高中数学知识点：分数指数幂的概念和运算法则
高中数学指数运算和指数函数
指数运算和指数函数
要求层次重点难点幂的运算 C
①根式的概念
②有理指数幂
③实数指数幂
④幂的运算
①分数指数幂的概
念和运算性质
②无理指数幂的理
解
③实数指数幂的意
义指数函数的概念 B
在理解实数指数幂
的意义的前提下理
解指数函数
在理解实数指数幂
的意义的前提下理
解指数函数
指数函数的图象和
性质
C
①对于底数1
a>与
01
a
<<时指数函
数的不同性质
②掌握指数函数的
图象和运算性质
①对于底数1
a>与
01
a
<<时指数函
数的不同性质
②掌握指数函数的
图象和运算性质
③掌握指数函数作
为初等函数与二次
函数、对数函数结
合的综合应用问题知识框架
高考要求
指数运算和指数函数
（一）知识内容
1．整数指数
⑴ 正整数指数幂：n a a a a =⋅⋅
⋅，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底
数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．
⑵整数指数幂：规定：01(0)a a =≠，1
(0,)n n a a n a
-+=≠∈N ．
2．分数指数
⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．
① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的n 次方根用n a
② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 次方根分别表示为：n a n a (0)n a a ±>．
指数及指数函数知识点
指数函数
（一）整数指数幂
1．整数指数幂概念：
a
n n
a a a a 个⋅⋅⋅= )(*
∈N n ()010a a =≠ ()1
0,n
n a
a n N a
-*=
≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +⋅=∈ （2）()
(),n
m mn a
a m n Z =∈
（3）()()n
n n
ab a b
n Z =⋅∈
其中m n m n
m n
a a a a
a
--÷=⋅=， ()1n
n n n n
n a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭
．
3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a (
)*
∈>N
n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，
即： 若a x
n
=，则x 叫做a 的n 次方根， ()*
∈>N n n ,1
例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-，
32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．
说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a
②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：
n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±）
③若n 是偶数，且0a
④(
)*
∈>=N
n n n
,100 0=；
⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴
n
a =．
．
4．a 的n 次方根的性质
一般地，若n 是奇数，则a a n n =；
若n 是偶数，则⎩⎨
⎧<-≥==0
理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质掌握指数函数.
利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y ＝ ， y＝ ，y＝lg(10x－1)等． － (a>0，a≠1)的奇偶性．
【例3】 判断函数f(x)＝
变式3.已知函数f(x)＝
(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性 解答：(1)易得f(x)的定义域为{x|x∈R}．设y＝ ∵ax>0，当且仅当－ ，解得ax＝－ ①
如：y＝|x＋1|±|x－1|，等函数的图象进行学习和研究，对指数函数可考虑对y＝
点击此处进入 作业手册
时，f(x＋1)＞f(x)．
解法二：|2x＋1－1|＞|2x－1|⇔(2x＋1－1)2＞(2x－1)2⇔(3· 2x－2)2x＞0⇔2x＞ ⇔ x＞log2 .即当x＞log2 时，f(x＋1)＞f(x)；同理当x＝log2 时，f(x＋1)＝f(x)；
当x＜log2 时，f(x＋1)＜f(x)．
变式2. 若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点， 则a的取值范围是________． 解析：数形结合．由图可知0＜2a＜1，∴0＜a＜ 答案：(0， ) .
A．0 B．1 C．2 D．3
)
解析：A＝{x∈Z|1≤2－x<3}＝{0,1}，B＝{x∈R|log2x>1，或log2x<－1} ＝(0， )∪(2，＋∞) ，2]，∴A∩(∁RB)＝{0,1}．
高中数学必修一之知识讲解_指数与指数幂的运算_提高
指数与指数幂的运算
【学习目标】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念
()
())
,0(1
010*
Z*n a a
a a a Z n a a a a n n a
n n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-
个
2．运算法则 （1）n
m n
m
a a a +=⋅；
（2）()
mn n
m
a a =；
（3）()0≠>=-a n m a a
a n
m n m ，；
（4）()m
m m
b a ab =.
要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：
若x n =y(n ∈N *
，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.
n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为
n
y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；
n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，
记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，
人教版高一数学必修1第16课时分数指数幂与幂的运算(含解析)
＝ (
的分数指数幂．
的正分数指数幂等于
1a r a s＋s a＞Q.
2a r s＝a r s a＞∈Q.
3ab r＝a r b r a＞0，r∈Q.
a－b－2改写成分数指数幂的形式为 B．(a－
2
5 D．a 5
2－
－52]3 4
5 B. 5
5 D．－5
－52]3 4
．下列等式能够成立的是
1
7·m(m≠n
－34＝(
3＋y3＝(x＋
31
－34＝
3＋y3＝(x3＋
36
原式＝＝
z∈R，xyz≠0，且
＝＝
n次方根和分数指数幂运算的知识点
n次方根和分数指数幂运算的知识点
在高中阶段，指数函数和对数函数是三个基本初等函数中考的最多的两个函数。整个高中三年的历次期中、期末考试中都会或多或少地涉及到这两个函数。同时因为这两个函数也是高一数学的难点，导致很多学生长期掌握不了。需要注意的是，n次方根和分数指数幂运算是学习指数函数的基础——至少能帮助同学们克服一定的畏难情绪。要想快速、熟练地掌握指数函数，就必须要重视起这部分的学习。不然，“头痛医头脚痛医脚”，是注定很难学好指对数函数的。下面总结整理了n次方根和分数指数幂运算的知识点，并试图以一种让大家一目了然掌握其中梗概和重点的方式呈现出来。
1.n次方根的概念及易混知识点拨
2.根式、根指数、被开方数的概念
3.两个非常重要的核心等式
这是这节课中非常重要的两个等式，计算时按公式代就可以。
4.正数的正分数指数幂和正数的负分数指数幂
正数的分数指数幂定义
5.指数幂的运算公式
理解和掌握知识点是学好这部分知识点的第一步，希望大家再接再厉，对这部分知识熟能生巧！
高中数学-分数指数幂
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〔跟踪练习〕
化简
4
1－a2·
a－113＝( B
)
A．－4 a－1
B．4 a－1
C．(a－1)4
[解析] 要使原式有意义，则 a－1＞0.
D． 1 4 a－1
数 学
4
1－a2·
a－1 13＝|1－a|·(a－1)－34
＝(a－1)·(a－1)
－3 4
＝(a－1)14
＝4
a－1.
数 学 必 修 ① · 人 教 A 版
返回导航
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
已知 f(x)＝4x4＋x 2，且 0<a<1，求：
(1)f(a)＋f(1－a)；(2)f(20119)＋f(20219)＋f(20319)＋…＋f(22001189)．
[思路分析] 求解第1问时，关键是抓住f(1－a)的表达式分子分母中都有4－ a，利用4－a·4a＝40＝1，化简；第(2)问观察发现规律利用第(1)问的结论．
学 必 修 ①
· 人 教 A 版
返回导航
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1．分数指数幂
1
1
m
(1)意义：an
＝___n_a_m___，a－mn
＝__a_mn_____＝___n__a_m____，其中 a＞0，m，n
∈N*，n＞1. (2)0 的正分数指数幂等于__0____，0 的负分数指数幂__没__有__意__义___．
高一数学人必修一课件时指数幂及运算
03
对数与对数运算
对数的定义及表示方法
对数的定义
如果 $a^x = N$（$a > 0$，$a neq 1$），那么 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x = log_a N$。
对数的表示方法
常用对数（以 10 为底）记作 $lg N$，自然对数（以 $e$ 为底）记作 $ln N$ 。
对数的运算性质
对数的乘法性质
$log_a (M times N) = log_a M + log_a N$。
对数的除法性质
$log_a frac{M}{N}ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= log_a M - log_a N$。
对数的指数性质
$log_a M^n = n log_a M$。
换底公式
$log_b a = frac{log_c a}{log_c b}$，其中 $c > 0$，
• 人口增长模型：在生物学和社会科学中，人口增长模型常常使用到指数函数。 例如，假设某地区的人口数量按照一定的增长率逐年增长，则未来某一时刻的 人口数量可以用指数函数来预测。
• 化学反应动力学：在化学中，某些化学反应的速率与反应物的浓度之间的关系 可以用指数函数来描述。例如，对于一级反应，其反应速率与反应物浓度的关 系可以表示为$-dc/dt=kc$，其中$c$为反应物浓度，$k$为反应速率常数。
2020年上海新高一新教材数学讲义-专题09 幂与指数(指数幂的拓展)教师版
专题09 幂与指数（指数幂的拓展）
知识梳理
一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
()
()),0(1
010*
Z*n a a a a a Z n a a a a n
n a
n n ∈≠=
≠=∈⋅⋅⋅=-
个
2．运算法则
（1）n m n m a a a +=⋅； （2）()
mn n
m
a a =；
（3）()0≠>=-a n m a a
a n
m n m ，；
（4）()m m m
b a ab =.
二、根式的概念和运算法则
1．n 次方根的定义：
若x n =y(n ∈N *
，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.
n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；
n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为
0=.
2．两个等式
（1）当1n >且*n N ∈时，
n
a =；
（2）⎩
⎨⎧=)(||)
(,为偶数为奇数n a n a a n
n
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必
为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误． 三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *
，且
m
n
为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1
n
a =
m m n
a ==-
1m n
m n
a
a
=
四、有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
()Q b a ∈>>βα,00，，
最全的高中幂指数对数三角函数知识点总结
一.幂 函 数
一、幂函数定义：形如
)(R x y ∈=αα
的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
注意：幂函数与指数函数有何不同？
【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图：
归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：
二、幂函数的性质
归纳：幂函数在第一象限的性质：
0>α，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（+∞,0）上单调递增。
0<α，图像过定点（1,1），在区间（+∞,0）上单调递减。
探究：整数m,n 的奇偶与幂函数n
m
x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系？
结果：形如n
m
x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性
（1）当m ，n 都为奇数时，f （x ）为奇函数，图象关于原点对称；
（2）当m 为奇数n 为偶数时，f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称；
（3）当m 为偶数n 为奇数时，f （x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.
三、幂函数的图像画法：
关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；
指数等于1,在第一象限为上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；
指数等于0,在第一象限为水平的射线； 指数小于0,在第一象限为双曲线型； 四、规律方法总结：
1、幂函数
)1,0(==αα
x y 的图像：
2、幂函数
),,,,(互质q p Z q p p q
x y ∈=
=αα的图像：
指数与指数函数知识点
资料范本
本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载
指数与指数函数知识点
地点：__________________
时间：__________________
说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容
指数函数
（一）整数指数幂
1．整数指数幂概念：
2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）
（3）
其中，．
3．的次方根的概念
一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，
即：若，则叫做的次方根，
例如：27的3次方根，的3次方根，
32的5次方根，的5次方根．
说明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；
②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）
③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；
④ ∴；
⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。∴．
．
4．的次方根的性质
一般地，若是奇数，则；
若是偶数，则．
（二）分数指数幂
1．分数指数幂：
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，
例如：若，则，，∴ ．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；
（2）正数的负分数指数幂的意义是．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
高中数学(新人教A版)必修第一册：无理指数幂及其运算【精品课件】
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
学习目标
1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则， 会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法则 进行计算分数指数幂； 2.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。 3.体会指数幂的运算法则有有理数的范围推广到实数的范 围。
(3)2 3 a ÷4 6 a· b ·3 b3.
解：(1)原式＝(0.33)
1
3－
5 22
1 2
＋(44)
3 4
＋(2
3 2
)
2 3
－1＋1＝
3
0.3－5＋43＋2－1＋1＝64 7 .
2
3
15
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－1a－3－(－4)b－2－(－2)c－1 3
3
3b 2
2
3
a
1 6
b
4 3
.
2
归纳总结
[规律方法] 指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算 2负指数幂化为正指数幂的倒数 3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可 能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负 指数.
观察下表：5 2 的是 否表示一个确定的实数？
指数函数对数函数幂函数知识点梳理1指数函数根式的概念
指数函数、对数函数、幂函数知识点梳理
1.指数函数 （1）根式的概念：
（2）分数指数幂的概念：①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n
a a m n N +=>∈ 且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： (0,,,m n
a a m n N -+=>∈ 且1)n >．0的
负分数指数幂没有意义． （3）运算性质：
①(0,,)r s a a a r s R ⋅=>∈ ②()(0,,)r s a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r ab a b r R =>>∈ （4）指数函数的性质
2.对数函数
（1）对数的定义：
若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x = ，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
（2）几个重要的对数恒等式：log 1a = ，log a a =，log b
a a =
（3）常用对数与自然对数 常用对数： 自然对数：
（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log a a M N += ②减法：log log a a M N -= ③数乘：log ()a n M n R =∈ ④log a N a =
⑤log (0,)b n a M b n R =≠∈ ⑥换底公式：log (0,1)a N b b =>≠ 且 （5）对数函数的性质
（1）幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的性质 幂函数αx y =在第一象限内的特征：
分数指数幂的概念及其运算
,a
4
3 4
,a
5
3 5
,a
2 3
.
， b
， c
a 0, b 0, c 0
( p 0)
( m n) 2
(m n), (m n) 4
1 2
(m n), p 6 q 5
3 2
解：（ 1 ）、 (a 0) : a
2 3
B. a 2
1 2
D
3
）
2 0 3
a 3 ； C. a 1 0 ； D. a 2 a 6 .
5 3 4
2.求值： 8
4
a
, 25
1 1 16 , 32 , 5 2 81
8 a3 3 ,
1 2
1 3 3
9 4 =6 (9 4) = 6
1 2
1 2
1 2
52 32 = 225 (5 3)2 225 =
2 = 32
5
4 = 32
5 2
3 =216 2
6
1 3 3
=2
观察思考 请观察上面两组运算的结果并思考（1）上述计算结果有哪些相等关系？ （2）这些相等关系是必然还是偶然？你再举一些例子试试，若是必然关系请 将你的成果与大家分享！
分数次幂的运算法则公式
分数次幂的运算法则公式
对于任意实数a和b（b不等于0），以及任意正整数m和n，
有以下运算法则公式：
1. \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)。这意味着一个数的m次
幂的n次幂等于这个数的m乘以n次幂。
2. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)。这表示相同底数的幂相
乘等于底数不变，指数相加。
3. \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)。这表明相同底数的幂相除等于底数不变，指数相减。
这些公式可以帮助我们在计算分数次幂的时候进行简化和化简，从而更容易处理复杂的指数运算。这些法则适用于分数指数、负指
数以及混合指数的情况，可以帮助我们简化计算并得到最终结果。
希望这些解释对你有所帮助。
指数函数——分数指数幂
指数函数——分数指数幂
三维目标
一、知识与技能
1．了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性；
2．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义；
3．理解n次方根与n次根式的概念，会进行根式与分数指数幂的相互转化；
4．掌握有理指数幂的运算性质，灵活运用乘法公式进行有理指数幂的运算与化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化．
二、过程与方法
1．通过师生、同学之间的互相交流，使学生进一步体会共同学习的乐趣．
2．通过n次方根概念的探索与活动，明确数学概念的严谨性和科学性，学会做具备严谨科学态度的人．
3．通过对问题的探究过程，培养学生的观察能力和理性思维能力．
三、情感、态度与价值观
1．通过n次方根概念的学习，体会类比的数学思想方法在数学学习中的作用，感受数学概念的整体性、严密性，学会怎样不断完善概念，培养严谨的科学精神．2．在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对n次方根的性质的理解，增强学生的交流能力，不断培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．
二．教学重点
分数指数幂的概念及其运算性质的应用．
三．教学难点
1．对根式意义的理解；
2．化简、求值问题中的指数运算技巧、整体代换思想的运用．
四．教学过程
第一课时
问题情境
细菌的繁殖在理想状态下约每20min一代，就是每20min由1个分裂成2个．
问题1 你能写出一个细菌分裂后的个数y与细菌分裂次数x之间的函数关系式吗？
y＝2x，x∈N．
问题2 如果一个小朋友早上8点半离开家去幼儿园之前洗了手，而且在幼儿园里直到11点半午饭前才由老师领着去洗手．那么在这3个小时里，这位小朋友手上一个细菌会繁殖成多少个？