【VIP专享】§3.2 连带勒让德多项式的性质
关联勒让德函数
勒让德函数（Legendre functions）是一类特殊的数学函数，它们是勒让德微分方程的解。
勒让德函数在物理学和工程学等领域中具有广泛的应用，特别是在描述球形对称问题和电势分布中常被使用。
勒让德函数包括勒让德多项式和勒让德球谐函数两种形式。
1. 勒让德多项式（Legendre polynomials）通常表示为Pn(x)，其中n是多项式的次数。
勒让德多项式具有以下特点：
-是关于自变量x的多项式；
-是正交函数，即在一定区间上的内积为零；
-满足勒让德微分方程。
2. 勒让德球谐函数（Legendre spherical harmonics）通常表示为Ylm(θ, φ)，其中l和m 是整数，θ和φ是球坐标系中的角度。
勒让德球谐函数具有以下特点：-描述球形对称问题中的解；
-与勒让德多项式有关，也涉及球坐标系的角度。
勒让德函数可以通过递推关系、积分定义和级数展开等方式求解。
它们在物理学中的应用包括描述量子力学中的杂化原子轨道、球形边界值问题中的电势、地球的引力场等。
此外，勒让德函数还与球面谐振子、球谐函数叠加和球形天体力学等领域密切相关。
勒让德多项式资料
其中本征值λ 对应于原方程中的n(n+1)。
部分实例
下表列出了头11阶（n从0到10）勒让德多项式的表达式：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
头6阶（n从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：
向量和
拉普拉斯方程（与和对称轴的夹角无关）。
若设为对称轴，为观测者位置向量和轴的夹角，则势函数的解可表示为：
其中和由具体边界条件确定
递推关系
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：
另外，考虑微分后还有以下递推关系：
其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用。
移位勒让德多项式
移位勒让德多项式的正交区间定义在[0,1]上，即：
其显式表达式为：
相应的罗德里格公式为：
下表列出了头4阶移位勒让德多项式：
n
0 1
1 2x ? 1
2 6x2 ? 6x + 1
3 20x3 ? 30x2 + 12x ? 1
0 1
1
2x ? 1
2
6x2 ? 6x + 1
3
20x3 ? 30x2 +
12x ? 1
0 1
1 2x ? 1
2 6x2 ? 6x + 1
3 20x3 ? 30x2 + 12x ? 1。
勒让德多项式
(1) k (2l 2k )! l 2 k Pl ( x) l x k 0 2 k!(l k )!(l 2k )!
n
一. 特殊值、奇偶性和图形
l 2 l 1 n 当l为奇数时 2
当l为偶数时 n
Pl (1) 1,
P2 n (0) c0 (1) n
六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模
0, lk 2 1 Pl ( x)Pk ( x)dx Nl2 , l k 2l 1
1
勒让德多项式完备性 若f(x)是定义在[-1,1]区间上任意一个平方可积的函数,
那么
f ( x) cl Pl ( x)
l 0
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
2. P l ( x) P l 1 ( x) 2 xP l ( x) P l 1 ( x)
3. 4.
P l 1 ( x) xP l ( x) (l 1) P( x) Pl 1 ( x) P l 1 ( x) 2l 1P l ( x)
1 1 2rx r xr
2
r Pl ( x)
l l 0 2
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
1 2rx r 2
(1 2rx r ) lr l 1Pl ( x)
l 0
( x r ) r l Pl ( x) (1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
证
2 l
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1 ) 2 l! dx l
勒让德多项式的实验总结与要求
勒让德多项式的实验总结与要求在数学领域中，以勒让德多项式是一类特殊的多项式，具有许多重要的性质和特征。
通过实验研究以勒让德多项式，可以更深入地理解其规律和应用。
在进行实验总结和要求时，我们需要遵循一定的方法和原则，以确保研究的准确性和可靠性。
实验总结：通过实验可以验证以勒让德多项式的性质和特征。
例如，通过计算不同阶数的以勒让德多项式在给定点的取值，可以观察其随阶数增加而变化的规律。
同时，可以通过绘制曲线图表的方式直观地展示不同以勒让德多项式的形状和特点。
实验可以用来探索以勒让德多项式在实际问题中的应用。
以勒让德多项式在物理学、工程学和计算机科学等领域具有广泛的应用，通过实验研究可以深入了解其在不同领域中的具体应用场景和效果。
实验还可以帮助我们深入理解以勒让德多项式的推导和性质。
通过实际操作和计算，可以更直观地感受到以勒让德多项式的数学原理和运算规律，从而加深对其理论基础的理解和掌握。
实验总结也可以用来比较不同方法和技术在研究以勒让德多项式时的效果和优劣。
通过对比实验结果，可以找出更有效的研究方法和策略，提高研究的效率和准确性。
要求：在进行以勒让德多项式的实验总结时，需要注意以下几点要求：1.确保实验数据的准确性和可靠性。
在实验过程中，要注意数据采集的精确性和实验操作的规范性，避免因误操作或数据错误导致实验结果的偏差。
2.注意实验的可重复性和可验证性。
为了确保研究结果的科学性，需要详细记录实验过程和方法，使其他研究者能够重复实验并验证结果。
3.注重实验结果的分析和解释。
在实验总结中，除了呈现实验数据和结果外，还应对实验结果进行深入分析和解释，揭示其中的规律和结论。
4.尊重科学研究的原则和规范。
在进行实验研究时，要遵循科学诚实、客观中立的原则，避免数据篡改和结果夸大等不端行为。
通过以上实验总结与要求，可以更全面地了解以勒让德多项式的特性和应用，提高对其的认识和理解，为进一步深入研究和应用奠定基础。
希望本文能为相关研究者提供一定的参考和指导，推动以勒让德多项式领域的发展和进步。
勒让德多项式是区间什么的正交函数
勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。
根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。
勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。
二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。
3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。
三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。
在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。
在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。
勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。
在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。
勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。
通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
matlab 勒让德多项式
MATLAB勒让德多项式引言勒让德多项式是数学中经常出现的一类多项式函数，具有广泛的应用背景。
在MATLAB中，我们可以使用多种方法实现勒让德多项式的计算和相关操作。
本文将从理论基础开始，介绍勒让德多项式的定义、性质以及在MATLAB中的实现方法。
一级标题1：勒让德多项式的定义与性质二级标题1：勒让德多项式的定义勒让德多项式可以通过勒让德方程的解来定义。
勒让德方程是二阶常微分方程，形式为：(1−x2)y″−2xy′+n(n+1)y=0其中，n为常数。
勒让德多项式P n(x)是满足勒让德方程的解，并且满足初始条件P n(1)=1。
二级标题2：勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，包括：1.正交性：勒让德多项式在区间[-1,1]上两两正交，即满足积分公式∫P m 1−1(x)P n(x)dx=22n+1δmn其中，δmn为克罗内克δ符号。
2.递推关系：勒让德多项式满足递推关系P0(x)=1, P1(x)=xP n+1(x)=2n+1n+1xP n(x)−nn+1P n−1(x)3.正交分解：任意可积函数f(x)都可以展开为勒让德多项式的级数形式∞f(x)=∑a nP n(x)n=0其中，系数a n可以通过正交性公式求解。
一级标题2：MATLAB中勒让德多项式的计算二级标题1：使用内置函数计算勒让德多项式MATLAB中提供了多个内置函数用于计算勒让德多项式，包括legendre、polyval等。
其中，legendre(n,x)函数可以计算勒让德多项式P n(x)在给定点x处的值。
n = 5; % 多项式阶数x = linspace(-1,1,100); % 定义计算点P = legendre(n,x); % 计算勒让德多项式值plot(x,P)二级标题2：使用递推关系计算勒让德多项式勒让德多项式的递推关系可以方便地用于计算任意阶数的勒让德多项式。
function P = legendreRecursive(n, x)P0 = ones(size(x));P1 = x;P = zeros(size(x));if n == 0P = P0;elseif n == 1P = P1;elsefor k = 2:nP = ((2*k-1)/k) * x .* P1 - ((k-1)/k) * P0;P0 = P1;P1 = P;endendendn = 5; % 多项式阶数x = linspace(-1,1,100); % 定义计算点P = legendreRecursive(n,x); % 计算勒让德多项式值plot(x,P)一级标题3：勒让德多项式的应用勒让德多项式在科学和工程领域中有广泛的应用，包括：二级标题1：信号处理中的勒让德多项式勒让德多项式可以用于信号处理中的分析和拟合。
勒让德多项式的模
勒让德多项式的模勒让德多项式是一类重要的特殊函数，其在物理学、数学和工程学等领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的模，并探讨其相关性质和应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是一个关于x的函数序列，它由下面的递推公式定义：$$P_0(x)=1$$$$P_1(x)=x$$$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x)$$二、勒让德多项式的性质1. 正交性勒让德多项式在区间[-1, 1]上满足正交性，即：$$\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{nm}$$其中，$\delta_{nm}$为克罗内克（Kronecker）符号。
2. 归一化条件由于正交性，我们可以将勒让德多项式归一化为单位长度：$$\int_{-1}^1 P_n^2(x)dx=\frac{2}{2n+1}$$3. 递推公式勒让德多项式具有递推公式，即：$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x)$$这个公式可以用于计算勒让德多项式的值。
4. 奇偶性当$n$为偶数时，$P_n(x)$是一个偶函数；当$n$为奇数时，$P_n(x)$是一个奇函数。
三、勒让德多项式的模在实际应用中，我们经常需要求解勒让德多项式的模。
勒让德多项式的模可以通过下面的公式计算：$$|P_n(x)|=\frac{1}{2^n n!}\sqrt{\frac{2n+1}{\pi}}\int_{-1}^1|x^n|dx$$其中，$|x^n|$表示$x^n$的绝对值。
根据上述公式，我们可以得到一些有用的结论：1. 当$n$为偶数时，$|P_n(x)|=P_n(x)$；2. 当$n$为奇数时，$|P_n(x)|=-P_n(x)$；3. $|P_n(0)|=\frac{1}{2^n n!}\sqrt{\frac{2n+1}{\pi}}\int_{-1}^0 x^ndx=\frac{(-1)^{\frac{n}{2}}}{2^{n+\frac{1}{2}}(n/2)!}\sqrt{\frac{\pi}{2n+1}}$四、勒让德多项式的应用勒让德多项式在物理学、数学和工程学等领域中都有着广泛的应用。
勒让德多项式表达式
勒让德多项式表达式
勒让德多项式是描述矩形表面和口径的另外一组多项式集合，它的优点是具有正交性。
由于存在正交性条件，高阶项系数趋于零，并且增加和删除一个项对其他项没有影响。
不过，这个多项式集合通常不在光学设计软件中使用。
勒让德多项式的数学描述如下
式中，
下图为几个低阶的勒让德多项式
在区间[一1，1]带权函数ρ(x)=1的正交多项式为
它称为勒让德(Legendre)多项式。
由于（x²-1）ⁿ是2n次多项式，求n阶导数后．得到
于是，得到首项(最高次项)xⁿ的系数：显然．首项系数为1的勒让德多项式为。
勒让德多项式正交性证明
您是想问如何证明勒让德多项式的正交性吗？勒让德多项式是指两个多项式$p(x)$ 和$q(x)$，满足下列条件：$$\int_{-1}^1 p(x) q(x) dx = 0$$对于任意的$p(x)$ 和$q(x)$，如果满足上述条件，则称$p(x)$ 和$q(x)$ 为勒让德多项式。
要证明勒让德多项式的正交性，我们可以使用数学归纳法。
首先，设$P_n(x)$ 和$Q_n(x)$ 是$n$ 次勒让德多项式，则有：$$\int_{-1}^1 P_n(x) Q_n(x) dx = 0$$假设对于所有小于$n$ 的正整数$k$，都有：$$\int_{-1}^1 P_k(x) Q_k(x) dx = 0$$现在，考虑$n+1$ 次勒让德多项式。
设$P_{n+1}(x)$ 和$Q_{n+1}(x)$ 是$n+1$ 次勒让德多项式，则有：$$\int_{-1}^1 P_{n+1}(x) Q_{n+1}(x) dx = 0$$展开$P_{n+1}(x)$ 和$Q_{n+1}(x)$ 得到：$$\int_{-1}^1\left[a_0P_n(x)+a_1Q_n(x)\right]\left[b_0P_n(x)+b_1Q_n(x)\ri ght] dx = 0$$为了找到无限的积分，我们可以使用以下公式：$$\int P(x) dx = \int c_nx^n dx + \int c_{n-1}x^{n-1} dx + \cdots + \int c_1x dx + \int c_0 dx$$其中p（x）是具有系数的多项式c_n, c_{n-1}, ..., c_1, c_0 and degrees n, n-1, ..., 1, 0 respectively.要将此公式应用于给定的积分，我们需要扩展多项式并像术语一样收集：$$\int(a_0b_0P_n^2(x)+a_1b_1Q_n^2(x)+a_0b_1P_n(x)Q_n(x)+a_1 b_0P_n(x)Q_n(x)) dx$$$$= \int (a_0b_0P_n^2(x)+a_1b_1Q_n^2(x)) dx + \int (a_0b_1P_n(x)Q_n(x)+a_1b_0P_n(x)Q_n(x)) dx$$$$= \int (a_0b_0P_n^2(x)+a_1b_1Q_n^2(x)) dx + \int (a_0b_1+a_1b_0)P_n(x)Q_n(x) dx$$现在，我们可以在每个术语中应用无限期积分的公式：$$= a_0b_0\int P_n^2(x) dx + a_1b_1\int Q_n^2(x) dx + (a_0b_1+a_1b_0)\int P_n(x)Q_n(x) dx$$为了评估确定的积分，我们现在可以使用不定的积分公式并替代集成的限制：$$\int_{-1}^1a_0b_0P_n^2(x)+a_1b_1Q_n^2(x)+a_0b_1P_n(x)Q_n(x)+a_1b _0P_n(x)Q_n(x) dx$$$$= [a_0b_0\int P_n^2(x) dx + a_1b_1\int Q_n^2(x) dx + (a_0b_1+a_1b_0)\int P_n(x)Q_n(x) dx]_{-1}^1$$$$= a_0b_0\int_{-1}^1 P_n^2(x) dx + a_1b_1\int_{-1}^1Q_n^2(x) dx + (a_0b_1+a_1b_0)\int_{-1}^1 P_n(x)Q_n(x) dx$$。
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式是高等数学中一个非常重要的概念，它是一类特殊的多项式，有着优良的数学特性，并且在实际的科学研究中被广泛应用。
它的微分表达式也被广泛采用，因为它可以表示变量的变化，并且可以更直观地体现数学模型。
本文旨在介绍勒让德多项式的微分表达式，以期对勒让德多项式的微分表达式有更深入的了解。
首先，我们需要了解勒让德多项式的定义。
勒让德多项式是一类多项式，它以带有一定规律的系数表示，其标准形式为：a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0=0 其中，n是多项式的次数，a_n, a_{n-1}, a_{n-2},…, a_1, a_0是多项式的系数。
接下来，我们来讨论勒让德多项式的微分表达式，它可以通过对多项式的每项进行微分，并根据次数进行指数变化，来得到。
下面我们来看一个例子，如多项式f(x)=x^4+2x^2-3x+4，它的微分表达式可以表示为：f’(x)=4x^3+4x-3可以看到，所得到的微分表达式只有一项，并且是对原多项式每项的指数变化、系数变化的综合反映，其公式是：f’(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+(n-2)a_{n-2}x^{n-3}+... +2a_2x+a_1此外，我们还可以使用一些特殊的技巧来求解勒让德多项式的微分表达式。
首先，无论多项式有多少项，它们都可以被写作一阶分式的形式：f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)其中，a_n是多项式的系数，x_1, x_2,…, x_n是多项式中全部根的表达式，他们都可以由简化的过程得到。
按照这种形式，勒让德多项式的微分表达式可以很容易地算出。
最后，为了更直观地理解勒让德多项式的微分表达式，我们可以使用拉格朗日的偏微分法，通过对多项式的拉格朗日函数进行求导来计算多项式的微分表达式。
例如，f(x)=x^4+2x^2-3x+4应的拉格朗日函数是：L=x^4+2x^2-3x+4-l_x其中，l_x拉格朗日变量，他可以看成是多项式中的未知数，通过对拉格朗日函数进行求导可以得出：f’(x)=4x^3+4x-3这也就是我们最终求解的勒让德多项式的微分表达式了。
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。
本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。
以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。
以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。
以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。
以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。
递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。
我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。
勒让德多项式表示形式
勒让德多项式表示形式
勒让德多项式，又称勒让德多项式，是一种数学表达式，用来表示一个多项式的值。
它是
由法国数学家勒让德（Joseph Louis Lagrange）在1795年发明的。
勒让德多项式的表达式是一个多项式，它由一系列的系数和指数组成，每个系数和指数都
有一个特定的含义。
系数表示多项式中每一项的系数，而指数表示多项式中每一项的指数。
勒让德多项式的表达式可以用来表示一个多项式的值，它可以用来计算多项式的值，也可
以用来求解多项式的根。
它还可以用来求解多项式的导数和积分。
勒让德多项式的表达式可以用来表示一个多项式的值，它可以用来计算多项式的值，也可
以用来求解多项式的根。
它还可以用来求解多项式的导数和积分。
勒让德多项式的表达式可以用来解决许多数学问题，它可以用来解决多项式的根，也可以
用来解决多项式的导数和积分。
它还可以用来解决更复杂的数学问题，比如求解微分方程
和积分方程。
勒让德多项式的表达式是一种非常有用的数学表达式，它可以用来解决许多数学问题，比
如求解多项式的根，求解多项式的导数和积分，以及求解微分方程和积分方程。
它的表达
式简洁明了，可以让我们更容易理解多项式的值，从而更好地解决数学问题。
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式是很多数学领域中应用广泛的多项式，它的微分表达式是这个领域的重要组成部分。
本文将概述勒让德多项式的微分表达式，讨论其特点及应用。
勒让德多项式的定义
勒让德多项式是由英国数学家约翰勒让德在18th世纪提出的。
在数学上，它是一种形式如下的多项式：
Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn
其中，a0、a1、a2、a3…an是实数，n是正整数。
勒让德多项式的微分表达式
从数学角度来看，勒让德多项式的微分表达式是由它的各项构成的：
dPn(x)/dx = a1 + 2a2x + 3a3x2 + + nana-1xn-1 从这个公式可以清晰地看出，在求勒让德多项式的导数时，各项的系数a1,a2,a3…an也将会发生变化。
勒让德多项式的特点及应用
勒让德多项式是一种经典的数学函数，它在许多数学领域都应用得很广泛，同时它也具有一些独特的特点。
首先，勒让德多项式可以用来描述复杂的常量变化过程，例如如果需要描述某种曲线的方程，可以考虑勒让德多项式，因为它能够把该曲线表示出来。
其次，勒让德多项式的微分表达式也是它的一个重要特点，它的
微分表达式可以用来求解曲线某个点的斜率，也可以用来求解某个函数在某一点处的单位切线的斜率。
最后，勒让德多项式也可以用来研究物体在几何上的变形过程，例如用它来分析某个几何图形变形时的变化规律。
总结
本文介绍了勒让德多项式的定义，以及它的微分表达式，并讨论了其特点及应用。
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( ) ( ) ( ) Plm
x
=
1 2l l!
1
−
x2
m 2
d l+m dxl +m
x2 −1 l
证明：
(0 ≤ m ≤ l)
( ) ∵ Pl
(x) =
1 dl 2l l! dxl
x2 −1 l
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∴Plm
x
=
1−
x2
m 2
dm dxm
⎡ 1 dl
⎢ ⎣
2l
l!
(x
+ 1)n
由（3）（4）得
( ) ( ) ( ) ( ) dl−m
( ) dxl−m
x2 −1 l =
x2 −1 m
l − m ! dl+m l + m ! dxl +m
x2 −1 l
( ) ( ) =
(− 1)m
1−
x2
m
(l (l
− +
)m ! d l +m m)! dxl+m
x2 −1 l
§3.2 连带勒让德多项式的性质
连带勒让德方程
( ) d
dx
⎡ ⎢⎣
1
+
x
2
dΘ dx
⎤ ⎥⎦
+
⎡ ⎢l ⎣
(l
+
1)
−
1
m2 −x
2
⎤ ⎥ ⎦
Θ
=
0
其解
( ) Θ(x) =
Plm (x) =
1− x2
( ) m
2
Pl[m]
x
或
( ) Plm (x) =
1− x2
m 2
dm dx m
Pl (x)
（0≤ m ≤l）
x
−1
l
和
d l+m−k dx l + m − k
x +1 l 均不为 0
必须 k ≤ l 且 l + m − k ≤ l (k ≥ m) ，即 m ≤ k ≤ l
( ) ∑ ( ) ( ) ∴
d l+m dx l + m
x2
−1 l
l
=
Ck l+m
k =m
dk dx k
x −1
l
d l+m−k dx l + m−k
−
m)!n!(x
) −1 l−n−m
(x
+
1)n
同理
（3）
2
( ) ∑ ( ) ( ) d l−m
dx l −m
x2
−1 l
=
l−m
Cn l−m
n=0
dn dx n
x −1
l
d l−m−n dx l −m−n
x +1 l
∑ =
l−m
Cn l−m
n=0
(l
−l!n )! (x
) −1 l−n
(n
l!
令c
=
(−
1)m
(l (l
− +
m)! m)!
即
Pl − m
(x)
=
(−
1)m
(l (l
− +
m)! m)!
Pl m
(x)
(m > 0)
三、连带勒让德多项式的积分形式
[ Pl m (x )
=
im π
(l
+m l!
)!
π
∫
0
cos
mϕ
x
+
证明：
]l
x2 − 1cosϕ dϕ
由 Plm (x)的微分公式得
要证 Pl−m (x) = cPlm (x)，即证
( ) ( ) ( ) ( ) 1
2l l!
1−
x2
−m 2
d l−m dxl −m
x2
−1 l
=
c
1 2l l!
1
−
x2
m 2
d l+m dxl +m
x2 −1 l
( ) ( ) ( ) ⇔
d l −m dxl −m
x2
−1 l
=
c 1−
x2
m
d l+m dxl +m
1−
x2
1 2
d dx
⎡1 ⎢⎣ 2
3x2
−
1
⎤ ⎥⎦
= 31−
x2
1
2x
= 3sinθ cosθ
( ) ( ) ( ) P22(x) =
1− x2
d2 ⎡1 dx2 ⎢⎣ 2
3x2
−1
⎤ ⎥⎦
=
3
1
−
x2
= 3x) 退化为 Pl (x) 。
二、连带勒让德多项式的微分形式：
x2 −1 l
由莱布尼茨求导公式，可得
( ) [( ) ( ) ] ∑ ( ) ( ) dl+m
dxl +m
x2
−1
l
=
d l+m dxl +m
x −1 l x +1 l
=
l+m
Ck l+m
k =0
dk dxk
x
−1
l
d l+m−k dxl +m−k
x +1 l
( ) ( ) 要保证 d k
dx k
l−m
=
C n+m l+m
n=0
l!
x −1 l−n−m l! x + 1 n
l−n−m!
n!
∑ =
l−m n=0
(n
(l + m)! + m)!(l −
n)!
(l
−
l! n−
m)!
l! n!
(x
) −1 l−n−m
(x
+
1)n
∑ =
l−m n=0
(n
+
(l m)!(l
+ −
m)!(l!)2 n)!(l − n
x +1 l
=
l
∑Ck l+m k =m
l(l
−1)L(l (l
− k +1)(l − k )!
−
k )!(x
) −1 l−k
l(l
−1)L(k − m +1)(k (k − m)!
−
m)!(x
) + 1 k−m
令n=k −m
( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ∴
d l+m dx l + m
x2
−1 l
dxl
x2
−
1
l
⎤ ⎥
=
⎦
1 2l l!
1
−
x
2
m 2
d l+m dxl +m
x2 −1 l
证毕。
（2）
1
此外，可以证明对于 m > 0 ， Pl−m (x)与 Plm (x) 相差一个常数，即 Pl−m (x) = cPlm (x)，c 为常
( ) ( ) ( ) 数，因此 Pl−m
x
=
1 2l l!
( ) ( ) ( ) Plm
x
=
1 2l l!
1
−
x
2
m 2
d l+m dxl +m
x2 −1 l
∫ 然后，由柯西积分公式 f (n)(z) = n!
2π i
cR
(z
f −
(z) )x n+1
dz
( ) ∫ ( ) Plm(x) =
1 2l l!
1−
x2
m 2
(l + m)! 2π i
z2 −1 l
( ) CR z − x l +m+1 dz
令 z − x = 1 − x2 eiϕ
1−
x2
−m 2
d l −m dxl −m
x2 − 1 l 也可以看作连带勒让德方程的解。
证明：
( ) ( ) ( ) Q Plm
x
=
1 2l l!
1−
x2
d m l +m
2
dxl +m
x2 −1 l
( ) ( ) ( ) Pl−m
x
=
1 2l l!
1
−
x2
−m 2
d l−m dxl −m
x2 −1 l
（1）
注意： Pl (x) 的最高次幂为 xl ，连带勒让德多项式是对 Pl (x) 进行 m 阶求导而后得到的，为
保证连带勒让德多项式不为零，需要满足 0 ≤ m ≤ l 。
一、连带勒让德多项式前几项：
( ) ( ) P11(x) =
1− x2
1 2
d [x] =
dx
1− x2
1 2
= sinθ
( ) ( ) ( ) P21(x) =
+ m)!
(x
) + 1 n+m
∑ =
l−m n=0
(l − m)! n!(l − n − m)!
(l
l!
− n)!
(n
l!
+ m)!
(x
−
)1 l−n
(x
+
)1 n+m
( ) ∑ =
x2
−1
m
l−m n=0