江苏省重点中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷2

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2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案

2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是（ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是（ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为（ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范（ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是（ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是（ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像（ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为（ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间（ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称；其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求（1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分）解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分）解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分）解：（1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分）解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。

2015-2016学年高一(上)期末数学试卷

江苏省南通市海安县2015-2016学年高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知集合A={1，3}，B={3，4}，则A∪B={1，3，4}．解：∵集合A={1，3}，B={3，4}，∴A∪B={1，3，4}，2．计算sin150°+2cos240°+3tan315°后，所得结果的值为﹣3.5．解：原式=sin（180°﹣30°）+2cos（180°+60°）+3tan（360°﹣45°）=sin30°﹣2cos60°﹣3tan45°=﹣1﹣3=﹣3.5，3．函数y=lg（3﹣x）（2x﹣1）的定义域为（0，3）．解：∵函数y=lg（3﹣x）（2x﹣1），∴（3﹣x）（2x﹣1）＞0，即，或；解得0＜x＜3，∴函数y的定义域为（0，3）．4．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（1，1），C（2，﹣1），则∠BAC的余弦值为．解：|AB|==，|AC|=，|BC|=．∴cos∠BAC===．5．已知函数f（x）=，则f（﹣）的值为1+．解：f（﹣）=f（﹣+1）+1=f（）+1=cos+1=1+；6．已知点P在线段AB上，且|=4||，设=λ，则实数λ的值为﹣3．解：∵点P在线段AB上，且||=4||，=λ，∴=3，且与方向相反，∴λ=﹣3．7．定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上是单调减函数，则实数m的最大值是﹣2．解：由定义得函数f（x）==（x﹣1）（x+3）+2x=x2+4x﹣3，函数的对称轴为x=﹣2，在函数在（﹣∞，﹣2]上单调递减，若函数f（x）在（﹣∞，m）上是单调减函数，则m≤﹣2，故实数m的最大值是﹣2，8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）的值为3．解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象，可得A+B=4，﹣A+B=0，=﹣，求得B=2，A=2，ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+2．再根据图象过点（，2），可得sin（2+φ）=0，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）+2，∴f（π）=2sin（2π+）+2=3，9．设，，是同一平面内的单位向量，且⊥，则（﹣）（﹣2）的最大值为1．解：；∴；又；∴====；∴的最大值为．10．函数f（x）=的最小正周期为2π．解：∵f（x）==，又y=|sinx|的周期为π，cosx的周期为2π，作出其图象如下：∴可得函数f（x）==的最小正周期为2π．11．如图，点C是半径为2的圆的劣弧的中点，连接AC并延长到点D，使得CD=AC，连接DB并延长交圆于点E，若AC=2，则的值为4．解：如图，连接CE，∵；∴∠AEC=∠DEC；∴CE为∠AED的角平分线；又C是AD中点，即CE为△ADE底边AD的中线；∴AE=DE；∴CE⊥AD；∴∠ACE=90°；∴AE为圆的直径；∴AE=4，DE=4；又AD=4；∴∠EAC=60°；∴．12．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点为整点，若函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数，有下列函数：①f（x）=sinx；②g（x）=x2；③h（x）=（）x；④φ（x）=lnx，其中一阶整点函数的是①④．解：对于函数f（x）=sin2x，它只通过一个整点（0，0），故它是一阶整点函数；对于函数g（x）=x2，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h（x）=，当x=0，﹣1，﹣2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ（x）=lnx，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数，故答案为：①④．13．若函数f（x）=4x+a2x+a+1在R上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是a=2﹣2或a≤﹣1．解：f（x）=4x+a2x+a+1=（2x）2+a2x+a+1，设t=2x，则t＞0，则函数等价为y=t2+at+a+1，若函数f（x）=4x+a2x+a+1在R上有且只有一个零点，等价为y=t2+at+a+1=0，只有一个正根，若判别式△=0，则a2﹣4（a+1）=0，且t=﹣＞0，即a2﹣4a﹣4=0，且a＜0，得a=2+2（舍）或a=2﹣2，若判别式△＞0，设h（t）=t2+at+a+1，则满足或，即①或，②①无解，②得a≤﹣1，综上a=2﹣2或a≤﹣1，14．某同学研究相关资料，得到两种求sin18°的方法，两种方法的思路如下：思路一：作顶角A为36°的等腰三角形ABC，底角B的平分线交腰AC于D；思路二：由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可知cos2α可表示为cosα的二次多项式，推测cos3α也可以用cosα的三次多项式表示，再结合cos54°=sin36°．请你按某一种思路：计算得sin18°的精确值为．解：设α=18°，则5α=90°，从而3α=90°﹣2α，于是cos3α=cos（90°﹣2α），即cos3α=sin2α，展开得4cos3α﹣3cosα=2sinαcosα，∵cosα=cos18°≠0，∴4cos2α﹣3=2sinα，化简得4sin2α+2sinα﹣1=0，解得sinα=，或sinα=（舍去），二、解答题：本大题共6小题，满分90分15．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x﹣a≤0}．（1）化简集合B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．解：（1）原不等式可化为（x﹣a）（x﹣1）≤0．①当a＞1时，1≤x≤a，∴B=[1，a]；②当a=1时，x=1，∴B={1}；③当a＜1时，a≤x≤1，∴B=[a，1]．（2）∵A=（1，2），A⊆B，∴a≥2．16．设α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=．（1）求sin（2α+）的值；（2）求tan（2β﹣）的值．解：（1）∵α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=，∴sin（α+）==，sin2（α+）=2sin（α+）cos（α+）=2=，∴cos2（α+）=1﹣2=，故sin（2α+）=sin[2（α+）﹣]=sin2（α+）cos﹣cos2（α+）sin=﹣=．（2）由（1）可得，tan（α+）==，tan（β﹣）=tan[（α+β）﹣（α+）]===，∴tan（2β﹣）=tan2（β﹣）==．17．设函数f（x）=是奇函数，且f（1）=5．（1）求a和b的值；（2）求证：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥4．解：（1）函数f（x）=的定义域为{x|x≠﹣b}，即f（﹣b）不存在，若b≠0，则f（b）有意义，这与f（x）为奇函数矛盾，故b=0．∵f（1）=5，∴，解得a=1；（2）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x1x2＞0，x1﹣x2＜0，=．①若x1，x2∈（0，2]，则x1x2＜4，于是x1x2﹣4＜0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0；②若x1，x2∈[2，+∞），则x1x2＞4，于是x1x2﹣4＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＜0．由①②知，函数f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．∴f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（2）=．∴f（x）≥4．18．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，M是边AC（含端点）上的动点．（1）若∠BAC=60°，求||的值；（2）若⊥，求cosA的取值范围．解：（1）利用余弦定理可得：=32+42﹣2×3×4cos60°=13，解得=．（2）设=t（0≤t≤1）.==﹣，==﹣．∴=（﹣）（﹣）=+﹣．∵，∴=+﹣=0．化为：﹣16t+12cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC===f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即≤f（t）≤，即≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是．19．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形，“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横距形全等且成是竖矩形长的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，“工”字图形的面积记为S．（1）将S表示为α的函数；（2）为了突出“工”字图形，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？解：（1）连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，由∠AOB=2α，可得∠BOM=α，α∈（0，），且BM=Rsinα，OM=Rcosα，由题意可得ON=BM=Rsinα，BC=MN=OM﹣ON=R（cosα﹣sinα），由BC＞0，可得α∈（0，），则S=2ABBC+ABBC=（4+）R2（sinαcosα﹣sin2α），（α∈（0，））；（2）S=（4+）R2（sinαcosα﹣sin2α）=（4+）R2（sin2α+cos2α﹣）=（4+）R2（sin2α+cos2α）﹣（4+）R2=（4+）R2sin（2α+）﹣（4+）R2由α∈（0，），可得＜2α+＜，即有2α+=，即α=时，S取得最大值R2．20．设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|﹣1，x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．解：（1）当a=0时，函数f（﹣x）=（﹣x）2+|﹣x|+1=f（x），此时，f（x）为偶函数．当a≠0时，f（a）=a2+1，f（﹣a）=a2+2|a|+1，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a），此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）①当x≤a时，f（x）=x2+|x﹣a|﹣1=x2﹣x+a﹣1=（x﹣）2+a﹣，当a≤时，函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）=a2﹣1．若a，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（）=a﹣．②当x≥a时，函数f（x）=x2+|x﹣a|﹣1=x2+x﹣a﹣1=（x+）2﹣a﹣，若a≤﹣时，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（﹣）=﹣a﹣．若a＞﹣，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a2﹣1．综上，当a≤﹣时，函数f（x）的最小值为﹣a﹣，﹣时，函数f（x）的最小值为a2﹣1，当a时，函数f（x）的最小值为a﹣．。

(完整word版)江苏省无锡市天一中学2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）=．2．已知向量，若，则实数m=．3．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为．8．设且，则f（f（2））=．9．设函数f（x）=3|x|，则f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，则实数m的取值范围是．10．已知，，则tan（β﹣2α）等于．11．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有．（不选、漏选、选错均不给分）14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．20．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）={1} ．【分析】根据交集与补集的定义，进行化简与运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，∴∁U A={1，4}，B={3，4}，∴∁U B={1，2}，∴（∁U A）∩（∁U B）={1}．故答案为：{1}．2．已知向量，若，则实数m=﹣1．【分析】先将向量，表示出来，再由二者共线即可得到答案．【解答】解：由题意知，=（1，3）﹣（0，1）=（1，2）=（m，m）﹣（0，1）=（m，m﹣1）∵∴存在实数λ使得即（1，2）=λ（m，m﹣1）解得，λ=﹣1，m=﹣1故答案为：﹣13．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．【分析】由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值，再利用诱导公式求出cos（α﹣π）的值．【解答】解：∵，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得sinα=，∴cosα=﹣．故cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣cosα=，故答案为．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为{1} ．【分析】分别验证α取不同的值时，函数y是否满足题意即可．【解答】解：当α=﹣1时，函数y=x﹣1的定义域为{x|x≠0}，不满足题意；当α=1时，函数y=x的定义域为R，且为奇函数，满足题意；当α=时，函数y=的定义域为{x|x≥0}，不满足题意；当α=时，函数y=x﹣1的定义域为R，且为偶函数，不满足题意；综上，满足题意的所有α值为{1}．故答案为：{1}．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．【分析】先由已知条件求出•=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值．【解答】解：设，的夹角为θ．∵•（+）=1，∴+•=1，又∵||=，∴•=﹣1．∴cosθ===﹣．又∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为﹣．【分析】由条件判断tanθ＞﹣1，再根据sinθcosθ==﹣，求得tanθ的值．【解答】解：∵﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，∴1+2sinθcosθ=，即sinθcosθ=﹣＜0，∴θ∈（﹣，0），则tanθ＞﹣1．再根据sin θcos θ===﹣，求得tan θ=﹣（舍去），或tan θ=﹣，故答案为：﹣．8．设且，则f （f （2））= 6 ．【分析】通过，求出a 的值，然后求出f （2），即可求解所求表达式的值．【解答】解：因为设且，所以，所以a=7，f （2）==log 73，f （f （2））=f （log 73）=2=6．故答案为：6．9．设函数f （x ）=3|x|，则f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（0，1）．【分析】由题意，函数f （x ）=3|x|，关于y 轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则m ﹣1＜0＜2m ，解出即可．【解答】解：由题意，函数f （x ）=3|x|，关于y 轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数， ∴m ﹣1＜0＜2m ， ∴0＜m ＜1．故答案为：（0，1）．10．已知，，则tan （β﹣2α）等于 ﹣1 ．【分析】把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tan α的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣111．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为8．【分析】设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为g（t）=2sinπt﹣，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=的图象可知，在[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而x1+x2+…+x7+x8的值．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣3，3]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．【分析】根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=±1．当b=﹣1时，函数f（x）=log a=f（x）=log a=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=1时，函数f（x）=log a=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣1，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（a）=1，即f（a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+，∴a+b=﹣1++1=，故答案为：．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有①②．（不选、漏选、选错均不给分）【分析】①由f（x+b）+f（b﹣x）=0即可判断①的正误；②将（a≠0，b∈R，c＞0），转化为y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，由△≥0即可判断②的正误；③由f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），可判断③的正误．【解答】解：对于①，∵f（x+b）+f（b﹣x）=+=0，∴函数f（x）的图象关于x轴上的点（b，0）成中心对称；故①正确；对于②，∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），∴y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，∴△=a2﹣4cy2≥0，又a≠0，c＞0∴y2≤，∴﹣≤y≤．即存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；∴②正确；③∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），∴=（mn＞0），假设g（x）=0有四个根，令t=（x﹣b）2（t≥0），则x=b±，∴x1+x2=2b，同理x3+x4=2b，∴其解集{﹣4，﹣2，0，3}中﹣4+3≠﹣2+0，即x1+x2≠x3+x4=2b，∴③错误．故正确答案为：①②．14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=1．【分析】H是△ABC的垂心，可得tanA+tanB+tanC=．再利用向量的三角形法则、正切和差公式即可得出．【解答】解：∵H是△ABC的垂心，则tanA+tanB+tanC=．∴=+，∴=+=λ，则λ====tanA=1，故答案为：1．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．【分析】（1）当a=2时，分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．（2）由已知得a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，再分别把a=1和a=﹣3代入集合B验证，由此能求出a．【解答】解：（1）当a=2时，集合A={2，3，a2+2a﹣3}={2，3，5}，B={x||x﹣a|＜2}={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}，∴A∩B={2，3}．（2）∵A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}，0∈A∩B，∴a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，当a=1时，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，成立，当a=﹣3时，B={x||x+3|＜2}={x|﹣5＜x＜﹣1}，不成立．∴a=1．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．【分析】（1）通过向量的平行，利用坐标运算，同角三角函数的基本关系式求出sinα即可．（2）通过向量的垂直，列出关系式，求出sinα，利用两角和的余弦函数，以及同角三角函数的基本关系式，求解所求表达式的值即可．【解答】解：（1）因为向量由得，所以15cosα+16tanα=0，即15﹣15sin2α+16sinα=0，解得：（舍）或．（2）由得，12﹣20cosα•tanα=0，∴，又，∴，，．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．（2）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）在区间（0，）上的对称中心和对称轴．（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用三角恒等变换化简h（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值以及此时x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2），∴A=2，==﹣=，∴ω=2，再根据五点法作图，可得2•+φ=，求得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称中心为（，0）．令2x+=kπ+，可得x=+，k∈Z，故函数的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称轴为x=．（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象，令h（x）=f（x）•g（x）=﹣4sin（2x+）•cos2x=﹣4[sin2x+cos2x]•cos2x=﹣2sin2xcos2x﹣2cos22x=﹣sin4x﹣2•=﹣2sin（4x+）﹣1．在区间（﹣，0）上，4x+∈（﹣，），sin（4x+）∈[﹣1，），h（x）∈（﹣1，2]，当4x+=﹣时，h（x）取得最大值为2，此时，x=﹣．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．【分析】（1）先利用θ及R表示出AC、BC的长，进而求出S2；再设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面积，进而求得S1；（2）先利用（1）的结论求出关于θ的表达式；再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出的最小值．【解答】解：（1）因为∠ABC=θ，则AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，则．设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．设MO交AC与点E．则ME=MO﹣OE=R﹣=R﹣Rcosθ=R（1﹣cosθ）．所以：S△AMC=|AC|•|ME|=R2sinθ（1﹣cosθ）；同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ（1﹣sinθ），∴S1=R2sinθ（1﹣cosθ）+R2cosθ（1﹣sinθ）=R2（sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ）．（2）∵，令，则2sinθcosθ=t2﹣1．∴．∴的最小值为．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【分析】（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），先求出F（x）的表达式，结合一元二次函数的性质求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）先求出G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）的表达式，利用换元法将函数G（x）进行转化求解；（3）若H（x）=，证明H（x）+H（1﹣x）=1，利用倒序相加法，即可求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log22x）•=（1+x）•2×=2x（1+x）=2x2+2x=2（x+）2﹣当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log28x2）（1+log2）﹣k（1+log2x）=（1+og28+log2x2））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（4+2log2x））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（4﹣k）log2x+4﹣k，设t=log2x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，则函数等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k若函数G（x）在区间[1，4]有零点，则等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，即k===t +1++2，设m=t +1，则m ∈[1，3]，则k=m ++2≥2+2=2+2，当且仅当m=，即m=取等号，当m=1时，k=1+2+2=5，当m=3时，k=2+3+=＞5，∴2+2≤m ++2≤，即2+2≤k ≤，即实数k 的取值范围是2+2≤k ≤；（3）若H （x ）=，则H （x ）==，则H （x ）+H （1﹣x ）=+=+=+=1，设H （）+H （）+H （）+…+H （）=S ，H （）+H （）+…H （）+H （）=S ，两式相加得2015[H （）+H （）]=2S ，即2S=2015，则S=．20．对于定义在R 上的函数f （x ），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z 函数”： ①对任意x ∈（﹣∞，a ]，都有f （x ）=C 1； ②对任意x ∈[b ，+∞），都有f （x ）=C 2； ③对任意x ∈（a ，b ），都有（f （x ）﹣C 1）（f （x ）﹣C 2）＜0．（其中a ＜b ，C 1，C 2为常数）（1）判断函数f 1（x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣3|+1和f 2（x ）=x ﹣|x ﹣2|是否为R 上的“Z 函数”？（2）已知函数g （x ）=|x ﹣2|﹣，是否存在实数m ，使得g （x ）为R 上的“Z函数”？若存在，求实数m 的值；否则，请说明理由；（3）设f （x ）是（1）中的“Z 函数”，令h （x ）=|f （x ）|，若h （2a 2+a ）=h （4a ），求实数a 的取值范围．【分析】（1）根据“Z 函数”的定义，结合分段函数的性质作出图象进行判断即可．（2）结合“Z 函数”的定义以及根式的性质利用配方法进行判断求解．（3）求出h（x）的解析式以及作出函数h（x）的图象，讨论变量的取值范围解方程即可．【解答】解：（1）f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，作出函数f1（x）的图象如图：当x≤1时，f（x）=﹣1，当x≥3时，f（x）=3，当1＜x＜3时，﹣1＜f（x）＜3恒成立，故f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1是R上的“Z函数”，f2（x）=x﹣|x﹣2|=，则当x≤2时，函数f（x）不是常数，不满足条件．②，故f2（x）=x﹣|x﹣2|不是否为R 上的“Z函数”．（2）若g（x）=|x﹣2|﹣是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x﹣2|﹣|x+a|的形式，若=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a2，即或，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x﹣2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x+2|=，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，则h（x）=|f（x）|=，对应的图象如图：若h（2a2+a）=h（4a），则①，即，即﹣1≤a≤时，h（2a2+a）=h（4a）=1，②得即a≥1时，h（2a2+a）=h（4a）=3，③或，此时h（2a2+a）=h（4a）=1，即或，即a=或a=．④2a2+a=4a，即2a2=3a，得a=0或a=，当a=时，⑤2a2+a=﹣4a，即2a2=﹣5a，得a=0或a=﹣，综上﹣1≤a≤或a≥1或=或a=．2016年8月18日。

高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。

2015-2016学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷含答案

2015-2016学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分.1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5.00分）函数f（x）=2tan（πx+3）的最小正周期为．3．（5.00分）函数f（x）=ln（2﹣x）的定义域是．4．（5.00分）若向量=（3，4），则||=．5．（5.00分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）=．6．（5.00分）已知a=log2，b=2，c=（）2，则a，b，c的大小关系为（用“＜”连接）．7．（5.00分）10lg2﹣log2﹣log26=．8．（5.00分）在△ABC中，已知sinA+cosA=，则sinA﹣cosA=．9．（5.00分）如图，在△ABC中，==2，=λ+μ，则λ+μ=．10．（5.00分）已知方程2x+x=4的解在区间（n，n+1）上，其中n∈Z，则n=．11．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则=．12．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上的增函数，若f（1）=0，则f（log2x）＞0的解集是．13．（5.00分）在△ABC中，已知AB=AC，BC=2，点P在边BC上，若•=﹣，则•=．14．（5.00分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）已知||=1，||=，=（，1），求：（1）||；（2）与的夹角．16．（14.00分）已知函数f（x）=sin（x+），将y=f（x）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=h（x）的图象．（1求y=h（x）的单调递增区间；（2）若f（α）=，求sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值．17．（15.00分）如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S 的最大值．18．（15.00分）已知=（1，﹣x），=（x2，4cosθ），函数f（x）=•﹣1，θ∈[﹣π，π]．（1）当θ=π时，该函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[1，]上不单调，求θ的取值范围．19．（16.00分）设函数f（x）=x|x﹣1|+m．（1）当m=﹣2时，解关于x的不等式f（x）＞0．（2）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值．20．（16.00分）已知函数f k（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（k∈Z，a＞0，a≠1，x∈R），g（x）=．（1）若a＞1时，判断并证明函数y=g（x）的单调性；（2）若y=f1（x）在[1，2]上的最大值比最小大2，证明函数y=g（x）的奇函数；（3）在（2）条件下，函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数m的取值范围．2015-2016学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分.1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5.00分）函数f（x）=2tan（πx+3）的最小正周期为1．【解答】解：函数f（x）=2tan（πx+3）的最小正周期为：=1．故答案为：1．3．（5.00分）函数f（x）=ln（2﹣x）的定义域是（﹣∞，2）．【解答】解：由题意得：2﹣x＞0，解得：x＜2，故答案为：（﹣∞，2）．4．（5.00分）若向量=（3，4），则||=5．【解答】解：向量=（3，4），则||==5．故答案为：5．5．（5.00分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）=﹣1．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2﹣1）=﹣1，故答案为：﹣16．（5.00分）已知a=log2，b=2，c=（）2，则a，b，c的大小关系为a ＜c＜b（用“＜”连接）．【解答】解：∵a=log2＜=0，b=2＞20=1，c=（）2=， ∴a ＜c ＜b ．故答案为：a ＜c ＜b ．7．（5.00分）10lg2﹣log 2﹣log 26= 1 ．【解答】解：10lg2﹣log 2﹣log 26=2+log 23﹣log 26=2+log 2=2﹣1=1．故答案为：1．8．（5.00分）在△ABC 中，已知sinA +cosA=，则sinA ﹣cosA= ．【解答】解：在△ABC 中，由sinA +cosA=，两边平方可得：1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=﹣．∴A 为钝角，sinA ≥cosA ．则sinA ﹣cosA===．故答案为：．9．（5.00分）如图，在△ABC 中，==2，=λ+μ，则λ+μ= 0 ．【解答】解：∵==2，∴=，=，∵=﹣=﹣=（+）﹣=﹣+，又∵=λ+μ，∴λ=﹣，μ=，故λ+μ=0．故答案为：0．10．（5.00分）已知方程2x+x=4的解在区间（n，n+1）上，其中n∈Z，则n=1．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，易知f（x）=2x+x﹣4在R上单调递增且连续，且f（1）=2+1﹣4=﹣1＜0，f（2）=4+2﹣4=2＞0，故方程2x+x=4的解在区间（1，2）上，故答案为：1．11．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则=﹣4．【解答】解：由角α的终边经过点（﹣1，2），可得cosα=﹣，sinα=，则===﹣4．故答案为：﹣4．12．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上的增函数，若f（1）=0，则f（log2x）＞0的解集是（0，）∪（2，+∞）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴不等式f（log2x）＞0等价为f（|log2x|）＞f（1），即|log2x|＞1，即log2x＞1或log2x＜﹣1，即x＞2或0＜x＜，故不等式的解集为{x|x＞2或0＜x＜}，故答案为：（0，）∪（2，+∞）13．（5.00分）在△ABC中，已知AB=AC，BC=2，点P在边BC上，若•=﹣，则•=．【解答】解：如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则C（1，0），B（﹣1，0），设A（0，n），P（m，0），则，．由•=﹣，得﹣m（1﹣m）=﹣，解得：．∴．故答案为：﹣．14．（5.00分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．【解答】解：由函数，作出其图象如图，因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，所以，若满足a＞b≥0，时f（a）=f（b），必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），f（a）∈[，2）．由不等式的可乘积性得：b•f（a）∈[，2）．故答案为[，2）．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）已知||=1，||=，=（，1），求：（1）||；（2）与的夹角．【解答】解：（1）由已知=（，1），所以（）2=||2+||2+2=4，所以=0，所以||2=||2+||2﹣2=4，所以||=2；（2）与的夹角的余弦值为=，所以与的夹角为120°．16．（14.00分）已知函数f（x）=sin（x+），将y=f（x）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=h（x）的图象．（1求y=h（x）的单调递增区间；（2）若f（α）=，求sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由题意，可得h（x）=sin（x+），…2分由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得y=h（x）的单调递增区间为：[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z…7分（2）f（α）=，即sin（）=，令t=a+，则sint=，sin（﹣α）=sin（﹣（t﹣））=sin（π﹣t）=sint=，…10分sin2（﹣α）=sin2（﹣（t﹣））=sin2（﹣t）=cos2t=1﹣sin2t=…13分因此，sin（﹣α）+sin2（﹣α）=…14分注：未写“k∈Z”扣2分．17．（15.00分）如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S 的最大值．【解答】解：（1）设扇形的弧长为l，则l=10﹣2x，由题意可得，解得＜x≤3，∴S=（5﹣x）x=﹣x2+5x，＜x≤3；（2）由（1）和基本不等式可得S=（5﹣x）x≤（）2=，当且仅当5﹣x=x即x=时取等号，此时l=5，圆心角α==2，∴当半径x和圆心角α分别为和2时，所围扇形场地的面积S最大，且最大值18．（15.00分）已知=（1，﹣x），=（x2，4cosθ），函数f（x）=•﹣1，θ∈[﹣π，π]．（1）当θ=π时，该函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[1，]上不单调，求θ的取值范围．【解答】解：（1）由=（1，﹣x），=（x2，4cosθ），得f（x）=•﹣1=x2﹣4xcosθ﹣1，当时，f（x）=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2．函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值f（x）max=f（2）=7，最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣2；（2）若f（x）在区间[1，]上不单调，则1，即．∵θ∈[﹣π，π]，∴θ∈（）∪（）．19．（16.00分）设函数f（x）=x|x﹣1|+m．（1）当m=﹣2时，解关于x的不等式f（x）＞0．（2）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值．【解答】解：（1）x＞1时：f（x）=x2﹣x﹣2＞0，解得：x＞2或x＜﹣1，故x＞2；x≤1时：f（x）=x﹣x2﹣2＞0，不等式无解；综上：不等式的解集是（2，+∞）；（2）x∈[0，1]时：f（x）=x（1﹣x）+m=﹣+m+，当x=时：f（x）max=m+，当x（1，m]时：f（x）=x（x﹣1）+m=+m﹣，∵函数f（x）在（1，m]递增，∴f（x）max=f（m）=m2，由m2≥m+得：m2﹣m﹣≥0，又m＞1，故m≥，f（x）max=．20．（16.00分）已知函数f k（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（k∈Z，a＞0，a≠1，x∈R），g（x）=．（1）若a＞1时，判断并证明函数y=g（x）的单调性；（2）若y=f1（x）在[1，2]上的最大值比最小大2，证明函数y=g（x）的奇函数；（3）在（2）条件下，函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）===1﹣，若a＞1，a x+a﹣x＞0恒成立，∴g（x）是R上的增函数，证明如下：任取x1＜x2，g（x1）﹣g（x2）=，∵a＞1，x1＜x2，∴+1＞0，﹣＜0，故g（x1）＜g（x2），g（x）在R递增；（2）由题意y=f1（x）=a x，a＞1时，a2﹣a=2，解得：a=2或a=﹣1（舍），当0＜a＜1时，a﹣a2=2，无解，综上，a=2，由（1）得：此时g（x）=的定义域是R，定义域关于原点对称，g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数；（3）在（2）的条件下，f0（2x）+2mf2（x）=22x+2﹣2x+2m（2x﹣2﹣x），∵x∈[1，+∞），∴2x﹣2﹣x＞0，故条件等价于﹣2m=在x∈[1，+∞）有零点，令p=2x，则p≥2，令t=p﹣，则t在p∈[2，+∞）递增，∴t≥，﹣2m=，设h（t）==t+，任取t1＞t2≥，则t1﹣t2＞0，t1•t2＞，h（t1）﹣h（t2）=t1+﹣（t2+）=＞0，∴h（t）在t∈[，+∞）递增，h（t）≥，即﹣2m≥，∴m≤﹣．。

2015-2016学年江苏省徐州市高一第一学期期末数学试卷与解析

2015-2016学年江苏省徐州市高一第一学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．已知全集U={1，2，3}，A={1，m}，∁U A={2}，则m=3．解：∵全集U={1，2，3}，且∁U A={2}，∴A={1，3}∵A={1，m}，∴m=3．2．函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）3．幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=﹣2．解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），∴2α==2﹣2∴α=﹣2故答案为：﹣2．4．sin240°=．解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣5．已知向量，，且，则x的值为．解：∵向量，，且，∴3x﹣（﹣1）•（﹣1）=0，解得x=．故答案为：．6．若sinα=，，则tanα的值为﹣．解：∵sinα=，，∴cosα==﹣=﹣，∴tan==﹣．故答案为：﹣7．已知，，且，则向量与的夹角为．解：设向量与的夹角为θ，，，且，∴（3）•（）=|3|•||cosθ=3×10××12cosθ=36，∴cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：．8．若方程lnx+x=3的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=2．解：令函数f（x）=lnx+x﹣3，则由x0是方程lnx+x=3的根，可得x0是函数f（x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0，f（3）=ln3＞0，可得f（2）f（3）＜0，故x0∈（2，3），∴k=2，故答案为2．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sin2α﹣cos2α=．解：∵角α的终边经过点P（1，2），∴，∴sin2α﹣cos2α=（）2﹣（）2=．故答案为：．10．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m=（9，﹣8）（m，n∈R），则m+n的值为7．解：∵向量=（2，1），=（1，﹣2），∴m=（2m+n，m﹣2n）=（9，﹣8），即，解得，∴m+n=7．故答案为：7．11．已知函数g（x）=x3+x，若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，则实数a的取值范围是a＞﹣．解：根据题意，对于函数g（x）=x3+x，有g（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣g（x），即函数g（x）为奇函数；而g（x）=x3+x，g′（x）=2x2+1，则g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）为增函数；若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，即g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），又由函数g（x）为增函数，则可以转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得a＞﹣；即a的取值范围是a＞﹣；故答案为：a＞﹣．12．若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是．解：函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0，1）对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）故应填（﹣∞，﹣）13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．解：作函数f（x）=的图象如下，，∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，∴x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，若2个不同的实数根都在[﹣2，2）上，则，解得，﹣＜b＜6﹣2，若2个不同的实数根都在（3，+∞）上，则，无解；若分别在[﹣2，2），（3，+∞）上，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，则，解得，﹣2≤b＜﹣；故答案为：（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，则实数m的取值范围是（﹣1，1）∪{﹣}．解：由于方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，故函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点．由于sinx在（﹣1，1）上任意取一个值，在[0，2π）上都有2个x值和它对应，故令t=sinx∈[﹣1，1]，则函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1，1）上有且只有一个交点，如图所示：∵当t=﹣时，y=﹣，故1＜m+2＜3或m+2=﹣，求得﹣1＜m＜1或m=﹣，故答案为：（﹣1，1）∪{﹣}．【点评】本题主要考查正弦函数二、解答题（本大题共6小题，满分90分）15．已知集合A={x|0≤x≤5，x∈Z}，B={x|≤2x≤4，x∈Z}．（1）用列举法表示集合A和B；（2）求A∩B和A∪B；（3）若集合C=（﹣∞，a），B∩C中仅有3个元素，求实数a的取值范围．解：（1）由题意得：A={x|0≤x≤5，x∈Z}={0，1，2，3，4，5}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}；（2）∵A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，A∪B={﹣1，0，1，2，3，4，5}；（3）∵B={﹣1，0，1，2}，C=（﹣∞，a），且B∩C中仅有3个元素，∴实数a的取值范围为1＜a≤2．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时，函数y=f （x）取得最大值3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）若，求函数f（x）的值域．解：（1）因为当时，函数y=f（x）取得最大值3，所以A=3，…因为函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以，即，所以ω=2，…将点代入f（x）=3sin（2x+φ），得，因为，所以，…所以．…（2）令，k∈Z，…解得，k∈Z，所以f（x）的单调减区间是．…（结果未写出区间形式或缺少k∈Z的，此处两分不得）（3）当，，，…所以函数f（x）的值域是．…17．设向量，，且．求：（1）tanα；（2）；（3）sin2α+sinαcosα．解：解法一：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…解得tanα=2．…（2）…=．…（3）…==．…解法二：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…解得tanα=2．…（2）由，解得或．…将数值代入得=3．…（3）由（2），代入数值得．…18．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，且E为对角线AC上一点．（1）求•；（2）若=2，求•；（3）连结BE并延长，交CD于点F，连结AF，设=λ（0≤λ≤1）．当λ为何值时，可使•最小，并求出的最小值．解：（1）•=AB•AD•cos∠BAD=1×1×cos60°=．（2）∵=2，∴==（），∴•=（）•=+=+×=1．（3）以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（，）．C（，）．∴，=（，）．∵=λ，∴=（﹣λ，0），=（1﹣λ，0）．∴==（，），==（，），∴•=（）×（）+=λ2﹣2λ=（λ﹣1）2+．∴当λ=1时，•最小，的最小值是．19．某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润P（x）与投资额x成正比，其关系如图1；乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．（1）试写出利润P（x）和Q（x）的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？解：（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），解得，所以，…设，代入（4，1.2），解得，所以．…（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3﹣x万元，利润总和为，0≤x≤3，…记，则，…此时，…当，即时，g（t）取得最大值．…答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元．…20．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）设g（x）=，当x∈（0，1）时，求函数g（x）的值域；（3）若f（1）=，设h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）的最小值为﹣7，求实数m值．解：（1）函数f（x）的定义域为R．f（﹣x）=a﹣x+a x=f（x），∴函数f（x）为偶函数．（2）x∈（0，1）时，a x＞0.0＜g（x）===＜，∴函数g（x）的值域为．（3）f（1）==a+a﹣1，解得a=2．h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x+2﹣x）=（2x+2﹣x﹣m）2﹣m2﹣2，当m≤2时，h（x）的最小值为h（0）=2﹣4m=﹣7，解得m=，舍去；当m＞2时，h（x）的最小值为﹣m2，∴﹣m2﹣2=﹣7，解得m=．综上可得：m=．。

苏州市2015-2016学年上学期期末考试高一数学

苏州市2015–2016学年第一学期期末考试2016.1.14高一数学注意事项：1.本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在.答.题.卡.相.应.位.置.上．1.若集合A ={−1,0,1}，B ={0,1,2}，则A ∩B =.2.函数f(x)=2tan (πx +3)的最小正周期为．3.函数f(x)=ln (2−x)的定义域是．4.若向量a =(3,4)，则|a|的值为．5.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=2x −x 2，则f(−1)的值是．6.已知a =log 132，b =213，c =(13)2，则a,b,c 的大小关系为．（用<号连接）7.计算10lg 2−log 213−log 26的值是．8.在△ABC 中，已知sin A +cos A =15，则sin A −cos A 的值为．9.如图，在△ABC 中，AD DC =BEEA=2，若# »DE =λ# »AC +μ# »CB ，则λ+μ的值是．BC10.已知方程2x +x =4的解在区间(n,n +1)上，其中n ∈Z ，则n 的值是．11.已知角α的终边经过点P (−1,2)，则sin (π+α)+2cos (2π−α)sin α+sin (π2+α)的值是．12.已知f (x)是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，若f(1)=0，则(f(log 2x)>0的解集是．13.在△ABC 中，已知AB =AC ，BC =2，点P 在边BC 上，若# »P A ⋅# »P C =−14，则# »P B ⋅# »P C 的值是．14.已知函数f (x)=⎧⎪⎨⎪⎩x +1,0⩽x <1,2x −12,x ⩾1,若a >b ⩾0，且f(a)=f(b)，则bf(a)的取值范围是．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在.答.题.卡.指.定.区.域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）已知向量a,b满足：|a|=1，|b|=√3，a+b=(√3,1)．(1)求|a−b|的值；(2)求a+b与a−b的夹角．16.（本小题满分14分）已知函数f(x)=sin(x+π6)，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=ℎ(x)的图象．(1)求y=ℎ(x)的单调递减区间；(2)若f(α)=14，求sin(5π6−α)+sin2(π3−α)的值．如图，用一根长为10m的绳索围成一个圆心角小于π且半径不超过3m的扇形场地．设扇形的半径为x m，面积为S m2．(1)写出S关于x的函数表达式，并指出该函数的定义域；(2)当半径x的圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求出S的最大值．αx18.（本小题满分15分）已知向量a=(1,−x)，b=(x2,4cosθ)，函数f(x)=a⋅b−1，θ∈[−π,π]．(1)当θ=23π时，求函数f(x)在[−2,2]上的最大值和最小值；(2)若函数f(x)在区间[1,√2]上不单调，求角θ的取值范围．设函数f(x)=x|x−1|+m，常数m∈R．(1)当m=−2时，解关于x的不等式f(x)>0；(2)当m>1时，求函数f(x)在区间[0,m]上的最大值．20.（本小题满分16分）已知函数f k(x)=a x−(k−1)a−x（k∈Z，a>0，a≠1，x∈R），g(x)=f2(x)f0(x)．(1)当a>1时，判断并证明函数g(x)的单调性；(2)若函数f1(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为2，求证：函数g(x)是奇函数；(3)在(2)的条件下，若函数ℎ(x)=f0(2x)+2mf2(x)在x∈[1,+∞)上有零点，求实数m的取值范围．。

2015-2016年江苏省泰州市高一(上)数学期末试卷及答案PDF

【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}， ∴A∪B={0，1，2，3}，则集合 A∪B 中元素个数为 4，故答案为：4．
2．（5.00 分）若幂函数 y=xa 的图象过点（2，），则 a=
﹣1
．
【解答】解：根据题意，点（2，）在幂函数 y=xa 的图象上，则有 =2a，解可得 a=﹣1；故答案为：﹣1．
12．（5.00 分）已知定义在 R 上的奇函数 y=f（x）满足：①当 x∈（0，1]时，f （x）=（）x；②f（x）的图象关于直线 x=1 对称，则 f（﹣log224）= ．
13．（5.00 分）已知函数 f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意 x1，x2∈[0， 2]，当 x1＜x2 时都有（ f x1） ﹣（ f x2）＜g （x1） ﹣g （ x 2），则实数 b 的最小值为 14．（5.00 分）已知函数 f（x）=sin（πx﹣ 有零点，则实数 a 的取值范围是．．
（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益 W（元）与政府补贴数额 x 之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益 W（元）最大，政府应将每亩补贴金额 x 定为多少元？ 19．（16.00 分）四边形 ABCD 中，E，F 分别为 BD，DC 的中点，AE=DC=3，BC=2， BD=4．（1）试求（2）求
5．（5.00 分）若函数（ f x） =x3+2x﹣1 的零点在区间（k， k+1）（k∈Z）内，则 k= 6．（5.00 分）化简： + ，且 = ．，则与的夹角为．
7．（5.00 分）| |=1，| |=2，

江苏省重点中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷2

一、填空题 : 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 . 请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上 . ．．．．
1. 已知全集
则
2. 函数
3) 的最小正周期为
3. 函数
的定义域为．
4. 已知角的终边经过点
则
．
若幂函数
的图像过点 (2,2) ，则．
计算：
．8
．已知
，则 f((1)) 的值为 ▲ ．
分）
（ 10
合 C的子集有
（ 14 分）集
16．( 本题 15 分 )
解：（ 1）
（5 分）
（ 2） -
（ 10 分）
3…………………………………………………………（ 15 分） 8 （ 3）
17．（本题 14 分）
解：（ 1）
4（ 4 分） ) ………………………………………………………
增区间为
4,(x>0) 在区间 (0,2) 上递减，则在上递增； x
4(2) 当 x= 时，
的最小值为 x
4(3) 试用定义证明
在区间 (0,2) 上若函数
有最值吗？是最大值还是最小值？此时 x 为
解题说明： (1)(2) 两题的结果直接填写在答题纸横线上； (4) 题直接回答，不需证明 .
8. 已知是第二象限角，且
9．方程
的根
，则，其中
＝． 13 则
10. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当
时，
，
则 f(sin ▲ ．
11. 已知函数．
，
若
则
12．已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在区间 [0 ，＋∞ ) 上是减函数．

【KS5U解析】江苏省无锡市2015-2016学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

2015-2016学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1．集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为．2．函数f（x）=lg（x+1）+的定义域为．3．幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（x）=．4．计算：（）﹣lg﹣lg=．5．若α∈（﹣，0），cosα=，则tan（α﹣）=．6．已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为cm2．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，x＜0时，f（x）=，则f（2）=．8．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，则其解析式是．9．已知sin（α+）=，则sin（2α﹣）=．10．把函数y=3sin（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所的函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为．11．已知函数f（x）=则y=f[f（x）]﹣3的零点为．12．在△ABC中，BC=8，BC边上的高为6，则•的取值范围为．13．函数y=cos2x+2sinx在区间[﹣，θ]上的最小值为﹣，则θ的取值范围是．14．函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围．二、解答题.（本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x﹣m＜5}，B={x|＜2x＜4}．（1）当m=﹣1时，求A∩∁U B；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．16．已知平面内点A（1，3），B（﹣2，﹣1），C（4，m）．（1）若A，B，C三点不共线，求m的取值范围；（2）当m=3时，边BC上的点D满足=2，求•的值．17．设π＜α＜2π，向量=（﹣2，1），=（sinα，2cosα），=（cosα，﹣2sinα）．（1）若⊥，求α；（2）若|+|=，求sinα+cosα的值．18．保持合理车流密度是保证高速公路畅通的重要因素，距车管部门测算，车流速度v与车流密度x满足如下关系；当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度可以达到90千米/小时；当车流密度达到400辆/千米时，发生堵车现象，即车流速度为0千米/小时；当车流密度在40辆/千米时到400辆/千米范围内，车流速度v与车流密度x满足一次函数关系．（1）求车流速度v与车流密度x的函数关系式v（x）；（2）试确定合理的车流密度，使得车流量（车流量=车流速度v（x）×车流密度（x））最大，并求出最大值．19．已知函数f（x）=4sinωxcos（ωx+）+2（ω＞0）．（1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值取得最值时x的值；（2）若y=f（x）在区间[﹣，]上为增函数，求ω的最大值．20．已知函数f（x）=x+，其中k∈R．（1）当k≥0时，证明f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）若对任意k∈[1，7]，不等式f（x）≥m在x∈[2，3]上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣﹣1|）﹣3k﹣2=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2015-2016学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1．集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．【解答】解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}∴∴a=4，故答案为：4．【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．2．函数f（x）=lg（x+1）+的定义域为（﹣1，3]．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得：﹣1＜x≤3．∴函数f（x）=lg（x+1）+的定义域为（﹣1，3]．故答案为：（﹣1，3]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．3．幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（x）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】先设幂函数f（x）=xα，再根据其图象经过点，求出指数的值即可．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，∵幂函数f（x）的图象经过点，∴∴，∴幂函数f（x）=，故答案为：【点评】本题以幂函数为载体考查函数的值域，属于基本题．4．计算：（）﹣lg﹣lg=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（）﹣lg﹣lg=﹣==．故答案为：．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的计算，考查计算能力．5．若α∈（﹣，0），cosα=，则tan（α﹣）=3．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值．【分析】根据三角函数同角的关系式，求出tanα，然后利用两角和差的正切公式进行求解即可．【解答】解：∵α∈（﹣，0），cosα=，∴sinα=﹣=﹣=﹣，则tanα===﹣2，则tan（α﹣）==，故答案为：3．【点评】本题主要考查三角函数值的求解，利用三角函数的同角关系式以及两角和差的正切公式是解决本题的关键．6．已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为2πcm2．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r=，∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2．故答案为：2π【点评】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，x＜0时，f（x）=，则f（2）=．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性将f（2）转化为f（2）=﹣f（﹣2），然后直接代入解析式即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）=﹣f（﹣2），∵x＜0时，f（x）=，∴f（2）=﹣f（﹣2）=．故答案为：．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f（2）转化到已知条件上是解决本题的关键．8．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，则其解析式是f（x）=3sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由图知A=3，T=π，从而可求ω，再由ω+φ=2kπ+π（k∈Z）求得φ，即可得其解析式．【解答】解：由图知，A=3，T=﹣（﹣）=π，∴ω==2，又ω+φ=2kπ+π（k∈Z），即×2+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），∴f（x）=3sin（2x+），故答案为：f（x）=3sin（2x+）．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ是难点，属于中档题．9．已知sin（α+）=，则sin（2α﹣）=﹣．【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．【解答】解：sin（2α﹣）=sin[2（a+）﹣]=﹣cos2（a+）=﹣[1﹣2sin2（a+）]=﹣（1﹣2×）=﹣，故答案为：﹣【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．10．把函数y=3sin（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所的函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数图象变换可得函数解析式为y=3sin（x+﹣φ），由图象的对称性可得φ﹣=kπ+，解得φ给k取值可得．【解答】解：把函数y=3sin（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到y=3sin[（x﹣φ）+）]=3sin（x+﹣φ）的图象，∵所的函数y=3sin（x+﹣φ）图象关于y轴对称，∴φ﹣=kπ+，解得φ=2kπ+，k∈Z，∵φ＞0，∴当k=0时，φ取最小值．故答案为：【点评】本题考查三角函数图象变换和图象的性质，属基础题．11．已知函数f（x）=则y=f[f（x）]﹣3的零点为﹣3．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】由分段函数及复合函数知f（x）=1，从而代入解得．【解答】解：∵f（x）=，∴2f（x）+1﹣3=0，即f（x）=1，∴sin x=1或2x+1=1，解得，x=﹣3；故答案为；﹣3．【点评】本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用．12．在△ABC中，BC=8，BC边上的高为6，则•的取值范围为[20，+∞）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】建立平面直角坐标系，代入坐标计算数量积，求最值．【解答】解：以BC中点为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图，则B（﹣4，0），C（4，0），设A（a，6）．∴=（﹣4﹣a，﹣6），=（4﹣a，﹣6），∴•=（﹣4﹣a）（4﹣a）+36=a2+20≥20，∴则•的取值范围为[20，+∞）．故答案为[20，+∞）．【点评】本题考查了平面向量在几何中的应用，建立平面直角坐标系是解题关键．13．函数y=cos2x+2sinx在区间[﹣，θ]上的最小值为﹣，则θ的取值范围是[]．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用平方关系化为关于sinx的一元二次方程，配方后由最小值为﹣，可得sinx=﹣，再结合x∈[﹣，θ]求得θ的范围．【解答】解：y=cos2x+2sinx=﹣sin2x+2sinx+1=﹣（sinx﹣1）2+2．∵函数y=cos2x+2sinx在区间[﹣，θ]上的最小值为﹣，∴﹣（sinx﹣1）2的最小值为，∴（sinx﹣1）2的最大值为，则sinx=﹣，∵x∈[﹣，θ]，∴θ∈[]．故答案为：[]．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．14．函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围[﹣1，1]．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】化简可得f（x）=，从而利用分段函数及二次函数的性质可得，从而解得．【解答】解：f（x）=x|2a﹣x|+2x=，由二次函数的性质可知，，解得，﹣1≤a≤1；故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了分段函数的性质的应用及二次函数的性质的应用．二、解答题.（本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x﹣m＜5}，B={x|＜2x＜4}．（1）当m=﹣1时，求A∩∁U B；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】（1）m=﹣1时，求出集合A与∁U B，再计算A∩（∁U B）；（2）利用A∩B=∅，列出不等式m+5≤﹣1或m﹣1≥2，求出m的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|﹣1＜x＜2}；∴∁U B={x|x≤﹣1或x≥2}，∴A∩（∁U B）={x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜4}；（2）A={x|m﹣1＜x＜m+5}，若A∩B=∅，则m+5≤﹣1或m﹣1≥2；解得m≤﹣6或m≥3，∴m的取值范围是m≤﹣6或m≥3．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．16．已知平面内点A（1，3），B（﹣2，﹣1），C（4，m）．（1）若A，B，C三点不共线，求m的取值范围；（2）当m=3时，边BC上的点D满足=2，求•的值．【考点】平面向量数量积的运算；三点共线．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）利用共线定理求出三点共线的条件，取补集即可；（2）求出的坐标，代入数量积公式计算．【解答】解：（1），，若A，B，C三点共线，则，解得m=3．∴m的取值范围是m≠3．（2）m=3时，=（6，4），==（4，）.=（1，），∴•=6+ =．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．17．设π＜α＜2π，向量=（﹣2，1），=（sinα，2cosα），=（cosα，﹣2sinα）．（1）若⊥，求α；（2）若|+|=，求sinα+cosα的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；函数思想；转化法；平面向量及应用．【分析】（1）利用数量积的运算性质即可得出；（2）利用向量模的计算、三角函数的值的符号，即可求出答案．【解答】解：（1）=（﹣2，1），=（sinα，2cosα），=（cosα，﹣2sinα），⊥，∴﹣2sinα+2cosα=0，∴tanα=1，∵π＜α＜2π，∴α=；（2）由|+|=，得||2+||2+=3，∴5﹣6sinαcosα=3，∴2sinαcosα=，∴sinα与cosα同号，∵π＜α＜2π，∴π＜α＜，∴sinα＜0，cosα＜0，∴sinα+cosα＜0，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+=，∴sinα+cosα=﹣．【点评】本题考查了数量积的运算性质、向量的模、三角函数的值等基础知识与基本技能方法，属于中档题．18．保持合理车流密度是保证高速公路畅通的重要因素，距车管部门测算，车流速度v与车流密度x满足如下关系；当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度可以达到90千米/小时；当车流密度达到400辆/千米时，发生堵车现象，即车流速度为0千米/小时；当车流密度在40辆/千米时到400辆/千米范围内，车流速度v与车流密度x满足一次函数关系．（1）求车流速度v与车流密度x的函数关系式v（x）；（2）试确定合理的车流密度，使得车流量（车流量=车流速度v（x）×车流密度（x））最大，并求出最大值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数模型的选择与应用．【专题】应用题；分类讨论；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】（1）当40≤x≤400时，设函数v（x）=ax+b，根据题意即可确定a，b的值，进而求出v（x）完整的表达式；（2）先求出各分段的最值，再进行综合比较，得出当x=200时，函数取得最大值．【解答】解：（1）由题意：当40≤x≤400时，设v（x）=ax+b，由已知得，解得，故函数v（x）的表达式v（x）=；（2）设车流量为f（x），则f（x）=x•v（x），根据（1）得，f（x）=，①当0≤x＜40时，f（x）为增函数，当x=40时，其最大值为90×40=3600；②当40≤x≤400时，f（x）=﹣[（x﹣200）2﹣40000]，当x=200时，函数取得最大值为10000；③当x＞400时，f（x）=0，综合以上讨论得，当x=200（辆/千米）时，f（x）max=10000（辆/小时）．【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，以及分段函数的表示和最值的确定，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．19．已知函数f（x）=4sinωxcos（ωx+）+2（ω＞0）．（1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值取得最值时x的值；（2）若y=f（x）在区间[﹣，]上为增函数，求ω的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2ωx+）+，可得周期和最值；（2）由三角函数的单调性和题意可得[﹣，]⊂[﹣，+]对某个k∈Z 成立可得ω范围，可得最大值．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=4sinωx（cosωx﹣cosωx）+2=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx）+2=sin2ωx+cos2ωx+=2sin（2ωx+）+，∴f（x）的最小正周期为=π，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2x+）+∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，当x=﹣时，f（x）取最小值﹣1；当x=时，f（x）取最大值2；（2）由2kπ﹣≤2ωx+≤2kπ+可解得﹣≤x≤+，k∈Z，由题意可得[﹣，]⊂[﹣，+]对某个k∈Z成立，必有k=0时，﹣≤﹣且≥，解得ω≤，∴ω的最大值为【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和单调性，属中档题．20．已知函数f（x）=x+，其中k∈R．（1）当k≥0时，证明f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）若对任意k∈[1，7]，不等式f（x）≥m在x∈[2，3]上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣﹣1|）﹣3k﹣2=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，利用导函数在[，+∞）上大于0说明f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）对k分类求出函数在x∈[2，3]上的最小值得答案；（3）设2x﹣1=t，将问题转化为求方程t2﹣（3k+2）t+（2k+1）=0在（0，+∞）有2个交点，方程t2+（3k+2）t+（2k+1）=0在（﹣1，0）有1个交点求解．【解答】（1）证明：由f（x）=x+，得f′（x）=1﹣=，当k≥0时，若x∈[，+∞），则x2﹣（2k+1）≥0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）解：由k∈[1，7]，得2k+1∈[3，15]，函数f（x）=x+在（0，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，当，即2k+1∈[3，4）时，；当，即2k+1∈（9，15]时，＞6；当，即2k+1∈[4，9]时，≥4．∴对任意k∈[1，7]，不等式f（x）≥m在x∈[2，3]上恒成立，则实数m的取值范围是m；（3）设2x﹣1=t，则t＞﹣1，且t≠0，方程f（|2x﹣1|）﹣3k﹣2=0，即|t|+=3k+2，当t＞0时，方程可化为：t2﹣（3k+2）t+（2k+1）=0，由题意得，解得：＜k或k＞0 ①，当﹣1＜t＜0时，方程可化为：t2+（3k+2）t+（2k+1）=0，设f（t）=t2+（3k+2）t+（2k+1），只需对称轴x=﹣＜﹣1，f（﹣1）＜0，f（0）＞0即可，∴，解得：k＞0 ②，①，②取交集得：k＞0，∴实数k的取值范围是（0，+∞）．【点评】本题考查函数单调性的性质，考查了函数的最值及其几何意义，训练了根的存在性及根的个数的判定方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．。

江苏省泰州市2015-2016学年高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a= ．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2= ．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k= ．6．化简： += ．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为．8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+= ．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）= ．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f （x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f（x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为 4 ．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集中元素个数即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4，故答案为：4．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a= ﹣1 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，将点（2，）的坐标代入y=x a中，可得=2a，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点（2，）在幂函数y=x a的图象上，则有=2a，解可得a=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查幂函数解析式的计算，注意幂函数与指数函数的区别．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2= （x﹣2）（x2+1）．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】分组提取公因式即可得出．【解答】解：原式=x2（x﹣2）+（x﹣2）=（x﹣2）（x2+1）．故答案为：（x﹣2）（x2+1）．【点评】本题考查了分组提取公因式法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想．【分析】由函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，我们可得函数f（x）的图象向右平移a个单位得到函数f（x﹣a）的图象，再根据原函数的解析式为y=sinx，向右平移量为个单位，易得平移后的图象对应的函数解析式．【解答】解：根据函数图象的平移变换的法则函数f（x）的图象向右平移a个单位得到函数f（x﹣a）的图象故函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）故答案为：y=sin（x﹣）【点评】本题考查的知识点函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k= 0 ．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】利用根的存在性确定函数零点所在的区间，然后确定k的值．【解答】解；∵f（x）=x3+2x﹣1，∴f′（x）=3x2+2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1+2﹣1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数零点所在的区间为（0，1），∴k=0．故答案为：0．【点评】本题考查函数零点的判定定理的应用，属基础知识、基本运算的考查．6．化简： += 2．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式求解．【解答】解： +=+=2．故答案为：2．【点评】本题考查有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要注意根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式的合理运用．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】根据，且可得进而求出=﹣1然后再代入向量的夹角公式cos＜＞=再结合＜＞∈[0，π]即可求出＜＞．【解答】解：∵，且∴∴（）=0∵||=1∴=﹣1∵||=2∴cos＜＞==﹣∵＜＞∈[0，π]∴＜＞=120°故答案为120°【点评】本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜＞=同时要注意＜＞∈[0，π]这一隐含条件！8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=﹣1 ．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】联立方程组得，化简得到x2﹣2x﹣2=0，根据韦达定理得到x1+x2=2，x1x2=﹣2，即可求出答案．【解答】解：联立方程组得，∴x2﹣x﹣1=x+1，∴x2﹣2x﹣2=0，∴x1+x2=2，x1x2=﹣2，∴+===﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数图象的交点问题，以及韦达定理的应用，属于基础题．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为（﹣4，﹣3）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设C的坐标为（x，y），向量的坐标运算和向量共线垂直的条件得到关于x，y的方程组，解得即可．【解答】解：设C的坐标为（x，y），O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），∴=（x+2，y﹣1），=（x，y），=（1，2），=（﹣2，1），+2=（﹣3，4），∵与共线，且⊥（+2），∴2（x+2）=y﹣1，﹣3x+4y=0，解得x=﹣4，y=﹣3，∴点C的坐标为（﹣4，﹣3），故答案为：（﹣4，﹣3）【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量共线垂直的条件，属于基础题．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为[，π] ．【考点】余弦函数的图象．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的单调性，求得函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间．【解答】解：∵点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，∴φ=﹣，函数y=3cos（x+φ）=3cos（x﹣），令2kπ≤x﹣≤2kπ+π，求得2kπ+≤x﹣≤2kπ+．可得函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．再结合x∈[0，π]，可得函数y=3cos（x+φ）的单调减区间为[，π]，故答案为：[，π]．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是5﹣．【考点】指、对数不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】化简集合{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}，求出x的取值范围，再求函数y的最小值即可．【解答】解：因为{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}={x|（log2x+1）（log2x﹣2）≤0}={x|﹣1≤log2x≤2}={x|≤x≤4}，且函数y=4x﹣2x+3=22x﹣2x+3=+，所以，当x=时，函数y取得最小值是+=5﹣．故答案为：5﹣．【点评】本题考查了指数与对数不等式的解法与应用问题，解题的关键是转化为等价的不等式，是基础题目．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）= ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）的图象关于x=1对称可以得出f（x）=f（x﹣4），从而可以得到f（﹣log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1），可判断log23﹣1∈（0，1），从而可以求出，这样根据指数式和对数式的互化及指数的运算即可求得答案．【解答】解：f（x）的图象关于x=1对称；∴f（x）=f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣4）；即f（x）=f（x﹣4）；∴f（﹣log224）=﹣f（log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1）；∵log23﹣1∈（0，1）；∴==；∴．故答案为：．【点评】考查奇函数的定义，f（x）关于x=a对称时有f（x）=f（2a﹣x），以及对数的运算，指数的运算，对数式和指数式的互化．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f （x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为﹣1 ．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，结合二次函数的性质通过讨论对称轴的位置，解出即可．【解答】解：当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即x1＜x2时都有f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+bx﹣|x﹣1|，故需满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，①当0≤x＜1时，h（x）=x2+（b+1）x﹣1，对称轴x=﹣≤0，解得：b≥﹣1，②当1≤x≤2时，h（x）=x2+（b﹣1）x+1，对称轴x=﹣≤1，解得：b≥﹣1，综上：b≥﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考察了二次函数的性质、考察转化思想，是一道中档题．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】正弦函数的图象；函数零点的判定定理．【专题】分类讨论；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由f（x）没有零点求得x的范围，再根据f（asinx+1）没有零点可得asinx+1的范围，根据正弦函数的值域，分类讨论求得a的范围．【解答】解：若函数f（x）=sin（πx﹣）=sinπ（x﹣）没有零点，故0＜（x﹣）π＜π，或﹣π＜（x﹣）π＜0，即 0＜（x﹣）＜1，或﹣1＜（x﹣）＜0，即＜x＜或﹣＜x＜．由于函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则＜asinx+1＜，或﹣＜asinx+1＜，当a＞0时，∵1﹣a≤asinx+1≤1+a，或，解得0＜a＜．当a＜0时，1+a≤asinx+1≤1﹣a，∴或，求得﹣＜a＜0．当a=0时，函数y=f（asinx+1）=f（1）=sin=≠0，满足条件．综上可得，a的范围为（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点的定义，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】（1）根据指数函数的图象与性质，求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B；（2）根据补集与交集的定义，求出（∁U A）∩B．【解答】解：（1）∵2x＞8=23，且函数y=2x在R上是单调递增，∴x＞3，∴A=（3，+∞）；又x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，∴B=（﹣1，4）；（2）∵全集U=R，A=（3，+∞），∴∁U A=（﹣∞，3]；又B=（﹣1，4），∴（∁U A）∩B=（﹣1，3]．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（x）=1解出A点坐标，利用AB=2得出B点坐标，把B点坐标代入g（x）解出a；（2）利用对数的运算性质去掉对数符号列出方程解出x，结合函数的定义域得出x的值．【解答】解：（1）解log2（x+2）=1得x=0，∴A（0，1），∵AB=2，∴B（2，1）．把B（2，1）代入g（x）得log a2=1，∴a=2．（2）∵f（x）+g（x）=3，∴log2（x+2）+log2x=log2[x（x+2）]=3，∴x（x+2）=8，解得x=﹣4或x=2．由函数有意义得，解得x＞0．∴方程f（x）+g（x）=3的解为x=2．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，对数方程的解法，属于基础题．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）根据函数的图象经过点（0，1），求得φ的值，再根据周期性求得ω，可得函数f（x）的解析式．（2）由条件求得sinα+cosα=，平方可得sinαcosα的值，从而求得sinα﹣cosα的值，再利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：（1）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），可得sinφ=1，∴φ=，．∵其相邻两对称轴之间的距离为π，∴=π，求得ω=1，∴f（x）=sin（x+）=cosx．（2）∵sinα+f（α）=，α∈（0，π），即 sinα+cosα=，平方可得sinαcosα═﹣，∴α为钝角，sinα﹣cosα==，∴====﹣．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的化简求值，属于基础题．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）；（3）分段求最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）=；（3）x＞50，W=﹣24（x+100）（x﹣1050）=﹣24（x﹣475）2+7935000，∴x=475时，W max=7935000；0≤x≤50，W═24（x+100）（x+950）单调递增，∴x=50时，W max=3600000；综上所述，要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为475元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由已知结合共线向量基本定理得答案；（2）由已知结合向量加法、减法的运算法则求解；（3）由向量加法、减法及向量的数量积运算得答案．【解答】解：（1）∵E，F分别为BD，DC的中点，∴，则；（2）=；（3）=，∵=10﹣6cos∠AEF．∴当∠AEF=π时，取得最大值16．∴的最大值为．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法与减法的三角形法则，是中档题．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f（x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【专题】新定义；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，结合二阶不动点和二阶周期点的定义，可得答案；②由二阶周期点的定义，结合f（x）=kx+1，可求出满足条件的k值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，则函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，解得答案．【解答】解：（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，f（f（x））=2（2x+1）+1=4x+3，解4x+3=x得：x=﹣1，即﹣1为函数f（x）的二阶不动点，时f（﹣1）=﹣1，即﹣1不是函数f（x）的二阶周期点；②∵f（x）=kx+1，∴f（f（x））=k2x+k+1，令f（f（x））=x，则x==，（k≠±1），或x=0，k=﹣1，令f（x）=x，则x=，若函数f（x）存在二阶周期点，则k=﹣1，（2）若x0为函数f（x）的二阶周期点．则f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，若x1为函数f（x）的二阶不动点，则f（f（x1））=x1，且f（x1）=x1，则f（x0）=f（x1），则x0≠x1，且f（x0）+f（x1）=﹣b，即函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，故△=（b﹣1）2﹣4c＞0恒成立，解得：c＜0．【点评】本题以二阶不动点和二阶周期点为载体，考查了二次函数的基本性质，正确理解二阶不动点和二阶周期点的概念是解答的关键．。

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