=-+=++++，两式相减得3112)(2d a a c a n n n n --=-++，因此),3,2,1)((21)(2132311 =+==-=-++n d d d c c a a n n n n 常数，所以数列}{n a 是等差数列.证法二：令由,1n n n a a A -=+,3121++++-≤-≤n n n n n n a a a a b b 知从而).,3,2,1(,2231 =≥-≥-++++n A A a a a a n n n n n n 即由32112132,32++++++++=++=n n n n n n n n a a a c a a a c得)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c ，即 22132d A A A n n n =++++. ⑥ 由此得243232d A A A n n n =+++++. ⑦ ⑥－⑦得0)(3)(2)(42312=-+-+-+++++n n n n n n A A A A A A . ⑧ 因为0,0,042312≥-≥-≥-+++++n n n n n n A A A A A A ，所以由⑧得).,3,2,1(02 ==-+n A A n n于是由⑥得， 22113224d A A A A A n n n n n =++=++++ ⑨ 从而.24422211d A A A A n n n n =+=++++ ⑩由⑨和⑩得,,4224111n n n n n n A A A A A A =+=++++故即),,3,2,1(112 =-=-+++n a a a a n n n n 所以数列}{n a 是等差数列.4.解：设{}n a 的公差为d ，由11221,a b a b a ==≠，知0,1d q ≠≠，()11d a q =-（10a ≠）（1）因为k m b a =，所以()()111111k a q a m a q -=+--，()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-，所以()()()()1111111111k k a q a m m q S m a qq------===--（2）()()23111,11i b a q a a i a q ==+--，由3i b a =，所以()()()()22111,120,q i q q i q i =+----+-=解得，1q =或2q i =-，但1q ≠，所以2q i =-，因为i 是正整数，所以2i -是整数，即q 是整数，设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈，设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--现在只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可，()()11221111,111n n n q qm q m q q q q ----=+---==+++-，所以：222n m q q q -=+++，若1i =，则1q =-，那么2111,222n n b b a b b a -====，当3i ≥时，因为1122,a b a b ==，只要考虑3n ≥的情况，因为3i b a =，所以3i ≥，因此q 是正整数，所以m 是正整数，因此数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++项相等，从而结论成立。

(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，n *∈N ，若数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，则下列说法不正确的是（） A ．{}n n a S +是等差数列 B ．{}n n a S ⋅是等差数列 C ．{}2na 是等比数列D ．{}2nS 是等比数列2．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列 4．若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为（） AB ．2C．D ．45．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（）． A ．2B ．1C ．32D ．126．已知等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，则数列{}n a 的前6项之和等于（） A ．11 B ．12 C ．24D ．367．公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记212n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（） A ．0B ．1C ．2019D ．20208．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（）A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -9．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1- 10．如果数列{}n a 的前n 项和21()n n S a n N +=-∈，则5a =( ) A ．8B ．16C ．32D ．6411．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-12．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，则39121239S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=___________. 14．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2123n n S S n n ++=+，若数列{}n a 是递增数列，则实数m 的取值范围是_______． 15．已知111,2n n a a a +==，若(1)n n n b a n =+-⋅，则数列{}n b 的前10项的和10S =______．16．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且________（①1a ，2a ，4a 成等比数列；②(3)2n n n S +=；③926a =任选一个条件填入上空）.设3n n a b =，n n n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小. 17．已知函数()f x 在()1,∞-+上单调，且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +等于________. 18．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()n n na a n N a *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n项和为n S ，则2015S 的值为___________．19．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.20．已知下列结论：①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等差数列，则111,,a b c可能构成等差数列. ④非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等比数列，则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.三、解答题21．设数列{}n a 满足()*122222nn a a a n n +++=∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 22．已知数列{}n a 满足：*111,21,n n a a a n n N +=-=-∈ （1）证明{}n a n +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设21,n n n n b S a n+=+为数列{}n b 的前n 项和，求n S 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .()*22n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①24b =，48b =；②2b 是1b 和4b 的等比中项，872T =.若公差不为0的等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且______，求数列n n T na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A . 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()121n n a S n N *+=+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T . 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a ，11a =，121n n a a +=+.（1）求证数列{}1n a +是等比数列；（2）令()2log 1n n b a =+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意，判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每个选项即可. 【详解】因为数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，1n n n a S S -=-，所以可判断n a 为定值，所以数列{}n a 是公差为0的等差数列，即10n n a a --=.对A ，()()1111----++-=-+-=n n n n n n n n n a S a S S S a a a ，所以数列{}n n a S +是等差数列；对B ，1121----=⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n n n n a S a S a S a S a ，所以数列{}n n a S ⋅是等差数列；对C ，222211-==n n n n a a a a ，所以数列{}2n a 是等比数列；对D ，设n a a =，则222,==n n S na S n a ，则221222222(1)(1)-==--n n n a n n a n S S ，所以数列{}2n S 不是等比数列. 故选：D 【点睛】解答本题的关键在于判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式判断是否为等差或者等比数列.2．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.3．C解析：C 【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】解：13n n a S +=，13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，若10S =，则数列{}n a 为等差数列；若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，114n n S S -∴=⋅，此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.4．C解析：C 【分析】先由题设21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列{}2n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.【详解】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)， {}2n x ∴是等差数列，2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==， 222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，9201022x x ∴+(当且仅当92010x x =“等号“)，92010x x∴+的最大值为故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.5．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-，则{}12n S a -不为等比数列，舍去，当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----，为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==. 故选D ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，再根据等差数列前n 项和公式计算即可得答案.【详解】解：因为等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，所以根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，所以根据等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=得()16666123622a a S +⨯===. 故数列{}n a 的前6项之和等于36. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和公式，考查运算能力，是中档题.7．A解析：A 【分析】由1n nb b +用递推式可得到值为-1，{}n b 是等比数列，再求前2020项和. 【详解】由题意可知()2221121213221212n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a b a a a a a a ++++++++++++-+-===--()222211212212121n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++++---==---，又212131b a a a =-=-，因此()1nn b =-，故()()()20201111110S =-++-+++-+=，故选：A. 【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列，还考查了数列求和，属于中档题.8．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31，则a 1=1，故an=2n−1. 故选A.9．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.10．B解析：B 【分析】根据题意得到()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥），两式做差得到12n n a a -=，可得到数列的通项，进而得到结果.【详解】数列{}n a 的前n 项和()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥）,两式做差得到12n n a a -=（n 2≥），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到1121S a =-=1a ，解得1a =1，故得到数列通项为12n n a ，令n=5得到516.a =故答案为B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.11．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立，故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥，当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤，当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-，当5n =时，a R ∈，故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+，又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【分析】由推得得到数列表示首项为公比为的等比数列求得和进而得到再结合等比数列求和公式即可求解【详解】由数列的前项和且满足当时两式相减可得即令可得解得所以数列表示首项为公比为的等比数列所以则所以所以故解析：1013【分析】由1n n a S +=，推得11(2)2n n a n a -=≥，得到数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，求得n a 和 n S ，进而得到21n nnS a =-，再结合等比数列求和公式，即可求解. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减，可得()11120n n n n n n a a S S a a ----+-=-=，即11(2)2n n a n a -=≥，令1n =，可得11121a S a +==，解得112a =，所以数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11122111212nn nS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2939121239222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++()9102129211101312-=-=-=-.故答案为：1013. 【点睛】关键点睛：由1n na S +=，利用1,1=,2n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n n a n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键.14．【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得恒成立只需要解析：15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥，再求得234,,a a a ，根据1234a a a a <<<列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得：212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得：141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得：114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ，4a ，6a ，...是以4为公差的等差数列，数列3a ，5a ，7a ，...是以4为公差的等差数列，将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得：252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m <<则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,44⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数列的单调性，属于中档题.15．1028【分析】由题可知为等比数列求出的通项公式即可写出的通项公式利用分组求和法即可求出前10项和【详解】是首项为1公比为2的等比数列则故答案为：1028【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的解析：1028 【分析】由题可知{}n a 为等比数列，求出{}n a 的通项公式，即可写出{}n b 的通项公式，利用分组求和法即可求出前10项和. 【详解】111,2n n a a a +==，{}n a ∴是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，121nn nb n ，则910124212310S1011251102812.故答案为：1028.【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查分组求和法求数列的前n 项和，属于基础题.16．选①：；选②：当时；当时；当时；选③：【分析】任选一个条件求出数列公差及通项利用错位相减法求和再比较大小可得解【详解】若选①设公差为因为成等比数列所以解得或0（不合舍去）所以所以利用错位相减可得；若解析：选①：13n T <；选②：当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；选③：13n T <.【分析】任选一个条件，求出数列{}n a 公差及n b ，n c 通项，利用错位相减法求和，再比较大小可得解. 【详解】若选①，设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2(2)2(23)d d +=+，解得2d =或0（不合，舍去），所以2n a n =，9n n b =所以29n nnc =，利用错位相减可得1991213232993n n n n T +=-⨯-<；若选②，因为(3)2n n n S +=，所以公差1d =，所以1n a n =+，13n n b +=所以113n n n c ++=，利用错位相减可得11515()()24312n n T n +=--⨯+当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；若选③，因为926a =，所以公差3d =，所以31n a n =-，所以31313n n n c --=，利用错位相减可得1652346911676676273n n n T -=-⨯<. 【定睛】本题考查等差数列通项及错位相减法求和，属于基础题.17．【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是解析：2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性，利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性，结合函数的单调性，根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值，最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称，又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =，所以5051a a 2+=-，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为：2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，等差数列的性质，涉及函数的图象的平移变换，属中档题，小综合题，难度一般.18．7254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254 【分析】参数a 进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据20154a a =求得a 的值可得答案.【详解】由题意34a a=，当2a ≥时，44a =，52a a =，6a a =，71a =，因此{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015524a a a a ==≠，不合题意，当02a <<时，48a a=，54a =，6a a =，71a =，同理{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015544a a a ===，1a =，1234518a a a a a ++++=，2015403187254S =⨯=.故答案为：7254．【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题．19．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解：∵()102nn a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->，记232n nn b -=，112121223462n n n nn b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减，又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==， ∴358λ->，即337588λ<-=，∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.20．②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误；②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确；③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误；④先得方程整理得判断解析：②④ 【分析】①先求出12a =，再当2n ≥时求出21n a n =-，判断当1n =时有11n a a =≠，判断①错误；②先求出11a =，再当2n ≥时求出12n na ，判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列，判断②正确；③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾，判断③错误；④先得方程2b ac =，整理得2111()b a c=⨯，判断④正确.【详解】①：数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，当1n =时，211112a S ==+=，当2n ≥时，221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，当1n =时，11n a a =≠，故①错误；②：数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，当1n =时，111211a S ==-=，当2n ≥时，111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11n a a ==，且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，故②正确；③：若111,,a b c是等差数列，则211a c b a c ac+=+=，因为,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，整理得a b c ==，与非零实数,,a b c 不全相等矛盾，故③错误；④：因为非零实数,,a b c 不全相等，且,,a b c 成等比数列，所以2b ac =，则21111b ac a c==⨯，则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题.三、解答题21．（1）2nn a =；（2）2332n nn T +=-. 【分析】（1）当2n ≥时，112211222n n a a a n --+++=-与已知条件两式相减可得2nna =，再令1n =，计算1a 即可求解；（2）由（1）得2nn a =，所以22211n n n n a --=，再利用乘公比错位相见即可求和. 【详解】（1）数列{}n a 满足122222n n a a a n +++= 当2n ≥时，112211222n n a a a n --+++=- 两式作差有12n na =，所以2nna = 当1n =时，12a =，上式也成立所以2nn a =（2）22211n n n n a --= 则211113(21)222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，231111113(21)2222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()2311111111111111131421221221231222222222212n n n n n n T n n n ++-+⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯+++⋯+--⨯=+⨯--=-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以2332n nn T +=-. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.22．（1）证明见解析，2nn a n =-；（2）()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据条件可得112112n n n n a n a n n a n a n++++-++==++，从而可证，所以数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列，得出答案. （2）由题意可得21212n n n n n b a n ++==+，由错位相减法可得答案. 【详解】（1）数列{}n a 满足111,21n n a a a n +==+-112112n n n n a n a n n a n a n++++-++∴==++即公比12,12q a =+=∴数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列；2n n a n ∴+=（2）由题意，21212n n n n n b a n ++==+ 所以123123357212222n n nn S b b b b +=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+.........① 234113572121 (222222)n n n n n S +--=+++++………② 由①－②，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++-+⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦234131111212?··222222n n n ++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ ()1111122121512251222212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-=-+⋅ ⎪⎝⎭-从而()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查由递推公式求数列的通项公式和利用错位相减法求和，解答本题的关键是根据21212n n n n n b a n ++==+得出求和的方法，利用错位相减法求和时计算要仔细，考查运算能力，属于中档题.23．（1）2nn a =；（2）选择①：332n n +-；选择②：332nn +-.【分析】（1）由数列n a 与n S 的关系转化条件为()122n n a a n -=≥，结合等比数列的性质即可得解；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由等差数列的通项公式列方程可得12b d ==，进而可得2n T n n =+，再结合错位相减法即可得解；若选择②，由等比中项的性质结合等差数列的通项公式、前n 项和公式可得12b d ==，再结合错位相减法即可得解. 【详解】（1）当1n =时，11122a S a ==-，可得12a =；当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以1122n n n n n a S S a a --=-=-，即()122n n a a n -=≥，因为120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n nn a -=⋅=；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由题意11438b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得12b d ==；所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2nn a =，所以()2111222n n n nn T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯， ()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，两式相减得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-；若选择②，有2214b b b =⋅，即()()21113b d b b d +=⋅+，即21b d d =，因为0d ≠，所以1b d =，所以8187728362T b d d ⨯==+=，解得12b d ==，所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2nn a =，所以()2111222n n n nn T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n n A n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯， ()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯. 两式相减，得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-. 【点睛】关键点点睛：（1）当条件中同时出现n a 与n S ，要注意n a 与n S 关系的应用；（2）要明确错位相减法的适用条件和使用方法，细心运算. 24．（1）13-=n n a ，3n b n =；（2）1321344n n n T +-=+⋅. 【分析】（1）由数列的递推关系式求出等比数列{}n a 的通项公式，利用等差数列的基本量运算得出{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法求出n T ．【详解】（1）1211n n a S n +=+≥①1212n n a S n -=+≥②①-②得：13n n a a +=，2n ≥ 又因为11a =，23a =所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列所以13-=n n a因为{}n b 为等差数列且39b =，15272b b +=所以有：()111292724b d b b d +=⎧⎨+=+⎩解得：13b =，3d =，所以3n b n =（2）由（1）知3nn c n =⋅213233n n T n =⋅+⋅+⋅①()23131323133n n n T n n +=⋅+⋅+-⋅+⋅②①-②得：2312333...33n n n T n +-=++++-⋅()11131333233132n n n n n T n n +++---=-⋅=-⋅-1321344n n n T +-=+⋅【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．25．（1）3nn a =；（2）1n n T n =+. 【分析】（1）令1n =计算1a ，当2n ≥时，利用1222n n n a S S -=-可得{}n a 是等比数列，即可求解；（2）由{}n a 的通项公式可得{}n b 的通项，进而可得{}n c 的通项，利用裂项求和即可求解. 【详解】（1)当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴= 当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---即13nn a a -=()2n ≥， ∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列.1333n n n a -∴=⨯=（2）.由3log n n b a =，得3log 3n n b n == 则()1111111n n n c b b n n n n +===-++， 11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 26．（1）证明见解析；（2）()()235412n n n T n n +=++ 【分析】（1）利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+，证明数列{}1n a +是等比数列；（2）首先求数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）121n n a a +=+，()1121n n a a +∴+=+，即1121n n a a ++=+，且112a +=，所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列；（2）由（1）可知11222n n n a -+=⋅=，所以2log 2n n b n ==，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()235412n n n n +=++ 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查裂项相消法求和，这样的形式不是连续相消，如果前面剩下两个正数项，那么最后一定剩下两个负数项.。

专题3 数列专题压轴小题(原卷版)

专题3数列专题压轴小题一、单选题 1．（2021·湖北·高三期中）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q ，作第3个正方形MNPQ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为2a ，3a ，…，n a ，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形面积依次为2b ，3b ，…，n b ，….下列说法错误．．的是（）A ．从正方形ABCD 开始，连续3个正方形的面积之和为1294B．14n n a -=⨯⎝⎭C ．使得不等式12n b >成立的n 的最大值为4 D ．数列{}n b 的前n 项和4n S <2．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））已知数列{}n a 满足1221nn n a a a +=+，满足()10,1a ∈，1220212020a a a ++⋅⋅⋅+=，则下列成立的是（）A ．120211ln ln 2020a a ⋅> B ．120211ln ln 2020a a ⋅=C ．120211ln ln 2020a a ⋅<D ．以上均有可能3．（2021·浙江·高三月考）已知各项都为正数的数列{}n a 满足1(2)a a a =>，1*11()n a n n nea ka n N a +-++=-+∈，给出下列三个结论：①若1k =，则数列{}n a 仅有有限项；②若2k =，则数列{}n a 单调递增；③若2k =，则对任意的0M >，陼存在*0n N ∈，使得020n n M a >成立．则上述结论中正确的为（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③4．（2021·上海市大同中学三模）已知数列{}n a 满足120a a ≠，若2121nn n na a a a +++=+，则“数列{}n a 为无穷数列”是“数列{}n a 单调”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 中，11a =，21112n n n a a a ++-=，若存在实数t ，使得()221,n n t a a -∈对任意的*N n ∈恒成立，则t =（） AB．3C．2D6．（2021·江苏·海安高级中学高三期中）已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(4)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2021·安徽合肥·一模（文））将方程2sin cos x x x =的所有正数解从小到大组成数列{}n x ，记()1cos n n n a x x +=-，则122021a a a ++⋅⋅⋅+=（）A．B．C．D．8．（2021·江苏苏州·高三期中）设数列{}()m a m *∈N ，若存在公比为q 的等比数列{}()1m b m *+∈N ，使得1k k k b a b +<<，其中1,2,,k m =，则称数列{}1m b +为数列{}m a 的“等比分割数列”，则下列说法错误的是（）A ．数列{}5b ；2，4，8，16，32是数列{}4a ：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B ．若数列{}n a 存在“等比分割数列”{}1n b +，则有11k k n a a a a -<<<<<和111k k n n b b b b b -+<<<<<<成立，其中2,k n k *≤≤∈NC ．数列{}3a ：3-，1-，2存在“等比分割数列”{}4bD ．数列{}10a 的通项公式为2(1,2,,10)nn a n ==，若数列{}10a 的“等比分割数列”{}11b 的首项为1，则公比1092,2q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭9．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知数列{a n }满足3a 1＝1，n 2a n +1﹣a n 2＝n 2a n （n ∈N *），则下列选项正确的是（） A ．{a n }是递减数列B ．{a n }是递增数列，且存在n ∈N *使得a n ＞1C ．1132n a +> D ．202120214043a <10．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（理））已知数列{}n a 满足14a =，*1144(2,N )n n n a a n n a ---=≥∈，若124(6)na n nb na -=⋅-，且存在*N n ∈，使得2460n b m m +-≥成立，则实数m的取值范围是（）A．⎣⎦B．1⎡⎣C ．10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．（2021·浙江金华·高三月考）已知数列{}n a 的各项均不为零，1a a =，它的前n 项和为n S ．且n a1n a +（*N n ∈）成等比数列，记1231111n nT S S S S =+++⋅⋅⋅+，则（） A ．当1a =时，202240442023T C ．当3a =时，202210111012T >D ．当3a =时，202210111012T <12．（2021·河北石家庄·高三月考）已知数列{}n a 满足225a =，对任意的n ∈+N 有1(1)280n n n a na +--+=，设数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=⋅⋅，n ∈+N ，则当{}n b 的前n 项和n T 取到最大值时n 的值为（） A ．9B ．10C ．11D ．1213．（2021·辽宁实验中学高三期中）数列{}n a 中，11a =，*1*15,3,3n n n n a a n a +-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩N N ，使2021n a ≤对任意的n k≤（*k ∈N ）恒成立的最大k 值为（） A ．1209B ．1211C ．1213D ．121514．（2021·黑龙江·高三期中（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，100S >，60a <，则选项不正确的是（） A ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项B ．2445d -<<- C ．50a > D ．0n S >时，n 的最大值为515．（2021·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足2*112,4,N n n a a n a a n -+==∈，给出以下结论，正确的个数是（）①1n a >；②1n n a a +>；③存在无穷多个*N k ∈,使322k k a -=；④121111na a a +++< A ．4B ．3C ．2D ．116．（2021·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足111,ln 2(*)2nn n a a a a n N +==-+∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则正确的是（） A ．存在0*n N ∈，使得02n a > B ．存在0*n N ∈，使得001n n a a +> C ．存在0*n N ∈，使得00+1+4n n a a > D ．存在0*n N ∈，使得012n S >17．（2021·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足13a =，246a =，2n a +=（π≈3.14）则此数列项数最多为（） A ．2019项 B ．2020项 C ．2021项D ．2022项18．（2021·北京房山·高三开学考试）已知集合*{|21,}A x x k k N ==- ∈，*{|27,}B x x k k N ==+ ∈，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ：从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T . 若562S T +≤，则m n +的最大值为（） A ．17B ．26C ．30D ．3419．（2021·浙江·乐清市知临中学高三月考）设数列{}n a 满足112a =，2*1(N )2021nn n a a a n +=+∈，记12(1)(1)(1)n n T a a a =---，则使0n T <成立的最小正整数n 是（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．202320．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））若数列{}n a 满足：A ∃，B R ∈，0AB ≠，使得对于*n N ∀∈，都有21n n n a Aa Ba ++=+，则称{}n a 具有“三项相关性”下列说法正确的有（） ①若数列{}n a 是等差数列，则{}n a 具有“三项相关性” ②若数列{}n a 是等比数列，则{}n a 具有“三项相关性” ③若数列{}n a 是周期数列，则{}n a 具有“三项相关性”④若数列{}n a 具有正项“三项相关性”，且正数A ，B 满足1A B +=，12a a B +=，数列{}n b 的通项公式为n n b B =，{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则对*n N ∀∈，n n S T <恒成立．A ．③④B ．①②④C ．①②③④D ．①②21．（2021·上海·格致中学高三月考）正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，()112n n n S a n N a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则下列选项中正确的是（） A．2021a ≥B．2021a ≤-C ．202120221a a ⋅>D ．202020211a a ⋅<22．（2021·浙江·高三月考）已知数列{}n a 满足113a =，()2*12N nn n a a a n n+=+∈，则下列选项正确的是（）A ．20212020a a 二、多选题23．（2021·广东·模拟预测）已知数列{}n a 中，()111131,3n n n n n n a a a a a n a a *+++->=∈-N ，且12121110a a a a +++=，设2221222212111,n n n nS a a a T a a a =+++=+++，则下列结论正确的是（） A ．12a =B ．数列{}n a 单调递增C ．()2591232nn n S T n +=-- D ．若()12nn S T +为偶数，则正整数n 的最小值为8 24．（2021·重庆南开中学高三月考）已知数列{}n a 满足11a =，()1n a n *+=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，其中[]x 表示不超过实数[]x 的最大整数，则下列说法正确的是（） A ．存在n *∈N ，使得132n n a -≤B ．12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列C ．2020a 的个位数是5D ．2021a 的个位数是125．（2021·江苏·金陵中学高三开学考试）已知数列{}n a 满足：111 ,1n n n a a a a +=+=，设(n )l n n b a n N *=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则下列选项正确的是ln 20. 693 ,ln3(9)1.09≈≈（） A ．数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减 B ．+1ln 3n n b b +≤C ．2020693S >D ．212n n b b ->26．（2021·湖北武汉·高三期中）已知数列{}n a 满足10a =，()11n nn aa a e e n ++*=+∈N ，前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（）（参考数据：ln 20.693≈，ln3 1.099≈） A ．1ln 2n n a a ++≥B ．2020666S <C ．()3lnln 222n a n ≤≤≥ D ．{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列27．（2021·湖北·高三月考）将数列{}21n -中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：（1），（3，5），（7，9，11，13）．（15，17，19，21，23，25，27，29），…，则以下结论中正确的是（） A ．第10个括号内的第一个数为1023 B ．2021在第11个括号内C ．前10个括号内一共有1023个数D ．第10个括号内的数字之和()19202,2S ∈28．（2021·湖北黄石·高三开学考试）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，,n n M N 是圆222:O x y n +=上两个不同的动点，n P 是n n M N 的中点，且满足()220n n n OM ON OP n *⋅+=∈N ．设,n n M N 到直线20l y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，则下列说法中正确的是（） A ．向量n OM 与向量n ON 所成角为120︒ B ．n OP n = C ．22n a n n =+D ．若2n n a b n =+，则数列12{}(21)(21)n nn b b b +--的前n 项和为11121n +-- 29．（2021·湖北武汉·高三开学考试）数列{}n a 依次为：1，13，13，13，15，15，15，15，15，17，17，17，17，17，17，17，19，19，…，其中第一项为11，接下来三项均为13，再接下来五项均为15，依此类推.记{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．100119a =B ．存在正整数k ，使得k a >C ．n SD ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列30．（2021·福建省福州第一中学模拟预测）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{}n a ，121a a ==，()123n n n a a a n --=+≥，边长为斐波那契数n a 的正方形所对应扇形面积记为()*n b n ∈N ，则（）A ．()2233n n n a a a n -+=+≥B ．123201920211a a a a a +++⋅⋅⋅+=+C ．()2020201920182021π4b b a a -=⋅ D ．123202*********π4b b b b a a +++⋅⋅⋅+=⋅ 31．（2021·江苏·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，()1lg 1091n an a +=++，其前n 项和为n S ，则下列结论中正确的有（） A ．{}n a 是递增数列 B ．{}10n a +是等比数列 C ．122n n n a a a ++>+D ．(3)2n n n S +<32．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列{}n a 满足：1n a n =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，()ln 1n n na b a +=，下列命题正确的是（） A ．11ln n n n a a n ++⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．数列{}n b 是递增数列C ．202120201ln 2021S S ->>D ．ln 2ln 3n b ≤<33．（2021·江苏泰州·模拟预测）已知()()()232012(21)212121nn n x x x x aa x a x a x ++++=++++下列说法正确的是（）A ．设1n b a =，则数列{}n b 的前n 项的和为2224n n S n +=--B ．2a 22228233n n ++=--C ．1n a -=222n n n +-(*n N ∈)D ．()*11n n a n N a -⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭为等比数列34．（2021·全国·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合，小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列{}n a 一般以递推的方式被定义：121a a ==，21++=+n n n a a a ，则（） A ．1055a =B ．2211n n n a a a ++-=C．1n n a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列 D ．设1n n na b a +=，则112n n n n b b b b +++-<-三、双空题 35．（2021·山东济宁·高三期中）十九世纪法国数学家卢卡斯提出数列{}n L ：2，1，3，4，7，…，称之为卢卡斯数列，且满足12L =，21L =，()112n n n L L L n +-=+≥，则12L =________；记n S 为数列{}n L 的前n 项和，若2023L t =，则2021S =__________.36．（2021·江苏如皋·高三月考）已知数列{}n a 对任意的*n N ∈，都有n a N *∈，且131,,2n n n n na a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，①当18a =时，2021a =___________．②若存在*m N ∈，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数P ，则P =___________．37．（2021·广东·高三月考）将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（n ）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图()1n +．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（n ）的周长为__________，图（n ）的面积为___________．38．（2021·北京二中高三月考）定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =. （i ）(6)f = _____；（ii ）若函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次记为12,,,,n x x x ，则当(1,3)a ∈时，12212n n x x x x -++++=_______.39．（2021·福建·三明一中模拟预测）黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数1111()123s s s sn n n ξ∞-===+++∑，我们经常从无穷级数的部分和1111123s s ssn ++++入手．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ﹐且满足11()2n n na S a +=，则n S =__________，12100111S S S ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦__________．（其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 40．（2021·山东日照·高三月考）牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值，过点()()(),nnx f x n *∈N 作曲线()y f x =的切线1n l+，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值，设()()3220f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，则r 的2次近似值为______：设()333222n n n n x x a n x *+=∈+N ，数列{}n a 的前n 项积为n T ．若任意的n *∈N ，n T λ<恒成立，则整数λ的最小值为______．41．（2021·浙江浙江·模拟预测）已知等差数列{}n a 的公差大于32，且满足311πsin 2a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，322ππ1cos 0233a a ⎛⎫⎛⎫⋅++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的公差d =___________，前n 项和n S =___________.42．（2021·山西太原·一模（理））已知数列{}n a 满足1232a a ==，()*223n n n a a n +=+⨯∈N ，且()*1n n n b a a n +=+∈N ．则数列{}n b 的通项公式为________．若()()*24(1)341n n n b c n n +=∈-N ，则数列{}n c 的前n 项和为________．43．（2021·浙江温州·二模）有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病毒的S 型；感染病毒尚未康复的I 型；感染病毒后康复的R 型（所有康复者都对病毒免疫）．根据统计数据：每隔一周，S 型人群中有95%仍为S 型，5%成为I 型；I 型人群中有65%仍为I 型，35%成为R 型；R 型人群都仍为R 型．若人口数为A 的人群在病毒爆发前全部是S 型，记病毒爆发n 周后的S 型人数为,n S I 型人数为n I ，则n S =_________；n I =__________．（用A 和n 表示，其中*n ∈N ）四、填空题 44．（2021·上海·模拟预测）设整数数列1a ，2a ，…，10a 满足1013a a =，2852a a a +=，且{}11,2i i i a a a +∈++，1,2,,9i =⋅⋅⋅，则这样的数列的个数为___________.45．（2021·福建省福州格致中学高三月考）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，121,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩有下列结论：①函数()f x 在()6,5--上单调递增；②函数()f x 的图象与直线y x =有且仅有2个不同的交点；③若关于x 的方程2[()](1)()0()f x a f x a a -++=∈R 恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；④记函数()f x 在[]()*21,2k k k -∈N 上的最大值为k a ，则数列{}n a 的前7项和为12764. 其中所有正确结论的编号是___________.46．（2021·全国·高三月考（理））已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2121n n n n n S S S S S λλ++++=+，且数列1a ，2a ，…，(3)k a k >成各项均不相等的等差数列，则k 的最大值为__________．47．（2021·上海市吴淞中学高三期中）已知数列{}n a 满足：121,()a a x x N *==∈，21n n n a a a ++=-，若前2010项中恰好含有666项为0，则x 的值为___________.48．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）如果数列{}n a 满足：120211,2017a a ==，且对于任意*n N ∈，存在实数a 使得1n n a a +、是方程()22210x a x a a -+++=的两个根，则100a 的所有可能值构成的集合是____________．49．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（文））已知数列{}n a ：2223333333441123123456712,,,,,,,,,,,,2222222222222的前n 项和为n S ，则120S =___________.50．（2021·全国·高三专题练习）将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数1(1)r nn C +，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：11111(1)(1)r r rn n n n C n C nC +-+=++，令2211111113123060(1)n n na nC n C -=+++++++，n S 是{}n a 的前n 项和，则n S =______.51．（2021·湖南师大附中高三月考）已知函数|1||1|e sin(1)()e x x xf x ----=，若()22(2019)(2018)(2021)20201f f f a b -+-+⋅⋅⋅+=++，a ，b ∈R .则|a b -+的最大值为___________.52．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为12(1)3n n n a ⎡⎤=--⎣⎦，1n n n b a a +=，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若0n n b S λ->对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的取值范围是__________.53．（2021·全国·高三月考）已知等差数列{}n a ，对任意n N +∈都有01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n ++++++=⋅成立，则数列121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =__________． 54．（2021·河北·正定中学高三开学考试）意大利数学家斐波那契(1175年1250-年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即21(*)n n n a a a n N ++=+∈，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为]n n n a =-．设n是不等式(1]211n n n ->+的正整数解，则n 的最小值为______．55．（2021·辽宁·高三月考）对于任意实数序列()()123123,,,,,,,,,,,n n A a a a a B b b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，定义()112233*,,,,,n n A B a b a b a b a b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅已知数列{}{},n n a b 满足33,n n n a b a n +==，若*A B 中前n 项的和112233n n n S a b a b a b a b m =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅<恒成立，则整数m 的最小值为______． 56．（2021·山东济南·高三月考）数列{}n a 共12项，且11a =，42a =，关于x 的函数()()322113n n n x f a x a x x =-+-+，n ∈+N ，若()1111n x a n +=≤≤是函数的极值点，且曲线的()4y f x =在点()()12412,a f a 处的切线的斜率为3，则满足条件的数列{}n a 的个数为__________．57．（2021·云南师大附中高三月考（理））数列{}n a 中，12a =，()*,p q p q a a a p q +=∈N ，记m b 为{}n a 中在区间(]0,m ()*m ∈N 中的项的个数，则数列{}m b 的前150项和150S =________．。

压轴题02 数列压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题02数列压轴题题型/考向一：多选、填空综合题型/考向二：数列通项公式与数列求和题型/考向三：数列与其他知识综合一、等差数列、等比数列的基本公式1.等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.3.等差数列的求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；4.等比数列的求和公式：S na 1－a n q1－q ，q ≠1，二、等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列，有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2.前n 项和的性质(m ，n ∈N *)：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外).三、数列求和的常用方法热点一分组求和与并项求和1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，或c nn ，n 为奇数，n ，n 为偶数，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列的通项公式中有(－1)n 等特征，根据正负号分组求和.热点二裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数1（2n －1）（2n ＋1）＝1n （n ＋k ）＝(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1；n ＋1n 2（n ＋2）2＝141n 2－1（n ＋2）2.(3)分母含无理式1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .热点三错位相减法求和如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式.○热○点○题○型一多选题综合一、多选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12321a a a ++=，525S =，下列说法正确的是（）A ．23n a n =+B ．210n S n n=-+C ．{}n S 的最大值为5S D ．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1099-2．数列{}n a 是等差数列，810S =，则下列说法正确的是（）A ．36a a +为定值B ．若1272a =，则5n =时n S 最大C ．若12d =，使n S 为负值的n 值有3个D ．若46S =，则1212S =3．在正三棱柱111ABC A B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面ABC 的概率为n P ，则下列说法正确的是（）A ．112P =B ．21325P =C ．12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列D ．11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+⎪⎝⎭4．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．当A ，B 是锐角ABC 的内角时，()()cos sin f B f A <D ．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=5．已知定义在[]0,1上的函数()()0,010,1,1,,,,x x x f x p p x p q q q q ⎧==⎪=⎛⎫⎨= ⎪⎪⎝⎭⎩或或为内的无理数为正整数为既约真分数该函数称为黎曼函数．若数列{}n a 满足1n n a f n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．0n a >B ．1n na a +>C ．11nn i a =<∑D ．1112nn n i a a +=<∑二、填空题6．艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 零点时给出一个数列{}()()1:n n n n n f x x x x f x +-'=，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数()2(0)f x ax bx c a =++>有两个零点1和2，数列{}n x 为牛顿数列.设2ln1n n n x a x -=-，已知11a =，2n x >，{}n a 的前n 项和为n S ，则2023S =__________.7．对任意*n ∈N ，任意[1,2]a ∈，都有2112e 3nax x a n ⎛⎫+≤-+- ⎪⎝⎭恒成立（注：e 为自然对数的底数），则实数x 的取值范围是__________．8．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列{}123,,,A a a a = 重新编辑，编辑新序列为*234123,,,a a a A a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，它的第n 项为1n n a a +，若序列()**A 的所有项都是2，且41a =，532a =，则1a =__________．9．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数()1111123ss s s n s n ξ∞-===+++∑ ，我们经常从无穷级数的部分和1111123s s s sn ++++ 入手.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12400111S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ ______（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）.10．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n项和为____________．○热○点○题○型二数列通项公式与数列求和11．已知数列{}n a 满足1322a a a +=，13,2,n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，数列{}n c 满足21n n c a -=．(1)求数列{}n c 和{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S．12．在①n b =②11n n n b a a +=；③2nn n b a =，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题．已知数列{}n a 的前n 项和23322n n S na n n =-+．(1)证明：数列{}n a 是等差数列；(2)若12a =，设___________，求数列{}n b 的前n 项和n T ．13．在数列{}n a 中，149a =，()()()2313912n n n n a n a ++⋅+=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，证明：525443n nn S +<-⋅.○热○点○题○型三数列与其他知识综合14．已知函数()y f x =是定义在()(),00,∞-+∞U 上的偶函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()n a f n =（n 为正整数）.(1)当20x -≤<时，求()y f x =的解析式；(2)若函数()()g x f x m =-存在零点，且零点个数不超过10，求实数m 的取值范围；(3)求数列{}n a 的前n 项和为,n n S S 是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由15．若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于,,i j i j *∀∈<N ，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．(1)判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．(2)若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集；(3)若周期数列{}n a 满足性质P ，请写出数列{}n a 的通项公式（不需要证明）．16．如果数列{}n a 对任意的*N n ∈，211n n n n a a a a +++->-，则称{}n a 为“速增数列”.(1)判断数列{}2n是否为“速增数列”？说明理由；(2)若数列{}n a 为“速增数列”.且任意项Z n a ∈，121,3,2023k a a a ===，求正整数k 的最大值；(3)已知项数为2k （2,Z k k ≥∈）的数列{}n b 是“速增数列”，且{}n b 的所有项的和等于k ，若2n bn c =，1,2,3,,2n k = ，证明：12k k c c +<.。