差分方程初步

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差分方程介绍

例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量
(1) yk = ak + b
(1) (1) yk = 1.3k + 9.5, y6 = 17.3
得到
缺点：数据少，用回归分析不好。改用差分方程
yk = a1 yk −1 + a2 yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 或者用二阶差分， yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3
和最小二乘法，使最小，求出
∑[ y
3
5
k
− (a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 a3 = −8, y6 = 21, y7 = 19
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前5 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的，合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。为此，为此，将季度编号为
∗
只取一次项近似为：只取一次项近似为：（5）是（4）的近似线性方程，x ∗ 也是 ( 5 ) ））的近似线性方程，的平衡点，的平衡点，关于线性方程平衡点稳定的条件上面已给出。件上面已给出。

第六章第节差分方程

1 (2r 1) C2 n)(1 ) n . 2
2
例求yn2 yn1 yn 0的通解。
解由r r 1 0 得r1, 2
2
1 3i . 2
2 2 4 1 1 r c 1, tan 3, . 3 1 2 2 n 通解 yn 1 (C1 cos n C2 sin n). 3 3 2 2 即 yn C1 cos n C2 sin n. 3 3
6.7
差分方程
1、差分方程基础 2、一节常系数线性差分方程 3、二阶常系数线性差分方程
4、差分方程的应用
一、差分方程概念
设整变量函数yn f (n)，n 0,1, 2,, 则yn＋1 yn 称为yn的一阶差分，记为yn
yn yn1 yn f n 1 f n
代入原方程 ,得
1 5 求yn1 yn ( ) n 的通解。 2 2
5 n 1 1 5 n 5 n A( ) A( ) ( ) , 2 2 2 2 5 1 1 A( ) 1, A , 2 2 2 1 5 n yn * ( ) 2 2 1 n 1 5 n 原方程通解 y n C ( ) ( ) . 2 2 2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法，
定理: 非齐次线性差分方程通解等于相应齐次线性差分方程通解加上非齐次线性差分方程的一个特解现在问题归结为求出非齐次线性差分方程的一个特解。
设 (n) a pm (n)型(a 0),其中pm (n)
n
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程的特解形式是
则 r cos, r sin , 所以 r1 r cos i sin , r2 r cos i sin .

差分方程简介

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差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况。

差分方程的基本知识(3)

差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。

通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。

差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。

通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。

2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。

实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。

差分方程模型有着非常广泛的实际背景。

在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。

可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。

3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。

或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。

在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。

微积分第十一章差分方程初步

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定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为 (常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶．
n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0, （*）其中 F 为 t,yt,yt+1,… ， yt+n 的已知函数 , 且 yt 和 yt+n 一定要在差分方程中出现.
这里a0,a1,a2,…，an-1均为已知常数．
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特别值得注意的是：只要保持差分方程中的时间滞后结构不变 ,无论对 t 提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者有相同的解.例如,方程 ayt+1-byt=0
与方程
都是相互等价的．
ayt+2-byt+1=0
基于差分方程的这一特征，在研究差分方程中，为了方便和需要，我们经常随意地移动差分方程中的时间下标，只要保证方程中所有时间下标均移动一个相同的整数值即可由此可见，在差分以及差分方程的解的定义中，对t=0,1,2,… 恒成立时，对t=-1,-2,…也是成立的．为此，今后也就只需讨论t=0,1,2,…的情形．
例如
yt +1 - yt = a(a为常数)就是一阶差分方程 .
由于在经济模型中，通常遇到的是后一种定义下的差分方程．因此，今后我们将只讨论形如（*）式的差分方程．
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三、差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,使其对t=…,-2,-1,0,1,2,…成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解.含有 n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解 yt=j(t,C1,C2,…,Cn) 称为 n 阶差分方程的通解 . 在通解中给任意常数 C1,C2,…,Cn 以确定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解.

第一、二节差分方程的基本概念一阶常系数线性差分方程

二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理线性差分方程解的基本定理定理10.1 定理如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程的 m 个解则它们的线性组合个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程称为差分方程的方程,称为差分方程称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注两个定义不完全等价例如
∆ y t + ∆y t = 0

差分方程讲解

an+1 = 5an , an+2 = 3an ,
an+2 = 3an + n2 ,
an+2 −3an+1 + 4an = 0, an+2 − 3an+1 + 4an = 6,
§2 一阶线性差分方程
对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当可以求解的时候)以及讨论解的性质. 能够给出解析解的差分方程是为数很少的一部分, 大多数差分方程是不能给出解析解的, 此时, 只能对其解的性质给出一定的讨论, 讨论解的性质(解的变化趋势, 是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法: 一是数值计算方法, 二是定性或定性定量结合的方法.
−1 1 3 5 7 9
∆2an
2 2 2 2 2
§1 数列的差分
§2 一阶线性差分方程一. 差分方程的基本概念二. 齐次线性差分方程的解析解
§2 一阶线性差分方程
一. 差分方程的基本概念
定义2.1 差分方程是一种方程, 该方程表明数列定义2.1 差分方程中的任意项如何用前一项或几项来计算. 初始条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的条件项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分差分方程的阶. 方程的阶.
an+2 = 3an + n ,
2
2
an+1 = 5an ,
an+2 −3an+1 + 4an = 6,
an+1 = ( an ) , an+2 = ( an+1 )( an ) .
§2 一阶线性差分方程
定义2.2 定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含 an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程是线性的否则差分方程就是非线性的注意这线性的. 非线性的. 线性的非线性的种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用于不包含数列变量的数列{an} = {1, 3, 6, 10, 15, 21, L}, 则有 {∆an} = {2, 3, 4, 5, 6, L} 以及 {∆2an} = {1, 1, 1, 1, 1, L}. 令 an = An2 + Bn + C,

习题详解-第10章微分方程与差分方程初步

两端分别积分：
2 y 2x +ln2 C1 ,即 2x +2 y C 0( C ln 2 C1 )
这就是方程通解 . (3)这是可分离变量方程，分离变量得
cos y dy cos x dx sin y sin x
两端分别积分：
ln sin y ln sin x ln C , 即 sin y Cesinx
是解，又因为含有两个任意常数 C1,C2 ，且方程是二阶的，故是通解.
4.
已知函数
x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程
d2x dt 2
k2x
0 的通解,求满足初始条件
x| t0 2 x| t0 0
的特解. 解：上题可知是微分方程通解，且 x(t) C1k sin kt C2k cos kt, 代入初值条件 x |t 0 2, x |t0 0 ，得 C1 2,C2 0 ，所以特解为 x 2coskt(k 0).
x dx
dx
u 1 du dx u
两端分别积分：
u ln u x C 即 y ln y x C xx
这就是方程通解 .
(6)这是齐次方程，化简得
dy
1
y x
dx 1 y
x
令 u y , 则 dy u du , 代入原方程并整理
x dx
dx
u 1 du dx ，两端分别积分： 1 ln 1 2u u2 x 1 C
(3)
y
x
y y2
，
y(2)
1；
(4) y y x y5 ， y(0) 1 .
解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得
dy dx

高等数学习题详解-第10章微分方程与差分方程初步

习题10-11. 指出下列方程的阶数：(1)4620x y y x y '''''-+=． (2)22d d 0d d Q Q Q L R t c t++=． (3)2d cos d ρρθθ+=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=．解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =．(2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =．(3)20y y y '''++=， x y x e -=．(4)22d 0.4d s t=-， 2120.2s t c t c =-++．解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；(3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=；(4)是，代入，212d d 0.4,0.4d d s s t C t t=-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t += 的通解.解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足222d 0d x k x t+=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解.4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t+=的通解,求满足初始条件 x | t =0 =2, x '| t =0 =0的特解.解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠习题10-21. 求下列微分方程的通解：(1)()2310y y x '++=； (2) 2+'=x yy ；(3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2d d d d x xy y y x y y +=+；(5) 22d d d d y y y x xy x x+=； (6) d d y x yx x y -=+； (7) 22d d y y x xy x=+； (8) )2(tan 212y x y +='．解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得()231d =d y y x x+-两端分别积分：()34111=+34y x C,+-这就是方程通解 .(2)这是可分离变量方程，分离变量得2d =2d y x y x-两端分别积分：122+ln2y x C ,--=⋅即12+202x y C (C ln C )--==⋅这就是方程通解 .(3)这是可分离变量方程，分离变量得d d cos y cos xy x sin y sin x=两端分别积分：ln sin y ln sin x lnC,-=--即sin x sin y Ce =这就是方程通解 .(4)这是可分离变量方程，分离变量得21d =d 11y y x y x --两端分别积分：21111+22ln(y )ln(x )lnC,-=-即221+1y C(x )=- 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 1d d u u x u-=两端分别积分：ln u u x C -=+即ln y yx C x x-=+ 这就是方程通解 .(6)这是齐次方程，化简得1d d 1yy x yx x -=+令,x yu =则d d ,d d y u u x x =+代入原方程并整理21d d 12u u x u u +=--，两端分别积分：211ln 1222u u x C ---=+即222ln 10y y x C x x--++= 这就是方程通解 .(7)这是齐次方程，化简得2d d 1y y x yx x ⎛⎫⎪⎝⎭=+令,x yu =则d d ,d d y u u x x =+代入原方程并整理1d d u u x u +=-，两端分别积分：ln u u x C +=-+ 即ln 0y y x C x x++-= 这就是方程通解 .(8)这是特殊方程，用换元法，令,2y x u +=则d 1d 1,d 2d y u x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入原方程并整理 2cos ud d u x =，两端分别积分：11sin 224u u x C +=+即42sin(24)40y x x y C -++-=这就是方程通解 .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 3sin y y x '=， (0)1y =；(2) 222(1)(1)x y y x +'=+， (0)0y =； (3) d tan d y y y x x x =+，(1)6y π=；(4) 222d d 2x yx xy y y xy=-+-，(0)1y =．解 (1)分离变量：31d sin d y x x y =．两端分别积分：31d sin d y x x y =⎰⎰．解得：21cos 2x C y -=-+．将(0)1y =代入通解中，求得12C =．故所求特解为212cos 1x y=-． (2)分离变量：2221d d 1(1)xy x y x =++．两端分别积分：211arctan d 2(1)y x C x =-⋅++．将(0)0y =代入通解中，求得12C =．故所求特解为2111arctan d 2(1)2y x x =-⋅++．(3) 这是齐次方程,令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理1d d .tan u x u= 两边积分得,ln sin ln C x u +=即.sin x Ce u =变量回代得所求通解.sinx Ce xy=由(1)6y π=代入通解，得612C e π-=，故所求初值问题的解为61sin .2x y e e x π-=3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.解：设曲线方程为：()y f x =由题意可得方程: 2002y yy x x-'==--,且(1)2y =，解分离变量方程得：xy C =,由(1)2y =得2C =，故所求曲线为：2xy =.4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t 的变化规律.解设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =建立该问题的数学模型:⎪⎩⎪⎨⎧=--==100|)20(0t T T k dtdT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20kdt T dT-=- 两边积分,201⎰⎰-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)，即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=). 从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C于是，所求规律为.8020kt e T -+=习题10-31. 求下列微分方程的通解：(1) cos sin x y y x e '+=； (2) 2x y y e '-=；(3) 2(1)x x y x y e '=-+； (4) 22d (2)d 0y x x x y y y +--=；(5) ()1y x e y '-=； (6) 3(1)2(1)2x y y x y -'=+- 解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中()sin ,P x x =cos ()x Q x e =．首先求出Pd sin d cos x x x x ==-⎰⎰ (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰cos cos x x Ce xe =+．(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),2P x =-1()2x Q x e =．首先求出Pd 2x x -=⎰ (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰24xx Ce =+． (3) 这是一阶线性非齐次方程，其中1()1,P x x =-21()x Q x e x =．首先求出Pd ln x x x =-⎰ (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰2x xe e C x x=⋅+．(4)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程212d 1d y xx y y-+⋅=，于是，212()yP y y -=()1Q y =．首先求出1Pd 2ln y y y=--⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为112ln 2ln 1d y y yyx eey C +--⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ 11122221d yyy y e e y C Cy e y y -⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰.(5)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程d d y xx e y--=-，于是，()1P y =-()y Q y e -=-．首先求出Pd y y =-⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为()d y y y xe e e y C --=-⋅+⎰12y y e Ce -=+.(6)令,1-=x yu 则d d (1),d d y u u x x x=+-代入原方程并整理 22d d .31u xu u x =-- 两边积分得,ln ln )3ln(2C x u +-=-变量回代得所求通解223.(1)y Cx x-=-2. 求解下列初值问题：(1) 2(2)d d 0y x y x x y -+=，1x y e ==； (2)sin x y y x '+=，()1y π=； (3) 2y y x y '=-，(2)1y =； (4) 5y y x y '-=，(0)1y =.解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得2d (12)0d y x y x x -+⋅=，其通解为2(12)1d 2=x xx xy Ce Cx e --⎰=，将初始条件1x y e ==代入上式，可得1C =，故所求特解为12=x y x e ．(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x =1()sin Q x x x =．首先求出Pd ln x x =⎰ (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰cos C xx-=将初始条件()1y π=代入上式，可得1C π=-，故所求特解为1cos x y xπ--=．(3)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程d 1d x x y y y-=-，于是，1()P y y=-()Q y y =-．首先求出Pd ln y y =-⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为1()d x y y y C y ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭⎰2Cy y =-.将初始条件(2)1y =代入上式，可得3C =，故所求特解为23x y y =-．(4) 这是伯努利方程，以5y 除方程的两端,得54d ,d y y y x x ---=即44d()1,4d y y x x ----= 令4,z y -=则上述方程变为 d 44.d zz x x+=- 解此线性微分方程(过程略)，可得414x z x Ce -=-++，得所求通解为4441()4x y z x Ce -==-++，将初始条件(0)1y =代入上式，可得34C =，故所求特解为44413()44x y z x e -==-++．3. 通过适当变换求下列微分方程的通解：(1) d 11d y x x y-=-； (2)d 4d y y x x x -=. 解 (1)令y x u -=则d d 1,d d y u x x=+原方程化为 d 1d u x u=-. 分离变量,得d d u u x =-，两端积分得22u x C =-+ 以y x u -=代入上式,得通解2()2y x x C -=-+.(2)这是伯努利方程，其中214,(),()2n P x Q x x x==-=，则有公式得通解 1(1)()d (1)()d 12()(1)d n P x x n P x x nyy e Q x n e x C ----⎛⎫⎰⎰==-+ ⎪⎝⎭⎰ 2ln 22ln 1(d )2x x e x e x C -=⋅⋅+⎰21().2x C x =+ 4. 求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的2倍与纵坐标之和. 解：由题意可得方程d 2d yx y x=+，这是一阶非齐次线性方程，其中()1,P x =-()2Q x x =，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰22x x Ce -=--+.习题10-41. 求下列微分方程的通解：(1) sin 2y x x ''=-； (2) 2cos x y e x '''=-；(3) -20x y y '''= ； (4) 4x y y x '''+=； (5) 2=2()y y '''； (6)31y y ''=解：(1) 21cos ,y x x C '=--+3121sin ,3y x x C x C =--++(2) 211sin 2x y e x C ''=-+,2121cos ,4x y e x C x C '=+++2212311sin .82x y e x C x C x C =++++(3) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程20xp p '-=．分离变量，得12d d p x p x=. 两边积分得: 21p C x =再积分一次即得原方程的通解为 31213y C x C =+．(4) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程4xp p x '+=．整理，得4pp x'+=，这是一阶非齐次线性方程，解得12C p x x=+再积分一次即得原方程的通解为 212ln y C x x C =++．(5)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d py py''=,原方程化为 2d 2d ppp y=．分离变量得d 2d py p=．两边积分得： 211y p C e =．再由211d d y yC e x=，解得212y e C x C -=+． (6)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d py p y''=,原方程化为3d d y p p y =．得22112211C y p C y y -=-+=．解得：d d y x =可解得通解为：221121()C y C x C -=+．2. 求解下列初值问题：(1) 12cos y x x '''=+,(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==；(2) 21,x y x y '''+=10,x y==11x y ='=；(3) 2()yy y '''=，(0)(0)1y y '==. 解 (1)相继积分三次得出:216sin y x x C ''=++，3122cos y x x C x C '=-++，4212311sin 22y x x C x C x C =-+++，以(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==代入后可得出1231,2,1C C C ===-，于是所求特解为4211sin 2122y y x x x x ==-++-． (2)令,y p '=代入方程并整理,有211.p p x x'+=这是一阶线性非齐次方程，代入公式，得11(ln )p y C x x'==+由条件11x y ='=得11,C =所以1(1ln )y x x'=+两端再积分,得221ln (ln ).2y x x C =++又由条件10,x y ==得20,C =于是所求初值问题的解为21ln (ln ).2y x x =+(3)令,y p '=由d d py p y''=代入方程并化简得d .d p y p y= 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得p y Cy '== 再分离变量,得d d ,yx Cy= 由初始条件(0)(0)1y y '==得出1,C = 从而得d d ,yx y= 再两边积分,得1x y C e =, (0)1y =，得11,C =从而所求特解为x y e =.3. 已知平面曲线()y f x =的曲率为32(1)y y '''+,求具有常曲率(0)K K >的曲线方程.解：由题意得方程32(0)(1)y K K y ''=>'+，令(),y p x '=代入方程,有32(1)p K p '=+ 即32d d .(1)p K x p =+解之，得1121Kx C p =++ 32d d .(1)p K x p =+习题10-51.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1) 22,;x x e x e (2) ,()ax bx e e a b ≠；(3) 1cos2x +，2sin x ； (4) cos ,x sin x .解：(1)无关；(2)无关；(3)无关；(4)无关.2. 验证1y x =与2x y e =是方程(1)0x y xy y '''--+=的线性无关解，并写出其通解.解：当1y x =，11y '=，10y ''=，代入满足方程；当2x y e =，2x y e '=，2x y e ''=，代入也满足方程；另外，1y x =，2x y e =是线性无关的（由定义可知），方程的通解为：112212x y C y C y C x C e =+=+. 3. 求下列微分方程的通解：(1) 230y y y '''--=； (2) 280y y y '''--=； (3) 440y y y '''++=； (4) 690y y y '''-+=； (5) 250y y y '''++=； (6) 160y y ''+= ; (7) x y y x e ''+=+ ；(8) 4sin y y x ''+=.解：(1) 特征方程2230r r --=的根为：121=3r r =-，,通解为312x x y C e C e -=+； (2) 特征方程2280r r --=的根为：1224r r =-=，,通解为2412x x y C e C e -=+； (3) 特征方程2440r r ++=的根为：122r r ==-,通解为2212x x y C e C xe --=+； (4) 特征方程2690r r -+=的根为：123r r ==,通解为3312x x y C e C xe =+；(5) 特征方程2250r r ++=的根为：1,212r i =-±,通解为12(cos 2sin 2)x y e C x C x -=+； (6) 特征方程2160r +=的根为：1,24r i =±,通解为12cos4sin 4y C x C x =+； (7) 特征方程210r +=的根为：12r r i ==±,齐次通解为12cos sin y C x C x =+； ()x f x x e =+可以看成是1()f x x =与2()x f x e =之和．所以分别求方程y y x ''+=与方程x y y e ''+=的特解．容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．按例9的方法可求得方程x y y e ''+=的一个特解为：212x y e =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12x x e +．故原方程的通解为y y Y =+=12x x e +12cos sin C x C x ++.(8) ()4sin f x x =为(cos sin )αxe A ωx B ωx +型的函数，且0α=，1ω=，αωi i +=是特征方程210r +=的根，所以取1k =．设特解为()cos sin y x C x D x =+．()cos sin cos sin y C x D x x D x C x '=++-．2cos 2sin (cos sin )y D x C x x C x D x ''=--+．代入原方程，得 2cos 2sin 4sin D x C x x -=．比较两端sin x 与cos x 的系数，得2,0C D =-=，故原方程的特解为2cos y x x =-．而对应齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+.于是原方程的通解为y y Y =+2cos x x =-＋12cos sin C x C x +． 4. 求解下列初值问题：(1) 20,y y y '''++=y |x =0=4、y '| x =0=-2；(2) 20y y y '''-+=,(0)(0)1y y '==解：(1) 特征方程2210r r ++=的根为：121r r ==-,通解为12x x y C e C xe --=+；代入初值条件00|4|2x x y y =='==-、，得124,2C C ==，方程特解为42x x y e xe --=+.(2) 特征方程2210r r -+=的根为：121r r ==,通解为12x x y C e C xe =+；代入初值条件(0)(0)1y y '==，得121,0C C ==，方程特解为x y e =.5. 求下列微分方程的一个特解：(1) 2331y y y x '''--=+； (2) 94y y x '''+=-；(3) 2x y y y e '''-+=； (4) 9cos 21y y x x ''+=++.解：(1) 因为()31f x x =+，且y 的系数30q =-≠，设特解为y Ax B *=+．则()y A '*=，()0y ''*=，代入原方程，得23()31A Ax B x --+=+，使两端x 同次幂的系数相等：11,2A B =-=,所求的特解为12y x *=-+．(2) 因为()4f x x =-，且y 的系数0q =，设特解为()y x Ax B *=+．则()2y Ax B '*=+，()2y A ''*=，代入原方程，使两端x 同次幂的系数相等得，137,1881A B -==,所求的特解为21371881y x x *=-．(3) 1α=是特征方程2210r r -+=的重根，取2k =，所以可设原方程的特解为2x y Bx e =，则22224x x x x x y Bxe Bx e y Be Bxe Bx e '''=+=++，，代入原方程得解得12B =，故方程有一特解为212x y Bx e =.(4) ()cos 21f x x x =++可以看成是1()21f x x =+与2()cos f x x =之和．所以分别求方程921y y x ''+=+与方程9cos y y x ''+=的特解．容易求得方程921y y x ''+=+的一个特解为：12199y x =+．另求得方程9cos y y x ''+=的一个特解为：21cos 8y x =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝211cos 998x x ++．习题10-61. 求下列函数的一阶与二阶差分：(1) y t =3t 2-t 3； (2) y t =e 2t ； (3) y t =ln t ； (4) y t =t 2·3t .解：(1) ()()()2323231133+32t y t t t t t t ∆=+-+--=-+［］,()22()3+326t t y y t t t ∆=∆∆=∆-+=-；(2) 2(1)222e e e (1)t t t t y e +∆=-=-,()22222222()e (1)(1)(e )e (1)t t t t t y y e e e ∆=∆∆=∆-=-⋅∆=-，(3) ln(1)ln t y t t ∆=+-,()2()ln(1)ln ln(2)2ln(1)ln t t y y t t t t t ∆=∆∆=∆+-=+-++(4) ()()21221333263t t t t y t t t t +∆=+-=++,()()()()22122()326332(1)693263t t t t t y y t t t t t t +∆=∆∆=∆++=+++-++()2342430t t t =++2. 将差分方程Δ2y t +2Δy t =0表示成不含差分的形式.解：因为1t t t y y y +∆=-，21()t t t t Δy ΔΔy Δy Δy +==-212t t t y y y ++=-+，故220t t y y ∆+∆=可化为211222()0t t t t t t t y y y y y y y ++++-++-=-= 3. 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，确定差分方程的阶：(1) y t +5-y t +2+y t －1=0; (2) Δ2y t -2y t =t ； (3) Δ3y t +y t =1； (4) 2Δy t =3t -2y t ； (5) Δ2y t =y t +2-2y t +1+y t .解：(1) 是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为6，因此方程的阶为7； (2) 是差分方程.由于2t y ∆212t t t y y y ++=-+，方程变为212t t t y y y t ++--=，方程中未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(3)是差分方程.由于Δ3y t 32133t t t t y y y y +++=-+-，方程变为321331t t t y y y +++-+=，未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(4) 将原方程变形为2(y t +1-y t )= 3t -2y t ，即2y t +1=3t,不符合定义3′，因此，该等式不是差分方程.(5) 不是差分方程.由于2t y ∆212t t t y y y ++=-+，方程变为00=，所以不是差分方程.4. 验证y t =C (-2)t 是差分方程y t +1+2y t =0的通解.解：112(2)2(2)0t t t t y y C C +++=-+-=，所以是解，又方程的阶数是1，所以是通解.习题10-71. 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解： (1) y t +1-2y t =0； (2) y t +1+3y t =0； (3) 3y t +1-2y t =0.解：(1)特征方程为：λ-2=0,特征根为λ=2，于是原方程的通解为 y t =C 2t . (2)特征方程为：λ+3=0,特征根为λ=-3，于是原方程的通解为 y t =C (-3)t . (2)特征方程为：3λ-2=0,特征根为23λ=-，于是原方程的通解为()2.3tt y C =-2. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) y t +1-3y t =0，且y 0=3； (2) y t +1+y t =0，且y 0=-2.解 (1)特征方程为30λ-=,特征根为3λ=，于是原方程的通解为 3.tt y C = 将初始条件y 0=3代入，得出C =3，故所求解为13.t t y +=(2)特征方程为10λ+=,特征根为1λ=-，于是原方程的通解为(1).t t y C =- 将初始条件y 0=-2代入，得出C =-2，故所求解为2(1).t t y =-- 3. 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解： (1) y t +1+2y t =3； (2) y t +1-y t =-3； (3) y t +1-2y t =3t 2； (4) y t +1-y t =t +1; (5) 11522tt t y y +⎛⎫-= ⎪⎝⎭； (6) y t +1+2y t =t 2+4t .解 (1) 由于a =-2，k =3，令y *t =A (待定系数)，代入方程得A +2A =3，从而A =1，即y *t =1，故原方程的通解为y t =C (-2)t +1.(2) 由于a =1，k =-3，令y *t =At (待定系数)，代入方程得A =-3，即y *t =-3t ，故原方程的通解为y t =-3t+C .(3) 设y *t =A 0+A 1t +A 2t 2为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得A 0=-9，A 1=-6，A 2=-3.从而*2963t y t t =-+--,故原方程的通解为29632.t t y t t C =-+--+(4) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得0112A A ==,从而*1(1)2t y t t =+,故原方程的通解为1(1).2t y t t C =++(5) 由15122a kb ===，，，令原方程有一个特解为*5·()2t t y A =，解得35A =.于是原方程的通解为()351·().522tt t y C =+ (6)设f 1(t )= t 2，f 2(t )= 4t ，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).对于f 1(t )= t 2，因a =-2≠1，可令特解y *t 1= A 0+A 1t +A 2t 2；对于f 2(t )= 4t ，因a =-2≠4，可令y *t 2=B4t故原方程的特解可设为y *t = A 0+A 1t +A 2t 2 +B4t ，代入原方程，得0121211,27934A A AB =-=-==-，，，于是21121 42793t t y t t *-=-+-+-，故所求通解为21121 4(2).2793t t t y t t C -=-+-+-+- 4. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) y t +1-y t =3+2t ，且y 0=5； (2) 2y t +1+y t =3+t ，且y 0=1; (3) y t +1-y t =2t -1，且y 0=2.解 (1) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得012,1A A ==,从而*(2)t y t t =+,故原方程的通解为(2).t y t t C =++又有初始条件y 0=5，可知5C =，故特解为(2) 5.t y t t =++(2) 由于12a =-,设y *t =A 0+A 1t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数,可得0171,93A A ==,故原方程的通解为171().392t t y t C =++-又有初始条件y 0=1，可知29C =，故特解为1721().3992t t y t =++⋅-(3) 由a =1可知，对应的齐次方程的通解为y t =C .设f 1(t )=2t ，f 2(t )=-1，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).对于f 1(t )=2t ，因a =1≠3，可令y *t 1=A 2t ；对于f 2(t )=-1，因a =1，可令y *t 2=Bt .故原方程的特解可设为y *t =A 2t +Bt ，代入原方程，得11A B ==-，,故所求通解为2t t y C t =+-又有初始条件y 0=2，可知1C =,故特解为12t t y t =+-.5. 某人向银行申请1年期的贷款25000万元，约定月利率为1%，计划用12个月采用每月等额的方式还清债务，试问此人每月需付还银行多少钱？若记y t 为第t 个月后还需偿还的债务，a 为每月的还款额，写出y t 所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式.解先对问题的进行分析，第1个月后还需偿还的贷款为y 1= y 0 (1+1%)-a;第2个月后还需偿还的贷款为y 2=y 1(1+1%)-a ;……第t +1个月后还需偿还的贷款为y t +1=y t (1+1%)-a ，即y t +1-1.01y t =-a .这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其对应的齐次方程的特征根为λ=1.01≠1，设差分方程有特解y *t =A ，代入得到100A a =，于是有通解(1.01)100t t y C a =+.代入初始条件y 0=25000，及12(1.01)1000t y C a =+=得1210025000(1.01)1000C a C a +=⎧⎨+=⎩，从上面的等式解得1212250001.011001.01100a ⋅=⋅-.6. 设某产品在时期t 的价格、供给量与需求量分别为P t ，S t 与Q t (t =0，1，2，…).并满足关系：(1)S t =2P t +1，(2)Q t =-4P t －1+5，(3) Q t =S t .求证：由(1)(2)(3)可推出差分方程P t +1+2P t =2.若已知P 0，求上述差分方程的解. 解由题意可得2P t +1=-4P t －1+5，即2P t+1=-4P t +4，得差分方程P t +1+2P t =2，容易求得方程的特解为：*23y =，方程的通解为：2(2)3t y C =+-,00,t y p ==当时，023C p =-所以,故所求差分方程的解为022()(2).33t y p =+--7. 设C t 为t 时期的消费，y t 为t 时期的国民收入，I =1为投资(各期相同)，设有关系式C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，其中a ，b 为正常数，且a <1，若基期(即初始时期)的国民收入y 0为已知，试求C t ，y t表示为t 的函数关系式.解由C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，得11t t y ay b -=+－，又因为a <1，故可设特解为*y A =，代入得11b A a +=-，所以方程的通解为11t b y Ca a +=+-，00,t y y ==当时，011bC y a +=--所以,故所求差分方程的解为011()11t t b b y y a a a ++=-+--，从而01()11t t b a bC y a a a++=-+--.复习题10 （A ）1. 通解为y =C e -x +x 的微分方程是 . 解方程是一阶的，e1xy C -'=-+，方程为1y x y '=-+.2. 通解为y =C 1e x +C 2e 2x 的微分方程是 .解易见这是二阶常系数方程的解，特征根为121,2r r ==,特征方程为2320r r -+= 所以微分方程为320y y y '''-+=.3. 微分方程x d y -(x 2e －x +y )d x =0的通解是 . 解方程可化为e x yy x x-'-=，通解为x y xe Cx -=-+. 4. 微分方程xy ′+y =0满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解分离变量得d d y xy x=-，通解为xy C =，初始条件y (1)=1特解为1xy .= 5. 设非齐次线性微分方程y ′+P (x )y =Q (x )有两个不同的解y 1(x )与y 2(x )，C 是任意常数，则该方程的通解是 .A C ［y 1(x )+y 2(x )］BC ［y 1(x )-y 2(x )］C y 1(x )+C ［y 1(x )-y 2(x )］D y 1(x )+C ［y 1(x )+y 2(x )］解非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，齐次通解()()12Y C y x y x =-［］，非齐次特解为：()()12=y*y x y*y x =或者，所以选择C.6. 微分方程y ″+4y =sin2x 的一个特解形式是 .A C cos2x +D (sin2x )B D (sin2x )C x ［C cos2x +D (sin2x )］ D x ·D (sin2x )解因为0α=，2ω=，2i i αω+=是特征方程240r +=的根，所以取1k =．设特解为 ()cos 2sin 2y x C x D x =+．选择C.7. 解下列一阶微分方程： (1) (1+y 2)d x =xy (x +1)d y ； (2) x (y ′+1)+sin(x +y )=0；(3) (cos )d cos d y yx y x x y x x+=； (4) xy ′+2y =sin x ；(5) tan y d x =(sin y -x )d y ； (6) (y -2xy 2)d x =x d y .解 (1)分离变量()21d d 11y y x x x y =++，积分得211ln(1)ln ln()221x y C x ++=+，化简得22(1)()1x C y x +=+； (2)令d d ,1d d y uu x y x x =+=-则，原方程化为d d d sin 0,d sin u u x x u x u x+==-即，积分得 ln(csc cot )ln ln u u x C -=-+，化简并整理得通解：1cos()sin()x y Cx y x-+=+.(3) (1cos )d d d ,,d d d cosy yy y y u x x u x u y x x x xx+===+原方程可化为令则，原方程化为d cos d x u u x =，积分得sin ln ||,u x C =+方程通解为sin ln ||.yx C x=+(4)这是一阶线性非齐次方程，2sin (),()x P x Q x x x==，所以方程通解为()d d 21(d )sin cos P x P x y e Qe x C x x x C x-⎰⎰=+=-+⎰(5) )设()x x y =，方程化为d sin cot cos d tan x y xx y y y y-==-+，这是一阶线性非齐次方程，()cot ,()cos P y y Q y y ==，所以方程通解为d d 211(d )sin sin 2P y P yx e Qe y C y C y -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰(6)方程可化22d ?22d y y xy yy x x x-==-，这是伯努利方程，其中1(),()2,2P x Q x n x =-=-=，所以方程通解为2(1)()d (1)()d 1()(1)d ,n P x xn P x x nx C ye Q x n e x C x ----+⎛⎫⎰⎰=-+= ⎪⎝⎭⎰即 2x y x Cy -=.8. 解下列二阶微分方程：(1) (1+x )y ″+y ′=ln(1+x )； (2) y ″+3y ′+2y =2x 2+x +1； (3) y ″+2y ′-3y =2e x ； (4) y ″+y =x +cos x .解 (1)易见不显含y ，令(),=,y p x y p ''''=则代入方程得()()1ln 1x p p x '++=+，即()ln 111x pp x x +'+=++，所以11()((1)ln(1))1p x C x x x x =+++-+ 1ln(1)1C x x x -=+++，两边积分12()d =(+2)ln(1)2y p x x x C x x C =++-+⎰. (2)这是二阶常系数非齐次方程，由=20,p ≠设特解为2y Ax Bx C *=++，带入方程并对比两端x 的系数，得5131,,24A B C ==-=，故非齐次特解为2513*24y x x =-+ ；齐次通解为212x x y C e C e --=+，从而方程通解为221251324x x y C e C e x x --=++-+.(3) 这是二阶常系数非齐次方程，因为1α=是特征方程2230r r +-=的单根，所以取1k =．设特解为x y Bx e =，代入原方程后，解得12B =，故方程的一个特解为：12x y xe =.所求的通解为31212x x x y C e C e xe =++.(4) ()cos f x x x =+可以看成是1()f x x =与2()cos f x x =之和．所以分别考察方程y y x ''+=与方程cos y y x ''+=的特解．容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．容易求得方程cos y y x ''+=的一个特解为：21sin 2y x x =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12x x sin x +．又原方程所对应的齐次方程40y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+，故原方程的通解为1212y C cos x C sin x x x sin x =+++. 9. 解下列差分方程： (1) y t +1+4y t =2t 2+t -1； (2) y t +1-y t =t ·2t +3.解 (1) 由于a =4，令 y *t =A 0+A 1t +A 2t 2 (待定系数)，代入方程得23612*125255t y t t =-++，故原方程的通解为23612(4)125255t t y t t C =-+++-. (2) 分别求y t +1-y t =t ·2t 和y t +1-y t =3的特解，对y t +1-y t =t ·2t ，由a =3，b =2，可设原方程有一特解为y *t =(A 0+A 1t )2t ，代入原方程，可解得*(2)2tt y t =-+；对y t +1-y t =3，由a =1，可设原方程有一特解为y *t =Bt ，代入原方程，可解得*3t y t =；故原方程的通解为(2)23tt y C t t =+-++（B ）1. 设曲线y =f (x )过点(0，-1)，且其上任一点处的切线斜率为2x ln(1+x 2)，则f (x )= .解易得微分方程 ()22ln 1y x x '=+，直接积分得 ()()()2222ln 1d =ln 1d 1y x x x x x =+++⎰⎰，利用分部积分法()222(1)ln 1y x x x C =++-+，过点(0，-1)，代入可得1C =-，所以f (x )= ()222(1)ln 1 1.x x x ++--2. 某企业每年的工资总额在比上一年增加10%的基础上再追加奖金3百万元.若以y t 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则y t 满足的差分方程是 .解易见 1(10.01)3t t y y +=++，所以差分方程为11.13t t y y --=.3. 微分方程33d d 2y y y x x x =-满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解令,,y u y xu x ==则所以d d d d y uu x x x =+，带入方程得，3d 1,d 2u x u x =-求解得2ln ,ux C -=+即2ln ,x x C y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入条件y (1)=1，可得1C =，化简得y =4. 差分方程2y t +1+10y t =5t 的通解是 .解由51a =-≠，设特解为*t y Bt A =+，代入得55,7212A B =-=，所以通解为 55(5)7212t t y C t =--+. 5. 设三个线性无关函数y 1，y 2，y 3都是二阶线性非齐次微分方程y ″+Py ′+Qy =f (x )的解，C 1，C 2是独立的任意常数，则该方程的通解是 .A C 1y 1+C 2y 2+y 3B C 1y 1+C 2y 2-(C 1+C 2)y 3 C C 1y 1+C 2y 2-(1-C 1+C 2)y 3 D C 1y 1+C 2y 2+(1-C 1-C 2)y 3解非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，121323,y y y y y y ---，是齐次方程y ″+Py ′+Qy =0的解，而且是线性无关的，所以齐次通解为：1122123C y C y (C C )y ++--，非齐次特解为：()()()123==y*y x y*y x y*y x =或或，所以选择D.6. 设f (x )=g 1(x )·g 2(x )，其中g 1(x )，g 2(x )在(-∞，+∞)内满足条件g 1′(x )=g 2(x )， g 1(x )=g 2′(x )，且g 1(0)=0，g 1(x )+g 2(x )=2e x .(1) 求f (x )所满足的一阶微分方程； (2) 求出f (x )的表达式.解 (1) 1212()()()()()f x g x g x g x g x '''=+2221()()g x g x =+ 21212[()()]2()()g x g x g x g x =+-2(2)2()x e f x =-故f (x )所满足的一阶微分方程为：2()2()4x f x f x e '-=.(2) 2d 2d 2()(4d )x xx f x e e e x C -⎰⎰=+⎰24(4d )x x e e x C -=+⎰24()xx ee C -=+22x xe Ce-=+由g 1(0)=0，则f (0)=g 1(0)·g 2(0)=0，代入上式得：1C =- 所以f (x )的表达式为：22()x x f x e e -=-.7. 设连续函数f (x )满足210()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-⎰，且f (0)=1，求f (x ).解设0()()d ,xy F x f u u ==⎰显然()y f x '=，又,00;u xt u t ===令当时，1u x t ==当时，；且d d u x t =，11()d =()d ()()d xf u u f tx x t f x x f tx t y ⋅===⎰⎰⎰则，所以21()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-⎰可化为微分方程22(1)x y y e x '-=-，这是一阶线性非齐次方程，解得2d d 21(d )2P x P xx x y e Qe x C Ce e -⎰⎰=+=-⎰，22()2x x y f x Ce xe '==-，又因为f (0)=1，可得21C =，所以22()x x f x e xe =-.8. 在xOy 坐标平面中，连续曲线L 过点M (1，0)，其上任意点P (x ，y )(x ≠0)处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数a >0).(1) 求L 的方程；(2) 当L 与直线y =ax 所围成平面图形的面积为4时，确定a 的值.解 (1)由题意可得方程yy ax x'-=，这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x=-()Q x ax =，所以d d 2(d )P x P x y e Qe x C Cx ax -⎰⎰=+=+⎰，又曲线L 过点M (1，0)，故C a =-，所以曲线方程为y = ax 2 –ax.(2)由定积分的知识可知，围成面积()222230014 d ()433x x a S ax ax ax x ax ax ===-+=-==⎰，故3a =.9. 验证函数36931()3!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++-∞<<+∞满足微分方程y ″+y ′+y =e x；利用所得结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.解 25831(),2!5!8!(31)!n x x x x y x n -'=+++++-∞<<+∞- 4732(),4!7!(32)!n x xx y x x n -''=+++++-∞<<+∞-231(),2!3!!n x x x x y y y x e x n "+'+=++++++=-∞<<+∞所以是微分方程的解，下面我们来求微分方程y ″+y ′+y =e x 的通解，这是常系数二阶0y y y "+'+=的通解为：212()x Y e C C-=+，故y ″+y ′+y =e x 通解为 2121()3x x y Y ye C C e -=+=++，令369321211()3!6!9!(3)!3x n x x x x x y e C x C e n -=++++++=++，下面确定系数，令0x =，得1113C =+，即123C =，两边同时求导得25831212122!5!8!(31)!111()223n x xx x x x y n e C Ce --'=+++++-=---++再令0x =，得1211023C -++=，即20C =，所以3369320211cos (3)!3!6!9!(3)!33xn n x n x x x x x e x e n n ∞-==++++++=+∑.。

差分方程基本知识

3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程，可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
若 f (t) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解：设 y0 已知，则
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
由于 a 1 , b 5 , a b,
22
故可设其特解为： yt* kbt .
代入方程，解得：k c 1 ,
ba 2
故原差分方程通解为：
yt

Y

yt*

A
1 t 2

1 2

5 t 2
.
(三) f (t) ctn (c为常数)，则差分方程为
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt

C(
1)t , 2

差分方程初步

2 − cos1 sin 1 cos t + yt = C2 − sin t 5 − 4cos1 5 − 4cos1
t
∆2 yt = ∆yt +1 − ∆yt = yt +2 − 2yt +1 + yt ∆2 yt +1 = ∆yt +2 − ∆yt +1 = yt +3 − 2yt +2 + yt +1
类似地，可以定义三阶差分：类似地，可以定义三阶差分：三阶差分
∆3 yt = ∆2 yt +1 − ∆2 yt = yt +3 − 3yt +2 + 3yt +1 − yt
一般地，可依次定义阶差分阶差分：一般地，可依次定义k阶差分：
i ∆k yt = ∑(−1)i Ck yt +k−i i=0 k
2、差分的性质、性质1 性质性质2 性质为常数，若a为常数，则∆a=0。为常数。为常数，若a、b为常数，则有、为常数
∆(ayt + bzt ) = a∆yt + b∆zt
差分方程初步
一、差分的概念及其性质 1、差分的概念、在经济与管理的实际问题中，在经济与管理的实际问题中，经济数据大多是以等间隔时间统计的。例如，国民收入、间隔时间统计的。例如，国民收入、工农业总产值等按年统计，产品产量、按年统计，产品产量、商品销售收入和利润等按月统计。由于这个原因，在研究分析实际经济与管理问题由于这个原因，时，各有关经济变量的取值是离散变化的。描述各级各有关经济变量的取值是离散变化的。经济变量之间变化规律的数学模型的数学模型是离散型的数学模型。型的数学模型。下面简单介绍一类最常见的离散型数学模型——差分方程。差分方程。学模型差分方程

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程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。

差分方程公式总结

差分方程公式总结嘿，咱们来聊聊差分方程这玩意儿！差分方程，听起来是不是有点让人头大？其实啊，它没那么可怕。

先来说说啥是差分方程。

简单来讲，就是含有未知函数差分的方程。

就像我们解普通方程一样，只不过这里的主角变成了差分。

比如说，有个一阶差分方程：$y_{n+1} - y_{n} = f(n)$ 。

这就表示相邻两个时刻函数值的差和自变量之间的关系。

咱们来仔细瞅瞅它的公式。

一阶线性常系数差分方程的一般形式是：$y_{n+1} + ay_{n} = f(n)$ ，这里的$a$是个常数。

求解它的办法有很多，像迭代法啦、特征根法啦。

拿迭代法来说，假设初始值是$y_0$ ，那么就可以一步一步地算下去：$y_1 = -ay_0 + f(0)$ ，$y_2 = -ay_1 + f(1)$ ，以此类推。

再说说特征根法。

先求出特征方程$r + a = 0$的根$r$ ，要是特征根不同，那通解就是$y_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n$ ；要是特征根相同，通解就是$y_n = (C_1 + C_2n)r^n$ 。

我还记得之前给学生讲差分方程的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，问：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们预测人口增长、经济发展，都可能用到差分方程呢。

”然后我给他举了个例子，假设一个城市每年的人口增长数量是上一年人口数量的10%，初始人口是 10 万，那咱们就可以用差分方程来算算未来几年的人口。

小家伙听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然发现了新大陆。

二阶线性常系数差分方程也有它的一套公式和解法。

一般形式是$y_{n+2} + ay_{n+1} + by_{n} = f(n)$ 。

求解的时候还是先看特征方程，不过这次是$r^2 + ar + b = 0$ 。

在实际应用中，差分方程可太有用啦。

比如在金融领域，分析股票价格的波动；在工程领域，预测系统的稳定性。

总之，差分方程虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的公式和方法，就能在很多地方派上用场。

差分方程初步-PPT精选文档

+…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解．
定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如果 y1(t),y2(t),…,yn(t) 是齐次线性差分方程 yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解,则方程的通解为： yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，
三、差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0, 使其对 t=…,-2,-1,0,1,2,… 成为恒等式 , 则称 yt=j(t) 为方程的解 .含有 n 个任意 ( 独立 ) 常数 C1,C2,…,Cn 的解
yt=j(t,C1,C2,…,Cn)
依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ………………
类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ………………
其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数．

第六节差分方程

f ( 0 )， f (1)，， f ( x )， f ( x 1)，将之简记为 y 0， y 1， y 2，， y x， y x 1 , 称函数的改变量 y x 1 y x 为函数 y 的差分， y x y x 1 y x .
也称为一阶差分，记为
解
a
1 2
1 C . 2
x
差分方程的通解为
Yx
特征方程法
例 2 求 3 y x y x 1 0 满足 y 0 2的特解 .
解原方程可改写为
特征方程为
特征根
3 y x 1 y x 0
3 1 0
1 3
差分方程的通解为
3 y x z x
y x 1 z x z x y x y x z x z x 1 y x
可参照导数的四则运算法则学习
差分方程的基本概念
1.差分方程与差分方程的阶
定义
含有x , 的函数方程
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
1.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构
y x n a1 y x n 1 a n 1 y x 1 a n y x 0
2 ( x 1 ) 1 ( 2 x 1 ) 2
yx (x ) 2 2 0
3 3 2
例 2 求下列函数的差分
(1 ) y log

差分方程基础知识

yt yt y
* t
C APt , 1 P A Ct ,
其中， A为任意常数，且当
P 1 时，
当
P 1 时，
C A y0 A1 , 1 P
A y0 A 1 .
例5 求差分方程
解由于
yt 1 3 yt 2 的通解.
，故原方程的通解为
2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解
定理设
yt
为齐次方程的通解， yt 为非齐次方程的一个
*
特解，则
yt yt yt* 为非齐次方程的通解.
y t 1 P y t 0
* * 证明由题设，有 yt 1 Pyt f (t ) ，及
将这两式相加得 ( y t 1 yt*1 ) P ( y t yt* ) f (t ) ，即
其特点是
yt n , yt n 1,, yt
都是一阶的.
三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数差分方程的一般方程形式为
yt 1 Pyt f (t )
其中则方程变为
f (t ) 为已知函数.如果 f (t ) 0 P 为非零常数，
yt 1 Pyt 0
f (t ) 0 时方程
yt t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
( n)
yt (t 1)
.
t
( n)
(t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
t (t 1) (t n 2)(t n 1)
( n 1)
y3 Py2 P y0
t
, yt Pyt 1 P y0 .

8-8差分方程

y a = 1 设 ~ x = xQn ( x )
次多项式) （ Qn ( x )：n 次多项式
代入方程比较系数定出 Qn (x ). 例4 求差分方程 y x +1 − 3 y x = −2 的通解的通解. 解
y x +1 − 3 y x = 0 的通解为 Y x = A3 x
因为 a = 3 ≠ 1, c = −2 c % 所以 y x +1 − 3 y x = −2 的特解为 y x = 1 − a = 1 x 差分方程的通解为 y x = 1 + A3
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分. 高阶差分
差分的性质：差分的性质：
1. ∆cy x = c∆y x ( c为常数 ) 2. ∆ ( y x + z x ) = ∆y x + ∆z x
例1 求 ∆ ( x 2 ) ,
∆2 ( x 2 ) ,
∆3 ( x 2 )
S t = − a + bPt (a , b > 0) , Dt = c − dPt (c , d > 0)
时期的价格P 设 t 时期的价格 t由 t-1时期的价格 Pt −1 与供给量及需时期的价格按如下关系确定. 求量之差 S t −1 − Dt −1 按如下关系确定. Pt = Pt −1 − λ ( S t −1 − Dt −1 ) （ λ 为常数），为常数），即
ux v x ⋅ ∆u x − u x ⋅ ∆v x 4. ∆ ( ) = vx v x ⋅ v x +1 5. 若y x 是n次多项式，则 ∆k y x 是n − k（0 ≤ k ≤ n）次多项式 , 次多项式，
?

第十三章+差分方程

第十章差分方程在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的. 例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，国民收入按年统计等等. 通常称这类变量为离散型变量. 描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型，差分方程是研究它们之间变化规律的有效方法.本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，差分方程在经济中的简单应用，与微分方程类似.§10.1 差分方程的基本概念一、差分设函数()y f t =，当自变量t 取离散的等间隔整数值012t =±± ，，，，则相应的函数值列为(1),(0),(1),,(),(1),f f f f t f t -+简记为1011,,,,,,t t y y y y y -+即)(t f y t =()012t =±± ，，，.定义1 设函数)(t f y t =，当自变量从t 变到1+t 时，相应的函数值的改变量1(1)()t t t y y y f t f t +∆=-=+-称为函数)(t f y t =在t 处的一阶差分，记作t y ∆.按一阶差分的定义，可以定义函数的高阶差分.定义2 函数)(t f y t =在t 处的一阶差分的差分称为函数在t 处的二阶差分，记作2t y ∆，即21211()()()t t t t t t t t y y y y y y y y ++++∆=∆∆=∆-∆=---t t t y y y +-=++122.依次定义函数)(t f y t =在t 处的三阶差分为3222121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=∆-∆+∆t t t t y y y y -+-=+++12333.一般地，函数)(t f y t =在t 处的n 阶差分定义为1111n n n n t t t t y y y y ---+∆=∆∆=∆-∆（）.二阶以及二阶以上的差分称为高阶差分.例1 设322-+=t t y t ，求2,t t y y ∆∆.解 221[(1)2(1)3](23)23t t t y y y t t t t t +∆=-=+++--+-=+，()21()2(1)3232t t t t y y y y t t +∆=∆∆=∆-∆=++-+=注意二阶差分也可由公式2212t t t t y y y y ++∆=-+计算.二、差分方程最常见的两类差分方程：例1（等差数列）公差为12d =的数列，满足 112n n a a +-=，1,2,n = （1）通项111(1)(1)2n a a n d a n =+-=+-，1,2,n = （2）例2（等比数列）公差为3q =-的数列，满足13n n a a +=-，1,2,n = （3）通项()11113n n n a a q a --==-，1,2,n = （4）方程(1)，（3）就是差分方程，（2），（4）分别是它们的解.定义3 含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程.差分方程中，未知函数最大下标与最小下标之差（或含有差分的最高阶数）称为差分方程的阶.定义4 n 阶差分方程一般形式2(,,,,)0n t t t t F t y y y y ∆∆∆= （5）或1(,,,,)0t t t n F t y y y ++= （6）其中，（5）式中的n t y ∆在方程中一定出现，（6）式中的,t t n y y +在方程中一定要出现.注意在一个差分方程中由（5）式定义的阶数与将该方程化为（6）的形式后所定义的阶数不一定相同.例如，差分方程20t t y y ∆-=按（5）式应是二阶差分方程，由于222t t t t y y y y +∆=-+,因此该方程可化为220t t y y +-=.按（6）式定义应为一阶差分方程,所以今后讨论差分方程的阶数按（6）式的定义. 例3 判断下列差分方程的阶数.（1）223t t t y y ∆-= （2）2123t t t t y y y ++--=（3）21223t t t t y y y -----= （4）320t t t y y ∆++=.解方程（1），（2），（3）都是二阶差分方程，实质是同一差分方程.方程（4）含有三阶差分3t y ∆，但可化为3213320t t t t y y y +++-++=因此，它是二阶差分方程.定义5 若n 阶差分方程可以表为如下形式()()()1111()t n t n n t n t y a t y a t y a t y f t ++--+++++= （8）则称为n 阶线性差分方程，其中12(),(),,()n a t a t a t 和()f t 均为自变量是t 的已知函数. 且()0n a t ≠，当()f t ≡0时，方程（8）称为n 阶非齐次线性差分方程.当()0f t ≡时，()()()11110t n t n n t n t y a t y a t y a t y ++--+++++= （9）称为n 阶齐次线性差分方程，或方程（8）对应的齐次方程.例如，方程2123t t t t y y y ++--=是二阶非齐次线性差分方程，而 2120t t t y y y ++--=是对应的齐次方程.三、差分方程的解定义6 任何代入差分方程后使其成为恒等式的函数，都称为该差分方程的解.定义7 若在差分方程的解中，含有与该方程的阶数相同的个数且相互独立的任意常数，则称这个解为差分方程的通解.通解中给任意常数以确定值的解，称为该差分方程的特解.确定通解中任意常数的条件，称为初始条件或定解条件.例4 设差分方程12t t y y +-=，验证2t y t C =+是差分方程的通解，并求满足015y =的特解.解将2t y t C =+代入方程，左边=()()2122t C t C ++-+==右边，所以2t y t C =+是方程的解，该方程是一阶差分方程，且含一个任意常数C ，故2t y t C =+为方程通解.将015y =代入，得15C =，即215t y t =+为所求特解.注微分描述变量变化的连续过程，差分描述变量变化的离散过程，两者之间的关系如下：0limx y dy y dy x dx x dx ∆→∆∆=⇔≈∆∆ ⇔(1)()(1)()(1)t y f t f t dy f t f t y x t t dx∆+-==+-=∆≈∆+- 所以，差分方程与微分方程在概念、解的结构及求解方法等很多方面相似. 下面以二阶常系数线性差分方程为例.定义8 二阶常系数线性差分方程的一般形式为)(12t f by ay y t t t =++++，（10）其中,a b 为常数，且0≠b ，)(t f 为t 的已知函数.当()f t ≡0时，方程（10）又称为二阶常系数非齐次线性差分方程.当()0f t ≡时，210t t t y ay by ++++= （11）称为二阶常系数齐次线性差分方程或方程（10）对应的齐次方程.定理1 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（11）的解，则)()()(2211t y C t y C t y +=，也是该方程的解，其中1C 、2C 为任意常数.定理2（齐次线性差分方程解的结构定理）若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（11）的线性无关特解，则1122()()()y t C y t C y t =+是该方程的通解，其中1C 、2C 为任意常数.定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理）若)(*t y 是二阶非齐次线性差分方程（10）的一个特解，()Y t 是齐次线性差分方程（11）的通解，则差分方程（10）的通解为*()()t y Y t y t =+.定理4（解的叠加原理）若函数)(*1t y ，)(*2t y 分别是二阶非齐次线性差分方程211()t t t y ay by f t ++++=与212()t t t y ay by f t ++++=的特解，则)()(*2*1t y t y +是差分方程)()()()(2112t f t f y t b y t a y t t t +=++++的特解.注上述解的结构定理，可推广到任意阶线性差分方程.习题10.11．求下列函数的一阶、二阶差分：（1）21t y t =+；（2）22t y t t =-；（3）3t t y =；（4）t t y a =.2．改写下列差分方程，并指出阶数：（1）235t t y y ∆-=；（2）3323t t t y y y ∆-∆-=；（3）2223t t t y y y t ∆+∆+=；（4）223t t t y y ∆-=.§10.2 一阶常系数线性差分方程定义1 一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1t f ay y t t =++（1）其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数.当()f t ≡0时，方程（1）称为一阶常系数非齐次线性差分方程；当0)(≡t f 时，01=++t t ay y （2）称为一阶常系数齐次线性差分方程或方程（1）对应的齐次方程.一、一阶常系数齐次线性差分方程由01=++t t ay y ，得10()y a y =-2210()()y a y a y =-=-,3320()()y a y a y =-=-,10()()t t t y a y a y -=-=-.设0y C =为任意常数，则方程（2）的通解为()tt y C a =-.注意实质是公比q a =-的等比数列通项0()t t t y y q C a ==-特别地，当1-=a 时，方程（2）的通解为C y t =， ,2,1,0=t .例1 求差分方程 120t t y y ++=的通解.解由于2a =，所以方程通解为(2)t t y C =-，0,1,2,t =例2 求差分方程 150t t y y +-=的通解.解方程变形为1105t t y y +-=，由于15a =-，所以方程通解为 15tt y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,1,2,t = . 二、一阶常系数非齐次线性差分方程求解步骤：（1）求出对应齐次方程01=++t t ay y 的通解()Y t ；（2）求出非齐次方程)(1t f ay y t t =++的一个特解()y t *；（3）写出非齐次方程)(1t f ay y t t =++的通解t y Y y *=+.注关键确定非齐次方程的特解()y t *，下面介绍常见两种类型的求特解的方法. 1．()()n f x P t =型其中()n P t 为n 次多项式.方程1()t t ny ay P t ++=的特解形式为()()k n y t t Q t *=n n 例3 写出下列差分方程的特解形式()y t *（1）2121t t y y t +-=+；（2）13t t y y t +-=+；（3）122t t y y t ++=+. 解（1）由于21a =-≠-，22()1P t t =+为二次代数多项式,故特解设为 2()y t at bt c *=++．（2）由于1a =-，1()3P t t =+为一次代数多项式,故特解设为()()y t t at b *=+．（3）方程化为111122t t y y t ++=+，由于112a =≠-，1()12t P t =+为一次代数多项式,故特解设为()y t at b *=+．例4 求差分方程21221t t y y t +-=-的通解.解由于21a =-≠-，所以齐次差分方程的通解为()2t Y t C =．又由于22()21P t t =-为二次代数多项式,因此非齐次差分方程的特解为2012()y t a t a t a *=++，代入原方程，得()()22001012221a t a a t a a a t -+-++-=-，比较系数，得02a =-，14a =-，25a =-，故特解为*2()245y t t t =---，于是，所求通解为22245t t y Y y C t t *=+=--- (C 为任意常数).2．()t f x bd =型.其中,b d 为非零常数.方程1t t t y ay bd ++=的特解形式为()k t y t t Ad *=例5 写出下列差分方程的特解形式y *（1）1232t t t y y ++=⋅；（2）122t t t y y +-=；（3）133tt t y y +-=. 解（1）由于2a d =≠-，故特解设为()2t y t A *=.（2）由于2a d =-=-，故特解设为()2t y t At *=. （3）方程化为11133t t t y y -+-=，由于13a d =-≠-，故特解设为()3t y t A *=. 例6 求差分方程t t t y y 21=++的通解.解由于1a d =≠-，齐次差分方程的通解为()(1)t Y t C =-，非齐次差分方程特解为*()2t y t A =，代入原方程，得1222t t t A A ++=，比较系数，得13A =，故特解为t t y 231)(*=，于是，所求通解为*1(1)23t t t y Y y C =+=-+ (C 为任意常数). 例7 求差分方程1232t t t y y ++=⋅满足04y =的特解.解已知2a d =≠-，所以齐次差分方程的通解为()(2)t Y t C =-，非齐次差分方程的特解设为()2t y t A *=，代入原方程，得1222 3.2t t t A A ++=，比较系数，得34A =，故特解为 3()24t y t *=⨯，于是，所求通解为*3(2)24t t t y Y y C =+=-+⨯，（C 为任意常数）由04y =，得134C =，故所求特解为 133(2)244t t t y =-+⨯.习题10.21．求下列差分方程的通解或特解：（1）132t t y y +-=-；（2）132t t y y t +-=+；（3）2122t t y y t +-=+；（4）12tt t y y +-=；（5）144t t t y y +-=；（6）12t t t y y t +-=；（7）122t t y y t +-=+，04y =；（8）12t t t y y ++=，02y =. §10.3 二阶常系数线性差分方程二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式为)(12t f by ay y t t t =++++ （1）其中,a b 为常数，且0≠b ，)(t f 为t 的已知函数，其对应的齐次方程为210t t t y ay by ++++= （2）一、二阶常系数齐次线性差分方程由解的结构定理，求解方程（2）关键是找它的两个线性无关的特解，显然t t y λ=符合方程（2）的系数特点，将其代入方程（2）有()20t a b λλλ++=因为0≠t λ，所以02=++b a λλ （3）定义1 方程（3）称为方程（2）的特征方程，特征方程的根称为特征根. 可见，若t t y λ=是方程（2）的解的充要条件是λ为其特征根.与微分方程类似，二阶常系数齐次线性差分方程求解步骤：（1）写出它的特征方程02=++b a λλ；（2）求出特征方程的两个特征根12,λλ；例1 求差分方程2120t t t y y y +++-=的通解.解特征方程为 220λλ+-=,特征根为122,1λλ=-=,则该方程通解为()122tt y C C =-+ （1C ，2C 为任意常数）.例2 求差分方程09612=+-++t t t y y y 的通解. 解特征方程为0962=+-λλ,特征根为321==λλ,则该方程通解为12()3t t y C C t =+ （1C ，2C 为任意常数）.例3 求差分方程016412=+-++t t t y y y 的通解. 解特征方程为01642=+-λλ,特征根为i 32221±=，λ,则令4r ==,由tan βωα===得3πω=,所以原方程的通解为124(cossin)33t t y C t C t ππ=+ (12,C C 为任意常数).二、二阶常系数非齐次线性差分方程求解步骤:（1）求出对应齐次方程210t t t y ay by ++++=的通解()Y t ；（2）求出非齐次方程210()t t t y ay by f t ++++==的一个特解()yt *；（3）写出非齐次方程210()t t t y ay by f t ++++==的通解t y Y y *=+.注意关键是确定非齐次方程的特解形式()yt *，常见形式如下表n n 注该表也适用于高阶常系数非齐次线性差分方程求特解. 例4 求差分方程)12(3612+=--++t y y y t t t t 的通解. 解特征方程为260λλ--=,特征根为21-=λ，32=λ,故对应的齐次方程通解为()1223tt t Y C C =-+ （1C ，2C 为任意常数）又由于()()321t f t t =+,其中3d =是单根，故特解设为*01()3()t y t t a t a =+,代入原方程，化简得()010(301533)3321t t a t a a t ++=+比较系数，得1225a =-，0115a =, 从而特解为)252151(3)(*-=t t t y t , 故所求通解为*1212(2)33()1525t t t t y Y y C C t t =+=-++-（1C ，2C 为任意常数）.例5 求差分方程t t t t y y y 39612=+-++的通解. 解特征方程为2690λλ-+=,特征根为321==λλ,故对应的齐次方程通解为12()3t t Y C C t =+ （1C ，2C 为任意常数）,又由于()3t f t =,其中3d =为二重根，故特解设为*2()3t y t At =,将其代入差分方程，得22212(2)36(1)3933t t t t A t A t At +++-++=,解得118A =, 于是特解为t t t y 3181)(2*=, 所求通解为*2121()3318t tt y Y y C C t t =+=++（1C ，2C 为任意常数）. 例6 求差分方程53312=+-++t t t y y y 满足初值条件50=y ，81=y 的特解. 解特征方程为2330λλ-+=,特征根为i 232321±=，λ, 因为3=r ，由33tan =ω，得3πω=,所以齐次差分方程的通解为12(cossin)66t t Y C t C t ππ=+,又由于()5f t =,其中1d =不是特征根，故特解设为*()y t A =,将其代入差分方程得335A A A -+=,从而5A =,于是特解为5)(*=t y ,所以原方程通解为5)6sin6cos()3()(21++=t C t C t y t ππ,将8,510==y y 分别代入上式，解得01=C ，322=C ,故所求特解为56sin)3(2)(1*+=+t t y t π.习题10.31．求下列差分方程的通解（1）2120t t t y y y ++--=；（2）212150t t t y y y +++-=；（3）21440t t t y y y ++-+=；（4）2120t t t y y y ++++=；（5）21220t t t y y y ++-+=；（6）2109t t y y ++=. 2．求下列差分方程的通解或特解（1）21212t t t y y y +++-=，011,1y y ==；（2）21343t t t y y y t +++-=；（3）2124t t t y y y ++-+=,011,5y y ==；（4）21443t t t y y y t ++-+=+ （5）21t t y y t ++=+，011,1y y == （6）2154t t t y y y t ++++=§10.4 差分方程在经济学中的应用一、筹措教育经费模型某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育，并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金. 要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%.设第t 个月投资帐户资金为t S 元，每月存入资金为a 元. 于是，20年后关于t S 的差分方程模型为1 1.0051000t t S S +=- （1）并且x S S ==0120,0. 解方程（1），得通解10001.005 1.0052000001 1.005t t t S C C =-=+-由1200S =得120120 1.0052000000S C =+=因此1202000001.005C =-,由0S x =有 0200000S C x =+= 从而有45.07390005.1000200000200120=-=x从现在到20年内，t S 满足的差分方程为1 1.005t t S S a +=+ （2）且45.07390,02400==S S 解方程（2），得通解1.005 1.0052001 1.005t t t aS C C a =+=--以及240240 1.00520090073.45S C a =-=02000S C a =-=从而有95.194=a即要达到投资目标，20年内要筹措资金90 073.45元，平均每月要存入银行194.95元. 二、价格与库存模型设t P 为第t 个时段某类产品的价格，t L 为第t 个时产品的库存量，L 为该产品的合理库存量. 一般情况下，如果库存量超过合理库存，则该产品的价格下跌，如果库存量低于合理库存，则该产品的价格上涨，于是有方程)(1t t t L L c P P -=-+，（3）其中c 为比例常数. 由（3）式可得211()t t t P P c L L +++-=- (4)由(4)-(3)可得)(2112t t t t t L L c P P P --=+-+++ （5）又设库存量t L 的改变与产品销售状态有关，且在第1+t 时段库存增加量等于该时段的供求之差，即11+++-=-t t t t t D S L L （6）若设供给函数和需求函数分别为βαα+--=-=)(),(P b D P a S ,代入到（6式得ααb a P b a L L t t t t --+=-++)(1,再由（5）得方程21[()2]()t t t P c a b P P c a b α++++-+=+ （7）设方程（7）的特解为A P t =*，代入方程得α=A ，方程（7）对应的齐次方程的特征方程为01]2)([2=+-++λλb a c ,解得]2)([21,122,1-+=-±-=b a c r r r λ,于是若1||<r ，并设θcos =r ，则方程（7）的通解为12cos sin t P B t B t θθα=++,12,B B 为两个任意实数.若1||>r ，则21,λλ为两个实根，方程（7）的通解为1122t tt P A A λλα=++,由于1122-<-<---=r r r λ,则当+∞→t 时，2t λ将迅速变化，方程无稳定解.因此，当11<<-r ，即210<+<r ，亦即ba c +<<40时，价格相对稳定，其中c b a ,,为正常数.复习题十1．填空题：（1）设1t y t=，则t y ∆= .（2）设12tty e =，则2t y ∆= . （3）差分方程225t t y y ∆+∆=的阶数为 . （4）差分方程333t t t y y y ∆-∆-=的阶数为 .2．求下列差分方程的通解或特解：（1）135t t y y t ++=；（2）2121t t y y t +-=+；（3）121050t t y y t ++-=；（4）132tt t y y +-=，01y =；（5）122tt t y y ++=，043y =；（6）11232tt t y y +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.3．求下列差分方程的通解：（1）21230t t t y y y +++-=；（2）2110250t t t y y y ++++=；（3）210t t t y y y ++++=；（4）21324t t t y y y ++-+=；（5）2128t t t y y y ++-+=；（6）212235tt t t y y y ++-+=⋅.4．某公司每年的工资总额正比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额（单位百万元），求t W 满足的差分方程.。

差分方程初步

差分方程介绍

第六章 第节 差分方程

差分方程简介

差分方程的基本知识(3)

微积分 第十一章 差分方程初步

第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程

差分方程讲解

习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步

高等数学习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步

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第六节 差分方程

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第一、二节差分方程的基本概念一阶常系数线性差分方程

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高等数学习题详解-第10章微分方程与差分方程初步

第六节差分方程