含有狄拉克势的无限深球对称方势阱的能级

一维对称无限深方势阱的波函数表达式

一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。

对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。

1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。

这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。

2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。

薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。

对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。

而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。

5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。

在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。

在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。

2无限深势阱

是奇函数
(odd function)
l =1 时， = /2，e Acos kx
是偶函数
(even function)
l 为其他整数值时，给出相同结果
（可能差正负号，但不影响| |2 ）
由 o (a / 2) Asin(ka / 2) 0
ka n , n 2，4，6，
一维无限深方形势阱中的波函数与能量
U(x)
U(x)
U=U0
U=U0
U→∞
U→∞
E
极
U=0 限
0
x
金属
a
E
U=0
a /2 0 a /2 x
无限深方势阱（potential well）
x a / 2 U( x) ， 0
x

a / 2 U(x)

0 ，Hˆ

2 2m
d2 d x2
a
所以有能量本征函数：
on
a sin n x 2a
en
a n cos x
2a
0
xa 2
x a 2
（2）全部波函数
考虑振动因子有
n
(
x,
t
)

n
(
x)

e
i
Ent
“能量本征波函数”，“能量本征态”
（3）概率密度：|n( x, t) |2 |n( x) |2
无限深方势阱中的粒子
定态薛定谔方程
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2m
从数学上来讲：E 不论为何值该方程都有解从物理上来讲： E只有取某些特定值，该方

无限深球方势阱

0,1,2
a
2
由归一化条件： 0
0nr (r)
dr 1
0nr (r)
2 sin (nr 1) r
a
a
12
二、无限深球方势阱(3)
2、非s态情况（即 l 0 的情况）
势阱内 (0 r a) ：V (r) 0 令 k 2E /
径向方程写为：Rl(r)
2 r
Rl(r)
[
2
2
E
l
(l r2
设质量为的粒子在中心势场V (r)中运动，则哈密顿量：
Hˆ pˆ 2 V (r) 2 2 V (r)
2
2
x r sin cos y r sin sin
z r cos
考虑到中心势场 V (r)是球对称的，采用球坐标
pˆ 2
22
2 r2
r
r2
r
lˆ2 r2
2
r
2 r 2
r
lˆ2 r2
2
目录
一、中心力场的能量本征方程二、无限深球方势阱三、三维各向同性谐振子
3
一、中心力场
氢原子中，电子的势能函数：
V (r) e2
+r
r
碱金属原子中，电子的势能函数：
V
(r)
e2 r
e2a0 r2
,0
1, a0为Bohr半径。
它们都是球对称的，称之为中心力场。
4
一、中心力场的能量本征方程
2r
2
2
)
l
(l r2
1)
]Rl
(r)
0
采用自然单位，令 1 ，有：
Rl(r)
2 r
Rl(r)

含有狄拉克势的无限深球对称方势阱的能级

０引言
令正一 √ ２Ｅ／上式简化为ｈ，无限深球对称方势阱可以作为原子核内势能的
一
（３）
个高度简化的物理模型［，了把核内结构的影 ¨为
（）ｋ２１，ｄ＋［ｒ（ｚＲ２
一
）一（１］：０＋）Ｒ
Ｖｏ．５．．１２ＮＯ２
Ｊｎ２０ｕ．０８
含有狄拉克势的无限深球对称方势阱的能级
黄磊，致祥倪
（阳师范学院物理与电子科学学院，徽阜阳２６４）阜安３０１
摘
要：对含有狄拉克势的无限球对称深势阱内运动粒子的薛定谔方程进行了严格求解，到了波函数与能级方得
丝！２一丛生２！生
ｆＡ（，ｏ忌ｊ） ≤ ＜１ｒｘ口
ｌ（）（一ｊｋ）（，口 ≤ｋｎｋｚｔａ，）１＜ｚ口ｔ口）（ｎｚ了
（Ｏ１）在ｚ一志１ｎ处波函数连续得到
，
÷ｎ（是志五÷口）
蜒，到径向方程得
１ｄ（ｄ）ｒｚ “ Ｒ
（。）＋［ — ｌ１１一。ｚｚ（＋）这是一个阶球贝塞尔方程［其通解为引，
（）８
（Ｅ
—
卜
］Ｒ
１Ｎ６
Ｒ —
（ｚ）＋Ｂｍ（ｚ）
（９）
不失一般性，定球对称无限深方势阱的半径假为。狄拉克势也具有球对称性，于，一ａ２处．，位・／这时，势场为

三维无限深方势阱能级简并度与对称性关系的讨论

三维无限深方势阱能级简并度与对称性关系的讨论
三维无限深方势阱能级简并度与对称性关系
三维无限深方势阱（又称无限深结构）是一种特殊的微观物理结构。

它是由多
个大小不同的同构区块组成，在某个方向上构成有限深度，而在其余方向上构成无限深，密度扩散而构成不可局部化的无限深结构。

这种结构的特殊性和复杂性让它有着至关重要的实际意义。

三维无限深方势阱能级是由诸如跃能、绝热量以及椭圆轨道能等各种不同的元
能组成的。

而能级的简并度又是三维无限深方势阱的一个重要特征。

简并度的大小取决于原子的共轭对称性。

对于螺旋状、周期性的三维无限深方势阱，其能级的简并度取决于其中螺旋状和周期性状，以及它们是否存在对称性。

一般而言，当三维无限深方势阱存在对称性时，其能级简并度就比较高，考虑
到诸如跃能、绝热量以及椭圆轨道能的影响，会得到高密度状态，从而导致能级的简并度较高。

而对于不存在对称性的三维无限深方势阱，由于能级的分布比较零散，其能级简并度较低。

另外，还有一些量子物理单位来决定三维无限深方势阱能级简并度的大小，比
如说，能带宽度可以用来控制能级简并度，能带宽度越大，就会得到更高密度的状态，从而使能级简并度更高。

总的来说，三维无限深方势阱能级简并度与其存在的对称性及诸如跃能、绝热
量以及椭圆轨道能等量子物理量存在紧密的关系，他们的大小都直接影响着三维无限深方势阱能级简并度的大小。

南京大学量子力学讲义

3.6 一般的不确定关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7 平均值的演化守恒量和好量子数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6.1 一维定态问题的一般性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.2 一维无限深方势阱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
第 2 章量子力学的基本概念
7
2.1 波函数的统计解释 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 态叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6.3 一维有限深不对称方势阱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.4 一维 δ 势阱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

量子物理3近代物理学,大学,课程

光强度大
光波振幅平方大（波动观点）
光子在该处出现的概率大
（微粒观点）
物质波的强度大
波函数振幅的平方大（波动观点）单个粒子在该处出现（微粒观点）的概率大
•波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念
哥本哈根学派--爱因斯坦著名论战
玻尔、波恩、海森伯、费曼等
还有狄拉克、德布罗意等
波函数的概率解释是自然界的终极实质
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
d
2 1 ( dx2
x)
k
2
1
(
x
)
0,
x0
d
2
2 ( dx2
x)
k12
2
(
x
)
0,
0 xa
d
2
3 ( dx2
x
)
k
23
(
x)
0,
xa
考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波和反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只有透射波。粒子在x=0处的几率要大于在x=a处的几率。
建立薛定谔方程的主要依据和思路：
•微观客体具有波粒二象性，满足德布罗意关系式
E / h, h / p
•对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子
p2
E V(r )
2m
波函数应遵从线性方程
•若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数Ψ1与Ψ2是某粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态。
因此自由粒子的德布罗意波的波函数可表示为
是一个待定常数，
x处波函数的复振幅
则反映波函数随时间的变化。
• 波函数的统计解释：物质波是一种概率波

10-无限深势阱

ψ（x , t ) = u( x ) ⋅ exp[− i 2
E
t ] + u( x ) exp[i
E
t]
所描述的粒子运动状态可能是定态吗？
作业
教科书 P271
13.35 13.36 13.38
宾尼希
罗雷尔
鲁斯卡
*三、谐振子
1 2 1 U = kx = mω 2 x 2 2 2
谐振子的势能为
U
n =3 n=2 n =1 n =0 o
薛定谔方程为 d 2 ψ 2m 1 + 2 ( E − mω 2 x 2 )ψ = 0 2 dx 2 其能量本征值为
7 ω 2 5 ω 2 3 ω 1 2 ω 2
2 2 多次测量能量(可能测到的值) π En = n2 π 2 2 2 , E = π 2 2 22 2ma2 E1 = 1 概率各1/2 2 2 2 2ma 2ma 1 1 5 π2 2 能量的平均值 E = E1 + E 2 = 2 2 2 2ma 2
[例13-25] 处于定态的粒子波函数应具有什么样的形式？下面两个函数： E E ψ（x , t ) = u( x ) sin x ⋅ exp[− i t ] + v ( x ) cos x ⋅ exp[− i t ] 1
STM的横向分辨率已达0.1nm，纵向分辨达0.01nm 。 STM的出现，使人类第一次能够实时地观察单个原子在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。
48个Fe原子形成 “量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。
宾尼希、罗雷尔和鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。前两人是扫描隧穿显微镜（1982年）的直接发明者，第三人是 1932年电子显微镜的发明者，这里是为了追朔他的功劳。

一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导

一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。

在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。

研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。

下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。

一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。

在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。

1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。

对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。

二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。

这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。

波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。

2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。

三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。

华中科技大学《量子力学》10讲-球方势阱

1)
]Rl
(r)
0
是球Bessel方程，其解Rl (r) （jl kr）, k 2E /
（jl kr)为球Bessel函数:jl
(x)
(1)l
xl
(1 x
d )l dx
sin x
x
在边界条件Rl (a) 0下,有jl (ka) 0, 若令x ka
从jl (x) 0解出根，记为xnrl，nr 0,1, 2,,
量子力学
光电子科学与工程学院刘劲松
第十讲无限深球方势阱
三维各向同性谐振子
1
目录
一、中心力场的径向方程的回顾二、无限深球方势阱三、三维各向同性谐振子
2
一、中心力场的径向方程的回顾(1)
设质量为的粒子在中心势V (r)中运动，则Hamilton
为 Hˆ pˆ 2 V (r) 2 2 V (r)
V (r)]
E
其解为 lm Rl (r)Ylm ( ,)，其中Rl (r)满足径向方程，
l(r)
2
[ 2
(E
V
(r))
l
(l r2
1)
]l
(r)
0, l
0,1,
2, ,
1、s态（即l 0的情况） l (r) rRl (r)
0(r
)
2
2
[E
V
((2) l (r) rRl (r)
2
x ka, k 2E E
x2
2a2
2
2
Enrl
Enr 1
2a2
x2 nr
1
,
nr
0
E01
2a2
x021
2
nr 1 E11 2a2 x121

有限深对称方势阱能级近似公式

并进行了误差分析．经过与数值结果的对比，本文得到的两个近似公式具有比较高的精确度和较好的适用性．
关键词：有限深对称方势阱；能级；近似公式
（）中图分类号：文献标识码：文章编号：Ｑ４１３１
Ａ
１００００７１２２０１８０４００３１０３
【】ＤＯＩ１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１００００７１２．１７０３４５
εｎ
＝
κ
２ｎ
→
１４
π２ｎ２
Ｅ
ｎ
＝
ｈ２ εｎ２ｍａ２
→
ｈ２８
π２ｎｍａ２
２
式（２２）即是一维无限深方势阱中的结果．
（２２）
( ， ) ，（）１１１
κｎ∈
ｎπ－ π ２２
ｎπ ２
ｎ∈Ｚ＋
１７
由于足关系：
κ
＝
βｓｉｎ
θ
＜β，因此可得最高能级数
ｎｍａｘ
满
另一方面，可以根据能级式（１６）用作图法求出两条曲线的交点得到能级．
ｄκｎｄβ
＝ｓｉｎ
θｎ＋βｃｏｓ
θｎ
ｄθｎｄβ
＝－ｄθｎｄβ
（２０）
由上式解出ｄκｎ＝ｓｉｎ θｎ＞０
（２１）
ｄβ １＋βｃｏｓ θｎ
这说明能级随着势垒高度的增大而增大，但是增大
的速度随着势垒高度的增大而减小．
当势阱高度参数 β→¥时，有 θｎ→０，于是得到
，，１
１
κｎ＝２ｎπ－θｎ→ ２ｎπ
用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ直接求解能级式（１６），可以得到不同势垒高度、不同能级时波数 κ 的数值结果．

势阱中粒子运动的能级和波函数毕业论文

晋中学院本科毕业论文(设计)题目势阱中粒子运动的能级和波函数院系物理与电子工程学院专业物理学一维势垒——一维散射中的几率密度摘要: 利用数值计算方法研究了粒子在一维“方形”势垒中运动时的粒子的几率分布,并给出了几率密度图.从这些图我们可以清楚的看出不同能量的粒子在“方形”势垒散射时的几率分布情况, 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系.关键词:几率密度; 势垒几率密度; 阶梯势; 势垒; 几率密度阶梯势; 势垒;几率密度; 阶梯势; 势垒One-dimensional square potentials— One-dimensional square potentialsAuthor ’s Name : JianPing Gong Tutor:JianPing Gong ABSTRACT: In this paper, we outline the quantitative calculationof the stationary states of the particle. We limit ourselves to one-dimensional models. We shall give the results of this calculation for a certain number of simple cases, and discuss their physical implications. We study the motion of a particle in a “square potential ”who se rapid spatial variation for certain values of x introduce purely quantum effects. We consider the quantum mechanics of a particle which encounters the potential step with 0E U > and 00E U <<. We next study more complicated potential form, the rectangular potential barrier. We draw 2ψ as a function of x by numerical calculation. From this figure, we can see clearly an important difference between classical mechanics and quantum mechanics.barriers;引言11势垒模型与量子力学方程12 阶梯势垒散射4 2.1 模型与方程4 2.2 0E U >的情况5 2.3 0E U <的情况8 2.40U →∞的情况9 3 方形势垒散射10 3.1模型与方程10 3.20E U >情况11 3.30E U <情况14 3.40E U →情况15 总结16 致16注释16参考文献16附录17图1.1所示的一维势垒可以作为一维势垒最简单的例子. 纵轴上标出势能()U x , 它是粒子的坐标x 的函数. 在0x 点上势能具有极大值0U . 整个空间x -∞<<∞在这一点上分为两个区域:0x x <和0x x >, 在这两个区域m U U <. 如果我们根据经典力学来考察粒子在场中的运动, 我们马上可以说明“势垒”的意义. 粒子的总能量E 等于2()2p E U x μ=+(1.1)式中p 为粒子的动量,μ为它的质量. 从(1.1)解出动量. 我们得到()p x =上式中的符号±应该根据粒子的运动方向来选择. 如果粒子的能量E 大于势垒m U 的“高度”, 则当粒子的初始动量0p >时, 粒子可以毫无阻碍地从左边向右边通过势垒; 而当粒子的初始动量0p <时,粒子通过势垒的方向正好相反.假设粒子是从左向右运动的, 其总能量E 小于m U . 于是在某一点1x , 势能1()U x E =,1()0P x =, 粒子将停止下来. 它的全部动能转化为势能, 因而运动将向相反的方向进行:1x 是反转点. 因此, 当m E U <时,从左边来的粒子不能穿过势能极大值的区域0()x x =, 因而便不能进入第二个区域0x x >去. 相似地, 如果粒子是从右向左运动的,而且m E U <, 则它便不能进入第二个反转点2x 后面的区域去, 因为在2x 点上2()U x E = (参阅图 1.1). 因此对于所有能量小于m U 的粒子来说,势垒都是一个m U >m U =mU <x0图1.1 一维势垒12在横坐标为l ε-+和()x ε-+的两个点之间, 粒子受到一个力F 的作用, 此力的指向与Ox 轴的单位矢量x e 相反2m x Uε=-F e在这个区域之外, 势能()m U x U =或()0U x =为一常数, 而力等于零.如果我们谈的是微观粒子在微观场中的运动, 也就是在谈到不能略去量子效应的运动时. 在势垒附近发生的现象就完全不同了.在这种情况下, 与经典力学的结论相反, 能量E 大于势垒高度m U 的粒子有一部分为势垒反射,而能量小于m U 的粒子也有一部分会穿过势垒.在量子力学里, 必须知道波函数ψ, 因此必须要解薛定谔方程222()2i U x t x ψψψμ∂∂=-+∂∂(1.4)一维散射问题是一个非束缚态问题(()U x 与时间无关, 而E 是正的).因此令(,)()Ei tx t x eψψ-=(1.5)由此得到x222()2d U x E dx ψψψμ-+=(1.6) 按照势能()U x 的形式, 方程(1.6)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式2220d k dxψψ+=(1.7) 2222112222,()[()]k E k k n x E U x μμ===-(1.8)为了确定波函数要满足的边界条件, 我们把()U x 和()n x 看作是x 的缓变函数, 在图1.2中为方便取0l =, 于是,在0x =点附近对方程(1.7)求积分, 我们得到2220d dx k dx dx εεεεψψ++--+=⎰⎰ 即22212()0d dx k n x dx dx εεεεψψ++--+=⎰⎰ 由此得221()()()kn x dx εεψεψεψ+-''+--=⎰(1.9)当取极限0ε→时, 我们得到一个边界条件(0)(0)ψψ''+=-(1.10)其次, 根据波函数的连续性的普遍要求,我们有第二个边界条件:(0)(0)ψψ+=-(1.11)因为在0x =点并没有任何特殊之处, 所以条件(1.10)和(1.11)在任一点都能得到满足. 实际上上述边界条件在任何势能函数跃变的地方均可以满足.2 阶梯势垒散射2.1 模型与方程本章中,我们将讨论体系势能在无限远处为有限的情况,这时粒子可以在无限远处出现,波函数在无限远处不为零,由于没有无限远处波函数为零的约束,体系能量可以取任意值,即能级组成连续谱.这类问题属于粒子被势函数散射的问题,粒子从无限远处来,被势场散射后又到无限远处去.在这类问题中,粒子的能量是预先给定的.考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域()0x <<∞等于常量()000>U U ,而在0x -∞<<区域等于零,即()()0,00,U x U x U x x =<<∞=-∞<< (2.1)我们称这种势为阶梯势垒图2.1. 具有一定能量E 的粒子由势垒左方()0<x 向右方运动.在经典力学中,只有能量E 大于0U 的粒子才能越过势垒运动到0x >的区域;能量E 小于0U 的粒子运动到势垒左方边缘(0=x 处)时被反射回去,不能透过势垒.在量子力学中,情况却不是这样.能量E 大于0U 的粒子有可能越过势垒,但也有可能被反射回来;而能量E 小于0U 的粒子有可能被势垒反射回来,但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边0x >的区域中去.粒子的波函数ψ所满足的定态薛定谔方程是()222,02d E x dx ψψμ-=<(2.2)和()2202,02d U E x dxψψψμ-+=>(2.3)或改写成()22220,0d E x dx ψμψ+=<(2.4)和()()202220,0d E U x dx ψμψ+-=>(2.5)下面我们分两种情况分别进行讨论.2.20E U >的情况现在令()221202222,k E k E U μμ==-(2.6) 则得()22120,0d k x dxψψ+=<(2.7)和()U x 0U x图2.1 一维阶梯势垒()22220,0d k x dxψψ+=>(2.8)容易得出方程(2.7)和(2.8)的解为111,(0)ik x ik x Ae A e x ψ-'=+<(2.9)222,(0)ik x ik x Be B e x ψ-'=+>(2.10)由(1.5)式可知,当(2.9)和(2.10)式中的波函数1ψ、2ψ乘上时间因子E i te-后,1ψ、2ψ中的第一项和第二项分别描述的是由左向右传播的平面波和由右向左传播的平面波. 由于在0x =处的边界条件并不足以确定(2.9)和(2.10)中的4个未知常数, 为确定这些常数我们假设粒子自左向右运动.当x 为很大的正值时, 波函数应该描述越过“壁顶”并沿x 轴的正方向运动的一个粒子, 它的渐近形式必然是22,(0)ik x Be x ψ=>(2.11)即取0b '=. 由0x =处的边界条件:()()0201===x x ψψ, (2.12)201==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x dx d dx d ψψ(2.13) 我们有,(0)A A B x '+==(2.14) 112,(0)k A k A k B x '-==(2.15)(2.14)和(2.15)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系如下:1212k k A A k k '-=+(2.16) 1122k B A k k =+(2.17) 由这两式可以求出透射波和反射波的几率密度与入射波几率密度之比.将入射波1ik x Ae 、透射波1ik x Be 和反射波1ik x A e -'依次代换下式()**2i J ψψψψμ=∇-∇ 中的ψ,得入射波的几率流密度为()()1111212ik x ik x ik x ik x **i d d k J Ae A e A e Ae A dx dx μμ--⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ 透射波的几率流密度为22D k J B μ=反射波的几率流密度为21R k J A μ'=-透射波的几率流密度与入射波的几率流密度之比称为透射系数,以D 表示.这个比值也就是贯穿到0x >区域的粒子在单位时间流过垂直于x 方向的单位面积的数目,与入射粒子(在0<x 区域)单位时间流过垂直于x 方向的单位面积的数目之比.由上面的结果,有()221221124D J k B k k D J k A k k ===+(2.18) 反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,以R 表示.由上面结果,有()2122212411R A J k k R D J k k A '===-=-+(2.19) 由上两式可见,D 和R 都小于1,D 和R 之和等于 1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒0x >区域,另一部分被势垒反射回去.为画出粒子分布的几率密度图,我们令入射波的振幅1A =,得到1112112,(0)ik x ik xk k e e x k k ψ--=+<+(2.20)212122,(0)ik xk e x k k ψ=>+(2.21)粒子的几率密度分布如图2.2所示.要注意当12k k =, 即00U =时,势垒消失,因此反射为零,透射系数1D =.此时只有入射波而没有反射波,在0x <、0x >的区域粒子分布的几率密度一样,如图2.3所示.2.30E U 的情况此时我们只要令22k i ρ=,()20222k E U i μρ=-=()2022U E μρ=-(2.22)则我们得到:111,(0)ik x ik x Ae A e x ψ-'=+<(2.23)222,(0)x x Be B e x ρρψ-'=+>(2.24)由于当x →∞时,波函数应该保持有限,所以应取(2.24)中的0B '=.因此有1212k i A A k i ρρ'-=+(2.25) 1122k B A k i ρ=+(2.26) 此时反射系数为:22122121R A J k i R J k i A ρρ'-====+(2.27)透射系数为:2210D B JD R J A===-=(2.27)与经典力学不同的是,虽然透射系数为零,但在0x >区域找到粒子的几率并不为零.如果我们取1A =,则可将波函数写作:1112112,(0)ik x ik xk i e e x k i ρψρ--=+<+(2.28)图2.3 设12k =,22k =, 粒子几率密度图.图2.2 设12k =,21k =, 粒子几率密度图. 对于两个图并排情况,注意两图要对齐,说明文字也要对齐,图的版式采用上下型.212122,(0)x k e x k i ρψρ-=>+(2.29)从(2.28)可以看出虽然入射波与反射波的振幅一样,反射系数为1,但由于/A A '为一复数,所以反射波相对于入射波有一相移因子.这与经典力学无共同之处,但与光在金属表面反射时的情况类似.造成这种原因是因为粒子进入了0x >区域延误所致.由(2.28)和(2.29)式我们可以画出在0x <和0x >区域中找到粒子的几率密度曲线.从图中可以明显的看出,在0x >找到粒子的几率随着x 的增加而指数衰减,在21/x ρ>的区域,找到粒子的几率几乎可以忽略不计.值得注意的是由于反射波的振幅与入射波的振幅一样,所以入射波与反射波在0x <的区域中发生干涉,使得一些点20ψ=,这是干涉相消的结果.这与0E U >时的情况不同,因为在0E U >时入射波的强度大于反射波的强度,干涉相消的结果只使0x <的区域中的一些点的几率密度取极小值,另一点取极大值,但不会完全为零.当然当20k →时,反射波的振幅接近入射波的振幅,因而那些取极小值的点将趋于零.2.4 0U →∞的情况当势垒高度趋于无穷大时,即0U →∞时的解,可以由0E U <的情况中令2ρ→∞得到:21212lim 1k i A A k i ρρρ→∞'-==-+(2.30) 21122lim 0k BA k i ρρ→∞==+(2.31) 此时反射系数为:图2.4设12k =,21ρ=, 粒子几率密度图.图2.5设12k =,20.5ρ=, 粒子几率密度图.221212lim1R J k i R J k i ρρρ→∞-===+(2.32)透射系数为:2lim10DJ D R Jρ→∞==-=(2.33) 如果我们令1A =,则可将波函数写成如下形式:111,(0)ik x ik x e e x ψ-=-<(2.34) 20,(0)x ψ=>(2.35)值得注意的是,由(2.34)和(2.35)式给出的波函数1ψ和2ψ,在0x =点处波函数连续,但波函数的导数并不连续.这是因为在0U →∞时,在(1.9)式中221()()()kn x dx εεψεψεψ+-''+--=⎰右端的积分在0ε→时,由于()n x →∞并不等于零.所以在这种情况下,波函数仍然保持连续但波函数的导数却不在连续.我们可以由方程(2.34)和(2.35)给出的波函数1ψ和2ψ,绘出在0x <和0x >区域找到粒子的几率曲线图2.6.由于此时入射波与反射波的振幅相等,相位相差π,显然在0x <区域中入射波与反射波干涉相消会使得一些点的几率密度为零.实际上0U →∞时所给出的粒子几率分布曲线图2.6,是在0E U <时2ρ→∞的极限情况.为了说明这一点,我们利用方程(2.28)和(2.29)分别取2ρ为2、10和1000画出图2.7、图2.8和图2.9.从图中可以看出当210ρ=时与图2.6已经很接近,而当2ρ取1000时图2.9与图2.6已经无法区别.从这里可以理解实际上所谓0U →∞的情况实际上是势垒比粒子能量高的多时的一种理想近似.3 方形势垒散射3.1 模型与方程考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域()0x a <<等于常量()000>U U ,而在这个区域外等于零,即()U x 0U 图2.6当0U →∞,取12k =,2ρ→∞ 时的粒子几率密度图.图2.7当0E U <,取12k =,22ρ= 时的粒子几率密度图.图2.8当0U →∞,取12k =,210ρ=时的粒子的几率密度图. 图2.9当0E U <,取12k =,21000ρ= 时的粒子几率密度图.()()ax ,x x U a x ,U x U ><=<<=0000 (3.1)我们称这种势为方势垒图3.1.具有一定能量E 的粒子由势垒左方()0<x 向右方运动.粒子的波函数ψ所满足的定态薛定谔方程是()a x ,x ,E dx d ><=+002222ψμψ(3.2) 和()()202220,0d E U x a dx ψμψ+-=<<(3.3) 同第二章一样我们分两种情况分别进行讨论.3.2 0E U >情况与(2.6)式一样我们定义1k 和2k 将方程(3.2)和(3.3)改写为()a x ,x ,k dx d ><=+002122ψψ(3.4) 和()22220,0d k x a dxψψ+=<<(3.5) 此处21k ,k 都是大于零的实数.在0<x 区域,波函数x ik x ik e A Ae 111-'+=ψ(3.6)是方程(3.4)的解.在a x <<0区域,方程(3.5)的解是x ik x ik e B Be 222-'+=ψ, (3.7)在a x >区域,方程(3.4)的解是x ik x ik e C Ce 113-'+=ψ(3.8)按照公式(1.5)()(),iEtx t x eψψ-=定态波函数是321ψψψ,,再分别乘上一个含时间因子Et ie-. 由此看出(3.6)—(3.8)三式右边第一项是由左向右传播的平面波,第二项是由右向左传播的平面波.在ax >区域,没有由右向左运动的粒子,因而只应有向右传播的透射波,不应有向左传播的波,所以在(3.8)式中必须令0='C (3.9)在0=x 和a x =均可以用波函数和波函数导数的连续条件(1.8)和(1.9)来确定函数中的其它系数.由()()0201===x x ψψ,我们有B B A A '+='+由0201==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x dx d dx d ψψ有B k B k A k A k '-='-2211由()()a x a x ===32ψψ,有a ik a ik a ik Ce e B Be 122='+-由032==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x a x dx d dx d ψψ有 a ik a ik a ik Ce k e B k Be k 122122='--解这一组方程组,可以得出A ,C '和A 的关系是()()A ek k ek k e k k C aik aik aik 221221221214--+=--(3.10)()()()22221222212122sin ik aik ai k k ak A A k k ek k e--'=--+(3.11)(3.10)和(3.11)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系.由这两式可以求出透射系数为:()222122222222122124sin 4D C J k k D J A k k ak k k ===-+(3.12) 反射系数为:()()22222122222222212212sin 1sin 4Rk k ak A J R D J A k k ak k k -'====--+(3.13)由上两式可见,D 和R 都小于1,D 和R 之和等于 1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒a x >区域,另一部分被势垒反射回去..特别要注意当2ak n π=,0,1,2,n =时,反射为零,透射系数1D =,产生所谓共振透射.此时只有透射波而没有反射波.从系数方程解得:2221122221212211222212122()()()2()()()i ak i ak i ak k k k B Ae k k k k e k k k B Ae k k k k +=---++'=--+令1,A =我们得到波函数的形式为:()()()11222212212212122sin ik xik x ik a ik ai k k ak ee k k e k k e ψ---=+--+(3.14)2222221121122222222121212122()2()()()()()i ak ik x ik xi ak i ak k k k e k k k e e e k k k k e k k k k ψ-+-=-+--+--+(3.15) ()()11221232212124ik aik x ik a ik ak k e e k k e k k e ψ--=+--(3.16)设122,1k k ==,势垒宽度a 分别为1、2、3和π分别画出粒子分布的几率密度图3.2、图3.3、图3.4和图3.5.其中图3.5对应共振散射的情形.图3.2 取122,1,1k a k ===时粒子几率密度分布. 图 3.3 取122,1,2k a k ===时的粒子几率密度分布.图3.4 取122,1,3k a k ===时的粒子几率密度分布. 图 3.5 取122,1,k a k π===时的粒子几率密度分布.如果我取 1.5a =、12k =而分别令2k 为1和0.1我们得到图3.6、图3.7.从两图中可以看出当,当2k 减小,对应势垒增高.相应的粒子穿过势垒的几率变小,反射几率增大,反射波的强度与入射波的强度接近.所以在0x <的区域入射波与反射波干涉相消使得一些点波函数的密谋接近零.3.3 0E U <情况这时2k 是虚数,令22k i ρ=则2ρ是实数:()120222U E μρ⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦(3.17) 把2k 换成2i ρ,前面的计算仍然成立.经过简单计算后(3.10)式可改写为()1122221221222sh 2ch ik aik e C A ka ik aρρρρρ-=-+(3.18)透射系数D 的公式可改写为()2212222222122124sh 4k D ka k ρρρρ=++(3.19)在(3.14)、(3.15)和(3.16)式样中分别令120.5,2,0.2a k ρ===和122,2,1a k ρ===可画出在0E U <时粒子分布的几率图3.8和图3.9.由图可以看出当势垒变高变宽透射过势垒粒子的几率迅速减小.从而同样使反射的几率增加.与0E U >的情况类似,这时反射波的强度和入射波的强度接近从而使在0x <的区域中入射波和反射波的干涉出现相消而使得一些点上找到粒子的几率接近于零.图3.6取122,1, 1.5k a k ===时的粒子几率密度分布.图3..7取122,0.1, 1.5k a k ===时的粒子几率密度分布.3.4 0E U →情况对于0E U →情况,我们选择较“不透明的势垒”,即满足220/8U a μ=,此时有1112220122022U E E k U μμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111222002220221E U U E k U μμ⎡-⎤⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦由(3.19)式可以给出2/D C A=和0/E U 的关系图 3.10,当0E U →时,120212mU a D -⎛⎫→+ ⎪⎝⎭,当所选参数满足220/8U a μ=时,0.2D →,在图 3.10中当0/1E U =时,0.2D →.图3.10 透射系数D 与0/E U 关系曲线图图3.8 取122,0.2,k ρ==0.5a =时的粒子几率密度分布.图 3.9 取122,1,2a k ρ===时的粒子几率密度分布.总结我们在本文中对粒子在一维阶梯势垒和方形势垒的散射中的可能存在的各种情况作了较详细的讨论.并根据所给出的波函数用数值计算的方法画了粒子的几率密度曲线.在存在阶梯势垒的情况,如果0E U >,在0x <的区域由于入射波与反射波的干涉效应,几率密度呈现出随x 的变化而波动,而在0x >的区域由于只有透射波存在,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);如果0E U <,透射系数为零,在0x <的区域由于入射波与反射波振幅一样,干涉相消使得一些x 点几率密度为零,而在0x >的区域由于透射波随着x 的增加而呈指数衰减,几率密度曲线很快单调下降至零.在方形势垒情况,如果0U a 有限,则透射波不为零.与阶梯势垒的情况类似,由于在0x >的区域只存在透射波,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);而在0x <的区域由于存在入射波和反射波的干涉效应,使得粒子的几率密度随x 不同而波,特别是发注释:[1] 文中长度单位取()1/220/U μ为单位长度.)1/22为单位波矢参考文献:[1] 量子力学教程[M]. : [2] 科学. 1981. 165～166 参考文献四字顶格黑体[4]E.H. Wichmann. [美] 复旦大学物理译. 量子物理学[M]. : 科学. 1978. 347～348[5]Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë. Quantum Mechanics[M]. Paris: Hermann. 1977.67～68[1]王传昌．高分子化工的研究对象[J]．大学学报，1997，53（3）：1~7附录:为了加强我院本科生毕业论文（设计）的管理与指导，切实提高毕业论文（设计）的水平与质量，根据《中华人民国学位条例暂行实施办法》特制定本《工作规定》。

无限深方势阱的能量本征值方程

无限深方势阱的能量本征值方程
无限深方势阱是一个理论模型，用于描述粒子在一个无限深的势阱中运动的情况。

在量子力学中，我们可以使用能量本征值方程来计算粒子在这个势阱中可能存在的能量值。

能量本征值方程可以写为：
Ψ''(x) + (2m/h^2)(E - V(x))Ψ(x) = 0
其中，Ψ(x) 是波函数，表示粒子在位置x的概率幅。

Ψ''(x) 是波函数的二阶导数。

m 是粒子的质量。

h 是普朗克常数。

E 是粒子的能量。

V(x) 是势能函数，对于无限深方势阱，V(x) 在势阱内为0，在势阱外为无穷大。

解这个方程可以得到能量本征值E 对应的波函数Ψ(x)。

根据量子力学的原理，粒子的能量只能取离散的值，而这些离散的能量值就是能级。

对于无限深方势阱，能级可以表示为：
E_n = (n^2 * h^2)/(8mL^2)
其中，n 是一个正整数，表示能级的序号，L 是势阱的宽度。

这个能级公式告诉我们，粒子在无限深方势阱中的能量是离散的，并且随着能级的增加而增加。

每个能级上存在一个对应的波函数，描述了粒子在势阱内的行为。

需要注意的是，虽然能级是离散的，但是在每个能级中，波函数可以取到不同的形态，表示粒子在势阱内的不同状态。

这些波函数可以通过数学计算得到，并用于描述粒子的运动和性质。

6-2 球无限深势肼

1 2 Y l (l 1) Ylm , 2 2 lm sin
1 sin sin
我们得到
在其中做自变量代换 x kr ，则方程变为
1 d 2 dR 2 l (l 1) r k R 0, r 2 dr dr r2
Enl x . 2 a
2 2 nl 2
所以粒子的能级是
一般地说， xnl 的值没有解析的表达式，但是 l 0 是个例外，因为 j0 ( x) sin x / x ，所以
xn 0 n ,
kn 0
这正和把三维问题约化为一维问题后宽度为 a 的一维无限深势阱的能级相同。最初几个 xnl 的值（以为单位）如下表，它们所对应的能量就是表中的值的平方（以
一般的 jl ( x) (l 0,1, 2,
) 的普适表达式是
1 d sin x jl ( x) (1) x , x dx x
l l l
1
所以 jl ( x) 有递推公式
jl 1 ( x)
由此不难发现，在 x 时，球 Bessel 函数的渐近行为是
J1/ 2 ( x)
J 3/ 2 ( x)
2 sin x, x
2 sin x cos x , x x
其他的半整数阶函数不难从 Bessel 函数的递推公式求出。所以球 Bessel 函数也是初等函数，例如
sin x , x sin x cos x j1 ( x) 2 , x x j0 ( x)
(r , , ) r a 0,
所以应有

jl (ka) 0,
这就决定了 k 的取值。记方程的第 n 个根（ n 1, 2, 3,

电磁场中粒子的运动

]
qy
1 2M
( pˆ x2
2 qB c
ypˆ xLeabharlann q2B2 c2y2
2
2 y 2
)
qy
pˆ x与pˆ y以及y对易，[ pˆ x , Hˆ ] 0,选( pˆ x , Hˆ )为力学量完全集。 pˆ x的本征函数为 eipxx/ , 其中本征值 px ,设( pˆ x , Hˆ )的共同本征函数为
Lev Landau
(1908～1968，1962年诺贝尔物理学奖 )
朗道十诫：量子力学中的密度矩阵和统计物理学 (1927)；自由电
子抗磁性的理论(1930)；二级相变的研究(1936～1937)；铁磁性
的磁畴理论和反铁磁性的理论解释(1935)；超导体的混合态理
论(1934)；原子核的几率理论(1937)；氦Ⅱ超流性的量子理论
2
u [l(l
2
1 2) 2r 2
e2 r
eBm ]u
2c
Eu
(2)
2
2
u [l(l 1 2) 2r 2
e2 ]u r
E0u
(3)
其中，E0
E
eBm
2c
这正是碱金属原子径向方程的本征方程
E0
e2 2a
1 n2
,
n nr l 1
nr 0,1,2,,
13
一、正常Zeeman效应（5）
2
2
r
g n2
2
碱金属原子价电子能级
u(r)单满足价径原向子方中程价: 电子（最外层电子）所受原
子表令实示222al0222（(成luuuu令原12()222ar/[[[(子l0u令ll)222(((满(2(lll222auuurleV核l0)足2222(满1)11(2l,uuu))1r径及/[[[l)足(2lll)12((22向2()1ll内径le/[[[2)r(lll)22方r2(()11向2(2ll21层,le)1)程el)2，2r方e2()r2112(r2(电2,e21l)12r:程2)2)rl)2子)2]r22(2(u21l21:e2r)r)）2)，e2re22(]rrr2221u2Ere222ar2的))a22u，0e2(]r0r]u2e2u2Er作 e,)r220ue]]ur2u用 EeEa2r2u0eu]r]2势uEuaE2((1u(03u2)可 ])u)1EEuu以E((1(3u近2)))((1(似32)))

无限深势阱中能量被量子化的解释

无限深势阱中能量被量子化的解释
量子力学是一门物理学，它根据量子效应解释复杂系统中粒子行为的规律。

量子力学假定，在很小的粒子系统中，粒子及其能量状态都可以用量子力学描述。

因此，粒子和其能量状态会被量子化。

量子化是指在量子力学情形下，量子力学被用来表示粒子和其能量状态的过程。

量子力学的核心理论是，将能量状态的分解看作由粒子的“量子态”组成的。

在量子力学的“无限深度”情形下，量子化是特殊的，由于像能量状态的变换，粒子的行为受到的外部控制很多而无限深度的情形下只用一种能量，所以粒子能量状态是确定的。

量子化就是将粒子的能量状态和行为用量子力学来表达和描述这个过程。

此外，量子力学还有另外一个重要概念，就是量子隧穿效应，一种粒子可以在无限深度中跨越“势阱”的新的能量状态。

量子隧穿效应的理解是，粒子界面的能量状态能够“隧穿”势阱和其他低能量状态，而不受其他高能量状态的限制。

在量子力学情形下，量子隧穿效应可以被量子化，这就意味着，当粒子隧穿势阱时，它的能量状态就会从一个状态转换到另一个低能量状态。

高二物理竞赛课件：无限深方势阱

(n＝2)，能量再次低的态为第二激发态(n=3),依次类推
基态能量为:
h2 2
E基 E1 2ma2
激发态 En n2E基
2.体系的零点能: E零 E基 Vmin 对于一维无限深势阱 E零 E基 0 量子现象
3.束缚态：在势阱中,运动状态是两端固定的驻波 (参见图2.5-2)
4.没有简并: En , n 一一对应
(x,t) cn n (x)eiEnt / n 1
4
5
1
(
x
)e
iE1t
/
1
5
2
(
x)e
iE2t
/
8 sin x ei 2 t /(2ma2 ) 2 sin 2 x ei2 2 t /(ma2 )
5a a
5a a
解法二：
(x,0)
8 5a
1
cos x
a
sin
x
a
8 5a
sin
x
a
求:(1)t>0时刻粒子的状态波函数 (x,t) (2)粒子能量的可能取值,取值几率和期望值
(3)在t=0和t>0时,在 0 x a区/ 2域发现粒子的几率
解:(1) 解法一： (r , 0) CE E (r )
E
故在一维无限深势阱中改写为 (x,0) cn n (x)
n 1
两边乘以
* n
d2 dx2Biblioteka E(x)k 2
E
(x)
0
方程的解为: E ( x) Asin kx B cos kx 0 x a
体函系数的为定: 态波
E
(
x
)
A
sin
kx

含有狄拉克势的无限深球对称方势阱的能级

第25卷第2期阜阳师范学院学报(自然科学版) V o l.25,N o.2　2008年6月 Jour na l o f Fuyang T eachers Co llege(N atural Science) Jun.2008含有狄拉克势的无限深球对称方势阱的能级黄　磊,倪致祥(阜阳师范学院物理与电子科学学院,安徽阜阳　236041)摘　要:对含有狄拉克势的无限球对称深势阱内运动粒子的薛定谔方程进行了严格求解,得到了波函数与能级方程,并利用mathematica对s态的情况进行了数值计算,讨论了势垒高度对能量本征值的影响.关键词:球对称;无限深方势阱;狄拉克势;能量本征值中图分类号:O41 文献标识码:A 文章编号:1004-4329(2008)02-0037-030　引言无限深球对称方势阱可以作为原子核内势能的一个高度简化的物理模型[1],为了把核内结构的影响考虑进去,一个比较简单的方案是附加一个球对称的狄拉克势.文献[2]中讨论了狄拉克势阱的束缚能级,文献[3]中用微扰方法计算了中央具有狄拉克势时一维无限深方势阱的能级变化,文献[4]中给出了上述模型中能级的精确公式.本文的目的是研究附加狄拉克势的球对称无限深方势阱中粒子的能级,并考虑角动量对能级的影响.1　问题的数学模型不失一般性,假定球对称无限深方势阱的半径为a,狄拉克势也具有球对称性,位于r=a/2处.这时,势场为 V(r)=V0 (r-12a),r<a　∞　,r≥a(1)在该势阱内运动粒子的波函数 (r,,!)满足薛定谔方程 - 22m∀ +V(r) =E (2)设 (R,,!)=R(r)Y(,!),代入上式进行分离变量,得到径向方程1 r2dd r(r2d Rd r)+[2m2(E-V)-l(l+1)r2]R=0,l∈N(3)令k=2mE/ ,上式简化为dd r(r2d Rd r)+[k2r2(1-V0 (r-12a)E)-l(l+1)]R=0(4)设x=kr,#=2mV0a/ 2,有dd x(x2d Rd x)+[x2(1-# (x-12ak)ak)- l(l+1)]R=0(5)由于在V(r)→∞处波函数 →0,所以有齐次边界条件 R(k a)=0(6)由于r=0为径向方程(3)的奇点,在该点波函数必须有界,所以有自然边界条件 R(0) <∞(7)泛定方程(5)与边界条件(6)和(7)构成了确定能级的定解问题.2　问题的求解显然,在x≠12ka处,泛定方程(5)成为dd x(x2d Rd x)+[x2-l(l+1)]R=0(8)这是一个l阶球贝塞尔方程[5],其通解为 R=A j l(x)+Bn l(x)(9)收稿日期:2008-04-02基金项目:教育部高等学校特色专业建设点项目作者简介:黄　磊(1987-),男.研究方向:物理教育.其中j l(x)和n l(x)分别为l阶球贝塞尔函数和l阶球诺依曼函数.将(9)式代入边界条件(6)和(7)两式,得到R(x)= A j l(x), 0≤x<12kan l(ka)j l(x)-j l(ka)n l(x),12ka<x≤ka(10)在x=12ka处波函数连续,得到A j l(12ka)=n l(k a)j l(12ka)- j l(ka)n l(12ka)=R(12k a)(11)但由于势阱中存在狄拉克势,在该处波函数的导数不连续,其跃变条件可以通过对方程(5)的邻域积分得到(12ka)2[R′(12k a+0)-R′(12ka-0)]- (12ka)2#kaR(12ka)=0(12)即[R′(12ka+0)-R′(12ka-0)]=#ka R(12ka)将(10)式代入上式,得到[n l(ka)j l′(12k a)-j l(ka)n l′(12k a)- A j l′(12ka)]=#kaR(12ka)(13)由(11)和(13)两式可以确定波数k和振幅A,代入公式(10)即得到对应的波函数.3　能级的计算公式当R(12ka)≠0时,将(13)式两边除以R(12ka),并利用(11)式,得到n l(ka)j l′(12ka)-j l(ka)n l′(12ka)n l(ka)j l(1ka)-j l(ka)n l(1k a)- j l′(12ka)j l(12ka)=#ka(14)上式给出了一个由参数#和a确定k的方程,由此可以进一步计算出能量 E=k2 2/(2m)(15)为了简化计算,我们把方程(14)变形为n l(ka)n l(12ka)j l′(12ka)j l(12k a)-j l(ka)j l(12ka)n l(12ka)n l(ka)n l(12ka)-j l(ka)j l(12ka) -j l′(12ka)j l(12ka)=#ka(16)由此得到j l(ka)j l(12k a)j l′(12ka)j l(12ka)-n l′(12ka)n l(12ka)n l(ka)n l(1ka)-j l(ka)j l(1ka)=#ka(17)上式可以进一步简化为[lnj l(x)n l(x)]′x=ka/2n l(ka)j l(ka)j l(12ka)n l(12ka)-1=#ka(18)给出了参数#和角量子数l后,由上式求出一系列的ka值,代入(15)可以确定对应的能级,它们组成了能谱的一个分支.当R(12ka)=0时,(11)式成为A j l(12ka)=n l(ka)j l(12ka)-j l(ka)n l(12k a)=0(19)于是得到 j l(12ka)=j l(ka)=0(20)这样,我们又可以得到能谱的另一个分支.4　能级的数值结果将球贝塞尔函数和球诺依曼函数的具体形式代入能级的计算公式(18)和(20),再进行数值计算,就可以得到能谱.下面,我们以l=0的情况为例,来进行具体计算.当l=0时,球贝塞尔函数和球诺依曼函数的具体形式为 j0(x)=sin xx,n0(x)=-co s xx(21)代入(18)式后得到 #tan12ka=-2ka(22)上式可以用科学计算软件Mathem atica来求解[6],结果为38 阜阳师范学院学报(自然科学版) 第25卷ka #=0.1#=1#=10#=100#=10001 3.1731 3.43101 4.76129 6.04265 6.2581529.435389.5296210.326612.091812.5163315.714315.771316.303118.15318.7745421.995722.036522.429824.230225.0327528.277928.309728.620230.325531.2909634.560434.586434.842636.439537.5492740.843240.865241.082942.571643.8075847.12647.145147.334448.720650.0659953.408953.425853.593154.884856.32431059.691959.70759.856961.062562.5828由上式我们发现,无量纲波数ka 随着势垒高度的增加而增加,但是增加的速度在变慢,当#等于零时,第n 个能级的无量纲波数为(2n -1)∃;当#趋向于无穷大时,第n 个能级的无量纲波数趋向于2n ∃.将球贝塞尔函数和球诺依曼函数的具体形式(21)代入(20)式,我们得到 sin 12k a12ka=sin ka ka=0(23)由此得到无量纲波数 ka =2n ∃,n ∈Z +(24)上式决定了能谱的另一个分支.4　结论通过上面的分析与计算,可以清楚地看出狄拉克势对球对称无限深方势阱中能级的影响.当不存在狄拉克势垒的时候,角量子数l =0的S 态的无量纲波数为ka =n ∃,n ∈Z +;在附加狄拉克势垒之后,偶数能级的无量纲波数仍然保持不变,奇数能级的无量纲波数随着势垒高度的增加,从(2n -1)∃逐渐增大到2n ∃.对于角量子数l >0的情况,我们得到的无量纲波数公式(18)和(20)依然正确,原来的能级也分裂为两支,具体的数值结果我们将另行研究.参考文献[1]　曾谨言.量子力学(上)[M ].北京:科学出版社,1982:205-214[2]　钱伯初,曾谨言.量子力学习题精选与剖析[M ].2版.北京:科学出版社,1999,46-49.[3]　吴学勇.受 (x )势微扰的一维无限深方势阱中粒子的能级与波函数[J ].喀什师范学院学报,2003,(6):21[4]　李明明,陈　岗.无限深方势阱附加势后的定态解[J].山东师范大学学报,2004,(4):96[5]　梁昆淼.数学物理方法[M ].3版.北京:高等教育出版社,1998:135-138[6]　洪维恩.数学运算大师M athematica 4[M ].北京:人民邮电出版社,2002:112-117Energy Levels in Spherically Symmetric Infinite DeepPotential Well with Dirac PotentialHU ANG Lei,NI Zhi-x iang(School of Phy sics and E lectr onic Science ,Fuy ang T eachers Colleg e ,Fuy ang A nhui 236041,China )Abstract :I n t his paper ,w e o bt ain t he w ave functio ns and lev els equation fo r the spherically symmetr ic infinite deep po -tential w ell with Dir ac potentia l ,and g et the numer ical results for s stat e using M athemat ica .Key words :spherically sy mmetr y ;infinite deep pot ent ial well ;dira c pot ent ial ;energ y eigenva lue .39第2期黄　磊等:含有狄拉克势的无限深球对称方势阱的能级。

量子力学——有限深方形阱

也不是离散量。代入方程 (1) ：
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三、散射态
解答形式与阱内区域的解答形式相同：
其中，C1 、D1 、 C3、D3 ，都是常数。
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四、自由粒子
在物理学里，自由粒子是不被位势束缚的粒子。在经典力学里，一个自由粒子所感受到外来的合力是 0 。假若，一个粒子 x 的能量大于在任何地点 E＞V(x) 的位势，，不会被位势束缚，则称此粒子为自由粒子。更强版的定义，还要求位势为常数 V(x)=V0。假若，一维空间分为几个区域，只有在每个区域内，位势为常数；在区域与区域之间，位势不相等，则称此粒子为半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大于位势， E＞V(x) ，不会被位势束缚，能量不是离散能量谱的特殊值，而是大于或等于V0 的任意值。在这里，我们只研究强版定义的自由粒子。
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4.3 相对论性的自由粒子
相对论性的自由粒子的量子行为，需要用特别的方程专门描述：克莱因-高登方程描述中性的 (neutral) ，自旋为零的，相对论性的自由粒子的量子行为。狄拉克方程描述相对论性的电子（自旋为的量子行为。）
1.
2.
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所以，波数是离散的，必须遵守方程：这也造成了离散的能量。
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三、散射态
假若，一个粒子的能量大于位势， E＞V0 ，则这粒子不会被束缚于位势阱内。因此，在这里，粒子的量子行为主要是由位势阱造成的散射（scattering）行为。称这粒子的量子态为散射态。称这不被束缚的粒子为自由粒子。更强版的定义还要求位势为常数。假若，一维空间分为几个区域，只有在每个区域内，位势为常数；而在区域与区域之间，位势不相等，则称此粒子为半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大于位势， E＞V0 ，不会被束缚于位势阱内，能量不是离散能量谱的特殊值，而是≧V0的任意值。波数，用方程表达为

§2.2方势阱(讲稿)

§ 2.2方势阱给定)(x V ，解不含时薛定格方程，求E 和ψ．一、无限深对称方势阱⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∞<=2,2,0)(a x a x x V1、分区求解通解（1）阱外)2(a x ≥ []0)(2)(2=∞-+''x E m x ψψ0)(=x ψ粒子不可能出现在阱外（2）阱内)2(a x < 0)(2)(2=+''x mE x ψψ0min =V ，∞=min out V ∞<<E 0 只有束缚态，不简并。

)(x V)()(x V x V =- 本征波函数具有确定的宇称本征波函数可以按宇称分类。

把本征波函数（通解）写成：kx B kx A x cos sin )(+=ψ⎩⎨⎧=负宇称解正宇称解,sin ,cos )(kx A kx B x ψmE k 2=2、确定特解用波函数“单值、有限、连续”条件，以及波函数一阶导数的连接条件，在通解中选择物理上可以接受的特解。

（1）正宇称解kx B x cos )(=ψ 连续条件 0)2(=±aψ要求：0)2cos(=±kan kd 22π=， ,5,3,1=n注意到 mE k 2=能量本征值只能取下面分立值：,5,3,1,22222==n n maE n π相应的本征波函数： ,5,3,1),cos(2)(==n a x n a x n πψ波函数的连续条件要求能量本征值取分立值n E ，而只有那些与n E 对应的波函数才是物理上可接受的。

能量的量子化 − 边值条件要求的结果！[思考] 在确定特解时只用到了在2a x ±=点波函数的连续条件。

为什么没有用到波函数一阶导数的连接条件？（2）负宇称解kx A x sin )(=ψ 连续条件0)2(=±aψ要求：0)2sin(=ka能量本征值： 22222n maE nπ=本征波函数： ,6,4,2),sin(2)(==n axn a x n πψ（3）正负宇称解统一写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====负宇称正宇称，,6,4,2),sin(2,,5,3,1),cos(2)(22222n a x n an a x n a x n maE n n ππψπ无限深对称方势阱的结果[思考] 对本征波函数不按宇称分类，如何确定特解？从中体会按宇称分类将使求解简洁。