2运动定律力学中的守恒定律
运动学中的牛顿第二定律和动量守恒
运动学中的牛顿第二定律和动量守恒运动学是物理学中的重要分支，其研究对象是物体的运动规律。
在物体运动中，往往受到各种力的作用，而力的作用会导致物体的加速度发生改变，牛顿第二定律正是描述了这一过程。
另外，为了更好地解释物体在运动过程中的变化，动量守恒原理也是必备的知识。
一、牛顿第二定律牛顿第二定律，也称为力学基本定律，是经典力学中最基本的定律之一。
其表述为：任何物体的加速度，都与作用在该物体上的总力成正比，与物体的质量成反比。
其数学表达式为F=ma，其中，F代表物体所受的总力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
牛顿第二定律的意义在于揭示了力与加速度之间的本质联系，即力是决定物体运动状态的关键因素之一。
通过对物体所受力的分析，可以推断出物体受力后的加速度变化情况，从而预测物体在未来的运动状态。
二、动量守恒动量守恒原理是指在一个孤立系统中，系统的总动量守恒不变。
其中所谓的孤立系统，是指除系统内部的物体之外，不受外界其他物体的干扰和影响。
这意味着，系统内部各个物体的动量之和，在任何时刻都不会改变。
动量守恒原理的实质是基于动量的守恒性质进行推导的。
动量，是一个物体的运动量，它的大小与物体的质量和速度有关。
例如，一个质量为m，速度为v的物体，其动量为p=mv。
在一个系统中存在多个物体时，系统的总动量就是各个物体动量的代数和，即P=Σp。
动量守恒原理的应用范围非常广泛。
例如在弹球撞击、爆炸等过程中，可以通过动量守恒原理推导出撞击后物体的速度和方向变化；在行星运动等天文学问题中，也能够应用到动量守恒原理，推导出天体的轨道变化等。
三、牛顿第二定律和动量守恒的联系牛顿第二定律和动量守恒原理，是经典力学中的两个基本定律，它们之间存在着紧密的联系。
一方面，牛顿第二定律揭示了力与加速度之间的关系，而力又与动量变化有密切的联系。
这意味着，如果我们知道物体所受的力，就可以通过牛顿第二定律推导出物体的加速度变化，从而确定物体动量的变化情况。
力学的守恒定律
d( mivix ) Fixdt
直角坐标系：
i
i
d( miviy ) Fiydt
i
i
d( miviz ) Fizdt
在有限时间内：
i
i
mivi mivi0
i
i
i
t
t
t0 Fidt
(
t0
i
Fi )dt
（质点系动量定理的积分形式）
px px0
Iix
p p0 Ii
16
j
,开始时质点位于坐标原点。
求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
解
(1)求力
Fx
m dv x dt
80t
(2)求dx
vx
dx dt
4t 2
Fy
m dv y dt
0
dx 4t2dt
(3)求时间的变化范围
vy
dy dt
16
y 16t
y 16时 t 1 y 32时 t 2
N
N gdm vdt v v 2 2m(l h)g
dt
L
gdm
地面受力
F
N 'ml
g
m L
(3l
2h)g
3.1.2 质点系的动量定理
t 时刻质点系的动量
以两个 质点为例
P
mivi
i
m1
v1
m2
v2 v4
m4
d(m1v1) (F1 f12 )dt
d(m2v 2
)
(F2
f21)dt
则铁链滑离桌面时，重力作的功
y
A
dA
l l 2
力学量守恒的条件
力学量守恒的条件
力学中的三大能量守恒定律包括动能定理、机械能守恒定律及功能原理，它们各自有不同的条件。
1. 动能定理的条件是外力对物体所做的合功，等于物体的动能增长量。
这个定理研究的对象是单位物体或者物体系，使用的条件是在同一个惯性参照系中有速度和位移变化。
2. 机械能守恒定律的条件是在只有重力和弹力做功的物体系内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能则保持不变。
这个定律研究的对象是物体系统，使用条件是物体重力和弹力做功。
3. 功能原理的条件是除了重力和弹力之外，其他外力做的功和内力做的代数和等于系统机械能增加量。
这个原理研究的对象是单个物体或物体系，使用条件是不计重力和弹力做的功，只计系统内其他外力和内力做的功。
以上内容仅供参考，如需更专业的解释，可查阅相关力学书籍或咨询专业物理学家。
2020年高中物理竞赛(力学篇)02运动、力学定律：对称性和守恒定律(共20张PPT)
r
U
f AB
(r)
r
B B B
U U
fBA f AB
A r A A
三、时间平移对称性与机械能守恒律
时间平移的对称性意味着时间的均匀性，表示系统 的势函数与时间无关，这将导致能量守恒。
讨论一维情况： EP x, t t E p( x, t)
对两个粒子的保守系统有：
EP x1, x2, t t Ep(x1, x2, t)
用泰勒级数展开
EP x1,
x2, t
t
E p ( x1 ,
x2, t)
EP t
t
高次项
EP x1,
x2, t
t
E p ( x1 ,
x2, t)
E P t
t
高次项
上式中必有：EP 0 t
考虑动能和势能可推导出
dEP 0 dt
E 常数
如果系统对于时间平移是对称的，那么系统
的能量一定守恒。——能量守恒定律
x r sin cos y r sin sin z r cos
o
r
P
x
m
2x t 2
E p x
m
2 y t 2
E p y
y
EP
t
Lz
m
2z t 2
E p z
Ep具有旋转不变性，即与φ无关
EP 0
t Lz 0
Lz 常量
空间旋转对称性意味着空间旋转一个角度，系
统势函数保持不变，必然导致角动量守恒。
系统
外界
孤立系统 封闭系统 开放系统
n
外力 F Fi
i1
· ·i · ·
内力 fij f ji
大学物理上册-课后习题答案全解
第一章 质点运动学1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x (t ) = 6t 2 - 2t 3．试求： （1）第2s 内的位移和平均速度；（2）1s 末及2s 末的瞬时速度，第2s 内的路程； （3）1s 末的瞬时加速度和第2s 内的平均加速度．[解答]（1）质点在第1s 末的位置为：x (1) = 6×12 - 2×13= 4(m)．在第2s 末的位置为：x (2) = 6×22 - 2×23= 8(m)． 在第2s 内的位移大小为：Δx = x (2) – x (1) = 4(m)，经过的时间为Δt = 1s ，所以平均速度大小为：=Δx /Δt = 4(m·s -1)．（2）质点的瞬时速度大小为：v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2，因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1)，v (2) = 12×2 - 6×22 = 0质点在第2s 内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m ． （3）质点的瞬时加速度大小为：a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ，因此1s 末的瞬时加速度为：a (1) = 12 - 12×1 = 0，第2s 内的平均加速度为：= [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2)．[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s 内走过路程s = 30m ，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为，并由上述资料求出量值．[证明]依题意得v t = nv o ，根据速度公式v t = v o + at ，得a = (n – 1)v o /t ， (1)根据速度与位移的关系式v t 2 = v o 2+ 2as ，得 a = (n 2 – 1)v o 2/2s ，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：．计算得加速度为：= (m·s -2)．1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成°的夹角的初速度65m·s -1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m ，忽略空气阻力，且取g = 10m·s -2．问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ [解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为v y 0 = v 0sin θ = (m·s -1)．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式v t - v 0 = at ，这里的v 0就是v y 0，a = -g ；当人达到最高点时，v t = 0，所以上升到最高点的时间为t 1 = v y 0/g = (s)．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：v t 2 - v 02= 2a s ，可得上升的最大高度为：h 1 = v y 02/2g = (m)．人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h 2 = h 1 + h = (m)．根据自由落体运动公式s = gt 2/2，得下落的时间为:= (s)． 因此人飞越的时间为：t = t 1 + t 2 = (s)．人飞越的水平速度为;v x 0 = v 0cos θ = (m·s -1)， 所以矿坑的宽度为：x = v x 0t = (m)．（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：v y = gt = (m·s -1)，落地速度为：v = (v x 2 + v y 2)1/2 = (m·s -1)，与水平方向的夹角为：φ = arctan(v y /v x ) = º，方向斜向下．方法二：一步法．取向上为正，人在竖直方向的位移为y = v y 0t - gt 2/2，移项得时间的一元二次方程图，解得：．这里y = -70m，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t= (s)．由此可以求解其它问题．1．4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v/d t = -kv2，k为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．[证明]（1）分离变数得，故，可得：．（2）公式可化为，由于v = d x/d t，所以：积分．因此．证毕．[讨论]当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．由于a = d2x/d t2，而 d x/d t = v，a = d v/d t，分离变数得方程：，解方程即可求解．在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则d v/d t = -kv n．（1）如果n = 1，则得，积分得ln v = -kt + C．当t = 0时，v = v0，所以C = ln v0，因此ln v/v0 = -kt，得速度为：v = v0e-kt．而d v = v0e-kt d t，积分得：．当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此．（2）如果n≠1，则得，积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此．如果n = 2，就是本题的结果．如果n≠2，可得，读者不妨自证．1．5 一质点沿半径为的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？[解答]（1）角速度为ω = dθ/d t = 12t2= 48(rad·s-1)，法向加速度为a n= rω2= (m·s-2)；角加速度为β = dω/d t = 24t= 48(rad·s-2)，切向加速度为a t= rβ = (m·s-2)．（2）总加速度为a = (a t2 + a n2)1/2，当a t = a/2时，有4a t2 = a t2 + a n2，即．由此得，即，解得．所以 =(rad)．（3）当a t = a n时，可得rβ= rω2，即： 24t = (12t2)2，解得：t = (1/6)1/3 = (s)．1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s -1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m·s -2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v 0x = v 0cos θ， v 0y = v 0sin θ．加速度的大小为a x = a cos α， a y = a sin α．运动方程为， ． 即 ，．令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t = 0（舍去）；(s)． 将t 代入x 的方程求得x = 9000m ．[注意]选择不同的坐标系，如x 方向沿着a 的方向或者沿着v 0的方向，也能求出相同的结果．1．7 一个半径为R = 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A ．在重力作用下，物体A 从静止开始匀加速地下降，在Δt = 内下降的距离h = ．求物体开始下降后3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A 下落加速度．由于，所以a t = 2h /Δt 2 = (m·s -2)．物体下降3s 末的速度为v = a t t = (m·s -1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= (m·s -2)．1．8 一升降机以加速度·s -2上升，当上升速度为·s -1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距．计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；螺帽做竖直上抛运动，位移为． 由题意得h = h 1 - h 2，所以， 解得时间为= (s)．算得h 2 = ，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为．[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g ，而初速度为零，可列方程h = (a + g )t 2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．1．9 有一架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处．已知气流相对于地面的速度为u ，AB 之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v 保持不变．（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为； （2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为； （3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为． [证明]（1）飞机飞行来回的速率为v ，路程为2l ，所以飞行时间为t 0 = 2l /v ．（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u ，向西飞行逆风的速率为v - u ，所以飞行时间为 ．（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB 之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作向量三角形，其中沿AB 方向的速度大小为，所以飞行时间为． 证毕．图A B AB v v + uv - u A Bv u u vv1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v 1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v 2．今在车后放一长方形物体，问车速v 1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作向量三角形．根据题意得tan α = l/h ．方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得v 1 = v 2sin θ + v 3sin α，其中v 3 = v ⊥/cos α，而v ⊥ = v 2cos θ， 因此v 1 = v 2sin θ + v 2cos θsin α/cos α， 即 ． 证毕．方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得，所以：，即 ． 方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t 时间内，雨滴的位移为l = (v 1 – v 2sin θ)t ， h = v 2cos θ∙t ．两式消去时间t 即得所求． 证毕．第二章 运动定律与力学中的守恒定律(一) 牛顿运动定律2．1 一个重量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．[解答]质点在斜上运动的加速度为a = g sin α，方向与初速度方向垂直．其运动方程为x = v 0t ，．将t = x/v 0，代入后一方程得质点的轨道方程为，这是抛物线方程．2．2 桌上有一质量M = 1kg 的平板，板上放一品质m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = ，静摩擦因素为μs = ．求：（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1m·s -2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力：N m = mg = (N)， 这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：f m = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于其重力：N M = (m + M )g = (N)， 这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：f M = μk N M = (N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为图1h lα图 mf =μs mg = ma`，可得 a` =μs g ．板的运动方程为F – f – μk (m + M )g = Ma`， 即 F = f + Ma` + μk (m + M )g= (μs + μk )(m + M )g ，算得 F = (N)．因此要将板从物体下面抽出，至少需要的力．2．3 如图所示：已知F = 4N ，m 1 = ，m 2 = ，两物体与水平面的的摩擦因素匀为．求质量为m 2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮品质均不计）[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a 2 = 2a 1，而力的关系为T 1 = 2T 2． 对两物体列运动方程得T 2 - μm 2g = m 2a 2， F – T 1 – μm 1g = m 1a 1． 可以解得m 2的加速度为 = (m·s -2)，绳对它的拉力为= (N)．2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k 1和k 2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k 与k 1和k 2．满足关系关系式； （2）它们并联起来时，总倔强系数k = k 1 + k 2．[解答]当力F 将弹簧共拉长x 时，有F = kx ，其中k 为总倔强系数．两个弹簧分别拉长x 1和x 2，产生的弹力分别为 F 1 = k 1x 1，F 2 = k 2x 2． （1）由于弹簧串联，所以F = F 1 = F 2，x = x 1 + x 2， 因此 ，即：． （2）由于弹簧并联，所以F = F 1 + F 2，x = x 1 = x 2， 因此 kx = k 1x 1 + k 2x 2， 即：k = k 1 + k 2．2．5 如图所示，质量为m 的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T ．（1）小车沿水平线作匀速运动； （2）小车以加速度沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角； （4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b 1 = b ）； （5）以同样大小的加速度（b 2 = b ），将小车从斜面上推下来．[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg ．（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于tan θ = ma/mg ， 所以 θ = arctan(a/g )； 绳子张力等于摆所受的拉力 ：．（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以θ = φ； T = mg cos φ．（4）根据题意作力的向量图，将竖直虚线延长， 与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ是mb cos φ，邻边是mg + mb sin φ，由此可得： ， 12图 2 图 （2）因此角度为； 而张力为 ．（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b 改为-b 就行了．2．6 如图所示：质量为m =的小球，拴在长度l =的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求： （1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？ （2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v 与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？ （3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mg sin θ，负号表示角度θ增加的方向为正方向． 小球的运动方程为，其中s 表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为 ， 因此 ， 即 v d v = -gl sin θd θ， （1） 取积分 ， 得 ，解得：= (m·s -1)． 由于：， 所以T B = 2mg = (N)． （2）由（1）式积分得 ，当 θ = 60º时，v C = 0，所以C = -lg /2， 因此速度为．切向加速度为a t = g sin θ；法向加速度为 ．由于T C – mg cos θ = ma n ，所以张力为T C = mg cos θ + ma n = mg (3cos θ – 1)． （3）当 θ = 60º时，切向加速度为= (m·s -2)，法向加速度为 a n = 0，绳子的拉力T = mg /2 = (N)．[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h 高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则F = mg cos θ．小球的运动方程为，s 表示弧长．由于，所以，图图因此v d v = g cosθd s= g d h，h表示石下落的高度．积分得，当h = 0时，v = 0，所以C = 0，因此速率为．2．8质量为m的物体，最初静止于x0，在力(k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x– 1/x0)/m]1/2．[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程利用v = d x/d t，可得，因此方程变为，积分得．利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此，即．证毕．[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mv d v = f(x)d x，积分即可求解．如果f(x) = -k/x n，则得．（1）当n = 1时，可得利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = ln x0，因此，即．（2）如果n≠1，可得．利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，因此，即．当n = 2时，即证明了本题的结果．2．9一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的时间T．[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程，分离变数得，积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此，小球速率随时间的变化关系为．（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为．[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：由于v = d x/d t，所以，即，积分得，当t = 0时，x = 0，所以，因此 ．（2）如果小球以v 0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为 ，用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为．这个公式可将上面公式中的g 改为-g 得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数v m = mg/k ．2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R ．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因子为μk ．设物体在某时刻经A 点时速率为v 0，求此后时刻t 物体的速率以及从A 点开始所经过的路程．[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 N = mv 2/R ．物体所受的摩擦力为f = -μk N ，负号表示力的方向与速度的方向相反．根据牛顿第二定律得， 即 ： ．积分得：．当t = 0时，v = v 0，所以， 因此 ．解得 ．由于 ， 积分得，当t = 0时，x = x 0，所以C = 0，因此．2．11 如图所示，一半径为R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mg tg θ．珠子做圆周运动的半径为r = R sin θ．根据向心力公式得F = mg tg θ = mω2R sin θ，可得，解得 ．(二)力学中的守恒定律2．12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx ，而位移x = A cos ωt ，其中k ，A 和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得d I = F d t = -kA cos ωt d t ，积分得冲量为 ， 方法二：利用动量定理．小球的速度为v = d x/d t = -ωA sin ωt ， 设小球的品质为m ，其初动量为p 1 = mv 1 = 0， 末动量为p 2 = mv 2 = -mωA ，图小球获得的冲量为I = p 2 – p 1 = -mωA ，可以证明k =mω2，因此I = -kA /ω．2．13一个质量m = 50g ，以速率的v = 20m·s -1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？[解答]小球动量的大小为p = mv ，但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义得：， 由此可作向量三角形，可得：．因此向心力给予小球的的冲量大小为= (N·s)． [注意]质点向心力大小为F = mv 2/R ，方向是指向圆心的，其方向在 不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量．假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R 运动，拉力的大小就是向心力 F = mv 2/R = mωv ， 其分量大小分别为 F x = F cos θ = F cos ωt ，F y = F sin θ = F sin ωt ，给小球的冲量大小为 d I x = F x d t = F cos ωt d t ，d I y = F y d t = F sin ωt d t ， 积分得，，合冲量为，与前面计算结果相同，但过程要复杂一些．2．14 用棒打击质量，速率等于20m·s -1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m 的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为，求球受到的平均冲力？[解答]球上升初速度为= 14(m·s -1)，其速度的增量为= (m·s -1)．棒给球冲量为I = m Δv = (N·s)，对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = (N)． 2．15 如图所示，三个物体A 、B 、C ，每个品质都为M ，B 和C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为的细绳，首先放松．B 的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A 相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A 和B 起动后，经多长时间C 也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s -2）[解答]物体A 受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg – T = Ma ，物体B 在没有拉物体C 之前在拉力T 作用下做加速运动， 加速度大小为a ，可列方程：T = Ma ，联立方程可得：a = g/2 = 5(m·s -2)． 根据运动学公式：s = v 0t + at 2/2， 可得B 拉C 之前的运动时间；= (s)．此时B 的速度大小为：v = at = 2(m·s -1)．v x Δv v y物体A 跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A 和B 拉动C 运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv = 3Mv`，因此C 开始运动的速度为：v` = 2v /3 = (m·s -1)．2．16 一炮弹以速率v 0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？[解答] 炮弹在最高点的速度大小为v = v 0cos θ，方向沿水平方向． 根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的 总动量，可作向量三角形，列方程得， 所以 v` = v /cos45° = ．2．17 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R ．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的品质为m ，它与路面的滑动摩擦因子为μk ．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为d s = R d θ．重力的大小为：G = mg ，方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为，积分得重力所做的功为． 摩擦力的大小为：f = μk N = μk mg cos θ，方向与弧位移的方向相反，所做的功元为，积分得摩擦力所做的功为．要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即 ， 或者 ． 拉力的功元为：， 拉力所做的功为．由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．2．18 一品质为m 的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动．设质点最初的速率是v 0，当它运动1周时，其速率变为v 0/2，求：（1）摩擦力所做的功； （2）滑动摩擦因子；（3）在静止以前质点运动了多少圈？[解答] （1）质点的初动能为：E 1 = mv 02/2，末动能为：E 2 = mv 2/2 = mv 02/8，动能的增量为：ΔE k = E 2 – E 1 = -3mv 02/8， 这就是摩擦力所做的功W ．（2）由于d W = -f d s = -μk N d s = -μk mgr d θ，积分得： ．图由于W = ΔE ，可得滑动摩擦因子为．（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为：a t = f/m = -μk g ，根据公式v t 2 – v o 2= 2a t s ，可得质点运动的弧长为，圈数为 n = s/2πr = 4/3．[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量：-fs = ΔE k ， 可得 s = -ΔE k /f ，由此也能计算弧长和圈数。
2 运动定律 动量 动能定理 能量守恒
v2
30o
45o
n
v1
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
解：取挡板和球为研究对象，由于作用时
y
间力很为短F，则忽有略：重I力 影响F。d t设 挡m 板v2 对 m球v的1 冲
O
取坐标系，将上式投影，有：
v2
30o 45o x n
I x Fx d t m v2 co s 3 0 0 ( m v1 co s 4 5 0 ) Fx t
二 质点系的动量定理和质心定理
1、质点系的动量
• 由N个质点构成的质点系：
对每一个质点，则有
F1
1 j
f1 j
dp1 dt
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
Fi
ij f ij ddpti
将它们相加
N N
N
N
dpi d pi
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
(3)矢量性的理解：矢量表达式，力与加速度都是矢量，二者 方向相同，满足叠加原理。
叠加原理：几个力同时作用在一个物体上，物体产生的加
速度等于每个力单独作用时产生的加速度的叠加。
F
m a
m
dv
m
d
2
r
dt dt 2
F
maF1 imFa12
vdv gl sind
v
积分
vdv gl sind
v0
0
得
v v02 2gl(cos 1) (4)
把上式代入式（2）得：FT
动量守恒定律的三个条件
动量守恒定律的三个条件一、动量的概念和计算方法动量是物体运动状态的量度，表示物体运动的力度和快慢。
简单来说，动量是一个物体的质量与速度的乘积。
动量的计算公式为：动量 = 物体的质量× 物体的速度p = m × v其中，p表示动量，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
二、动量守恒定律的定义动量守恒定律是力学中的重要定律之一，它表明在没有外力作用的情况下，系统的总动量保持不变。
即在一个孤立系统中，如果没有外力作用于系统，系统的总动量在时间上保持不变。
三、动量守恒定律的三个条件动量守恒定律的成立需要满足以下三个条件：1. 孤立系统动量守恒定律只适用于孤立系统，也就是说系统与外界没有物质和能量的交换。
在没有外力作用的情况下，系统的总动量才会保持不变。
如果系统受到外力的作用，外力会改变系统的总动量，动量守恒定律就不成立了。
2. 内部无相互作用力或内部力相互抵消这个条件是指系统内部的物体之间不能有相互作用力，或者说内部作用力相互抵消。
如果系统内部的物体之间有相互作用力，这些力会改变物体的运动状态，从而导致动量的改变，动量守恒定律就无法成立。
3. 外力为零或外力合力为零动量守恒定律还要求外力为零或外力合力为零。
外力为零意味着在动量守恒过程中没有外力作用于系统，系统的总动量始终保持不变。
外力合力为零意味着虽然系统受到外力的作用，但外力的合力为零，不会对系统的总动量产生影响。
结论动量守恒定律是力学中的重要定律，它表明在没有外力作用的孤立系统中，系统的总动量保持不变。
动量守恒定律的成立需要满足三个条件：孤立系统、内部无相互作用力或内部力相互抵消、外力为零或外力合力为零。
只有在满足这些条件的情况下，动量守恒定律才能有效应用。
大学物理上册(湖南大学出版社-陈曙光)-课后习题答案全解
大学物理上册课后习题答案第一章 质点运动学1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x (t ) = 6t 2 - 2t 3．试求： （1）第2s 内的位移和平均速度；（2）1s 末及2s 末的瞬时速度，第2s 内的路程； （3）1s 末的瞬时加速度和第2s 内的平均加速度．[解答]（1）质点在第1s 末的位置为：x (1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．在第2s 末的位置为：x (2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)． 在第2s 内的位移大小为：Δx = x (2) – x (1) = 4(m)，经过的时间为Δt = 1s ，所以平均速度大小为：v =Δx /Δt = 4(m·s -1)． （2）质点的瞬时速度大小为：v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2，因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1)，v (2) = 12×2 - 6×22 = 0质点在第2s 内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m ． （3）质点的瞬时加速度大小为：a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ，因此1s 末的瞬时加速度为：a (1) = 12 - 12×1 = 0，第2s 内的平均加速度为：a = [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2)．[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s 内走过路程s = 30m ，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为22(1)(1)n sa n t -=+，并由上述资料求出量值．[证明]依题意得v t = nv o ，根据速度公式v t = v o + at ，得a = (n – 1)v o /t ， (1)根据速度与位移的关系式v t 2 = v o 2 + 2as ，得 a = (n 2 – 1)v o 2/2s ，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：22(1)(1)n sa n t -=+．计算得加速度为：22(51)30(51)10a -=+= 0.4(m·s -2)．1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s -1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m ，忽略空气阻力，且取g = 10m·s -2．问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ [解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为v y 0 = v 0sin θ = 24.87(m·s -1)．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式v t - v 0 = at ，这里的v 0就是v y 0，a = -g ；当人达到最高点时，v t = 0，所以上升到最高点的时间为t 1 = v y 0/g = 2.49(s)．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：v t 2 - v 02 = 2a s ， 可得上升的最大高度为：h 1 = v y 02/2g = 30.94(m)．人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h 2 = h 1 + h = 100.94(m)． 根据自由落体运动公式s = gt 2/2，得下落的时间为:2t =． 因此人飞越的时间为：t = t 1 + t 2 = 6.98(s)．图1.3人飞越的水平速度为;v x 0 = v 0cos θ = 60.05(m·s -1)， 所以矿坑的宽度为：x = v x 0t = 419.19(m)．（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：v y = gt = 69.8(m·s -1)， 落地速度为：v = (v x 2 + v y 2)1/2 = 92.08(m·s -1)， 与水平方向的夹角为：φ = arctan(v y /v x ) = 49.30º，方向斜向下．方法二：一步法．取向上为正，人在竖直方向的位移为y = v y 0t - gt 2/2，移项得时间的一元二次方程201sin 02gt v t y θ-+=，解得：0(sin t v g θ=．这里y = -70m ，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t = 6.98(s)．由此可以求解其它问题．1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v /d t = -kv 2，k 为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在t 时刻的速度大小为011kt v v =+； （2）试证在时间t 内，船行驶的距离为01ln(1)x v kt k =+． [证明]（1）分离变数得2d d vk t v =-， 故 020d d v t v v k t v =-⎰⎰，可得：011kt v v =+． （2）公式可化为001v v v kt=+，由于v = d x/d t ，所以：00001d d d(1)1(1)v x t v kt v kt k v kt ==+++ 积分00001d d(1)(1)x tx v kt k v kt =++⎰⎰．因此 01ln(1)x v kt k=+． 证毕．[讨论]当力是速度的函数时，即f = f (v )，根据牛顿第二定律得f = ma ． 由于a = d 2x /d t 2， 而 d x /d t = v ， a = d v /d t ， 分离变数得方程：d d ()m vt f v =， 解方程即可求解．在本题中，k 已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n 次方成正比，则d v /d t = -kv n ．（1）如果n = 1，则得d d vk t v=-， 积分得ln v = -kt + C ．当t = 0时，v = v 0，所以C = ln v 0， 因此ln v/v 0 = -kt ，得速度为 ：v = v 0e -kt ．而d v = v 0e -kt d t ，积分得：0e `ktv x C k-=+-． 当t = 0时，x = 0，所以C` = v 0/k ，因此0(1-e )kt vx k -=．（2）如果n ≠1，则得d d n vk t v=-，积分得11n v kt C n -=-+-． 当t = 0时，v = v 0，所以101n v C n -=-，因此11011(1)n n n kt v v --=+-． 如果n = 2，就是本题的结果．如果n ≠2，可得1(2)/(1)020{[1(1)]1}(2)n n n n n v kt x n v k----+--=-，读者不妨自证．1．5 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t 3．求：（1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？ [解答]（1）角速度为ω = d θ/d t = 12t 2 = 48(rad·s -1)，法向加速度为 a n = rω2 = 230.4(m·s -2)； 角加速度为 β = d ω/d t = 24t = 48(rad·s -2)， 切向加速度为 a t = rβ = 4.8(m·s -2)． （2）总加速度为a = (a t 2 + a n 2)1/2，当a t = a /2时，有4a t 2 = a t 2 + a n 2，即n a a =．由此得2r r ω=22(12)24t =解得36t =．所以3242(13)t θ=+=+=3.154(rad)．（3）当a t = a n 时，可得rβ = rω2， 即： 24t = (12t 2)2，解得 ： t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s -1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为am·s -2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为 v 0x = v 0cos θ， v 0y = v 0sin θ．加速度的大小为a x = a cos α， a y = a sin α． 运动方程为2012x x x v t a t =+， 2012y y y v t a t =-+． 即 201cos cos 2x v t a t θα=⋅+⋅，201sin sin 2y v t a t θα=-⋅+⋅．令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t = 0（舍去）；02sin sin v t a θα==．将t 代入x 的方程求得x = 9000m ．v[注意]选择不同的坐标系，如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．1．7一个半径为R= 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt = 2.0s内下降的距离h = 0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．由于212th a t=∆，所以a t = 2h/Δt2 = 0.2(m·s-2)．物体下降3s末的速度为v = a t t = 0.6(m·s-1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为2nvaR== 0.36(m·s-2)．1．8一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为21012h v t at=+；螺帽做竖直上抛运动，位移为22012h v t gt=-．由题意得h = h1 - h2，所以21()2h a g t=+，解得时间为t=．算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程h = (a + g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．1．9 有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变．（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为2ltv=；（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为01221/ttu v=-；（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为2t=．[证明]（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v．（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所以飞行时间为1222l l vltv u v u v u=+=+--022222/1/1/tl vu v u v==--．（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作向量三角形，其中沿AB方向的速度大小为V=，所以飞行时间为图1.7A BA Bvv + uv - uA Bv uuvv22l t V ==== 证毕．1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v 1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v 2．今在车后放一长方形物体，问车速v 1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？[解答]雨对地的速度2v 等于雨对车的速度3v 加车对地的速度1v ，由此可作向量三角形．根据题意得tan α = l/h ．方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得v 1 = v 2sin θ + v 3sin α，其中v 3 = v ⊥/cos α，而v ⊥ = v 2cos θ， 因此v 1 = v 2sin θ + v 2cos θsin α/cos α， 即 12(sin cos )lv v hθθ=+． 证毕． 方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得12sin()sin(90)v v θαα=+︒-，所以：12sin()cos v v θαα+=2sin cos cos sin cos v θαθαα+=2(sin cos tan )v θθα=+，即 12(sin cos )lv v hθθ=+． 方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t 时间内，雨滴的位移为l = (v 1 – v 2sin θ)t ， h = v 2cos θ∙t ．两式消去时间t 即得所求． 证毕．第二章 运动定律与力学中的守恒定律(一) 牛顿运动定律 2．1 一个重量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平约AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．[解答]质点在斜上运动的加速度为a = g sin α，方向与初速度方向垂直．其运动方程为 x = v 0t ，2211sin 22y at g t α==⋅．将t = x/v 0，代入后一方程得质点的轨道方程为22sin g y x v α=，这是抛物线方程．2．2 桌上有一质量M = 1kg 的平板，板上放一品质m = 2kg 的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：（1）今以水平力F 拉板，使两者一起以a = 1m·s -2的加速度运动，试计算物体与板、图1.101h lα图2.1与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力：N m = mg = 19.6(N)， 这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：f m = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于其重力：N M = (m + M )g = 29.4(N)， 这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：f M = μk N M = 7.35(N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为 f =μs mg = ma`，可得 a` =μs g ．板的运动方程为F – f – μk (m + M )g = Ma`， 即 F = f + Ma` + μk (m + M )g= (μs + μk )(m + M )g ，算得 F = 16.17(N)．因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N 的力．2．3 如图所示：已知F = 4N ，m 1 = 0.3kg ，m 2 = 0.2kg ，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m 2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮品质均不计）[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a 2 = 2a 1，而力的关系为T 1 = 2T 2． 对两物体列运动方程得T 2 - μm 2g = m 2a 2， F – T 1 – μm 1g = m 1a 1． 可以解得m 2的加速度为 12212(2)/22F m m ga m m μ-+=+= 4.78(m·s -2)，绳对它的拉力为2112(/2)/22m T F m g m m μ=-+= 1.35(N)．2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k 1和k 2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k 与k 1和k 2．满足关系关系式12111k k k =+； （2）它们并联起来时，总倔强系数k = k 1 + k 2．[解答]当力F 将弹簧共拉长x 时，有F = kx ，其中k 为总倔强系数．两个弹簧分别拉长x 1和x 2，产生的弹力分别为 F 1 = k 1x 1，F 2 = k 2x 2． （1）由于弹簧串联，所以F = F 1 = F 2，x = x 1 + x 2， 因此 1212F F F kk k =+，即：12111k k k =+． （2）由于弹簧并联，所以F = F 1 + F 2，x = x 1 = x 2，因此 kx = k 1x 1 + k 2x 2， 即：k = k 1 + k 2．2．5 如图所示，质量为m 的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆12图2.32 图2.4线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T ．（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度1a 沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角； （4）用与斜面平行的加速度1b 把小车沿斜面往上推（设b 1 = b ）； （5）以同样大小的加速度2b （b 2 = b ），将小车从斜面上推下来．[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg ．（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于tan θ = ma/mg ， 所以 θ = arctan(a/g )；绳子张力等于摆所受的拉力：T ==．（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力， 合力沿斜面向下，所以θ = φ； T = mg cos φ．（4）根据题意作力的向量图，将竖直虚线延长， 与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边 是mb cos φ，邻边是mg + mb sin φ，由此可得：cos tan sin mb mg mb ϕθϕ=+，因此角度为cos arctansin b g b ϕθϕ=+；而张力为T ==．（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b 改为-b 就行了．2．6 如图所示：质量为m =0.10kg 的小球，拴在长度l =0.5m 的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？（2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v 与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？ （3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？ [解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mg sin θ，负号表示角度θ增加的方向为正方向．小球的运动方程为 22d d s F ma m t ==，其中s 表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为d d d d s v l t t θ==，因此（2）图2.6d d d d d d d d v v m v F mm v t t l θθθ===，即 v d v = -gl sin θd θ， （1） 取积分60d sin d Bv v v gl θθ︒=-⎰⎰，得2601cos 2B v gl θ︒=，解得：B v =s -1)．由于：22B BB v v T mg m m mgR l -===，所以T B = 2mg = 1.96(N)．（2）由（1）式积分得21cos 2C v gl C θ=+，当 θ = 60º时，v C = 0，所以C = -lg /2，因此速度为C v =切向加速度为a t = g sin θ；法向加速度为2(2cos 1)Cn v a g R θ==-．由于T C – mg cos θ = ma n ，所以张力为T C = mg cos θ + ma n = mg (3cos θ – 1)． （3）当 θ = 60º时，切向加速度为2t a g== 8.49(m·s -2)，法向加速度为 a n = 0，绳子的拉力T = mg /2 = 0.49(N)．[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h 高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则F = mg cos θ．小球的运动方程为22d d sF ma m t ==，s 表示弧长．由于d d s v t =，所以 22d d d d d d d ()d d d d d d d s s v v s v v t t t t s t s ====，因此 v d v = g cos θd s = g d h ，h 表示石下落的高度．积分得 212v gh C=+，当h = 0时，v = 0，所以C = 0，因此速率为v =图2.72．8 质量为m 的物体，最初静止于x 0，在力2kf x =-(k 为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x 处的速度大小v = [2k (1/x – 1/x 0)/m ]1/2．[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程222d d k xf ma m x t =-==利用v = d x/d t ，可得22d d d d d d d d d d x v x v v v t t t x x ===，因此方程变为2d d k xmv v x =-，积分得212k mv Cx =+．利用初始条件，当x = x 0时，v = 0，所以C = -k /x 0，因此2012k kmv x x =-，即v =证毕．[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f (x )，利用变换可得方程：mv d v = f (x )d x ，积分即可求解．如果f (x ) = -k/x n ，则得21d 2nx mv k x =-⎰． （1）当n = 1时，可得21ln 2mv k x C=-+利用初始条件x = x 0时，v = 0，所以C = ln x 0，因此 21ln 2x mv k x =， 即v =． （2）如果n ≠1，可得21121n k mv x C n -=-+-．利用初始条件x = x 0时，v = 0，所以101nk C x n -=--， 因此 2110111()21n n k mv n x x --=--， 即v =当n = 2时，即证明了本题的结果．2．9 一质量为m 的小球以速率v 0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k ．求：（1）小球速率随时间的变化关系v (t )； （2）小球上升到最大高度所花的时间T ．[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程d d v f mg kv mt =--=，分离变数得d d()d v m mg kv t m mg kv k mg kv +=-=-++， 积分得ln ()mt mg kv C k =-++．当t = 0时，v = v 0，所以0ln ()mC mg kv k =+，因此00/ln ln/m mg kv m mg k v t k mg kv k mg k v ++=-=-++， 小球速率随时间的变化关系为0()exp()mg kt mgv v k m k =+--．（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为00/ln ln(1)/mg k v kv m m T k mg k k mg +==+．[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤： 由于v = d x/d t ，所以0d [()exp()]d mg kt mg x v t k m k =+--，即0(/)d d exp()d m v mg k kt mgx tk m k +=---，积分得0(/)exp()`m v mg k kt mgx t C k m k +=---+，当t = 0时，x = 0，所以0(/)`m v mg k C k +=，因此0(/)[1exp()]m v mg k kt mg x tk m k +=---．（2）如果小球以v 0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为d d vf mg kv mt =-=，用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为0()exp()mg mg ktv v k k m =---．这个公式可将上面公式中的g 改为-g 得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数v m = mg/k ．2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R ．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因子为μk ．设物体在某时刻经A 点时速率为v 0，求此后时刻t 物体的速率以及从A 点开始所经过的路程．[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 N = mv 2/R ．物体所受的摩擦力为f = -μk N ，负号表示力的方向与速度的方向相反．根据牛顿第二定律得2d d k v v f m m R t μ=-=， 即 ： 2d d k vt R v μ=-．积分得：1k t C R v μ=+．当t = 0时，v = v 0，所以01C v =-， 因此 011kt Rv v μ=-．解得001/k v v v t R μ=+． 由于0000d d(1/)d 1/1/k k k k v t v t R R x v t R v t R μμμμ+==++， 积分得0ln (1)`k kv tR x C Rμμ=++，当t = 0时，x = x 0，所以C = 0，因此0ln (1)k kv tRx Rμμ=+．2．11 如图所示，一半径为R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mg tg θ．珠子做圆周运动的半径为r = R sin θ． 根据向心力公式得F = mg tg θ = mω2R sin θ，可得2cos mgR ωθ=，解得2arccosgR θω=±．(二)力学中的守恒定律2．12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx ，而位移x = A cos ωt ，其中k ，A 和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得d I = F d t = -kA cos ωt d t ，mg图2.11积分得冲量为/20(cos )d I kA t tωω=-⎰π，/20sin kAkAtωωωω=-=-π方法二：利用动量定理．小球的速度为v = d x/d t = -ωA sin ωt ，设小球的品质为m ，其初动量为p 1 = mv 1 = 0， 末动量为p 2 = mv 2 = -mωA ，小球获得的冲量为I = p 2 – p 1 = -mωA ， 可以证明k =mω2，因此I = -kA /ω．2．13一个质量m = 50g ，以速率的v = 20m·s -1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？[解答]小球动量的大小为p = mv ，但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义21p p p ∆=- 得：21p p p =+∆，由此可作向量三角形，可得：p ∆==． 因此向心力给予小球的的冲量大小为I p =∆= 1.41(N·s)．[注意]质点向心力大小为F = mv 2/R ，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量24v TI Ft mR ==2/42R T T mv mvR ππ==．假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R 运动，拉力的大小就是向心力F = mv 2/R = mωv ， 其分量大小分别为 F x = F cos θ = F cos ωt ，F y = F sin θ = F sin ωt ，给小球的冲量大小为 d I x = F x d t = F cos ωt d t ，d I y = F y d t = F sin ωt d t ， 积分得 /4/4cos d sin T T x FI F t t tωωω==⎰Fmvω==，/4/4sin d cos T T y FI F t t tωωω==-⎰Fmvω==，合冲量为I ==，与前面计算结果相同，但过程要复杂一些．2．14 用棒打击质量0.3kg ，速率等于20m·s -1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m 的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s ，求球受到的平均冲力？[解答]球上升初速度为y v =s -1)，其速度的增量为v ∆=s -1)． 棒给球冲量为I = m Δv = 7.3(N·s)，对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = 366.2(N)．2．15 如图所示，三个物体A 、B 、C ，每个品质都为M ，B 和C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m 的细绳，首先放松．B 的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A 相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A 和B 起动后，经多长时间C 也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s -2）[解答]物体A 受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg – T = Ma ，物体B 在没有拉物体C 之前在拉力T 作用下做加速运动， 加速度大小为a ，可列方程：T = Ma ， 联立方程可得：a = g/2 = 5(m·s -2)．根据运动学公式：s = v 0t + at 2/2， 可得B 拉C 之前的运动时间；t =．此时B 的速度大小为：v = at = 2(m·s -1)．物体A 跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A 和B 拉动C 运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv = 3Mv`， 因此C 开始运动的速度为：v` = 2v /3 = 1.33(m·s -1)．2．16 一炮弹以速率v 0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？[解答] 炮弹在最高点的速度大小为v = v 0cos θ，方向沿水平方向． 根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的 总动量，可作向量三角形，列方程得 /2`cos 452mmv v =︒，所以 v` = v /cos45° = 0cos θ．2．17 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R ．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的品质为m ，它与路面的滑动摩擦因子为μk ．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移d s 的大小为d s = R d θ． 重力G 的大小为：G = mg ，方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为1d d cos(/2)d W G s G s θ=⋅=+πv xΔv v y图2.17sin d mgR θθ=-，积分得重力所做的功为454510(sin )d cos W mgR mgR θθθ︒︒=-=⎰(1mgR =-．摩擦力f 的大小为：f = μk N = μk mg cos θ，方向与弧位移的方向相反，所做的功元为2d d cos d W f s f s =⋅=πcos d k u mg R θθ=-，积分得摩擦力所做的功为4520(cos )d k W mgR μθθ︒=-⎰450sin k k mgR mgR μθ︒=-=．要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力G 、摩擦力f 和马的拉力F 就是平衡力，即0F G f ++=，或者 ()F G f =-+．拉力的功元为：d d (d d )W F s G s f s =⋅=-⋅+⋅12(d d )W W =-+，拉力所做的功为12()W W W =-+(1)k mgR =+．由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．2．18 一品质为m 的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动．设质点最初的速率是v 0，当它运动1周时，其速率变为v 0/2，求：（1）摩擦力所做的功； （2）滑动摩擦因子；（3）在静止以前质点运动了多少圈？[解答] （1）质点的初动能为：E 1 = mv 02/2， 末动能为：E 2 = mv 2/2 = mv 02/8，动能的增量为：ΔE k = E 2 – E 1 = -3mv 02/8， 这就是摩擦力所做的功W ．（2）由于d W = -f d s = -μk N d s = -μk mgr d θ，积分得：20()d 2k k W mgr mgrπμθπμ=-=-⎰．由于W = ΔE ，可得滑动摩擦因子为20316k v gr μ=π．（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为：a t = f/m = -μk g ， 根据公式v t 2 – v o 2 = 2a t s ，可得质点运动的弧长为22008223k v v r s a g πμ===，圈数为 n = s/2πr = 4/3．[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量：-fs = ΔE k ， 可得 s = -ΔE k /f ，由此也能计算弧长和圈数。
经典力学中的守恒定律
经典力学中的守恒定律经典力学是物理学中最基础的一个分支，它探讨的是宏观物体在力的作用下的运动规律。
在经典力学的研究中，有几个重要的守恒定律被广泛应用于解释和预测物体的运动。
本文将重点论述经典力学中的守恒定律以及它们在实际应用中的意义。
1. 动量守恒定律动量守恒定律是经典力学中最基本的守恒定律之一。
它表明在没有外力作用下，一个系统的总动量将保持不变。
动量的大小可以通过物体的质量和速度计算而得，它与运动的惯性相关。
根据动量守恒定律，我们可以推断在碰撞过程中物体的速度变化及动量转移情况。
例如，一个静止的汽车被撞击后会获得动量，导致汽车运动。
而如果两个物体以相等的速度相向运动碰撞，它们会互相抵消动量，因为总动量守恒。
2. 能量守恒定律能量守恒定律是经典力学中的另一个重要定律。
它指出在一个封闭系统中，能量的总量保持不变。
根据能量守恒定律，能量只能在不同形式之间进行转化，而不能被创建或者销毁。
这个定律可以应用于各种力学问题，例如摆锤的运动和弹簧的振动等。
当一个系统中的能量转化时，我们可以通过计算不同形式的能量之和是否保持不变来验证能量守恒。
3. 角动量守恒定律角动量守恒定律是经典力学中涉及旋转问题的一个重要定律。
它表明在没有外力矩作用下，一个旋转物体的总角动量保持不变。
角动量由物体的质量、速度和离旋转轴的距离共同决定。
根据角动量守恒定律，我们可以解释一些旋转问题，如陀螺的稳定性和行星的运动等。
当一个物体的离心率发生变化时，它的角动量将发生相应的变化，但总角动量仍然保持不变。
除了以上三个经典力学中常用的守恒定律，还有一些其他的守恒量也在实践中得到应用。
4. 线动量守恒定律线动量守恒定律与动量守恒定律密切相关，它主要用于描述多物体系统中的动量守恒。
在线性动量守恒的应用中，我们需要考虑多个物体之间的相互作用力以及每个物体的质量和速度。
例如，在一个碰撞问题中，我们可以计算各个物体的线动量之和是否在碰撞前后保持不变来验证线动量守恒。
简述质点系的动量定理及动量守恒定律
动量是物体运动状态的一种量度，它与物体的质量和速度成正比。
质点系的动量定理和动量守恒定律是描述物体运动规律的重要定律，对于理解和研究物体的运动具有重要意义。
本文将从简述质点系的动量定理开始，逐步深入探讨动量守恒定律，希望能够为读者提供一份深入浅出的参考。
1. 质点系的动量定理质点系的动量定理是描述质点系受力情况下动量的变化规律的定理。
根据牛顿第二定律，质点系的动量定理可以表述为：当一个质点系受到合外力时，它的动量随时间的变化率等于合外力的作用，即\[ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F} \]其中，\[ \vec{p} \]代表质点系的动量，\[ \vec{F} \]代表合外力的矢量。
这个定理表明了力对物体动量的影响，是经典力学中非常重要的基本定律之一。
2. 动量守恒定律当质点系受到合内力作用时，它的动量不会发生改变，这就是动量守恒定律的基本内容。
对于一个封闭系统来说，合内力为零，因此动量守恒定律可以表述为：在一个封闭系统内，当没有合外力作用时，质点系的动量保持不变，即\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = \vec{p}_1' +\vec{p}_2' + \cdots + \vec{p}_n' \]其中，\[ \vec{p}_i \]代表质点i的初始动量，\[ \vec{p}_i' \]代表质点i的最终动量。
动量守恒定律是一个非常重要的物理定律，它对于理解和分析自然界中的各种物理现象具有重要作用。
3. 个人观点和理解动量定理和动量守恒定律的提出和应用，使我们能够更深入地理解物体运动规律，并且在工程技术和自然科学研究中得到了广泛的应用。
在实际生活中，通过对动量定理和动量守恒定律的应用，我们可以更好地理解交通事故、火箭发射和碰撞实验等现象。
这些定律的深入理解和应用，有助于我们更加科学地分析和解决相关问题。
什么是动量守恒定律
什么是动量守恒定律动量守恒定律是描述质点系列运动中动量守恒的物理定律。
它表明在一个孤立系统中，当系统内部没有外力作用或外力合成为零时，系统的总动量保持不变。
动量守恒定律是质点运动的基本定律之一，它与质量和速度密切相关。
质点的动量定义为质量与速度的乘积，即动量=质量 ×速度。
根据动量守恒定律，如果质点或质点系系统中的质点没有受到外力作用，或者外力作用合力为零，则系统的总动量在运动过程中保持不变。
动量守恒定律可以用数学公式来表示。
对于一个由n个质点组成的系统，在任意时刻t的总动量为：P_total(t) = P_1(t) + P_2(t) + ... + P_n(t)其中，P_i(t)为第i个质点在时刻t的动量。
动量守恒定律是通过对系统内部相互作用力和外力之和的分析得出的。
在一个孤立系统中，由于没有外力作用（或外力合成为零），系统内部相互作用力之和为零。
根据牛顿第三定律，质点i对质点j的作用力与质点j对质点i的作用力大小相等、方向相反。
因此，系统内各质点的作用力对总动量的贡献相互抵消，导致总动量保持恒定。
动量守恒定律适用于各种不同的物理情境。
在力学中，例如弹性碰撞和非弹性碰撞中，质点间的相互作用力可以改变质点的动量，但总动量保持不变。
在流体力学中，根据质点流体运动的动量守恒定律，可以推导出流体动量守恒定律，描述流体运动过程中总动量的守恒。
动量守恒定律的应用广泛，并在科学和工程领域中有着重要的意义。
例如，在交通工程中，研究车辆碰撞时的动量守恒可以帮助设计安全的汽车结构和防护设施。
在天体力学中，动量守恒定律用于解释行星间的相互作用和天体运动的轨迹。
此外，在核物理学和高能物理学中，动量守恒定律被广泛应用于粒子加速器中的粒子碰撞实验和粒子物理过程的研究。
总结起来，动量守恒定律是描述质点系列运动中动量守恒的基本物理定律。
它指出在一个孤立系统中，当系统内部没有外力作用或外力合成为零时，系统的总动量保持不变。
大学物理2-5 角动量 角动量守恒定律
A1 2 = Ek2 E k1
2–5 角动量 角动量守恒定律 5 一对作用力和反作用力的功
m1,m2组成一个封闭系统 在dt 时间内
m 1
r 1
f1
dr 1
dr2 dr1 m1 f1 r1 o r2 r21 f2 m2
m2 r2
f2 dr2
dA = f1 dr1 + f2 dr2
Z注意:不能先求合力,再求合力的功;只能先求每个力 注意:不能先求合力,再求合力的功; 注意 的功,再对这些功求和. 的功,2章 运动定律与力学中的守恒定律 第 再对这些功求和.
2–5 角动量 角动量守恒定律 5
质点系动能定理 质点系动能定理
A外 + A内非 + A内保 = Ek2 Ek1
质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保 守力的功和质点系内非保守力的功三者之和. 守力的功和质点系内非保守力的功三者之和.
注意
内力可以改变质点系的动能, 内力可以改变质点系的动能,但 内力不能改变质点系的总动量
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量守恒定律 5
功能原理
A内保 = E p = ( E p 2 E p1 )
Ep表示势能总和
A外 + A内非 = ( Ek2 Ek1 ) + ( Ep2 Ep1 )
的方向符合右手法则. L 的方向符合右手法则
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
= 90
mv
直角坐标系中角 动量的分量表示
Lx = ypz zpy Ly = zpx xpz
Lz = xpy ypx
2–5 角动量 角动量守恒定律 5
大学物理动能势能机械能守恒定律
解
(1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时y＝0， dy＝0，所以
A1 Fx dx
0
4 4 0 0
2
2
0
8 ( x )dx J 3
2
A2 Fy dy 6 ydy 48 J
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
13
1 A A1 A2 45 J 3
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
6
3 保守力的功 1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点。 重力G只有z方向的分量
dr dxi dyj dzk
A Fz dz mgdz (mgz mgz0 )
A12 Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理 仅适用于惯性系 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
15
例2.10 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t ＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4t N 的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在 力F＝3＋4x N的作用下移动了3m，它的速度增为多 大？ 解 (1)由动量定理 Fdt mv ，得
Mm dA F dr G 2 r 0 dr r
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
B
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
8
Mm A F dr G 2 r 0 dr A r
B
d ( A ) d ( A A) 2 A d A
物理学中的基本力学定律与守恒定律
物理学中的基本力学定律与守恒定律在自然界中，物质和能量的转移和变化是按照一定规律进行的。
这些规律被总结为力学定律和守恒定律。
本文将从物理学中的基本力学定律和守恒定律两个方面进行探讨。
一、基本力学定律1. 牛顿第一定律——惯性定律物体在没有外力作用时，保持静止或匀速直线运动的状态。
这个定律也可以表述为：“任何物体都有惯性，它们在没有外力作用时会保持不变。
”2. 牛顿第二定律——运动定律物体受到的合力与质量的乘积等于物体的加速度。
该定律也可以表述为：当一个质点受到一个合力时，它的加速度与该合力成正比，与质点的质量成反比。
3. 牛顿第三定律——作用与反作用定律相互作用的两个物体之间，彼此作用力大小相等、方向相反。
这个定律可以表述为：“物体之间的相互作用力都是相等的，方向相反的。
”这三条定律是牛顿力学的基础，涵盖了所有物体受力运动的规律。
这些定律可以应用到天体物理学、地球物理学和微观粒子物理学等多个领域中。
二、守恒定律1. 能量守恒定律能量不能被创造或者消失，只能从一种形式转换为另一种形式。
在封闭系统内，能量的总和是不变的。
2. 动量守恒定律在一个封闭的系统中，宏观物体组成的总体系动量，维持不变的。
这个定律可以用下面的表达式进行表示：对于任何封闭的系统，总的动量等于每个物体动量和的代数和。
3. 质量守恒定律质量是守恒的，意思是一个系统中的质量总是不变的，无论是一个封闭的系统还是一个开放的系统。
这些守恒定律是基本物理定律，它们的适用范围非常广泛。
例如，在工程中我们需要遵循动量守恒定律来确定机械设备的最终状态。
结论以上介绍了物理学中的基本力学定律和守恒定律，这些定律涵盖了物质和能量的转化和变化。
它们是理解自然界运动和物质变化基础的重要工具，为我们了解自然现象提供了框架和指导。
动量定理
F2
j
两个质点的动量定理： （F1 f12 ） d t d p1 （F2 f 21 ） d t d p2 对此质点系 : （ [ F1 F2 ) ( f12 f 21 ） ] d t d p1 d p1 d( p1 p2 ) f12 f 21 0 由牛顿第三定律有: 所以有: （F1 F2 ) d t d( p1 p2 ) 多个质点时： ( Fi ) d t d pi
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2-3 动量 动量守恒定律
8
4 关于冲量和动量，下列说法哪些是错误的 ( ) A．冲量是反映力对作用时间积累效果的物理 量 B．动量描述物体运动状态的物理量 C. 冲量是物体动量变化的原因 D．冲量方向律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2-3 动量 动量守恒定律
2
一、质点的动量定理 动量
p mv
动量是瞬时矢量 m·s-1 单位: kg ·
冲量 力对时间的积累（矢量）
I Fdt t0 注意： 1.恒力的冲量: I F (t t0 )
2.变力的冲量: I
3.冲量的单位:N.s
f x 0 2mv cos 2 0.2 5 0.5 fN 20 N t 0.05 按牛顿第三定律，球对墙的平均作用力和 f N 的方向相反而等值，即垂直于墙面向里.
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2-3 动量 动量守恒定律
17
例2.6 如图所示，一辆装矿砂的车厢以 v＝4m/s的速 率从漏 斗下通 过 ，每 秒落入 车厢的 矿砂为 k ＝ 200 kg/s ，如欲使车厢保持速率不变，须施与车厢多大 的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦). 解 设 t时刻已落入车厢的矿砂 质量为m，经过dt后又有 dm＝kdt的矿砂落入车厢 . 取m 和 dm为研究对象，则系统沿 x 方向的动量定理为
2-5-角动量-角动量守恒定律
力矩，等于力的作用点
对该点的位矢与力的矢
积，即
M
r
F
M 的方向垂直于r和F所决定的
平面，指向用右手法则确定。
M x yFz zFy
在直角坐标系中，表示式为 M y zFx xFz
3
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
M z xFy yFx
2–5 角动量 角动量守恒定律
2 质点的角动量定理
例2.16 在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块， 木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0
垂直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击
中木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，
此时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速v2度 .
解 击中瞬间，在水平 面内，子弹与木块组成 的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1 6 第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量守恒定律
2-5-角动量-角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量守恒定律
v L
rv
pv
rr
r xi
r yj
r zk
pr
r pxi
r py j
r pzk
rr
pr
(
ypz
zpy
r )i
( zpx
xpz
)
r j
( xp y
ypx
r )k
Z
rr
rr rr
tr
Mdt 叫冲量矩 t0
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量守恒定律
2-4功 动能 势能 机械能守恒定律
∫
4
0
Fy dy =
∫
4
0
6 ydy = 48 J
1 A = A1 + A2 = 45 J 3
§2.4 功 动能 势能 机械能守恒定律
第2章运动定律与力学中的守恒定律
(2)因为由原点到点(2,4)的直线方程为y＝2x，所以
A=
∫
2
0
f x dx + ∫ f y dy =
0
4
∫
2
0
(4 x − x ) dx + ∫
§2.4 功 动能 势能 机械能守恒定律
第2章运动定律与力学中的守恒定律
质点组受到的作用力： 质点组受到的作用力：
外力：Fe 保守内力：Fci 内力非保守内力：F ni
§2.4 功 动能 势能 机械能守恒定律
第2章运动定律与力学中的守恒定律
在离水面高为H的岸上， 例2.8 在离水面高为H的岸上，有人用大小不变 的力F拉绳使船靠岸，如图所示， 的力F拉绳使船靠岸，如图所示，求船从离岸 x1 处移 x2 处的过程中， 对船所做的功. 到 处的过程中，力F对船所做的功. 解: 因为力的方向在不断变化， 因为力的方向在不断变化， v v F F 故仍然是变力做功. 故仍然是变力做功.以岸边为 α 坐标原点， 轴正向， 坐标原点，向左为x轴正向，则 x x1 x2 v v x dA = F ⋅ dx = F cos α (−dx) = − F dx 2 2 x +H 即 A = ∫ −F x
注意
参考系有关 有关； 功和动能都与 参考系有关；动能定理 仅适用于惯性系 仅适用于惯性系 .
例：铅直下落的冰雹，质量为 m，某时刻的速率 铅直下落的冰雹， 为 v ，试问从地面上以速率 v 作直线运动的车上观 试问从地面上以速率 该冰雹的动能是多少？ 察，该冰雹的动能是多少？ 解：以运动的车作为参照系;冰雹相对车的速度为： 以运动的车作为参照系;冰雹相对车的速度为：
运动学三大定律
解题思路
m
v0
1）相互作用的物体系统动量守恒
2）系统机械能变化外力做功能量转化
——系统动能定理
v0
M
m
v0
M
V V
m
M
高考复习
运动学三大定律
1、力学观点：牛顿定律和运动定律 解决：研究某一物体所受力与运动状态的关系---------匀变速运动
2、动量观点：动量定理
动量守恒定m1v1+m2v2=m’1v’1+m’2v’2
解决：1)涉及时间（力的瞬时作用）优先考虑动量定理 2)若研究对象为一物体系统，且它们之间有相互 作用 时，优先考虑动量守恒定律
3、 能量观点: 动能定理、机械能守恒定律、功能关系、 能的转化和守恒定律 ．
解决 : 1)涉及功和位移时优先考虑动能定理
2)若研究的对象为一物体系统，且它们之 间有相互作用时，优先考虑两大守恒定律
3)出现相对路程的则优先考虑能量守恒定律
解题思路
1、优先选用动量观点和能量观点； 2、在涉及加速度问题时就必须用力的观点． 3、有些综合问题，用到的观点不只一个，因此，三种 观点不要绝对化．
解题程序
①正确确定研究对象（多个物体组成的系统：要明确研究 对象是某一隔离体还是整体组成的系统）；
②．正确分析物体的受力情况和运动情况，画出力的 示意图，运动的位置图．
③、根据上述情况确定选用什么规律，并列方程求解．
定律的应用
例1．质量M＝4kg、长L＝3m的木板，在F＝8N的水平
恒力作用下，正以v0＝2m/s的速度在水平地面上向右匀
它与地面间的动摩擦因素μ1＝0.1，另一质量m2＝1.98kg 的木块静止于木板的左端，它与长木板间的动摩擦因素μ2
运动定律与力学守恒定律思维导图
功率 ：单位时间内所做的功
功 与运动路径无关，只与始末位置有关的力
保守力 保守力做着正功，系统势能减小
保守力的功
重力的功 万有引力的功
弹簧弹性力的功 质点的动能定理
动能定理
质点系的动能定理
功能原理 机械能守恒律
质点组的机械能增量=外力和非保守内力做功之和 机械能E=动能Ek+势能Ep
只有系统的保守内力做功 保守内力做功是系统势能和动能相互转化的手段和度量 若系统机械能守恒，则
常用的转动惯量
转动动能：
定义：在任何情况下，形状和大小都保持不变的物体
刚体
平动
转动
刚体的基本运动
刚体定轴转动的转动定律 Mz=Jβ
动能定理
力矩的功
定轴转动的动能定理
内容：定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体角动量对 时间的变化率
刚体定轴转动的角动量定理
外力对某轴的力矩和为零，则该物体对同一轴的角动量守 恒
对该固定点的角动量不变 微观体系和宏观体系均适用
质点的角动量定理 质点的角动量守恒定理
质点的角动量与角动量守恒定律
运动定律与力学守恒定律
牛顿运动定律
牛顿第一定律 牛顿第二定律 牛顿第三定律 几种常见的力
内容：任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到 外力迫使它改变运动状态为止。
数学表达：F=0 v=恒矢量
万有引力：
弹性力：f=-kx
摩擦力
静摩擦 动摩擦
f=μFn （Fn为正压力）
动量p p=mv
冲量I
动量பைடு நூலகம்动量守恒定律
质点动量定理
积分形式： 微分形式：
双质点：
质点系的动量定理
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下滑。求：小球脱轨时的角度θ
解：mg cos N m v2 (1)
R
mg sin m dv (2)
dt
g sin dv dv d dv v
t
=
0
nm
N
dt d dt d R
v
0 gRsin d 0 vdv
θθ R
mg
gR(1 cos ) v2 (3)
(1). 包含两个重要概念：惯性和力
固有特性
物体保持原有运动状态（也就是加速度为零）的特 性称之为惯性。任何物体在任何状态下都有惯性， 第一定律又叫惯性定律.
(2). 定义惯性参考系
一个不受其它外力影响（或所受合外力为零）的 物体，并不是在任何参考系中都能保持加速度为 零！！
问 题
若车的加速度不为零时，在车厢里观察水平方向 不受外力影响的小球，其相对于车厢参考系就有 加速度，而相对于地面参考系，其加速度为零。
二、牛顿第二定律（Newton second law）
在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与
外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与
外力的矢量和方向相同。
特点：
F
ma
瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性 1、瞬时性：F、a 之间一一对应
i
2、迭加性：F F1 F2 FN Fi
船的速度又为多少？
解：(1)设B船岸的上速的度人为看v到BA船A的船速看度到为B船v的A 速度为 v
vA
vA
v vB
由伽利略速度变换，可有
v vB vA
vA
vA
v vB
vB
v2
v
2 A
32 42 5m / s
tg vA 3
v4
36.90
vA
vA
v vB
vA 6m / s v vB 5m / s
36.90
自然和自然规律隐藏在黑暗之中， 上帝说“让牛顿降生吧”， 一切就有了光明； 但是，光明并不久长，魔鬼又出现了， 上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”， 就恢复到现在这个样子。
2-1 牛顿运动定律
一、惯性定律 惯性参考系 1、惯性定律（Newton first law）
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直 到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
r0
式中 m1、m2 被称为引力质量
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
三、第三定律（Newton third law） 两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，
而且指向相反的方向。
F1 F2
作用力与反作用力： 1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。
mg kv F ma m dv dt
f
a x
mg
mg kv F ma m dv dt
初始条件：t=0 时 v=0
v
dv
t
0 ( mg kv F ) m 0 dt
m v d( mg kv F ) t
k 0 ( mg kv F ) 0 dt
ln( mg kv F ) v kt
解： 2 6x2 dv dv dx dv v
dt dx dt dx
2 6x2 dx vdv
2x3 2x x0 v2 2
7.在湖面上以3m/s的速度向东行驶的A船上看到B船以
4m/s的速率从北面驶近A船。
(1)在湖岸上看，B船的速度如何？
(2)如果A船的速度变为6m/s(方向不变)，在A船上看B
2
脱轨条件：N 0 由式(1)得： mg cos m v2 (4)
R
gR(1 cos ) v2 (3)
2
由(3) 、 (4)可解得：
cos 2 arccos 2
3
3
5. 一质点从坐标原点出发沿x轴作直线运动，初速度为v0 ，它受到一阻力-av2作用,试求:v = v (t ), x = x (t )
0
m
v
mg
F
(1
kt
em
)
k
2-2 力学相对性原理 非惯性系中的力学
运动描述具有相对性
车上的人观察
地面上的人观察
一、 伽利略变换、经典力学时空观
坐标变换 方程
x x ut y y
或
z z t t
x x' ut y y' z z' t t'
物体的坐标和速度是相对的 时间、长度、质量和力学定律的形式是绝对的
N 1
3、矢量性：具体运算时应写成分量式
直角坐标系中：
Fx
ma x
m
dv x dt
Fy
ma y
m
dv y dt
Fz
ma z
m
dvz dt
自然坐标系中：
F
m
dv dt
Fn
m
v2
4、定量的量度了惯性
mA aB mB aA
惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量
引力质量：
F
G
m1m2 r2
经典时空观 根据伽利略变换，我们可得出牛顿的绝对时空观，
也称之为经典时空观。
在S系内，米尺的长度为 L (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 在S’系内，米尺的长度为 L (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2
利用伽利略变换式得 L L
结论：空间任意两点之间的距离对于任何的惯性系而言 都是相等的，与惯性系的选择或观察者的相对运动无关。 即：长度是“绝对的”，或称之为“绝对空间”。
3、它们一定是属于同一性质的力。
四、牛顿定律的应用
例：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当
它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为
常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的
关系为
v
mg
F
kt
(1 e m
)
k
F
式中t为从沉降开始计算的时间 证明：取坐标，作受力图。 根据牛顿第二定律，有
解： v 2 m dv
dt
m
t
dt
0
v dv v 2
dx
1
v
dt 1 v0 t m
得：
x
t
dx
dt
0
0 1 v0 t m
x m ln( 1 v0t )
m
6. 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a=2+6x2,a的单位为m/s2,x的单位为m,质点在x=0处 速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。
2、惯性系与非惯性系
惯性定律只能在某些特殊参考系中成立，我们通 常把相对于不受外力影响的质点，保持静止或做 匀速直线运动的参考系成为惯性参考系。
结论：牛顿定律成立的参照系称为惯性系。相对惯性
系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作 匀速直线运动的参照系也是惯性系。
在精度要求不高的情况下，地球和太阳系常被作为惯性系。