蒋垛中学2007-2008度高三数学第一学期期末试题

江苏省蒋垛中学2007-2008学年度高三数学第一学期期末试题一：填空题 1、复数10)11(ii +-的值是 2、设集合P={－1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，定义P*Q=},|),{(Q P y Q P x y x ⋃∈⋂∈ 则P*Q 的元素的个数为 个 3、函数x x x x f cos sin )(+=的导数=')(x f 4、各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，321a ，a 1成等差数列，则5443a a a a ++的值为5、已知函数)12(),4(cos )4(cos )(22πππf x x x f 则-+=等于 ；6、已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆12222=+by a x (a >b >0)上一点，若21PF PF ∙=0，tan ∠PF 1F 2=1/2，则此椭圆的离心率为 7、在△ABC 中，已知向量21||||0)||||(==⋅+AC AB AC AB 满足，则△ABC 的形状是8、已知a 、b 是两条直线，α、β是两个平面，有下列4个命题：①若a ∥b , b α⊂，则a ∥α；②若a ⊥b , a ⊥α, b α⊄，则b ∥α；③若α⊥β，a ⊥α, b ⊥β, 则a ⊥b ；④若a 、b 是异面直线，a α⊂, b α⊂, 则α∥β则其中正确的命题是 .（写出所有正确命题的序号）。

9、若关于x 的不等式：02|1|2<++-a x ax 则a 的取值范围为_______10、若数列}{n a 满足p a a nn =+221(p 为正常数，*N n ∈)，开始结束Print S ↓ ↓ N则称}{n a 为“等方比数列”.甲：数列}{n a 是等方比数列；乙：数列}{n a 是等比数列，则甲是乙的 条件。

（填：充分不必要，必要不是充分，充要，既不充分也不必要） 11、右边流程图执行的结果是 。

12、若不等式组,0220⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是 。

13、设函数P M x f x P x f x M x ax x f ≠⊂≥'=<=--=，若，集合}0)(|{},0)(|{1)(，则实数a 的取值范围是14、已知点),(,),(2211y x B y x A 是函数)0(sin <<-=x x y π上的两个不同点， 且21x x <，试根据图像特征判定下列四个不等式的正确性：①2211sin sin x x xx <；②21sin sin x x <；③sin )sin (sin 2121>+x x 221x x +；④2221sin sin xx >。

其中正确不等式的序号是 . 二：解答题15、（本题满分14分）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,且满足（2a －c ）cos B =b cos C . （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设k k A A ⋅>==且),1)(1,4(),2cos ,(sin 的最大值是5,求k 的值.16、（本题满分14分）一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）．（1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A —CDEF 的体积．F N CMED17、（本题满分14分）某家庭对新购买的商品房进行装潢，设装潢开始后的时间为t （天），室内每立方米空气中甲醛含量为y （毫克）；已知在装潢过程中，y 与t 成正比，在装潢完工后，y 与t 的平方成反比，如图所示。

（1）写出y 关于t 的函数关系式；（2）已知国家对室内甲醛含量的卫生标准是甲醛浓度不超过0.08毫克/立方米，按照这个标准，这个家庭装潢完工后，经过多少天才可以入住？18、（本题满分16分）设函数x x f ln )(=，xbax x g +=)(，函数)(x f 的图象与x 轴的交点也在函数)(x g 的图象上，且在此点有公切线. （1）求a 、b 的值；（2）对任意)()(,0x g x f x 与试比较>的大小.19、（本题满分16分）如图，已知⊙O: x 2 + y 2 = 1和定点A (2, 2)，由⊙O 外一点P (a , b )向⊙O 引切线PQ ，Q 为切点，且满足| PQ | = PA |。

（1）求实数a 、b 满足的关系式； （2）求线段PQ 的最小值；（3）是否存在以P 点为圆心，过A 且与⊙O 相切的圆，若存在，求出⊙P 的方程，若不存在，请说明理由。

20、（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设021n n Sb a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n ， 求证：123n T n >-．理科附加题1、（本题满分10分）假定某射手每次射击命中的概率为43，且只有3发子弹。

该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完。

设耗用子弹数为X ，求： （Ⅰ）目标被击中的概率； （Ⅱ）X 的概率分布； （Ⅲ）均值E(X)2、（本题满分10分）将参数方程⎩⎨⎧x ＝3sin 2θ，y ＝4cos2θ（θ为参数）化为普通方程，并指出它表示的曲线．3、（本题满分10分）已知n ∈N *，且n ＞1，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞1324．4、（本题满分10分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，AA 1＝6，D 是棱CC 1的中点． （1）证明：A 1D ⊥平面AB 1C 1； （2）求二面角B －AB 1－C 1的余弦值．训练题十四参考答案一：填空题1、－１2、10个3、 x x cos4、215- 5、21- 6、357、等边三角形8、②、③ 9、a ≥413+ 10、必要不是充分 11、20092008 12、10≤<a 或34≥a13、),1[+∞ 14、①③二、解答题： 15、解：（I ）∵(2a －c )cos B=bcos C ，∴（2sin A －sin C ）cos B=sin B cos C.……………………………………………2分 即2sin A cos B=sin B cos C+sin C cos B=sin (B+C)∵A+B+C=π，∴2sin A cos B=sin A.…………………………………………4分∵0<A<π,∴sin A ≠0.∴cos B=21. ∵0<B<π，∴B=3π.…………………………………………………………7分 （II ）n m ⋅=4ksin A+cos 2A.=－2sin 2A+4ksin A+1，A ∈（0，322）……………………………………8分 设sin A=t ，则t ∈]1,0(.则⋅=－2t 2+4kt +1=－2(t －k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1，∴t =1时，⋅取最大值. 依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23.………………………………………………14分 16、解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱住ADE —BCF ， 且AB =BC =BF =2，DE =CF =2.2 ∴∠CBF =.2π（1） 取BF 中点G ，连M G 、N G ，由M 、N 分别 为AF 、BC 的中点可得，N G ∥CF ，M G ∥EF ， ∴平面MN G ∥平面CDEF .∴MN ∥平面CDEF . （2）取DE 的中点H . …………7分∵AD =AE ，∴AH ⊥DE ，在直三棱柱ADE —BCF 中， 平面ADE ⊥平面CDEF ，面ADE ∩面CDEF =DE . ∴AH ⊥平面CDEF .∴多面体A —CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥， 在△ADE 中，AH =24,2=⋅=EF DE S CD EF 矩形， ∴棱锥A —CDEF 的体积为.382243131=⨯⨯=⋅⋅=AH S V CDEF 矩形…………14分 17、解: (Ⅰ)设直线:OA y at =,将点(40,0.5)A 代入直线方程,得a =180,即1(040)80y t t =<≤ ……………………………………………… 4分 又设2ky t=,将点(40,0.5)A 代入，得800k =,即2800(40)y t t =>……8分∴y 关于t 的函数是y =21,04080800,40t t t t⎧≤≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ ……………………… 10分(Ⅱ)由题意知, 28000.08x≤, 解得100x ≥或100x ≤-(舍)…………13分又1004060-=(天)答:按这个标准,这个家庭在装潢后60天方可入住. ………… 14分 18、解：（1）x x f ln )(=的图象与x 轴的交点坐标是（1，0），依题意，得0)1(=+=b a g ① ……………………2分又x x f 1)(='，2)(xba x g -='，且)(x f 与)(x g 在点（1，0）处有公切线， ∴1)1()1(='='f g 即1=-b a ② ……………………5分由①、②得21=a ，21-=b ……………………7分（2）令)()()(x g x f x F -= 则)2121(ln )(x x x x F --= x x x 2121ln +-= …………………10分∴0)11(2121211)(22≤--=--='xx x x F …………………12分∴)(x F 在) ,0(∞+上为减函数…………………13分当10<<x 时，0)1()(=>F x F ，即)()(x g x f >； 当1=x 时，0)1(=F ，即)()(x g x f =；当1>x 时，0)1()(=<F x F ，即)()(x g x f <. ………………16分 19、解:( Ⅰ)连接OP ,∵2221PQ PO PA =-=， …………………2分 ∴22221(2)(2)a b a b +-=-+-,即4490a b +-=. ………………………6分 （Ⅱ）设:4490l x y +-=221PQ PO =-，∴PQ = ∴当PO ⊥l 时，PO 的长度最小，即min ()OP∴min ()PQ ==. ………………………………………11分 （Ⅲ）假设存在满足条件的圆P .当O 与P 相外切时，设点P 坐标为(,)a b .……………………………………… 13分 两边平方得449a b +-= （*）∵449a b +-=0，∴（*）式无解，∴不存在这样的圆； ………………………………………14分 同理可得，当O 与P 相内切时也不存在. ………………………………… 15分 综上可知, 满足条件的圆P 不存在. ………………………………… 16分 20、解：（Ⅰ）∵)1(111--=a a aS ∴a a =1 当2n ≥时，11,11n n n n n a a a S S a a a a --=-=--- 1nn a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n n n a a a a -=⋅=； ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)(31)211(1)n n n n n aa a a a ab a a a ⋅----=+=-， 若{}n b 为等比数列， 则有2213,b b b =而21232323223,,,a a a b b b a a +++=== 故22232322()3a a a a a +++=⋅， 解得13a =， 再将13a =代入得3n n b =成立， 所以13a =． ………………9分（III ）证明：由（Ⅱ）知1()3nn a =，所以11111331131311()1()33n n n n n n n c +++=+=++-+- 111311311111131313131n n n n n n ++++--+=+=-+++-+-1212()3131n n +=--+-，…………12分 由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133n n n n ++-<-+- 所以1113112()2()313133n n n n n c ++=-->----， …………14分从而122231111111[2()][2()][2()]333333n n n n T c c c +=+++>--+--+--22311111112[()()()]333333n n n +=--+-++-11112()2333n n n +=-->-．即123n T n >-． …………………………16分理科附加题答案1、解：①第一次击中431=p 第二次击中1632=p第三次击中6433=p ……………………………………………………………6分2、由已知x ∈[0，3]，y ∈[－4，4]． …………2分 因为y ＝4(1－2sin 2θ)，sin 2θ＝x3， …………4分所以y ＝4－8x3，即8x ＋3y －12＝0． …………8分已知参数方程表示线段8x ＋3y －12＝0，x ∈[0，3]．…………10分 3、证明 (1)当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712＞1324，不等式成立．…………2分……10分(2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时不等式成立，即有1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＞1324，………4分则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋(12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1)＞1324＋(12k ＋1－12k ＋2)＞1324．…………综合(1)，(2)可知，对任何n ∈N *，且n ＞14、证明 (1)因为90ACB ∠=，∴BC AC ⊥．∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴BC ⊥∵1ACCC C =，∴BC ⊥平面11ACC A 以C 为坐标原点，CB 、1CC 、CA 分别为x 轴、y 轴、z 角坐标系，则()0,0,0C ，()1,0,0B ，(A ，()1C ，()1B ，(1A ，D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）10,A D ⎛= ⎝，()111,0,0B C =-，(1AB =， ∵0,011111=⋅=⋅AB D A C B D A ，∴111A D BC ⊥，11AD AB ⊥，即111A D B C ⊥，11A D AB ⊥． ∵1111B C AB B =，∴1A D ⊥平面11AB C ． …………6分（Ⅱ）设(),,x y z =n 是平面1ABB 的法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,011BB n AB n 得0,0.x ⎧=⎪=取1z =，则)=n 是平面1ABB 的一个法向量．又10,2A D ⎛=-⎝是平面11AB C 的一个法向量，且1,AD <n >与二面角11B AB C --的大小相等．由.662223)1,0,3()3,26,0(||||,cos 111-=⋅⋅--=⋅>=<n AD n AD用心 爱心 专心 115号编辑 故二面角11B AB C --的余弦值为6-．…………10分。