全等三角形综合运用(一)

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全等三角形基本模型综合训练(一)(解析版)

全等三角形基本模型综合训练（一）1．如图，A 点坐标(0，4)，B 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到BC ，连接OC ，则B 在运动过程中，线段OC 的最小值是（）A ．4B ．2C ．2D ．3【答案】C 【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，⊥⊥CDB =90°又线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，⊥⊥ABC =90°，AB =BC⊥⊥ABO +⊥CBD =90°，⊥BCD +⊥CBD =90°，⊥⊥ABO =⊥BCD由图可知，⊥AOB =90°，⊥⊥AOB =⊥CDB⊥△AOB ⊥⊥BDC （AAS ），⊥OB =CD ，OA =BD =4，令点B （x ，0）①当x >0时，如图1，在Rt △COD 中OC 22CD OD +224x x ++（）2228x ++（）⊥当x =-2时，OC 有最小值，又x >0⊥x =-2不符合题意，舍去②当x <0时，如图2，在Rt⊥COD 中OC 22CD OD +()224x x -++（）2228x ++（）⊥当x =-2时，OC 有最小值，且最小值为2，故选：C ．2．如图，在ABC ∆中，40A ∠=︒，60C ∠=°，D 为AC 边上一点，DE BC ⊥于点E ．若AD BD =，2BE =，则AB 的长为（）A 3B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】解：如图，作DF ⊥AB 于点F ，⊥ AD ＝BD⊥△ADB 是等腰三角形，⊥ABD ＝⊥A ＝40°⊥AB ＝2AF ＝2BF⊥40A ∠=︒，60C ∠=°，⊥⊥ABC ＝180°－⊥A －⊥C ＝80°，⊥ ⊥DBE ＝⊥ABC －⊥ABD ＝40°⊥⊥DBE ＝⊥ABD⊥DE BC ⊥⊥ ⊥DE ＝DF⊥BD ＝BD⊥Rt △BDF ⊥Rt △BDE （HL ）⊥BF ＝BE ＝2⊥AB ＝2BF ＝4，故选：D3．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S ∆=，则CD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，⊥10AB =，15ABD S ∆=，⊥1152AB DF ⋅=，⊥110152DF ⨯=,得DF =3， ⊥90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DF ⊥AB ，⊥CD =DF =3，故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为4，点E 是射线AD 上的一个动点，连结CE ，以CE 为边往右侧作正方形CEFG ，连结DF 、DG ．（1）当点E在AD延长线上，且DE=AD时，DG=________．（2）当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG=________．【答案】454或542【详解】解：（1）过点F作FH⊥AD交AD延长线于点H，⊥四边形ABCD是正方形，且DE=AD，⊥DE=AD=CD，⊥ADC=⊥CDE=90°，⊥△EDC是等腰直角三角形，⊥⊥DCE=⊥DEC=45°，⊥四边形CEFG是正方形，⊥CG=CE=EF，⊥GCE=⊥CEF=90°，⊥⊥DCG=⊥DEF=135°，⊥△DCG⊥△DEF，⊥DG=DF，⊥⊥DEC=45°，⊥CEF=90°，⊥⊥HEF=45°，⊥△EHF是等腰直角三角形，⊥CE=EF，⊥DE=CD=EH=FH=4，在Rt△DFH中，FH=4，DH=8，⊥DG=DF22+=4845（2）当点E与点A重合时，DG=DF，⊥DG=DE=DC=4；当DG=GF时，过点G作GI⊥CD于点I，⊥四边形CEFG是正方形，⊥CG=GF=CE，⊥GCE=90°，⊥DG=GC，CD=2，⊥CI=DI=12⊥DCE+⊥ICG=90°，⊥IGC+⊥ICG=90°，⊥⊥DCE=⊥IGC，⊥△DCE⊥△IGC，⊥IG=DC=4，⊥DG=GC22+=2425点E与点D重合时，DF=GF，此时，FG=FD=DC=4，⊥DG224442；综上，△DGF为等腰三角形时，DG=4或542故答案为：4或5425．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在BC上，且BF=2CF，DE，AF相交于点G，则DG的长为___________．958【详解】如图，延长DG、CB，二线交于点H，⊥四边形ABCD是正方形，E是AB的中点，⊥⊥DAE=⊥HBE=90°，AE=BE，⊥⊥AED =⊥BEH⊥△DAE ⊥△HBE ，⊥BH =AD =3，⊥BF =2CF ，BC =3，⊥BF =2，CF =1，⊥FH =FB +BH =3+2=5，CH =FH +CF =1+5=6，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥DCH =90°，AD ∥BC ，⊥△DAG ⊥△HFG ，DH 22223635CD CH ++=⊥35DG AD GH FH ==，⊥38DG DH =， ⊥333588DG DH ==⨯958958 6．如图，△ABC 中，AB =AC ，点 D 在 AC 上，连接 BD ，△ABD 的中线 AE 的延长线交 BC 于点 F ，⊥F AC =60°，若 AD =5，AB =7，则 EF 的长为__________．【答案】23【详解】解：延长AE 至点G ，使得AE ＝EG ，⊥E 是BD 的中点，⊥BE ＝DE ，在△ADE 和△GBE 中，DE BE AED GEB AE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥ADE ⊥⊥GBE （SAS ）， ⊥AD ＝GB ＝5，⊥G＝⊥F AC ＝60°，过点B 作BH ⊥GE 于点H ，在Rt ⊥BGH 中，⊥GBH ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，⊥GH ＝12BG ＝52，BH 22555()322-=，在Rt ⊥ABH 中，AH 225117(3)22-，⊥AG ＝AH +GH ＝8，⊥AE ＝GE ＝4，过点D 作DM AB 2AC =EF ，交BC 于点M ．⊥12BE EF BD DM == ，设EF ＝x ，则DM ＝2x ，⊥DM AB 2AC =EF ，⊥225DM CD AF CA ==+，⊥AF ＝7x ，⊥AE ＝7x ﹣x ＝6x ＝4，⊥x ＝23，⊥EF ＝23，故答案为：23． 7．如图，将矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，使点C 恰好落到线段AD 上的E 点处，连接CE ，连接CG 交BE 于点H ．(1)求证：CE 平分⊥BED ；(2)取BC 的中点M ，连接MH ，求证：MH ∥BG ；(3)若BC ＝2AB ＝4，求CG 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)7【解析】(1)⊥四边形ABCD 是矩形，⊥BC =BE ，DE ∥BC ，⊥⊥BEC =⊥BCE ，⊥BCE =⊥DEC ，⊥⊥BEC =⊥DEC ，⊥CE 平分⊥BED ．(2)过点C 作CN ⊥BE ，垂足为N ，⊥四边形ABCD 是矩形，⊥CD ⊥DE ，⊥CE 平分⊥BED ，⊥CD =CN ，⊥矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，⊥CD =BG ，⊥GBH =⊥CNH =90°，⊥CN =BG ，⊥BHG =⊥NHC ，⊥△BHG ⊥△CHN ，⊥HG =HC ，⊥H 是GC 的中点，⊥BC 的中点是M ，⊥MH 是△BGC 中位线，⊥MH ∥BG ．(3)过点C 作CN ⊥BE ，垂足为N ，⊥四边形ABCD 是矩形，BC ＝2AB ＝4，矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，⊥GB ⊥BH ，GB =BM =2，⊥MH 是△BGC 中位线，⊥MH =1，⊥⊥HBM =⊥QGB ，⊥GB =BM =2，⊥BHM =⊥GQB ，⊥△QBG ⊥△HMB ，⊥QB =MH =1，GQ =BH 3QC =5，⊥CG 22(3)52827+=．8．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 中点，连接AE ．过点C 作CF AE ⊥，交AE 的延长线于点F ，连接DF ．过点D 作DG DF ⊥交AF 于点G ．若2DF =，则正方形ABCD 的边长为________．10【详解】解：⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD =CD ，⊥ADC =90°，⊥⊥DAE +⊥AED =90°，⊥CF ⊥AE ，⊥⊥ECF +⊥CEF =90°，⊥⊥DAE =⊥ECF ，同理，⊥⊥ADG +⊥GDE =90°，⊥GDE +⊥CDF =90°，在⊥AGD 与⊥CFD 中，DAE ECF AD CD ADG CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥AGD ⊥⊥CFD （ASA ），⊥DG =DF ，AG =CF ，⊥DG ⊥DF ，⊥⊥DGF 是等腰直角三角形，⊥2222GF DG DF +=过点D 作DK ⊥AE 于点K ，则122DK GK GF === ，在⊥DKE 与⊥CFE 中，DEK CEF DKE CFE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DKE ⊥⊥CFE （AAS ），⊥DK =CF ，⊥2AG CF DK GK ====⊥22AK =⊥2210AD AK DK +10．9．已知：如图，AC ⊥BD ，AE 、BE 分别平分⊥CAB 和⊥ABD ，点E 在CD上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC +BD =AB ，理由见见解析【详解】解：AC +BD =AB ，证明如下：在BA 上截取BF =BD ，连接EF ，如图所示：⊥AE 、BE 分别平分⊥CAB 和⊥ABD ，⊥⊥EAF =⊥EAC ，⊥EBF =⊥EBD ，在⊥BEF 和⊥BED 中，BF BD EBF EBD BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥BEF BED ≌（SAS ），⊥⊥BFE =⊥D ，⊥AC ⊥BD ，⊥⊥C +⊥D =180°，⊥⊥AFE +⊥BFE =180°，⊥⊥AFE +⊥D =180°，⊥⊥AFE =⊥C ，在⊥AEF 和⊥AEC 中，EAF EAC AFE C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥AEF AEC ≌（AAS ），⊥AF =AC ，⊥AF +BF =AB ，⊥AC +BD =AB ．10．如图1，ΔΔRt ABF Rt CBE ≌，90ABC ∠=︒，点E ，F 分别在边AB，BC 上，点M 为AF 中点．(1)请直接写出线段CE 与BM 的关系；(2)连接EF ，将EBF ∆绕点B 逆时针旋转至如图2位置，请写出CE 与BM 的关系，并说明理由；(3)在EBF ∆绕点B 旋转的过程中，当B ，C ，E 三点共线时，若3BC =，2EF =CM 的长．【答案】(1)2CE BM = ，CE BM ⊥；(2)2CE BM = ，CE BM ⊥，理由见解析；(3)13CM =10【解析】(1)2CE BM =，CE BM ⊥，理由如下，设BM 与CE 相交于点N ，如图，⊥Rt ABF Rt CBE ≅△△，⊥ABC =90°，⊥AF =CE ，⊥A =⊥C ，⊥⊥A +⊥AFB =90°，⊥M 为AF 的中点，⊥BM =AM =FM =12AF ，⊥BM =12CE ，即2BM =CE ，⊥AFB =⊥CBM ，⊥⊥C +⊥CBM =90°，⊥⊥CNB =90°，⊥BM ⊥CE ，故BM 与CE 的关系为：2CE BM =，CE BM ⊥，(2)2CE BM =，CE BM ⊥，理由如下：证明：延长AB 至点N ，使NB AB =，连接NF⊥M 为AF 的中点，B 为AN 中点⊥BM 为ANF 的中位线⊥2NF BM =⊥90ABC ∠=︒，90EBF ∠=︒，⊥ABE ABF CBF ABF ∠+∠=∠+∠，⊥ABE CBF ∠=∠，⊥90ABC ∠=︒，AB BC BN ==，⊥CBA ABE CBN CBF ∠+∠=∠+∠，⊥CBE NBF ∠=∠，又⊥BE BF =，⊥()CBE NBF SAS ≅△△，⊥NF CE =，⊥2CE BM =，⊥BM 为ANF 的中位线，⊥BM FN ∥，⊥MBA N ∠=∠，⊥CBE NBF ≅△△，⊥ECB N ∠=∠，⊥MBA ECB ∠=∠，⊥90MBA CBM ∠+∠=︒，⊥90ECB CBM ∠+∠=︒，⊥CE BM ⊥，综上2CE BM =且CE BM ⊥；(3)当点E 在CB 的延长线上时，如图，⊥⊥ABC =⊥ABE =90°，AB =BC =3，BE =BF ，⊥在等腰Rt ⊥BEF 中，有EF 22，又⊥EF 2⊥BE =BF =1，⊥AF =AB -EF =3-1=2，⊥M 为AF 的中点，⊥FM =12AF =1，⊥22223213CM BC BM ++=当点E 在CB 上时，如图，同理可求得BF =BE =1，⊥AF =AB +BF =3+1=4，⊥M 为AF 的中点，⊥FM =12AF =2，⊥BM =FM -BF =2-1=1， ⊥22223110CM BC BM ++ 即CM 1310．11．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分⊥BAD ．(1)推理证明：如图1，若120DAB ∠=︒，且90D ∠=︒，求证：AD AB AC +=；(2)问题探究：如图2，若120DAB ∠=︒，试探究AD 、AB 、AC 之间的数量关系；(3)迁移应用：如图3，若90DAB ∠=︒，AD =2，AB =4，求线段AC 的长度．【答案】(1)见解析；(2)AD AB AC +=；(3)32AC =【解析】(1)证明：⊥AC 平分BAD ∠，⊥12DAC BAC DAB ∠=∠=∠，又⊥120DAB ∠=，⊥60DAC BAC ∠=∠=，又⊥180B D ∠+∠=，90D ∠=，⊥90B D ∠=∠=，⊥30ACD ACB ∠=∠=︒，⊥12AD AC =，12AB AC =， ⊥AD AB AC +=．(2)解：AD AB AC +=；过点C 作CE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AE ⊥的延长线于点F ，⊥AC 平分BAD ∠，⊥CE CF =，90DEC CFB ∠=∠=，⊥180D ABC ∠+∠=，而180ABC FBC ∠+∠=，⊥D FBC ∠=∠，在BFC △与DEC 中D FBC DEC BFC CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()AAS BFC DEC ≌，⊥DF BF =，⊥AD AB AE DE AF BF AE AF +=++-=+，由（1）知AE AF AC +=，⊥AD AB AC +=．(3)过点C 作CM AB ⊥于点M ，过点C 作CN AD ⊥的延长线于点N ，由（2）知：CDN CBM ∆∆≌，⊥DN BM =，⊥AD AB AN DN AM BM AN AM +=-++=+，而90DAB ∠=︒，AC 平分BAD ∠，⊥45NAC MAC ACN ∠=∠=∠=︒，⊥2AN AM NC AC ===，⊥2AD AB AN AM +=+=，又2AD =，4AB =，⊥32AC =12．如图，点F 在四边形ABCD 的边AB 上．(1)如图1，当四边形ABCD 是正方形时，过点B 作BE CF ⊥，垂足为O ，交AD 于点.E 求证：BE CF =；(2)当四边形ABCD 是矩形，6AD =，8AB =时，①如图2，点P 是BC 上的一点，过点P 作PE CF ⊥，垂足为O ，点O 恰好落在对角线BD 上，求OC OE 的值； ②如图3，点P 是BC 上的一点，过点P 作PE CF ⊥，垂足为O ，点O 恰好落在对角线BD 上，延长EP 、AB 交于点G，当2BG =时，请直接写出DE 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)①34；②83．【解析】(1)证明：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90A FBC ∠=∠=︒，BE CF ⊥于点O ，90BOC ∴∠=︒，90ABE OBC BCF ∴∠=︒-∠=∠，ABE ∴⊥()BCF ASA ， BE CF ∴=．(2)解：①如图2，过O 作OM AD ⊥于点M ，ON CD ⊥于点N ，则90OMD OND ∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形，6BC AD ∴==，8AB CD ==，90MDN A BCD ∠=∠=∠=︒，∴四边形OMDN 是矩形，90MON ∴∠=︒，PE CF ⊥于点O ，90COE ∴∠=︒，90CON EOM EON ∴∠=∠=︒-∠，90ONC OME ∠=∠=︒，ONC ∴⊥OME ，OC ON OE OM ∴=， OND BCD ∠=∠，//ON BC ∴， DON ∴⊥DBC △，ON OD BC BD ∴=，同理OM OD AB BD =， ON OM BC AB ∴=，ON BC OM AB ∴=，6384OC BC OE AB ∴===； ②如图3，连接CE 、CG ，90ABC ∠=︒，18090PBG ABC ∴∠=︒-∠=︒，90PBG POC ∴∠=∠=︒，BPG OPC ∠=∠，BPG ∴⊥OPC ，PB PG PO PC ∴=，PB PO PG PC ∴=，OPB CPG ∠=∠，OPB ∴⊥CPG △，CBD OGC ∴∠=∠， 34OC OE =，6384CB CD ==；OC CB OE CD ∴=， 90COE BOD ∠=∠=︒，COE ∴⊥BOD ，CDB OEC ∴∠=∠，90OGC OEC CBD CDB ∴∠+∠=∠+∠=︒，90ECG ∴∠=︒，90BCG DCE BCE ∴∠=∠=︒-∠，90CBG CDE ∠=∠=︒，CBG ∴△⊥CDE △，34BG CB DE CD ∴==，4482333DE BG ∴==⨯=． 13．将一块足够大的直角三角板的直角顶点P 放在边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 上滑动,一条直角边始终经过点B ,另一条直角边与射线DC 交于点E ．(1)当点E 在边DC 上时（如图1），求证：①⊥PBC ⊥⊥PDC ；②PB =PE ．(2)当点E 在边DC 的延长线上时（如图2）,（1）中的结论②还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)（1）中的结论②仍然成立，证明见解析【解析】(1)①⊥四边形ABCD 是正方形，⊥BC =CD ,⊥BCP =⊥DCP=45°,又⊥CP =CP ，⊥⊥PBC ⊥⊥PDC ，②过点P 分别作PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥CD 于点G ，易证四边形PFCG 为正方形，⊥⊥BFP =⊥EGP=90°，PF =PG ，⊥⊥EPG+⊥EPF=90°=⊥BPF+⊥EPF ，⊥⊥BFP =⊥EGP ⊥⊥PGE ⊥⊥PFB (ASA)，⊥PB =PE .(2)PB =PE 成立，证明：设PE 交BC 于点O ，⊥⊥BPE =⊥BCE=90°，⊥BOP =⊥COE ，⊥⊥PBC =⊥PEC ，由（1）得：⊥PBC =⊥PDC ，⊥⊥PDC =⊥PEC ，PB =PD ，⊥PE =PD=PB ，故（1）中的结论②仍然成．14．在ABC 中，22BAC ABC ACB ∠=∠=∠，D 是BC 所在直线上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．(1)观察发现：如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 、CF 的位置关系为___________；②BC 、CD 、CF 之间的数量关系为___________．(2)探究证明：如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．(3)问题解决：如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE .若62AB =4BC CD =时，直接写出GE 的长．【答案】(1)①BC CF ⊥，②BC CF CD =+；(2)（1）中结论①成立，②不成立，理由见解析； (3)310【解析】(1)①在正方形ADEF 中，AD =AF ，⊥DAF =90°，⊥⊥BAC =90°，⊥⊥BAC =⊥DAF =90°⊥⊥BAD =⊥CAF ，在△DAB 与△F AC 中，AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DAB ⊥⊥F AC （SAS ），⊥⊥ABD =⊥ACF ，⊥⊥ACB +⊥ACF =⊥ACB +⊥ABD =180°-⊥BAC =90°，⊥BC ⊥CF ；故答案为：BC ⊥CF ；②由①知，△DAB ⊥⊥F AC ，⊥BD =CF ，⊥BC =BD +CD ，⊥BC =CF +CD ；故答案为：BC =CF +CD ；(2)（1）中结论①成立．②不成立．理由如下：⊥四边形ADEF 是正方形：⊥AD AF =，90DAF ∠=︒．⊥22BAC ABC ACB ∠=∠=∠，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，⊥90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，⊥AB AC =，BAC DAF ∠=∠，⊥BAD CAF ∠=∠，⊥()SAS DAB FAC △△≌，⊥135ABD ACF ∠=∠=︒，=CF BD ． ⊥45ACB ∠=︒，⊥1354590DCF ACF ACB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊥CF BD ⊥． ⊥BC CD BD =-，⊥BC CD CF =-．⊥（1）中结论①成立．②不成立．(3)如图，作AH BC ⊥于点H ，EM BD ⊥于点M ，EN CF 于点N ．易证90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，⊥AB AC =，⊥BH CH =，⊥6212sin 452AB BC ==︒，⊥6AH BH CH ===． ⊥4BC CD =，3CD =，⊥9DH =．由（2）得BC CF ⊥，15CF BD ==．⊥BC CF ⊥，EM BD ⊥，EN CF ，⊥四边形CMEN 是矩形，⊥NE CM =，EM CN =． ⊥90AHD ADE EMD ∠=∠=∠=︒，⊥90ADH EDM ∠+∠=︒，90EDM DEM ∠+∠=︒，⊥ADH DEM =∠∠． ⊥AD DE =，⊥()ADH DEM AAS △△≌，⊥9EM DH ==，6DM AH ==， ⊥9CN EM ==，9669EN CM DH DM CH ==+-=+-=．⊥45ABC ∠=︒，⊥45BGC ∠=︒，⊥12CG BC ==，⊥1293GN CG CN =-=-=． ⊥2239310EG +=15．【探究建模】已知正方形ABCD ，E ，F 为平面内两点．(1)如图1，当点E 在边AB 上时，DE ⊥DF ，且B ，C ，F 三点共线．求证：AE ＝CF ；(2)【类比应用】如图2，当点E 在正方形ABCD 外部时，DE ⊥DF ，AE ⊥EF ，且E ，C ，F 三点共线．①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)①成立，理由见解析；②EA+EC2，证明见解析【解析】(1)证明：⊥四边形ABCD是正方形，⊥DA＝DC，⊥A＝⊥ADC＝⊥DCB＝90°，⊥DE⊥DF，⊥⊥EDF＝⊥ADC＝90°，⊥⊥ADE＝⊥CDF，在⊥DAE和⊥DCF中，ADE CDF AD CDA DCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF．(2)解：①（1）中的结论AE＝CF还成立．证明：⊥四边形ABCD是正方形，⊥DA＝DC，⊥DAB＝⊥ADC＝⊥DCB＝⊥DCF＝90°，⊥DE⊥DF，⊥⊥EDF＝⊥ADC＝90°，⊥⊥ADE＝⊥CDF，⊥AE⊥EF，⊥⊥AEF＝90°，⊥⊥DAE+⊥DCE＝180°，⊥⊥DCF+⊥DCE＝180°，⊥⊥DAE＝⊥DCF，在⊥DAE和⊥DCF中，ADE CDFAD CDDAE DCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF．②解：结论：EA+EC2．理由：由①知，⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF，DE=DF，∥ADE=∥CDF,⊥∥EDF=90°，⊥⊥DEF为等腰直角三角形，⊥EF2⊥FC+EC2．⊥AE+EC2．。

第十二章第6课全等三角形的判定——综合(1)

(2)当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图②，(1)中的结论是否仍然成立？为什么？
(2)证明：∵∠BAC＝90°，且正方形 ADEF， ∴∠2＝90°，AF＝AD ∵∠BAD＝∠BAC＋∠1，∠CAF＝∠1＋∠2 ∵∠2＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF
BA＝CA ∵在△BAD 和△CAF 中∠BAD＝∠CAF
B．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°
3．如图，点 B 在 AE 上，点 D 在 AC 上，AB＝AD，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE(只能添加一个)你添加的条件是 _A_C__＝__A_E_(_或__∠__C_＝__∠__E_或__∠__A__B_C_＝__∠__A_D__E_)__．
第十二章全等三角形
第 6 课全等三角形的判定——综合(1) 1．全等三角形的判定方法有：_S_S__S_，_S_A__S_，_A_S_A__，_A_A__S_，_H_L__.
2．如图，已知 AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ABC≌△ADC 的是( C )
A．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA
证明：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2
∠1＝∠2 ∵在△COD 和△BOA 中AO＝OD
∠3＝∠4
∴△COD≌△BOA(ASA)．∴AB＝CD
∵∠1＝∠2，∵∠5＝180°－∠2，∠6＝180°－∠1，∴∠5＝∠
6
AE＝FD ∵在△EAB 和△FDC 中∠5＝∠6
AB＝CD
解：有道理．
理由如下：∵∠C＝∠D＝90°，∠C＋∠D＝180°，∴AC∥DF ∴∠A＝∠F，∠CBO＝∠OED，O 为 CD 中点，∴CO＝OD
∠C＝∠D ∵在△COB 和△DOE 中∠COB＝∠DOE

利用三角形全等解决实际问题(一)

与我军阵地距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样
一个办法，他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底
部，然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，
接着他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他民碉堡间的距离。
练一练 3 参考图：
B A
练一练
1、要测量河岸相对的两点 A、B 的
C
距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两
点 C、D，使 CD＝BC，再定出 BF
的垂线 DE，使 A、C、E 在一条
直线上，测得 DE 的长就是 AB 的
A 长，为什么？
BC
F D E6
2、如图，有一湖的湖岸在 A、B 之间呈一段圆弧状，A、B 间的距离不能直接测得，你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出 A、B 间的距离吗？
对应边相等
”
对应角相等
的利用全等三角形解决实际问题的思维框架，是本节的重点，二者联系的
关键是将具体问题情境
转化成数学问题转化为构成几何图形
是本节的授课主线。
1、能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。
8
2、能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
三、教材说明：
本节内容是全等三角形的应用，即用全等三角形来解决实际问题，旨
A
学生可分组讨论，教师巡视学生完成情况，并对个别掌握情况较差的学生进行单独辅导.
附：问题 2 参考图：
B
A
D
O
C B
问题 2 如图，要计算一个圆柱形容器的容
积，需要测量其内径. 由于瓶颈较小，无法直接测量，你能想出一种测量方案吗？

12.2全等三角形的性质与判定的综合运用(第一课时)教案人教版数学八年级上册

12.2全等三角形的性质与判定的综合运用(第一课时)教案人教版数学八年级上册教学目标1.通过图形演示，感知、理解、整合全等三角形的概念、性质及其判定方法。

2.通过图形演示，理解为什么SSA不能作为三角形全等的判定条件。

教学重点通过图形演示，感知、理解、整合全等三角形的概念、性质及其判定方法；教学难点通过图形演示，理解为什么SSA不能作为三角形全等的判定条件。

创新设计方案微课用几何画板作为演示软件，通过图形及其动态演示，形象地展示几何图形的关系及其变化过程，有利于学生深化理解全等三角形的概念和判定方法。

教学过程一、全等三角形的概念1.两个三角形全等的定义是什么？答：形状、大小完全相同的两个三角形，叫做全等三角形。

请看图形演示。

移动图形，当两个三角形的三个顶点分别对应重合时，三条边也分别对应重合，这时候，就说两个三角形是全等的。

反过来，如果两个三角形全等，那么对应边相等、对应角相等，这就是全等三角形的性质。

2.根据定义，两个全等三角形是可以完全重合的。

那么，通过哪些图形变换方式，可以由一个三角形得到与它全等的另一个三角形呢？一是通过平移；二是通过旋转；三是通过翻转或者轴对称。

当然，也可以是两种或三种变换的依次进行得到。

二、三角形全等的判定方法3. 两个三角形全等的判定方法有哪些？（1）边边边SSS （2）边角边SAS（3）角角边AAS （4）角边角ASA这四种全等判定方法，对于任何形状的三角形都是适用的，包括直角三角形。

也就是说，直角三角形是可以用SSS、SAS、AAS、ASA来判定全等的。

三、SSA能判定两个三角形全等吗？4.两个直角三角形全等的判定方法再探究。

首先给两个直角三角形的顶点标上字母，如果它们的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形是全等的。

但是我们不能把推理过程写成SSA的形式，而要写成HL（斜边直角边）的形式。

并且把直角三角形（即Rt△）作为前提条件来书写。

有的同学就很疑惑，明明就是SSA的关系，为什么偏要写成HL呢？我们知道，判断两个三角形全等的条件，就是确定唯一三角形的条件。

三角形全等的性质与判定综合应用

温故知新
复习三角形全等判定，回答下列问题 1. 我们学习了那些三角形全等的判定方法？分别是什么？边边边：三边对应相等的两个三角形全等(SSS) 边角边：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS) 角边角：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(ASA）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）
1．如图，已知BD＝CE，AB＝FD，B，D，C，E共线．若添加一个条件，
就能使△ABC≌△FDE，则下列条件中： ①AB∥DF；②AC∥EF；③∠A＝∠F；④∠A＝∠F＝90°.
满足的个数为( B ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
典例精析
例1 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，
解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴BA⊥MN，∠EAD=∠EBC=90°
在Rt△ADE 和Rt△BEC中， DE=EC AD=EB
∴Rt△ADE ≌Rt△BEC(HL)．
∴ AE＝BC，AD=EB
∵AD＋BC＝7 ∴BE+AE=7
即AB=7.
4. 如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，
2 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点 E，AD⊥CE于点D，下面四个结论： ①∠ABE＝∠BAD；
②△CEB≌△ADC；
③AB＝CE； ④AD－BE＝DE. 其中正确的是 _①__②__④．
3 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，
点E在AB上，AD＋BC＝7， AD＝EB，DE＝EC，则AB＝___7_____.
AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF. 证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，

全等三角形的性质和判定的综合PPT精选文档

八年级上册数学（人教版）
专题训练(一) 全等三角形的性质和判定的综合
一、利用全等三角形解决与线段有关的证明与计算问题 1．如图，AB＝CD，BD＝AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC. 解：∵AB＝CD，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)， ∴∠ABC＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB⊥BC
2 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ ABC ＝ 90° ， BD⊥AC ，且 AE 平分
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解： (1)∵AE 平分 ∠ DAB ， ∴ ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∵ BE 平分 ∠ CBA ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ CBE ， ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ F ＝ ∠ CBE ， ∴∠ABE＝∠F，在△ABE和△AFE中，∵∠ABE＝∠F，∠BAE ＝ ∠ FAE ， AE ＝ AE ， ∴ △ ABE≌△AFE(AAS) (2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF，在△BCE和△FDE 中， ∵ ∠ CBE ＝ ∠ F ， BE ＝ FE ， ∠ BEC ＝ ∠ FED ， ∴ △ BCE≌△FDE(ASA) ， ∴ BC ＝ FD ， ∵ AD ＋ DF ＝ AF ， AB ＝ AF，∴AD＋BC＝AB

人教版八年级数学上册专题(三) 全等三角形判定与性质的综合运用

Rt△ODE≌Rt△OCE(AAS)，∴DE＝CE
类型三：证明两直线平行
4．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.
解：在△DOC 与△BOA 中，O∠CD＝OOC＝ A，∠BOA， OD＝OB，
∴△DOC≌△BOA(SAS)，∴∠D＝∠B，∴AB∥CD
类型四：证明两直线互相垂直 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．解：BE＝EC，BE⊥EC，证明：∵AC＝2AB，D是AC的中点，∴AB＝ AD＝CD，∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°，∵EA＝ ED，∴△EAB≌△EDC(SAS)，∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC，∴∠BED＋ ∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝90°，∴BE⊥EC
3．如图，AC⊥AD，BC⊥BD，OE⊥CDபைடு நூலகம்AC＝BD.求证：DE＝CE.
解：∵AC⊥AD，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°，在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中，DACC＝＝CBDD，，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)，∴∠ACD
＝∠BDC，在 Rt△ODE 和 Rt△OCE 中，∠∠OOEDDE＝＝∠∠OOECCE＝，90°，∴ OE＝OE，
∴∠A＝∠D
类型二：证明两线段相等 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC， CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE. 解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又CE⊥BD，∴∠BEC＝90°，又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC，又BD＝CB，∴△ABD≌△ECB(AAS)， ∴AD＝BE

全等三角形性质与判定综合运用(第一课时)

判定两个三角形全等的方法有哪些？SSSABC C 'B 'A'C BAC‘B’A 'SASCBAC 'B ’A 'ASAABCA 'B 'C 'AASA 'B 'C 'ABC任意三角形判定两个三角形全等的方法有哪些？C BAA'B'C'C BAA 'B'C'HL直角三角形要判定两个三角形全等，至少要几组条件？SSSABC C'B 'A'CBAC ‘B’A 'SASCBAC 'B’A 'ASAABCA 'B 'C 'AASCBAA 'B 'C 'HL至少需要三组条件要判定两个三角形全等，至少要几组条件？SSSABC C'B 'A 'CBAC ‘B ’A 'S A SCBAC 'B ’A'A S AABCA 'B 'C 'AA SCBAA 'B 'C 'HL至少需要三组条件至少有一组边相等的条件例如图,已知∠A=∠C，∠B=∠D，要使△ABO≌△CDO，需要补充的一个条件是__________.DACBO例如图,已知∠A =∠C ，∠B =∠D ，要使△ABO ≌△CDO ，需要补充的一个条件是___________________________.CD =AB ASA OC =O A或OD=OBAASBADCOBADCOBADCOCD =AB 或OC =O A 或OD=OB OCDAB练习如图，A，B，C三点在同一直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件__________________使得△EAB≌△BCD.EDACBEB =BD HLEA =BC SAS∠AEB =∠CBD∠EBA =∠BDCAASASAEDCB AEDCB A 练习如图，A ，B ，C 三点在同一直线上，∠A =∠C =90°，AB =CD ，请添加一个适当的条件___________使得△EAB ≌△BCD .EDCB A EDCB A EDCB A例如图所示，已知AD=AB,要使△ABC≌△ADC，现在已有的条件够不够用？需要添加几个条件？有几种添加的方法？DAC例如图所示，已知AD =AB ,要使△ABC ≌△ADC ，现在已有的条件够不够用？需要添加几个条件？有几种添加的方法？DC =BC SSS∠DAC =∠BACSAS∠D =∠B=90°HLDCADCACBA 注意挖掘隐藏条件A BCD练习如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.∴EDC BA练习如图，AB =AC ，AD =AE ，求证：BE =CD .分析：已知AB =AC ，AD =AE ，有公共角∠A ，并且公共角是两边的夹角.证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AE AD A A CA BA ∴△ABE ≌△ACD (SAS)∴∴BE =CD .EDCBA例如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE , AC =DF ，BE =CF ,求证：∠A =∠D .FEDCB AFEDCB A例如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE , AC =DF ，BE =CF ,求证：∠A =∠D .证明：∵BE =CF ，∴BE +EC =CF +EC .即BC =EF .在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）.∴∠A =∠D .FE D CB A 例如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE , AC =DF ，BE =CF ,求证：∠A =∠D .例如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE ，AD =AE .连接BD ，CE ，∠ABD =∠ACE . 求证：AB =AC .分析：要证AB =AC 需证△BAD ≌△CAE已知∠BAC =∠DAE , AD =AE ，∠ABD =∠ACE .∠BAC -∠CAD =∠DAE -∠CAD∠BAD =∠CAEEDCBAAAS证明：∵∠BAC =∠DAE ,∴∠BAC -∠CAD =∠DAE -∠CAD.即∠BAD =∠CAE.在△BAD 和△CAE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，AE AD CAE BAD ACE ABD ∴△BAD ≌△CAE (AAS) .∴AB =AC .EDCBA当出现点共线、角共顶点时，经常会用到等量相加结果相等、等量相减结果相等，这也是求两条边、两个角相等经常用到的方法.练习如图，B ，F ，C ，E 在一条直线上，BF =CE ，AC =DF .（1）在下列条件①∠B =∠E ；②∠ACB =∠DFE ；③AB =DE ；④AC ∥DF 中，只添加一个条件就可以证得△ABC ≌△DEF ，则所有正确条件的序号是_______________.CAFEDB（2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A =∠D .练习如图，B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AC=DF.（1）在下列条件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是_____________.ACEBFD练习如图，B ，F ，C ，E 在一条直线上，BF =CE ，AC =DF .（1）在下列条件①∠B =∠E ；②∠ACB =∠DFE ；③AB =DE ；④AC ∥DF 中，只添加一个条件就可以证得△ABC ≌△DEF ，则所有正确条件的序号是_____.CAFEDBBF +FC =CE +FC练习如图，B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AC=DF.（1）在下列条件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是__________.ACEBFD练习如图，B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AC=DF.（1）在下列条件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是__________.ACEBFD练习如图，B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AC=DF.（1）在下列条件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是__________.ACEBFD练习如图，B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AC=DF.（1）在下列条件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，②③④则所有正确条件的序号是____________.ACEBFD练习如图，B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AC=DF.（2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A=∠D.添加②∠ACB=∠DFE为例证明∵BF=CE，∴EF+FC=CE+FC.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，ቐAC=DF ，∠ACB=∠DFE ，BC=EF ，∴△ABC≌△DEF (SAS).∴∠A=∠D .CAFEDB课堂小结1 几何题解题习惯依题意标图、关注图形特征、挖掘隐藏条件.2 三角形全等知识巩固判定方法，根据已知条件灵活选择判定方法.3 几何题解题思路从结论入手，结合已知，双向推理.1.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.求证：（1）AD=AE; （2）BD=CE.课后作业O EDC BA课后作业2. 如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AC =DF ，AC =DF ，∠A =∠D ．求证：BE =CF ．AB CDE F。

全等三角形的性质与判定的综合应用

全等三角形的性质与判定的综合应用全等三角形的对应角、对应边是相等的，全等三角形的判定是“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，在说明线段相等或角相等时，常常需要综合运用全等三角形的性质和判定，下面举例予以说明。

一、说明线段相等例1、如图1，在△ABC 与△ABD 的顶点A 和D 均在BC 的同旁，AB=DC ，AC=DB ，AD 与BC 相交于O 点，则OA 与OD 相等吗若相等，请说明理由。

分析：要使OA=OD ，可分析△ABO 与△DCO 是否全等，但是条件中有一组边对应相等（AB=DC ），一组角对应相等（对顶角），显然不具备全等的条件。

但由已知条件可推出△ABC ≌△DCB ，再根据全等的性质可得∠A=∠D ，再根据全等三角形的判定“AAS”推出△ABO ≌△DCO ，从而得到OA=OD 。

解：OA=OD ，理由如下：在△ABC 和△DCB 中，因为AB=DC ，AC=BD ，BC=CB ，所以△ABC ≌△DCB （SSS ），所以∠A =∠D ，在△ABO 与△DCO 中因为∠A =∠D ，∠AOB=∠DOC ，AB=DC所以△ABO ≌△DCO ，所以OA=OD点评：本题考查了全等三角形的判定和性质。

说明两条线段相等时，可考虑着两条线段所在的两个三角形是否全等，若由已知条件不能直接说明这两个三角形全等时，可以由已知条件先推出其它的三角形全等，再由全等三角形的性质得到一些线段或角相等，为说明前面的三角形全等提供条件。

二、说明角相等例2、如图2，AB 、MN 与CD 相交于点O ，OA=OB ，OM=ON ，试问：∠D 与∠C 相等吗若相等，请进行说明理由. O D C B A 图1分析：要得到∠D=∠C，只需说明△BOD≌△AOC Array即可，但是由已知条件不能直接说明这两个三角形全等，但是由已知条件可推出△BON≌△AOM，由全等三角形的性质得到∠A=∠B，再结合OA=OB，∠AOC=∠BOD，即可说明△BOD≌△AOC。

全等三角形综合练习

全等三角形综合训练（一）1、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B,AC=BD,求证：A B∥CD。

2、如图，在ABC中，AB=AC, F、E 分别是AB、AC上的点，AM⊥CF于M,AN⊥BE于N,且AM=AN,求证：BF=CE.3、如图，已知等腰R t△ABE与等腰R t△ACD,∠BAE=∠CAD=90°,AM⊥DE于M, 交BC于N,求证：AN为△ABC的中线。

4、如图在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边向形外作等边△ABE和等边△ACD,DE和AF交于F点，求证：EF=DF5、如图、已知等边△ABC和等边△BDE,点A、B、D在一条直线上，连AE、CD交于点P.(1)AE=CD;(2)求∠DPE的度数；（3）若△BDE绕B点旋转任意角度，其它条件不变，则(1)、(2)的结论是否仍成立？试证明。

6、如图、已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，AC=BC,CD=CE,M、N分别为AE、BD的中点，连CM、CN.（1）判断CM与CN的位置关系和数量关系；(2)若Rt△CDE绕C点旋转任意角度，其它条件不变，则(1)的结论是否仍成立？试证明。

7、如图，已知等腰Rt△ABC的直角顶点C在X轴上，B在Y轴上。

（1）若点C的坐标为（2，0），A的坐标为（-2，-2），求点B的坐标;(2)在（1）的条件下，AB交X轴于F,边AC交Y轴于E,连EF,①求证：CE=AE;②求证：∠CEB=∠AEF。

（3）如图，直角边BC在坐标轴上运动，使点A在第四象限内，过点A作AD⊥y轴y于点D,求的值。

8、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是（1, 0）,点D 为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO;过D作DM⊥AC于M.（1）求证：∠ABD=∠ACD;(2)若点E在BA的延长线上，求证：AD平分∠CAE;(3)当A点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由。

全等三角形证明题大综合

BADCB DCEA全等三角形证明习题（1）1. 如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．2.已知，如图BD平分∠ABC，AB = BC 。

求证：AD = CD3. 如图，点E, F在BC上，BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C. 求证: ∠A=∠D4. 如图，AB=AD, BC=DE, ∠B=∠D. 问∠BAE与∠DAC相等吗？为什么？5. 已知:如图,∠1=∠2,BD=CD,求证:AD是∠BAC的平分线．6.如图所示在△ABC中，AB=AC，D是BD的中点，求证：△ABD≌△ACD．7.如图（2）：AC∥EF，AC=EF，AE=BD。

求证：△ABC≌△EDF。

CO EDBA8.已知：如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D 在BE 边上．求证：∠CAE=∠DAB ．9.已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ， ∠B=∠C 。

求证： △ABE ≌△ACD10.如图：AC=DF ，AD=BE ，BC=EF 。

求证：∠C=∠F 。

11.如图：AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CF 。

FE （图2）DCBADBEA OC FE BDADA12．如图，CE ⊥AB 于E , DF ⊥AB 于F , AF=BE , 且AC=BD ，求证：AC ∥BD13.如图，已知AB=DE ，BC=EF ，AF=DC ，则∠EFD=∠BCA ，请说明理由。

14.如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。

求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。

全等三角形证明习题（2）1．如图, AB, CD, EF 交于O 点, 且AC=BD, AC ∥DB. 求证：O 是EF 的中点．ABCDEFGFE（图6）DCBA2. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．3．如图，AC 交BD 于点O ，请你从下面三项中选出两个作为条件，•另一个为结论，写出一个真命题，并加以论证．①OA=OC ；②OB=OD ；③AB ∥DC ．5.如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。

数学思想方法在《全等三角形》一章中的应用(1)

数学思想方法在《全等三角形》一章中的应用云南省普洱市墨江县那哈乡学校（中学部）余绍省【摘要】三角形在生活中的广泛应用，三角形在教学中的重要地位引起我们对三角形的探究，从而引出数学思想方法在三角形中的应用，这些方法包括化归思想、分类思想、数形思想、类比思想等。

本文就这些思想方法进行一些简单的应用介绍，与同行共勉。

【关键词】数学思想方法全等三角形应用三角形是生产、生活中最常见，应用最广泛的图形之一。

它又是最常见的多边形。

我们对其他图形的研究通常都是转化为三角形问题，利用三角形的性质去研究。

因此三角形这一章是平面几何学中最重要的基础知识，又由于几何通常运用逻辑推理方法研究问题，本章教学同时还担负着培养学生逻辑推理的任务，是学生学习推理的阶段，也是几何入门的阶段，学生在小学时虽已接触过一些图形知识，但主要以几何量的计算为主，很少讨论图形的性质，因此，初二数学教学中历年来都存在一个几何“入门”难的问题，由此可见老师教好这一章，学生学好这一章是非常重要的。

数学教学内容是数学基础知识和数学思想方法的有机结合。

在数学课上，学生往往只注意了对数学知识的学习，而忽视了连结这些知识的观点及由此产生的解决问题的方法与策略。

因而在教学中渗透数学思想方法，让学生在学到数学知识的同时也学到数学思想方法，使之以后在生活、工作中都可以随时随地用它们去解决问题，在培养智力的同时也培养了能力，更有利于当代素质教育的开展。

因此，在课堂教学中渗透数学思想、数学方法是非常必要的。

它包括培养学生通过观察、分析，综合概括出抽象概念、性质的能力，对知识进行分类，系统化的能力；也包括运用运动变化的观点，矛盾转化的思想分析问题和解决问题的能力。

下面，我就这些年的教学经验和同仁谈一点数学思想方法在《全等三角形》一章中的应用，对这一章教学中主要的数学思想方法作一些简单介绍：一、化归思想化归可以理解为转化、归结的意思，它是数学中用以解决问题的最基本的手段之一。

三角形全等的判定(综合)

灵活运用
在解题过程中，应根据实际情况灵活运用不同的判定方法，以提高解题效率。
验证结论
在得出结论前，应验证结论是否符合已知条件和推理过程，确保结论正确。
常见错误与注意事项
混淆判定方法
在解题过程中，应注意区分不同的判定方法，避免混淆。
忽视已知条件
在解题过程中，应充分考虑已知条件，确保推理过程符合题意。
作已知角的平分线
同样利用三角形全等，可以作出已知角的平分线，通过构造全等三角形并利用对应角相等这一性质。
05 练习与提高
CHAPTER
基础练习题
总结词
掌握三角形全等的基本判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL。
详细描述
基础练习题应包括各种三角形全等的基本判定方法，如给定三边长度判断三角形是否全等，或给定两边及夹角判断三角形是否全等。这些题目旨在帮助学生熟悉和掌握三角形全等的基本概念和判定方法。
ASA判定定理
总结词
两角和夹边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形有两个角和它们的夹边分别相等，则这两个三角形全等。这个定理可以由SAS判定定理推导出来。
AAS判定定理
总结词
两角和非夹边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形有两个角和一组非夹边分别相等，则这两个三角形全等。这个定理可以由ASA判定定理推导出来。
HL判定定理
总结词
直角边斜边公理，即一直角边和斜边分别等于另一个三角形的直角边和斜边，则这两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形有一个直角边和斜边分别相等，则这两个三角形全等。这是三角形全等判定中专门用于直角三角形的方法。

全等三角形经典30道(有解析)

A
【例5】如图， AB AE ， ABC AED ， BC ED ，点 F 是 CD 的中点．
⑴ 求证： AF CD ；
B
E
⑵ 在连接 BE 后还能得出哪些结论？试说明你的结论．【解析】⑴ 连接 AC、AD
∵ AB AE ， ABC AED ， BC ED ，
∵ BP AC ， CQ AB ， ∴ △ABP ≌△QCA ，
∴ AP AQ ， APB QAC ． ∵ BP AC ，∴ ADP 90 ， ∴ APB DAP 90 ， ∴ CAQ DAP 90 ，即 PAQ 90 ，
∴ AP AQ ．
G E C A B E ，A ∴ △BDF ≌△CEG ， ∴ BD CE ．
A
D
FE
O
B
C
A
GD
E
O
B
C
A
FD
O B
GE C
【例4】已知：如图，在 △ABC 中，H 是高 AD 、CE 的交点，且 AD CD ．求证：AB HC ．
【解析】∵ AD 、 CE 是 △ABC 的高，
∴ FBC FBE EBC A ACB DBC
在 △FBC 和 △DBDB FBC DBC ，∴ △FBC ≌△DBC BC BC
∴ CD CF 2CE ．
【例7】如图，△ABC 中， AB 4 ， AC 7 ，M 是 BC 的中点， AD 平分 BAC ，过 M 作 FM ∥ AD 交 AC 于 F ，求 FC 的长．
∴ ADC BEC 90 ，
A
∴ B BCE BCE CHD 90 ，
∴ B CHD ．在 △ABD 和 △CHD 中，

全等三角形的判定及性质的综合运用

C
E 图（2）
AD=AE,AB=AC.若
∠B=20°,CD=5cm，求∠C
的度数以及线段BE的长度。
合作探究：
熟练转化“间接条件”判全等
如图：AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，若 ∠A=50°，求∠C的度数。
A 解：∵AE=CF(已知)
∴AE－FE=CF－EF(等量减等量，差相等)
即AF=CE
所以 △ACB≌△ ACD (SSS).
所以 ∠B =∠D.
总结与反思：
一.挖掘“隐含条件”判全等二.添条件判全等三.转化“间接条件”判全等
自主探究2：
挖掘“隐含条件”判全等
• 独立思考以下题目，一分钟后开始自己在作业上写出解题过程。每一小组有同学不会时可请教组长或老师。AD源自1.如图，AC与BD相交于
O,若OB=OD，∠A=∠C，B O C
若AB=3cm，求CD的长
度。
2.如图（2），点D在AB上，B O D A
点E在AC上，CD与BE相交于点O，且
F
B
D E
C
例10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道. 为估测这条隧道的长度（如图），需测出这座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗？
解选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO与BO的长度. 连接AO并延长至A′，使 OA=OA；连接BO并延长至B′，使 OB=OB，连接 AB，这样就构造出两个三角形.
全等三角形的判定方法
SSS（边边边） SAS（边角边） ASA（角边角） AAS（角角边）
有三边对应相等的两个三角形全等.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
边三有对角两应形角相全和等等它的.们两的个夹一应形有相个全两等角等角的所.和两对及个的其三边中对角

第6课全等三角形的判定——综合(1)

11. 如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，若BE＝CF，
则图中全等三角形有( C )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
12. 如图，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与 BC中点D的支架．求证AD⊥BC.
提示：由SSS可证得△ABD≌△ACD. 从而∠1＝∠2，又 ∠1＋∠2＝180°， ∴ ∠1＝∠2＝90°. 即 AD⊥BC.
7. (例3)如图，AD＝AB，BC＝CD.求证DE＝BE.
提示：由SSS可证得△ACD≌△ACB，从而得∠DAE＝∠BAE. 再由SAS可证得△ADE≌△ABE. 从而证得DE＝BE.
8. 如图，AB＝CD，BC＝AD，AC与EF相交于点O，AE＝CF. 求证OA＝OC. 提示：由SSS可证得△ABC≌△CDA. ∴ ∠DAC＝∠BCA，即∠EAO＝∠FCO. 再由AAS可证得△AOE≌△COF. 从而得OA＝OC.
证明：∵BF＝CE ∴BF＋FC＝FC+CE 即 BC＝EF 在△ ABC 和△ DEF 中， AB＝DE ∠B＝∠E BC＝EF ∴△ABC≌△DEF(SAS)， ∴∠2＝∠1
6. 如图，AD，BC相交于点O，请从下面给出的三项中选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明. ①OA＝OD；②OB＝OC；③AB＝CD. 条件：__①___②___，结论：____③____. 证明：提示：由SAS可证△AOB≌△DOC，从而AB＝DC.
2. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AB⊥BE于点B， DE⊥BE于点E，AC＝DF，BF＝CE.求证∠A＝∠D.
证明：由于BC＝BF＋FC＝CE＋FC＝EF，又 AC＝DF. 从而 Rt△ABC≌Rt△DEF. ∴ ∠A＝∠D.