北师大版数学选修4-2练习：(第5章)特征向量在生态模型中的简单应用(含答案)

合集下载

高中数学A选修4选修42第五章矩阵的特征值与特征向量2特征向量在生态模型中的简单应.试题

高中数学A 选修4选修42第五章矩阵的特征值与特征向量2特征向量在生态模型中的简单应. 试题 2019.091,在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c aC b c o s )2(c o s -=（1）求∠B 的大小；（2）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.2,某项赛事，需要进行综合素质测试，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目以供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目.测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答.（1）求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（2）求某选手至少抽到一道体育类题目的概率.3,已知集合{},1,21|,1,log |2⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛==>==x y y B x x y y A x，则A B 等于 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210|y y B.{}10|<<y y C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121|y yD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|y y4,设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2，则1()y f x -=的图像必过点（） A.1(,1)2 B.1(1,)2 C.(1,0) D.(0,1)5,已知{}n a 为等差数列，若11101,a a <-且它的前n 项和n S 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n =（） A ．11 B ．19 C ．20 D ．216,直线l 过点0)且与双曲线222x y -=仅有一个公共点，这样的直线有（）A ．1 条B ．2条C ．3条D ．4条7,过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )。

《金版新学案》高三一轮(北师大版)理科数学(+课时作业)：选修4-2第2课时逆矩阵、特征值与特征向省

故 M＝46
2 4.
(2)由(1)知，矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ
＋16，故其另一个特征值为 λ＝2.
设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2＝xy，则 Me2＝46xx＋＋42yy＝2xy，
工具
选修4-2 矩阵与变换
所以64xx＋＋24yy＝＝22xy，，所以矩阵 M 的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是 2x＋y＝0.
解析：已知方程组可以写为2 －5x＝4， 3 1y 6
令 M＝23
－5，其行列式为2
1
3
－51＝2×1－3×(5)＝17≠0，
所以 M－1＝－111377
115277，所以xy＝M－164＝20，
பைடு நூலகம்
x＝2，即方程组的解为y＝0.
工具
选修4-2 矩阵与变换
关于特征值问题的一般解法如下：
给定矩阵 A＝ac
(2)求矩阵 M 的另一个特征值及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间
的关系．
解析：
(1)设 M＝ac
b， d
则a c
db11＝811＝88，
故ac＋＋db＝＝88.，
a c
db－12＝－24，
工具
选修4-2 矩阵与变换
故－－ac＋＋22db＝＝4－. 2，
联立以上两方程组解得 a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，
阵乘法的消去律成立．
工具
选修4-2 矩阵与变换
求矩阵 A＝12
3的逆矩阵． 2
解析：方法一：设矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝ac db，
则由2
3a
b＝1
0，
1 2c d 0 1

北师大版数学选修4-2练习：：综合学习与测试(4)(含答案)

综合学习与测试(四)1. 向量d c b a （左）乘向量q p的法则是（）A ．dp cp bp ap q p d c b aB ．dqcp bqap q p d c b a C ．dq cp bq ap q p d c b a D ．dqbp cqap q p d c b a 2. 点通过矩阵210011M 和310012M 的变换效果相当于另一变换是（）A ．210031B ．210061 C ．610021 D ．610013. 关于矩阵乘法下列说法中正确的是（）A ．不满足交换律，但满足消去律B ．不满足交换律和消去律C ．满足交换律不满足消去律D ．满足交换律和消去律4. 1110101120011101（）A ．4321 B ．4231 C ．4132 D ．12435. 下列说法中错误的是（）A ．反射变换，伸压变换，切变都是初等变换B ．若M ，N 互为逆矩阵，则MN=IC ．任何矩阵都有逆矩阵 D．反射变换矩阵都是自己的逆矩阵7. 给出下列命题：矩阵中的每一个数字都不能相等；二阶单位矩阵对应的行列式的值为1；矩阵的逆矩阵不能和原矩阵相等。

其中正确的命题有个。

8. 矩阵32521的特征值是。

9. 矩阵1002将曲线422y x 变成了什么图形？这个变换是什么变换？10. 求下列行列式的值：（1）d b ca2（2）420111. 已知ABC 的坐标分别为A （1，1），B （3，2），C （2，4），（1）写出直线AB 的向量方程及其坐标形式；（2）求出AB 边上的高。

12. 已知矩阵3212222111211n n n n na a a a a a a a a A ，定义其转置矩阵如下：n n n n n a a a a a a a a a A 3212221212111。

北师大版高中数学选修4-2全套练习及答案(24份)

二价方阵与平面向量乘法同步练习一、选择题1、设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是A 、),2()2,21(+∞⋃-B 、(2，+∞)C 、(21-，+∞)D 、(－∞，21-)2、设=(x 1，y 1)，=(x 2，y 2)，则下列为与共线的充要条件的有 ①存在一个实数λ，使=λ或=λ；②|·|=||·||； ③2121y y x x =；④(a +b )//(a －b ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、若函数y=2sin(x+θ)的图象按向量(6π，2)平移后，它的一条对称轴是x=4π，则θ的一个可能的值是 A 、125πB 、3πC 、6π D 、12π4、ΔABC 中，若⋅=⋅，则ΔABC 必为A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、等腰三角形 5、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则点P 与ΔABC 的关系是A 、P 在ΔABC 内部B 、P 在ΔABC 外部 C 、P 在直线AB 上D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点上6、在边长为1的正三角形ABC 中，=，AB c =，CA b =，则⋅+⋅+⋅=A 、1.5B 、－1.5C 、0.5D 、－0.5 二、填空题1、已知=(cos θ，sin θ)，=(3，－1)，则|2－|的最大值为____________2、已知P(x ，y)是椭圆1422=+y x 上一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，若∠F 1PF 2为钝角，则x 的取值范围为________________3、设=(a,b)，=(c,d)，规定两向量m, n 之间的一个运算“×”为×=(ac－bd ，ad+bc)，若已知=(1，2)，×=(－4，－3)，则=____________4、将圆x 2+y 2=2按=(2，1)平移后，与直线x+y+λ=0相切，则实数λ的值为____________ 三、解答题1、已知平面内三向量a 、b 、c 的模为1，它们相互之间的夹角为1200。

北师大版高中数学课本目录大全(必修)

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

线性代数_第5章_特征值与特征向量_-_习题详解[1]

第5章特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量练习5.11. 证明特征值与特征向量的性质3.设01()mm z a a z a z ϕ=+++ 是一个多项式. 又设0λ是矩阵A 的一个特征值, α是其对应的一个特征向量, 则00100()mm a a a ϕλλλ=+++ 是矩阵多项式01()m m A a E a A a A ϕ=+++ 的一个特征值, α仍是其对应的一个特征向量.证由0A αλα=得01()m m A a a A a A ϕαααα=+++()()01000m m a a a λλαϕλα=+++=再由定义得证.2. 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=122113221A的全部特征值与特征向量.解由()()2()33A f E A λλλλ=-=-+得A 的特征值为3,3321-===λλλ（二重）.当31=λ时，解齐次方程组()03=-x A E 得基础解系T )1,1,1(1=α所以，属于31=λ的全部特征向量为11αk （01≠k ）.当332-==λλ时，解齐次方程组()03=--x A E 得基础解系T )1,2,1(2-=α所以，332-==λλ的全部特征向量为22αk （02≠k ）.3. 求平面旋转矩阵cos sin sin cos G θθθθ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值.解由()2cos sin 2cos 1sin cos f E G λθθλλλθλθλθ--=-==-+-得矩阵G 的两个特征值为1cos λθθ=+，2cos λθθ=-4. 已知[]T1,1,1α=-是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A的一个特征向量. 试确定b a ,的值及特征向量α所对应的特征值.解设α所对应的特征值为λ，则由λαα=A , 即0)(=-αλA E ，得21212120531530121120a ab b λλλλλλ---++=⎛⎫⎛⎫⎧⎪ ⎪⎪---=⇔-+-+=⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-+----=⎝⎭⎝⎭⎩0 解之得1,0,3-==-=λb a .5. 设3阶矩阵A 的三个特征值为3,2,1321===λλλ, 与之对应的特征向量分别为[][][]T T T1232,1,1,2,1,2,3,0,1ααα=-=-=求矩阵A .解由假设123123[,,][,2,3]A αααααα=矩阵],,[321ααα可逆，所以1123123[,2,3][,,]A αααααα-=249143120153143164--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=320361182636. 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-, 求行列式*1A A A --+. 解记A 的特征值为1231,1,2λλλ==-=,则1232A λλλ==-，112A A A *--==-A*111123A A A A A A A A -----+=--+=-+故*1A A A --+的特征值为13,(1,2,3)i i i i μλλ-=-+=，计算得12312,2,2μμμ=-==所以*11232A A A μμμ--+==-7. 设2A A =, 证明A 的特征值只能是0或1. 解设λ是A 的特征值，则2()ϕ=-A A A 有特征值2()(1)ϕλλλλλ=-=-由于()ϕ=A O ，故其特征值全为零，所以()(1)0ϕλλλ=-=，从而0=λ或1=λ.8. （1）证明一个特征向量只能对应于一个特征值；（2）设21,λλ为矩阵阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1ξ和2ξ, 证明2211ξξk k +（0,021≠≠k k ）不是A 的特征向量.证（1）设A 的对应于特征向量α的特征值有1λ和2λ，即12,A A αλααλα==由此推出12()0λλα-=，由于0α≠，因此12λλ=.（2）（反证）假设2211ξξk k +是A 的特征向量，对应的特征值为μ，即()()11221122A k k k k ξξμξξ+=+由222111,ξλξξλξ==A A ，得()11221122111222A k k k A k A k k ξξξξλξλξ+=+=+()1122k k μξξ=+移项()()1112220k k λμξλμξ-+-=因{}12,ξξ线性无关，所以1122()0,()0k k λμλμ-=-=由0,021≠≠k k 得12λλμ==，这与21λλ≠矛盾.5.2 方阵的对角化练习5.21. 证明相似矩阵的性质1～7.性质1 相似关系是一种等价关系. 即具有：（1）自反性：~A A ；（2）对称性：~~A B B A ⇒；（3）传递性：~,~~A B B C A C ⇒. 证（1）由1E AE A -=，得~A A（2）设1P AP B -=，则1111()A PBPP BP ----==，~B A（3）设111122,P AP B P BP C --==，则112112P P AP P C --=，11212()()PP A P P C -=，~A C . 性质2 设B A ~, 又01()mm x a a x a x ϕ=+++ , 则()~()A B ϕϕ；证设1P AP B -=，则()112012()m m P A P P a E a A a A a A P ϕ--=++++1121012m m a E a P AP a P A P a P A P ---=++++ ()()2111012()mm a E a P AP a P AP a P AP B ϕ---=++++=性质3 设B A ~, 又A 可逆, 则B 可逆且11~--B A；证设1P AP B -=，由于B 是可逆矩阵的乘积，所以B 可逆. 且()111PAP B ---=，111P A P B ---=，11~--B A性质4 设B A ~, 则()()A B f E A E B f λλλλ=-=-=；证见正文.性质5 设B A ~, 则A 与B 的特征值相同；证由性质4即得证.性质6 设B A ~, 则B A =；证由行列式等于所有特征值的乘积以及性质5即得证. 性质7 设B A ~, 则tr()tr()A B =.证由迹等于所有特征值之和以及性质5即得证. 2. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100002，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12yB 已知A 与B 相似，求y x ,. 解由tr tr A B =和B A =得22122x y y +=+-⎧⎨-=-⎩解和0,1x y ==.3. 设3222-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ,（1）求可逆矩阵P 使得1-P AP 为对角矩阵；（2）计算106()f A A E =--A .解（1）易求得A 的特征值为1,2-，对应的特征向量分别为(1,2),(2,1)TT. 令1221P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11232121121222123P AP D ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）1061()()f A P D D E P -=--1061211112121(2)(2)1213⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211121279640121959216403213---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4. 设101121002A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求可逆矩阵P , 使1P AP -为对角矩阵；（2）计算k A ；（3）设向量0(5,3,3)Tα=, 计算0kA α. 解（1）按对角化的方法易求得()132110,,011100P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，1001101111P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭和1212Λ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP（2）由1Λ-=P AP 1Λ-⇒=A P P所以1111()()()k k ΛΛΛΛ----==A P P P P P P P P11020011021011110112221100211102kk kk k k k ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）（方法1）先按（2）先计算k A ，再计算kA α.k A αT (322,22,32)k k k =⨯++⨯.（方法2）先求α在基231,,ααα下的分解，然后再求αkA . 解α=Px 得1,2,3121===x x x所以α在基底231,,ααα下的分解为23123αααα++=则23123ααααk k k k A A A A ++=22331123αλαλαλk kk ++=23121223αααk k k +⨯+⨯=T (322,22,32)k k k =⨯++⨯5. 已知方阵1114335A x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦与对角矩阵相似, 且2=λ是A 的二重特征值.（1）求x 与y 的值.（2）求可逆矩阵P 使AP P 1-为对角矩阵. 解（1）111111222333000E A x y x y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2)12,2r E A x y -=⇒==-（2）求另一个特征值3λ2332426A λλ==⨯⇒=解()20E A x -=得基础解系（见下面P 的前两列），解()60E A x -=得基础解系（见下面P 的第三列）.111102013P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1226P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭6. 设矩阵3221423A kk -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（1）确定k 的值使A 可对角化.（2）当A 可对角化时, 求可逆矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵. 解（1）求A 的特征值232211)(1)423E A k k λλλλλλ---=+-=+--+(－1231,1λλλ==-=A 可对角化()10r E A k ⇔--=⇔=（2）方法同前111200021P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， 1111P AP --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭习题五1. 设23A A E O -+=，证明A 的特征值只能是1或2. 证设λ是A 的特征值，则2()3A A E ϕ=-+A 有特征值2()31(1)(2)ϕλλλλλ=-+=--由于()ϕ=A O ，故()ϕA 的特征值全为零，所以()(1)(2)0ϕλλλ=--=从而1λ=或2λ=.2. 设n 阶矩阵A 的各行元素之和都等于1，证明1λ=矩阵A 的特征值. 提求：(1,1,,1)Tα= ,A αα=. 证设(1,1,,1)T α= ,A αα=.3. 证明n ()2n ≥阶Householder 矩阵2T H E uu =-（其中,1n T u R u u ∈=）有1n -个特征值1, 有一个特征值1-.提示：方程组0Tu x =有1n -个线性无关的解向量记为(1,2,,1)i i n α=- , 直接验证i i H αα=. 又Hu u =-.证方程组0Tu x =有1n -个线性无关的解向量记为(1,2,,1)i i n α=- ,即0,(1,2,,1)T i u i n α==-于是()()22,(1,2,,1)T T i i i i i H E uu u u i n ααααα=-=-==-上式说明H 有1n -个特征值1. 又()()22T T Hu E uu u u u u u u =-=-=-上式说明H 有一个特征值1-. 综上，H 的特征值为111,1n n λλλ-==== .4. 设A 是n m ⨯矩阵, B 是m n ⨯矩阵, 证明AB 与BA 有相同的非零特征值. 特别地，如果m n =, 则AB 与BA 的特征值完全相同.证法1 由m n m n λλλ--=-E AB E BA （设m n ≥）立即得证.证法2 设λ是AB 的一个非零特征值，对应的特征向量为α，即λαα=)(AB用B 左乘上式得)())((αλαB B BA =只要再证明0≠αB ，上式说明λ也是BA 的特征值. 如果0=αB ，将其代入式λαα=)(AB 得左边()==AB α0，右边λ=≠α0（0,λ≠≠α0）矛盾. 因此0≠αB .同理，BA 的非零特征值也是AB 的特征值.5. 设A 与B 都是n 阶矩阵，()λϕ是B 的特征多项式，证明()A ϕ可逆的充要条件是矩阵A 和B 没有公共的特征值.证设n λλλ,,,21 为B 的特征值，则()()()()n λλλλλλλϕ---= 21从而()()()12()n A A E A E A E ϕλλλ=---于是12()n A A E A E A E ϕλλλ=---因此()0||≠A ϕ⇔0||≠-A E i λ（n i ,,2,1 =）⇔n λλλ,,,21 不是A 的特征值⇔A 与B 没有公共的特征值.6. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11322002a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b B 21 已知A 与B 相似. （1）求b a ,；（2）求可逆矩阵P ，使B AP P =-1.提示：A 与B 有相同的特征多项式，比较两个特征多项式的系数. 解（1）分别求得A 与B 的特征多项式32()(tr )(4)A f E A A a A λλλλλ=-=-+---B E f B -=λλ)(32(tr )(2)B b B λλλ=-+--由)()(λλB A f f =得tr tr A B =，B A =，42a b --=-即2=-b a ，42a b --=-解得2,0-==b a（2）由于A 与B 相似，所以A 的特征值与B 的特征值相同，就是B 的对角元2,2,1321-==-=λλλ再求出对应于这些特征值的特征向量分别为T T T )1,0,1(,)1,1,0(,)1,2,0(321-==-=ααα令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111012100,,321αααP则有B AP P =-1.7. 设A 是3阶方阵，x 是3维列向量，矩阵2,,P x Ax A x ⎡⎤=⎣⎦可逆，且x A Ax x A 2323-=求矩阵1B P AP -=.解()()2322,,,,32AP Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-()2000000,,103103012012x Ax A x P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1000103012P AP B -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭8. 设A 是3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323A ααα=+.（1）证明123,,ααα线性无关. （2）令[]123,,P ααα=，求1P AP -. 解（1）设1122330k k k ααα++=两边左乘A()11223230k k k αααα-+++=上面两式相减113220k k αα-=12,αα线性无关，130k k ==，代入前面式子20k =. 说明123,,ααα线性无关.（2）()()1231223,,,,AP A A A ααααααα==-+()123100100,,011011001001P ααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设212122221A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1098()65A A A A ϕ=-+解 A 的特征值为1231,1,5λλλ=-==，对应的特征向量分别为1231111,1,1201ααα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦令123111[,,]111201P ααα--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则111213306222P ---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1115P AP D --⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦从而()109810981()6565A A A A P D D D P ϕ-=-+=-+11222402240448P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦10. 设,(2),0,0nR n αβαβ∈≥≠≠, TA αβ=. 证明当0Tβα≠时, A 可对角化；当0T βα=时, A 不可对角化.证设0Tβα≠. 由ααβααβα)()(T T A ==知A 有特征值01≠=αβλT，对应的特征向量αξ=1.再设齐次方程组0=x T β的1-n 个线性无关解为n ξξ,,2 ，则T T ()()0i i i i ====A ξαβξαβξξ0说明A 有特征值02===n λλ ，对应的特征向量为n ξξ,,2 .综上，A 的n 个特征值为01≠=αβλT，02===n λλ ，对应的特征向量为n ξξξ,,,21 （它们线性无关）. 因此，A 可对角化. 相应的对角矩阵为T diag(0,,0,)βα设0Tβα=. 由2()()()T T T T A αβαβαβαβ===OA 的特征值全是零（n 重）. 但属于0λ=的线性无关的特征向量个数为()()1T n r A n r n n αβ-=-=-<所以A 不可对角化.11．求解微分方程组11212122d 51,(0)11d 62d 11,(0)0d 44x x x x t x x x x t⎧=--=⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩ 解写成矩阵形式5/61/2,1/41/4dxAx A dt --⎛⎫== ⎪--⎝⎭ 1321,131/12P P AP D --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1y P x -=，dyDy dt =，3(0)1y ⎛⎫= ⎪⎝⎭1121122,t ty c e y c e--==由初值定出常数123,1c c ==1233213t t e x Py e --⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭/121/1229e 2e 3e 3e t t t t x x ----⎧=+⎨=-⎩12．在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总人口不变，且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后的农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为n x 和n y （1n n x y +=）.（1）求关系式11n n n n x x A y y ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦中的矩阵A ；（2）设目前农村人口与城镇人口相等，即000.50.5x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解（1）11pq A p q -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）由()()[]1(1)(1)1pqE A p q pqλλλλλ-+--==------+得A 的特征值为121,1p q r λλ==--=再求得对应的特征向量为121,1q p αα-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令11q P p -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1121P AP r λλ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 于是11A P P r -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11111111n n n q A P P r p r p q p q --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1nn nn q pr q qr p q p pr p qr ⎡⎤+-=⎢⎥+-+⎣⎦000.510.5n n n n n n n x x q pr q qr A y y p q p prp qr ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2()12()2()n n q p q r p q p q p r ⎡⎤+-=⎢⎥++-⎣⎦。

北师大版数学选修4-2练习：(第5章)矩阵的特征值与特征向量(2)(含答案)

第五章矩阵的特征值与特征向量同步练习(二) 1、设21,是矩阵A 的两个不同的特征值,,是A 的分别属于21,的特征向量, 则有与是( )A 、线性相关B 、线性无关C 、对应分量成比例D 、可能有零向量2、矩阵4121M 的特征值为（）A 、3,221B 、3,221C 、3,221 D 、3,2213、矩阵1001M 的特征值为____________，对应的特征向量为________________。

4、矩阵2543A 的特征值是_________。

5、给定矩阵d c b a M ，设矩阵M 存在特征值，及其对应的特征向量y x，只有当 ________________时，方程组0y x d c b a才可能有非零解。

6、矩阵123211的特征值是。

7、当矩阵M 有特征值及对应的特征向量，即M ，则有n M 。

8、若矩阵A 有特征向量01i和10j ,且它们对应的特征值分别为1,221,(1)求矩阵A 及其逆矩阵1A ；(2)求逆矩阵1A 的特征值及特征向量；(3)对任意向量y x,求100A 和1A 。

9、自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。

因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。

但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。

现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为n n b a ,，有关系式n n n n n nb a b b a a 23211，其中4,611b a ，试分析20个时段后，这两个种群的数量变化趋势。

高中数学北师大版 4.2 超几何分布课后练习、课时练习

一、单选题1. 12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛．若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则为（）A．P(X＝6) B．P(X＝5) C．P(X＝3) D．P(X＝7)2. 在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为( ) A．B．C．D．3. 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为，则（）D．3A．B．C．4. 某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是()A．0.146 2 B．0.153 8C．0.996 2 D．0.853 85. 由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量表示这6人中共产党员的人数，则式子表示下列概率的是（）A．B．C．D．6. 已知10名同学中有a名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是，则（）A．1 B．4或6 C．4 D．6二、多选题7. 袋中有8个大小相同的球，其中5个黑球，3个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论中正确的是（）B．A．C．D．8. 下列命题中，正确的是（）．A．随机变量X服从二项分布，若，，则B．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为C．从3个红球2个白球中，一次摸出3个球，则摸出红球的个数X服从超几何分布，D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当且仅当时概率最大三、填空题9. 袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为___________.10. 已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列．ξ＝k0 1 2P(ξ＝k) ________ ________11. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，____________．12. 把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为______．四、解答题13. 从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；(2)设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列．14. 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号 1 2 3 4 5考前预估难度测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号 1 2 3 4 5实测答对人数16 16 14 14 14(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．15. 为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验．为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数80 45 55 20 45高二体验人数40 60 60 80 40高三体验人数15 50 40 75 30(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；(2)通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况，现随机选择3项传统艺术活动，设选择的3项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有项，求的分布列和数学期望；(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈．设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，写出的大小关系．16. 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．(1)求甲通过自主招生初试的概率；(2)试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；(3)记甲答对试题的个数为，求的分布列及数学期望．。

2017-2018学年高二数学选修4-2章末综合检测5 含答案

章末综合检测(五)1.求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量. 【解】矩阵M 的特征多项式 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 0－5 λ－6＝(λ＋1)(λ－6). 令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组⎩⎨⎧（λ＋1）x ＋0·y ＝0，－5x ＋（λ－6）y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5为属于λ1＝－1的一个特征向量.将λ2＝6代入方程组⎩⎨⎧（λ＋1）x ＋0·y ＝0，－5x ＋（λ－6）y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤01为属于λ2＝6的一个特征向量.综上所述，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5，属于λ2＝6的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.2.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.【导学号：30650055】【解】矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4 因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则由⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0得x ＝－y令x ＝1，则y ＝－1.所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.3.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24. (1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象； (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗？为什么？【解】 (1)因为2α＋3β＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2，所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18，所以向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18. (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量.理由如下：Mγ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7与向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不共线，所以向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量.4.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值. 【解】矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1， ∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.5.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量. 【解】 (1)∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3， ∴a ＝－4.(2)∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1， ∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧－2x ＋y ＝04x －2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量.对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量.∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3，属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.6.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵.【解】由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以c ＋d ＝6， ①由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，所以3c －2d ＝－2. ②联立①②可得⎩⎨⎧c ＋d ＝6，3c －2d ＝－2，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12－13 12.7.已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.(1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ； (2)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 324，求M 的特征值和特征向量； (3)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50β.(结果用指数式表示)【解】 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 2－10； B ＝A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0. (2)设M 的特征值为λ，则由条件得⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －3 －2 λ－4＝0，即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0.解得λ1＝1，λ2＝6. 当λ1＝1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 324⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得M 属于1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2；当λ2＝6时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3324⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得M 属于6的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(3)由Bα＝β，得β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4，设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4＝m α1＋n α2＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3m ＋n －2m ＋n ，则由⎩⎨⎧3m ＋n ＝－1，－2m ＋n ＝4.解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝2.所以β＝－α1＋2α2. 所以M 50β＝M 50(－α1＋2α2) ＝－M 50α1＋2M 50α2 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋2×650×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×650－32×650＋2. 8.已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4).(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程. 【解】 (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎨⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎨⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组可解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. (2)由(1)知矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f (λ)＝0，解得矩阵M 的另一个特征值λ＝2.设矩阵M 的属于特征值2的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Mα2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程并化简得x ′－y ′＋2＝0，即直线l ′的方程为x －y ＋2＝0.9.给定矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－1323，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2及向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求证M 和N 互为逆矩阵；(2)求证α1和α2都是矩阵M 的特征向量.【导学号：30650056】【证明】 (1)因为MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－1323⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以M 和N 互为逆矩阵. (2)向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－1323⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1313＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－1323⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以α1和α2都是M 的特征向量. 10.给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 56 1及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9. (1)求矩阵M 的特征值及与其对应的特征向量α1，α2； (2)确定实数a ，b ，使向量α可以表示为α＝a α1＋b α2； (3)利用(2)中的表达式计算M 3α，M n α； (4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？【解】 (1)矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －5－6 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4).令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－4，λ2＝7.易求得属于特征值λ1＝－4的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6，属于特征值λ2＝7的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由(1)可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得a ＝1，b ＝3，所以α＝α1＋3α2.(3)M 3α＝M 3(α1＋3α2)＝M 3α1＋3M 3α2＝(－4)3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×73×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43×5＋3×73－43×6＋3×73. M n α＝M n (α1＋3α2) ＝M n α1＋3M n α2＝(－4)n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×7n ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－1）n ＋1×4n ×5＋3×7n（－4）n ×6＋3×7n. (4)在M n α的结果中，随着n 的增加，特征向量α1对结果的影响越来越小.。

高等代数(北大版)第5章习题参考答案

第五章二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--；4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。

解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-=()222333142y y y y ++--=，再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。

2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=()()2322212x x x x +++=，于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修)

第五章：特征值与特征向量填空题

第五章：特征值与特征向量填空题1.1,n A A n 设阶矩阵的元素全为则的个特征值是.123,0n n λλλλ===== 答案：()2.n A kA k λα已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:为常数的一个特征值为，对应的特征向量为.,k λα答案：()3.m n A A m λα已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:为正整数的一个特征值为，对应的特征向量为.,m λα答案：14.n A A A λα-已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，的一个特征值为，对应的特征向量为.1,αλ答案：5.n A A A λα*已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，的一个特征值为，对应的特征向量为.,A αλ答案：16..n A P P AP λα-已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，的一个特征值为，对应的特征向量为.1P λα-答案：,()()110110117.,m m m m m m m m n A P f x c x c x c x c f x c A c A c A c λα----=++++=++++ 已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，则矩阵多项式的一个特征值为，对应的特征向量为.(),f λα答案：8.T n A A λα已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:的一个特征值为.λ答案：9.n A A E λα+已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:的一个，特征值为，对应的特征向量为.1,λλ+答案：()210.,A n A A A E n A A E λ**≠+设为阶矩阵，0为的伴随矩阵，为阶单位矩阵.若有特征值，则必有特征值.21,A αλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭答案：11.30,20,30,3A A E A E A E A E +=+=+=+=设为阶矩阵，已知则.答案：620012.0020002A B A B λ⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦设,,则矩阵有一个特征值.答案：2111121313.31,2,3,ij ij A A A A a A A A -++=设是阶矩阵，已知是中元素的代数余子式，则.1答案：2015.A n E n A A E λ+设是阶方阵，是阶单位阵，若有特征值，则必有特征值.01λ+答案：[]123123123116.31,1,2,,,,=2,4,A P P AP λλλξξξξξξ-==-=-=设是阶矩阵，有特征值其对应特征向量分别为记，-3则.121-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦答案：()1211117.246,2335A x A x λλ-⎡⎤⎢⎥====⎢⎥⎢⎥--⎣⎦设,有特征值二重，则.2-答案：[]18.1,0,1T T n A n E A αααα=-=-=设，矩阵,为正整数，则.()22n a a -答案：()1122333319.,ij A a A a a a ⨯==++=设为3阶矩阵，其特征值为1,2,3,则.6,6答案：220.1,2,3,1,A A -+=若4阶方阵的特征值为则.答案：[]12221.212,=1,1__________.221T A k k α⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦设矩阵向量，是它的一个特征向量，则12-答案：或1111122.4__________.2345A B A B E --=已知阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，，，，则行列式答案：241111111123._____________.11111111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的非零特征值是4答案：12311024.3=-1==1,=1______.1A A λλλλξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设阶对称矩阵的特征值，属于的特征向量，则100001010⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦答案：25.42,3,4,5_______________.A B B E -=已知阶矩阵与相似，其特征值为，则行列式24答案：()26.0____________.n A r A =若阶方阵有一个特征值为，且为单根，则1n -答案：3227.332,1-23,8___________.A B A A B E *=--=设阶矩阵有个特征值，，则0答案：()131028.410,262A A *-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦设则的特征多项式的一次因式分解式为____________.()2112λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭答案：。

北师大版高中数学选修4-2特征向量在生态模型中的简单应用同步练习

特征向量在生态模型中的简单应用同步练习一,选择题1,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6261的特征值是()A,3,221-=-=λλB,3,221-==λλ C,3,221=-=λλD,3,221==λλ2,已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝a ，−→−AE ＝b ，则−→−BC ＝（）A.21(a －b)B.21(b －a)C.a ＋21bD.21(a+b)3，下列命题中的假命题是() A.向量与的长度相等B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等二,填空题4,给定矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32313132M 及向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=56α,对任意的向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x ,则=M n .5,已知矩阵A 有特征值81=λ及对应特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111e ，并有特征值22=λ及对应向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212e ，则矩阵A= .6,矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123211的特征值是 . 三,解答题7,给定矩阵M=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1652及向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=92(1)求M 的特征值及对应的特征向量;(2)确定实数a,b 使向量α可表示为21e b e a +=α; (3)利用(2)中表达式间接计算n M M ,38,对下列兔子,狐狐狸模型进行分析.①)1(;9.015.0,2.03.11111≥⎩⎨⎧+=-=----n F R F F R R n n n n n n ②)1(;1.12.0,1.01.11111≥⎩⎨⎧+=+=----n F R F F R R n n n n n n (1)分别确定以上模型对应矩阵的特征值;(2)分别确定以上模型最大特征值对应的特征向量e ,及较小特征值对应的特征向量':(3)如果初始种群中兔子与狐狸的数量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30100000F R β,分别把第n 年种群中兔子与狐狸的数量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n F R β表示为和'的线性组合,即'+=b a n β;(4)利用(3)中表达式分析当n 越来越大时,n β的变化趋势.参考答案 1,A2,D3，D4,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+•⎪⎭⎫ ⎝⎛-++•⎪⎭⎫ ⎝⎛=22312231y x y x y x y x M n n n 5,⎪⎪⎭⎫⎝⎛4426 6,21,2121-==λλ 7,解:.117365)4(3,645134911102965643)3(;3)2(:711,465;7,4)1(2211232131321121121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=n n n n e e M e e M e e e e M λλαλλααλλλλ的特征向量为对应于的特征向量为对应于分别取有两个特征值矩阵8,解:.,.,,,)2.1(,)4(,30)2.1(60,20)2.1(120,30)2.1(6020)2.1(12010)2.1(60106030100)3(;321,122.1)2(;2.1,1)1(.)1(,9.015.02.03.100122101时间增加而增加兔子和狐狸的数量将随说明在此模型下趋向于无穷大分别越来越大和则并趋向于无穷大越来越大越来越大时当即则由的特征向量取属于较小特征值的特征向量取属于最大特征值有两个特征值而矩阵可表示为则模型令n n n nn n n n n nn n nn n F R n F R M M M M M ⎩⎨⎧-⨯=-⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯='-⨯=='-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='=⎪⎪⎭⎫⎝⎛======⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-βββλλλλβββ。

2021年高中数学第5章矩阵变换的特征值与特征向量同步练习北师大版选修4-2

2021年高中数学第5章矩阵变换的特征值与特征向量同步练习北师大版选修4-2一、选择题1，零为矩阵A的特征值是A为不可逆的( )A. 充分条件 B .必要条件 C.充要条件 D .非充分、非必要条件2,设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则有是( )A.线性相关B.线性无关C.对应分量成比例D.可能有零向量3, 设A、B都是2阶方阵, 下面结论正确的是( )A.若A、B均可逆, 则A + B可逆.B.若A、B均可逆, 则AB可逆.C.若A + B可逆, 则A－B可逆.D. 若A + B可逆, 则A, B均可逆.一，填空题4,矩阵的特征值是 .5,给定矩阵,设矩阵M存在特征值,及其对应的特征向量,只有当时,方程组才可能有非零解.6,当矩阵M有特征值及对应的特征向量,即则有 .二，解答题7,求矩阵的特征值和特征向量8,若矩阵A有特征向量和,且它们对应的特征值分别为,(1)求矩阵A及其逆矩阵(2)求逆矩阵的特征值及特征向量;(3)对任意向量,求及参考答案1，C 2,B 3,B4, 5,6,7,解:矩阵M的特征值满足方程:2,4:.082:)25)(2()3)(1(325210212-===------+=---+=λλλλλλλλ的两个特征值解得矩阵即M.452,0250)2()14(,0)2()1(,4),1(111的一个特征向量为属于持征值则可取也就是即则它满足方程的和特征向量为设属于特征值=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-++=-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλy x y x y x y x.212,020)2()12(,0)2()1(,2),2(212的一个特征向量为属于持征值则可取也就是即则它满足方程的和特征向量为设属于特征值-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-++-=-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλλy x y x y x y x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122,524,2,432521,2121的一个特征向量为属于的一个特征向量为属于有两个特征值综上所述λλλλM8,解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='='-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--210201,210012,1001)3(01,1021,1)2(10021,1002)1(1211001001002100110021211y x y x y x A y x y x y x A y x y x y x A A λλαλλαλλλλ则由于可以取属于的特征向量可以取属于的特征向量分别为逆矩阵的特征值有两个37454 924E 鉎21995 55EB 嗫30479 770F 眏34328 8618 蘘 26822 68C6 棆 SmX 38431 961F 队(30925 78CD 磍/。

【精品卷】2019—2020年最新北师大版高中数学必修4《向量的应用举例》课时练习1及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四7．2 向量的应用举例(二)课时目标经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．(2)不同点：向量与始点无关，力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是数乘向量．(4)功是力F与所产生位移s的数量积．一、选择题1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( )A．|F|·s B．F cos θ·sC．F sin θ·s D．|F|cos θ·s2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A．40 N B．10 2 N C．202N D．10 3 N3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．24．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )A．6 B．2 C．2 5 D．275．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)6．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f ＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)二、填空题7．若OF1→＝(2,2)，OF2→＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为________．8．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．9．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________．10．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．三、解答题11．如图所示，两根绳子把重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．12．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．能力提升13．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．14．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为e1＋e2；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e1＋2e2，设P、Q在t＝0 s时分别在P0、→时所需的时间t为多少？Q0处，问当PQ→⊥P0Q0用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．7．2 向量的应用举例(二) 答案知识梳理1．(1)大小方向2．(1)向量(2)加、减作业设计1．D2．B [|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝102，当θ＝120°，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 2 N．]3．D [F 1＋F 2＝(1,2lg 2)． ∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1) ＝2lg 5＋2lg 2＝2．]4．C [因为力F 是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F 3的大小等于以F 1、F 2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F 3|2＝|F 1＋F 2|2＝|F 1|2＋|F 2|2＝4＋16＝20，∴|F 3|＝25．]5．C [设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5ν．即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝－5．]6．A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1) ＝(8,0)，设合力f 的终点为P (x ，y )，则OP →＝OA →＋f ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．]7．5解析 ∵F 1＋F 2＝(0,5)， ∴|F 1＋F 2|＝02＋52＝5．8．10 J解析 W G ＝G ·s ＝|G|·|s |·cos 60°＝20×1×12＝10(J)．9．45 km/h解析如图用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的速度．则v 0＋v 1表示船实际航行速度， ∵|v 0|＝4，|v 1|＝8， ∴解直角三角形 |v 0＋v 1|＝42＋82＝45．10．①③解析设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ．∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大． ∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小． 11．解设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10 N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE →＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°．∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝53．|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5．∴在A 处受力为53 N ，在B 处受力为5 N ．12．解(1)AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W1＝F1·AB→＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·AB→＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J．(2)W＝F·AB→＝(F1＋F2)·AB→＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F对质点所做的功为－102 J．13．解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝|G|cos θ，|F2|＝|G|tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．(2)由|F1|＝|G|cos θ，|F1|≤2|G|，得cos θ≥12．又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°．14．解e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝2，其单位向量为(22，22)；3e1＋2e2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为(313，213)，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ，∴P 0P →＝|P 0P →|(22，22)＝(t ，t )，Q 0Q →＝|Q 0Q →|(313，213)＝(3t,2t )，由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)，得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)，PQ →＝(2t －1，t －3)，由于PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0，即2t －1＋3t －9＝0，解得t ＝2． ∴当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为2 s ．。