同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法

满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)

M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
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2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)

l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4

1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
证: f(x)0, F(x)在[a,)上单调递增,有
根据极限收敛准则知
x
lim F(x)limf(t)dt
x x a
存在 , 即反常 a f积 (x)d分 x收.敛
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定理2 . (比较审敛原理) 设 f(x ) C [a , ),且对充
0
的收敛性 .
解: 因 eaxsibn xeax,而eaxdx收敛 ,根据比 0
较审敛原理知 eaxsibnxdx收敛 ,故由定理5知所 a
给积分收敛 (绝对收敛) .
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二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
说明: 已知
a
1 xp
dx

收,敛 p1 (a0)
发,散p1
故常 g(x取 )xA p(A0)作比较 ,得函 下列比数 较审敛法.
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定理3. (比较审敛法 1) 设非负 f(x)函 C[a数 ,)
(a0).
1) 若存在常 M数 0, p1, 使对充分大的x有
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
类似定理5, 有下列结论:
若反a 常 bf(x)d 积 x(a为 分瑕 )收,点 则敛 反常积分
b
a f
(x)dx
收敛, 称为绝对收敛
.
例7.
判别反常积分

1 0
ln
x x
d
x
的收敛性
.
解: 此处 x0为瑕,因 点limx14lnx0,故对充分小
1
x0
分大的 x有0f(x)g (x), 则
ag(x)dx收敛

a
f
(x)dx发散

a
f
(x)dx收敛
ag(x)dx发散
证: 不失一般性 , 设 x [a, )时 ,0f(x)g (x)
若ag(x)dx收敛 ,则对 ta有
t
t

a f (x) dx a g(x)dx a g(x)dx
的 x,有x4lnx1,从而
1
ln x x
x4 ln x
1
x4

1
1
x4
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
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三、 函数
1. 定义
函数: (s)0 xs 1e xdx(s0 )
(含参变s的 量反常积 ) 分
下面证明这个特殊函数在 s0内收敛 . 令
0 u te u 2 d u 1 2 1 2 t (t 1 )
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
eu2d u 1 1 π
0
22 2
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内容小结
1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过分项
例6.
判定椭圆积分
1 0
dx
(k21)的收
(1x2)1(k2x2)
敛性 .
解: 此处 x1为瑕,由点 于
1
lim ( x 1)2
1
x 1
(1x2)(1k2x2)
lim 1
1
x 1 (1x)1(k2x2) 2(1 k2)
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
I1 0 1 x s 1 e x d x , I21 x s 1 e x d x
1) 讨论 I1.当 s1时 ,I1是定;积分
当 0s1时 , xs1exx11se1x
1 x1 s
而 1s1, 根据比较审 2知I敛 1收法敛 .
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xp
x 时 f(x)趋0 于 的快慢 . 程度
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dx
例2. 判别反常积分 1 x 1 x2 的收敛性 .
解: limx2 1 lim 1 1
x
x 1x2
x
1 x2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
3
例3. 判别反常积分
证:
(s1) xsexdx
0
xs
0
dex
(分部积分)
x se x sx s 1 e x d x 00
s(s)
注 意n到:N ,有 (1)0exdx 1
(n 1 ) n (n ) n (n 1 ) (n 1 )
n! (1) n!
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(2) 当 s 0时 , (s) . 证: (s)(s1), (1)1
s 且可 (s)证 在 s0 明 连, 续 s 0时 , (s) (3) 余元公式: (s) (1s) π (0s1 ) (证明略)
*第五节
第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
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一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 设 f ( x ) C [ a , ) , 且 f ( x ) 0 ,若函数
x
F(x)a f (t)dt 在[a,)上有上, 则 界 反常 a f积 (x)d分 x收.敛
设 f(x) C (a,b ],a 为 f(x)的,瑕 由定义点
b
b
af(x)dxl i0 m af(x)dx
令xa1,则有
t
a bf(x)dxl i0 m b 1 1af(a1 t)d t2 t b1 a f(a1t)dt2t
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
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利用
b
a(x
1 a)3 与定理 4 的如下审敛法.
定理6. (比较审敛法 2) 设非负 f(x) 函 C[a,b 数 ],a为
瑕点 , 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) . 1) 若存在常 M数 0,q1, 有 f (x)(xMa)q
f (x)
则af(x)dx收敛 ;

M xp
2) 若存在常 N数 0, p1, 使对充分大的 x有
f
(x)

N xp
则af(x)dx发散 .
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例1.
判别反常积分
sin2 x d 1 3 x4 1
x
的收敛性
.
解:

0 sin2 x 3 x4 1
可见反a 常 f(积 x)dx分 收.敛
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定义.
设反常积分

a f
(x)dx收敛 ,
若 a
f(x)
dx收敛 ,则称

a
f
(x)dx
绝对收敛
;
若 a
f(x)dx发散 ,则称

a
f
(x)dx条件收敛
.
例4. 判断反常积分
eaxsibnd x x(a,b为常 ,a0)数
则abf (x)dx收敛 ;
2) 若存在常 N数 0,有 f (x) N xa
则abf (x)dx发散 .
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
定理7. (极限审敛法2) 若 f(x ) C (a ,b ],且 f(x ) 0 ，
lim (xa)qf(x)l
x
则有: 1) 当 0q 1 ,0l时 ,abf(x)dx收敛 ;
证：令 ( x ) 1 2 [f( x ) f( x )] ,则 0(x)f(x)
a f（ x） dx收敛 , a(x)dx也收, 敛
而
f(x ) 2 (x )f(x )



af(x )d x 2 a (x )d x a f(x )d x
siπn s)( 当s12时,有
(12) π
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(4) (s)的其他形式
(s) xs 1e xdx 0
(s0 )
令xu2,得
(s) 2 e u 2u 2 s 1 d u(s 0 ) 0
再2令 s1t,即s 1t , 得应用中常见的积分 2
I21xs1exdx
2)讨论 I2.

lim x2
x
(xs1ex)

lim
x
xs1 ex
0
根据极限审 1知敛 I2收 法敛 .
综上所述 , (s)I1I2在s0上收.敛
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2. 性质
(1) 递推公式 ( s 1 ) s ( s )( s 0 )
故at f(x)dx是t的单调递增有上界函数 , 因此
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t

limf(x)dx
t a
a
f(x)dx
极限存在 , 即反常 a f积 (x)dx分 收.敛
若af(x)dx发散 , 因为 ta时有
t
t
0af(x)dxag(x)dx
令t,可见反 常 g(x)积 dx必 分 发 . 散 a
x 1 1
2
x2
d
x
的收敛性 .
解:
3
1
lim x2
x
1x2x2
xlim1x2x2 1
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
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定理5. 若 f(x) C [a , ),且 a f（ x ） dx收 , 敛 则反常 a f积 (x)dx分 收.敛
使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,
才可保证给定的积分收敛 .
3. 函数的定义及性质 .
思考与练习
P268
作业
1 (3), (4), (5), (8) ;
P268 1 (1), (2), (6), (7) ; 5 (1), (2)
2; 3
习题课 目录 上页 下页 返回 结束