山西省运城市高一下学期期末数学试卷(解析版)

高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π2．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．3．不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}4．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．37．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．8．关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．9．设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．310．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z11．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为（）A．B．C．D．12．已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足，设数列{a n}的前n项和为S n，则S2017=（）A．﹣586 B．﹣588 C．﹣590 D．﹣504二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为．14．化简：sin40°（tan10°﹣）=．15．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为．16．锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣）．（1）求f（）的值．（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．18．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），（0＜β＜α＜π）．（1）若，求证：；（2）设，若，求α，β的值．19．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．20．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．21．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．22．已知数列{a n}的首项a1=，a n=，n=1，2，3，…．+1（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用正弦函数的周期公式T=，求出它的最小正周期即可．【解答】解：函数f（x）=由T==||=4π，故D正确．故选D．2．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【考点】96：平行向量与共线向量；95：单位向量．【分析】由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．3．不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选A4．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．【考点】87：等比数列．【分析】由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．3【考点】HR：余弦定理．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b 的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．7．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选C．8．关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．【解答】解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a…①，x1•x2=﹣8a2…②，又x2﹣x1=15…③，①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，因为a＞0，所以a=．故选：A．9．设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．【解答】解：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2kπ，即，又因为ω＞0，所以k≥1，故≥，故选C10．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【考点】HA：余弦函数的单调性．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．11．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式， 再根据基本不等式求最小值即可．【解答】解：如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB=2，BC=1，∠ABC=60°， 所以AD=BC=CD=1， 所以•=（+）•（+）=（+λ）•（+）=•+•+λ•+•=2×1×cos60°+×2×1+λ×1×1×cos60°+×1×1×cos120°=1++﹣≥+2=，当且仅当=，即λ=时等号成立．故选：B ．12．已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2017=（ ）A ．﹣586B ．﹣588C ．﹣590D ．﹣504 【考点】8E ：数列的求和．【分析】a 1=2，⇒，，，…可得数列{a n }是周期为4的周期数列，即可求解．【解答】解：∵a1=2，，∴，，，…可得数列{a n}是周期为4的周期数列．S2017=，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=y ﹣2x对应的直线进行平移，可得当x=5且y=3时z取得最小值，可得答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，3），B（5，3），C（2，0，）设z=F（x，y）=y﹣2x，将直线l：z=y﹣2x进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值5，3）=﹣7∴z最小值=F（故答案为：﹣714．化简：sin40°（tan10°﹣）=﹣1．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公等对函数式化简即可求解【解答】解：=sin40°（）=sin40°•====×2=﹣=﹣1故答案为：﹣115．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为．【考点】7F：基本不等式．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2代入已知条件，转化为解不等式求最值．【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时即x=2，y=1时取等号）则x+2y的最小值是4．故答案为：4．16．锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是（，）．【考点】HR：余弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，确定出B的度数，进而表示出A+C的度数，用A表示出C，代入所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出范围即可．【解答】解：已知等式a=2bsinA利用正弦定理化简得：sinA=2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB=，∵B为锐角，∴B=30°，即A+C=150°，∴cosA+sinC=cosA+sin=cosA+cosA+sinA=cosA+sinA=（cosA+sinA）=sin （A+60°），∵60°＜A＜90°，∴120°＜A+60°＜150°，∴＜sin（A+60°）＜，即＜sin（A+60°）＜，则cosA+sinC的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣）．（1）求f（）的值．（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．【考点】GP：两角和与差的余弦函数；HA：余弦函数的单调性．【分析】（1）将x=代入f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果；（2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合．【解答】解：（1）f（）=cos cos（﹣）=cos cos=﹣cos2=﹣；（2）f（x）=cosxcos（x﹣）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx=（1+cos2x）+sin2x=cos（2x﹣）+，∴f（x）＜，化为cos（2x﹣）+＜，即cos（2x﹣）＜0，∴2kπ+＜2x﹣＜2kπ+（k∈Z），解得：kπ+＜x＜kπ+（k∈Z），则使f（x）＜成立的x取值集合为{x|kπ+，kπ+（k∈Z）}．18．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），（0＜β＜α＜π）．（1）若，求证：；（2）设，若，求α，β的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量的数量积运算和模长公式，求出•=0即可证明；（2）利用平面向量的坐标运算法则和三角恒等变换，求出sinβ和sinα的值，即可求出β与α的值．【解答】（1）证明：=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴=cos2α+sin2α=1，=cos2β+sin2β=1；又，∴+2•+=1+2•+1=2，解得•=0，∴；（2）解：∵，，∴（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1），∴，即，两边平方，得1=2﹣2sinβ，解得sinβ=，sinα=1﹣=；又∵0＜β＜α＜π，∴α=，β=．19．如图，在△ABC 中，∠B=，AB=8，点D 在边BC 上，且CD=2，cos ∠ADC=．（1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【考点】HS ：余弦定理的应用．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC=，∴sin ∠ADC====，则sin ∠BAD=sin （∠ADC ﹣∠B ）=sin ∠ADC•cosB ﹣cos ∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD 中，由正弦定理得BD==，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+CB 2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．20．已知等差数列{a n }满足a 3=7，a 5+a 7=26．{a n }的前n 项和为S n ． （1）求a n 及S n ； （2）令b n =﹣（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】8E ：数列的求和；85：等差数列的前n 项和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．（2）a n =2n +1，可得b n =﹣=﹣=﹣，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3=7，a 5+a 7=26， ∴a 1+2d=7，2a 1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，S n==n2+2n．（2）∵a n=2n+1，∴b n=﹣=﹣=﹣=﹣，因此T n=b1+b2+…+b n=﹣+…+=﹣=﹣．21．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）根据条件，由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，化简可得sin（A﹣30°）=，由此求得A的值．（2）若a=2，由△ABC的面积，求得bc=4 ①；再利用余弦定理可得b+c=4 ②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）△ABC中，∵acosC+asinC﹣b﹣c=0，利用正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，化简可得sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°．（2）若a=2，△ABC的面积为bc•sinA=bc=，∴bc=4 ①．再利用余弦定理可得a2=4=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3•4，∴b+c=4 ②．结合①②求得b=c=2．22．已知数列{a n}的首项a1=，a n=，n=1，2，3，…．+1（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8D：等比关系的确定．=，可得，即可证明数列{﹣1}是等比数列；【分析】（Ⅰ）由a n+1（Ⅱ）分组，再利用错位相减法，即可求出数列{}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知﹣1=，即，∴．设…，①则…，②由①﹣②得…，∴．又1+2+3+…，∴数列的前n项和．2017年7月23日。