2017年高考数学一轮复习第十章立体几何初步第73课柱、锥、台、球的表面积、和体积课件

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高三文科复习：柱、锥、台、球的表面积和体积ppt课件

三棱锥体积探究：
A A1 1 1 B1 1 C1 1
A B
C C
高考原题再现：
例1：(2013年山东文4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是:
A . 4 5,8 C. 4( 5 1 ), 8 3
B. 4 5, D . 8,8
8 3
EF SO 2
VS h 底
1 V S底 h 3
S侧 ch
1 S侧 c h' 2
1 ' ' S ( c c ) h 侧 2
1 ' ' V h S SS S 3
2 V S h r h 底

S c h 2 rh 侧
S S rl 侧扇形
1 12 ' ' 2 1 ’ V h S SS S h R Rr r S S （ c c ） l ( R r ) l 侧扇环 3 3 2
2 S 4 R 球
1 1 2 V S h rh 底 3 3

4 V R3 3
正棱台
h
h'

圆台
1 ’ S S （ c c ） l ( R r ) l 侧扇环 2 1 1 ' ' 2 2 V h S SS S h R Rr r 3 3
பைடு நூலகம்

考点梳理：
注意：表面积，侧面积，底面积侧面积直棱柱正棱锥正棱台圆柱圆锥圆台球体积
D
1
D1 A1 B1

高考数学一轮复习第73课柱、锥、台、球的表面积与体积

1
1
体积的一半，所以 V ABCDEFG ＝ 2V 正方体＝ 2× 2× 2× 2＝ 4.
方法二：如图 2，连结 BD ，BG ，则 V ABCDEFG ＝ VBADGC ＋ V BEFGD
＝
1 3S
梯形
ADGC
·AB
1 ＋ 3S
梯形
EFGD ·BE
＝ 13× (1＋ 2) ×2× 12× 2＋13× (1＋ 2)× 2× 12× 2＝ 2＋ 2＝ 4.
(2) 求三棱锥 FBCE 的体积 .
Hale Waihona Puke 缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里
图1 解析： (1) 方法一：取 DF 的中点 G，连结 AG ， EG. 易证四边形 ABEG 为平行四边形，所以 BE∥ AG. 因为 BE ?平面 ADF ， AG ? 平面 ADF ，所以 BE ∥平面 ADF.
易证 AD ⊥平面
BPC ，所以
V
ABCD
＝
1 3
S△ BPC×
AD
＝
1× 3
1 2
×
a×
a2－
x
2
－
a2
×
x
＝
1
44
12
a×
（
3a2－
x2）
x2＝
1 12a×
－
x
2－
3a2 2
2
＋
9a4≤
a3，当且仅当
48
号，所以该四面体体积的最大值为
a3 8.
x 2＝3a2 ，即 2
x＝
6 2 a 时取等
范例导航
︵ (2) 过点 S 作 SQ⊥ AM 1，交 BB 1于点 P，交 AM 1 于点 Q，则 PQ 的长度即为所求 .

23高中数学“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积”知识点详解

高中数学“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积”知识点详解一、引言在高中数学中，立体几何是一个非常重要的部分，它涉及到三维空间中图形的性质、度量以及变换等内容。

圆柱、圆锥、圆台和球是立体几何中最为常见的几何体，它们的表面积和体积计算是高中数学的重点和难点。

本文将详细介绍这些几何体的表面积和体积的计算方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

二、圆柱的表面积和体积1.圆柱的表面积圆柱的表面积等于其侧面积与两个底面面积之和。

具体计算公式如下：表面积= 侧面积+ 2 ×底面面积= 2πrh + 2πr²= 2πr(h + r)其中，r为底面半径，h为高。

1.圆柱的体积圆柱的体积等于其底面面积与高的乘积。

具体计算公式如下：体积= 底面面积×高= πr²h三、圆锥的表面积和体积1.圆锥的表面积圆锥的表面积等于其侧面积与底面面积之和。

具体计算公式如下：表面积= 侧面积+ 底面面积= πrl + πr²= πr(l + r)其中，r为底面半径，l为母线长。

母线长l可以通过勾股定理求得：l = √(h² + r²)，其中h为高。

1.圆锥的体积圆锥的体积等于其底面面积与高的乘积的三分之一。

具体计算公式如下：体积= (1/3) ×底面面积×高= (1/3) × πr²h四、圆台的表面积和体积1.圆台的表面积圆台的表面积等于其侧面积与上、下底面面积之和。

具体计算公式如下：表面积= 侧面积+ 上底面面积+ 下底面面积= π(R + r)l + πR² + πr²= π(R + r)(l + R + r)其中，R为上底面半径，r为下底面半径，l为母线长。

母线长l可以通过勾股定理求得：l = √[(R - r)² + h²]，其中h为高。

1.圆台的体积圆台的体积可以使用以下公式计算：体积= (1/3) × (上底面面积+ 下底面面积+ √(上底面面积×下底面面积)) ×高= (1/3) × π(R² + r² + Rr) × h= (1/3) × π(R + r)(R² - Rr + r²)h / (R - r) （当R≠r时）= (1/3) × πh(R^2 + Rr + r^2) （当R=r时）五、球的表面积和体积1.球的表面积球的表面积等于其大圆的面积的4倍。

柱、锥、台、球的面积与体积

课题：柱、锥、台、球的面积与体积一、知识点梳理1、多面体的表面积多面体的表面积是各个侧面的面积和底面面积的总和. 2、旋转体的表面积（1）圆柱的表面积公式S = （其中r 为底面半径，l 为母线长）. （2）圆锥的表面积公式S = （其中r 为底面半径，l 为母线长）.（3）圆台的表面积公式S = （其中/,r r 为上、下底面半径，l 为母线长）. （4）球的表面积公式S = （其中R 为球半径）. 3、几何体的体积公式（1）柱体的体积公式V = （其中S 为底面面积，h 为高）. （2）锥体的体积公式V = （其中S 为底面面积，h 为高）.（3）台体的体积公式V = （其中/S S 、为上、下底面面积，h 为高）. （4）球的体积公式V = （其中R 为球的半径）.二、基础巩固练习1、一个正三棱柱的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的表面积为 .2、棱长为1的正三棱锥的全面积是 .3、一张长、宽分别为8cm 和4cm 的矩形硬纸板，将这硬纸板折成正四棱柱的侧面，则此四棱柱的对角线长为 .4、圆锥母线长6cm ，底面直径为3cm ，在母线SA 上有一点B ，AB =2cm ，那么由A 点绕圆锥侧面一周到B 点的最短距离为 .5、已知正四棱柱的底面面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则该正四棱柱的体积为 .6、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 .7、将半径为R 的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++的值为 .8、若正四棱锥的底面积是Q ，侧面积是S ，则它的体积为 .三、例题精选例1、一个正三棱锥的高和底面边长都为a ，求它的侧面积以及侧棱与底面所成的角.例2、将一个底面圆的直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为x ，对角线长为2，截面的面积为A . （1）求面积A 的以x 为自变量的函数式；（2）求出截得棱柱的体积的最大值.例3、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切.将球取出后，容器内的水深是多少？左视图主视图俯视图单位：mmA M CO 1 B O r例4、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为a 的正三角形，且1AA 与,AC AB 所成角均为60︒，且1A A AB =，求该三棱柱的侧面积和体积例5、如图所示，等腰ABC ∆的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点,B D 的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥.现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使.PE AE ⊥记,()BE x V x =表示四棱锥P ACFE -的体积.（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值.四、反馈练习1、正四棱台的上下底面边长分别为方程29180x x -+=的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其高与斜高分别为 .2、正方体的全面积为2a ，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为 .3、体积为352cm 的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为 .4、已知圆1O 是半径为R 的球O 的一个小圆，且圆1O 的面积与球O 的表面积的比值为29，则线段1OO 与R 的比值为 .5、已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0OA OB OC ++=，则正三棱锥P ABC -的体积为 .6、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在楞1DD 上运动，点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点P 的轨迹的面积是 .7、正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、中点，MN AM ⊥，若SA =，则此三棱锥S ABC -外接球的表面积是 .8、已知直平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为3，60BAD ∠=︒，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与其一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为 . 9、如图，线段AB α⊂平面，线段CD ⊂平面β，且平面//α平面,,,,AB CD AB CD a βαβ⊥==的距离为h ，求四面体ABCD 的体积.10 、已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为16π的小球？ ABC DOA 1B 1C 1A BC FE D PA 1ABCDB 1C 1D 1 M N AB CD βα。

第73课柱锥台球的表面积和体积

第73课柱、锥、台、球的表面积和体积一、教学目标能运用公式求柱、锥、台、球的表面积和体积.二、知识梳理【回顾】∙阅读课本必修2第47页至59页，理解以下内容.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式及其关系；圆柱、圆锥、圆台的体积公式及其关系；柱体、锥体、台体的体积公式及其关系；球的表面积、体积公式．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

找出学生错误的原因，设计“问题串”，将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。

点评时要简洁，要点击要害。

2、诊断练习点评题1．若圆锥的侧面积为π2，底面积为π，则该圆锥的体积为__________.【分析与点评】本题是容易题，主要是考查圆锥侧面积公式和体积公式的正确使用．题2．如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是__________.【分析与点评】该多面体是正四棱锥，侧棱长为1，底面正方形外接圆的半径等于22，由侧棱、底面正方形外接圆半径及高之间关系求解.题3．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.【分析与点评】正方体外接球半径是正方体棱长的3倍得到球的半径求解.变式1：棱长分别是2，3，4的长方体外接球的体积是________.变式2：棱长都是2的正四面体的外接球的表面积为________.题4．五棱台的上、下底面均为正五边形，边长分别是8cm 和18cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13cm ，则它的侧面积为_________cm 2.【分析与点评】先求出斜高等于12cm ，再运用公式求侧面积.3、要点归纳（1）注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用.（2）如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加.（3）注意求体积的一此特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用方法.四、范例导析例1 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点的最短路线的长为____________. 【教学处理】先将“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点”改为“沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A 点”组织学生讨论解法，在有解决方案后，改回原题．如能配合实物模型和细线演示一，效果更好．【引导分析与精讲建议】1、学生大多接触过“蚂蚁爬火柴盒”问题，先提醒学生对照条件，判断能否用同样的方法解决？2、“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点”与“沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A 点”的差别是什么？如何调整方案？3、可继续把条件“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点”变换成：“沿着三棱柱的侧面绕行十周到达A 点”和“沿着三棱柱的侧面绕行一周多（不足两周）到达C 点”让学生讨论如何调整方案． 1C 1A 1B C A B ADQ例2 圆锥高323，侧面展开图的中心角为6π5；（1）求圆锥底面半径及母线长；（2）距离底面多高的平面截其所得圆台有内切球；（3）求上述圆台的侧面积S 及体积V.【教学处理】第（1）小题让学生自己解决，第（2）（3）两小题先结合轴截面图讨论圆锥的内切球与圆台内切球的联系及圆锥内切球与圆锥的联系．【引导分析与精讲建议】1、圆锥母线l ，底面圆半径r 、圆锥高h 及侧面展开图的中心角θ的关系是2 π r = θ l ，且l 2 = h 2 + r 2.运用方程组知识求解.2、圆锥是否有内切球？—→如何求圆锥的内切球半径？—→圆台的高与圆锥内切球半径的关系？3、可以落实到平面图形（轴哉面）中，运用“图形相似”或“解直角三角形知识”求解．例3 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．（1）求证：BE ∥平面PDF ；（2）求证：平面PDF ⊥平面PAB ；（3）求三棱锥P ﹣DEF 的体积．【教学处理】本题中，（1）（2）两小题属于常规题型，可由学生自己独立完成，（3）小题属于难题，师生共同探讨完成.【引导分析与精讲建议】第一问：如果由线面平行证明，教师完善平面内那条“线”的寻找方法．如果由面面平行得到，注意提醒学生书写上的注意点。

高中数学精品课件：柱、锥、台体的表面积和体积

。
（2）一个圆柱的底面积是S，其侧面
展开图是正方形，那么该圆柱的侧面
积是
。
（3）一个圆锥的底面直径是6cm，高是4cm，则该圆锥的表面积是。
例3.圆台的上、下底面半径分别是10cm和 20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，那么圆台的表面积是多少？
例4.如图所示，在长方体ABCD-A’ B’ C ’ D’ 中，用截面截下一个棱锥C-A’DD’，求棱锥
C-A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。
D’
C’
A’
B’
D
C
A
B
例5.已知，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为三个全等的等腰直角三角形，如图所示，如果直角三角形的直角边长为1，求此几何体的体积。
A
正视图侧视图
S
C
俯视图
B
例6.圆台上下底面面积分别是 ,4，侧面积是，这6个圆台的体积是。
半径为R的球的体积为 V 4 R3
3
半径为R的球的表面积为 S 4R2
基础训练：
1.直径为6的球的表面积和体积分别是多少？
2.若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的
表面积扩大到原来的
倍。
3.把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆
锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径
为
。
二.球的切、接问题
3 2
1 1
3 2
思考3:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？
V 1 Sh 3
高h
底面积S
思考5:根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？
设台体的上、下底面面积分别为S′、 S，高为h，那么台体的体积公式是什么？

柱体、锥体、台体的表面积和体积课件

规律方法 (1)求几何体的体积，必须先确定底面积和高，然后运用体积公式，其间要注意到平面图形的应用；(2)对于组合体，可采用“割补法”转化为简单几何体求解．
题型三球的体积与表面积【例 3】在球内有相距 1 cm 的两个平行截面，截面面积分别是 5π cm2 和 8π cm2，球心不在截面之间，求球的表面积和体积． [思路探索]
【示例】在底面半径为 R，高为 h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值． [思路分析] 作出其轴截面图，如图所示，求出圆柱的侧面积关于高 x 的函数，然后求函数的最值．
解如图，设圆柱的高为 x，其底面半径为 r，则Rr ＝h－h x， ∴r＝Rhh－x. 圆柱的侧面积 S 侧＝2πrx＝2πhR·x(h－x) ＝－2πhR(x2－hx) ＝－2πhRx－h22－h42＝－2πhRx－h22＋πh2R.
(3)台体的表面积一个棱台的侧面展开图由若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各个梯形的面积之和，而圆台的侧面展开图为扇环，其侧面积可用大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，所以它们的表面积公式为 S 表面积＝S 侧＋S 上底＋S 下底．
2．柱、锥、台体的体积之间的关系
3．求几何体的体积与表面积需注意的问题 (1)求几何体的表面积要弄清楚几何体侧面展开图的形状及各几何量的大小． (2)求柱体、锥体、台体的体积关键是找到相应的底面积与高，常需将空间问题平面化． (3)球的有关问题关键是求出半径，注意球心在解题中的作用．
又 PE＝ PF2－EF2＝

27a2－a22＝
6 2 a.
∴V 棱锥＝13S 底 h＝13a2× 26a＝ 66a3，(10 分)
∴r＝3SV棱锥棱全锥＝3×7＋661aa32＝

my柱、锥、台、球表面积与体积水平复习(黑)PPT课件

my柱、锥、台、球表面积与体积水平复习(黑)ppt课件
• 柱体表面积与体积 • 锥体表面积与体积 • 台体表面积与体积 • 球体表面积与体积 • 练习与巩固
01
柱体表面积与体积
圆柱体
圆柱体表面积
圆柱体的表面积由两个底面和一个侧面组成。每个底面的面积是πr^2，侧面的面积是2πrh，因此圆柱体的总表面积是2πr^2 + 2πrh。
05
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基础概念
详细描述
设计一系列基础题目，涵盖柱、锥、台、球表面积与体积的基本计算公式和概念，帮助学生掌握基础知识。
进阶练习题
总结词
应用与拓展
详细描述
在基础题目之上，增加一些难度较高的题目，引导学生运用所学知识解决实际问题，培养他们的思维能力和解题技巧。
棱锥体的体积
棱锥体的体积可以通过公式V=1/3s₁h计算，其中s₁是底面的面积，h是棱锥体的高。这个公式基于几何学中的相似三角形原理。
03
台体表面积与体积
圆台体
圆台体的表面积
圆台体的表面积由底面和顶面的圆周以及侧面组成。其表面积公式为：表面积 = π * (r1 + r2) * (h + sqrt(r1^2 + r2^2))，其中r1和r2分别为圆台上下底面的半径，h为圆台的高。
圆柱体体积
圆柱体的体积是底面积乘以高，即πr^2h。
棱柱体
n棱柱体表面积
n棱柱体的表面积由底面和侧面组成。底面是一个n边形，每个内角的补角是180°/n，底面的面积是s^2*sin(180°/n)，侧面由n个矩形组成，每个矩形的面积是s*h，因此 n棱柱体的总表面积是s^2*sin(180°/n)*n + s*h*n。

1.3 .1柱、锥、台的表面积与体积

棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝BC＝2 2，知识点 3 多面体的展开问题
，E、5．F如图分，在别直是三棱柱 AAAB1C，－AC1B11CB11中的，A中 B＝点 BC＝，2 沿 2，棱的最短路径的长度为________． CC1＝4，∠ABC＝90°，E、F 分别是 AA1，C1B1 的中点，沿棱
知识点 1 多面体的表面积
1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，三棱锥 D1－AB1C 的表
面积与正方体的表面积的比为(
)
A．1∶1 C．1∶ 3
Hale Waihona Puke B．1∶ 2 D．1∶2若一正四棱台的上底、下底面边长分别为 2,4，
其表面积为 80，求该四棱台的高．
【解】设该正四棱台的斜高为 h′，高为
柱的表面从点 E 到点 F 的最短路径的长度为________．
已知圆柱的高为 h，底面半径为 R，轴截面为矩形 A1ABB1，在母线 AA1 上有一点 P，且 PA＝a，在母线 BB1 上取一点 Q，使 B1Q＝b，则圆柱侧面上 P、Q 两点的最短距离为多少？
简单几何体的侧面积
几何体
侧面展开图
S直棱柱侧=___ch c为底面__周__长_
h为__高__
正棱锥正棱台
S正棱锥侧=__12___c_h_′_ c为底面___周__长_ h′为__斜__高__，即侧面等腰三角形的高
S正棱台侧=__12_(_c_+_c_′__)_h′ c′为上底面___周__长 c为下底面____周__长 h′为___斜_高__，即侧面等腰梯形的高
3 ∴S 表＝2S 底＋S 侧＝2×12×4×4× 23＋4×2×3 ＝24＋8 3.
如图所示，已知三棱锥 A－BCD 的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于 1 且∠BAC＝30°， M，N 分别在棱 AC 和 AD 上，求 BM＋MN＋NB 的最小值．

柱、锥、台、球的表面积与体积精例讲解教学课件PPT

12
直 8观
图
1
V柱
( 12
2
)2
8
36 8 288
•直观图2
V柱
(8
2
)2
12
16 12 192
例4：
5
在Rt△ABC中，
AC=3，BC=4， B
4
AB=5，求分别以三
角形的三边为旋转轴
旋转一周所成的旋转
B
体的表面积与体积。
54
A 3C
A 3 C
B 4
12 5 C5
3 A
2r
S侧 rl
S r2 rl r(r l)
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么．
S侧 1 2 r l l 1 2 rl22r(l l) rl (rl rl rl)
r 'Ol’
2r' 2r
l
r l r l l
rO
S侧 (r r)l
变式1：一几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
2cm
正视图
1 cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
这个几何体是
由正四棱锥和长
_方__体_ 组合__而_成，
它的表面积是 _1_2__4__3_c_m_2，
它的体积是
4___34___2__c_m. 3
•例3.圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆
柱的体积。
•侧面展开图
S (r2 r2 rl rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r O
S (r'2 r 2 r'l rl )
r r
r 'O’
r 0
l