2018届天津市第一中学高三5月月考文科数学试题及答案精品

合集下载

天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(解析版)

天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。

考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ，即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ，即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件，故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<，所以a c b <<，故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ，且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项．故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为（） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =，由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾．所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=，所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--，因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=，故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确；对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确，故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象：当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______．【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==，所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=，因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2．故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系，因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=．（2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1．故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=．（1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ．【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥，又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)，所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)，设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-，由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)，设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=，则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭，即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+，所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >，所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=，经检验满足212b >，所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ；（3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解．【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==，则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ．设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围；（3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-，由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-．（2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立，即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立；当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥，令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零，故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥．综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--，因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=，又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=，所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=，因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。

天津一中2018学年高三上学期第三次月考数学试卷含解析文科

2018-2018学年天津一中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣5x﹣6=0}，B={x|y=log2（2﹣x）}，则A∩（∁R B）=（）A．{2，3}B．{﹣1，6}C．{3}D．{6}2．下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件3．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．30 C．20 D．554．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．46．如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A，B两点，弦CD垂直AB于E．则下面结论中，错误的结论是（）A．△BEC∽△DEA B．∠ACE=∠ACP C．DE2=OEEP D．PC2=PAAB7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x ﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1，2）B．C．D．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．已知函数f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为．12．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为时，log2alog2（2b）取得最大值．13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且，EF=1，．若，则的值为．14．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．17．如图，四棱锥P﹣ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E为PC中点（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD（Ⅲ）假定PA=AD=CD，求二面角E﹣BD﹣C的正切值．18．已知递增的等比数列{a n}的前n项和S n满足：S4=S1+28，且a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n log a n，T n=b1+b2+…+b n，求使T n+n2n+1=30成立的正整数n的值．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：为定值．20．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax+m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数）．2018-2018学年天津一中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣5x﹣6=0}，B={x|y=log2（2﹣x）}，则A∩（∁R B）=（）A．{2，3}B．{﹣1，6}C．{3}D．{6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，B，然后求解补集以及交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣5x﹣6=0}={﹣1，6}，B={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，则∁R B={x|x ≥2}则A∩（∁R B）={6}．故选：D．【点评】本题考查集合的补集以及交集的求法，是基础题．2．下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A“若p则q，“的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故A正确；B p∨q为真命题说明p和q 中至少有一个为真；C是全称命题与存在性命题的转化；D从充要条件方面判断．【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选B【点评】本题主要考查了四种命题的关系、充要条件的转化、全称命题与存在性命题的相互转化．3．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．30 C．20 D．55【考点】循环结构．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，输出S=30，故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．4．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．4【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．6．如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A，B两点，弦CD垂直AB于E．则下面结论中，错误的结论是（）A．△BEC∽△DEA B．∠ACE=∠ACP C．DE2=OEEP D．PC2=PAAB【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．【分析】利用垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法即可判断出结论．【解答】解：A．∵∠CEB=∠AED，∠BCE=∠DAE，∴△BEC∽△DEA，因此A正确；B．∵PC与圆O相切于点C，∴∠PCA=∠B=∠ACE，因此B正确；C．连接OC，则OC⊥PC，又CD⊥AB，∴CE2=OEEP，CE=ED，∴ED2=OEEP，因此C正确；D．由切割线定理可知：PC2=PAPB≠PAAB，因此D不正确．故选D．【点评】熟练掌握垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法是解题的关键．7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0，∵f（x）=2|x|﹣1=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，∴c＜a＜b，故选：B【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．8．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x ﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1，2）B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f （x）=2﹣x所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=1．【考点】复数相等的充要条件．【分析】先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于a，b的方程组，解出可得．【解答】解：，即=2﹣ai=b +i ，由复数相等的条件，得，解得，∴a +b=1，故答案为：1．【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题，正确理解复数相等的条件是解题关键．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 80 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是下部正方体，上部是四棱锥的组合体，求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是楞长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，∴该几何体的体积是V 组合体=V 正方体+V 四棱锥=43+×42×3=80．故答案为：80．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的体积的应用问题，是基础题．11．已知函数f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为．【考点】利用导数研究函数的极值；古典概型及其概率计算公式．【分析】f′（x）=x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，由此能求出该函数有两个极值点的概率．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+b2x+1，∴f′（x）=x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，即△=4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，又a，b的取法共3×3=9种，其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为P=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、根的判别式、等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2alog2（2b）取得最大值．【考点】复合函数的单调性．【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得当log2alog2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2alog2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，故答案为：4．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且，EF=1，．若，则的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，结合图形，先求出的值，再利用=15，即可求出的值．【解答】解：如图所示，设AB∩DC=O，∵=++=+，=++=+，两式相加得=；∵AB=，EF=1，CD=，平方得1=；∴=﹣；又∵=15，即（﹣）（﹣）=15；∴﹣﹣+=15，∴+=15++，∴=（﹣）（﹣）=﹣﹣+=（15++）﹣﹣=15+（﹣）+（﹣）=15++=15+（﹣）=15+=15﹣=15﹣（﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目．14．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意，|AB|=2，P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π﹣（α+β），过P作AB的垂线．即可求sinα，sinβ，cosα，cosβ，从而求sin2θ的值．【解答】解：由题意，函数y=sin（πx+φ），T=，∴|AB|=2，P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π﹣（α+β），过P作AB的垂线交于C，|AC|=，|AP|=，|PC|=1，那么：sinα=，cosα=，|BC|=，|PB|=，那么：sinβ=，cosβ=，则：sin2θ=2sinθcosθ=﹣2sin（α+β）cos（α+β）=﹣2（sinαcosβ+cosαsinβ）（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数图象及性质的运用和计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数．由图知直线y=﹣x +P 过M （4，9）时，纵截距最大．这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S=accosB ．（1）若c=2a ，求角A ，B ，C 的大小；（2）若a=2，且≤A ≤，求边c 的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A ，B ，C 的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A ，B ，C 的大小．（2）根据正弦定理表示出c ，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB ，化简得sinB=cosB ，即tanB=，又0＜B ＜π，∴B=．（1）解法1：由c=2a ，及正弦定理得，sinC=2sinA ，又∵A +B=，∴sin （﹣A ）=2sinA ，化简可得tanA=，而0＜A ＜，∴A=，C=．解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4a2﹣2a2=3a2，∴b=，∴a：b：c=1：，知A=，C=．（2）由正弦定理得，即c=，由C=﹣A，得===+1又由≤A≤，知1≤tanA≤，故c∈[2，]．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理．17．如图，四棱锥P﹣ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E为PC中点（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD（Ⅲ）假定PA=AD=CD，求二面角E﹣BD﹣C的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD（Ⅱ）取PD的中点F，连接EF，FA∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE∥AF，然后证明BE∥平面PAD（Ⅲ）连接AC，取AC中点O，连接EO．过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．说明∠EGO为所求二面角E﹣BD﹣C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E﹣BD﹣C的平面角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，∵DC⊂面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD（Ⅱ）证明：取PD的中点F，连接EF，FA∵E为PC中点，∴在△PDC中：EF∥=，∴EF∥=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，即BE∥AF，∵AF⊂面PAD且BE⊄面PAD，∴BE∥平面PAD．（Ⅲ）解：连接AC，取AC中点O，连接EO．在△PAC中：EO∥=，∴EO⊥面ABC，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．由三垂线定理知：∠EGO为所求二面角E﹣BD﹣C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′．∴=在△EOG中：，故：二面角E﹣BD﹣C的平面角的正切值为．【点评】本题考查二倍角的平面角的求法，直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．18．已知递增的等比数列{a n}的前n项和S n满足：S4=S1+28，且a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n log a n，T n=b1+b2+…+b n，求使T n+n2n+1=30成立的正整数n的值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（I）由题意，得，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）b n=a n log a n，T n=b1+b2+…+b n=﹣（1×2+2×22+…+n×2n），进而可得T n+n2n+1=30成立的正整数n的值．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵S4=S1+28，且a1+2是a2和a4的等差中项．∴，解得，即数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1=2n…（Ⅱ）b n=a n log a n，…T n=b1+b2+…+b n=﹣（1×2+2×22+…+n×2n）①则2T n=﹣（1×22+2×23+…+n×2n+1）②②﹣①，得T n=（2+22+…+2n）﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1即数列{b n}的前项和T n=2n+1﹣2﹣n2n+1，则T n+n2n+1=2n+1﹣2=30，即2n+1=32，解得：n=4【点评】本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为，即可求斜率k的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．【解答】（1）解：因为满足a2=b2+c2，，…根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得．从而可解得，所以椭圆方程为…（2）证明：①将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，…因为AB中点的横坐标为，所以，解得…②由①知，所以…==…===…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．20．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax+m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）利用导数的几何意义即可得出；（II）利用导数研究函数的单调性极值、最值，数形结合即可得出；（III）由于f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，得到．可得=．经过变形只要证明，通过换元再利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx﹣x2+2x，，切点坐标为（1，1），切线的斜率k=f′（1）=2，∴切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．（Ⅱ）g（x）=2lnx﹣x2+m，则，∵，故g′（x）=0时，x=1．当时，g′（x）＞0；当1＜x＜e时，g′（x）＜0．故g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m﹣1．又，g（e）=m+2﹣e2，，∴，∴g（x）在上的最小值是g（e）．g（x）在上有两个零点的条件是解得，∴实数m的取值范围是．（Ⅲ）∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），∴方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则两式相减得．又f（x）=2lnx﹣x2+ax，，则=．下证（*），即证明，令，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明在0＜t＜1上恒成立．∵，又0＜t＜1，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知，故（*）式＜0，即成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、方程实数根的个数转化为图象的交点，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

2018届天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)

天津一中2017-2018学年度高三年级月考试卷数学（文史类）一、选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B. D.【答案】D点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. ）C.【答案】B【解析】本题选择B选项.3. 下列说法正确的是（）A.B. 为真命题”是“C.D.【答案】A考点：命题真假【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q 的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．4. ）B. -1 D. 1【答案】B【解析】本题选择B选项.5. ）A.6. 的图像关于直线取最小值时，，使得的取值范围是（）C.【答案】D，因此，选D.【点睛】函数;求减区间7. 已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数）A. B. C.【答案】A上单调递减，因为是定义在，即，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据8. 上恒成立，则的取值范围是（）B.【答案】A式即为（时取等号），（时取等号）所以，时，(*)（当时取等号），（当时取等号），所以，A．【考点】不等式、恒成立问题循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据原理，求出对应的的范围.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. __________．【解析】因为10. ，则的极大值为__________．11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．12. 抛物线的焦点与双曲线的右支交于点，的离心率为__________．【解析】B(0,1),b=1;点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于性质、点的坐标的范围等.13. __________．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 的中点，．【答案】3【解析】设平行四边形对角线交点为Q，所以P是三角形ABC的重心，由，得三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 中，内角（1）（2）.【答案】（1（2【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅱ）解：由（Ⅰ），代入，得由（Ⅰ）知，A为钝角，所以，考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16. 某营养学家建议：（单位：克），（单位：克）160克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物30克，含脂肪27克，售价15元.（1（2低需要花费的钱数.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据A满足蛋白质的摄入量时确定脂肪摄入量，A满足脂肪摄入量时确定蛋白质的摄入量，再对照专家标准进行比较判断（2试题解析：（1）解：如果学生只吃食物（单位：克）时，（单位：千克），其相应的脂肪摄入量在，不符合营养学家的建议；当脂肪的摄入量在克），不符合营养学家的建议.（2千克食物满足可行域如图所示，.由图可以看出，经过可行域上的点.元，答：学生每天吃0.8千克食物0.4千克食物既能符合营养学家的建议又花费最少.最低需要花费22元.17. 分别为棱中点.（1（2平面（3.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【解析】试题分析：（1，根据平几知识得四边形为平行四边形，即得平行判定定理得结论（2最后根据面面垂直判定定理得结论（3）.正弦值.试题解析：（1又因为为为平行四边形，所以（2），（3）内，过点而直线由此得与平面.设棱长为，，所以直线与平面所成角的正弦值为18. ，，为数列（1（2（3【答案】（1（2；（3）【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求（21，再根据等差数列定义进行说明论证（3）先两项合并，再利用错位相减法求偶数项试题解析：（1，2，首项为2（21，首项为1.（3）令（1）-（2），得19. 已知函数，（为常数）.（1（2，证明：（3）若对任意.【答案】（1（2）见解析；（3【解析】试题分析：（1）解得实数的值；（2）求导数，再求导函数零点，确定函数单调性，进而确定最小值为0，即证得结论（3）研究差函数.试题解析：（1处的切线方程为：（2，从而对任意，即时，成立.（3，不等式..，即时，恒成立，此时函数单调递增.时，所以.于是当20. 在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆.在轴下方）.（1（2（3，求直线的斜率.【答案】（1（2；（3）【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得定值（3）先求交点坐标，再根据，得2试题解析：（1经过点.，所以，解得（2，则直线的方程为，所以直线方程为与椭圆方程，（3）在中，令，则，所以由（2，解得因为，所以整理得，解得或（舍）.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。

天津市第一中学2018届高三下学期第四次月考数学(文)试题含解析

天津市第一中学2018届高三下学期第四次月考数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分，共40分.1. 若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】，，在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限，故选C.2. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A考点：1、充分条件，必要条件；2、绝对值不等式，二次不等式.3. 设动点满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线截距最大，此时最大，代入目标函数，得，即目标函数的最大值为，故选D.4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，第一次运行：；第二次运行：；第三次运行：，，满足条件，输出，故选A.5. 已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，设，四边形的面积为由对称性可得，将代入，可得，双曲线的方程为，故选D.6. 已知实数，，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴当且仅当，即，时取等号.故选B点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。

解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，然后乘“1”变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.7. 已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意及解析式画分段函数图形：有图可以知道该函数图形关于轴对称是偶函数，，且在为单调递增函数，又对任意，若必有，由于为偶函数，等价于与，即，故选D.8. 已知向量，，满足，，，，分别是线段，的中点，若，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，四边形为平行四边形，因此，因此，，因此，可得，又，因此，故选B.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 若集合，，则__________．【答案】【解析】，或，，故答案为.10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边上部是四分之一球体，下部是二分之一圆柱，右边是二分之一圆锥，其中球体的半径为，圆柱与圆锥的底面半径都是，高都是，所以组合体的体积为，故答案为. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定几何体的形状.11. 若函数在内有极小值，则实数的取值范围是__________．【答案】12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】试题分析：依题意可知抛物线的焦点为（1，0），∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．所以圆心坐标为（0，1），∴，圆C的方程为，故答案为.考点：圆的标准方程与一般方程13. 已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是__________．【答案】【解析】函数在上有最大值，但没有最小值，所以.点睛：本题要考虑到在区间上有最大值，没有最小值，说明函数要包括正弦函数图形的山峰但不能包括其山谷，要明确题目意思是解题关键14. 已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】函数恰有三个不同的零点，就是函数与有三个交点，也就是函数与的图象有两个交点，与的图象有一个交点，画出函数与的图象如图，函数，看做直线斜率为，由图象可知，小于直线与抛物线相切的斜率，由，可得，解得，综上时，函数与的图象有三个交点，函数恰有三个不同的零点，故答案为.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中类服务员名，类服务员员.（1）若采用分层抽样的方法随机抽取名家政服务员参加技术培训，抽取到类服务员的人数是人，求的值；（2）某客户来公司聘请名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有名类家政服务员和名类家政服务员可供选择.（i）请列出该客户的所有可能选择的情况；（ii）求该客户最终聘请的家政服务员中既有类又有类的概率.【答案】(1)48(2)①10②【解析】试题分析：（1）根据分层抽样比例求x的值，（2）列举出所有的可能，找到满足最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况，根据古典概率公式计算即可．考点：概率与统计．点评：本题考查了分层抽样和古典概率的问题，关键是一一列举所有的基本事件．16. 中的内角，，的对边分别是，，，若，.（1）求；（2）若，点为边上一点，且，求的面积.【答案】(1) (2)10【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，化简可得的值，最后根据二倍角公式求的值．（2）先根据余弦定理得a，再根据三角形面积公式求面积.试题解析：（Ⅰ）因为，所以有，从而，故．（Ⅱ）根据和，得，由余弦定理得，，即，化简得，解得或（舍去），从而，又，则，所以．17. 如图在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)见解析(2)见解析（3）【解析】试题分析：（1）为平行四边形，连结，为中点，为中点，由三角形中位线定理可得,利用线面平行的判定定理可得结论；（2）利用面面垂直的性质可得，三角形为等腰直角三角形，可得；从而可得面，根据面面垂直的判定定理可得结果；（3）直线与平面所成角即为直线与平面所成角即，又，故所求角为.试题解析：（1）证明：为平行四边形，连结，为中点，为中点，∴在中且平面，平面，∴平面.（2）证明：因为面面，平面面，为正方形，，平面，所以平面，∴，又，所以是等腰直角三角形，且即，，且、面，面，又面，面面.（3）直线与平面所成角即为直线与平面所成角即，又，故所求角为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、面面垂直的判定与性质，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.18. 已知数列的前项和为，且，数列满足，且点在直线上.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）设，求数列的前项和.【答案】(1) ， (2) （3）【解析】试题分析：（I）本小题较简单，注意验证，是否适合时，所得关系.（II）应用“错位相减法”求和，注意明确相减后“和式”的项数.（III）明确，应用“分组求和法”.试题解析：（I）当当时，，所以，，所以，是等比数列，公比，首项是，.又点在直线上．所以，，是等差数列，公差，首项.（II）由（I）知，，所以，，两式相减，.（III），考点：1.等差数列、等比数列的通项公式及求和公式；2.“错位相减法”.19. 已知函数.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调递增区间；（3）当时，证明：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见解析（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到；（2）对函数求导，分类讨论导函数的正负，得到单调区间；（3）由知需证明.，对函数求导，研究函数的最值即可。

天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}{}22802345A x x x B =--<=∣，，，，，则()U A B =ð（） A ．{}2 B ．{}23，C ．{}45，D ．{}345，，【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解【详解】由题意得(2,4)A =-，则(){4,5}U A B ⋂=ð，故选：C2．已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--，若22a b ->-时，比如5,1a b ==，但不满足2a b >>，因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为2sin ()2xf x x =+，定义域为R 所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B.4．已知函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，所以(1)(1)f f -=，所以11111e 1e m m -⎛⎫⎛⎫-+=⨯+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， e 11e 11em m--=+--，所以(e 1)21e m -=-，得2m =-，故选：A5．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，且()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()()20212022f f +的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．0【答案】A【分析】由偶函数可得()()f x f x -=，由()()11f x f x -=+可得对称性，再化简整理可得周期2T =，进而根据性质转换()()20212022f f +到[]0,1x ∈，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()11f x f x -=+，所以()()()111f x f x f x -+=-=+,即()()2f x f x =+，所以()f x 是周期函数，2T =，故()()()()10202120221021211f f f f +=+=-+-= 故选：A6．已知函数()()||0.542π()2,log 3,log 5,cos 3x f x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】0.52|log 3|log 3223a ===，4|log 5|log 22b ==2π1cos3222c ==a b c >>.故选：B ． 7．已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（） A ．3log 15 B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【分析】令350a b k ==>，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得45k =，即得.【详解】令350a b k ==>，则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=， ∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =， ∴3log 45a =. 故选：C.8．设函数e e ()sin 2x x f x x --=+，不等式()e (ln 1)0xf a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．e 1- B ．1C ．e 2-D ．0【答案】D【分析】先由定义证()f x 为奇函数，结合均值不等式可证()1cos 0f x x '≥+≥，得()f x 在R 上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，用导数法求()g x 最小值，即有()min a g x ≤.【详解】因为e e ()sin 2x xf x x ---=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数．因为e e ()cos cos 1cos 02x x f x x x x -+'=+≥=+≥，所以()f x 在R 上单调递增．不等式()e (ln 1)0x f a x f x x -+++≤可转化为()(ln 1)e xf x x f x a ++≤-，所以ln 1e x x x x a ++≤-，即e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，则ln ln ()e e ln 1e (ln )1x x x x g x x x x x +=---=-+-，令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上单调递减．所以0min ()(0)e 010h x h ==--=，即()0h x ≥，所以()0g x ≥，且当ln 0x x +=时，()g x 取最小值0，故0a ≤，即实数a 的最大值为0．故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，讨论可求出2m =-，从而()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若0m ≥，则函数()212f x x mx =++在[]0,2上单调递增，所以()212f x x mx =++的最小值为12，不合题意，则0m <，要使函数()212f x x mx =++在[]0,2x ∈上的最大值为12．如果22m-≥，即4m ≤-，则()912222f m =+≤，解得522m -≤≤-，不合题意；若22m -<，即40m -<<，则2912,2211,242m m ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得52,22,m m ⎧-≤≤-⎪⎨⎪≥-⎩即2m =-，则()2122f x x x =-+．如图所示，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，只有函数2y ax =的图象开口向上，即0a >．当2y ax =与(2y x =-122x -+）有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根，0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有二个不同的零点，要使函数()g x =()2f x ax -有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的图象开口要比2y x =的图象开口大，可得1a <，所以01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1．故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出m 的值，然后将问题转化为函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题二、填空题 10．复数i2i=+_________. 【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-. 故答案为:12i 55+.11．已知函数()f x 的导函数，满足()()321f x xf x '=+，则()1f 等于_______________.【答案】5-【分析】求导，令1x =，可解得()1f '，进而可得()1f .【详解】由()()321f x xf x '=+，得()()2213f x f x ''=+，令1x =，得()()1213f f ''=+，解得()13f '=-，所以()()()312112315f f '=+=⨯-+=-，故答案为：5-.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】320m 20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令99090x -=，则20x =（立方米），故答案为：320m .13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则23()2f =_______．【答案】14-【分析】根据题意，分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得231()()22f f =-，结合函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，则(2)()()f x f x f x +=-=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，则23111()(12)()()2222f f f f =-+=-=-，又由当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则2111()()224f ==，则2311()()224f f =-=-，故答案为：14-．14．已知函数()212-,02=1+1,>02xx f x x x ≤⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎩，则不等式()313xf ->的解集为___________.【答案】()1,+∞【分析】分别在条件31>0x -，310x -≤下化简不等式，再求其解，由此可得不等式()31>3x f -的解集.【详解】当310x -≤时，即0x ≤时，()31131=22x x f ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式()31>3xf -可化为3112>32x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0x ≤且3111>2x --⎛⎫⎪⎝⎭，所以满足条件的x 不存在，即当0x ≤时，不等式无解，当31>0x -时，即>0x 时，()()2131=31+12xxf --，此时不等式()31>3x f -可化为()2131+1>32x-，得31>2x -或31<2x --，解得>1x ，所以不等式()31>3xf -的解集为()1,+∞，故答案为：()1,+∞.15．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>，则222312a c bc b abc ab++++ 222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+，当且仅当4a bb a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时，222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：2三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若cos A =cos(2)A C +的值；(2)若c =ABC a ，b 的值.【答案】(1)(2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos 2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得；（2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==，因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =，由C 为三角形内角得3C π=；由cos A =，则sin A =所以sin 22sin cos 2A A A ===， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，()cos 2cos 2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1142-⨯=(2)解：因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==6ab =①，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②，由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD BC ∥，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：BD ∥平面11B CD .(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. (3)求二面角111B CD C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(3)正弦值为1【分析】(1)由四棱柱的性质证明11//BD B D ，根据线面平行判定定理证明BD 平面11B CD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线AB 的方向向量和平面11B CD 的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面11C CD 的法向量，利用向量夹角公式求二面角111B CD C --的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BB DD ，11BB DD =，故四边形11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以BD ∥平面11B CD ；(2)因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，因为2AB AD ==，BD =所以222AB AD BD +=，=ABD ADB ∠∠，所以AB AD ⊥，=45ADB ∠，因为AD BC ∥，所以=45DBC ∠，又BD CD ==所以BDC △为等腰直角三角形，所以=4BC ，因为AB ，AD ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D 所以()2,0,0AB =，()1=0,4,2B C -，()11=2,2,0B D - 设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z =∴111=0=0n B C n B D ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即42=02+2=0y z x y --⎧⎨⎩，令=1x ，则=1y ，=2z ，∴()1,1,2n =设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，∴2sin =cos ,==2?6AB n AB nAB n⋅θ⋅所以直线AB 与平面11B CD .(3)平面11B CD 的法向量为()1,1,2n =，因为1AA ⊥平面ABCD ，11//AA DD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又B D D C ⊥，1=DD DC D ⋂，1,DD DC ⊂平面11CD C ，所以BD ⊥平面11CD C ，所以BD 为平面11CD C 的法向量，所以平面11CD C 的法向量为()=2,2,0m BD -= ∴cos ,==0m nm n m n⋅，∴sin ,1m n = 所以，二面角111B CD C --的正弦值为1.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当],(0x ∈-∞时，()93x xm f x -=-． (1)求()f x 在(0,)+∞上的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，1()23x x f x a +⋅+…恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的方程1()3160x f x n -++⋅+=在[2,1]--上有两个不相等的实根，求实数n 的取值范围．【答案】(1)()93x xf x =-+(2)15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (3)227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m 的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为932()22x xa g x ⎛⎫⎛⎫≥--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2上恒成立，结合函数的单调性求出()max g x 即可；(3)令[]33,9xt -=∈，将原方程转化为直线13y n =-与函数()16h t t t=+的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得()010f m =-=，解得1m =，经检验1m =，符合题意.当()0,x ∈+∞时，(),0x -∈-∞，则()93x xf x -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()93x xf x f x =--=-+，即当()0,x ∈+∞时，()93x xf x =-+；(2)当[]1,2x ∈时，19323xxxx a +-+≤⋅+恒成立，即93222x xa ⎛⎫⎛⎫≥--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．设()93222x xg x ⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]1,2上是减函数，()()max 1512g x g ==-，所以152a ≥-，即实数a 的取值范围为15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； (3)方程()13160x f x n -++⋅+=在[]2,1--上有两个不相等的实根，即函数()()931316x xF x n --=+-⋅+在[]2,1--上有两个零点，令[]33,9xt -=∈，则关于t 的方程()231160t n t +-+=在[]3,9上有两个不相等的实根，由于2161613t n t t t+-==+，则直线13y n =-与()16h t t t=+的图象有两个交点．如图，因为()16h t t =+在[]3,4上单调递减，在[]4,9上单调递增，且()48h =，()2533h =，()9799h =，所以258133n <-≤，解得22793n -≤<-，即实数n 的取值范围为227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．设函数()222ln f x ax a x =--，()1eex g x x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，()0g x >；(3)若不等式()()f x g x >在()1,x ∈+∞时恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 (3)1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可；（2）构造函数()1e-=-x s x x ，求导分析单调性与最值，证明当1x >时，1e x x ->即可；（3）结合（1）（2）讨论()(),f x g x 1的大小关系，构造函数()()()h x f x g x =-，求导放缩判断单调性，进而证明即可. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+，()241ax f x x-'=．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． (2)令()1e-=-x s x x ，则()1e 1x s x -=-．当1x >时，()0s x '>，()s x 单调递增，()()10s x s >=，所以1e x x ->，从而()1110e x g x x -=->． (3)由（2）得，当1x >时，()0g x >．当0a ≤时，1x >时，()()()221ln 0f x a x x g x =--<<，不符合题意．当104a <<1=>，由（1）得，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()10f x f g x <=<，不符合题意．当14a ≥时，令()()()h x f x g x =-，1x >． ()211e 4e x h x ax x x '=-+-2111x x x x >-+-()222111110x x x x x ->-+-=>()h x 在区间()1,+∞上单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立．综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知0a >，设函数()(2)ln ,()=-+'f x x a x x f x 是()f x 的导函数． (1)若2a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点()1212,x x x x <， ①求实数a 范围； ②证明：()221(e)(2e)(3)12e---'<-x f x a a a x ．注，其中e 2.71828=⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数．【答案】(1)y x =(2)①>a【分析】(1)把1x =代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； (2)①可设()()2ln ln f x xg x x a x x==+-，因为1x >，所以()g x 与()f x 零点相同，可根据()g x 的单调性与极值情况来确定a 的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出22()x f x '与111x -的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当2a =时，2()2(1)ln ,()2ln 3=-+=-+'f x x x x f x x x，所以(1)1,(1)1f k f '===．根据点斜式可得曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y x =．(2)①当1x >时，()0f x =等价于20ln +-=xx a x．设()2ln =+-x g x x a x ，则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln '-+-=+=x x x g x x x．当1x <<()0,()g x g x '<单调递减；当x >()0,()'>g x g x 单调递增；所以，当1x >时，min [()]==g x g a ，因为()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点12,x x ，所以min [()]0<g x，解得>a当>a1=∈-a ax a ，则1ln 11<-=-a a x x a ，故()221201ln 111-=+->+-=>---a a a a a x a a a g x x a a x a a a ，又202ln 2⎛⎫=> ⎪⎝⎭a a g a ，所以()f x在区间和2⎫⎪⎭a 上各有一个零点．综上所述：>a②设()()[(3)2](2)ln (2)(2)=--+-=-+---F x f x a x a x a x a x a ，则2()2ln (2)2ln -=++=+'--x a aF x x a x a x x，它是[1,)+∞上的增函数．又(1)0F '=，所以()0F x '≥，于是()F x 在[1,)+∞上递增．所以()(1)0F x F ≥=，即(2)ln (3)2-+≥-+-x a x x a x a ，当1x =时取等号．因为11x >，所以()110(3)2=>-+-f x a x a ，解得11031<<--a x ．(1) 因为()2ln 3=-'+af x x x，所以()222222ln 3-'=+x f x x x a x ，结合()()22222ln 0=-+=f x x a x x 知()()2222222222232222-=-+=---+-'-a x ax f x a x a x x a a x ．处理1：设函数()ln xh x x =，则2ln 1()ln -='x h x x，所以当0x e <<时，()0,()h x h x '<递减，当x e >时，()0,()h x h x '>递增，所以()()ln =≥=xh x h e e x，所以2222ln -=≥x a x e x ．处理2：因为ln 1≤-x x ，所以ln 1⎛⎫≤- ⎪⎝⎭x xe e，即ln x x e ≤，当x e =时取等号，所以ln 022222-----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭a e a e a e a e a e f e e e ．由①可知，()f x 在[)2,x +∞上单调递增，且()20f x =，所以22-≤a ex ，即22-≥a x e ．因为22()2=--+a a g x t t 在[,)e ∞+上是减函数，且22-≥a x e ，且()()2222()(2)22()22--=-≤=--+='a a a e a e x f x g a x g e e e e．综上可知：()221()(2)(3) 12--'-<-x f x a e a e ax e．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

天津市第一中学2019届高三数学下学期第五次月考试题文(含解析)

天津一中、益中学校 2018—2019 学年度高三年级五月考试卷数学（文史类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟．第 I 卷（选择题共 40 分）一．选择题：共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1.设集合{}2|A x x x =≤，1|1B x x x ⎧⎫=+≥⎨⎬⎩⎭，则 A B =（） A.(0,1] B.[0,1] C.(1],-∞ D.(,0)(0,1]-∞【答案】A 【解析】【分析】先求出集合的等价条件，根据交集定义求出结果. 【详解】解：因为{}2A x x x =≤，解得{}01A x x =≤≤，因为当0x >时，121x x +≥=>恒成立，当0x <时，10x x+<恒成立，所以1|1(0,)B x x x ⎧⎫=+≥=+∞⎨⎬⎩⎭，故(0,1]A B =，故选A.【点睛】本题考查了集合的交集，解题的关键是要能求出集合的等价条件.2.已知变量x，y满足约束条件2{41x yx yy-≥+≤≥-，则目标函数2z x y=-的最小值为（）A. 1- B. 1 C. 3 D. 7【答案】B【解析】作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点(3,1)时，z有最小值321z=-=，故选B．3.执行如图所示的程序框图输出的结果是（）A. 6B. 7C. 8D. 5【答案】C【解析】【分析】此程序框图是循环结构图，模拟程序逐层判断，得出结果. 【详解】解：模拟程序：,x y 的初始值分别为1,1，第1次循环：112z =+=，满足z 5≤，故2,1==y x ；第2次循环：123z =+=，满足z 5≤，故2,3x y ==；第3次循环：235z =+=，满足z 5≤，故3,5x y ==；第4次循环：z 358=+=，不满足z 5≤，故输出8z =；故输出8z =，故选C.【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题的关键是要读懂循环结构的流程图，根据判断框内的条件逐步解题.4.设x R ∈，则“31x <”是“1122x -<”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由31x <可得1x <，由1122x -<可得01x <<，据此可知“31x <”是“1122x -<”的必要而不充分条件. 故选：B .【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知定义在R 上的偶函数 ()f x 满足：当[0,)x ∈+∞时，()2018x f x =，若()10.32(ln 3),0.2,3a f e b f c f -⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A. < b a c <B. < c b a <C. < b c a <D.c < a b <【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性将123c f -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价变形为32c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再根据函数在[0,)x ∈+∞上单调性判断函数值的大小关系，从而得出正确选项. 【详解】解因为函数()f x 为偶函数，故12332c f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为...030002021<<=，ln()ln ln ln 3e 3e 312=+=+>，所以.ln().0333e 022>>，因为函数()f x 在[0,)x ∈+∞上单调增，故 < b c a <，故选C.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性运用，解题的关键是要能根据奇偶性将函数值进行转化.6.若将函数23cos 3cos sin )(2-+=x x x x f 的图象向右平移(0)φφ>个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( ) A.π12B.π4C.83π D.5π12【答案】D 【解析】【分析】化简函数得()f x sin 23x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()f x 的图象向右平移φ个单位可得sin 223y x πφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所得函数的图象关于y 轴对称，得sin 213πφ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，即122k ππφ=--，k Z ∈，对k 赋值求解即可.【详解】∵()2f x sinxcosx x = )1cos21sin222x x +=+1sin2sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ ，函数()f x 的图象向右平移φ个单位可得()sin 2sin 2233y x x ππφφ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所得图象关于y 轴对称，根据三角函数的对称性，可得此函数在y 轴处取得函数的最值，即sin 213πφ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，解得23πφ-+=2k ππ+，k Z ∈，所以122k ππφ=--，k Z ∈，且0φ>，令1k =- 时，φ的最小值为512π. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，函数的图象平移，三角函数的对称性的应用，属于中档题．7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的渐近线方程为（）A. y x =±B. 2y x =±C. 3y x =±D.x y 4±=【答案】A 【解析】由题意可知：OPF 是等腰三角形，则：,22P p P c b bc x y x a a===，点P 在圆上，则：222P P x y a +=，即：22222c bc a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合222c a b =+整理可得：2222130b b a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，据此可得：221b a =，双曲线C 的渐近线方程为y x =± .本题选择A 选项.8.如图，在V ABC 中，,23BAC AD DB π∠==，P 为 CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若V ABC 的面积为AP 的最小值为（）B. 3C. 3D.43【答案】B 【解析】【分析】设3AB a =，AC b =，由三角形ABC 的面积为83ab =，由C ，P ，D 三点共线可知14m =，以AB 所在直线为x 轴，以A 点为坐标原点，过A 点作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，可以表示出AP 的坐标，从而得到2AP 的表达式，进而求出最小值。

天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)

天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解（2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。

天津市第一中学2023-2024学年高三下学期第四次月考试题语文含答案

天津一中2023-2024-2高三年级语文学科第四次月考本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间150分钟考生务必将答案涂写在答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利！I卷（共33分）一、阅读下面的文字，完成1-3题，共9分。

随着生成式人工智能的发展，数字人正在成为电商界的新宠。

数字人虚拟主播拥有栩栩如生的面容、（）的表情、悦耳的声音，大有替代真人主播的架势。

成本更低成为虚拟主播受到热捧的驱动力。

数字人能24小时不间断直播，帮助商家（）零散时段的流量，部分场景下的带货数据（）。

但据此就得出“数字人吃上了主播饭”的结论还为时尚早。

数字人口型对不上、音画不同步、问答反馈慢……这些客观存在的痛点都指向一个问题，就是虚拟主播。

1.依次填入上文三个括号处的词语，最贴切的一项是（）A.多变抓取精彩绝伦B.丰富捕获可圈可点C.丰富赚取精彩绝伦D.多变捕捉可圈可点2.上文画线句有语病，下列修改最恰当的一项是（）A.成本更低以至虚拟主播受到热捧B.成本更低导致虚拟主播受到热捧C.成本更低赢得虚拟主播受到热捧D.成本更低是虚拟主播受到热捧的驱动力3.将下列短语依次填入上文横线处，衔接自然的一项是（）A.交互性不足、缺乏真实感，影响了买家的消费体验B.真实感缺乏、交互性不足，影响了买家的消费体验C.真实感不足、缺乏交互性，影响了买家的消费体验D.影响了买家的消费体验—一缺乏真实感、交互性不足二、阅读下面的文字，完成4-6题，共9分。

材料一：（摘编自费孝通《乡土中国》第四章“差序格局”思维导图）材料二：《乡土中国》中“差序格局”一词高度概括了中国传统的社会结构、人际关系的逻辑和传统文化的特点，具有丰富的文化意蕴和鲜明的社会特征。

一是差序格局的等级性。

差序格局中的“序”，有等级之意。

在儒家文化中，我国社会结构尤为注重人伦。

“伦是有差等的次序。

”君臣、父子、夫妇、政事、长幼、上下等都有着严格的伦理界限，不可逾越。

天津市第一中学2018届高三下学期第五次月考数学理试题

天津一中2017-2018高三年级五月考数学试卷（理）一、选择题：1.已知集合{1,2,3,4}A =，{|32,}B y y x x A ==-∈，则A B ⋂=（）A ．{1}B ．{4}C ．{13}， D ．{14}， 2.已知实数x ，y 满足不等式组310300x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最小值是（）A．2B ．92C ．3D ．93.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A．0 D．4.已知数列{}n a 是等差数列，m ，p ，q 为正整数，则“2p q m +=”是“2p q m a a a +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知圆C：22210x y x ++++=与双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．3C ．43D 6.设0ω>，函数2cos()5y x πω=+的图象向右平移5π个单位长度后与函数2sin()5y x πω=+图象重合，则ω的最小值是（）A ．12B ．32C ．52D ．727.设定义在R 上的函数()f x ，满足()1f x >，()3y f x =-为奇函数，且()'()1f x f x +>，则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为（）A ．()1,+∞B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．()(),00,-∞⋃+∞D ．()0,+∞ 8.将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A ．180B ．192C ．204D ．264 二、填空题：9.设复数z 满足)3i z i ⋅=，则z = ． 10.已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是．11.在极坐标系中，直线l ：4cos()106πρθ-+=与圆C ：2sin ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为．12.如图，在ABC ∆中，已知3BAC π∠=，2AB =，3AC =，2DC BD =，3AE ED =，则BE AC ⋅= ．13.已知点(,)P x y 在椭圆222133x y +=上运动，则22121x y ++最小值是．14.已知函数2()f x x a a x=--+，a R ∈，若方程()1f x =有且只有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是．三、解答题：15.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.16.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos b A c =.（1）求cos B ；（2）如图，D 为ABC ∆外一点，若在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，BC ，求AB 的长.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，AD CD ⊥，//AD BC ，且22AD BC ==，CD =，PB =E 为AD 中点.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点Q ，使得二面角Q BE C --的大小为30，求CQCP的值；（3）在（2）的条件下，求点C 到平面QEB 的距离.18.已知数列{}n a 中，11a =，11,33,n n na n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数.（1）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ，并求满足0n S >的所有正整数n .19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点3(1,)2D 在椭圆上，直线y kx m =+与椭圆交于A ，P 两点，与x 轴，y 轴分别交于点N ，M ，且P M MN =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B . （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段11A B ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由.20.已知函数()(ln 1)f x x x k =--，k R ∈. （1）当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数k 的取值范围；（3）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：212k x x e ⋅<.参考答案一、选择题1-5: DBAAB 6-8: CDC二、填空题9. 1+ 10. 103413.9514.11,,222⎛⎛⎫-+-∞⋃⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题15.（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P，11651110101C CPC C=-⋅，解出即可.（2）顾客抽奖1次视为3次独立重复试验，判断出13,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出概率，得到X的分布列，然后求出数学期望和方差.解析：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P，11651110103071110010C CPC C=-⋅=-=.（2）设该顾客在一次抽奖中或一等奖的概率为1P，115411110102011005CCPC C=⋅==，13,5X B⎛⎫⎪⎝⎭. ()334645125P X C⎛⎫===⎪⎝⎭，()2131448155125P X C⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()2231412255125P X C⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()3331135125P X C⎛⎫===⎪⎝⎭，故X的分布列为数学期望355EX=⨯=.16.解：（1）在ABC∆中，由正弦定理得sin cos sin 3B A AC +=，又()C A B π=-+，所以sin cos sin sin()3B A A A B +=+，故sin cos B A A sin cos cos sin A B A B =+，所以sin cos A B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故cos B =. （2）∵2D B ∠=∠，∴21cos 2cos 13D B =-=-，又在ACD ∆中，1AD =，3CD =，∴由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅11923()123=+-⨯⨯-=，∴AC =在ABC ∆中，BC =AC =cos B =， ∴由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即21262AB AB =+-⋅，化简得260AB --=，解得AB =故AB 的长为17.试题解析：（1）证明：连接PE ，BE ，∵PAD ∆是等边三角形，E 为AD 中点，∴PE AD ⊥，又∵2AD =，∴PE =1DE =，∴//DE BC ，且DE BC =，∴四边形BEDC 为矩形，∴BE CD =BE AD ⊥，∴222BE PE PB +=，∴PE BE ⊥，又∵AD BE E ⋂=，∴PE ⊥平面ABCD ，又∵PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .（2）如图建系，(P，()B，()C -，()0,0,0E，()EB =，设(),CQ CP λλ==，(01)λ<<，∴BQ BC CQ =+()()1,0,0,λ=-+()1,λ=-，设平面EBQ 的法向量为(),,m x y z =，∴()010x y z λ=-=⎪⎩， ∴()3,0,1m λλ=-，平面EBC 的法向量不妨设为()0,0,1n =， ∴cos303m n m nλ⋅==，∴28210λλ+-=，∴14λ=或12-（舍）， ∴14CQ CP =.（3）31423CB m h m⋅===. 18.解：（1）设232n n b a =-，因为2122122133(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--==--2213(6)(21)3232n n a n n a -++-=-2211132332n n a a -==-，所以数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. （2）由（1）得12311263n n n b a -⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭1123n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由2211(21)3n n a a n -=+-，得21233(21)n n a a n -=--111156232n n -⎛⎫=-⋅-+⎪⎝⎭，所以1212111233n n n n a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1692693nn n ⎛⎫-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++21112333n⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦6(12)9n n -++⋅⋅⋅++111332113n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⋅-(1)692n n n +-⋅+211363nn n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭213(1)23nn ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，显然当*n N ∈时，2{S }n 单调递减，又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2122n n n S S a -=-231536232nn n ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭，同理，当且仅当1n =时，210n S ->，综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2.19.（1）由题意知b c =b ，224ac =，223b c =，即2222143x y c c+=，∵31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，∴22914143c c +=，21c =，24a =，23b =，所以椭圆C 方程为22143x y +=. （2）存在. 设()0,M m ，,0m N k ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵DM MN =， ∴,2m P m k ⎛⎫⎪⎝⎭，,2m Q m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ， 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2223484120k x kmx m +++-=① ∴12834m km x k k +=-+，21241234m m x k k -⋅=+，()230QM m m k k m k--==--，联立223143y k m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()222336244120k x kmx m +-+-=②∴222248336112m km km x k k k +==++， ∴12m m x x k k +++228811234km kmk k =-++，∴122288211234km km mx x k k k+=--++，若N 平分线段11A B ，则22288211234m km km mk k k k-=--++，即228811234km km k k =++，2211234k k +=+，∴12k =±，∵214k =，把①，②代入，得237m =，m = 所以直线l的方程为127y x =±或127y x =-±20.（1）1'()ln 1ln f x x x k x k x=⋅+--=-，①0k ≤时，因为1x >，所以'()ln 0f x x k =->，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无单调递减区间，无极值；②当0k >时，令ln 0x k -=，解得kx e =，当1kx e <<时，'()0f x <；当kx e >，'()0f x >.所以函数()f x 的单调递减区间是(1,)k e ，单调递增区间是(,)k e +∞，在区间(1,)+∞上的极小值为()(1)k k k f e k k e e =--=-，无极大值. （2）由题意，()4ln 0f x x -<，即问题转化为(4)ln (1)0x x k x --+<对于2[,]x e e ∈恒成立，即(4)ln 1x x k x -+>对于2[,]x e e ∈恒成立，令(4)ln ()x x g x x -=，则24ln 4'()x x g x x +-=，令()4ln 4t x x x =+-，2[,]x e e ∈，则4'()10t x x=+>，所以()t x 在区间2[,]e e 上单调递增，故min ()()440t x t e e e ==-+=>，故'()0g x >，所以()g x 在区间2[,]e e 上单调递增，函数2max 28()()2g x g e e ==-. 要使(4)ln 1x x k x -+>对于2[,]x e e ∈恒成立，只要max 1()k g x +>，所以2812k e +>-，即实数k 的取值范围为28(1,)e-+∞.（3）证法1：因为12()()f x f x =，由（1）知，函数()f x 在区间(0,)ke 上单调递减，在区间(,)k e +∞上单调递增，且1()0k f e+=.不妨设12x x <，则1120k k x e x e +<<<<，要证212kx x e <，只要证221k e x x <，即证221k ke e x x <<.因为()f x 在区间(,)ke +∞上单调递增，所以221()()ke f x f x <，又12()()f x f x =，即证211()()ke f x f x <，构造函数2()()()k e h x f x f x =-22(ln 1)(ln 1)k ke e x k x k x x=-----，即()ln (1)h x x x k x =-+2ln 1()k x k e x x -+-，(0,)k x e ∈. '()ln 1(1)h x x k =+-+2221ln 1()k x k e x x --=+222()(ln )k x e x k x-=-，因为(0,)k x e ∈，所以ln 0x k -<，22k x e <，即'()0h x >，所以函数()h x 在区间(0,)k e 上单调递增，故()()k h x h e <，而2()()()0kk kk e h e f e f e =-=，故()0h x <，所以211()()k e f x f x <，即2211()()()ke f x f x f x =<，所以212k x x e <成立. 证法2：要证212k x x e <成立，只要证：12ln ln 2x x k +<.因为12x x ≠，且12()()f x f x =，所以1122(ln 1)(ln 1)x k x x k x --=--，即1122ln ln x x x x -12(1)()k x x =+-，11212122ln ln ln ln x x x x x x x x -+-12(1)()k x x =+-，即112122()ln ln x x x x x x -+12(1)()k x x =+-， 122112ln1ln x x x k x x x +=+-，同理112212ln 1ln x x x k x x x +=+-，从而122ln ln k x x =+1121221212lnln 2x x x x x x x x x x ++---，要证12ln ln 2x x k +<，只要证1121221212lnln 20x x x x x x x x x x +->--，令不妨设12x x <，则1201x t x <=<，即证ln ln 20111t t t t+->--，即证(1)ln 21t t t +>-，即证1ln 21t t t -<+对(0,1)t ∈恒成立，设1()ln 2(01)1t h t t t t -=-<<+，22214(1)'()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++，所以()h t 在(0,1)t ∈单调递增，()(1)0h t h <=，得证，所以212k x x e <.。

2018届天津市第一中学高三上学期第一次月考文科数学试

津一中2018—2018学年度高三年级第一次月考数学（文科）学科试卷班级_________ 姓名__________ 成绩__________ 本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷 1 页，第II 卷 2 至5 页。

考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷（本卷共8道题，每题 5分，共40 分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （） A ．{}0,3 B ．{}2,0,3 C ．{}1,0,3 D ．{}2,1,0,32．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A ．3y x = B ．ln()y x =- C ．x y xe -= D ．2y x x=+3．已知命题()x x x p 43,0,:<∞-∈∃；命题⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0:πx q ，x x >tan ，则下列命题中真命题是（）A ．q p ∧B ．()q p ⌝∨C ．()q p ⌝∧D ．()q p ∧⌝4．若0.52a =，3log π=b ，2log 2c =，则有（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>5．将函数)32sin(π+=x y 的图象经过怎样的平移后，所得函数图象关于点（12π-，0）成中心对称（）A ．向右平移12π B ．向右平移6π C ．向左平移12πD ．向左平移6π6．已知21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则与的夹角为（）A ．3π B ．32π C ．2πD ．65π7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，且当430≤<x 时，错误！未找到引用源。

2018年天津大中学高三数学文月考试题含解析

2018年天津大中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将数字，，，，，书写在每一个骰子的六个表面上，做成枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图和所示的两个柱体，则柱体和的表面（不含地面）数字之和分别是( )A．B．C．D．参考答案：A【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为A的数字之和为，B的数字之和为故答案为：A2. 设函数,若,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C略3. 已知集合，，则满足条件的集合的个数为（）（A）、（B）、（C）、（D）、参考答案：D，．∵，∴可以为，，，．4. 已知i为虚数单位，若复数i为实数，则实数的值为（）A． 1 B．0 C． 1 D． 2参考答案：Ａ5. 已知函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．3 B．C．4 D．8参考答案：D【考点】基本不等式；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；综合题．【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2时，y=log a1﹣1=﹣1，∴函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，+=+=2+++2≥4+2?=8，当且仅当m=，n=时取等号．故选D．【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．6. 榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（）A．10 B．12 C.14 D．16参考答案：C，故选C.7. 若曲线y=x4的一条切线L与直线垂直，则L的方程是（）A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0参考答案：答案：A8. 设全集U＝R，A＝{}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x | x>0} B．{x | x<－1}C．{x|－3<x<0} D．{x|－3<x<－1}参考答案：D9. 若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（）A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．（）a＜（）b D．+＞2参考答案：D考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质、函数的单调性即可判断出．解答：解：∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞b2，，=2．因此只有D正确．故选：D．点评：本题考查了不等式的性质、函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω，由五点法作图求出ω的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=﹣2，2sinφ=，∴sinφ=，结合|φ|＜，可得φ=．再根据五点法作图可得ω×+=π，求得ω=2，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数的图象关于点（2,0）对称，且对任意实数时, 恒成立，则实数的最小值为_________.参考答案：512. 设为数列的前项和，且，则．参考答案：13. 已知全集为，且集合，，则．参考答案：(－1,2)14. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，若O为△ABC内一点，且满足||=||=||，则?的值是．参考答案：28【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD．则=（+），OD⊥BC，即?=0．于是?=（+）?=?+?=?=（+）?（﹣），化简代入即可得出．【解答】解：由题意，||=||=||，则O是外心．如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD．则=（+），OD⊥BC，即?=0．∴?=（+）?=?+?=?=（+）?（﹣）=（2﹣2）=（81﹣25）=28．故答案为：28．15. 在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问 (填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.参考答案：甲16. 已知∥则实数的值是_______ ．参考答案：-117. 已知各项均为正数的等比数列{a n}，前n项和为S n，且a1=2，则S m= ．参考答案：62【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】，a n＞0，可得a m=a5=32，a1=2，可得公比q=，再利用求和公式即可得出．【解答】解：∵，a n＞0，∴a m=a5=32，a1=2，∴公比q==2，∴S5==62．故答案为：62．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

天津市第一0二中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷(无答案)

高三年级统练二（数学）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A ． B ． C ． D ．2．已知，则“”的（）A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．4．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO 给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J 型曲线LOGO ，以下4个函数中最能拟合该曲线的是（）A ．B ．C ．D ．5．已知过点的直线l 与圆相切，且与直线垂直，则（）A ．2 B ． C ． D ．6．已知函数，且在区间上单调递减，则的解析式可能是（）A ． B ．C ．D ．7．已知，则的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．108．已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是（）．{}{}230,1,2|A x xB =∈-≤=Z A B = {}0,1,2{}2,1,0,1,2--{}2,1,1,2--{}1,0,1,2-,a b ∈R 1133a b >>0.30.20.212,,log 0.32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b c <<b a c <<c a b <<b c a <<ln y x x =2ln y x x =1ln y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2,2P ()22:15C x y -+=1:10l ax y ++=a =1212-2-()()π0f x f x --=ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()sin f x x =()sin 2f x x =()cos f x x =()cos 2f x x =31,1,a b a b >>=lg 3log 10b a +()32,3,,2a b m ⎛⎫ ⎪⎝==⎭()2a b a + ∥b aA ．B ．C ．D ．9．已知椭圆在左、右焦点分别为，点P 在椭圆上，O 是坐标原点，，，则椭圆的离心率是（）ABCD ．二、填空题（将正确答案填在横线上）10．已知i 是虚数单位，，则________．11．在的展开式中，的系数为_________．12．过点作一条直线l 截圆所得弦长为则直线l 的方程是__________．13．有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为_____；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为_________．14．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF （如图②）．已知正六边形的边长为1，点M 满足，则_______﹔若点P 是线段BC 上的动点（包括端点），则的最小值是________．图① 图②15．已知函数，其中．若在区间上单．调递增，则m 的11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()22220,01x y a ba b +=>>12,F F 121||||F F PF =12120F PF ∠=︒()53i 14i z -=-z =5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1x -()3,2M 222440x y x y +-+-=()12AM AB AF =+ AM = AP DP ⋅ ()2,24,x x m f x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩0m >()f x ()0,+∞取值范围是________，若存在实数b ，使得关于x 的方程有三个不同的根，则m 的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，．（1）求a 的值；（2）求的值；（3）求的值17．已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角A ，B，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，求的面积．18．如图，是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，平面ABCD ，，，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，．（1）证明：直线平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值：（3）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆倍，点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆相切，切点在第一象限，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①求证：以PQ 为直径的圆经过原点O ；()f x b =ABC △π2,3b c B ===sin A ()sin 2B A -()2cos 2sin 1f x x x x =+-()f x ABC △()π2,,24f A C c ===ABC △P ABCD -PD ⊥,AD CD AB CD ⊥∥1,2PD AD AB CD ====12PF FB =BE ∥()2222:10x y C a ba b =>>+()2,122:2O x y +=②若l 的方程．20．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若有两个零点，求实数a 的取值范围．OPQ △()ln 1x f x ae x =--1a =()f x ()()1,1f ()()ln 1f x x g x x++=()1g x ≥()f x。