2018年高考数学热门考点与解题技巧考点8二项式定理

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2018届高三理科数学答题模板二项式定理

二项式定理【二项式定理】它共有n+1项，其中）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项.【二项式系数的性质】（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。

【二项式定理的特别提醒】①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。

③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。

【2017新课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【考点】二项式定理【点拨】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.答题思路【命题意图】本类题主要考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力.【命题规律】高考对二项式定理的考查主要考查利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型多以选择题、填空题的形式考查.【答题模板】解答本类题目，以2017年高考题为例，一般考虑如下三步：第一步：首先求出二项展开式的通项因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+；第二步：根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ⋅=第三步：得出结论 2x 前系数为151530+=【方法总结】1．熟记二项式定理及通项 (1)定理公式)()(*110N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n ∈+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=+--叫做二项式定理．(2)通项k k n k n k b a C T -+=1为展开式的第1+k 项．2．活用二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即mn nm n C C -=. (2)增减性与最大值：二项式系数k n C ，当21+<n k 时，二项式系数是递增的；当21+≥n k 时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值．当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2，即n nn n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即131202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n C C C C .3．求展开式系数最大项：如求),()(R b a bx a n∈+的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为121,,,+⋅⋅⋅n A A A ，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧≥≥+-11k k k k A A A A 从而解出k 来，即得． 4.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nb ax +、),,()(2R c b a c bx ax n ∈++的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1=x 即可；对形如()n by ax +的式子求其展开式各项系数之和，只需令1==y x 即可．5．若n n x a x a x a a x f +⋅⋅⋅+++=2210)(，则:)(x f 展开式中各项系数之和为)1(f ，奇数项系数之和为2)1()1(420-+=⋅⋅⋅+++f f a a a ，偶数项系数之和为2)1()1(531--=⋅⋅⋅+++f f a a a .6.某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与b a ,的取值有关，而二项式系数与b a ,的取值无关．1．【2017年高考全国Ⅲ卷，理4】5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.2.【2017年高考山东卷，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则.【答案】【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令得：，解得．【考点】二项式定理【点拨】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.3．【2017年高考浙江卷，理13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案】16，4【考点】二项式定理【点拨】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．4.【2017安徽阜阳二模】()5212x⎫+-⎪⎭的展开式的常数项是（）A. 5B. 10-C. 32-D. 42- 【答案】D5. 【2017山西三区八校二模】若12z =+,且()443201234x z a x a x a x a x a -=++++,则2a 等于( )A. 12-B. 3-+C. 12D. 3-- 【答案】B【解析】222241166322a C z ⎛⎫⎛⎫===-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选B.6.【2017陕西咸阳二模】设0sin a xdx π=⎰，则61x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为（）A. -20B. 20C. -160D. 160 【答案】D【解析】()()()0cos |cos cos02,a x ππ=-=---= 所以66(=（展开式的通项为6262162,rrrr T C x --+=⋅⋅令620,3,2rr -==展开式的常数项为33462160.T C =⋅=选D7.【2017河北石家庄二中三模】5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是展开式的常数项为（）A. 120B. 40C. 40-D. 80 【答案】B8.【2017河北衡水中学押题卷】二项式1(0,0)nax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（）A. 4B. 8C. 12D. 16 【答案】B【解析】二项式1(0,0)nax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则10n = ，二项式101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 展开式的通项公式为：()1010102110101rrrr r r rr T Cax C a b x bx ----+⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，由题意有： 282102137331103C a b T T C a b-+-+== ，整理可得： 8ab = .本题选择D 选项.9.【2017河北衡水三模】632343ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（） A.1172 B. 632C. 57D. 33 【答案】A【解析】由题意得()63211316433a a ⎛⎫-+-=⇒= ⎪⎝⎭ ,所以展开式中3x 项的系数为()()221661311733342C C ---= ,选A. 10．【2017河北保定一模】()()6411x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，则()()3,00,3f f +=A. 9B. 16C. 18D. 24 【答案】D11．【2017安徽马鞍山二模】())731x -+的展开式中3x 的系数为____．（用数字填写答案）【答案】14【解析】())731x -+的展开式中3x 的系数为13773213514C C -+=-+= ,故答案为14 .12．【2017重庆二诊】在522a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x -的系数为320，则实数a =__________．【答案】2【解析】因为展开式的通项公式()5552155222rrrr r r r rr a T Cx a C x x ----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令5343r r -=-⇒=，则533352320a C -=，即382a a =⇒=，应填答案2。

【步步高】2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义：第十章10.3二项式定理

1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1.C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n －m n .(3)n 是偶数时，12n T+项的二项式系数最大；n 是奇数时，12n T+与112n T++T 项的二项式系数相等且最大．(4)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×)1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．C m n B．C m＋1nC．C m－1n D．(－1)m－1C m－1n答案 D解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n(－1)m －1. 2．(2016·四川)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4答案 A解析由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.3．使(3x ＋1x x )n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 (3x ＋1x x)n 的展开式中的第k ＋1项为C k n ()323k n kx x -－＝C k n 3n －k·52k xn -.若展开式中含常数项，则存在n ∈N *，k ∈N ，使n －52k ＝0.故最小的n 值为5.4．在(x2－)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案 7解析由题意知n2＋1＝5，解得n ＝8，(x2－)8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k()k ＝(－1)k 2k －8C k 848-3k x，令8－4k3＝0，得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C68＝7.题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2016·全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案)(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60答案(1)10(2)C解析(1)(2x＋x)5展开式的通项公式T k＋1＝C k5(2x)5－k·(x)k＝C k525－k52kx，k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－k2＝3，解得k＝4，得T5＝C4525－445-2x＝10x3，∴x3的系数是10.(2)方法一利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.方法二利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23＝30.故选C.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.(2)(2016·山东)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. 答案 (1)3 (2)－2解析 (1)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.(2)∵T k ＋1＝C k 5(ax 2)5－k⎝⎛⎭⎫1x k ＝a 5－k C k 55102k x －，∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．(1)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 (1)－20 (2)12解析 (1)x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.(2)设通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例3 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，①令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.(1)(2016·北京海淀区模拟)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 B解析由题意得a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，∴13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验符合题意，故选B.(2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的结果是多少？解当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.题型三二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位) 答案 (1)D (2)1.172解析 (1)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172. 思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．(1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值．解原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n )＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.14．二项展开式的系数与二项式系数典例 (1)(2016·河北武邑中学期末)若(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)(2017·河北邯郸一中调研)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.错解展示解析 (1)(x ＋3x )n 展开式中，令x ＝1可得4n ＝1 024，∴n ＝5，∴(x －3x )n 展开式的通项T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532k x -，令5－3k2＝1，得k ＝1. 故展开式中含x 项的系数为C 15＝5.(2)a 1＋a 2＋…＋a 7＝C 17＋C 27＋…＋C 77＝27－1.答案 (1)5 (2)27－1 现场纠错解析 (1)在(x ＋3x)n 的展开式中，令x ＝1，可得(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5.故(x －3x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532k x -，令5－3k2＝1，得k ＝1，故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4的系数是－35，∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1.∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中，令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.答案 (1)－15 (2)1纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10答案 C解析因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.2．(2015·湖南)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项T k ＋1＝C k 552k x -(－1)k a k ·2k x -＝(－1)k a k C k 552k x -，令52－k ＝32，则k ＝1，∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20B ．－15C ．15D ．20答案 C解析设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx ＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 4．(2015·湖北)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212答案 A解析由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 5．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( )A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.6．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 答案 D解析在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3 ＝32(3n －1)． 7．若(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( ) A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或9答案 D解析由于(x ＋a )2＝x 2＋2ax ＋a 2，而(1x－1)5的展开式通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5·x k －5，其中k ＝0,1,2，…，5.于是(1x－1)5的展开式中x －2的系数为(－1)3C 35＝－10，x －1项的系数为(－1)4C 45＝5，常数项为－1，因此(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a ×5＋a 2×(－1)＝－a 2＋10a －10，依题意－a 2＋10a －10＝－1，解得a 2－10a ＋9＝0，即a ＝1或a ＝9.8．(2016·北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)答案 60解析展开式的通项T k ＋1＝C k 6·16－k ·(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k .令k ＝2，得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.9．(2016·天津)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 答案－56解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 8x 16－3k ，当16－3k ＝7时，k ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.10．(2016·嘉兴市高三上学期基础测试)在(2－x )6的展开式中，含x 3的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答)答案 20 －160解析 (2－x )6展开式的通项T k ＋1＝C k 626－k (－x )k ，令k ＝3，∴含x 3的二项式系数为C 36＝20，系数为C 36×23×(－1)3＝－160.11．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7 ＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.13．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数， ∴原式能被31整除．*14.若(x)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n⇒n ＝8.(1)设展开式中的有理项为T k ＋1，由T k ＋1＝C k 8(x )8－k)k ＝(12)k C k 81634kx -，∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8.故有理项为T 1＝(12)0C 0816304x -⨯＝x 4， T 5＝(12)4C 4816344x -⨯＝358x ， T 9＝(12)8C 8816384x -⨯＝1256x 2. (2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧ (12)k C k 8≥(12)k ＋1C k ＋18，(12)k C k 8≥(12)k －1C k －18⇒k ＝2或k ＝3.故展开式中系数最大的项为T 3＝(12)2C 2816324x -⨯＝752x ， T 4＝(12)3C 3816334x -⨯＝774x .。

2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第84讲二项式定理的应用

第84讲二项式定理的应用【知识要点】1、二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(①项数：展开式中总共有(1)n +项，而不是n 项；②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改.()na b +与()nb a +是不同的；③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列.b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列.各项的次数和等于n .2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =⋅⋅⋅）（1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项；（2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数；（3）注意0,1,2,,r n =⋅⋅⋅.3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等.即m n C =m n n C -.（2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大.（3）所有二项式系数的和等于2n，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C4、二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()n n f x a a x a x a x =++++0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=，0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-5、证明组合恒等式常用赋值法.6、二项式系数展开式的系数最大项和二项式系数最大项.（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC 取得最大值.如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值. （2）系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来. 【方法讲评】【例1】在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？【点评】（1）要理解二项式的展开式的系数的定义，它指的是除去n x ，剩下的所有部分，而二项式的系数则指的是通项里的组合数.(2)二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.【反馈检测1】已知n x x )(3-的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512．（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；（2）求nx x x )1()1()1(43-++-+- 展开式中2x 项的系数．【例2】求二项式9展开式中的有理项.【点评】有理项指的是x的指数为整数，可以是正整数，也可以是负整数和零.【反馈检测2】已知n的展开式中的二项式系数之和为256.（Ⅰ）证明：展开式中没有常数项；（Ⅱ）求展开式中所有有理项.【例3】已知二项式122nx⎛⎫+⎪⎝⎭．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．（2）01279n n n C C C ++=，解得12n =，设1k T +项系数最大，由于()1212121121422x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭41112121112124444k k k k k k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩，9.410,10k k <<=，第11项最大1016896x ．【点评】（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC 取得最大值.如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值.（2）系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来. 【反馈检测3】已知在2)nx的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1．（1）求展开式中6x 的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；．（3）求231981...9n nn n nn c c c -++++的值.【例4】求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数.【点评】（1）对于三项式的展开式教材上没有讲过，教材上只讲了二项式的展开式. 所以我们可以想办法把三项式转化成二项式，再利用二项式的展开式的性质解答. (2)对于三项式的展开式的研究，一般转化成二项式的展开式研究，实际上就是数学的一个转化的思想的运用,把陌生的转化为熟悉的问题解答. 【反馈检测4】5)21(-+xx 展开式中常数项为（） A ．252 B ．－252 C ．160 D ．－160【例5】在103)1()1(x x +-的展开式中，求5x 的系数. 【解析】103)1()1(x x +-1032)1)(331(x x x x +-+-=，要得到5x ，当第一个因式取1时，10)1(x +展开式取5次项，5x 项系数为510C 当第一个因式取x 3-时，10)1(x +展开式取4次项，5x 项系数为4103C - 当第一个因式取23x 时，10)1(x +展开式取3次项，5x 项系数为3103C 当第一个因式取-3x 时，10)1(x +展开式取2次项，5x 项系数为210C - ∴5x 项系数为510C 4103C -+3103C 210C -=-63【点评】两个二项式相乘的系数问题，一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合研究.【反馈检测5】610(1(1+求展开式中的常数项.【例6】已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，求：（1）127a a a ++⋅⋅⋅+；（2）()()2202461357a a a a a a a a +++-+++．【点评】二项式展开式的系数和与差的问题，一般利用赋值法解答，主要是给二项式的展开式的变量赋一些特殊值，如：1，-1，0等.【反馈检测6】（1）设n n n x a x a x a a x ++++=- 2210)12(展开式中只有第5项的二项式系数最大．则||||||||210n a a a a ++++ = ．（2）1＋210101021011024C C C +⋯++＝．【例7】证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除【点评】整除性的问题，一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究，拆数是关键，本题中指数的底数是“3”，先变成“9”，再把“9”拆成“8+1”，再利用二项式定理研究就方便了.【反馈检测7】求证：15151-能被7整除.【例8】求证：2<（1+n）n <3（2,n n N *≥∈）. 【证明】（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1 +C 2n （n 1）2+…+C n n （n 1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n+…+C nn ×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×nnn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ <2+!21+!31 +!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n =2+211])21(1[211---n =3－（21）1-n <3.显然（1+n 1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n×31n+…+C nn ×n n 1>2.所以2<（1+n 1）n <3.【点评】看到(na b +）一般要联想到是否能利用二项式定理解答，这是一个观察联想的能力.【反馈检测8】 12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=【例9】求6998.0的近似值，使误差小于001.0；【点评】由nnn n n n x x x x C C C ++++=+...1)1(221，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时， n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式： nx x n +≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+. 【反馈检测9】某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第84讲：二项式定理的应用参考答案【反馈检测1答案】（1）550101x x C T ==，446107210x x C T ==；（2）233+．【反馈检测2答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）所有有理项为：423518256x x x ，，.【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）依题意得：2256n =，8n ∴=()384841812rr rrr rr r C T C x --+⎛==-⋅ ⎝令3404r -=得163r =*∉N ∴展开式中没有常数项.（Ⅱ）当048r =，，时，1r T +为有理项.∴展开式中所有有理项为：423518256x x x，，. 【反馈检测3答案】（1）672-；（2）325376x -；（3）91109-．【反馈检测3详细解析】（1）由1:14)2(:)2(2244=--n n C C ，解得9n =．因为通项：2522791)2(r rr r xC T -+-=，令3,625227=∴=-r r，于是系数为672)2(339-=-C ．（2）设第1r +项系数绝对值最大，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--++119911992222r r r r r r r r C C C C解得20317≤≤r ，于是r 只能为6 所以系数绝对值最大的项为27303662229(2)5376C xx ---=．（3）原式=()911999991999292191090=-++++C C C C []1)91(9-+=91109-．【反馈检测4答案】B【反馈检测5答案】4246【反馈检测5详细解析】436103412610610(1(1m n m nm n m nC x C x C C x --+⋅=⋅⋅展开式的通项为 0,3,6,0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,m m m m n m n n n n ===⎧⎧⎧=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⎨⎨⎨===⎩⎩⎩其中当且仅当即或或0034686106106104246C C C C C C ⋅+⋅+⋅=时得展开式中的常数项为.【反馈检测6答案】(1)6561；（2）59049.【反馈检测6详细解析】（1）由二项式系数的对称性，8=n （2）0123||,||,||,||,||n a a a a a ⋅⋅⋅即为8)12(+x 展开式中各项的系数在8)12(+x 中令1=x ，∴65613||||||||89210==++++a a a a （2）在10(1)x +＝r rr x C 1010∑=中，令2x =，得1＋25904932410101010210110==+⋯++C C C【反馈检测7答案】见解析.【反馈检测8答案】1(71)6n - 【反馈检测8详细解析】012233(16)6666n n n n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距， 123211221666(666)6n n n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=- 【反馈检测9答案】耕地平均每年至多只能减少4亩．【反馈检测9详细解析】设耕地平均每年减少x 亩，现有人口为p 人，粮食单产为m 吨/亩，依题意 ()()()(),%101p 10m %11p x1010%221m 4104+⨯≥+⨯-⨯+⨯化简：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯-⨯≤22.101.011.1110x 103 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅+⨯+⨯+-=2210110301.0C 01.0C 122.11.1110 3 1.1101 1.1045 4.11.22⎡⎤≈-⨯≈⎢⎥⎣⎦4x ≤∴（亩）答：耕地平均每年至多只能减少4亩．。

二项式定理知识点总结及例题分析-高中数学2018版

高中数学-二项式定理知识点总结及例题分析一、基本知识点1．二项式定理(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n. (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 方法分析1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大． 2．二项展开式系数最大项的求法：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得．例题讲解考点一求二项展开式中的项或项的系数 1 (1)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20(2)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x n的展开式中第4项为常数项，则常数项为( )A ．10B ．－10C ．20D ．－20解析： (1)由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y3的系数为－20.(2)由题意可知常数项为T 4＝C 3n (x )n －3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝(－1)3C 3n x 3n －156，令3n －15＝0，可得n ＝5.故所求常数项为T 4＝(－1)3C 35＝－10，选B.答案： (1)A (2)B 变式练习1．若二项式⎝⎛⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B ．54 C ．1 D ．242.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数次幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 3.⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36 D ．384．(2014·山东卷)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．5．(2014·皖南八校联考)(x 2－4x ＋4)5的展开式中x 的系数是________．答案1C 2.B 3.D 42 5-5120 考点二二项式系数及项的系数问题(1)(2014·辽宁五校联考)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是A ．360B ．180C ．90D ．45(2)(2014·河北衡水中学五调)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝________.解析： (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102rx 5－52r ，所以r ＝2时，常数项为180.(2)∵T r ＋1＝C r 7x7－r(－m )r,0≤r ≤7，r ∈Z ，∴C 37(－m )3＝－35，∴m ＝1，令x ＝1，a 0＋a 1＋…＋a 7＝(1－1)7＝0，令x ＝0，a 0＝(－1)7＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.答案： (1)B (2)1变式练习1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．22．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3考点三二项式定理的应用、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．1 1D ．12 解析： 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝522 012＋C 12 012×522 011×(－1)＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋(－1)2 012＋a 能被13整除，只需(－1)2 012＋a ＝1＋a 能被13整除即可．∵0≤a <13，∴a ＝12，故选D.答案： D。

高中数学二项式定理知识点总结

高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。

根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。

二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。

例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。

而组合数实际上就是二项式展开中的系数。

因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。

3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。

例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。

4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。

通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项
解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为 .
练：
解：
练：
解：
题型十一：整除性；
例：证明：能被64整除
证：
由于各项均能被64整除
1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是
1、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是
2、 2、
2、4n
3、的展开式中的有理项是展开式的第项
练：求展开式中的系数
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式的展开式中的常数项
练：求二项式的展开式中的常数项
练：若的二项展开式中第项为常数项，则
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式展开式中的有理项
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若展开式中偶数项系数和为，求 .
如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为，设第项系数最大，应有，从而解出来。
题型一：二项式定理的逆用；
例：
练：
题型二：利用通项公式求的系数；
例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数
3、3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35
5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
5、 ,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是

【推荐】专题44 二项式定理-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍

专题44 二项式定理2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍1.本部分在高考中经常考查，主要有求二项展开式中的某一特定项、特定项的系数、已知某项的值求参数值、赋值法求值、利用二项展开式作不等放缩或近似计算等2．命题形式多种多样，主要以选择题、填空题的形式出现，有时涉及函数与方程的思想方法热点题型一求展开式中的指定项或特定项例1、已知在(3x －123x)n 的展开式中，第6项为常数项。

(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项。

【热点题型】【高频考点解读】(3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z0≤r ≤10r ∈Z 。

令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ， ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数。

∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8。

所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2。

【提分秘籍】解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项。

【举一反三】⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2解析：由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a xr ＝C r 5·x 5－2r·a r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，由C 15·a＝10，解得a ＝2。

答案：D热点题型二二项式系数或项系数的和问题例2、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|。

高考数学技巧如何利用二项式定理解决问题

高考数学技巧如何利用二项式定理解决问题在高考数学中，二项式定理是一项非常重要的知识点，它为我们解决一些复杂的数学问题提供了有力的工具。

通过灵活运用二项式定理的技巧，我们可以更加高效地解决各类数学问题。

本文将通过几个实例，向大家介绍如何利用二项式定理解决高考数学中的难题。

首先, 让我们来看一个典型的例子：已知(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，我们可以利用这个二项式定理的公式来解决问题。

假设我们要求解(a+1)^2，首先我们可以将(a+1)^2 拆解为 (a+1)(a+1)，然后按照分配律，我们有：(a+1)(a+1) = a(a+1) + 1(a+1)= a^2 + a + a + 1= a^2 + 2a + 1通过这种方法，我们可以快速地求得(a+1)^2的结果，并且不需要展开整个式子。

这种技巧在高考数学中经常会遇到，掌握了二项式定理，我们可以更加灵活地运用相关的公式，从而提高解题速度。

除了上述的例子，二项式定理还可以帮助我们解决组合数学中的问题。

下面，让我们来看一个组合数学的问题：如果有8个人参加一个比赛，其中取3个人进行比赛，问有多少种可能的选择方式？我们可以通过使用二项式定理中的组合公式来解决这个问题：C(8, 3) = 8! / (3!(8-3)!)= 8! / (3!5!)= 8 * 7 * 6 / (3 * 2 * 1)= 56因此，共有56种可能的选择方式。

通过利用二项式定理中的组合公式，我们可以快速计算出组合数的结果，帮助我们解决类似的问题。

除了上述的例子，二项式定理还可以在高考数学的概率问题中发挥重要作用。

下面，让我们来看一个概率问题的例子：某班级有10个学生，其中3个人喜欢音乐，7个人喜欢体育。

如果我们从这个班级随机选择3个学生，问至少选择到一个喜欢音乐的学生的概率是多少？通过利用二项式定理中的概率公式，我们可以解决这个问题：P(X≥1) = 1 - P(X=0)= 1 - C(7, 3) / C(10, 3)= 1 - (7! / (3!4!)) / (10! / (3!7!))= 1 - 4 / 10= 6 / 10= 0.6因此，至少选择到一个喜欢音乐的学生的概率是0.6。

49 二项式定理-2018年高考数学(理)考点一遍过含解析

(1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

一、二项式定理011()C C C C ()n n n k n k kn n n n n n a b a ab ab b n --*+=+++++∈N ,这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式,共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})knk n ∈叫做二项式系数.二项展开式中的C k n kk nab -叫做二项展开式的通项,用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k k k n Ta b -+=。

注意：二项式系数是指0C n，1C n，…，C n n，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a , b 的值有关．如()na bx +的展开式中,第r ＋1项的二项式系数是C r n，而该项的系数是C r n rr nab -.当然,某些特殊的二项展开式如(1)nx +,各项的系数与二项式系数是相等的．二、二项式系数的性质（1）对称性。

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。

事实上，这一性质可直接由公式CC m n mnn-=得到。

(2）增减性与最大值。

当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的,因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数1122C ,Cn n nn-+相等且最大.（3)各二项式系数的和。

已知0122(1)C C C C C nk k n nn n n n n x x x x x +=++++++.令1x =,则0122C C C C nnn n n n=++++。

也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为2n。

2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点8-二项式定理(Word版,含解析)

显然，上式中只有第四项中含
x 的项，所以展开式中含
x 的项的系数是
C
3 4
3
43
768.
法 2： ( x2 3x 4) 4 [( x 1)(x 4)] 4 (x 1)4 ( x 4) 4
上式展开式的通项为
T C4r ( x)r C4k x4 k 4k ( 1)r 4k C4r C4k x4 k r , k 0 , 1 , 2 , 3, 4; r 0 , 1 , 2 , 3, 4.
热门题型
题型 1 求展开式中的特定项题型 2 用系数配对法解决多项式乘法问题题型 3 三项式问题
题型 1 求展开式中的特定项
例 1 求二项式 (x 2
1 )10 的展开式中的常数项 .
2x
【解题技巧】二项式展开式的通项是展
开式中的第 r 1 项 Cnr an r br ，先求出第 r 1 项的通项
A． 80 C． 40
B． 40 D． 80
1
6
1
变式 2.（2017 全国 1 卷理科 6）
x2
1x
展开式中 x2 的系数为（
）.
A.15
B. 20
C.30
D. 35
解析
1+ 1 x2
6
6
1 x 11 x
1 x2
1
x 6 ，对 1
x 6 二项式展开中 x2 项的系数为
C26
65 2
2 r 4 ，则展开式中的 x 2 项的系数为
1
4
C
4 6
15 ，
6
故所求 x2 2 x 1 的展开式中常数项为 2 x
20 15 25 ，应填 25 。

2018年高考数学总复习二项式定理

第四节二项式定理考纲解读1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题. 命题趋势探究1.高考对本节内容的考查常以选择题或填空题的形式出现，并且高于中等偏易试题.2.主要考查内容是：①利用通项求解展开式中的某指定项；②利用二项式特别是()nx +1的展开式求解系数或求某些类似于二项展开式的式子的值；③二项式系数的有关问题. 知识点精讲一、二项式定理()nn n r r n r n n n n n nb a C b a C b a C b a C b a 01100+⋯++⋯++=+--()*Nn ∈.展开式具有以下特点：（1）项数：共1+n 项.（2）二项式系数：依次为组合数nn n n n C C C C ，⋯,,,21.（3）每一项的次数是一样的，都为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地，()nn n n n n x C x C x C x +⋯+++=+22111.二、二项式展开式的通项（第1+r 项）二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ⋯=.其中rn C 的二项式系数.令变量（常用x ）取1，可得1+r T 的系数.注通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清r rn rn b aC -是第1+r 项，而不是第r 项；②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中，含n r b a C T rn r ,,,,,1+这6个参数，只有n r b a ,,,是独立的，在未知n r ,的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数（1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指nn n n n C C C C ，⋯,,,210而言，不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如：()nx +2的展开式中，含有rx 的项应该是n r n r n r x C T -+=21，其中r n C 叫做该项的二项式系数，而r x 的系数应该是rn r n C -2（即含rx 项的系数）.（2）二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ，…，r n n r n C C -=.②二项展开式中间项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数n 是偶数，中间项是第12+n项，其二项式系数n n C 2最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，中间项有两项，即为第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数21-n nC和21+n nC相等并且最大. （3）二项式系数和与系数和 ①二项式系数和011+12n n nn n n C C C ++⋯+==（） .奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋯=+++⋯=即 .②系数和求所有项系数和，令1x =；求变号系数和，令1x =-；求常数项，令0x =。

二项式定理知识点高考

二项式定理知识点高考是高考数学中非常重要的知识点，其应用广泛并且涉及到很多的高阶数学概念。

在本篇文章中，我们将从浅显易懂的角度来介绍和探讨。

首先，我们来了解一下什么是。

是数学中关于二项式幂展开的一个重要定理，其主要内容是：对于任何非负整数n和任意实数a、b，二项式展开公式为(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + ... + C(n,n)a^0 b^n，其中C(n,k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数。

在这个公式中，我们可以看到有两个变量a和b，它们分别表示了一个二项式的两个项。

而n则表示了二项式的次数。

当我们展开一个二项式时，可以得到一系列的项，每个项包括了一个系数和一个幂。

而C(n,k)则表示了这个系数，它代表了从n个元素中选择k个元素的组合数。

接下来，让我们来看一下的一些重要性质和应用。

首先，可以用来求解二项式系数。

在定理中，我们可以得到C(n,k)的表达式，这就使得我们能够通过来计算组合数，进而解决一系列的问题。

例如，在排列组合中，我们常常需要计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数，这时候就可以派上用场了。

其次，可以用来展开和化简一个复杂的多项式表达式。

通过，我们可以将一个形如(a + b)^n的多项式展开为一系列的项，从而得到一个更为简单的表达式。

这对于高中数学中的多项式运算和解题是非常有用的。

此外，还可以用于证明一些数学问题和定理。

在数学证明中，我们经常需要使用到数学归纳法，而则是数学归纳法的重要工具之一。

通过合理运用，我们可以有效地进行数学证明，推导出正确的结论。

最后，我们还需要了解一些关于的注意事项。

在使用进行计算时，我们需要格外注意项的次数和系数的变化规律。

同时，对于大数和高次方的计算，我们还需要借助计算器或者数学软件来进行辅助计算，以避免出现错误。

综上所述，是高考数学中一个重要的知识点，它在数学中有着广泛的应用和重要的意义。

高考数学热门考点与解题技巧考点8二项式定理(2021学年)

２０18年高考数学热门考点与解题技巧考点8 二项式定理编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2018年高考数学热门考点与解题技巧考点8 二项式定理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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考点8 二项式定理热门题型题型1 求展开式中的特定项题型2 用系数配对法解决多项式乘法问题题型3 三项式问题题型1 求展开式中的特定项例1 求二项式2101()2x x+的展开式中的常数项．【解题技巧】二项式展开式的通项是展开式中的第1r +项r n r rn C a b -,先求出第1r +项的通项公式1r T +，再借助幂运算确定参数.变式１。

（2107山东理1１）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .解析 ()1C 3C 3rr rr r r n nT x x +==⋅⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．变式2.(２015湖南理6)已知5x x 的展开式中含32x 的项的系数为30,则a =（ )。

A.3 B ．3- C 。

6 D.6-解析：5215C (1)r rr rr T a x-+=-，令5322r -=,解得1=r ，可得530a -=，6a =-。

故选D.题型２用系数配对法解决多项式乘法问题例２()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是_＿＿____.解析：因为()6662211122x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以问题转化为求61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项及含2x -项的系数,由于该二项式的展开式的通项公式()66216611rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以若令6203r r -=⇒=，则展开式中的常数项为()336120C -=-;若令6224r r -=-⇒=,则展开式中的2x -项的系数为()446115C -=，故所求()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为()2201525⨯-+=-,应填25-。

2018年高考数学专题14 二项式定理及数学归纳法教学案理

专题14 二项式定理及数学归纳法【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1) 二项式定理的简单应用，B级要求；(2)数学归纳法的简单应用，B级要求【重点、难点剖析】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n，上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中C r n(r＝1,2,3，…，n)叫做二项式系数，式中第r＋1项叫做展开式的通项，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r；(2)(a＋b)n展开式中二项式系数C r n(r＝1,2,3，…，n)的性质：①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C r n＝C n－rn；②C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n；C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1.2．二项式定理的应用(1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”．(2)二项式展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，而不是第r项．3．数学归纳法运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．4．数学归纳法的应用(1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论．(2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法．(3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用．(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n＝k＋1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式.(5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式．2【题型示例】题型一二项式定理的应用【例1】【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【变式探究】【2016年高考北京理数】在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式16(2)rrrr T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=。

2018届高考数学艺体生文化课复习讲义考点53 二项式定理(理科数学)

考点五十三二项式定理(理)知识梳理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0，1，2，…，n )叫做第r ＋1项的二项式系数．式中的C r n an －r b r 叫做二项式展开式的第r ＋1项(通项)，用T r ＋1表示，即展开式的第r ＋1项；T r ＋1＝C r n an －r b r ． 2. 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为n ＋1．(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3) 字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4) 二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n ．3.二项式系数的性质 (1)对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n .(2)增减性与最大值先增后减中间最大当r ＜n ＋12时，二项式系数是递增的；当r ＞n ＋12时，二项式系数是递减的；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即第n2＋1项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，即第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大． (3)二项式系数和：二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，(4)二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 典例剖析题型一二项展开式指定项的系数例1 (1)(2015福建理)(x ＋2)5的展开式中，x 2的系数等于________(用数字作答)． (2)(2015重庆理)⎝⎛⎭⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)．答案 (1)80 (2)52解析 (1)(x ＋2)5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x5－r 2r，令5－r ＝2，得r ＝3，∴x 2的系数为C 35×23＝80.(2) 二项展开式通项为T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝⎛⎭⎫12x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 5x 15－7k 2，令15－7k 2＝8，解得k ＝2，因此x 8的系数为⎝⎛⎭⎫122C 25＝52.变式训练 (1)(2015四川理)在(2x －1)5的展开式中，含x 2的项的系数是________(用数字填写答案)．答案－40解析 (2x －1)5＝－(1－2x )5，∴x 2的系数为－C 25(－2)2＝－40.(2)(2015广东理)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________．答案 6解析由题意可知T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝C r 4(－1)r x 4－r 2，令4－r 2＝1解得r ＝2，所以展开式中x 的系数为C 24(－1)2＝6.解题要点解决指定项系数问题，均可以借助通项公式求解： (1)求展开式中的第n 项．可依据二项式的通项公式直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．题型二三项或乘积形式的展开式问题例2 (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________．答案 30解析方法一利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.方法二利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 13＝30.故选C.变式训练 (1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．答案 168解析 ∵(1＋x )8的通项为C k 8x k ，(1＋y )4的通项为C t 4y t，∴(1＋x )8(1＋y )4的通项为C k 8C k 4x k y t ，令k ＝2，t ＝2，得x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.解题要点对于这类乘积形式或三项式的展开式，关键是弄清展开式的特征，将问题转化为二项式进行处理，解题时可以利用乘法原理进行求解．题型三二项式系数的性质例3 若(x ＋2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是________．答案 180解析展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r (2x 2)r ＝C r 102rx 5－52r ，所以r ＝2时，常数项为180. 变式训练 (2015湖北理)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________．答案 29解析由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29. 解题要点抓住二项式系数的性质是解题的关键，解题时需要注意：1.区分二项式系数与展开式中项的系数，在T r ＋1＝C r n a n －r b r 中，C r n 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．2. 牢记通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r 是展开式的第r ＋1项，不是第r 项．题型四赋值法与二项式系数和问题例4 如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，那么a 1＋a 2＋…＋a 6的值等于________．答案 0解析令x ＝0，有1＝a 0；令x ＝1，有1＝a 0＋a 1＋…＋a 6， ∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝0.变式训练 (2015新课标II 理)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. 答案 3解析设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.解题要点 1.二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．2．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.当堂练习1．已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含的项的系数为30，则a ＝________．答案－6解析 ⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式通项T r ＋1＝C r 5(－1)r a r ·＝(－1)r a r C r 5，令52－r ＝32，则r ＝1， ∴T 2＝－a C 15，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6.2．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为________．答案－40解析因为⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 525－k (－1)k x 10－3k，令10－3k ＝1得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 3. 若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 0和a 1的值分别为________．答案 32,80解析由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝[(x －1)＋2]5，故展开式中(x －1)的系数为C 4524＝80.令x ＝1，得a 0＝32.4．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于________．答案 1解析二项式(2x ＋ax)7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ·(a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．(2015新课标II 理)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝_____. 答案 3解析设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.课后作业一、填空题1．二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n 等于________．答案 6解析由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2n ＝15，即n (n －1)2＝15，解得n ＝6. 2．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________．答案 15解析因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x3＝15x 3，所以系数为15.3． (12x －2y )5的展开式中x 2y 3的系数是________．答案－20解析 (12x －2y )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(12x )5－r ·(－2y )r ＝C r 5·(12)5－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r . 当r ＝3时，C 35(12)2·(－2)3＝－20. 4．在⎝⎛⎭⎫x －13x 6的展开式中，常数项为________．答案 53解析根据二项式定理可得⎝⎛⎭⎫x －13x 6的第n ＋1项展开式为C n 6(x )n ⎝⎛⎭⎫－13x 6－n ＝C n 6⎝⎛⎭⎫－136－n 362n x -，则当3n 2－6＝0，即n ＝4时，则常数项为C 46⎝⎛⎭⎫－136－4＝53. 5．在(x 2－1x )5的二项展开式中，第二项的系数为________．答案－5解析展开式中的第二项为T 2＝C 15(x 2)5－1(－1x)1，所以其系数为－C 15＝－5. 6．已知(x －ax )8展开式中常数项为1 120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是_____．答案 1或38解析由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.7．在(x 2－13x )n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案 7解析由题意有n ＝8，T r ＋1＝C r 8(12)8－r (－1)r x 8－43r ，r ＝6时为常数项，常数项为7. 8．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．答案 40解析令x ＝1，即可得到⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1＋a ＝2，所以a ＝1，⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，要找其展开式中的常数项，需要找⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的x 和1x ，由通项公式得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r C r 5x 5－2r，令5－2r ＝±1，得到r ＝2或r ＝3，所以有80x 和－40x 项，分别与1x 和x 相乘，再相加，即得该展开式中的常数项为80－40＝40.9．⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________(用数字填写答案)．答案 35解析 ⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 7·x 21－4r，令21－4r ＝5，得r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5.10．在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________．答案1516解析 ⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式的通项 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－14x r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ；当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 11在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．答案 40解析展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r，∴当r ＝3时，系数为C 35·25－3＝40. 二、解答题12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；解析令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.13．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1) 求n ；(2) 求含x 2的项的系数；解析通项公式为T r ＋1＝C r n xn －r3(－3)rx －r3＝(－3)r C r n x n －2r3.(1) ∵ 第6项为常数项，∴ r ＝5时，有n －2r3＝0，解得n ＝10.(2) 令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴ x 2的项的系数为C 210(－3)2＝405.。

2018高考数学考点突破——计数原理、概率与统计：二项式定理 Word版含解析

二项式定理【考点梳理】1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2.二项式系数的性质(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 【考点突破】考点一、求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. [解析] (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454.(3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2. 【类题通法】1. 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.【对点训练】1．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20C.30D.60[答案] C[解析] 法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中选两个因式取y ，两个取x 2，一个取x .因此x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.2．(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字作答). [答案] 10[解析] 由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r ＝ 25－r C r 5x 5－r 2，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.考点二、二项式系数的和与各项的系数和问题【例2】在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和；解设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，①令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102. 【类题通法】1. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.2．若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【对点训练】1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( )A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49[答案] B[解析] 令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.2．(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( )A.1 024B.243C.32D.24[答案] A[解析]令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.考点三、二项式定理的应用【例3】(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝( )A.iB.－iC.－1＋iD.－1－i[答案] (2) C[解析] (1)证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n－12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2) x ＝2i1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i ，C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.【类题通法】1. 整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.【对点训练】1．设a∈Z，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[答案] D[解析]∵512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝C02 016·522 016－C12 016·522 015＋C22 016·522 014＋…－C2 015·52＋1＋a能被13整除，且0≤a<13，∴1＋a能被13整除，故a2 016＝12.2．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n等于()A.63B.64C.31D.32[答案] A[解析] 逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝26－C0n＝64－1＝63.故选A.。

高考理科数学考点解析二项式定理

二项式定理
一、选择题
1.(2018·全国Ⅲ高考理科·T5)的展开式中x4的系数为()
A.10
B.20
C.40
D.80
【命题意图】本题设计与二项式定理、二项式特定项相关的问题,考查二项式定理应用,考查运算求解能力和方程的思想,体现了数学运算的核心素养.试题难度:易.
=(x2)5-r=2r x10-3r,令10-3r=4可
【解析】选C.展开式的通项公式为T
得r=2,则x4的系数为22=40.
二、填空题
2.(2018·天津高考理科·T10)在的展开式中,x2的系数为. 【命题意图】本题考查二项式定理、二项式某项的系数,考查考生应用二项式定理解决与二项式某项有关的问题,考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力.
=x5-r=(-1)r2-r,令=2,
【解析】因为的第r+1项T
T2+1=(-1)22-2x2=x2.
解得r=2,即T
所以在的展开式中,x2的系数为.
答案:
3.(2018·浙江高考T14)二项式的展开式的常数项是.
【命题意图】考查二项式定理的展开.
【解析】通项公式为T
=()8-r=2-r,由8-4r=0得r=2,所以常数项
为2-2=7.
答案:7。

二项式定理及数学归纳法(热点难点突破)-2018年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破含解析

专题14 二项式定理及数学归纳法（热点难点突破）2018年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破1．在二项式错误!n（n∈N*)的展开式中，常数项为28，则n的值为( ）A．12 B．8 C．6 D．42．设二项式错误!错误!n（∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n、b n，则错误!＝（)A．2n－1＋3 B．2(2n－1＋1)C．2n＋1D．1解析由题意知a n＝2n成等比数列，令x＝1则b n＝错误!错误!也成等比数列，所以错误!＝2n＋1，故选C.答案C3．已知（1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x）2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于（）A．180 B．90 C．－5 D．5解析(1＋x)10＝［2－（1－x）］10，其通项公式为T r＋1＝C r10210－r·(－1)r(1－x)r,a8是r＝8时,第9项的系数．∴a8＝C8，1022（－1）8＝180。

故选A。

答案A4．(x－错误!y）8的展开式中,x6y2项的系数是（）A．56 B．－56 C．28 D．－28解析二项式的通项为T r＋1＝C r，8x8－r(－错误!y)r，令8－r＝6，即r＝2,得x6y2项的系数为C2，8（－错误!)2＝56.答案A5．在错误!错误!的展开式中,x的幂指数是整数的项共有（）A．3项 B．4项 C．5项 D．6项解析T r＋1＝C错误!(错误!)24－r错误!错误!＝C错误!x12－错误!，故当r＝0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项．答案C6．已知f（x)＝|x＋2｜＋｜x－4|的最小值为n,则二项式错误!错误!展开式中x2项的系数为（)A．15 B．－15 C．30 D．－30解析因为函数f（x）＝|x＋2|＋｜x－4|的最小值为4－(－2)＝6，即n＝6。

展开式的通项公式为T k＋1＝C k6x6－k错误!k＝C错误!x6－2k（－1)k，由6－2k＝2，得k＝2，所以T3＝C错误!x2（－1)2＝15x2，即x2项的系数为15，选A。