高中数学北师大版必修四学案：第一章 章末复习课
北师大版高中数学必修四第一章正弦曲线学案
1.4.1正弦函数图像 预习案阅读课本P30，回答下列问题1、什么是正弦函数？ 指出其定义域.2、对一个新的函数，一般是先画出它的图象，再借助图像研究它的性质，那么作函数图像常用的方法是_____________，其步骤为（1）_____________（2）_____________（3）______________.3、试画出=sin [0, 2]y x x π∈，的图像 （1）列表（3）连线1.4.1正弦函数图像 学案学习目标1.能用描点法做出函数=sin R y x x ∈，图像，明确图像的形状；2.能用五点法作正弦函数=sin [0, 2]y x x π∈，的简图学习重难点重点：能用五点法作正弦函数的简图，明确图像的形状； 难点：能用描点法得到=sin [0, 2]y x x π∈，的图像 重难点探究：探究1： 如何得到x y sin =在[]ππ4,2，[]0,2π-上的图象，进而得到R x x y ∈=,sin 的图象？2ππ 1∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 257435110 6323663236ππππππππππ探究2：观察函数=sin [0, 2]y x x π∈，的图象，起关键作用的点有哪几个？如何快速的画出=sin [0, 2]y x x π∈，的简图？拓展提升：画出函数[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的简图归纳总结：课堂检测：30 222ππππ 1-1画出函数[]-sin ,0,2y x x π=∈的简图21∙∙∙∙ ∙ ∙∙∙∙∙ 30222ππππ30 222ππππ1-1∙∙∙∙∙。
北师大版高中数学必修4全套教案全册
(北师大版)数学必修4全套教案§1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
高一数学北师大版必修4第一章三角函数复习
安边中学 高一 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 课时备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 集体备课 个人空间一、课题：第一章 三角函数复习二、学习目标1、理解任意角、弧度及三角函数的概念，能利用诱导公式求值、化简；2、掌握三角函数的图像与性质，并能利用性质进行解题。
掌握数形结合的解题方法。
3、以辩证唯物主义的观点看待任何事，养成一种科学的态度。
重点：三角函数定义，以及三角函数的图像与性质难点：章内容的系统掌握与灵活运用三、教学过程【自主预习】问题1、角度与弧度的互化关系式，及弧度制下的弧长、扇形面积公式。
问题2、诱导公式（正、余弦和正切）的内容是什么？问题3、正、余弦函数、正切函数的性质是什么？【合作探究】一、三角函数的定义例1、已知角α的终边与直线x y 31=重合，求角α的正、余弦，正切。
二、化简、求值例2、已知α=αcos 2sin ，求下列各式的值（1）的值。
及αα+αα+αα-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2；（2）的及αα+αα+αα-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2【检测训练】1、求)32sin(π+=x y 函数图像的对称中心和对称轴方程。
2、（2012陕西卷）函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π。
（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值。
3、（2012新课标卷）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4反思栏。
高中数学第一章坐标系章末复习课学案北师大版选修4-4(2021学年)
２0１7-2018学年高中数学第一章坐标系章末复习课学案北师大版选修4－4编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2017-２0１８学年高中数学第一章坐标系章末复习课学案北师大版选修４-4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一章坐标系章末复习课[对应学生用书P18][对应学生用书Ｐ19］在平面直角坐标系内求曲线(轨迹)方程由于在平面直角坐标系求曲线(轨迹）方程是解析几何非常重要的一类问题，在高考中常以解答题中关键的一问的形式出现,一般与平面解析几何、向量、函数等知识交汇命题．常用的方法有:(１)直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系,即可用求曲线方程的五个步骤直接求解.（2）定义法:如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程.(3)代入法：如果动点Ｐ(x，y)依赖于另一动点Ｑ(x1,y1）,而Ｑ(x１，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x,y，ｙ１，x1的方程组,利用ｘ,y表示x1，ｙ1,把ｘ１,y１代入已知曲线方程即为所求.(４）参数法:动点P(ｘ，y）的横纵坐标用一个或几个参数来表示,消去参数即得其轨迹方程．[例1］如图，圆O1和圆Ｏ2的半径都是１，｜O１Ｏ２|＝4,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM，PN（M,N分别为切点）使得|PM|＝错误!｜ＰN|,试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．[解]如图,以直线O1O２为ｘ轴,线段O1O2的垂直平分线为ｙ轴,建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0）,O２(2,０)．设P（ｘ，y),则｜PM|2=｜PO1|2-|ＭO１|2=(x＋2)２+ｙ２－1。
【精品】高中数学章末复习课学案北师大版必修四
第一章三角函数章末复习课网络构建核心归纳1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一 任意角的三角函数的定义 有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 【例1】 已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ，tan θ的值． 解 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π2，k ∈Z ；当θ＝2k π＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2k π－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. 当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时， sin θ＝1－m 2，tan θ＝1－m2m.(4)当θ在第三、四象限时， sin θ＝－1－m 2，tan θ＝－1－m2m.【训练1】 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m3＋m2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝－5－3＝153.要点二 诱导公式的应用(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”． (2)对于π2±α记忆为“函数名改变，符号看象限”．注意：①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化． ②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号．③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－π＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( ) A ．sin θ－cos θ B ．cos θ－sin θ C ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________．解析 (1)1－π＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0， 故原式＝sin θ－cos θ.(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案 (1)A (2)1【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αα＋π·α－ππ－α的值．解 (1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.要点三 三角函数的图像及变换1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π，2π.2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别． 【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？ 解 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ过⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0. 又|φ|＜π2，故φ＝－π10，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x ＋m －π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋25m －π10为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝52k π＋3π2(k ∈Z )． ∵m ＞0，∴m min ＝3π2.故至少把f (x )的图像向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数．【训练3】 已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6 B ．f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 C ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 解析 由图像知周期T ＝4π，则ω＝12，排除B 、D ；由f (0)＝1，可排除A.答案 C要点四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．【例4】f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在 [－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴y ＝f (x )的周期为2.∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减． ∵f (x )是偶函数，∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反． ∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， ∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.②由①②，得f (sin α)>f (cos β)．【训练4】 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .要点五 三角函数的综合应用(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法； (3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．【例5】 已知函数f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)求它的定义域和值域、单调区间；(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．解 令u (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)要使f (x )有意义，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，所以2k π＜x －π4＜(2k ＋1)π(k ∈Z )，即x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．因为0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以0＜2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤2，所以f (x )＝log 12u (x )≥－12.所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2时，u (x )是增函数，所以f (x )＝log 12u (x )是减函数．所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋3π4时，函数是减函数． 同理可求得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，函数是增函数．(2)因为f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数． 又f (x ＋2π)＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π－π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝f (x )，其中x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )是周期函数，且最小正周期是2π. 【训练5】 函数f (x )＝cos x ＋2|cos x |在[0,2π]上与直线y ＝m 有且仅有2个交点，求m 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π，－cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，如图：由图可知：当m ＝0或1＜m ≤3时，直线y ＝m 与f (x )的图像有且仅有2个交点.基础过关1．sin(－60°)的值是( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析 sin(－60°)＝－sin 60°＝－32. 答案 C2．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P (x,4)，且cos α＝x5，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析 ∵α是第二象限角，且终边经过点P (x,4)． ∴x ＜0. cos α＝x x 2＋42＝x5，x ＝－3.则P (－3,4)．∴tan α＝4－3＝－43. 答案 D3．已知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1，则cos(α＋π)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析 ∵2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝1， ∴cos α＝12，cos(α＋π)＝－cos α＝－12，故选B.答案 B4．已知扇形AOB 的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________． 解析 由2R ＋l ＝6，l R＝1，得R ＝l ＝2， ∴S ＝12×2×2＝2.答案 25．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________，此时自变量x ＝________. 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.令u ＝2x －π3，又函数y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上的最大值为1，∴函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的最大值是3×1＝3，此时自变量2x －π3＝π2，即x ＝5π12. 答案 1 5π12 6．计算3－tan11π3－cos 585°·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解 原式＝－3sin120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3cos π6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－tan π3＋(－cos 45°)·tan π4＝－3×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×1＝32－22＝3－22. 7．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1，x ∈R ，求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；(2)函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．解 (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4， 此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z. (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像；②将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；③将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；④将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．能力提升8．若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像不相交，则k ＝( )A.14 B ．－34C.14或－34D.14或34解析 由2x ＋π4＝π2＋n π.n ∈Z ，得x ＝π8＋n π2.由题意得k π2＝π8＋n π2，k ＝1＋4n 4， 又－1≤k ≤1. ∴k ＝14或k ＝－34.答案 C9．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧5ωπ8＋φ＝2k 1π＋π2，11ωπ8＋φ＝k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω＝43(k 2－2k 1)－23，又T ＝2πω>2π， 所以0<ω<1，所以ω＝23，φ＝2k 1π＋112π，由|φ|<π得φ＝π12，故选A.答案 A10．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝________.解析 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.答案 －211．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图像关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)． 解析 画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图像．由图像知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2k π(k ∈Z )和x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图像知，函数图像关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称，在2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.故③④正确．答案 ③④12．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤ x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.13．(选做题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4的值．解 (1)由图像可知A ＝2， 周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 由图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，取π6＋φ＝π2得φ＝π3， 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由(1)可知f (x )的周期为π，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π4＝1－3－1＋3＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4 ＝0×503＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 013π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1－3－1 ＝－ 3.。
2017-2018学年北师大版高中数学必修4全册学案
2017-2018学年高中数学北师大版必修4全册同步学案目录第一章 1 周期现象-§2 角的概念的推广第一章 3 弧度制第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性第一章 4.1 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）第一章 5.1 正弦函数的图像第一章 5.2 正弦函数的性质第一章 6 余弦函数的图像与性质第一章7 正切函数第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（二）第一章9 三角函数的简单应用第一章章末复习课第二章 1 从位移、速度、力到向量第二章 2.1 向量的加法第二章 2.2 向量的减法第二章 3.1 数乘向量第二章 3.2 平面向量基本定理第二章 4.1 平面向量的坐标表示-4.2 平面向量线性运算的坐标表示第二章 4.3 向量平行的坐标表示第二章 5 从力做的功到向量的数量积（一）第二章 5 从力做的功到向量的数量积（二）第二章 6 平面向量数量积的坐标表示第二章向量应用举例第二章章末复习课第三章 1 同角三角函数的基本关系第三章 2.1 两角差的余弦函数第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第三章 2.3 两角和与差的正切函数第三章 3 二倍角的三角函数（一）第三章 3 二倍角的三角函数（二）第三章疑难规律方法第三章章末复习课学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二 象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟 判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同． (2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，① 所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角． 由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角．当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角． 综上可知，α2为第一或第三象限角．例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°， 解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°， 解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．跟踪训练4解终边在y＝33x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？梳理(1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝lr.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理(1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 梳理类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可． 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．时针经过一小时，转过了( )A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或45．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．答案精析问题导学 知识点一思考1 周角的1360等于1度．思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关． 梳理 (1)度 弧度 弧度 知识点二思考 利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行弧度与角度的换算．梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57．30° (2)45° 90° 135° 270° 0 π6 π3 2π35π6 知识点三思考 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝12lr ，l ＝αr .题型探究例1 解 (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.跟踪训练1 解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－29π6；当k ＝－2时，γ＝－17π6；当k ＝－1时，γ＝－5π6.跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.例3 (1)A (2)D跟踪训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ， 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.C 5.－34．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义．知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？梳理(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的____________定义为角α的正弦函数，记作________；点P的____________定义为角α的余弦函数，记作________．(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？梳理正弦函数、余弦函数的定义域知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？梳理正弦、余弦函数在各象限的符号知识点四周期函数思考由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在____________，对定义域内的____________x值，都有____________，我们就把f(x)称为周期函数，____称为这个函数的周期．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中________的一个，称为____________，简称为周期．类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ的值．反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b 2，cos α＝aa 2＋b 2. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值．类型二 正弦、余弦函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键．跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B＜0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能类型三周期性例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－1f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数．反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x)．(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝1f(x)，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．跟踪训练4若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值．1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于()A.45B.35 C ．－35D ．－452．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－23．设f (x )是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，则f (72)的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－34．点P (sin 2 016°，cos 2 016°)位于第________象限． 5．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点． 2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．答案精析问题导学 知识点一思考1 sin α＝y r ，cos α＝xr .思考2 不会．思考3 sin α＝y ，cos α＝x .梳理 (1)纵坐标v v ＝sin α 横坐标u u ＝cos α 知识点二思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义． 知识点三思考 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u ，v )，则sin α＝v ，cos α＝u .当α为第一象限角时，v >0，u >0，故sin α>0，cos α>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号． 知识点四思考 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．梳理 非零实数T 任意一个 f (x ＋T )＝f (x ) T 最小 最小正周期 题型探究例1 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010. 跟踪训练1 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.例2 解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ， r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练2 解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.例3 (1)D(2)解 ①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4<0. 跟踪训练3 B例4 证明 (1)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． (2)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． 跟踪训练4 解 由f (x )＝f (x －a )＋f (x ＋a )，① 得f (x ＋a )＝f (x )＋f (x ＋2a )．② ①＋②，得f (x －a )＋f (x ＋2a )＝0， 即f (x －a )＝－f (x ＋2a )， ∴f (x )＝－f (x ＋3a )， 即f (x ＋3a )＝－f (x )，∴f (x ＋6a )＝－f (x ＋3a )＝f (x )． ∴T ＝6a 为函数y ＝f (x )的一个周期， ∴f (14a )＝f (6a ×2＋2a )＝f (2a )＝1. 当堂训练1．D 2.C 3.B 4.三5．解 在直线y ＝2x 上任取一点P (x,2x )(x ≠0)， 则r ＝x 2＋(2x )2＝5|x |. ①若x >0，则r ＝5x ， 从而sin α＝2x 5x＝255，cos α＝x 5x ＝55， ∴cos α＋sin α＝355.②若x <0，则r ＝－5x ， 从而sin α＝2x－5x＝－255，cos α＝x －5x ＝－55，∴cos α＋sin α＝－355.4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题．知识点 正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？梳理正弦、余弦函数的性质类型一 正弦余数、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为_________________________________________． 类型二 正、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域．(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值．反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析．(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数讨论．跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈(－π3，2π3]的值域为________．类型三 正、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( ) A ．(－π2，π2)B ．(0，π)C ．(π2，3π2)D ．(π，2π)反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并．跟踪训练3 求下列函数的单调区间．(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．1．函数y ＝sin x ，x ∈[－π4，π4]的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，22 C.22，－22D ．1，－222．不等式2sin x －1≥0的解集为____________________________________________． 3．函数y ＝2cos x －1的定义域为_____________________________________________． 4．求y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域．利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识．答案精析问题导学 知识点思考1 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是增加的． 梳理 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π]题型探究例1 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练1 [－π6＋2k π，7π6＋2k π]，k ∈Z例2 解 (1)∵y ＝cos x 在区间[－π3，0]上是增加的，在区间[0，5π6]上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域是[－32，1]．(2)当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1； 当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. 跟踪训练2 [32，3]例3 D跟踪训练3 解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π2，π2]，递减区间为[－π，－π2]，[π2，π]． (2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π]． 当堂训练1．C 2.{x |π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z }3.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z 4．解 由x ∈[－π6，π]，得sin x ∈[－12，1]，∴y ＝[－2,1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域为[－2,1]．4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？思考22kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α(1.9)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α(1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值．(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°)．反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1求下列各三角函数式的值．(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6.类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________. (2)已知cos(π6－α)＝22，则cos(5π6＋α)＝________.反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用． 跟踪训练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 类型三 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式． (1)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若本例(1)改为：sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练3 化简：cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α).1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )。
北师大版高中数学必修四学案：第一章章末复习课
2．诱导公式
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值．
反思与感悟 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决．
跟踪训练2 函数f(x)＝3sin的部分图像如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
知识梳理
1．(1)正弦 sin α sin α＝y (2)余弦 cos α cos α＝x (3)正切 tan α tan α＝(x≠0)
3．[－1,1] [－1,1] R 奇函数 偶函数 奇函数 2π 2π π ＋2kπ
题型探究
最小正周期：________
最小正周期：____
单调性
在 (k∈Z)上是增加的；在 (k∈Z)上是减少的
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是减少的
在开区间(kπ－ ，kπ＋ )
(k∈Z)上是增加的
最值
在x＝________(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－ ＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
跟踪训练1 已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
类型二 三角函数的图像与性质
例2 将函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin x的图像．
数学必修4教学设计(第一章小结复习1)
课题：高中数学北师大版必修4第一章《三角函数》小结复习（1）主备人：刘克忠 时间： 班级：高一（ 、 ）（数学必修4第66页）1．了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．理解任意角的三角函数的定义；3．能正确画出函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图像，会利用单位圆或三角函数的图像推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π，正切函数在区间(0,2)π上的性质；4．理解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；会画函数sin()y A x ωϕ=+的图像，体会参数A ，ω，ϕ对函数图像的影响.阅读北师大版数学必修4课本6667P P -内容，完成下列问题：复习本章知识，整理笔记，建议就下列问题思考、归纳、概括.1．本章学习了哪些知识？它们之间存在怎样的逻辑联系？2．为什么要建立度量角的弧度制，它对于我们研究三角函数有什么好处？3．任意角的三角函数是怎样定义的？为什么称之为函数？与必修一中函数的知识相比较，本章学习了三角函数的哪些重要性质？4．函数sin y x =与sin()y A x ωϕ=+有什么关系？，参数A ，ω，ϕ对函数图像有什么影响，它们的物理意义是什么？5．“三角函数是刻画周期现象的一类重要的初等函数”，你对这句话有什么体会？请找一个生活的实际例子予以说明.6．本章出现的公式比较多，你有说明办法帮助记忆并减轻记忆负担？7．举例说明学习本章知识要注意哪些问题，解题时经常会出现哪些错误，原因是什么，怎样避免？教学过程：本章知识网络一、任意角1．任意角的定义、图示、记法（旋转形成了角）角可以看成是平面内 （一条射线）绕着 （端点）从一个位置旋转到另一个位置所形成的 （图形）.2．角的分类：“正角”“负角”“零角”①正角： ；②负角： ；③零角： .3．弧度制①1弧度的角：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角叫作1弧度的角. ②1180π=rad 0.01745≈rad ； ③180157.305718rad π'=≈=； ④弧长公式：l r α=，即l r α=. ⑤“弧度制”下扇形的面积公式？12S lr =.其中l 是扇形的弧长，r 是圆的半径. 4．象限角、轴线角①我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么，角的终边（除顶点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．②如果角的终边在正半轴上，则认为这个角不在任何象限内，称为轴线角.5．终边相同的角与角α终边相同的角连同角α在内的集合{S ββα==+360,}k k Z ⋅∈.二、三角函数 1．三角函数的定义sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=; 2．诱导公式（1）①sin(2)sin k παα+=， ②cos(2)cos k παα+=．（2）①sin()sin αα-=-， ②cos()cos αα-=．（3）①sin(2)sin παα-=-， ②cos(2)cos παα-=．（4）①sin()sin παα+=-， ②cos()cos παα+=-．（5）①sin()sin παα-=， ②cos()cos παα-=-．（6）①sin()cos 2παα-= ②cos()2πα-= （7）①sin()2πα-= ； ②cos()2πα-= . （8）①sin()2πα+= ； ②cos()sin 2παα+=-. 三、三角函数的性质1．定义域2．值域3．周期性4．奇偶性5．单调性四、函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质1．图像①“五点法”作图②图像的变换2．性质①定义域②值域③周期性④奇偶性⑤单调性五、实际应用在生活、建筑、物理、航海等方面的应用1．课后作业：北师大版数学必修4课本68P 复习参考题A 组第3，4，7题.【教学反思与评价】。
高中数学北师大版必修四教学案第一章 章末小结与测评 Word版含答案
\一、角的概念．角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字．其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类．．象限角及非象限角，都是相对于坐标系而言的，应注意平面直角坐标系的建立方法，即角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，只有在这一前提下，才能讨论象限角与非象限角．．终边相同的角有无数个，在所有与角α终边相同的角的集合可表示为＝.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．二、角度制与弧度制弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如＋×°或°＋π，∈的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成×°＋α，∈等．三、三角函数的定义．三角函数的定义有两种()角α的终边上任取一点(，)，＝，则α＝，α＝；α＝. ()角α的终边与以原点为圆心，以单位长为半径的圆交于点(，)，则α＝，α＝，α＝.．用三角函数线解基本的三角不等式的步骤为：()先作出取等号的角；()利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角范围．．诱导公式π＋α，π±α，－α，π±α，±α的诱导公式可归纳为：×＋α(∈)的三角函数值．当为偶数时，得α的同名三角函数值；当为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数的奇偶．四、三角函数的图像与性质五、函数＝(ω＋φ)的图像．由＝的图像变换得到＝(ω＋φ)的图像()三角函数图像的变化规律和方法，由＝→＝(＋φ)，此步骤只是平移，而由＝→＝(ω＋φ)可由两条思路：①＝→＝(＋φ)→＝(ω＋φ)即先平移后伸缩；②＝→＝ω→＝(ω＋φ)即先伸缩再平移．不论哪一条路径，每一次变换都是对字母而言的．()“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”，两条路径平移的单位不同；“先平移后伸缩”平移φ个单位，“先伸缩后平移”则须平移个单位．主要程序如下：①＝＝(＋φ)))＝(ω＋φ)))＝(ω＋φ)；②＝))＝ω＝(ω＋φ)))＝(ω＋φ)．．由图像确定函数＝(ω＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑()的确定：根据图像的“最高点、最低点”确定.。
高中数学第一章三角函数章末复习课学案北师大版必修4
第一章三角函数章末复习课网络构建核心归纳1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一 任意角的三角函数的定义 有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 【例1】 已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ，tan θ的值． 解 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π2，k ∈Z ；当θ＝2k π＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2k π－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. 当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时， sin θ＝1－m 2，tan θ＝1－m2m.(4)当θ在第三、四象限时， sin θ＝－1－m 2，tan θ＝－1－m2m.【训练1】 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m3＋m2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝－5－3＝153.要点二 诱导公式的应用(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”． (2)对于π2±α记忆为“函数名改变，符号看象限”．注意：①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化． ②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号．③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－π＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( ) A ．sin θ－cos θ B ．cos θ－sin θ C ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________．解析 (1)1－π＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0， 故原式＝sin θ－cos θ.(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案 (1)A (2)1【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αα＋π·α－ππ－α的值．解 (1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.要点三 三角函数的图像及变换1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π，2π.2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别． 【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？ 解 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ过⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0. 又|φ|＜π2，故φ＝－π10，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x ＋m －π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋25m －π10为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝52k π＋3π2(k ∈Z )． ∵m ＞0，∴m min ＝3π2.故至少把f (x )的图像向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数．【训练3】 已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6 B ．f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 C ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 解析 由图像知周期T ＝4π，则ω＝12，排除B 、D ；由f (0)＝1，可排除A.答案 C要点四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．【例4】f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在 [－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴y ＝f (x )的周期为2.∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减． ∵f (x )是偶函数，∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反． ∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， ∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.②由①②，得f (sin α)>f (cos β)．【训练4】 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .要点五 三角函数的综合应用(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法； (3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．【例5】 已知函数f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)求它的定义域和值域、单调区间；(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．解 令u (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)要使f (x )有意义，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，所以2k π＜x －π4＜(2k ＋1)π(k ∈Z )，即x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．因为0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以0＜2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤2，所以f (x )＝log 12u (x )≥－12.所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2时，u (x )是增函数，所以f (x )＝log 12u (x )是减函数．所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋3π4时，函数是减函数． 同理可求得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，函数是增函数．(2)因为f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数． 又f (x ＋2π)＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π－π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝f (x )，其中x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )是周期函数，且最小正周期是2π. 【训练5】 函数f (x )＝cos x ＋2|cos x |在[0,2π]上与直线y ＝m 有且仅有2个交点，求m 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π，－cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，如图：由图可知：当m ＝0或1＜m ≤3时，直线y ＝m 与f (x )的图像有且仅有2个交点.基础过关1．sin(－60°)的值是( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析 sin(－60°)＝－sin 60°＝－32. 答案 C2．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P (x,4)，且cos α＝x5，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析 ∵α是第二象限角，且终边经过点P (x,4)． ∴x ＜0. cos α＝x x 2＋42＝x5，x ＝－3.则P (－3,4)．∴tan α＝4－3＝－43. 答案 D3．已知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1，则cos(α＋π)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析 ∵2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝1， ∴cos α＝12，cos(α＋π)＝－cos α＝－12，故选B.答案 B4．已知扇形AOB 的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________． 解析 由2R ＋l ＝6，l R＝1，得R ＝l ＝2， ∴S ＝12×2×2＝2.答案 25．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________，此时自变量x ＝________. 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.令u ＝2x －π3，又函数y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上的最大值为1，∴函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的最大值是3×1＝3，此时自变量2x －π3＝π2，即x ＝5π12. 答案 1 5π12 6．计算3－tan11π3－cos 585°·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解 原式＝－3sin120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3cos π6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－tan π3＋(－cos 45°)·tan π4＝－3×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×1＝32－22＝3－22. 7．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1，x ∈R ，求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；(2)函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．解 (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4， 此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z. (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像；②将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；③将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；④将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．能力提升8．若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像不相交，则k ＝( )A.14 B ．－34C.14或－34D.14或34解析 由2x ＋π4＝π2＋n π.n ∈Z ，得x ＝π8＋n π2.由题意得k π2＝π8＋n π2，k ＝1＋4n 4， 又－1≤k ≤1. ∴k ＝14或k ＝－34.答案 C9．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧5ωπ8＋φ＝2k 1π＋π2，11ωπ8＋φ＝k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω＝43(k 2－2k 1)－23，又T ＝2πω>2π， 所以0<ω<1，所以ω＝23，φ＝2k 1π＋112π，由|φ|<π得φ＝π12，故选A.答案 A10．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝________.解析 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.答案 －211．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图像关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)． 解析 画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图像．由图像知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2k π(k ∈Z )和x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图像知，函数图像关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称，在2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.故③④正确．答案 ③④12．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤ x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.13．(选做题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4的值．解 (1)由图像可知A ＝2， 周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 由图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，取π6＋φ＝π2得φ＝π3， 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由(1)可知f (x )的周期为π，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π4＝1－3－1＋3＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4 ＝0×503＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 013π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1－3－1 ＝－ 3.。
2018_2019学年高中数学第一章三角函数章末复习课学案北师大版必修4
第一章三角函数章末复习课网络构建核心归纳1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一 任意角的三角函数的定义 有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 【例1】 已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ，tan θ的值． 解 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π2，k ∈Z ；当θ＝2k π＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2k π－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. 当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时， sin θ＝1－m 2，tan θ＝1－m 2m.(4)当θ在第三、四象限时，sin θ＝－1－m 2，tan θ＝－1－m 2m.【训练1】 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m3＋m2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.要点二 诱导公式的应用(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”． (2)对于π2±α记忆为“函数名改变，符号看象限”．注意：①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化． ②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号． ③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－2sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________．解析 (1)1－2sinθsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0， 故原式＝sin θ－cos θ.(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案 (1)A (2)1【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α·tan αcos 3π－α的值． 解 (1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.要点三 三角函数的图像及变换1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π，2π. 2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别． 【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？ 解 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ过⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0.又|φ|＜π2，故φ＝－π10，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x ＋m π10 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋25m －π10为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝52k π＋3π2(k ∈Z )． ∵m ＞0，∴m min ＝3π2.故至少把f (x )的图像向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数．【训练3】 已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6B ．f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4C ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6解析 由图像知周期T ＝4π，则ω＝12，排除B 、D ；由f (0)＝1，可排除A.答案 C要点四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．【例4】f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在 [－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴y ＝f (x )的周期为2.∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减． ∵f (x )是偶函数，∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反． ∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.②由①②，得f (sin α)>f (cos β)．【训练4】 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .要点五 三角函数的综合应用(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法； (3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．【例5】 已知函数f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)求它的定义域和值域、单调区间；(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．解 令u (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)要使f (x )有意义，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，所以2k π＜x －π4＜(2k ＋1)π(k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． 因为0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以0＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤2，所以f (x )＝log 12u (x )≥－12.所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2时，u (x )是增函数，所以f (x )＝log 12u (x )是减函数． 所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋3π4时，函数是减函数．同理可求得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，函数是增函数．(2)因为f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数． 又f (x ＋2π)＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π－π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＝f (x )，其中x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )是周期函数，且最小正周期是2π.【训练5】 函数f (x )＝cos x ＋2|cos x |在[0,2π]上与直线y ＝m 有且仅有2个交点，求m 的取值范围． 解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π，－cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，如图：由图可知：当m ＝0或1＜m ≤3时，直线y ＝m 与f (x )的图像有且仅有2个交点.基础过关1．sin(－60°)的值是( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析 sin(－60°)＝－sin 60°＝－32. 答案 C2．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P (x,4)，且cos α＝x5，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析 ∵α是第二象限角，且终边经过点P (x,4)． ∴x ＜0. cos α＝xx 2＋42＝x，x ＝－3.则P (－3,4)．∴tan α＝4－3＝－43.答案 D3．已知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1，则cos(α＋π)＝( )A.12 B ．－12C.3 D ．－3 解析 ∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝1，∴cos α＝12，cos(α＋π)＝－cos α＝－12，故选B.答案 B4．已知扇形AOB 的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________．解析 由2R ＋l ＝6，lR＝1，得R ＝l ＝2，∴S ＝1×2×2＝2.答案 25．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________，此时自变量x ＝________.解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.令u ＝2x －π3，又函数y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上的最大值为1，∴函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的最大值是3×1＝3，此时自变量2x －π3＝π2，即x ＝5π12.答案 1 5π126．计算3sin1 200tan11π3－cos 585°·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解 原式＝－3sin120°tan 2π3＋cos 225°tan π4＝－3cos π6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－tan π3＋(－cos 45°)·tan π4＝－3×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×1＝32－22＝3－22.7．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1，x ∈R ，求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；(2)函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．解 (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4， 此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z. (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像；②将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；③将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；④将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．能力提升8．若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像不相交，则k ＝( )A.14B ．－34C.14或－34D.14或34解析 由2x ＋π4＝π2＋n π.n ∈Z ，得x ＝π8＋n π2.由题意得k π2＝π8＋n π2，k ＝1＋4n4，又－1≤k ≤1. ∴k ＝14或k ＝－34.答案 C9．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析由题意⎩⎪⎨⎪⎧5ωπ8＋φ＝2k 1π＋π2，11ωπ8＋φ＝k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω＝43(k 2－2k 1)－23，又T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，所以ω＝23，φ＝2k 1π＋112π，由|φ|<π得φ＝π12，故选A.答案 A10．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin θ＝________.解析 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.答案 －211．对于函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图像关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)． 解析 画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图像．由图像知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2k π(k ∈Z )和x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图像知，函数图像关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称，在2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.故③④正确．答案 ③④12．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤ x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.13．(选做题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4的值．解 (1)由图像可知A ＝2，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，取π6＋φ＝π2得φ＝π3， 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由(1)可知f (x )的周期为π，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π4＝1－3－1＋3＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4＝0×503＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 013π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1－3－1 ＝－ 3.。
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学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握三角函数诱导公式.3.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像.4.理解三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的性质.5.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的变换．1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫作α的________，记作________，即________； (2)x 叫作α的________，记作________，即________；(3)yx 叫作α的________，记作________，即____________________． 2．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．3．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质类型一 三角函数的概念例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r ＞0)．则sin α＝y r ，cos α＝xr .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 跟踪训练1 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．类型二 三角函数的图像与性质例2 将函数y ＝f (x )的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π3倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y ＝3sin x 的图像． (1)求f (x )的最小正周期和递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最小值和最大值．反思与感悟 研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决． 跟踪训练2 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．类型三 三角函数的最值和值域命题角度1 可化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 型例3 求函数y ＝－2sin(x ＋π6)＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值．反思与感悟 利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响． 跟踪训练3 已知函数y ＝a sin(2x ＋π6)＋b 在x ∈[0，π2]上的值域为[－5,1]，求a ，b 的值．命题角度2 可化为sin x 或cos x 的二次函数型 例4 已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．跟踪训练4 已知函数f (x )＝－sin 2x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a >0，求a ，b 的值．命题角度3 分式型函数利用有界性求值域 例5 求函数y ＝2cos x ＋12cos x －1的值域．反思与感悟 在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题． 跟踪训练5 求函数y ＝3sin x ＋1sin x ＋2的最大值和最小值．类型四 数形结合思想在三角函数中的应用例6 已知方程sin(x ＋π3)＝m2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围．反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想．跟踪训练6 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为________．1．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 32．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f (－31π3)的值为( )A.12 B ．－13 C ．－12 D.133．函数y ＝|sin x |＋sin|x |的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,2] D ．[0,1]4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35．已知函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．答案精析知识梳理1．(1)正弦 sin α sin α＝y (2)余弦 cos α cos α＝x (3)正切 tan α tan α＝yx (x ≠0)3．[－1,1] [－1,1] R 奇函数 偶函数 奇函数 2π 2π π π2＋2k π题型探究 例1 －8跟踪训练1 解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.例2 解 (1)函数y ＝ 3 sin x 的图像向下平移1个单位长度得y ＝3sin x －1，再将得到的图像上的点的横坐标伸长为原来的3π倍，得到y ＝3sin π3x －1的图像，然后向右平移1个单位长度，得到y ＝3sin(π3x －π3)－1的图像，∴函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )的递增区间是[6k －12，6k ＋52]，k ∈Z .(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，∴当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最值． ∵当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x －π3)∈[0，32]，∴f (x )∈[－1，12]．∴当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最小值是－1，最大值为12.跟踪训练2 解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0，于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.例3 解 ∵x ∈[0，π]， ∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴－12≤sin(x ＋π6)≤1.当sin(x ＋π6)＝1，即x ＝π3时，y 取得最小值1.当sin(x ＋π6)＝－12，即x ＝π时，y 取得最大值4.∴函数y ＝－2sin(x ＋π6)＋3，x ∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.跟踪训练3 解 ∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，76π]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．∴当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－a 2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3；当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1.∴a ，b 的取值分别是4，－3或－4，－1.例4 解 y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1. 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. 则y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54(－22≤t ≤22)，∴当t ＝－22，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－(－22－12)2＋54＝1－22. 跟踪训练4 解 令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2－at ＋b ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫t ＋a 22＋a24＋b ＋1， 且t ∈[－1,1]．根据对称轴t 0＝－a2与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．①当－a2≤－1，即a ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g (－1)＝a ＋b ＝0，y min＝g (1)＝－a ＋b ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.②当－1<－a2<0，即0<a <2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24＋b ＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－10(舍)， 综上所述，a ＝2，b ＝－2.例5 解 方法一 原函数变形为y ＝1＋22cos x －1，∵|cos x |≤1，∴－3≤2cos x －1≤1且2cos x －1≠0， ∴22cos x －1≥2或22cos x －1≤－23，则函数的值域为{y |y ≥3或y ≤13}．方法二 原函数变形为cos x ＝y ＋12(y －1)，∵|cos x |≤1，∴|y ＋12(y －1)|≤1且|y ＋12(y －1)|≠12， ∴函数的值域为{y |y ≥3或y ≤13}．跟踪训练5 解 y ＝3sin x ＋1sin x ＋2＝3(sin x ＋2)＋1－6sin x ＋2＝3－5sin x ＋2.∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝1时，y max ＝3－53＝43，当sin x ＝－1时， y min ＝3－5－1＋2＝－2， ∴函数y ＝3sin x ＋1sin x ＋2的最大值为43，最小值为－2.例6 解 函数y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[0，π]的图像如图所示，方程sin(x ＋π3)＝m2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1＝sin(x ＋π3)，y 2＝m2在同一平面直角坐标系中的图像在[0，π]上有两个不同的交点，所以32≤m2＜1，即3≤m ＜2.跟踪训练6 π 当堂训练1．C 2.C 3.C 4.A5．解 令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]， 则函数可化为f (t )＝－t 2＋t ＋a ＝－(t －12)2＋a ＋14.当t ＝12时，f (t )max ＝a ＋14，即f (x )max ＝a ＋14；当t ＝－1时，f (t )min ＝a －2， 即f (x )min ＝a －2.故函数f (x )的值域为[a －2，a ＋14]．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174，a －2≥1，解得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．。