高中数学人教b版高一必修二同步教案：直线的方程
最新人教版高中数学必修2第三章《直线与方程_复习》教案1
第三章直线与方程复习整体设计教学分析本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容大致分为三个部分：(1)直线的倾斜角和斜率；(2)直线方程；(3)两条直线的位置关系．可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生先阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．三维目标通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①直线的倾斜角和斜率．②直线的方程和两直线的位置关系的应用．③激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．教学难点：①数形结合和分类讨论思想的渗透和理解．②处理直线综合问题的策略．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．思路2.为了系统掌握第三章的知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题①第一节是直线的倾斜角和斜率棳需 要注意什么?②第二节是直线的方程,有几种形式? 各自的适用范围怎样?③第三节是两直线的位置关系,分为哪些内容? 如何判断?④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合教材，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类．对于画知识结构图，可让学生合作交流，待学生有了不同画法后，先对比分析，再画本章的知识结构图．讨论结果：①直线的倾斜角(α)和斜率(k )：倾斜角范围：0°≤α<180°，斜率：k ∈R .k 与α的关系：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧不存在，α＝90°，tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，α∈[0°，90°)∪(90°，180°). 注意倾斜角为90°的直线的斜率不存在(分类讨论)．②直线方程的五种形式及适用范围：(a)斜截式：y ＝kx ＋b ，不含与x 轴垂直的直线．(b)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，不含与x 轴垂直的直线．(c)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，不含与x轴、y轴垂直的直线．(d)截距式：xa＋yb＝1，不含过原点和与x轴、y轴垂直的直线．(e)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，无限制(可表示任何直线)．注：两点式的“改良”(x－x1)(y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)＝0，可表示任何直线．③分为：两条直线的位置关系及点到直线的距离和两条平行线间的距离．判定两条直线的位置关系(三种：相交、平行、重合)．设l1：y＝k1x＋b1，A1x＋B1y＋C1＝0；l2：y＝k2x＋b2，A2x＋B2y＋C2＝0.(a)l1∩l2＝P⇔k1≠k2或仅有一个不存在⇔A1B2－A2B1≠0；l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一个为零一个不存在⇔A1A2＋B1B2＝0.(b)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0.(c)l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0.④第三章的知识结构图如图1所示．从几何直观到代数表示(建立直线的方程)从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)图1应用示例思路11求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x＋3y＋12＝0平行；(2)经过点Q(－1,3)且与直线x＋2y－1＝0垂直；(3)经过点R(－2,3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1,2)且与点A(2,3)、B(4，－5)距离相等；(5)经过点N(－1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零．解：(1)2x＋3y－1＝0.(2)2x－y＋5＝0.(3)x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.(4)4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.(5)3x＋y＝0或x－y＋4＝0.224，求直线l 的方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，则当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m ＝±24.1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，则a 等于( )A ．0 B.16 C ．0或1 D ．0或162．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，则m 的值是________．答案：1.D 2.m ＝0或m ＝－12拓展提升问题：过点M (1,2)作l 1交x 正半轴于A ，作l 2交y 正半轴于B ，若l 1⊥l 2，且AB 恰平分四边形OAMB 的面积，求直线AB 的方程．解：设l 1：y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，l 2：y －2＝－1k(x －1)，即x ＋ky －2k －1＝0.则A (1－2k ，0)，B (0,2＋1k)． 则|OA |·|OB |＝|MA |·|MB |，∴|1－2k |·|2＋1k |＝(2k )2＋4·1＋(1k)2.解得k ＝34或k ＝－43. 则A (－53，0)，B (0，103)或A (52，0)，B (0，54)． ∴AB 方程为x －53＋y 103＝1或x 52＋y 54＝1， 即6x －3y ＋10＝0或2x ＋4y －10＝0.课堂小结本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法．作业课本本章复习参考题A 组8、9、10.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有基础知识的复习、基本题型的联系，又为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进行了归纳和总结．备课资料备用习题1．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都通过点P (2,3)，求经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程．解：依题意得2a 1＋3b 1＋1＝0，这说明Q 1(a 1，b 1)在直线2x ＋3y ＋1＝0上，同理，Q 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋3y ＋1＝0上．因为两点确定一直线，所以经过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.2．从点A (－4,1)出发的一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B (1,6)，求入射光线l 所在的直线方程．解：设B (1,6)关于直线l 1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4. ∴直线AB ′的方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0. 故直线l 的方程为3x －7y ＋19＝0.3．已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点A (－1,2)、B (0,3)，试在l 上找一点P ，使得|P A |＋|PB |的值最小，并求出这个最小值．解：过点B (0,3)且与直线l 垂直的直线方程为l ′：y －3＝－12x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎨⎧ x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l ′相交于点Q (45，135)． 点B (0,3)关于点Q (45，135)的对称点为B ′(85，115)， 连接AB ′，则依平面几何知识，知AB ′与直线l 的交点P 即为所求．直线AB ′的方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎨⎧x ＝1425，y ＝5325，即P (1425，5325)，相应的最小值为|AB ′|＝(－1－85)2＋(2－115)2＝1705.。
【B版】人教课标版高中数学必修二教学教案-直线方程的几种形式(第1课时)1-新版
2.2.2 直线方程的几种形式（第一课时）直线的点斜式方程和两点式方程教学目的和要求1、根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式）.2、理解直线与二元一次方程对应的关系.教学重点和难点教学重点：点斜式方程的推导教学难点：直线与二元一次方程的对应关系教学方法讲授、练习一、引入二、直线的点斜式方程三、直线的斜截式方程昨天我们学习了直线的斜率和倾斜角（发纸条检测掌握程度，5分钟）.我们上一节已经知道给出一个斜率和一个已知点的坐标就可以利用待定系数法写出直线方程.那么如果已知其他条件我们能不能也写出直线方程？今天学习下一节直线方程的几种形式.首先，设点),(yxP为直线l上不同于定点),(yxP的任意一点，则直线l的斜率k可由P和P两点的坐标表示为xxyyk--=，即)(xxkyy-=-①.为什么要变成①的形式？因为xxyyk--=上缺少了一点),(yxP.值得注意的是①中动点),(yxP已经把),(yxP这点补充上了.),(yxP是动点，它运动形成的轨迹就是直线l.我们称)(xxkyy-=-这样由一定点),(yxP和斜率k所确定的直线方程为直线的点斜式方程.当0=k时，直线方程为yy=.此时直线与x轴平行或重合.上节课我说了求解直线的问题一定要考虑的是？都要进行分类讨论，把它分为k值存在和k不存在的情况以防止丢解.那么接下来考虑当k不存在的时候，我们怎样用点斜式表示直线？不能用这种方式表示直线，这时直线方程为……1xx=.这是斜率是特殊情况的时候，再来看过特殊点的情况：如果直线过点),0(b，且斜率为k，（画图）则直线的点斜式方程为)0(-=-xkby，即bkxy+=.就是我们上节课用到的直线方程的形式.k是斜率，b是直线bkxy+=在y轴上的截距.简称为直线的截距.所以我们称bkxy+=这个方程叫做直线的斜截式方程.这种形式当0≠k时，就是一次函数.看例题，3分钟.检验上节课掌握情况，以便下节课指出修正.通过分析定点与动点求出斜率，进而表示出直线的点斜式方程.提出动点轨迹方程，为之后的圆锥曲线做好铺垫.强调特殊情况，渗透分类讨论思想.使得在日后做题中减少丢解的情况.知识掌握反馈，加深理解，增强四、例题（1）五、两点式六、思考与讨论六、例题（2）如果没有特殊要求，直线方程都要化成0=++cbyax.做练习A，1、（1）（4）2、（1）（4）78页),(2121121121yyxxxxxxyyyy≠≠--=--，这种形式的方程叫作直线的两点式方程.为什么2121,yyxx≠≠？如果2121,yyxx≠≠，那么会出现什么情况？斜率k不存在或者为零，此时还可以用上面的两点式求出方程吗？不可以.那么我们怎么办？回想方程①.问题出在分母上，那么就进行通分，上式变形为))(())((112121xxyyxxyy--=--这样就可以利用它求出过平面内任意两点的直线的方程.那么介绍了以上三种直线表达式归其本质，只要知道两个条件就能得出直线方程：（1）斜率和已知点（2）直线上两个点（3）倾斜角⇒斜率（4）截距⇒已知点今后求直线方程无论多复杂，只要从这点出发，找到我们需要的这些必不可少的条件，问题都能迎刃而解.练习A.3、（1）过原点的直线形式为kxy=（2）可以先算斜率，利用点斜式.也可以直接代入两点式进行整理（3）平行于y轴，确定斜率为0应用能力.根据以上的讨论思路进行知识迁移，培养独立思考问题的能力.总结确定直线方程的所需条件，使学生在解题过程中有所依据，加强目标性.七、总结（4）平行于x轴，斜率不存在.直线形式为1xx=.（5）（6）直接根据斜截式写出，整理.1、利用满足一定条件的动点轨迹刻画出直线方程——点斜式)(xxkyy-=-：=k时，直线方程为yy=.k不存在时，直线方程1xx=.2、由点斜式，直线过点),0(b，且斜率为k——斜截式bkxy+=.b是直线bkxy+=在y轴上的截距.3、直线的两点式方程——),(2121121121yyxxxxxxyyyy≠≠--=--回顾.重新梳理一遍本节课的知识.。
高中数学人教新课标必修二B版教案直线的两点式方程
课时46直线的两点式方程一、选择题1、如果AC<0, 且BC<0,那么直线0=++C By Ax 不通过 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限2、经过点A （1，2）并且在坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有（ ）A. 4条B. 3条C. 2条D.1条3、ABC ∆的一个顶点是A （3，1），∠B 、∠C 的平分线分别是x=0、x=y ，则直线AB 的方程为（ ）A. 32+=x yB. 53+=x yC. 252+-=x y D. 52+=x y 4、设Ａ、Ｂ是x 轴上的两点，点Ｐ的横坐标为２，且|ＰＡ|＝|ＰＢ|，若直线ＰＡ的方程为x －y ＋1=0，则直线ＰＢ的方程是（ ）A ．x ＋y －5=0B ．2x －y －1=0C ．x －2y ＋4=0D ．2x ＋y －7=05、下列命题中正确的是( )A. 经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0=k(x －x 0)表示B. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx ＋b 表示．C. 经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)=(y 2－y 1)(x －x 1)表示．D. 不经过原点的直线都可以用方程a x ＋by=1表示． 二、填空题6、直线043=+-k y x 在两坐标轴上截距之和为2，则实数=k __________________.7、直线053=-+y mx 经过连接A （-1，-2）、B （3，4）的线段的中点，则实数=m __________________. 8、直线024=-+y Ax 与052=+-C y x 垂直，垂足为),1(m ，则=++m C A __________________. 9、直线1=+by ax )0(≠ab 与两坐标轴围成的面积是__________________.10、已知三点A （2，-1）、B （5，7）、C （-1，-3），则通过ABC ∆的重心G 及顶点A 和原点连线的中点M 的直线方程是__________________. 三、解答题11、已知正方形边长为4，其中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边所在的直线的方程。
人教版高一数学必修二第三章 直线与方程教案
教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。
定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。
②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2
∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直 的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于 直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】 由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2
人教B版高中数学必修二第二章2.2 直线的方程 (人教实验B版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2.2 直线的方程（人教实验B版必修2）一、选择题（本题包括10小题，每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，每题4分，共40分）1．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax+y+b=0和直线l2：bx+y+a=0有可能是( )A BC D2．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于13，则实数m＝()A．－1 B．4C．－1或4 D．－4或13．已知直线ax+by+c=0不经过第二象限，且ab＜0，则( )A.c＞0B.c＜0C.ac≥0D.ac≤04．如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax―By―C＝0不经过的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是()A．y＝－3xB．y＝－3(x－4)C．y＝3(x－4)D．y＝3(x＋4)6．直线l：mx－m2y－1＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线方程是()A．x―y―1＝0B．2x―y―3＝0C．x＋y－3＝0D．x＋2y－4＝07．点P(1，2)关于x轴和y轴的对称的点依次是()建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分A ．(2，1)，(－1，－2)B ．(－1，2)，(1，－2)C ．(1，－2)，(－1，2)D ．(－1，－2)，(2，1)8．已知两条平行直线l 1 : 3x ＋4y ＋5＝0，l 2 : 6x ＋by ＋c ＝0间的距离为3，则b ＋c ＝( ) A ．－12 B ．48C ．36D ．－12或489．过点P (1，2)，且与原点距离最大的直线方程 是( ) A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝010．a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛21 ，61 －B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 － ，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 ，21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 － ，61二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分.请将正确的答案填到横线上）11．过点M （4，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .12．已知直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是____________．13．已知点(a ，2)(a ＞0)到直线x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________．14．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________． 15．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则22＋ y x 的最小值等于____________．三、计算题（本题共4小题，共40分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）16．已知直线l ：kx -y +1+2k =0（k ∈R ）. （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围.17．过点P(1，2)的直线l 被两平行线l 1:4x ＋3y ＋1＝0与l 2:4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．18．已知方程(m 2―2m ―3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0(m ∈R )．(1)求该方程表示一条直线的条件.(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程.(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值.(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m 的值．19．在△ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，试求顶点B的坐标．2.2 直线的方程（人教实验B版必修2）答题纸得分：一、选择题二、填空题11． 12． 13. 14. 15.三、计算题16.17.18.19.2.2 直线的方程（人教实验B 版必修2）答案一、选择题1.A 解析：l 1：y =－ax －b ，l 2：y =－bx －a .于是可知，l 1的斜率是l 2的纵截距，l 1的纵截距是l 2的斜率.在选项B 中，l 1的纵截距为正，而l 2的斜率为负，不合题意，排除B .同样可排除选项C 、D .2.C 解析：因为|AB |＝ 1 －＋ － 222)()(m m ＝13，所以2m 2－6m ＋5＝13．解得m ＝－1或m ＝4． 3.D 解析：由题意，直线有斜率且不为零，若直线不经过第二象限，则斜率一定为正且在y 轴上的截距小于或等于零，即{−ab ＞0，−cb≤0⟹ac ≤0.故选D .4.B 解析：因为B ≠0，所以直线方程为y ＝B A x －BC ，依条件B A ＞0，B C＞0．即直线的斜率为正值，纵截距为负值，所以直线不过第二象限．5.C 解析：因为△ABC 是等边三角形，所以BC 边所在的直线过点B ，且倾斜角为3π， 所以BC 边所在的直线方程为y ＝3(x －4)．6.C 解析：由点P 在l 上得2m ―m 2―1＝0，所以m ＝1．即l 的方程为x ―y ―1＝0．所以所求直线的斜率为－1，显然x ＋y －3＝0满足要求．7.C 解析：因为点(x ，y )关于x 轴和y 轴的对称点依次是(x ，－y )和(－x ，y )， 所以P (1，2)关于x 轴和y 轴的对称的点依次是(1，－2)和(－1，2)． 8.D 解析：将l 1 : 3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0，因为两条直线平行，所以b ＝8． 由228＋ 6 － 10c ＝3，解得c ＝－20或c ＝40． 所以b ＋c ＝－12或48．9.A 解析：设原点为O ，依条件只需求经过点P 且与直线OP 垂直的直线方程，因为k OP ＝2，所以所求直线的斜率为－21，且过点P ． 所以满足条件的直线方程为y －2＝－21(x －1)，即x ＋2y －5＝0． 10.B 解析1：因为a ＋2b ＝1，所以a ＝1－2b ．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0化为(1－2b )x ＋3y ＋b ＝0． 整理得(1－2x )b ＋(x ＋3y )＝0．所以当x ＝21，y ＝－61时上式恒成立． 所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21．解析2：由a ＋2b ＝1得a －1＋2b ＝0．进一步变形为a ×21＋3×⎪⎭⎫⎝⎛61 －＋b ＝0． 这说明直线方程ax ＋3y ＋b ＝0当x ＝21，y ＝－61时恒成立． 所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21．二、填空题11.3x -4y =0或x +y -7=0 解析：（1）当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为3x -4y =0；（2）当直线不过原点时，设直线方程为x +y =a ，将M （4，3）代入方程得a =7，故此时直线方程为x +y -7=0.综上可知所求直线方程为3x -4y =0或x +y -7=0.12.－1≤k ≤1且k ≠0 解析：依条件得21·|2k |·|k |≤1，其中k ≠0(否则三角形不存在)． 解得－1≤k ≤1且k ≠0． 13.2－1 解析：依条件有221＋ 13 ＋ 2 － a ＝1．解得a ＝2－1，a ＝－2－1(舍去)．14. y ＝2x 解析：已知直线变形为y ＋2＝－a (x ＋1)，所以直线恒过点(―1，―2)．故所求的直线方程是y ＋2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ． 15.1360解析：因为实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60， 所以22 ＋ y x 表示原点到直线5x ＋12y ＝60上点的距离． 所以22 ＋ y x 的最小值表示原点到直线5x ＋12y ＝60的距离． 容易计算d ＝144 ＋ 2560＝1360．即所求22 ＋ y x 的最小值为1360．三、计算题16．（1）证明：直线l 的方程可化为y =k （x +2）+1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点（-2，1）.（2）解：直线l 的方程可化为y =kx +2k +1，则直线l 在y 轴上的截距为2k +1.要使直线l 不经过第四象限，则{k ≥0，1+2k ≥0，解得{k ≥0,k ≥−12, ∴ k 的取值范围是k ≥0.17．解：当直线l 的方程为x ＝1时，可验证不符合题意，故设l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎨⎧01 3 42 ＝＋＋，－＋＝y x x y k k 解得A ⎪⎭⎫⎝⎛4 ＋ 38 ＋ 5 － ，4 ＋ 37 － 3k k k k ；由⎩⎨⎧0 ＝ 6 ＋ 3 ＋ 4, － 2 ＋ ＝ y x x y k k 解得B ⎪⎭⎫⎝⎛4 ＋ 301 － 8 ，4 ＋ 321 － 3k k k k ．因为|AB |＝2，所以 4 ＋ 35＋ 4 ＋ 3522⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k ＝2．整理得7k 2－48k －7＝0．解得k 1＝7或k 2＝－71． 故所求的直线方程为x ＋7y －15＝0或7x ―y ―5＝0．18．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m 2―2m ―3＝0，解得m ＝－1或m ＝3； 令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1或m ＝21． 所以方程表示一条直线的条件是m ∈R ，且m ≠－1． (2)由(1)易知，当m ＝21时，方程表示的直线的斜率不存在， 此时的方程为x ＝34，它表示一条垂直于x 轴的直线． (3)依题意，有3－ 2 － 6－22m m m ＝－3，所以3m 2－4m －15＝0． 所以m ＝3，或m ＝－35，由(1)知所求m ＝－35． (4)因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1．故由－1－ ＋ 23 － 2 － 22m m m m ＝1，解得m ＝34或m ＝－1(舍去)． 所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝34． 19．解：依条件，由⎩⎨⎧xy x y 1 2 ＝，－＝解得A (1，1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，所以点C (2，5)关于y ＝x 的对称点C '(5，2)在AB 边所在的直线上． AB 边所在的直线方程为y －1＝1－ 51－ 2(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0． 又BC 边上高线所在的直线方程是y ＝2x －1， 所以BC 边所在的直线的斜率为－21． BC 边所在的直线的方程是y ＝―21(x －2)＋5， 整理得x ＋2y －12＝0．联立x －4y ＋3＝0与x ＋2y －12＝0，解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛25 ，7．。
高中数学直线及其方程教案
高中数学直线及其方程教案教学目标：
1. 了解直线的基本定义及性质；
2. 掌握直线的方程表示方法；
3. 熟练运用直线的方程解决具体问题。
教学重点：
1. 直线的基本性质；
2. 直线的方程表示方法。
教学难点：
1. 利用直线方程解决实际问题。
教学准备：
1. PowerPoint课件；
2. 教案复印件；
3. 钢笔、白板、擦拭布。
教学步骤：
一、引入（5分钟）
1. 引导学生回顾直线的基本概念；
2. 提出问题：如何表示直线的方程？
二、提出问题（10分钟）
1. 介绍直线的一般方程：Ax + By + C = 0；
2. 说明直线斜率的概念以及直线的斜截式方程；
3. 讲解直线的截距式方程及解题方法。
三、示范演练（15分钟）
1. 解答直线方程表示问题；
2. 演示如何根据直线方程解决相关问题。
四、练习与拓展（15分钟）
1. 学生互相讨论并解答相关问题；
2. 综合应用直线方程解决复杂问题。
五、总结与反思（5分钟）
1. 总结直线的方程表示方法及应用；
2. 提醒学生巩固相关知识，勤加练习。
教学反馈：
1. 课后布置作业：完成相关练习题；
2. 下节课继续巩固直线方程的应用。
教学延伸：
1. 注重学生自主学习，鼓励他们通过查阅资料和练习巩固所学知识；
2. 引导学生思考及解决实际应用问题，拓展直线方程的应用范围。
高中数学2.2直线的方程2.2.3.1两条直线相交平行与重合的条件教案新人教B版必修22017103
2.2.3.1 两条直线相交、平行与重合的条件示范教案整体设计教学分析教材利用方程组解的个数来讨论两条直线相交、平行与重合的条件．值得注意的是在教学中，调动学生的积极性，让学生自己归纳出两条直线相交、平行和重合的条件．三维目标1．掌握两条直线相交、平行与重合的条件，提高学生归纳、类比的能力．2．能够判断两直线的位置关系，提高学生分析问题、解决问题的能力．重点难点教学重点：两条直线的位置关系、平行条件的应用．教学难点：归纳两直线平行、相交与重合的条件．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.在平面直角坐标系中，两条直线的位置关系是平行、相交、重合．当两条直线无交点时，它们平行；当两条直线有唯一交点时，它们相交；当两条直线有无数个交点时，它们重合．本节利用直线方程来讨论两条直线的位置关系，教师引出课题．设计2.在立体几何中，两条直线的位置关系是平行、相交、异面，在本章所讨论的两条直线的位置关系是平行、相交、重合．那么如何利用方程来讨论两直线的位置关系呢？教师引出课题．推进新课Error!Error!1点0，y0是直线l：Ax＋By＋C＝0上的一点，则x0与y0满足什么条件？2已知两条直线的方程为l 1：A2x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.试判断直线l1与l2的交点个数，并确定它们位置关系.3归纳两条直线相交、平行与重合的条件.讨论结果：(1)Ax0＋By0＋C＝0.(2)解方程组Error!，Error!①×B2－②×B1，得(A1B2－A2B1)x＋B2C1－B1C2＝0.B1C2－C1B2当A1B2－A2B1≠0时，得x＝；A1B2－A2B1因此，当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一一组解．此时直线l1与l2相交，且有唯一交点，交点坐标是方程组的解．当A1B2－A2B1＝0，而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0时，方程组无解．两直线无交点，此时l1∥l2.当A1B2－A2B1＝0，而B1C2－C1B2＝0或A2C1－A1C2＝0时，方程组有无数组，即此时，两直线l1与l2有无数个交点，即l1与l2重合．1A 1B 1(3)l 1与 l 2相交 A1B 2－A 2B 1≠0 或 ≠ (A 2B 2≠0)． A 2 B 2l 1与 l 2平行Error! l 1与 l 2重合Error!Error! (1)两直线平行，它们的倾斜角和在 y 轴上的截距相等吗？ 2当两直线的倾斜角相等，在y 轴上的截距不相等时，这两条直线有什么位置关系？ 3已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，怎样用k 1，k 2，b 1，b 2判定它们平行？ 4怎样用k 1，k 2，b 1，b 2，判定它们重合？讨论结果：(1)画图分析，得它们的倾斜角相等，在 y 轴上的截距不相等．如下图所示；(2)平行；(3)l 1∥l 2 k1＝k 2且 b 1≠b 2；(4)l 1与 l 2重合k 1＝k 2，且 b 1＝b 2.Error! 思路 1例 1已知直线 l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，求证：当 C 1≠C 2时，l 1与 l 2平行． 证明：因为 AB －BA ＝0，所以 l 1与 l 2平行或重合．又因为 BC 2－BC 1＝B(C 2－C 1)：当 B≠0 时，已知 C 1≠C 2，所以 BC 2－BC 1≠0，因此两直线平行；当 B ＝0时，由直线方程的定义，知C 1 C 2 A≠0，于是两条直线的方程变为 x ＝－ ，x ＝－ ，这是两条与 x 轴垂直的直线，所以它们平 A A行或重合．又由于 C 1≠C 2，所以它们是平行的直线．点评：与直线 Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为 Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D)．变式训练1．过点 A(1,2)，且平行于直线 2x －3y ＋5＝0的直线方程是______．解析：设所求直线方程为 2x －3y ＋m ＝0(m ≠5)，则 2×1－3×2＋m ＝0，解得 m ＝4，即所 求直线方程为 2x －3y ＋4＝0.答案：2x －3y ＋4＝05 2．求与直线 2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距之和是 的直线 l 的方程． 6解：设直线 l 的方程为 2x ＋3y ＋m ＝0(m ≠5)．m m 当 x ＝0时，y ＝－ ；当 y ＝0时，x ＝－ . 3 2m m 5则－ － ＝ ，解得 m ＝－1. 3 2 6即直线 l 的方程为 2x ＋3y －1＝0.2(2)(1，－4)，2x＋3y＋5＝0.1 解：(1)因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为y＝x＋b.25 1 5由于所求直线过点(－1,2)，代入方程，得b＝.因此所求方程为y＝x＋，即x－2y＋52 2 2＝0.(2)设所求的直线方程为2x＋3y＋D＝0.由于所求直线过点(1，－4)，代入方程，得D＝10.因此，所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.思路2例2判断下列各对直线是否平行，并说明理由．(1)l1：y＝3x＋2，l2：y＝3x＋5；(2)l1：y＝2x＋1，l2：y＝3x；(3)l1：x＝5，l2：x＝8.解：(1)设两直线的斜率分别是k1，k2，在y轴上截距分别是b1，b2，则k1＝3，b1＝2，k2＝3，b2＝5.因为k1＝k2，b1≠b2，所以l1∥l2.(2)设两直线的斜率分别是k1，k2，在y轴上截距分别是b1，b2，则k1＝2，k2＝3，b1＝1，b2＝0.因为k1≠k2，所以l1与l2不平行．(3)由方程可知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上截距不相等，所以l1∥l2.点评：判断两直线是否平行时，要对直线的斜率讨论，特别是当斜率都不存在时，即直线x＝a与直线x＝b(a≠b)平行．变式训练1．直线l1过A(m,1)，B(－1，m)，直线l2过点P(1,2)，Q(－5,0)，且l1∥l2，则m＝______.1－m 2－0 1 1－m 1 1解析：k1＝，k2＝＝，由于l1∥l2，则＝，解得m＝.m＋1 1＋5 3 m＋1 3 21答案：22．已知直线l1：x＋y－1＝0，直线l2：kx－2y＋3＝0，且l1∥l2，则k＝______.答案：－2例3已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2(1)平行；(2)重合；(3)相交？解：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析．而对于l1与l2相交的情况，只能通过解方程组来寻求规律，当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，此时l1与l2相交．1 6 m－23 当m≠0时，l1：y＝－x－，l2：y＝－x－m.m m 3 2(1)若l1∥l2，则Error!，解得m＝－1.m－2 3 2m(2)若l1与l2重合，则＝＝，解得m＝3.1 m 6故m＝－1时l1∥l2；m＝3时l1与l2重合．(3)由l1的方程得x＝－my－6，代入l2的方程得(m－2)(－my－6)＋3y＋2m＝0，即(m2－2m －3)y＝12－4m，显然，m2－2m－3＝0时无解，只有当m2－2m－3≠0，即m≠－1且m≠3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当m≠－1且m≠3时两直线相交．点评：本题主要考查两直线相交、平行与重合的条件，要正确解决本题需要有足够的耐心和具有分类讨论的能力．变式训练设三条直线l1：x＋y－1＝0，l2：kx－2y＋3＝0，l3：x－(k＋1)y－5＝0.若这三条直线交于一点，求k的值．解：解由l1、l2的方程组成的方程组Error!得Error!－1 3＋k所以l1与l2的交点是P( ，)．2＋k 2＋k－1 3＋k 又因为l1、l2、l3交于一点，即P点坐标满足直线l3的方程，－(k＋1) －5＝0.2＋k 2＋k 解得k＝－7或－2(舍去)．所以k＝－7.Error!1．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，k2则(1)a＝__________时，α1＝150°；(2)a＝__________时，l2⊥x轴；(3)a＝__________时，l1∥l2；(4)a＝__________时，l1、l2重合．答案：(1) 3(2)2(3)3(4)－12．求下列两条直线的交点：l1：x＋2y＋1＝0，l2：－x＋2y＋2＝0.1 3解：解方程组Error!得Error!所以这两条直线的交点是M( ，－)．2 43．已知平行四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．分析：先作图猜想，然后给出证明．由斜率相等得两组直线分别平行，四边形ABCD是平行四边形．1证明：AB边所在直线的斜率k AB＝－，21CD边所在直线的斜率k CD＝－，23BC边所在直线的斜率k BC＝，23DA边所在直线的斜率k DA＝.2因为k AB＝k CD，k BC＝k DA，所以AB∥CD，BC∥DA.因此，四边形ABCD是平行四边形．4．判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求出交点．(1)l1：7x＋2y－1＝0，l2：14x＋4y－2＝0.(2)l1：( 3－2)x＋y＝7，l2：x＋( 3＋2)y－6＝0.(3)l1：3x＋5y－1＝0，l2：4x＋3y＝5.答案：(1)重合；(2)平行；(3)相交，交点坐标为(2，－1)．5．求过点A(0，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程．2 2解法一：∵直线2x＋3y＋5＝0的斜率为－，∴所求直线斜率为－.3 3又直线过点A(0，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.解法二：设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程为2x＋3y＋m＝0，∵l经过点A(0，－4)，∴2×0＋3×(－4)＋m＝0，解之，得m＝12.∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.Error!请你探究一下三条直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：x＋y＋a＝0，l3：ax＋y＋1＝0构成三角形的条件是什么？a 1 a 1方法一：任两条直线都相交，则≠，≠，故a≠±1.又三条直线不交于同一点，故其5综合上述结果，以上三条直线构成三角形的条件是a≠±1，a≠－2.方法二：因为三条直线能构成三角形，所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点．可以把不能构成三角形的情况排除掉．若三条直线交于同一点，则其中两条直线Error!的交点(－1－a,1)在直线ax＋y＋1＝0上，∴a(－a－1)＋1＋1＝0，∴a＝1或a＝－2.1 1 若l1∥l2，则有－＝－1，a＝1；若l2∥l3，则有－1＝－a，a＝1；若l1∥l3，则有－＝－a aa，a＝±1.所以若三条直线构成三角形，则需a≠±1，a≠－2.Error!本节课学习了：1．两条直线平行、相交与重合的条件；2．求两直线交点坐标，解决有关平行问题．Error!本节练习B1,2题．设计感想本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系．在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax＋By＋C＝0中A、B、C就表示了直线的本质属性．还要注重研究方法的探讨，为将学习圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打下基础．备课资料著名数学家陈省身(公元1911年～2004年12月3日)在数学领域，沃尔夫奖与菲尔兹奖是公认的能与诺贝尔奖相媲美的数学大奖．菲尔兹奖主要奖励在现代数学中做出突出贡献的年轻数学家，而沃尔夫奖主要奖励在数学上做出开创性工作、具有世界声誉的数学家．到1990年为止，世界上仅有24位数学家获得过沃尔夫奖，而陈省身教授就是其中之一．他由于在整体微分几何上的杰出工作获得1984年度沃尔夫奖，成为唯一获此殊荣的华人数学家．陈省身先生1911年生，浙江嘉兴人.1930年毕业于南开大学数学系，受教于姜立夫教授.1934年获清华大学硕士学位．同年入德国汉堡大学随布拉施克教授研究几何，仅用了1年零3个月便在1936年获博士学位后，以“法国巴黎索邦中国基金会博士后研究员”身份到巴黎大学从事研究工作，师从国际数学大师E·嘉当.1937～1943年，任清华大学和西南联合大学教授.1943～1946年在美国普林斯顿高级研究所任研究员．在微分几何中高斯－波内公式的研究和拓扑学方面取得重要进展.1946～1948年筹建中央数学研究所并任代理所长.1949～1960年，任美国芝加哥大学教授，1960～1979年任加州大学伯克利分校教授，1981～1984年任美国国家数学研究所首任所长，后任名誉所长．他是美国科学院院士，法国、意大利、俄罗斯等国家科学院外籍院士．他对整体微分几何的深远贡献，影响了整个数学界，被公认为“20世纪伟大的几何学家”，先后获美国国家科学奖章、以色列沃尔夫奖、中国国际科技合作奖及首届邵逸夫数学科学奖等多项荣誉．陈省身对祖国心怀赤诚，1972年后多次回到祖国访问讲学，慨言“为祖国工作，是我崇高的荣誉”.2000年定居南开大学，被天津市人民政府授予永久居留权．他盛赞新中国欣欣向荣，瞩望祖国早日统一，诚挚地向党和国家领导人就发展科学事业、培养和引进人才等建言献策，受到高度重视.1984年应聘出任南开数学研究所所长，创办立足国内、面向世界培养中国高级数学人才基地．努力推进中国科学家与美国及其他各国的学术交流，促成国际数学家大会在北京召开，并被推选为大会名誉主席．他殚精竭虑地为把中国建成数学大国、科技强国贡献力量，多次受到邓小平、江泽民等党和国家领导人接见，高度称赞他对中国数学科学发展所作的杰出贡献．除了在数学上做出的巨大成就，陈省身教授还培养了一大批世界级的科学家，其中包括诺贝尔物理学奖获得者杨振宁，菲尔兹奖获得者丘成桐，中国国家自然科学奖一等奖获得者吴文俊等．。
最新人教版高中数学必修2第三章《直线的点斜式方程》教案
3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程整体设计教学分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.三维目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.重点难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.方程y=kx＋b与直线l之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线l上任意一点P(x1,y1)的坐标是方程y=kx＋b的解.(2)(x1,y1)是方程y=kx+b的解 点P(x1,y1)在直线l上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).推进新课新知探究提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l的斜率k且l经过点P1(x1,y1)，如何求直线l的方程?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？⑤k=11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得y －y 1=k(x －x 1).③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在.④a.x=0；b.x=x 1.⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是整条直线.⑥y=kx+b.应用示例思路1例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0, 这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-3，又∵α∈［0°,180°)，∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论:（1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.变式训练判断下列直线的位置关系:(1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x. 答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程.活动:因为直线l 过定点P(6，4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y －4=k(x －6),当l 的方程为x=6时，△OQR 的面积为S=72；当l 的方程为y －4=k(x －6)时，有R(k k 46-,0)，Q （k k 46-,41624--k k )， 此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k . 变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.当且仅当k=－1时，S 有最小值40.因此，直线l 的方程为y －4=－(x －6)，即x ＋y －10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图2，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m 2）（单位：m ）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地.∵AB 方程为2030x x +=1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)［80-(20-32x )］ =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30), 当x=5时，y=350，即P （5，350）时，(S 矩形)max =6 017(m 2). 例2 设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1=0，y=1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1.图3AB 边的中点为E ，AB 边上中线CE ：x －2y ＋1=0.设C 点坐标为(m ，n),则F(23,21++n m ). 又F 在AC 中线上,则23+n =1, ∴n=-1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0.∴m=－3.∴C 点为(－3，－1).设B 点为(a,1),则AB 中点E(213,21++a ),即E(21a +,2). 又E 在AB 中线上,则21a +-4+1=0.∴a=5. ∴B 点为(5，1).由两点式,得到AB ，AC 所在直线的方程AC ：x －y ＋2=0,AB ：x ＋2y －7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？解：∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P （x 0,2x 0-1）.∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512. 知能训练课本本节练习1、２、３、４.拓展提升已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2=k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2. 则k 1=tanα1＜k ＜k 2=tanα2.又k 1=132-+=-5，k 2=312--=-21， 则实数k 的取值范围是-5＜k ＜-21. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.作业习题3.2 A 组2、3、5.设计感想直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线的方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从初中代数中的一次函数y=kx ＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.。
直线方程的一般式
〖课题解决〗 课题解决〗
（一） 创设情景 问题一： 问题一：
1 (1)经过点A(8， 2)，斜率是 − ； − 2 (2)经过点B(0，，倾斜角为60°； 2) (3)经过点C (3， 2)，D (5， 4)； − − 3 (4)在x轴，y轴上的截距分别是 ，-3； 2
我们所学过的直线方程有哪几 种形式？它们各有何局限性?
2、能力目标 、
培养学生的观察、归纳能力，思考、 培养学生的观察、归纳能力，思考、应用和创 新能力。 新能力。
3、情感目标 、
培养学生勇于探索、善于研究的精神， 培养学生勇于探索、善于研究的精神，培养其良 好的数学学习品质、激发学生学习数学的兴趣。 好的数学学习品质、激发学生学习数学的兴趣。
三、学情分析
〖例题练习〗 例题练习〗
例1 3 已知直线通过点（ ），且斜率为 已知直线通过点（-2,5），且斜率为 − 4 ，求此直 ）， 线的一般式方程 例2 求直线： 求直线：2 x − 3 y + 6 = 0 的斜率及在轴上的截距 请将引例中的4条直线方程转化为一般式方程 条直线方程转化为一般式方程。 请将引例中的 条直线方程转化为一般式方程。
直线方程的一般式
大石桥高中 数 学 组 韩丽新
教材分析 教学目标 学情分析
教学方法 教学过程 教学评价
一·教材分析
1.地位和作用 1.地位和作用 直线的一般式方程是普通高中课程标准实验教科书（人教 版 直线的一般式方程是普通高中课程标准实验教科书（人教B版）高 一必修二第二章第二节中的内容。 一必修二第二章第二节中的内容。 本节课是在学习直线的点斜式、斜截式 、两点式 、 截距式的基础 本节课是在学习直线的点斜式 、斜截式、两点式、 引导学生认识它们呢的实质，即都是二元一次方程， 上 ， 引导学生认识它们呢的实质，即都是二元一次方程 ，从而对 直线与二元一次方程的关系进行探究， 直线与二元一次方程的关系进行探究 ， 进而得出直线的一般式方 这也为下一节学习做好准备， 程 ， 这也为下一节学习做好准备，更为我们以后学习曲线方程做 了铺垫， 了铺垫，因此是非常重要的内容
高中数学教案直线方程
高中数学教案直线方程
教学目标：
1. 理解直线的定义及直线方程的含义；
2. 掌握利用点斜式、截距式和一般式求解直线方程的方法；
3. 能够应用直线方程解决实际问题。
教学重点：
1. 点斜式、截距式和一般式的直线方程求解方法；
2. 直线方程应用题的解决能力。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个真实的例子引出直线的概念及方程的含义，让学生了解直线方程的基本概念。
二、讲解直线方程的表示方法（10分钟）
1. 点斜式：y - y1 = k(x - x1)；
2. 截距式：x/a + y/b = 1；
3. 一般式：Ax + By + C = 0。
三、练习及拓展（15分钟）
教师通过一些练习题让学生巩固以上三种表示方式的求解方法，并引导学生拓展到更复杂的题目中。
四、综合应用（15分钟）
教师出一些应用题，要求学生利用所学的知识解决实际问题，如求两直线的交点等。
五、总结（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，强调重点，巩固学生的知识。
六、作业布置（5分钟）
布置相应的作业，用以巩固所学知识。
教学反思：
通过本节课的学习，学生可以掌握直线方程的基本概念及解题方法，从而提高解决实际问题的能力。
同时，教师要注意引导学生理解概念，注重实际应用，使学生学以致用。
高中数学(人教B版)选择性必修一：直线的方程【精品课件】
它表示斜率不存在 ，且过 ( C ,0) 的直线.
A
结论
1.平面直角坐标系中的所有的直线方程都可以写成
Ax By C 0( A2 B2 0)
2.关于x，y的二元一次方程 Ax By C 0( A2 B2 0) 都表示直线.
三、直线的一般式方程
Ax By C 0( A2 B2 0) ⑥
(x x1)
x2 x1 且 y2 y1
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
④
特别地，已知直线 l 在x轴、y轴上的截距分别为a、
b，且ab≠0，求直线 l 的方程.
解：根据已知可得直线 l 通过点(a，0)，(0，b)，而且
a≠0，b≠0，因此直线 l 的两点式方程为
yb x0 0b a0
思考： 若直线 l 的斜率为k，截距是b，则直线 l 的方程是什么？
由点斜式方程 y b k(x 0) 化简整理得 y kx+b
四、直线的斜截式方程
y=kx b
②
斜截式方程 y=kx b 的几个问题
1.k和b的几何意义 2.使用条件 3.斜截式方程与一次函数解析式的关系
P(2,3)
解法一：设 P(x, y) 为平面直角坐标系中任意一点，则P在
直线 l 上的充要条件是 AP 与 v (3, 4) 垂直. 又因为 AP=（x 3, y 2) ,所以 3（x 3) (4) ( y 2) 0
整理得一般式方程 3x 4 y 1 0 .
例题3.已知直线 l 经过点A（3,2），而且 v (3, 4)
所有横坐标为 x0 的点，一定都在直线l上.
所以直线 l 的方程是 x x0 .
(2)当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k
人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册 第二章平面解析几何 第2课时 直线的两点式方程与一般式方程
1.能用方向向量推导出直线的两点式方程;
2.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的内在联系;
3.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的适用范围;
4.能用合适的方程形式求直线的方程,并能进行方程形式上的转化.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
即4x-y-2=0.
-5
(3)由两点式方程,得直线方程为
-1-5
(4)由截距式方程,得直线方程为-3
(5)y-2=0.
=
-(-1)
,即
2-(-1)
+ -1=1,即
2x+y-3=0.
x+3y+3=0.
规律方法
1.在求直线方程时,直线设一般式方程有时并不简单,常用的还
是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后可以转化为一般式方
名师点睛
1.直线的一般式方程与点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式
方程的方程形式及局限.
类型
方程形式
局限
点斜式方程 y-y0=k(x-x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式方程 y=kx+b
不能表示斜率不存在的直线
两点式方程
不能表示斜率不存在或斜率为0的直线
截距式方程
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
a b
a是直线在x轴上的截距,b是直线在y轴上的截距.
2.若直线 l
x
的方程为a
+
y
=1,则
b
(1)直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|+|b|+ a2 + b 2 ;
人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册 第二章平面解析几何 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
13.求经过点(-1,2)且分别满足下列条件的直线方程.
(1)倾斜角为45°;
(2)在y轴上的截距为5;
(3)在第二象限与坐标轴围成的三角形面积为4.
解 (1)由倾斜角为45°,得直线的斜率k=1,得点斜式方程为y-2=x+1,则y=x+3.
解 (1)因为 3x+8y-1=0 可化为
所以直线 3x+8y-1=0
则所求直线的斜率
3
1
y=-8x+8.
3
的斜率为-8,
3
3
k=2×(- )=- .
8
4
又直线经过点(-1,-3),因此所求直线的方程为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3
y+3=- (x+1),即
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
+
3
≥2
3 3
· =6,
6.[探究点二]设 a∈R,如果直线
a=
-2或1
解析 由
1
1
4
l1:y=-2 x+2与直线 l2:y=-+1x- +1平行,那么
.
1
1
4
l1∥l2,得- =且 ≠- ,
2 +1
2 +1
解得a=-2或a=1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7.[探究点二·北师大版教材例题]把直线l的方程3x-2y+6=0化成斜截式,求
安徽工业大学附属中学高中数学 3.2.3直线的一般式方程
巩固课堂上所学的知识和方法。
学生课后独立思考完成。
学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈。指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含 项、含 项、常数项顺序排列； 项的系数为正； ， 的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式。
5、例6的教学
把直线 的一般式方程 化成斜截式，求出直线 的斜率以及它在 轴与 轴上的截距，并画出图形。
教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当 时和当B=0时两种情形进行变形。然Байду номын сангаас由学生去变形判断，得出结论：
关于 的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示；同时，任何一个关于 的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于 的二元一次方程 （A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.
2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
3.2.3直线的一般式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题。
2019-2020学年人教B版必修二 直线的倾斜角与斜率直线的方程 教案
直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础知识整合1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：x轴□01正向与直线□02向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为□030°.②倾斜角的范围为□040°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的□05正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝□06tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝□07y2－y1 x2－x1.2．直线方程的几种形式直线的斜率k 与倾斜角θ之间的关系“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．1．已知直线过A (2,4)，B (1，m )两点，且倾斜角为45°，则m ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－1答案 A解析 ∵直线过A (2,4)，B (1，m )两点，∴直线的斜率为m －41－2＝4－m .又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m ＝1，∴m ＝3.故选A.2．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.3．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1答案 D解析 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，直线在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋a a，得a ＝－2或a ＝1.5．(2019·沈阳模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0答案 A解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0.6．(2019·海淀区模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．核心考向突破考向一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 触类旁通即时训练 1.(2019·南昌模拟)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. 2．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B解析 易知直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，k PA ＝－52，k PB ＝43，因为直线ax ＋y ＋2＝0的斜率为－a ，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，根据图象(图略)可知－52＜－a＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.考向二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．解 (1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13，故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)直线3x －4y －5＝0与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，所求直线过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，且斜率k ＝－34，所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0.触类旁通根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.即时训练 3.已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知点D 的坐标为(0,2)．可求出直线的点斜式方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0. 考向三 直线方程的应用角度1 直线方程与不等式的结合例3 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解 解法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b＝1.因为1＝3a ＋2b ≥26ab，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.解法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k4－k ＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． 所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 角度2 直线方程与函数的结合例4 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100m ，BC ＝80m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m .∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋180503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等来解决.即时训练 4.已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋a b ＋ba ≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.。
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人教B 版 数学 必修2：直线的方程
教学目标：1.理解直线与方程0=++C By Ax （,A B 不同时为0）是一一对应的；
2.掌握直线方程形式之间的互相转化；
3.理解掌握直线恒过定点问题。
教学重点：直线一般式的应用及与其他四种形式的互化
难点：理解直线方程的一般式的含义
教学过程：
㈠复习 1直线方程的几种形式及局限性.
2会由条件选用适当的方程形式
练习1 143P
㈡新课讲解：
直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式），都是关 于x 、y 的二元 一次方那么，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程的图形是否都是直线？
（1）平面直角坐标系中，90α≠时，l ：y=kx+b 即kx-y+b=0
90α=时，l ：x=0x 即x+0y-0x =0
即它们都可变形为0=++C By Ax 的形式，且,A B 不同时为0
直线的方程都是关于,x y 的二元一次方程。
（2）关于,x y 的二元一次方程的一般形式为0=++C By Ax ，（ ,A B 不同时为0）
0B ≠时B C
x B A y --=即表示一直线，
0B =时A C
x -=即表示与x 轴垂直的直线，
每一个二元一次方程都表示一条直线。
于是
一． 直线方程：
1． 平面直角坐标系中 ，直线与关于,x y 二元一次方程是一一对应的
即直线 二元一次方程
2． 一般式： 0=++C By Ax （其中,A B 不同时为0）
一般地，需将所求的直线方程化为一般式。
练习2
⑴说出斜率：
①3x+y-5=0, ②7x-6y+4=0, ③x/4-y/5=1,④2y-7=0, ⑤x+2y=0, ⑥Ax+By+C=0(B ≠0） ⑵写成截距式 ①３x+y-5=0, ②7x-6y+4=0
⑶说出在坐标轴上的截距① 154=-y
x
②7x-6y+4=0
二．直线方程形式间的互化
例1．已知直线l ： 260x y -+=
（1）求直线l 的斜率k,倾斜角α;
（2）求l 在x 轴，y 轴上的截距，并画图.
解：(1)∵260x y -+=， ∴26y x =+， y
3
∴l 的斜截式方程:1
32y x =+， ∴1
2k =，∴1
arctan 2α=
(2) 方法1： 0x =时y=3,y=0时x=-6
即l 在x 轴上的截距是6-，在y 轴上的截距是3．
方法2：2260166x
y
x y -+=∴-=--
l ∴的截距式方程：163x
y
+=-
∴ l 在x 轴上的截距是6-，在y 轴上的截距是3．
即,l x y 与轴的交点 ()()60,0,3A B -， 如图：
评：（1）一般式与其他形式方程间的互化即“同解变形”
（2）求截距方法：①x=0时y=?，y=0时x=?
②化成截距
例2．
解析：方法1：直线过点()()3004-，，， 31204
41203m m n n ⎧-+==⎧∴∴⎨⎨+==-⎩⎩
方法2：12
04,x y n ==-=时 12
03y x m =-=-时
方法3 120mx ny ++= 11212mx
ny
∴+=-- 即1x y
m n
+=--
12
12
3,4m n ∴-=--=
三. 直线恒过定点问题
例3．求证:不论m 取何实数,直线 恒过一定点,
并求出定点的坐标
证明：直线方程即为()()311210x y m x y +----= ∈对任意m R,此方程恒成立
．31102
2103x y x x y y +-==⎧⎧∴∴⎨⎨--==⎩⎩ ()∴直线过定点2，3
评：直线是否过定点即方程对一切m ∈R 恒成立
f(x)+mg(x)=0对任意m ∈R 恒成立,则 练习３
恒过定点取何值，直线求证：无论0)34()15()2(3)1(=---++k y k x k k 小结：１．直线方程的形式间的转化
２．由直线方程求表示直线位置的特征量（如：斜率，截距等）
已知直线mx+ny+12=0在x,y 轴上的截距分别是-3和4,求m,n 的值()()213110m x m y m --+-+=()()00
f x
g x =⎧⎪
⎨=⎪⎩()()
2直线y+3=ｍｘ＋１恒过定点
３．直线恒过定点问题作业：
，
11,12.
44.
1.P
2.l kx y k
已知直线:-+1+2=0
()l
1证明:直线过定点，()l x y
２若交轴负半轴于Ａ,交轴的
AOB
∆
正半轴于B,面积为S,试求Ｓl
的最小值,并求出此时的方程.。