集合的基本关系课后作业含答案
1.2集合间的基本关系
【说一说★本节新知】 一.子集的定义
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集 合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作：
A B (或B A )
读作：“A含于B”(或“B包含A”)
【说一说★本节新知】
二、Venn图表示集合的包含关系
B={x| x是等腰三角形} ．
【说一说★本节新知】
三.集合相等
如果集合A是集合B的子集(即A B)，且集合B 是集合 A的子集(即B A),此时集合A与集合B中的 元素是一样的，我们称集合A与集合B相等.
记作：A B.
【想一想★得出新知】
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; ② A={-1,0,1}, B={-1,0,1,2} ③ A={a,c,d}, B={a,b,c,d}
在数学中，我们经常用平面上封闭的曲 线的内部表示集合，这种图称为Venn图.
A B
BA
【想一想★得出新知】
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ① A={1,3,5,7,9}, B={9,7,5,3,1} ② A={a,b,c,d}, B={b,c,d,a}; ③ A={x | x是两边相等的三角形},
【听一听★更上一层】
例1.写出集合a, b的所有子集，并指出哪
些是它的真子集.
【听一听★更上一层】
变式 写出集合a, b，c的所有子集，并指出它的真子集.
【听一听★更上一层】
思考： 集合a1, a2 ,, an 有多少个
子集、 真子集、非空真子集?
解：含n个元素的集合的所有子集的个数是2n， 真子集的个数是2n-1， 非空真子集个数为2n-2.
高中数学必修1人教b版课后习题答案
人教B 版高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页） 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ．1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉． 2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7， 所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈； （3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,AB A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U A B A B ． 4．解：显然{2,4,6}UB =，{1,3,6,7}UA =，则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数；（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 25=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：（1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈． 当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求AB ，AC ，()A B C ，()A B C ． 7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B =，{3,4,5,6}A C =，而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =，则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()AB C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是矩形，求BC ，A B ，S A ．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}AB x x =是邻边不相等的平行四边形，{|}SA x x =是梯形．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()RA B ，()RA B ，()R A B，()R A B ．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}RA x x x =<≥或，{|2,10}RB x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或，(){|3,7}RA B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有 个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =，试求集合B ．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得UB A ⊆，即()U UA B B =，而(){1,3,5,7}U A B =，得{1,3,5,7}UB =，而()UU B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；O离开家的距离 时间（A ） O离开家的距离 时间（B ） O离开家的距离 时间（C ） O离开家的距离时间（D ）图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，与A 中元素604．设相对应B 中的元素是什么？与B 中的元素22相对应的A 中元素是什么？的4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32；因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45．1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-； （2）2()f x x =；（3）26()32f x x x =-+； （4）4()1x f x x -=-．1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-； （2）24(),()()f x x g x x ==；（3）326(),()f x x g x x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）3y x =； （2）8y x=； （3）45y x =-+； （4）267y x x =-+．3．解：（1）义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定 （2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(2)f -，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．已知函数2()6x f x x +=-，（1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？（2）当4x =时，求()f x 的值； （3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即22d x y =+，得22100(0)d x x x =+>，由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>，另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得22222()22220(0)l x y x y xy d d =+=++=+>，即2220(0)l d d =+>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24v x t dπ=，显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ．10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤，即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 .5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-.1．解：（1）5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；函数在（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论.3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值.1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ，则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤；（3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求AB ，AC ，()()A B B C .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.求下列函数的定义域：（1）y =（2）||5y x =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7.已知函数1()1xf x x-=+，求：（1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x+=-，求证：（1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？ （4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围.2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}UA B =，(){2,4}U A B =，求集合B .3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++，22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得由25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。
1-1-2 集合间的基本关系
人教A版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
集合与函数概念
第一章 集合与函数概念
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第一章
1.1 集 合
第一章 集合与函数概念
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第一章
1．1.2 集合间的基本关系
[答案] A＝B
第一章
1.1
1.1.2
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4．正确区别各种符号的含义． (1)∈与⊆的区别 ∈表示元素与集合之间的关系， 因此有 1∈N， －1∉N 等； ⊆和 表示集合与集合之间的关系，因此有 N⊆R，∅ R 等， 要正确区分属于和包含关系． (2)a 与{a}的区别 一般地，a 表示一个元素，而{a}表示只有一个元素 a 的 集合，因此有 1∈{1,2,3},0∈{0}，{1} {1,2,3}，a∈{a，b，c}， {a} {a，b，c}．
第一章 1.1 1.1.2
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(3)空集是集合中的特殊现象，A⊆B 包括 A＝∅的情形容 易漏掉，解题时要特别留意． (4){0}与∅的区别 {0}是含有一个元素 0 的集合，∅是不含任何元素的集合， 因此有∅ {0}，∅＝{0}与∅∈{0}都是错误的．要正确地判断元 素与集合，集合与集合之间的关系．
第一章 集合与函数概念
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课前自主预习
名师辩误做答 方法警示探究
思路方法技巧
课堂基础巩固
建模应用引路
课后强化作业
第一章
1.1
1.1.2
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人教A版高一数学必修1课后习题及答案(全部三章)
高中数学必修1课后习题答案 第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ； （2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <． 人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ； 取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =； （3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅； （4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+， 即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =． 人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}AB ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}AB A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==， 求(),()()U U U AB A B 痧?． 4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U AB =ð，()(){6}U U A B =痧． 人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数；（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 2)5=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空： （1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=； （3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求； （3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ； （2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ； （3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形； {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； BA ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥； （2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-； （3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}AB x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ，AC ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数， 则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是矩形，求BC ，A B ð，S A ð．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R AB ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð， 得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或ð， (){|3,7}R A B x x x =<≥或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð，(){|2,3710}R AB x x x x =≤≤<≥或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有 个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得DC ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==， 当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得U B A ⊆ð，即()U UAB B =痧，而(){1,3,5,7}U A B =ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U UB B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值； （2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=， 同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+， 同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-， 则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-； （2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >； （2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ， 面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数． 1，y ==050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与A的B 中的元素是什么？与B相对应的A 中元素是什么？（A ）（B ）（C ）（D ）4．解：因为3sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B因为2sin 45=，所以与B 相对应的A 中元素是45． 人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．2函数及其表示 习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-； （2）()f x =（3）26()32f x x x =-+； （4）()f x =． 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠， 得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-； （2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x =．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域． （1）3y x =； （2）8y x=； （3）45y x =-+； （4）267y x x =-+． 3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞； （2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++， 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2()6x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？ （2）当4x =时，求()f x 的值； （3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象： （1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即(0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t d π=， 显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？ 并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？ 1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=． 当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数． （2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（112x -，得1235xt -=+，(012)x ≤≤，即1235xt -=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()355t h -=+=+≈．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，3．解：该函数在[1,0]在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 . 5．最小值．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-.1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.函数在2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x 的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值. 1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =， 则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合： （1）2{|9}A x x ==； （2）{|12}B x N x =∈≤≤； （3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点； （2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值. 4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求AB ，A C ，()()AB BC .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7.已知函数1()1xf x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x+=-，求证： （1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？ （4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？ 10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围. 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B =ð，(){2,4}U A B =ð，求集合B .3．解：由(){1,3}U A B =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ð，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =. 4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=； (1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ （2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32,(4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-. 练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623ba ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m ∙∙∙=4165413121mm m m m ∙∙=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rts -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35.点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x .所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z=-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）22211lglg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-.4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x =(5) 100.3x = (6) xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=-5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)x c =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4.8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >. 9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭。
第三课时集合关系的习题课
第三课时 集合间关系习题课 制作者：刘新岩 时间______ 姓名__一．教学目标：能力目标：能够写出一个集合的所有子集或真子集；能够运用分类讨论法、数形结合法解决离散数集和连续实数集的相关问题二．教学设计：例1：写出集合{1，2}的所有子集，并指出哪些是它的真子集？分析：（1）确定目标：(题目要求做什么？）______________________（4）应该怎样完善来实现目标？(运用方法、策略） ____________________________(3)通过怎样的方式可以接近目标？（根据信息资源作初步的尝试)___________________（2）利用的资源与信息：（学过的相关知识以及题目给定的条件是什么？）_____________解答：变式练习A ：写出集合{a ，b ，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集？．B.满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A ，最少有__________个子集，最多有__________个子集C.设集合A ＝{x |x 2＋2x ＋2－p ＝0}，B ＝{x |x (x 2＋x －2)＝0}，且A ⊆B ，求实数p的取值．解题方法小结：分类讨论思想是高中数学常用的解题策略分类讨论法的流程：①区分题目中的变量与参数②确定划分的类别③在每一类中求解问题④合并每类的解⇑⇑⇑例2：判断集合A={x|1<x ≤2}与下列集合的关系（1）B={x|x<2}（2）B={x|x ≤2}（3）B={x|x<2.01}（4）若集合B={x|x ≤a }，且B A ⊆，求a 的取值范围（5）若集合B={x|x<a }，且B A ⊆，求a 的取值范围分析：（1）确定目标：(题目要求做什么？）______________________（4）应该怎样完善来实现目标？(运用方法、策略） ____________________________(3)通过怎样的方式可以接近目标？（根据信息资源作初步的尝试)___________________（2）利用的资源与信息：（学过的相关知识以及题目给定的条件是什么？）_____________解答：变式练习A ：已知集合A ＝{x |－3≤x<-2}，B ＝{x |x ＜－2或x ＞5}，判断A 与B .的关系。
集合间的基本关系
姓名班级笔记就是书写解题思路和方法1.1.2 集合间的基本关系编写者：审核者：【导学目标】1、理解集合之间的包含与相等的含义，能识别指定集合的子集．2、了解空集的含义．3、能使用Venn图表达集合的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【教学重点】应掌握比较实数大小关系的结论，学习集合间的基本关系(子集、真子集和相等)．.【教学难点】注意用不同的语言(自然语言、符号语言、图形语言)来表示集合间的基本关系，注意利用Venn图的形象直观表示集合，分析解决问题．【基础梳理】1图形表示2.空集(1)定义：的集合，叫做空集．(2)用符号表示为： .(3)规定：空集是任何集合的．3．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的，即 .(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么 .【预习检测】1、在下列各式中正确的个数是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}．A．1B．2 C．3 D．42．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A⊃B B．A B C．B A D．A⊆B3．已知集合M＝{－8,1,9}，集合N＝{1，m－1}，若N⊆M，则实数m＝________. 4．已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________.5．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，求实数a的取值集合．【典例探讨】类型一有关子集的概念【例1】已知集合A＝{0,1,2}，且B⊆A，求集合B.类型二集合间关系的应用【例2】设集合A＝{a|a＝n2＋1，n∈N*}，集合B＝{b|b＝k2－4k＋5，k∈N*}，若a∈A，试判断a与集合B的关系及集合A与集合B的关系．类型三集合相等关系的应用【例3】已知A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，且A＝B，求实数c的值．类型四子集问题的应用【例4】设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.(1)求实数m的取值范围；(2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．【我的小结】【课后作业】1、已知{a，b}⊆A {a，b，c，d，e}，写出所有满足条件的A.2、已知集合A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＝m＋16，m∈Z，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＝n2－13，n∈Z，C＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＝p2＋16，p∈Z，则集合A，B，C满足的关系是()3、已知集合M＝{x，xy，x－y}，N＝{0，|x|，y}，且M＝N，求x与y的值．4、若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B A，求m的值．。
2021-2022学年度人教版高一数学必修一课后作业同步练习题(含答案)
2021-2022学年度人教版高一数学必修一各章节同步练习（含答案）1.1.1 集合的含义与表示课后作业· 练习案【基础过关】1．若集合A中只含一个元素1，则下列格式正确的是A.1=AB.0∈AC.1∉AD.1∈A2．集合{x∈N∗|x−2<3}的另一种表示形式是A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有①集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{−1,0,l}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R};③方程组{x+y=3,x−y=−1的解集为{x=1,y=2}.A.3个B.2个C.1个D.0个4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为A.{(x,y)|x=0,y≠0,或x≠0,y=0}B. {(x,y)|x=0且y=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x,y不同时为0}5．若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P，Q相等，则a=____.6．已知集合A={(x,y)|y=2x+1}，B={(x,y)|y=x+3}，a∈A且a∈B，则a为 .7．设方程ax2+2x+1=0(a∈R)的根组成的集合为A，若A只含有一个元素，求a 的值.8．用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.【能力提升】集合P={x|x=2k,k∈Z}，M={x|x=2k+1,k∈Z}，a∈P,b∈M，设c= a+b，则c与集合M有什么关系？详细答案【基础过关】1．D【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“∉”的关系，故1∈A正确.2．B【解析】由x－2＜3得x＜5，又x∈N∗，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}.3．D【解析】对于①，由于x∈N，而－1∉N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误.4．C【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0.5．±√2【解析】由于P，Q相等，故a2＝2，从而a＝±√2.6．(2，5)【解析】∵a∈A且a∈B，∴a是方程组{y＝2x＋1，y＝x＋3，的解，解方程组，得{x＝2，y＝5，∴a为(2，5).7．A中只含有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)有且只有一个实根或两个相等的实根.(1)当a＝0时，方程的根为x＝－12；(2)当a≠0时，有△＝4－4a＝0，即a＝1，此时方程的根为x1＝x2＝－1.∴a的值为0或1.【备注】误区警示：初学者易自然认为ax2＋2x＋1＝0(a∈R)是一元二次方程，而漏掉对a的讨论，导致漏解.举一反三：若把“若A只含有一个元素”改为“若A含有两个元素”，则结论又如何？由题意知，a≠0，且△＝4－4a＞0，解得a＜1.所以a＜1且a≠0.8．(1){x|x＝3n，n∈Z}；(2)B＝{x｜x＝|x|，x∈R}.【能力提升】∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∴c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1，又k1＋k2∈Z∴c∈M.1.1.2集合间的基本关系班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是A.a≤2 B.a≤1 C.a≥1 D.a≥22．设集合M={x|x=k2+14,k∈Z}，N={x|x=k4+12,k∈Z}，则A.M =NB.M⊆NC.M⫌ND. M⫋N3．已知集合A={1,−2,x2−1}，B={1,x2−3x,0}，若A=B，求实数x的值. 4．满足条件{1,2,3}⫋M⫋{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是A.8B.7C.6D.55．设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y>0}，那么M与P的关系为 .6．含有三个实数的集合,既可表示成{a,ba,1},又可表示成{a2,a+b,0}，则a2015+b2016= .7．设集合A={(x,y)|y=2x−1}，B={(x,y)|y=x+3}，求A∩B.8．已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且N⫋M,求a的取值范围.【能力提升】已知A={x||x−a|=4}，B={1,2,b}，是否存在实数a，使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2)，都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值；若不存在，说明理由.答案【基础过关】1．D【解析】∵A⊆B，∴a≥22．D【解析】本题考查集合间的基本关系. M={x|x=2k+14,k∈Z}, N={x|x=k+24,k∈Z}={x|x=m4,m∈Z}；而{x|x=2k+14,k∈Z}⫋{x|x=m4,m∈Z}；即M⫋N.选D.3．由A＝B，可得{x2－1＝0x2－3x＝－2，解得x＝1.4．C【解析】本题考查子集.由题意得M={1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,6,5}共6个.选C.5．M＝P【解析】∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.6．-1【解析】本题考查相等集合.由题意得{a,ba,1}={a2,a+b,0},所以ba=0,即b=0；此时{a,0,1}={a2,a,0}，所以a2=1，a=a，且a≠1，解得a=−1.所以a2015+ b2016=−1+0=−1.7．{y=2x−1y=x+3，解得{x=4y=7；所以A∩B={(4,7)}.【解析】本题考查集合的基本运算. 8．解：M={x | x2-2x-3=0}={3,-1};∵N ⫋M,当N=时，N ⫋M 成立,N={x | x 2+ax+1=0},∴a 2-4＜0, ∴-2＜a ＜2;当N≠时，∵N ⫋M, ∴3∈N 或 -1∈N;当3∈N 时，32-3a+1=0即a= -,N={3,},不满足N ⫋M;当-1∈N 时，(-1)2-a+1=0即a=2,N={-1},满足N ⫋M;∴a 的取值范围是-2<a ≤2.【解析】本题考查集合间的基本关系. 【能力提升】不存在.要使对任意的实数b 都有A ⊆B ，则1，2是A 中的元素，又∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴{a －4＝1，a ＋4＝2或{a ＋4＝1，a －4＝2.这两个方程组均无解，故这样的实数a 不存在.1.1.3 集合的基本运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后作业【基础过关】1．若A ⊆B ，A ⊆C ，B ={0，1，2，3，4}，C ={0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A 的个数为 A.5B.6C.7D.82．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是A.A ∪BB.A ∩BC.(∁U A )∩(∁U B )D.(∁U A )∪(∁U B )∅∅310313．若集合P={x∈N|-1<x<3},Q={x|x=2a,a∈P},则P∩Q=A.⌀B.{x|-2<x<6}C.{x|-1<x<3}D.{0,2}4．设全集U=R,集合M={x|x>1或x<-1},N={x|0<x<2},则N∩(∁U M)=A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1}5．某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.6．集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B= .7．设集合A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0,或x≥3},分别求满足下列条件的实数m.(1)A∩B=⌀;(2)A∪B=B.8．已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.【能力提升】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-x+2m=0}.(1)若A∪B=A,求a的值;(2)若A∩C=C,求m的取值范围.详细答案【基础过关】1．D2．C【解析】借助Venn图易得{2,7,8}=∁U(A∪B),即为(∁U A)∩(∁U B).3．D【解析】由已知得P={0,1,2},Q={0,2,4},所以P ∩Q={0,2}. 4．B【解析】∁U M={x|-1≤x ≤1},结合数轴可得N ∩(∁U M )={x|0<x ≤1}. 5．12【解析】设两项运动都喜爱的人数为x ,依据题意画出Venn 图,得到方程15-x+x+10-x+8=30,解得x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12.6．{(1,-1)}【解析】A ∩B={(x ,y )|{x +y =0x −y =2}={(1,-1)}.7．因为A ={x |0<x -m <3},所以A ={x |m <x <m +3}. (1)当A ∩B =⌀时,需{m ≥0m +3≤3,故m =0.即满足A ∩B =⌀时,m 的值为0.(2)当A ∪B =B 时,A ⊆B ,需m ≥3,或m +3≤0,得m ≥3,或m ≤-3.即满足A ∪B =B 时,m 的取值范围为{m |m ≥3,或m ≤-3}.8．(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A ∪B={x|2≤x<10}. 因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2,或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}. (2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2. 【能力提升】A={1,2}.(1)因为A ∪B=A ,所以B ⊆A ,故集合B 中至多有两个元素1,2.而方程x 2-ax+a-1=0的两根分别为1,a-1,注意到集合中元素的互异性,有 ①当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意; ②当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意. 综上可知,a=2或a=3. (2)因为A ∩C=C ,所以C ⊆A.①当C=⌀时,方程x 2-x+2m=0无实数解,因此其根的判别式Δ=1-8m <0,即 m >18.②当C={1}(或C={2})时,方程x 2-x+2m=0有两个相同的实数解x=1(或x=2),因此其根的判别式Δ=1-8m=0,解得m=18,代入方程x 2-x+2m=0,解得x=12,显然m=18不符合要求.③当C={1,2}时,方程x 2-x+2m=0有两个不相等的实数解x 1=1,x 2=2,因此x 1+x 2=1+2≠1,x 1x 2=2=2m ,显然不符合要求.综上,m >18.1.2.1 函数的概念班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )A.y=√xB.y=√xC.y=1xD.y=x 2+12．下列式子中不能表示函数y =f (x )的是 A.x =y 2+1B.y =2x 2+1C.x −2y =6D.x =√y3．函数y=√1−x2+√x2−1的定义域是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.{-1,1}4．若f(x)满足f(a∙b)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，则f(72)等于A.p+q B.3p+2q C.2p+3q D.p3+q25．若[a,3a−1]为一确定区间，则 a 的取值范围是 .6．函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f[f(3)]的值等于 .7．求下列函数的定义域.(1)y=√2x+1+√3−4x；(2)y=1|x+2|−1.8．已知f(x)=x1+x.(1)求f(2)+f(12)，f(3)+f(13)的值；(2)求f(2)+f(3)+f(4)+⋯+f(2013)+f(12)+f(13)+f(14)+⋯+f(12013)的值.【能力提升】已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.答案【基础过关】 1．B【解析】y=√x 的值域为[0,+∞),y=1x的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x 2+1的值域为[1,+∞).故选B. 2．A【解析】一个x 对应的y 值不唯一. 3．D【解析】要使函数式有意义,需满足{1−x 2≥0x 2−1≥0,解得x=±1,故选D.4．B【解析】f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝3f (2)＋2f (3)＝3p ＋2q . 5．(12，＋∞)【解析】由题意3a －1＞a ，则a ＞12.【备注】误区警示：本题易忽略区间概念而得出3a －1≥a ，则a ≥12的错误.6．2【解析】由图可知f (3)＝1，∴f [f (3)]＝f (1)＝2.【备注】误区警示：本题在求解过程中会因不理解f [f (3)]的含义而出错. 7．(1)由已知得{2x ＋1≥0⇒x ≥－12，3－4x ≥0⇒x ≤34，∴函数的定义域为[−12，34].(2)由已知得：∵|x ＋2|－1≠0，∴|x ＋2|≠1， 得x ≠－3，x ≠－1.∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(―1，＋∞). 8．(1)f (2)＋f (12)＝21＋2＋121＋12＝23＋13＝1，f (3)＋f (13)＝31＋3＋131＋13＝34＋14＝1.(2)∵f(x)＋f (1x)＝x 1＋x＋1x1＋1x＝x 1＋x＋1x ＋1＝1，∴f (2)＋f (3)＋f (4)＋⋯＋f(2013)＋f (12)＋f (13)＋f (14)＋⋯＋f (12013)＝f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＋⋯＋f (2013)＋ f (12013)＝1＋1＋1＋⋯＋1(共2012个1相加) ＝2012. 【能力提升】(1)令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0; 令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0. (2)方法一 令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p, 令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q, 令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.方法二 因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q.【解析】题设只有一个函数方程,因此考虑特殊值0,1,通过解方程获解.1.2.2函数的表示法班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．已知y =f (x )是反比例函数，当x =2 时，y =1，则y =f (x ) 的函数关系式为 A.f (x )=1xB.f (x )=−1xC.f (x )=2xD.f (x )=−2x2．已知函数f (x )={2,x ∈[−1,1],x,x ∉[−1,1],若f [f (x )]=2,则x 的取值范围是A.∅B.[−1,1]C.(−∞,−1)∪(1.+∞)D.{2}∪[−1,1]3．已知函数f(x)={x +1,x ∈[−1,0]x 2+1,x ∈(0,1],则函数f(x)的图象是( )A. B. C. D.4．已知f (x )={3x +1,x ≥0,|x |,x <0,则f[f(−√2)]=A.2B.-2C.3√2+1D.−3√2+15．已知函数f (2x +1)=3x +2，且f (a )=4，则a = . 6．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x+2)=1f(x),若f (1)=-5,则f[f (5)]= .7．已知a ，b 为常数，且a ≠0，f (x )=ax 2+bx ，f (x )=0，方程f (x )=x 有两个相等的实数根.求函数f (x )的解析式.8．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t (t >0) 左侧的图形的面积为f (t )，试求函数f (t ) 的解析式.【能力提升】下图是一个电子元件在处理数据时的流程图:(1)试确定y与x的函数关系式;(2)求f(-3), f(1)的值;(3)若f(x)=16,求x的值.答案【基础过关】1．C【解析】根据题意可设f(x)＝kx(k≠0)，∵当x＝2时，y＝1，∴1＝k2，∴k＝2.2．D【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2∉[-1，1]，∴f(2)＝2；若x∉[－1，1]，则f(x)＝x∉[－1，1]，∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.【备注】误区警示：本题易将x∉[－1，1]的情况漏掉而错选B.3．A【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.4．C【解析】∵f(－√2)＝|－√2|＝√2＞0，∴f[f(－√2)]＝f(√2)＝3√2＋1.【备注】无5．7 3【解析】f(2x＋1)＝3x＋2＝32(2x＋1)＋12，∴f(x)＝32x＋12，∴f(a)＝32a＋12＝4，解得a＝73 .6．-15【解析】由已知条件f (x+2)=1f(x)可得f (x+4)=1f(x+2)=f (x ),所以f (5)=f (1)=-5,所以f[f (5)]=f (-5)=f (-1)=1f(−1+2)=1f(1)=-15.7．∵f(x)＝ax 2＋bx ，且方程f (x )＝x 有两个相等的实数根，∴∆＝(b －1)2＝0，∴b ＝1，又∵f (2)＝0，∴4a ＋2＝0，∴a ＝－12，∴f(x)＝－12x 2＋x .8．OB 所在的直线方程为y ＝√3x .当t ∈(0，1]时，由x ＝t ，求得y ＝√3t ，所以f (t )＝√32t 2； 当t ∈(1，2]时，f (t )＝√3－√32(2−t)2；当t ∈(2，＋∞)时，f (t )＝√3，所以{√32t 2，t ∈(0，1]， √3－√32(2−t)2，t ∈(1，2]，√3，t ∈(2，＋∞).【能力提升】(1)由题意知y={(x +2)2,x ≥1x 2+2,x <1.(2)f (-3)=(-3)2+2=11, f (1)=(1+2)2=9.(3)若x ≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去);若x<1,则x 2+2=16,解得x=√14(舍去)或x=-√14.综上可得,x=2或x=-√14.1.3.1单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．若函数f(x)在区间(a,b)上是增函数，在区间(c,d)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a,b)∪(c,d)上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2．下列函数在(0，1)上是增函数的是A.y=1−2xB.y=−x2+2xC.y=5D.y=√x−13．函数f(x)={x+1,x≥0x−1,x<0,在R上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4．下面说法错误的是A.函数的单调区间一定是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5．已知函数f(x)=x2−2(1−a)x+1 在区间(−∞,2]上为减函数,则a 的取值范围是_____________.6．设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.7．.已知函数f(x)=axx−1,若2f(2)=f(3)+5.(l)求a 的值.(2)利用单调性定义证明函数f(x)在区间(1,+∞)的单调性.8．首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2−200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【能力提升】函数f(x)的图象如图所示.(1)说出f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情况.答案【基础过关】1．D【解析】因为(a，b)，(c，d)不是两个连续的区间，所以无法确定其单调性.2．B【解析】选项A中y＝1－2x为减函数，C中y＝5为常数函数，D中y＝√x－1的定义域为[1，＋∞).3．B【解析】解答本题可先画出函数图象，由图象分析.函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R上是增函数.4．A【解析】单调区间是定义域的子集，不一定是定义域，当多个单调区间并起来时，由单调性定义知，不再是单调区间.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称，反之，关于原点对称的图象一定是奇函数的图象.5．(－∞,1]6．(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,所以在(-2,0)上也有f(x)<0.7．(1)由2f(2)＝f(3)＋5,得2×2a2−1=3×a3−1+5,解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝2xx−1.任取x 1,x 2∈(1,＋∞)且x 1＜x 2,f (x 1)＜f (x 2)=2x 1x 1−1−2x 2x 2−1=2x 1(x 2−1)−2x 2(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=2(x 2−x 1)(x1−1)(x 2−1),因为1＜x 1＜x 2,所以x 1－1＞0,x 2－1＞0,x 2－x 1＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0,即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在(1,＋∞)上是减函数.8．(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为令t (x )＝y x=12x +80 000x－200，可以证明t (x )在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －(12x 2－200x ＋80 000)＝−12x 2＋300x －80 000＝−12(x －300)2－35 000.因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损. 【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,12];单调减区间为(-∞,0)和(12,+∞).(2)观察图象可知,函数没有最大值和最小值.1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设f (x ) 在[-2，-1]上为减函数，最小值为3，且f (x ) 为偶函数，则f (x ) 在[1，2]上A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为32．已知函数y =f (x ) 是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )=0 的所有实根之和是 A.4B.2C.1D.03．函数y =f(x)是奇函数，图象上有一点为(a ，f(a))，则图象必过点A. (a ，f(−a))B. (−a ，f(a))C. (−a ，−f(a))D. (a ，1f(a)))4．设f (x )=ax 3+bx −5，其中a ，b 为常数，若f (−3)=7，则f (3)的值为 A.-7B.7C.17D.-175．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0 时，f (x )=x 2+|x |−1，那么x <0 时，f (x )= . 6．若函数f (x )=x+abx+1为区间[-1，1]上的奇函数，则a = ；b = .7．作出函数y =|x −2|(x +1)的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间. 8．已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 是定义在R 上的偶函数，且当x ∈[1，2]时，该函数的值域为[−2，1]，求函数f (x )的解析式. 【能力提升】已知函数f (x )=-12x 2+x ,是否存在实数m ,n (m <n ),使得当x ∈[m ,n ]时,函数的值域恰为[2m ,2n ]?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】 1．D 2．D 3．C【解析】奇函数f (x )满足f (－x )＝－f (x)，故有f (－a )＝－f (a ).因为函数f (x )是奇函数，故点(a ，f (a ))关于原点的对称点(－a ，－f (a ))也在y ＝f (x )上，故选C. 4．D【解析】∵f(－3)＝a(－3)3−3b －5＝7， ∴27a ＋3b ＝－12， ∴f (3)＝27a ＋3b －5＝－17. 5．－x 2－|x |＋1 6．0 07．当x －2≥0，即x ≥2时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝(x −12)2−94；当x －2＜0，即x ＜2时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝−(x −12)2＋94.所以y ＝{(x −12)2−94，x ≥2.−(x −12)2＋94，x <2.这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中(−∞，12]，[2，＋∞)是函数的单调增区间；(12，2)是函数的单调减区间.8．由f (x )为偶函数可知f (x )＝f (－x )，即ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝－ax 3＋bx 2－cx ＋d ，可得ax 3＋cx ＝0恒成立，所以a ＝c ＝0，故f(x)＝bx 2＋d .当b ＝0时，由题意知不合题意；当b ＞0，x ∈[1，2]时f (x )单调递增，又f (x )值域为[－2，1]，所以{f(1)＝－2，f (2)＝1⟹ {b ＋d ＝－2，4b ＋d ＝1⟹{b ＝1， d ＝−3；当b ＜0时，同理可得{f (1)＝1， f (2)＝−2⟹ {b ＋d ＝1， 4b ＋d ＝－2⟹{b ＝−1，d ＝2.所以f(x)＝x 2－3或f (x )＝−x 2＋2. 【能力提升】假设存在实数m ,n ,使得当x ∈[m ,n ]时,y ∈[2m ,2n ],则在[m ,n ]上函数的最大值为2n .而f (x )=-12x 2+x =-12(x-1)2+12在x ∈R 上的最大值为12,∴2n ≤12,∴n ≤14.而f (x )在(-∞,1)上是增函数,∴f (x )在[m ,n ]上是增函数,∴{f(m)=2mf(n)=2n,即{−12m 2+m =2m −12n 2+n =2n.结合m <n ≤14,解得m =-2,n =0.∴存在实数m =-2,n =0,使得当x ∈[-2,0]时,f (x )的值域为[-4,0].2.1.1指数与指数幂的运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．化简√−x 3x的结果为A.−√−xB.√xC.-√xD.√−x2．计算[(−√2)−2]−12的结果是A.√2B.−√2C.√22D.−√223．设13<(13)b <(13)a<1，则有A.a a <a b <b aB. a a <b a <a bC. a b <a a <b aD. a b <b a <a a4．下列说法中正确的个数是( )(1)49的四次方根为7; (2)√a n n=a(a≥0);(3)(a b)5=a 5b15; (4)√(−3)26=(-3)13.A.1B.2C.3D.45．若10m =2,10n=4,则102m−n 2=.6．已知x=12(2 0131n -2 013−1n ),n ∈N *,则(x+√1+x 2)n 的值为 .7．化简下列各式: (1)(√a 23·√a )÷√a 6;(2)(a 23b 12)·(-3a 12b13)÷(13a 16b56).8．求下列各式的值:(1)2532;(2)(254)−32;(3)√259+(2764)−13-π0.【能力提升】已知x 12+x−12=3,求下列各式的值:(1)x+x -1;(2)x 32+x −32+2x 2+x −2+3.答案【基础过关】 1．A【解析】要使式子有意义，需－x 3＞0，故x ＜0，所以原式＝－√－x . 2．A【解析】本题考查指数运算.注意先算中括号内的部分。
集合知识点总结及习题
集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩一、集合有关概念 1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3．元素与集合的关系——（不）属于关系 （1）集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示元素用小写的拉丁字母a 、b 、c …表示（2）若a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A,记作a ∈A;若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a∉A;4.集合的表示方法：列举法与描述法。
教案《集合的基本关系》
课题：集合的基本关系教学目的：知识目标：（1）使学生了解集合的包含、相等关系的意义；（2）使学生理解子集、真子集的概念；（3）使学生理解补集的概念；（4）使学生了解全集的意义。
能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：子集、补集的概念教学难点：弄清元素与子集、属于与包含的关系授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：：1．复习（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法。
（2）用列举法表示下列集合：①}022|{23=+--x x x x {-1，1，2}②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50}（3）用描述法表示集合：}51,41,31,21,1{ }5,1|{*≤∈=n N n nx x 且 （4）集合中元素的特性是什么？（5）用列举法和描述法分别表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合” }3|2||{=-∈x Z x {-1，5}2． 引课：问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（三个事例共性）(组论讨论，给出结论)（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}（2）A=N ，B=Q（3）A={-2，4}，}082|{2=--=x x x B（集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素）二、新课： （阅读教材第七页至第八页例1之前自己梳理本节知识）子集1．定义：（1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。
高中数学 人教A版必修一 第一章集合与函数的概念课后作业答案
第一节 集合的含义与表示参考答案1． C 2.C 3.A 4．①④ 5．x ≠0,1,2，1±52.6． 解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确．因为年轻没有明确的标准．7． 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.8． D 9．B 10．211．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 12．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴集合A 不可能是单元素集．第一节 集合的含义与表示（2）答案 1． B 2.D 3.B 4.C 5．(1){0,1,2} (2){－2，－1,0,1,2} (3){(2,0)，(－2，0)，(0,2)，(0，－2)} 6．②7． 解 (1)∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；(2){x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； (3){x |x >8}； (4){1,2,3,4,5,6}．8． 解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}． 9． C 10．D 11．④12．解 (1)当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，x ＝2.此时集合A ＝{2}．(2)当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有一个实根． 只需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A ＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}．13．解 当x ＝1或2，y ＝0时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝2；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以A *B ＝{0,2,4}，所以元素之和为0＋2＋4＝6. 第二节 集合间的基本关系答案1． D 2.B 3.B 4.B 5．①② 6．a ≥27． 解 A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A .①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2， 此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2， 由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5，解得2≤m ≤3. 由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}． 8． 解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0，①当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立；②当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12}，B ⊆A 不成立；③当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立，则B ＝{－3,2}，∴a ＝－3×2＝－6. 综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6.9． A 10．C 11．612．解 ①当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .②当a ＞0时，A ＝{x |1a ＜x ＜2a }．又∵B ＝{x |－1＜x ＜1}，A ⊆B ，∴⎩⎨⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.③当a ＜0时，A ＝{x |2a ＜x ＜1a}．∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.13．解 不存在．理由如下：要使对任意的实数b 都有A ⊆B ，则1,2是A 中的元素，又因A ＝{a －4，a ＋4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＝1，a －4＝2.这两个方程组均无解，故这样的实数不存在．第三节 集合间的运算（1）答案1． A 2.D 3.D 4.D 5.B 6．17． 解 ∵A ∩B ＝{9}，∴9∈A ，所以a 2＝9或2a －1＝9，解得a ＝±3或a ＝5.当a ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素违背了互异性，舍去．当a ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}．当a ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}． 8． 解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0. 当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，a ＝0或a ＝12.9． B 10．0或1 11．－1 212．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}，即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝3. 13．解 (1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立．此时2a ＋1＞3a －5， 即a ＜6.若A ≠∅，如图所示， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}． (2)因为A ⊆(A ∩B )，且(A ∩B )⊆A ， 所以A ∩B ＝A ，即A ⊆B .显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1解得a ∈∅； 由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16解得a ＞152.综上，满足条件A ⊆(A ∩B )的实数a 的取值范围是{a |a ＜6或a ＞152}． 第三节 集合间的运算（2）1． D 2.C 3.B 4.B 5.－3 6．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5} 7． 解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．8． 解 (1)∵U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,4}，∴∁U M ＝{2,3,5}．又∵N ＝{1,3,5}， ∴N ∩(∁U M )＝{3,5}． (2)∵M ＝{m ∈Z |－3＜m ＜2}， ∴M ＝{－2，－1,0,1}；∵N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}， ∴N ＝{－1,0,1,2,3}，∴M ∪N ＝{－2，－1,0,1,2,3}． 9． C 10．B 11．(∁U B )(∁U A ) 12．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}； 当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．13．解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x.根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．结合习题课答案1． B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．a ≤2 7． 解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}． (2)∵C ＝{x |x >－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a2<2，∴a >－4.8． 解 ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ，∴32＋3c ＋15＝0，∴c ＝－8.由方程x 2－8x ＋15＝0解得x ＝3或x ＝5， ∴B ＝{3,5}．由A ⊆(A ∪B )＝{3,5}知，3∈A,5A (否则5∈A ∩B ，与A ∩B ＝{3}矛盾)故必有A ＝{3}，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0有两相同的根3，由根与系数的关系得3＋3＝－a,3×3＝b ，即a ＝－6，b ＝9，c ＝－8. 9． A 10．1 11．{x |x <1或x ≥5}12. 解 由题意，设全班同学为全集U ，画出Venn 图，A 表示答错A的集合，B 表示答错B 的集合，C 表示答错C 的集合，将其集合中 元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为 1,2,3,4,10,7,5，因此A ∪B ∪C 中元素数目为32，从而至少错一题的 共32人，因此A ，B ，C 全对的有50－32＝18(人)． 13．解 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}．(1)∵A ΔB ＝{x |1<x <2}，由上图可知A ΔB 中的元素都在A 中但不在B 中， ∴定义A ΔB ＝{x |x ∈A ，且xB }．(2)由(1)可知B ΔA ＝{x |x ∈B ，且x A }＝{x |3≤x ≤4}．函数部分第一节 函数及其表示（1）1． A 2.D 3.D 4.B 5．{－1,1,3,5,7} 6．[1，＋∞) 7． 解 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)集合A 中的负整数没有平方根，故在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．8． 解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.9． C 10．C 11．[0，13]12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米．(4)11∶00至12∶00他骑了13千米． (5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0<h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0<h <1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A <6.84.故值域为{A |0<A <6.84}．(3)由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h <1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．第一节 函数及其表示（2）答案1． C 2．B 3．B 4．B 5．2 6．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －87． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3. 8． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点，所以c ＝3.② 设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·ca ＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以f (x )＝x 2－4x ＋3.9． B 10．B 11．f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)12．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]． 13．解 要使函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，必须有1a x ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－a ，即函数的定义域为(－∞，－a ]， ∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－a ]，∴－a ≥1，即a ≤－1， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]． 第一节 函数及其表示（3）答案 1． D 2．A 3．A 4．C 5．C 6.137． 解 f (x )＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0.其图象如图所示．由图象可知，f (x )的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 8． 解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]．9． A 10．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤111.32 {x |x ≥－1且x ≠0}12．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.13．解 由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .由已知⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝020a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤2013(200－x )， 20＜x ≤200.第二节 函数的性质（1）1． C 2．C 3．D 4．C 5．m >0 6．－3 7． 解 y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 (x ≥0)－x 2－2x ＋3 (x <0)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋4 (x ≥0)－(x ＋1)2＋4 (x <0). 函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．8． 解 函数f (x )＝x 2－1在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 21－1＝x 22－x 21x 22－1＋x 21－1＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 22－1＋x 21－1.∵1≤x 1<x 2，∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x 22－1＋x 21－1>0.∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数． 9． D 10．A 11．a ＞1212．证明 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－x 31＋1)－(－x 32＋1)＝x 32－x 31 ＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22)．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，又∵x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 22)2＋34x 22且(x 1＋x 22)2≥0与34x 22≥0. 其中两等号不能同时取得(否则x 1＝x 2＝0与x 1＜x 2矛盾)，∴x 21＋x 1x 2＋x 22＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，又∵x 1＜x 2，∴f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．13．解 设2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋a x 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－ax 1x 2＜0恒成立．由于x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立．又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.第二节 函数的性质（2）答案1． A 2.A 3.A 4.C 5.D 6．－2 0 7． 解 ∵f (x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34，又∵12∈[－1,1]，∴当x ＝12时，函数f (x )有最小值，当x ＝－1时，f (x )有最大值，即f (x )min ＝f (12)＝34，f (x )max ＝f (－1)＝3.8． 解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]，∴f (x )的最小值是f (1)＝1， 又f (12)＝54，f (3)＝5，所以f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2， ∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)． 9． B 10．C 11．(－∞，－5]12．(1)证明 设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a－1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)解 ∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.∴a ＝25.13．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.第二节 函数的性质（3）答案1． B 2.D 3.C 4.B 5．(－2,0)∪(2,5] 6．－15 7． 解 (1)f (－x )＝3＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈[－3,3]，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(3)f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(4)当x ＞0时，f (x )＝1－x 2， 此时－x ＜0，∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1， ∴f (－x )＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－1，此时－x ＞0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2， ∴f (－x )＝－f (x )；当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0. 综上，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为R 上的奇函数．8． 解 ∵函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，因此，有ax 2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c，∴c ＝－c ，即c ＝0.又∵f (1)＝2，∴a ＋1＝2b ，由f (2)＜3，得4a ＋1a ＋1＜3，解得－1＜a ＜2.∵a ，b ，c ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1，当a ＝0时，b ＝12∉Z (舍去)．当a＝1时，b ＝1.综上可知，a ＝1，b ＝1，c ＝0. 9． B 10．(－∞，32)11．解 (1)由已知g (x )＝f (x )－a 得，g (x )＝1－a －2x，∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2(－x )＝－⎝⎛⎭⎫1－a －2x ，解得a ＝1. (2)函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数．设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝1－2x 1－⎝⎛⎭⎫1－2x 2＝2(x 1－x 2)x 1x 2. ∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而2(x 1－x 2)x 1x 2＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．所以函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．12．解 (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ， ∴f (x )＝x 2＋2x ，∴m ＝2. y ＝f (x )的图象如图所示． (2)由(1)知f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x (x >0)0 (x ＝0)x 2＋2x (x <0)，由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1a －2≤1，解得1<a ≤3.13．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数，当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x .任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21＋1x 1)－(x 22＋1x 2)＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－1x 1x 2)．由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞1x 1x 2，所以f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．第二节 函数的性质（4）答案1． A 2.A 3．A 4．C 5．－x 2＋x ＋1 6．－0.5 7． 解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f (x )在(0，＋∞)上递减． ∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0，2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)， ∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3， 即3a －2>0，解得a >23.8． 解 (1)f (x )是R 上的减函数．由f (－a )＋f (a )＝0，可得f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在R 上是单调函数．由f (－3)＝2，得f (0)＜f (－3)， 所以f (x )为 R 上的减函数．(2)由f (－3)＝2，又由于f (2－x x )＜f (－3)且由(1)可得2－xx ＞－3，即2x ＋2x＞0， 解得x ＜－1或x ＞0，∴不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞0}． 9． A 10．A 11．f (72)<f (1)<f (52)12．解 (1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)， 1＝－1矛盾，∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数．(2)任取x 1＞x 2≥3，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)．∵x 1－x 2＞0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a ＞x 1＋x 2x 21x 22，即a ＞1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立． ∵x 1＞x 2≥3，1x 1x 22＋1x 21x 2＜13×32＋132×3＝227，∴a ≥227. 13．解 (1)由题意，得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0a ＞0b 2－4a ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2，所以F (x )的表达式为F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2(x ＞0)－(x ＋1)2(x ＜0). (2)g (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1，图象的对称轴为x ＝－2－k 2＝k －22，由题意，得k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≥6或k ≤－2.(3)∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝ax 2＋1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1(x ＞0)－ax 2－1(x ＜0). ∵m ·n ＜0，不妨设m ＞n ，则n ＜0. 又m ＋n ＞0，则m ＞－n ＞0，∴|m |＞|n |.F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝(am 2＋1)－an 2－1＝a (m 2－n 2)＞0，∴F (m )＋F (n )大于零．第一章章末检测答案 1． C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8．A 9.A 10．B 11．D 12．B 13．－214．[25，＋∞) 15．(－∞，1] 16．{(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}17．解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A .∴2×(12)2＋3p ×(12)＋2＝0.∴p ＝－53.∴A ＝{12，2}．又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B .∴2×(12)2＋12＋q ＝0.∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．18．证明 设a <x 1<x 2<b ，∵g (x )在(a ，b )上是增函数， ∴g (x 1)<g (x 2)， 且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，又∵f (x )在(a ，b )上是增函数，∴f (g (x 1))<f (g (x 2))，∴f (g (x ))在(a ，b )上也是增函数． 19．解 f (x )＝4(x －a2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2. 由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2. ∵a ≤0，∴a ＝1－ 2. ②当0<a2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f (a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去．③当a2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18. 由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10. ∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10. 20．(1)证明 任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0＜a ≤1.21．解 (1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由图1，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15.由图2，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6，∴k 2＝45.故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)． (2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元，由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)．∵y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10.∴当x ＝2，即x ＝4时， y max ＝145＝2.8. 因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．22．解 (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3， 则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数， 故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]． 由题意，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4－2a ≥－3， ∴a ＝32.。
人教课标版高中数学必修一《集合间的基本关系》教案-新版
1.1.2 集合间的基本关系一、教学目标 （一）核心素养本节课是集合的含义与表示的延续，核心是集合与集合间的“包含”、“真包含”、“相等”关系，通过对集合间关系的探究，感受数学抽象、直观想象、逻辑推理，提高分析与解决数学问题的能力，熟悉数学探究基本特点．通过实例，了解子集、真子集、空集等概念，区分一些容易混淆的关系和符号，规范数学表达． （二）学习目标1．在应用类比思想探究两个集合的包含和相等关系的过程中，体会辨证思想，能用数学的思维方式去认识世界，提高分析、解决问题的能力．2．理解集合之间包含与相等的含义，在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn 图表达集合的关系，加强从具体到抽象的思维能力，体会数形结合的思想．3．能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，能区别元素与集合间的属于关系和集合间的包含关系． （三）学习重点 1．子集、真子集、空集的概念．2．集合间包含关系与相等关系的含义．（四）学习难点 1．对子集、真子集、空集概念的正确理解． 2．对新学的数学符号的正确使用．3．属于与包含之间的区别．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第7页，填空：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作）（或A B B A ⊇⊆，读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 是集合A 的子集（A B ⊆），此时，集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A =B ．如果B A ⊆，但存在元素,B x ∈且,A x ∉我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B ⫌A ）．我们把不含任何元素的集合叫空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集． （2）写一写：写出集合},{b a 的所有子集． 0个元素的：∅;1个元素的：}{},{b a ; 2个元素的：},{b a ．（3）想一想：包含关系⊆与属于关系∈有什么区别？“∈”与“⊆”的区别：“∈”表示元素与集合之间的关系，如N N ∉-∈1,1；“⊆”表示集合与集合之间的关系，如R N ⊆，R ⊆∅．2．预习自测（1）数0与集合 ∅的关系是（ ）A ．0∈∅B ．0＝∅C ．{0}＝∅D ．0 ∉∅【答案】D ．（2）集合{1，2，3}的子集的个数是（ ） A ．7B ．4C ．8D ．6【答案】C ．（3）下列六个关系式中正确的个数为（ ）①{a ，b }＝{b ，a }；②{a ，b }⊆{b ，a }；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤0∈{0}． A ．2 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】D ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．（2）如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ．（3）除了用自然语言表示集合，还能用列举法、描述法表示集合．2．问题探究探究一 回顾旧知，提出新问 ●活动① 回顾旧知问题：元素与集合之间的关系应如何表示？（可举例进行说明） 元素与集合间是“∈”或“∉”的关系，如1∈{1，2，3}；0∉{1，2，3}等．【设计意图】检验学生上节课所学知识掌握情况，并为后续探究集合间的关系做好铺垫． ●活动② 创设情境，提出问题对两个数b a 、，应有,b a b a b a =<>或或对于两个集合A 、B ，它们之间有什么关系？ 【设计意图】结合学生已有知识经验，通过类比启发学生思考并积极探索集合间的关系．探究二 探究集合间的关系、集合的子集以及集合的性质★▲ ●活动① 归纳提炼子集的概念观察下面4个例子，指出给定两个集合中的元素有什么关系？每个例子中的两个集合又有什么关系呢？（1）}3,2,1{=A ，}6,5,4,3,2,1{=B ;（2）}2{）班全体女生新华中学高一（=C ，}2{）班全体学生新华中学高一（=C ; （3）E ＝{x ︱x 是等边三角形}，F ＝{x ︱x 是三角形}；（4）G ＝{x ︱x ＞2}，H ＝{x ︱2x －1≥3}．我们可以看到，（1）中的集合A 中的任何元素都是集合B 的元素，（2）中的集合C 中的元素都是集合D 中的元素，（3）中的集合E 的任何元素都是集合F 的元素，（4）中的集合G 中的任何元素都是集合H 中的元素．一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集（subset ），记作)(A B B A ⊇⊆或，读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．在数学中，除了用列举法、描述法来表示集合之外，我们还有一种更简洁、直观的方法——用平面上的封闭曲线的内部来表示集合Venn （韦恩）图．那么，集合A 是集合B 的子集用图形表示如下：B A ⊆【设计意图】通过实例的共性探究，感知子集的概念，并通过图形更加深入体会子集的含义及数形结合的思想．●活动② 归纳提炼集合相等的概念观察下面4个例子，各对集合中，有没有包含关系？ （1）{}{}1,3,5,5,1,3A B ==; （2）};01|{},1{=-==x x D C（3）E ＝{x ︱x 是等腰三角形}，F ＝{x ︱x 是两条边相等的三角形}； （4）G ＝{x ︱x ＞2}，H ＝{x ︱2x －1≥3}．显然，A 是B 的子集，C 是D 的子集，E 是F 的子集，G 是H 的子集．反过来，B 是A 的子集，D 是C 的子集，F 是E 的子集，H 是G 的子集．一般地，如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 是集合A 的子集（A B ⊆），此时，集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作B A =．【设计意图】通过实例的共性探究，感知集合相等的概念．在上一节课用元素完全相同表示集合相等的基础上 ，从子集的角度提升对集合相等的理解．●活动③ 归纳提炼真子集的概念问题1：若B A ⊆，则集合A 与B 一定相等吗？ 不一定，比如活动②中的四个例子．问题2：若B A ⊆，则可能有B A =，也可能B A ≠．当 B A ⊆，且B A ≠时，我们如何进行数学解释？如果B A ⊆，但存在元素,B x ∈且,A x ∉我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B ⫌A ）．【设计意图】在理解子集、集合相等的含义基础上，进一步提炼真子集的概念．BA●活动④ 归纳提炼空集的概念观察下面2个集合，它们有何共同特点？ （1）}01|{2=+∈=x x A R ； （2）}02|{<+∈=x x B R ． 显然，这两个集合中都没有元素．我们把不含任何元素的集合叫空集，记作∅． 规定：空集是任何集合的子集，即∅A ⊆． 空集是任何非空集合的真子集，即∅.A【设计意图】通过实例的共性探究，感知空集这个比较难理解的抽象的概念． ●活动⑤ 类比实数大小关系，归纳子集基本性质实数集合对于实数a ，有a a ≤；对于集合A ，有A A ⊆．对于实数,,,c b a 如果;,,c a c b b a ≤≤≤那么且 那么且如果对于集合,,,,,C B B A C B A ⊆⊆.C A ⊆【设计意图】通过类比数的大小关系的结论，引导学生推导集合的两个性质． 探究三 识别给定集合的子集，判断给定集合间的关系★▲●活动① 基础型例题 填写下表，并回答问题原集合子集 子集的个数 ∅________ ________ }{a ________ ________ },{b a ________ ________ },,{c b a________________空真子集个数呢？【知识点】子集与真子集、集合中元素个数的最值． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】∅的子集只有它本身，子集有1个．}{a 的子集为：∅，}{a ；子集共2个．},{b a 的子集为：∅，}{a ，}{b ，},{b a ；子集共4个．},,{c b a 的子集为：∅，}{a ，}{b ，}{c ，},{b a ，},{c a ，},{c b ，},,{c b a ；子集共8个． 【思路点拨】按子集元素个数为标准进行分类． 【答案】有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n －1个真子集，2n －1个非空子集，n 个元素的非空真子集有2n －2个．同类训练 已知集合M 满足}5,4,3,2,1{}2,1{⊆⊆M ，写出集合M ． 【知识点】子集与真子集、集合中元素个数的最值． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】因为M ⊆}2,1{，则1、2一定在M 中．又因为}5,4,3,2,1{⊆M ，则M 中的元素一定在}5,4,3,2,1{中，即M 中的元素不包含1、2、3、4、5以外的元素． 若M 含有2个元素，则}2,1{=M ；若M 含有3个元素，则{1,2,5}{1,2,4}}3,2,1{或或=M ； 若M 含有4个元素，则{1,2,4,5}{1,2,3,5}}4,3,2,1{或或=M ； 若M 含有5个元素，则}5,4,3,2,1{=M ．【思路点拨】通过集合间包含关系的含义按元素个数分类罗列．【答案】}.5,4,3,2,1{},5,4,2,1{},5,3,2,1{},4,3,2,1{},5,2,1{},4,2,1{},3,2,1{},2,1{=M【设计意图】从简单到复杂，从特殊到一般，归纳总结出集合子集个数与元素个数的关系，更加深入理解子集的含义．例2 判断下列关系是否正确．(1)}2,1{}3,2,1{； (2)}3,2,1{⊆}4,2,1{； (3)}{}{a a ⊆; (4)}0{=∅； (5)}0{⊆∅; (6)∅⊆∅． 【知识点】集合的包含关系判断及应用、集合相等． 【数学思想】【解题过程】（1）集合}2,1{中的元素1、2都是集合}3,2,1{的元素，而集合}3,2,1{中的元素3不是集合}2,1{的元素，故}2,1{}3,2,1{正确； （2）因为}4,2,1{3∉，所以}3,2,1{⊆}4,2,1{错误；（3）任何一个集合是它本身的子集，因此}{}{a a ⊆正确；（4）∅中没有任何元素，而{0}中有一个元素，两者不相等，故∅＝{0}错误； （5）空集是任何非空集合的真子集，因此∅{0}正确； （6）空集是任何集合的子集，因此∅⊆∅正确．【思路点拨】通过子集、真子集、集合相等的含义及集合性质做出正确判断． 【答案】（1）、（3）、（5）、（6）正确，（2）、（4）错误． 同类训练 下列各式中错误的个数为( )（1）{}10,1,2∈ (2){}{}10,1,2∈ (3){}{}0,1,20,1,2⊆ (4){}{}0,1,22,0,1= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【知识点】元素与集合关系的判断、集合的包含关系判断及应用、集合相等． 【数学思想】【解题过程】（1）显然正确；（2）“∈”是表示元素与集合间的关系，不能表示集合与集合之间的关系，因此{}{}10,1,2∈错误；（3）因为任何一个集合是它本身的子集，则}2,1,0{}2,1,0{⊆正确；（4）因为集合}1,0,2{}2,1,0{⊆，且}2,1,0{}1,0,2{⊆，则}1,0,2{}2,1,0{=正确．【思路点拨】通过子集、真子集、集合相等的集合间的关系及元素与集合的关系做出正确判断． 【答案】C ．【设计意图】巩固检查集合间的关系、元素与集合的关系．●活动② 提升型例题 例 3 已知集合},21|{Z ∈+==k k x x A ，},21|{Z ∈==k k x x B ，则A 与B 的关系为________．【知识点】集合关系中的参数取值问题． 【数学思想】化归与转化思想． 【解题过程】方法一：(列举法)对于集合A ，取k =…，0，1，2，3，…，得A ={…，12，32，52，72，…}．对于集合B ，取k =…，0，1，2，3，4，5，…，得B ={…，0，12，1，32，2，52，…}． 故A B ．方法二：(特征性质法) 集合A ：)(212Z ∈+=k k x ，分子为奇数． 集合B ：)(2Z ∈=k kx ，分子为整数． 则A B ．【思路点拨】通过列举法和特征性质法两种不同的方法进行分析，均可得到集合A 、B 之间的关系． 【答案】A B ．同类训练 设集合},12|{*N ∈+==k k x x M ，},12|{*N ∈-==k k x x N 则M ，N 之间的关系为( ) A ．M N B ．M ⫌N C ．M ⊇N D ．M =N【知识点】集合关系中的参数取值问题． 【数学思想】化归与转化思想．【解题过程】}13,11,9,7,5,3{ =M ，}13,11,9,7,5,3,1{ =N ，则MN ．【思路点拨】将两个用描述法表示的集合转化成列举法表示的集合． 【答案】A ．【设计意图】巩固检查集合的表示法，提高转化的思维能力．例 4 设集合}23|{≤≤-=x x A ，}112|{+≤≤-=k x k x B 且A B ⊆，求实数k 的取值范围．【知识点】集合的包含关系判断及应用、集合关系中的参数取值问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】因为A B ⊆，所以B =∅或B ≠∅． 当B =∅时，有112+>-k k ，解得2>k ．当B ≠∅时，有⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-,21,312,112k k k k 解得11≤≤-k ．综上，11≤≤-k 或2>k ．【思路点拨】关注真子集的含义，结合图形解决． 【答案】11≤≤-k 或2>k ．同类训练 已知集合}41|{<≤=x x A ，}|{a x x B <=，且A B ，求实数a 的取值集合． 【知识点】集合的包含关系判断及应用、集合关系中的参数取值问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】将数集A 表示在数轴上(如下图)，要满足A B ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a 的集合为}4|{≥a a ．【思路点拨】关注真子集的含义，结合图形解决． 【答案】}4|{≥a a ．【设计意图】巩固检查真子集的含义，体会数形结合的思想． ●活动③ 探究型例题例5 已知集合},3,1{2x A =，}2,1{+=x B ，是否存在实数x ，使得集合B 是A 的子集？若存在，求出A ，B ，若不存在，说明理由．【知识点】集合的包含关系判断及应用、集合关系中的参数取值问题、集合的确定性、互异性、无序性．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】因为B ⊆A ，所以x +2=3或2x ． 当x +2=3，即x =1时，A ={1,3,1}不满足互异性． 当22x x =+，即x =2或x =-1．若x =2时，A ={1,3,4}，B ={1,4}，满足B ⊆A ． 若x =-1时，A ={1,3,1}不满足互异性． 综上，存在x =2使得B ⊆A ． 此时，A ={1,3,4}，B ={1,4}．【思路点拨】结合集合的确定性、互异性、无序性分清况讨论x 的值和集合A 、B ． 【答案】存在x =2使得B ⊆A ．此时，A ={1,3,4}，B ={1,4}．同类训练 若集合}06|{2=-+=x x x A ，}01|{=+=mx x B ，且A B ⊆．求由m 的可取值组成的集合．【知识点】集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数取值问题，集合的确定性、互异性、无序性．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】易得}2,3{-=A ，当0=m 时，=B ∅，有A B ⊆． 当0≠m 时，方程01=+mx 的解为mx 1-=， 又因为A B ⊆，则31-=-m 或21=-m ，即31-=m 或21-=m ． 故所求集合为}21,31,0{-．【思路点拨】先确定集合A 的元素，再结合集合的确定性、互异性、无序性分清况讨论m 的值和集合B ．【答案】}21,31,0{-．【设计意图】巩固检查子集的含义，锻炼分类讨论问题的能力． 3．课堂总结知识梳理（1）一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集（subset ），记作)(A B B A ⊇⊆或，读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．（2）如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 是集合A 的子集（A B ⊆），此时，集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A =B ．（3）如果B A ⊆，但存在元素,B x ∈且,A x ∉我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）．（4）不含任何元素的集合叫空集，记作∅．（5）空集是任何集合的子集，即A ∅⊆；空集是任何集合的真子集，即∅A ；任何一个集合都是它自己的子集，即A A ⊆;那么且如果对于集合,,,,,C B B A C B A ⊆⊆.C A ⊆重难点归纳（1）元素与集合间的关系用“∈”、“∉”来表示，集合与集合间的关系用“⊆”、“”、“=”来表示．（2）集合与集合间的关系涉及到含参数问题时，要注意分类讨论，并能用元素的互异性进行检验．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列集合中表示空集的是( )A ．}55|{=+∈x R xB ．}55|{>+∈x R xC ．}0|{2=∈x R xD ．}01|{2=++∈x x R x【知识点】空集的定义、性质及运算．【数学思想】【解题过程】因为C B A ,,中分别表示的集合为}0{，}0|{>x x ，}0{，则都不是空集；又因为012=++x x 无解，则}01|{2=++∈x x R x 表示空集．【思路点拨】根据空集的含义进行判断．【答案】D ．2．集合{1，2，3}的子集的个数是( )A ．7B ．4C ．6D ．8【知识点】子集与真子集、集合中元素个数的最值．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】根据探究结论得该集合的子集个数为823=．【思路点拨】根据集合子集的个数与集合元素的个数关系求得． 【答案】D ．3．已知集合}4,3,2,1{=P ，},1|{P x x y y Q ∈+==，那么集合}5,4,3{=M 与Q 的关系是( )A ．Q M ⊆B ．Q M ⊇C ．M QD ．Q M =【知识点】集合的表示法、子集与真子集．【数学思想】【解题过程】因为},1|{P x x y y Q ∈+==，}4,3,2,1{=P ，则Q ＝{2，3，4，5}．因此，M Q ．【思路点拨】先求出集合Q ，再判断集合M 与集合Q 的关系． 【答案】C ． 4．设R b a ∈,，集合},,0{},,1{b ab a b a =+，则a b -等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2【知识点】集合的相等．【数学思想】【解题过程】因为0≠a ，所以1,0-==+ab b a ，即.1,1-==a b 因此，2=-a b ，选C ． 【思路点拨】结合集合的确定性、互异性、无序性分清况讨论b a 、的值．【答案】C ．5．已知集合},3,1{m A -=，集合}4,3{=B ，若A B ⊆，则实数=m ________．【知识点】子集与真子集、集合关系中的参数取值问题．【数学思想】【解题过程】因为A B ⊆，}4,3{=B ，},3,1{m A -=，所以4=m ．【思路点拨】根据集合的包含关系确定两集合元素间的关系．【答案】4．6．已知},12|{2R x x x y y M ∈--==，}42{≤≤-=x N ，则集合M 与N 之间的关系是________．【知识点】集合的包含关系判断及应用．【数学思想】【解题过程】因为22)1(1222-≥--=--=x x x y ，则}2|{-≥=y y M ．又因为}42{≤≤-=x N ，则N M ．【思路点拨】先用配方法求解集合M ，再判断集合M 和集合N 的关系．【答案】NM ．能力型 师生共研7．已知集合A }3,2,1{，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【知识点】集合的包含关系判断及应用．【数学思想】分类讨论思想． 【解题过程】因为A 中至少含有一个奇数，所以A 可能含有1个奇数，也可能含有2个奇数．若A 只含有1个奇数，则}1{=A 或}3{；若A 含有2个奇数，则}3,1{=A ．因此，满足条件的A 有4个．【思路点拨】对集合A 中奇数元素按个数分类讨论． 【答案】D ．8．设集合},3,1{a A =，}1,1{2+-=a a B ，A B ⊆，求a 的值．【知识点】元素与集合的关系、集合的包含关系判断及应用．【数学思想】【解题过程】因为A B ⊆，所以B 中元素1,12+-a a 都是A 中的元素，故分两种情况．(1)312=+-a a ，解得=a －1或2，经检验满足条件．(2)a a a =+-12，解得=a 1，此时A 中元素重复，舍去．综上所述，=a －1或=a 2．【思路点拨】利用元素与集合关系、集合的包含关系构造方程组或数量关系求解．【答案】=a －1或=a 2．探究型 多维突破9． 已知集合{}{}22,,,2,2,A x y B x y A B ===且，求,x y 的值．【知识点】集合的确定性、互异性、无序性、集合的相等．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】因为{}{}22,,,2,2,A x y B x y A B ===且，则⎩⎨⎧==22y y x x ，或⎩⎨⎧==x y y x 22；即⎩⎨⎧==00y x （舍去），或⎩⎨⎧==10y x ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141y x ． 【思路点拨】利用元素与集合关系、集合的相等关系构造方程组或数量关系求解． 【答案】⎩⎨⎧==10y x ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141y x ． 10．b a ,是实数，集合}1,,{ab a A =，}0,,{2b a a B +=，若B A =，求20162015b a +． 【知识点】集合的相等、集合关系中的参数取值问题．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】因为B A =，所以0=b ，}1,0,{a A =，}0,,{2a a B =，即12=a ，得1±=a ．若1=a ，则}1,0,1{=A 不满足互异性，舍去；若1-=a ，}1,0,1{-=A 满足题意．因此，120162015-=+b a ．【思路点拨】利用元素与集合关系、集合的相等关系构造方程组或数量关系求解．【答案】120162015-=+b a ．自助餐1．集合{1，2，3}的所有真子集的个数为( )A ．3B ．6C ．7D ．8【知识点】子集与真子集．【数学思想】【解题过程】该集合的真子集个数为7123=-．【思路点拨】利用元素个数与真子集个数的关系求得．【答案】C ．2．已知集合}8,7,4{⊆M ，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【知识点】集合的含义、元素与集合的关系．【数学思想】【解题过程】M 可能为∅，}7{，}4{，}8{，}4,7{，}8,7{共6个．【思路点拨】根据集合元素满足的要求得，注意空集不能漏掉．【答案】B ．3．下列命题正确的是( )A ．无限集的真子集是有限集B ．任何一个集合必定有两个子集C ．自然数集是整数集的真子集D ．{1}是质数集的真子集【知识点】子集与真子集．【数学思想】【解题过程】无限集的真子集有可能是无限集，如N 是R 的真子集，A 错误;由于∅只有一个子集，即它本身，B 错误;由于1不是质数，D 错误．显然自然数集是整数集的真子集，C 正确．【思路点拨】逐一通过集合间的关系进行检验，注意子集、真子集的概念．【答案】C ．4．已知集合{}{}2|320,|10A x x x B x ax =-+==-=若BA ，则实数a 的值为＿＿． 【知识点】子集与真子集． 【数学思想】【解题过程】易知}2,1{=A ．如果0=a ，则=B ∅，B 满足A ．如果0≠a ，则}1{a B =．又因为B A ，则211或=a ，即211或=a ．综上，211,0或=a ． 【思路点拨】先求出集合A ，再根据真子集对a 分情况讨论．【答案】0，1或12 ． 5．写出满足{},a b A ⊆{},,,a b c d 的所有集合A ．【知识点】子集与真子集．【数学思想】【解题过程】因为{},a b A ⊆，则A 中必须有元素.b a 、又因为A {},,,a b c d},,{},,,{},,{d b a c b a b a A =则．【思路点拨】利用集合间的包含关系和真包含关系求解．【答案】},,{},,,{},,{d b a c b a b a A =． 6．已知{}{}|25,|121A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤-，B A ⊆，求实数a 的取值范围．【知识点】子集与真子集．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】若=B ∅，.2,121<->+a a a 即若≠B ∅，.32,21512112≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≤-+≥-a a a a a 即综上，.3≤a【思路点拨】根据集合间的包含关系构造方程组或数量关系求解．【答案】.3≤a。
高中数学必修一第一讲集合
升高一数学精选精讲第一讲A A =∅=∅ B A ⊆A A = A ∅=B A ⊇()U A =∅ð 2()U A U =ð()()()U U A B A B =痧?()()()U U A B A B =痧?NM．B)=(∪（; (2)B)=(（(A A求且A 求(B)={1,5},((课后测试卷考试说明：1、本试卷完成时间为 分钟；2、本试卷满分为 100 分；3、考试中考生必须遵守考试规则，独立完成；4、考生草稿纸要求规范使用，考试结束后上交。
一、选择题（每小题4分，共48分）1．设A={x|x ≤4}， ）（A ）{a} A （B ）a ⊆A （C ）{a}∈A （D ）a ∉A 2．若{1，2} A ⊆{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数是（ ）（A ）8 （B ）7 （C ）4 （D ）33．下面表示同一集合的是（ ）（A ）M={（1，2）}，N={（2，1）} （B ）M={1，2}，N={（1，2）} （C ）M=Φ，N={Φ} （D ）M={x|2210}x x -+=,N={1}4．若P ⊆U ，Q ⊆U ，且x ∈C U （P ∩Q ），则（ ）（A ）x ∉P 且x ∉Q （B ）x ∉P 或x ∉Q （C ）x ∈C U (P ∪Q) （D ）x ∈C U P 5． 若M ⊆U ，N ⊆U ，且M ⊆N ，则（ ）（A ）M ∩N=N （B ）M ∪N=M （C ）C U N ⊆C U M （D ）C U M ⊆C U N 6．已知集合M={y|y=－x 2+1,x ∈R}，N={y|y=x 2,x ∈R},全集I=R ，则M ∪N 等于（ ）（A ）{(x,y)|x=1,,}22y x y R ±=∈ （B ）{(x,y)|x 1,,}22y x y R ≠±≠∈（C ）{y|y ≤0,或y ≥1} （D ）{y|y<0, 或y>1}7．50名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格40人和31人,两项测试均不及格的有4人,则两项测试成≠ ≠绩都及格的人数是( )（A ）35 （B ）25 （C ）28 （D ）15 8．设x,y ∈R,A={}(,)x y y x =,B= {}(,)1y x y x=,则A 、B 间的关系为（ ）（A ）AB （B ）BA （C ）A=B （D ）A ∩B=Φ9． 设全集为R ，若M={}1x x ≥ ，N= {}05x x ≤<，则（C U M ）∪（C U N ）是（ ）（A ）{}0x x ≥ （B ） {}15x x x <≥或 （C ）{}15x x x ≤>或 （D ） {}05x x x <≥或10．已知集合{|31,},{|32,}M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈，若00,,x M y N ∈∈ 则00y x 与集合,M N 的关系是 （ ）（A ）00y x M ∈但N ∉（B ）00y x N ∈但M ∉（C ）00y x M ∉且N ∉（D ）00y x M ∈且N ∈ 11．集合U ，M ，N ，P 如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） （A ）M ∩（N ∪P ） （B ）M ∩C U （N ∪P ） （C ）M ∪C U （N ∩P ） （D ）M ∪C U （N ∪P ） 12．设I 为全集，A ⊆I,B A,则下列结论错误的是（ ）（A ）C I AC I B （B ）A ∩B=B （C ）A ∩C I B =Φ （D ） C I A ∩B=Φ二、填空题（每题3分，共12分）13．已知x ∈{1，2，x 2}，则实数x=__________．14．已知集合M={a,0}，N={1，2}，且M ∩N={1}，那么M ∪N 的真子集有 个． 15．已知A={－1，2，3，4}；B={y|y=x 2－2x+2,x ∈A},若用列举法表示集合B ，则B= ． 16．设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}2,3A B =，则称(,)A B 为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 ．（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”） 三、解答题（40分）17．（5分）已知全集U={0，1，2，…，9}，若(C U A)∩(C U B)={0，4，5}，A ∩(C U B)={1，2，8}，A ∩B={9}， 试求A ∪B ．18．（6分）设全集U=R,集合A={}14x x -<<,B={}1,y y x x A =+∈,试求C U B, A ∪B, A ∩B,A ∩(C U B), ( C U A) ∩(C U B)． 19．（6分）设集合A={x|2x 2+3px+2=0}；B={x|2x 2+x+q=0}，其中p ，q ，x ∈R ，当A ∩B={}12时，求p 的值和A ∪B ．20．（7分）设集合A={2(,)462x y y x x a=++,B={}(,)2x y y x a =+,问：(1) a 为何值时,集合A ∩B 有两个元素； (2) a 为何值时,集合A ∩B 至多有一个元素．21．（7分）已知集合A={}1234,,,a a a a ，B={}22221234,,,a a a a ，其中1234,,,a a a a 均为正整数，且1234a a a a <<<，A ∩B={a 1,a 4},a 1+a 4=10, A ∪B 的所有元素之和为124,求集合A 和B ．22．（7分）已知集合A={x|x 2－3x+2=0},B={x|x 2－ax+3a －5},若A ∩B=B ，求实数a 的值．。
集合间的基本关系
真子集:
定义：对于两个集合A、B，假如集合A 是B子集，且B中最少有一个元素不属于A, 我们称集合A是集合B真子集。
记作：A B （或B A）
∈
读作： A真包含于B（或B真包含A）。
比如：A={a,b} B={a,b,c，d}
A是B真子集：A B
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N* N Z Q R
R
Q
Z
Z N
N*
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• 判断以下说法是否正确： • 1）任何一个集合是其本身真子集；
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(3)设C={x|x是两条边相等三角
集合相等： 形}
A={1,2} BD=={1{x,2|x}是等腰三角形} 此时,集合A与集合B元素是一样,所以集 合A与集合B相等. 集合与集合相等:假如集合A是集合B子 集,且集合B是集合A子集. 记作:A=B 等价于: A B且A B
则A C
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1.判断：集合 A 是否为集合 B 子集，若是则
在（ ）打√，若不是则在（ ）打×．
（1）A＝{ 1，3，5 }， B＝{ 1，2，3，4，5，6 }； ( √ )
（2）A＝{ 1，3，5 }，B＝{ 1，3，6，9 }；
(×)
（3）A＝ { 0 }，
B＝ { x | x2＋2＝0 }；
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集合间基本关系： 对于两个集合A,B,假如集合A任意一个元素
都是集合B元素,即满足（若xA，则xB）,称集 合A为集合B子集。
记作 “ A B（或 B A ）” 读作 “A 包含于 B”（或“B 包含 A”）
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Venn图:用平面上封闭曲线内部表示集合。 对于一个非空集合A，用Venn图能够表示为：
1.3集合的基本运算(课件)高一数学(人教A版2019)
C是由既属于集合A又属于集合B的元素组成的. 称C是A和B的交集
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学习目标新知2.课交堂导集入
知识点2 交集
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
2.1定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，
叫做A和B的交集，记作A∩B，读作A交B。
2.2符号语言：A∩B={x|x∈A,且x∈B}
2.3图形语言：
值范围为
.
2.已知全集为R,集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值
范围是
.
答案 {a|a≥2}
解析 ∵B={x|1<x<2}, ∴∁RB={x|x≤1,或x≥2}. 又A={x|x<a},且A∪(∁RB)=R,利用如图所示的数轴可得a≥2.
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学习目标
课堂导入
课堂小结
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
集合的运算
1.并集
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
2.交集
A
B
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
A
AB B
AB
B
A
3.全集和补集
A
CU A
CUA={x|x∈U,且x∈A}
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学习目标
课堂导入
课后作业
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
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A
B
A
AB B
B
A
A={1,3,5}, B={2,3,5} A={1,3}, B={1,3,5} A={1,3}, B={2,5}
A∩B={3,5}
A∩B={1,3}
1.2+集合间的基本关系+课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论：
（１）任何一个集合是它本身的子集，即 A A ；
（２）对于集合 A, B,C ，如果 A B ，且 B C ，那么 A C .
（二）合作探究
问题 1 观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合 之间的关系吗？
一般地，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都 是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等，记作 A B ．也就是说，若 A B ，且 B A ， 则 A B．
为什么这里还要定义“相等”？
集合相等在前 面一节课中已
经学习过了
（二）合作探究
如果集合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A，就称集合 A 是集合 B 的
1.2 集合间的基本关系
如：方程 x2 9 0 的实数根
组成的集合.
-3, 3
如：不等式 4x 5 3 的解集.
x x 2
（一）提出问题
你认为接下来要研究哪些问题呢？用什么方法研究？
集合
含 义
（一）提出问题
你认为接下来要研究哪些问题呢？用什么方法研究？
集合
含
集合间的
集合的
基本关系
基本运算
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做 空集（emptyset），记为 .
规定： 空集是任何集合的子集
见过吗？
合理、相容、必要！
（二）合作探究 追问1 你能举出一些生活中、数学中空集的例子？
追问2 你对集合间的基本关系及空集的概念有什么体会？有什么疑问？
练习：用适当的符号填空：
பைடு நூலகம்
集合经典题型总结练习题与答案
必修一集合集合与第函数概一念章函数及其定义函数的.概念表示方法：列举法、描述法基本关系：交集、并集、补集、全集、属于基本运算交、并、补元素的概念、个数概念定义域、值域对应关系区间：闭开，半开半闭展示发放：图像法、列表增函数单调性基本性质最大、最小值定义义奇偶性；判断方法减函数第二章基本初等函指数函数互为反函数对数函数.a r a s a r s指数与指数幂的运算( a r) s a rs( ab) r a r b r整数指数幂指数幂有理数指数幂无理数指数幂定义定义域 R指数函数性性质值域（ 0,+∞）质图像过定点（ 0，1）单调性对数底数对数真数定义log a ( M N ) log a M log a N与对log a M log a M log a N数运运算N算log a MnMn log a定义定义域对数函数及性值域图象质过点（ 1， 0）性质幂函数定义单调性性质过（ 1,1）奇偶性单调性第三章函数与程函数的应用函数模型及应用.定义关系方程的根与函数的零点零点定理二分法定义用二分法求方程的近视根求根步骤几类不同增长的函数模型函数模型的应用实例建立实际问题的函数模型.集合学习过程一、复习预习考纲要求：1．理解集合的概念。
2．能在具体的数学环境中，应用集合知识。
3．特别是集合间的运算。
4．灵活应用集合知识与其它知识间的联系，集合是一种方法。
二、知识讲解1.集合的相关概念基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.常见的数集：自然数集、整数集、有理数集、实数集2集合间的关系任何一个集合是它本身的子集，记为A A；空集是任何集合的子集，记为 A ；空集是任何非空集合的真子集；n 元集的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个；非空的真子集有2n 2 个.3.集合间的运算交：AI B{ x | x A,且 x B}并：AUB{ x | x A或 x B}补： C U A{ x U ,且x A}（ 1）A A,A,A U,C U A U,包含关系：B,B C A C;AI B A,AI B B;AUB A,AUB B.A（ 2）等价关系： A B A I B A A U B B C U AUB U （ 3）集合的运算律：交换律： A B B A; A B B A.新课标第一网结合律 : (A B)C A( B C); (A B)C A(B C)分配律 :.A(BC)( A B)( A C); A( B C )( A B)(A C)三、例题精析考点一子集、真子集【例题 1】：集合{ 1,0,1}共有个子集【答案】： 8【解析】： n 元集的子集个数共有2n个，所以是8个。
1.2集合间的基本关系
小环集体备课学案：课题:集合间的基本关系主备人：课时：总课时：授课人：
教学过程：
情境设计导入新课
思路实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集
合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)
欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.
学生活动：提出问题
(1)观察下面几个例子:
①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的
集合;
③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};
④E={2,4,6},F={6,4,2}.
你能发现两个集合间有什么关系吗？
(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,
有什么区别？
(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结
论?
(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下
看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集
合,联想集合还能用什么表示？
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知A B,试用Venn图表示集合A和B的关系.
(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图。
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§2 集合的基本关系
1．下列各式中，正确的个数是（ D ）
①∅={0} ②∅⊆{0} ③∅∈{0} ④0={0} ⑤0∈{0}
⑥{1}∈{1，2，3} ⑦{1，2}⊆{1，2，3} ⑧{a ，b}⊆{a ，b}
A.1
B.2
C.3
D.4
2.集合M={x|x=m+61，m ∈Z }，N={x|x=2n -31，n ∈Z }，P={x=2
p +61，p ∈Z }，则M 、N 、P 之间的关系是( B ) A.M=N P B.M N=P C.M N P D.N P=M
3.满足条件{1}⊆A {1,3，5}的集合A 的个数是( C )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知集合A={0，2，3，4}，B={0，1，2，3}，非空集合M 满足M ⊆A 且M ⊆B ，则满足条件的集合M 的个数为( A )
A.7
B.8
C.15
D.16
5.同时满足（1）M ⊆{1，2，3，4，5}，（2）若a ∈M ，则6-a ∈M 的非空集合M 有( C )
A.32个
B.15个
C.7个
D.6个
6.已知集合A {0，1，2，3}且A 中至少有一个奇数，则这样的集合的个数为( A )
A.11
B.12
C.15
D.16
7.设M={x|x=a 2＋1，a ∈N *}，P={y|y=b 2-4b ＋5，b ∈N *}，则下列关系正确的是( B )
A.M=P
B.M P
C.P M
D.M 与P 没有公共元素
8.设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则( B )
A.M ∩N=∅
B.M ∩N=M
C.M ∪N=M
D.M ∪N=R
9.已知集合A={x|x 2-2x-3=0}，集合B={x|ax-1=0}.若B 是A 的真子集，则a 的值为___10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
______. 10.已知集合M={x|x=
2k +4
1，k ∈Z }，N={x|x=4k +21，k ∈Z }，则M_________N. 11.在平面直角坐标系中，集合C={（x ，y ）|y=x}表示直线y=x ，从这个角度看， 集合D={（x ，y ）|⎩
⎨⎧=+=-5412y x y x }表示直线2x-y=1和直线x+4y=5的交集，则集合C 、D 之间的关系为_D C ________，用几何语言描述这种关系为___点D 在直线y x =上______.
12.定义集合A *B={x|x ∈A 且x ∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则
（1）A *B 的子集为____∅，__{}1_____{}7____{}1,7____________；
（2）A *（A *B ）=_________{}3,5__________________.
13.已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，且A M⊆B，写出满足上述条件的集合M. {}
1,2,3,5，{}
1,2,3,4,5
1,2,4,5，{}
1,2,3,4，{}
1,2,5，{}
1,2,3，{}
1,2,4，{}
14.已知A={x｜-3≤x≤4}，B={x｜2m-1≤x≤m+1}，且B⊆A，求实数m的取值范围. {}1
m m≥-。