10AW 传热学 第三章
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0
x
远大于平板内的导热热阻 /, 即 1/h /
从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说物 体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。我们 称这样的非稳态导热系统为集总参数系统（一个等温系统 或物体）。
曲线（a）表示平板外环境的换热热阻 1/ h
远大于平板内的导热热阻 / , 即
1/h /
下图表示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三 种不同边界情况的温度分布曲线（a）、（b）、（c）
(b) (c) t t∞
(a)
x
0
x
此图的实质，是表明在第三类边界条
(b) (c) t
件下可能的三种温度分布。
t∞
按照传热关系式 qttw twt (a)
1h
可作一近似的分析。
曲线（a）表示平板外环境的换热热阻1/ h x
这里， Fov 是傅立叶数。
考察指数项
hA cV
BViFoV
hl l
Bi
1h
＝ 物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
无量纲 热阻
换 热 时 间
无量纲
F o l2a 边 界 热 扰 动 扩 散 到 l2 面 积 上 所 需 的 时 间 时间
Biv越小，表示内部热阻小或外部热阻大，则内部温度就
非稳态导热可分为
周期性非稳态导热 非周期性非稳态导热（瞬态导热）
周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过
程，物体温度按一定的周期发生变化。在周期性非稳态导热 的物体中，一方面，物体内各处的温度按一定的振幅随时间 周期性地波动；另一方面，同一时刻物体内的温度分布也是 周期性波动。
非周期性非稳态导热：在瞬间变化的边界条件下发生的导热
传热学第三章答案(精品资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第三章思考题1. 试说明集中参数法的物理概念及数学处理的特点答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。
而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数，数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。
2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性?答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数hA cvc ρτ=,形状上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。
3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。
如薄板两侧均匀加热或冷却、炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。
4.什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有些什么特点?答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(δ/x)和边界条件(Bi数)的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。
这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。
5.有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由是：这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。
你是否同意这种看法,说明你的理由。
答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变但各点温度的绝对值在无限接近。
这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。
《传热学》第三章 非稳态热传导
∂t −λ ( ) w = h(tw − t f ) ∂n
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条 件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题 的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中 温度分布的影响
Bi =
δ λ δh = 1h λ
1）毕渥数的定义：
δ λ δh Bi = = 1h λ
毕渥数属特征数（准则数）。 2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小 反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规 律。 3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过 程特征的无量纲数。 4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺 度。 毕渥数
∂t Φ = ∂τ ρ c
⋅
φ可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边 界（零维无任何边界） 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源， 即： − ΦV = Ah(t − t )
∞
物体被冷却，∴φ应为负值
dt ρ cV = − Ah(t − t∞ ) dτ
适用于本问题的导 热微分方程式
方法二
温度分布主要 受初始温度分 布控制 温度分布主要 取决于边界条 件及物性
非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的 两个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 非正规状况阶段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变； 正规状况阶段： Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条 件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题 的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中 温度分布的影响
Bi =
δ λ δh = 1h λ
1）毕渥数的定义：
δ λ δh Bi = = 1h λ
毕渥数属特征数（准则数）。 2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小 反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规 律。 3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过 程特征的无量纲数。 4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺 度。 毕渥数
∂t Φ = ∂τ ρ c
⋅
φ可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边 界（零维无任何边界） 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源， 即： − ΦV = Ah(t − t )
∞
物体被冷却，∴φ应为负值
dt ρ cV = − Ah(t − t∞ ) dτ
适用于本问题的导 热微分方程式
方法二
温度分布主要 受初始温度分 布控制 温度分布主要 取决于边界条 件及物性
非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的 两个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 非正规状况阶段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变； 正规状况阶段： Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。
《传热学》第3章_非稳态热传导
3. 毕渥数及傅里叶数的物理意义
毕渥数
Bi
hl
l 1
＝ 物体内部导热热阻
h 物体表面对流换热热阻
傅里叶数Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲热阻 无量纲时间
毕渥数 越小，利用集中参数法分析结果越接近实际情况
傅里叶数 是表征非稳态过程进行深度的无量纲时间，Fo越大，
引入扩散系数 a
c p
，于是有
t
a2t
c p
导热微分方程
初始条件 tx, y, z,0 f x, y, z
tx, y, z,0 t0
边界条件
(
t n
)
w
h(tw
tf
)
(第三类边界条件,n为换热表面外法
线，h,tf已知，tw,
t n
a
(V A)2
为傅里叶数。
方程分析解变为：
0
exp
hA Vc
exp Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
12
第3章 非稳态热传导
3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅里叶数
1. 导热量计算式 导热量：从初始时刻到某一瞬间为止的时间间隔内，物体与流体间所
交换的热量。 问题求解: 由瞬时热流量对时间做积分
cV
dt
d
cV t0
t
hA
cV
exp
hA
cV
t0
t
hA
传热学-第三章
例 一直径为5cm的钢球，初始温度为450℃，突然被放置于 温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围环境间的表面传热 系数为24w/(m2K)，试计算钢球冷却到300℃所需的时间。 已知钢球的比热c=0.48kJ/(kgK)，密度=7753kg/m3，导热 系数=33w/(mK)。 解：首先检验是否可以采用集总参数法。为此计算Biv数：
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多， 为了减少问题所涉及的参数，将一些参数组合起来，使之 能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且没有 量纲。
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数， 比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似的 准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用 符号 l 表示。
30 1200
解得 =329s=0.091h
§3-3 典型一维物体非稳态导热的分析解
1. 无限大平板的分析解
已 知 ： 厚 度 为 2 的 无 限 大 平 板 ， 初温为t0，初始瞬间将其放 于 温 度 为 t∞ 的 流 体 中 ， 而 且t0>t∞，流体与板面间的 表面传热系数h为一常数。
常数 ( cV / hA) 小。
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电 偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的 (微细热电偶、薄膜热电阻)
当 4 Vc 时， 1.83% hA
0
工程上认为=4 cV / hA时，导热体已达到热平衡状态
3. 瞬态热流量
Φ( ) hA(t ( ) t ) hA
边界条件
t 0 x 0 x
(对称性)
t x
h(t
t )
传热学第三章
θ (x,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θm (τ ) ;
θ (x,τ ) = f (Bi,
x )
θ0
θm (τ ) θ0
θm (τ )
δ
传热学 Heat Transfer
3-4 二维及三维非稳态导热的求解
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ ∂x 2
τ = 0,θ = θ0
x = 0,τ > 0,θ = 0
x → ∞,τ > 0,θ = θ0
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
三、解的结果
Θ
=
θ θ0
=
t − tw t0 − tw
=
erf
(
式中:
η=
2
x aτ
x 4aτ
)
=
erf
(η
)
erf (η) 称为误差函数 ,查图 3-12和附录17计算。
华北电力大学
刘彦丰
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁 垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个 无限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六 面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
对于无限长方柱体
Fo
=
aτ l2
称为傅立叶数
FoV
=
aτ (V / A)2
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
传热学第3章非稳态导热
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
传热学第三章
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
※简化假设： （1）导热体为几何形状简单、均质各向同性材料； （2）常物性、无内热源、壁面温度均匀一致； （3）一维稳态导热。 ※一维稳态导热计算公式的导出途径： （1）
导热微分方程 边界条件 Fourier定律 边界条件 Fourier定律 边界条件
①温度分布 t t ( x)或 t t (r ) 和q ② ③R 和r 若定积分，则可以不求解温度场而直接求得
（ e） （f ）
（ g）
r r 1 , t t w1 r r2 , t t w2
同样的计算公式：
求解上述方程，经过整理可以得出和第一种求解方法 温度分布①、热流量或线热流量②、热阻③。
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
（3）对傅里叶定律表达式分离变量，并进行定积分:
tw 2 dr dt t w1 2l r
t w1 t w3 q 解：本题为多层平壁的导热问题，应有 1 2
把所有的已知数据代入，有
1
2
1300 30 0.02 t w1 t w3 1 ) 0.35 0.238 m 2 ( ) 2 ( 1830 1.3 q 1
第三章 稳态导热
流量Φ为常量，但热流密度 q
※工程计算中，一般采用热流量或线热流量。 线热流量：是指单位长度圆筒壁的导热热流量，即
却是变量。
l l
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
将温度分布代入傅里叶定律，可求出其热流量或线热流量为：
dt dt 2l (t w1 t w2 ) 2l (t w1 t w2 ) A (2rl ) r d dr dr ln 2 ln 2 r1 d1 l 2 (t w1 t w 2 ) 2 (t w1 t w 2 ) r2 d2 l ln ln r1 d1
传热学第三章
第三章 非稳态导热
unsteady state heat conduction
3-1 非稳态导热过程的特点
一、定义 导热体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热
∂t t = f ( x, y , z , τ ) , ≠0 ∂τ
工程中的许多过程都是非稳态导热： 冶金、热处理和热加工；工件被加热和冷却； 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变工况； 自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空气温度。
四、导温系数（热扩散系数）
∂t ∂ t ρcp =λ 2 ∂τ ∂x
2
λ a = ρc p
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x
反映了物体的导热能力和储热能力之比，它可以用来衡量 物体在加热或冷却时内部温度变化传播速度。 λ越大，说明在相同的温度梯度下可以传递更多的热量；ρ c p 越小，单位体积的物体温度升高1℃所需要的热量越小，可以 剩下更多的热量继续向物体内部传递，使得物体内部各点温度 趋于一致的能力提高。
五、毕渥准则对温度分布的影响 αδ 毕 渥 准 则 — 无 量 纲 数 δ —平板厚度之半 Bi = λ αδ δ / λ 物体内部导热热阻 Bi = = λ 1/α 物体表面对流换热热阻
t0
τ
t0
τ
t0
τ
tf
tf
tf
tf
tf
tf
1 / α << δ / λ
Bi→∞
1 / α >> δ / λ
毕渥数Bi对平板温度场变化的影响
例题3-1 一直径为50mm的钢球，初始温度为450℃，突然 被置于温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围空气的对流 换热系数为24W/(m2·K)，试计算钢球冷却到300℃时所需要 的时间。已知钢球的 c p = 480 J /(kg ⋅ K ), ρ = 7753kg / m3 , λ = 33W /(m ⋅ K ). 解： 首先检验是否可以采用集总参数法。
unsteady state heat conduction
3-1 非稳态导热过程的特点
一、定义 导热体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热
∂t t = f ( x, y , z , τ ) , ≠0 ∂τ
工程中的许多过程都是非稳态导热： 冶金、热处理和热加工；工件被加热和冷却； 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变工况； 自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空气温度。
四、导温系数（热扩散系数）
∂t ∂ t ρcp =λ 2 ∂τ ∂x
2
λ a = ρc p
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x
反映了物体的导热能力和储热能力之比，它可以用来衡量 物体在加热或冷却时内部温度变化传播速度。 λ越大，说明在相同的温度梯度下可以传递更多的热量；ρ c p 越小，单位体积的物体温度升高1℃所需要的热量越小，可以 剩下更多的热量继续向物体内部传递，使得物体内部各点温度 趋于一致的能力提高。
五、毕渥准则对温度分布的影响 αδ 毕 渥 准 则 — 无 量 纲 数 δ —平板厚度之半 Bi = λ αδ δ / λ 物体内部导热热阻 Bi = = λ 1/α 物体表面对流换热热阻
t0
τ
t0
τ
t0
τ
tf
tf
tf
tf
tf
tf
1 / α << δ / λ
Bi→∞
1 / α >> δ / λ
毕渥数Bi对平板温度场变化的影响
例题3-1 一直径为50mm的钢球，初始温度为450℃，突然 被置于温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围空气的对流 换热系数为24W/(m2·K)，试计算钢球冷却到300℃时所需要 的时间。已知钢球的 c p = 480 J /(kg ⋅ K ), ρ = 7753kg / m3 , λ = 33W /(m ⋅ K ). 解： 首先检验是否可以采用集总参数法。
传热学-第三章(3-1)
着重讨论瞬态非稳态导热 温度分布： 3 温度分布： 设有一平壁，其初 t 设有一平壁， 始温度为t 始温度为t0，令其 左侧温度突然升高 并保持不变， 到t1，并保持不变， t 而右侧仍与
H
1
δ
τ4 τ3
τ2
τ1
A
0
B
B’
D
τ0
温度为t 的空气接触， HBD、 温度为t0的空气接触，平板上温度的变化如图HBD、 HCD、HE、 最终达到稳态时，温度分布保持恒定， HCD、HE、HF，最终达到稳态时，温度分布保持恒定， 如曲线HG。
故非稳态物体的温度分布又可表示为： 故非稳态物体的温度分布又可表示为：
θ =e θ0
−
hA τ ρ cV
=e
−
τ τc
当 τ=
ρVc
hA
= τc
时，则
hA τ⋅ = 1 此时， ρVc
θ = e−1 = 36.8% θ0
上式表明： 上式表明：当传热时间等于时间常数 时，物 hA 体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8 36.8％。 体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 即变化了63.2 即变化了63.2％ ρVc θ 当 τ =4 时， =1.83% hA θ0 工程上认为τ =4
λ
>>
1 h
2）当 rλ << rh
δ 1 << 时， λ h
，因此，可以忽略导热热阻 因此，
此时 Bi → 0 因而过程任一 时刻平板中各点的温度接 近均匀， 近均匀，并随着时间的推 温度整体下降， 移，温度整体下降，逐渐 趋于 t∞ 。 3） 当 与
0 < Bi < ∞
1 h
传热学 第3章(n)
（微细热电偶、薄膜热电偶）
第3章 非稳态传热
3.3 一维非稳态导热的分析解
当几何形状和边界条件都比较简单时可以获得分析解。
一、无限大平板的分析解
1、问题描述
λ =const a=const h=const
因两边对称，只研究半块平壁
第3章 非稳态传热
2、数学模型
t 2t 导热微分方程 a 2 x t x,0 t0 初始条件 t | x 0 0 边界条件 x t x | x ht , t
（初始阶段），正规状况阶段，建立新稳态阶段。
二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别 的三个不同阶段，而周期性非稳态导热不存在。
第3章 非稳态传热
t
四、边界条件对温度分布的影响
一大平壁置于高温环境中。 问题的分析： 存在两个传热环节：
tf
tf h
h
0
x
tm
1、 流体与物体表面的对流换热 rh 1 h 2、 物体内部的导热 r
第三章 非稳态传热
第3章 非稳态传热
§ 3.1
基本概念
§3.2 集总参数法
§ 3.3 § 3.4
一维非稳态导热的分析解 二维及三维非稳态导热问题
第3章 非稳态传热
§ 3.1基本概念
一、定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
二、分类
例子： ①空调房间，通过墙壁的导热 —周期性periodic unsteady conduction ②淬火过程 ——非周期性（瞬态）transient conduction
h 1）定义： Bi 1h
2）物理意义： 导热系统内导热热阻与其和环境之 间的对流换热热阻的相对大小。
第3章 非稳态传热
3.3 一维非稳态导热的分析解
当几何形状和边界条件都比较简单时可以获得分析解。
一、无限大平板的分析解
1、问题描述
λ =const a=const h=const
因两边对称，只研究半块平壁
第3章 非稳态传热
2、数学模型
t 2t 导热微分方程 a 2 x t x,0 t0 初始条件 t | x 0 0 边界条件 x t x | x ht , t
（初始阶段），正规状况阶段，建立新稳态阶段。
二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别 的三个不同阶段，而周期性非稳态导热不存在。
第3章 非稳态传热
t
四、边界条件对温度分布的影响
一大平壁置于高温环境中。 问题的分析： 存在两个传热环节：
tf
tf h
h
0
x
tm
1、 流体与物体表面的对流换热 rh 1 h 2、 物体内部的导热 r
第三章 非稳态传热
第3章 非稳态传热
§ 3.1
基本概念
§3.2 集总参数法
§ 3.3 § 3.4
一维非稳态导热的分析解 二维及三维非稳态导热问题
第3章 非稳态传热
§ 3.1基本概念
一、定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
二、分类
例子： ①空调房间，通过墙壁的导热 —周期性periodic unsteady conduction ②淬火过程 ——非周期性（瞬态）transient conduction
h 1）定义： Bi 1h
2）物理意义： 导热系统内导热热阻与其和环境之 间的对流换热热阻的相对大小。
传热学第三章答案
传热学第三章答案第三章思考题1. 试说明集中参数法的物理概念及数学处理的特点答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。
而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数，数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。
2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性?答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数hA cvc ρτ=,形状上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。
3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。
如薄板两侧均匀加热或冷却、炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。
4.什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有些什么特点?答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置( /x)和边界条件(Bi数)的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。
这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。
5.有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由是：这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。
你是否同意这种看法,说明你的理由。
答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变但各点温度的绝对值在无限接近。
这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。
10AW 传热学 第三章
7
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
xc 流动边界层示意图
8
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
边界层分类： （1）层流边界层 （2）过渡流边界层 （3）湍流边界层 （4）由层流边界层开始向湍流边界层过渡的距离 称为临界长度xc。该处的雷诺数称为临界雷诺数。
20
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1.8 对流换热的分类
21
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.2 对流换热准则方程
由于对流换热是复杂的热量交换过程，所涉及的变量 参数比较多，常常给分析求解和实验研究带来困难，因此 人们常采用相似原则对换热过程的参数进行归类处理。 对流换热系数函数： h = f(u，tW，tf，λ，c，ρ，v，l···) 依据相似理论分析，把对流换热系数函数众多的变量 组成几个数群，这种数群称为相似特征数，即相似准则， 量纲为一。每一个准则反映一个方面的影响，从而把换热 系数函数式变换成几个相似准则的函数式。
Φ = hA(t f − tW ) W
q = h(t f − tW ) W / m 2
h 为对流换热表面传热系数，是表征对流换热强度 的量，数值上等于流体和壁面和壁面之间的温差为 1℃时，单位时间单位壁面上的对流换热量。 分析计算对流换热过程，实质上就是设法计算各 种情况下的对流换热系数,进而求出对流换热量。 有时需要研究影响对流换热系数的各种因素，从 而找出增强或减弱传热的途径。
传热学-第三章
无量纲数
当Bi→∞时，⇒rλ>>rh ；因此，可以忽略对流换热热阻 当Bi→0 时，⇒rλ<<rh；因此，可以忽略导热热阻
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很 多，为了减少问题所涉及的参数，将一些参数组合起来， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且 没有量纲。 因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则 数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类 似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以 及定义式中各个参数的含义。
着重讨论瞬态非稳态导热
3. 温度分布：
4. 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 温度分布主要受初始温度 分布控制 温度分布主要取决于边界 条件及物性
非稳态导热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段 （起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
5. 热量变化
可以采用集总参数法。时间常数为
13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 −3 = = 148 τc = hA 11.63
ρcV
s
⎛ hA ⎞ 11.63 × 5 × 60 θ ⎛ ⎞ = exp⎜ − ⎟ ⎜ ρcV ⋅ τ ⎟ = exp⎜ − ⎟ −3 θ0 ⎝ 13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 ⎠ ⎝ ⎠ = exp(− 2.02 ) = 0.133
5. 集总参数法的应用条件
对于平板、圆柱及圆球，如果Bi满足如下条件，则 物体中各点过余温度的差别小于5%
Bi v =
对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
传热学课件第三章稳态导热
重点与难点
重点： 平壁、圆筒壁的一维稳态导热 难点： 肋片的导热
内容精粹
§1 通过平壁的导热
§2 通过圆筒壁 的导热
§3 通过球壁的导热
§4 接触热阻
§5 通过肋片的导热
第一节
通过平壁的导热
一、第一类边界条件下的平壁导热
当平壁的两表面分别维持均匀恒定 的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。
1. 单层平壁的稳态导热
圆球型导热仪示意图
在导热过程达到稳态后，通过被测材料层的
热流量Ф 就等于电加热功率P，忽略球壳的导热
热阻，被测材料层的内、外径即为内球壳外径d1 和外球壳内径d2，内外两侧的温度分别等于内、 外球壁的平均壁温tw1、tw2
。则所测材料在tw1～
tw2温度范围内的平均热导率为：
（d 2 d1） m 2d1d（ 2 t w1 t w 2）
2. 多层平壁的稳态导热
多层平壁由多层不同材料组成，当两表面分别维 持均匀恒定的温度时，其导热也是一维稳态导热。 以三层平壁为例，假设 （1）各层厚度分别为1、2、3， 各层材料的导热系数分别为1、2、 3 , 且分别为常数； （2）各层之间接触紧密, 相互 接触的表面具有相同的温度； （3）平壁两侧外表面分别保持 均匀恒定的温度tw1、tw4。 显然，通过此三层平壁的导热为 稳态导热, 各层的热流量相同。
tw1 tw 4 l Rl1 Rl2 Rl3 tw1 tw 4 d3 1 d2 1 1 d4 ln ln ln 21 d1 22 d 2 23 d3
对于 n层不同材料组成的多层圆筒壁的稳态导热 , 单位 长度的热流量为
l
tw1 tw n 1
三层平壁稳态导热的总导热热阻为各层导热热阻 之和，由单层平壁稳态导热的计算公式可得 tw1 tw 4 tw1 tw 4 3 1 2 R1 R 2 R 3 A1 A2 A3
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22
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.2.1 物理现象相似的条件 模型实验与原形实验之间满足物理相似的条件： （1）用相同形式且具有相同内容的微分方程所描述 的现象，称为同类现象。只有同类现象才能谈相似问题， 必须是同类现象，即现象的物理性质相同。 （2）物理现象的相似只发生在几何相似的体系中。 几何相似是指换热面放置位置要相同，几何形状要相似。 彼此相似的现象，其同名准则数必定相等。
15
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1.6.3 流体的热物理性 对流换热是流体内部导热和流体微团传递能量的复 合过程。因此，流体本身的热物理性对换热系数的大小 有很大的影响。影响流体热物性的参数主要有：导热系 数、比热、动力粘度、密度等。
chcl =1 cλ
(e)
这说明，描述对流换热现象规律的三个相关物理 量，它们各自的相似倍数之间必然存在着制约关系。
10
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
Tw
热边界层示意图
11
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
热边界层传热特点： （1）层流边界层：热流传递依靠导热，换热较弱。 （2）湍流边界层：层流底层的传热仍依靠导热， 湍流区，除导热外，主要靠漩涡扰动的对流混合作用， 换热较强。
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
Heat Transfer
第3章
对流换热
Charpter 3 Convection Heat Transfer
华中农业大学工学院
1
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
6
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1.4 流动边界层 当流体流过壁面时会产生粘性力，这种粘性力 用流体内层与层之间的切应力来描述。 对于牛顿型流体，切应力与速度梯度成正比，即：
τ＝ η
du dy
η 称为动力粘度，单位 Pa·s 。
4
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1.2 常见的对流换热现象及应用
5
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1.3 对流换热基本公式
7
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
xc 流动边界层示意图
8
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第3 章
对流换热
边界层分类： （1）层流边界层 （2）过渡流边界层 （3）湍流边界层 （4）由层流边界层开始向湍流边界层过渡的距离 称为临界长度xc。该处的雷诺数称为临界雷诺数。
Recr = u∞ xcr
ν
ν = η ρ 为运动粘度，m2/s
通常流体沿平板流动时，Recr = 50 x 105。
9
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1.5 热边界层 流体与壁面之间存在温差，流体流过壁面时，被壁 面加热，紧贴壁面处流体温度必等于壁面温度，但流体 在垂直于壁面的某一定区域内，温度由 tf 升为 tw 。测量 发现，这一温度变化仅发生在紧靠壁面的一薄层流体中， 而且该薄层的厚度δ随流体在板上流过的距离的增加而 增大。把温度剧烈变化的这一薄层称为热边界层。 流体与壁面之间的温差仅发生于热边界层内。
ϕ ′ and ϕ ′′ 为两个相似的物理量，则有：
ϕ′ = cϕ ϕ ′′
c ϕ 为相似物理量的相似倍数。
24
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.2.2 对流换热现象相似的准则和准则方程 3.2.2.1 相似准则的导出 设两个相似的对流换热现象，它们的对流换热微 分方程分别为：
Φ = hA(t f − tW ) W
q = h(t f − tW ) W / m 2
h 为对流换热表面传热系数，是表征对流换热强度 的量，数值上等于流体和壁面和壁面之间的温差为 1℃时，单位时间单位壁面上的对流换热量。 分析计算对流换热过程，实质上就是设法计算各 种情况下的对流换热系数,进而求出对流换热量。 有时需要研究影响对流换热系数的各种因素，从 而找出增强或减弱传热的途径。
13
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1.6.1 流体流动的动力因素 1、流体流动的动力因素是指流体运动产生的原因。 对流换热按流体流动的动力因素可分为强迫对流和自然 对流两大类。强迫对流是指风机或水泵等机械设备所产 生的外力迫使流体相对于壁面而产生的运动。自然对流 是流体冷、热各部分的密度差产生的浮升力而引起。 2、强迫对流时，整个流体的运动是受迫的宏观运动， 因而流体的流速将对换热系数的大小产生很大的影响； 而自然对流时，流体内部的浮力引起的的宏观运动，因 而浮升力的大小则是影响学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1.6.4 换热壁面的热状态 1、换热壁面的热状态是指壁温tw的大小。 2、有相变：当壁温明显高于周围液体的饱和温度 时，壁面上形成大量气泡而发生气化沸腾现象，此即有 相变对流换热过程。有相变时，传递的热量包含了潜热， 而且气泡的运动对液体产生强烈的扰动。因此对流换热 的机理则更为复杂。与无相变时比较，换热系数要大得 多。 3、无相变：如壁温 tw 与流体温度tf相差甚大，则要 考虑大温差所引起的流体内部各部分热物性参数的不同 对换热系数的影响。
23
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
（3）两个物理现象相似，意味用来说明该两类现象 物理性质的一切物理量相似，即在空间相对应的各点和 时间上相对应的瞬时，说明第一个现象的某个物理量和 第二个现象的同类物理量互成比例。
h=f (u tW t f，λ，c ρ，v，l， ) ， ， ， ⋯
对流换热过程很复杂，有受迫流动和自由流动，层 流和湍流，有相变与无相变等不同的情况，各种性质不 同的流体以及换热面的形状、大小和相对位置等组成了 多种不同规律的换热过程。 要了解对流换热系数变化规律，只有对上述各种情 况分门别类地进行分析和试验，才能获得反映各种情况 的计算公式。
3
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1 对流换热概述
3.1.1 对流换热过程基本概念 流体流过壁面，与壁面存在温度差时，流体与壁面间进 行的热量传递过程。 特点： （1）存在温差，而且与固体表面直接接触； （2）既有热对流，也有导热，是导热和对流联 合作用的结果。
17
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1.6.5 换热壁面的几何因素 换热壁面的形状、大小以及相对于流动方向的位置 等均为换热壁面的几何因素。壁面的几何因素不同，流 体的流动情况也随之变化，从而引起换热系数的变化。 例如，流体横掠过不同断面或不同直径的管道时就 会具有不同的换热系数。即使流体流过同样断面和大小 的管道，当流动方向与管轴线夹角不同时，换热系数也 会不同。
18
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
换热面示意图
19
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
3.1.7 对流换热系数的函数 影响对流换热系数的因素很多，写成函数形式如下：
25
工程热力学和传热学
Engineering Thermodynamics & Heat Transfer
第3 章
对流换热
将式（c）带入式（a），整理后得：
∂t ′′ chcl ′′∆t ′′ = −λ ′′ h cλ ∂y′′ W
(d)
将式（b）和式（d）进行比较，必然是：
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第3 章
对流换热
3.2.1 物理现象相似的条件 模型实验与原形实验之间满足物理相似的条件： （1）用相同形式且具有相同内容的微分方程所描述 的现象，称为同类现象。只有同类现象才能谈相似问题， 必须是同类现象，即现象的物理性质相同。 （2）物理现象的相似只发生在几何相似的体系中。 几何相似是指换热面放置位置要相同，几何形状要相似。 彼此相似的现象，其同名准则数必定相等。
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对流换热
3.1.6.3 流体的热物理性 对流换热是流体内部导热和流体微团传递能量的复 合过程。因此，流体本身的热物理性对换热系数的大小 有很大的影响。影响流体热物性的参数主要有：导热系 数、比热、动力粘度、密度等。
chcl =1 cλ
(e)
这说明，描述对流换热现象规律的三个相关物理 量，它们各自的相似倍数之间必然存在着制约关系。
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对流换热
Tw
热边界层示意图
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对流换热
热边界层传热特点： （1）层流边界层：热流传递依靠导热，换热较弱。 （2）湍流边界层：层流底层的传热仍依靠导热， 湍流区，除导热外，主要靠漩涡扰动的对流混合作用， 换热较强。
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对流换热
3.1.4 流动边界层 当流体流过壁面时会产生粘性力，这种粘性力 用流体内层与层之间的切应力来描述。 对于牛顿型流体，切应力与速度梯度成正比，即：
τ＝ η
du dy
η 称为动力粘度，单位 Pa·s 。
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对流换热
3.1.2 常见的对流换热现象及应用
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对流换热
3.1.3 对流换热基本公式
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对流换热
xc 流动边界层示意图
8
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对流换热
边界层分类： （1）层流边界层 （2）过渡流边界层 （3）湍流边界层 （4）由层流边界层开始向湍流边界层过渡的距离 称为临界长度xc。该处的雷诺数称为临界雷诺数。
Recr = u∞ xcr
ν
ν = η ρ 为运动粘度，m2/s
通常流体沿平板流动时，Recr = 50 x 105。
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对流换热
3.1.5 热边界层 流体与壁面之间存在温差，流体流过壁面时，被壁 面加热，紧贴壁面处流体温度必等于壁面温度，但流体 在垂直于壁面的某一定区域内，温度由 tf 升为 tw 。测量 发现，这一温度变化仅发生在紧靠壁面的一薄层流体中， 而且该薄层的厚度δ随流体在板上流过的距离的增加而 增大。把温度剧烈变化的这一薄层称为热边界层。 流体与壁面之间的温差仅发生于热边界层内。
ϕ ′ and ϕ ′′ 为两个相似的物理量，则有：
ϕ′ = cϕ ϕ ′′
c ϕ 为相似物理量的相似倍数。
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对流换热
3.2.2 对流换热现象相似的准则和准则方程 3.2.2.1 相似准则的导出 设两个相似的对流换热现象，它们的对流换热微 分方程分别为：
Φ = hA(t f − tW ) W
q = h(t f − tW ) W / m 2
h 为对流换热表面传热系数，是表征对流换热强度 的量，数值上等于流体和壁面和壁面之间的温差为 1℃时，单位时间单位壁面上的对流换热量。 分析计算对流换热过程，实质上就是设法计算各 种情况下的对流换热系数,进而求出对流换热量。 有时需要研究影响对流换热系数的各种因素，从 而找出增强或减弱传热的途径。
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对流换热
3.1.6.1 流体流动的动力因素 1、流体流动的动力因素是指流体运动产生的原因。 对流换热按流体流动的动力因素可分为强迫对流和自然 对流两大类。强迫对流是指风机或水泵等机械设备所产 生的外力迫使流体相对于壁面而产生的运动。自然对流 是流体冷、热各部分的密度差产生的浮升力而引起。 2、强迫对流时，整个流体的运动是受迫的宏观运动， 因而流体的流速将对换热系数的大小产生很大的影响； 而自然对流时，流体内部的浮力引起的的宏观运动，因 而浮升力的大小则是影响学和传热学
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对流换热
3.1.6.4 换热壁面的热状态 1、换热壁面的热状态是指壁温tw的大小。 2、有相变：当壁温明显高于周围液体的饱和温度 时，壁面上形成大量气泡而发生气化沸腾现象，此即有 相变对流换热过程。有相变时，传递的热量包含了潜热， 而且气泡的运动对液体产生强烈的扰动。因此对流换热 的机理则更为复杂。与无相变时比较，换热系数要大得 多。 3、无相变：如壁温 tw 与流体温度tf相差甚大，则要 考虑大温差所引起的流体内部各部分热物性参数的不同 对换热系数的影响。
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对流换热
（3）两个物理现象相似，意味用来说明该两类现象 物理性质的一切物理量相似，即在空间相对应的各点和 时间上相对应的瞬时，说明第一个现象的某个物理量和 第二个现象的同类物理量互成比例。
h=f (u tW t f，λ，c ρ，v，l， ) ， ， ， ⋯
对流换热过程很复杂，有受迫流动和自由流动，层 流和湍流，有相变与无相变等不同的情况，各种性质不 同的流体以及换热面的形状、大小和相对位置等组成了 多种不同规律的换热过程。 要了解对流换热系数变化规律，只有对上述各种情 况分门别类地进行分析和试验，才能获得反映各种情况 的计算公式。
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对流换热
3.1 对流换热概述
3.1.1 对流换热过程基本概念 流体流过壁面，与壁面存在温度差时，流体与壁面间进 行的热量传递过程。 特点： （1）存在温差，而且与固体表面直接接触； （2）既有热对流，也有导热，是导热和对流联 合作用的结果。
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第3 章
对流换热
3.1.6.5 换热壁面的几何因素 换热壁面的形状、大小以及相对于流动方向的位置 等均为换热壁面的几何因素。壁面的几何因素不同，流 体的流动情况也随之变化，从而引起换热系数的变化。 例如，流体横掠过不同断面或不同直径的管道时就 会具有不同的换热系数。即使流体流过同样断面和大小 的管道，当流动方向与管轴线夹角不同时，换热系数也 会不同。
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第3 章
对流换热
换热面示意图
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对流换热
3.1.7 对流换热系数的函数 影响对流换热系数的因素很多，写成函数形式如下：
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第3 章
对流换热
将式（c）带入式（a），整理后得：
∂t ′′ chcl ′′∆t ′′ = −λ ′′ h cλ ∂y′′ W
(d)
将式（b）和式（d）进行比较，必然是：
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