窄带平稳随机过程
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通信原理第三版樊昌信课后思考题答案
7.1 何谓载波同步？试问在什么情况下需要载波同步? 答：本地载波和接收信号载波的同步问题称为载波同步。本地载波的频率和相 位信息必须来自接收信号，或者需要从接收信号中提取载波同步信息。在接收 数字信号的一个码元时，为了在判决时刻对码元的取值进行判决，接收机必须 知道准确的判决时刻。 7.2 试问插入导频法载波同步有什么优缺点？ 答：插入导频法主要用于接收信号频谱中没有离散载频分量，且在载频附近频 谱幅度很小的情况，能在接收端解调时在输出中不产生新增的直流分量。 7.6 试问什么是相位模糊问题？在用什么方法提取载波时会出现相位模糊？解决 相位模糊对信号传输影响的主要途径是什么？ 答：用平方法、科斯塔斯环法提取时。解决方法是采用 2DPSK 代替 2PSK.
5.6 何谓码间串扰？它产生的原因是什么？是否只在相邻的两个码元之间才有码 间串扰？ （1）由于系统传输特性影响，可能使相邻码元的脉冲波形互相重叠，从而影响 正确判决。这种相邻码元间的互相重叠称为码间串扰。码间串扰随信号的出现 而出现，随信号的消失而消失（乘性干扰）。 （2）原因是系统总传输特性 H（f）不良 （3）是 5.7 基带传输系统的传输函数满足什么条件时不会引起码间串扰？
7.7 试问对载波同步的性能有哪些要求？ 答：1、载波同步精确度。2、同步建立时间和保持时间。3、载波同步误差对误 码率的影响。 7.13 何谓群同步？试问群同步有几种方法？ 答：为了使接收到的码元能够被理解，需要知道其是如何分组的，接收端需要 群同步信息去划分接收码元序列。两种：一类方法是在发送端利用特殊的码元 编码规则使码组本身自带分组信息。另一类是在发送端码元序列中插入用于群 同步的若干特殊码元，称为群同步码。 7.16 试述巴克码的定义 若一个包含 N 个码元的码组。其 R(0)=N,在其他处的绝对值均不大于一。
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
09第八章窄带随机过程
4S (w) w 0 (t)的 功 率 谱 密 度 S (w) X 5) 解 析 过 程 X X w 0 0 ˆ 解 ： 已 知 R X ( ) 2[ R X ( ) jR X ( )]， 等 式 两 边 做 傅 氏 变 换 可 得 ： ˆ S X ( w ) 2[ S X ( w ) jS X ( w )] ˆ 其 中 ， S X ( w ) j sgn( w ) S X ( w ) 所 以 ： S X ( w ) 2[ S X ( w ) s g n ( w ) S X ( w )] 4SX (w) w 0 w 0 0
三、窄带随机过程的莱斯表达式
任 何 一 个 实 平 稳 随 机 过 程 X(t)都 可 以 表 示 为 ： X ( t ) = ( t ) c o s w 0 t b ( t ) s in w 0 t 式 中 ， 对 于 窄 带 随 机 过 程 来 说 ， w 0一 般 为 窄 带 滤 波 器 的 中 心 频 率 。
( t ) ， b ( t )为 另 外 两 个 随 机 过 程 。
ˆ ( t ) = X ( t ) c o s w 0t X ( t ) s i n w 0t ˆ b( t ) = - X ( t ) s i n w 0 t X ( t ) c o s w 0 t 证明：
证明： 若 X(t)为 实 随 机 过 程 ， 则 其 解 析 过 程 为 ： ˆ X ( t ) = X ( t ) jX ( t ) 用乘e
复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
Zt X
t
iY t
其中 i
1
，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。
第七章窄带随机过程
物理与电子工程学院
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窄带随机过程的一般概念与预备知识
一、正弦型信号的复数表示方法
简单的正弦型信号可以表示为
s(t ) a cos(0t ) a cos (t )
其中 (t ) 0t , a、、0都是实常数。
很明显，s(t)是t的实值函数，称s(t)为实信号。
目录
窄带随机过程的一般概念与预备知识
希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
窄带随机过程的一般概念与预备知识
一个平稳随机过程，若它的功率谱密度在频率 轴的某个区域之外为零，或者说，它的功率谱带宽 为有限值，那么，便称它为限带随机过程，简称限 带过程。 在限带过程中，根据其功率谱分布区域的不同， 分为低通过程和带通过程。若平稳随机过程X(t)其功 率谱密度 S X 具有以下特点
ˆ(t ) H s(t ) ˆ(t )是s(t)的希尔伯特变换，即 s 其虚部 s ˆ(t ) 给出的是一种非常重要的复信 （3）式 s (t ) s(t ) js 号的表示形式。通常把它称为s(t)的解析信号或s(t)的预包 络。
ˆ(t ) s (t ) s(t ) js
窄带随机过程的一般概念与预备知识
其中 sc t A(t ) cos t
ss t A(t ) sin t t 都是低频限带信号。可见， sc t 和 ss t 由于 A(t ) 、 也都是 低频限带信号，且sc t 与ss t 彼此正交。
s t ae
第四章 窄带随机过程
(准正弦震荡)
包络 A t 与相位 t 均为慢变化（包含信息）
0
快变（载波)
展开成另一种表达形式:
X t A t cos 0 t t
A t cos t cos 0 t A t sin t sin 0 t
ˆ X t cos t X t sin t
0 0
ˆ RX cos 0 t cos 0 t RX sin 0 t sin 0 t
ˆ RX cos 0 RX sin 0 RAC ( )
解析信号(复信号的一种常见形式)
ˆ z t x t jx t
2 X ( ) Z X sgn X 0
0 0
正频率加倍，负频率清零。复信号没有负频率。
4.1.2 Hilbert变换的性质
2 X
2 AC
2 AS
3．功率谱密度
1 S AC S X 0 S X 0 2
1 sgn 0 S X 0 sgn 0 S X 0 2
用 X (t )及希尔伯特变换 X (t ) 表示 两个正交分量
ˆ AC t X t cos 0 t X t sin 0 t ˆ AS t X t sin 0 t X t cos 0 t
1．均值：零均值
5.互相关
ˆ RAC AS RX sin 0 RX cos 0
ˆ RAS AC RX sin 0 RX cos 0
窄带随机过程
正
交
滤
相频特性为：
()
/ 2
/
2
0 0
波 器
二、希尔伯特变换的性质
（1） H[xˆ(t)] x(t)
（2） H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
（3） 如果a(t)是低频信号
H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
低频信号
是窄带确知信号，其解析信号为
x%(t) A(t)cos0t+(t) jA(t)sin0t+(t)
A(t)e j0t+ (t) A%(t)e j0t
其中 A%(t) A(t)e j (t) ，称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换，得
X%() X () jX ()
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程 5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性 5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t)，其希尔伯特变换为：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
其反变换为：
4、同相分量和正交分量的统计特性
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t ) 利用如下关系 RY ( ) RYˆ ( ) RYYˆ ( ) RˆY ( ) RYˆY ( )
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
c
s
t t
t cos 2 ˆ t cos 2
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
(t
)
arctan
s c
(t (t
) )
2020/7/24
2
窄带随机过程的低通表示
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
复包络 复载波
其中L (t) ~(t)e j2fct
L (t) c (t) js (t) a (t)e j (t)
(t ) Re t Re L (t)e j2 fct
2020/7/24
3
5.3.2窄带随机过程的统计特性
解析信号的统计特性
■ R E * t t E (t) jˆ(t) (t ) jˆ(t )
R Rˆ jRˆ jRˆ 2 R jRˆ
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
0
f 0
fc
2 fc
f
2020/7/24
Pc ( f ) Ps ( f )
2A
f 0 f
f
10
5.4 窄带随机过程包络和相位的分布
窄带正态噪声的包络和相位分布
一维分布 二维分布
12
5.4.1
J 为Jocabian行列式。
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
解析过程的性质
3. RXˆX ( ) RˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( ) 式中 RXˆX ( ) E[Xˆ (t)X (t )] RXXˆ ( ) E[X (t)Xˆ (t )]
Rˆ X ( )表示RX ( )的希尔伯特变换
4. RXˆX ( ) RXXˆ ( ) 5. RXˆX ( ) RXˆX ( )
定义： 在区间(-∞<t<∞)内给定实值函数
x(t)，其希尔伯特变换记做 xˆ(t) 或者 H[x(t)]，有：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
1 x(t ) d
希尔伯特变换的性质
1. 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。 等效于输入信号通过一个冲激响应为 h(t)=1/(πt)的线性系统。即：
X~() a~ ( 0)
说明复信号 ~s (t) 只包含正的频率成分， 而强度为X(ω)的两倍。
~s (t) 也可以分解为： ~s (t) s(t) js ' (t)
其中s’(t)=asin φ(t)=asin(ω0t+θ)，为与s(t) 正交的分量。
二、任意信号的复数表示方法
为了设简s化(t)分为析任，意用的复实信信号号~s，(t频)来谱表为示X，(ω它)。 必须满足：
因为：a(t) X (t) cos0t Xˆ (t) sin 0t b(t) X (t) sin0t Xˆ (t) cos0t
SX () 0S,X (),
| | c
others
则称X(t)为低通过程。
SX(ω)
-ωc 0 ωc ω
如果X(t)的功率谱密度为：
SX () 0S,X (),
0 c | | 0 c
others
第6章 窄带随机过程
1 lim T 2T
1 ˆ lim T x (t )dt T 2T
T
T
x 2 ( t )dt
性质4. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换
ˆ (t )的自相关函数满足： X
1 lim 其中， R X ( ) T 2T
RX ˆ ( ) RX ( ) ，
性质8． RX Y (0) E[ X (t )Y (t )] 0, RY X (0) 0 性质9． GX ( ) Lp [GZ ( 0 ) GZ ( 0 )] 其中，Lp[· ]为求等效低通运算。即，令ω0=0 性质10． G X ( ) GY ( ) 性质11． GX Y ( ) jLp [GZ ( 0 ) GZ ( 0 )] 性质12． GY X ( ) G X Y ( ),
第六章 窄带随机过程
一、窄带随机过程的定义 很多无线电系统的通频带 是比较窄的，它们远小于 其中心频率 0 ，这种系统只允许输入信号靠近 0 附近的 频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：
0 , 0 一般为高频载波。
同理，可定义窄带随机过程，即： 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波 ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
[ X (t ) cos 0 (t ) Y (t ) sin 0 (t )]}
RX (t , t ) cos 0 t cos 0 (t ) RXY (t , t ) cos 0 t sin 0 (t ) RYX (t , t ) sin 0 t cos 0 (t ) RY (t , t ) sin 0 t sin 0 (t )
窄带实平稳高斯随机过程
29 窄带实平稳高斯随机过程概述窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度：一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量： 窄带实平稳随机过程的二维（两个时刻）包络和相位分布两个时刻信号的表达式：两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 两个时刻同相分量和正交分量的协方差矩阵：两个时刻同相分量和正交分量的联合概率密度函数： 两个时刻包络和相位的联合概率密度函数： 两个时刻包络的联合边缘分布：两个相距无穷远时刻的包络联合边缘分布： 一个时刻包络的边缘分布： 两个时刻相位的联合边缘分布：两个时刻相位和两个时刻包络的分布不是统计独立的：29.1 窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布 29.1.1 窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量tf t t f t t x t f t t f t t x c c s cc c πξπξπξπξ2cos )(ˆ2sin )()(2sin )(ˆ2cos )()(−=+=以及t f s t x t f t x t tf t x t f t x t cs c c c s c c ππξππξ2cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(−=+=因为窄带实平稳高斯随机过程的Hilbert 变换是一个高斯随机过程，它的同相分量与正交分量是它和它的Hilbert 变换的线性变换，同相分量和正交分量也是高斯过程。
上述高斯随机过程是联合高斯的。
29.1.2 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的：同相分量和正交分量的一维相关矩阵，)(),(t x t x s c 的相关矩阵，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)0(00)0(ξξξξR R R 同相分量和正交分量的联合概率密度是，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+−=⋅=22222exp 21)()(),(ξξσσπy x y f x f y x f s c s c x x x x 29.1.3 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度：同相分量、正交分量与包洛和相位分量的关系是，)(sin )()()(cos )()(t t V t x t t V t x s c φφ⋅=⋅=以及，)()(tan)())(())(()(122t x t x t t x t x t V c s s c −=+=φ同相分量、正交分量到包洛和相位分量的变换行列式是，)()(cos )()(sin )()(sin )(cos ),(),(t V t t V t t V t t V x x s c =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∂∂φφφφφ 一个时刻包洛和相位分量的联合概率密度是πφσσσσπφφξξξξφ21)(2exp 1)(2exp 21),(),(222222＝f r r r f r r y x f r r f V x x V s c ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⋅= 29.1.4 一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量：)()(),(φφφφf r f r f V V ⋅=一维包洛分量的数字特征是：{}{}{}2222/12222ξξξσπσσπ⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=V D V E V E29.2 窄带实平稳随机过程的二维包络和相位分布 29.2.1 两个时刻信号的表达式：两个时刻信号的同相分量和正交分量表达式11111111112cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(t f s t x t f t x t t f t x t f t x t c s c c c s c c ππξππξ−=+=22222222222cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(t f s t x t f t x t t f t x t f t x t c s c c c s c c ππξππξ−=+=两个时刻信号的包络和相位表达式)](2cos[)()(1111t t f t V t c φπξ+= )](2cos[)()(2222t t f t V t c φπξ+=两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的：由于ξ(t)是高斯分布的随机过程，而x c (t 1),x c (t 2),x s (t 1),x s (t 2)都是由ξ(t)经过线性变换得到的，它们是联合高斯分布的随机变量。
窄带平稳随机过程
❖ 窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同相 分量正交
❖ 其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
❖ 形式
x t Acosct n t Acosct nc t cosct ns t sin ct
❖ 包络
R t A nc t 2 ns2 t
莱斯分布
p
r
r
2
exp
r2
正交且功率相同。
白噪声
❖ 定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
❖ 高斯白噪声经过带通系统
n t nc t cosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
t
arctg
ns nc
t t
p 1
2
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 的高斯随机变量2，因此它们独立
（窄带高斯过程的性质），则
令
p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
则 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
nc r cos , ns r sin
I0
x
2
0
1
2
exp x
cos
d
p
0
p
r,
dr
0
r
2
2
exp
r
❖ 其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
❖ 形式
x t Acosct n t Acosct nc t cosct ns t sin ct
❖ 包络
R t A nc t 2 ns2 t
莱斯分布
p
r
r
2
exp
r2
正交且功率相同。
白噪声
❖ 定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
❖ 高斯白噪声经过带通系统
n t nc t cosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
t
arctg
ns nc
t t
p 1
2
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 的高斯随机变量2，因此它们独立
（窄带高斯过程的性质），则
令
p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
则 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
nc r cos , ns r sin
I0
x
2
0
1
2
exp x
cos
d
p
0
p
r,
dr
0
r
2
2
exp
r
第5章 _窄带随机过程
综合： 零均值窄带平稳高斯过程 X (t ) 的同相分量 Ac (t ) 和正交分量 As (t ) 也是具有相同方差的零 均值平稳高斯过程。 5.1.2 包络和相位的概率密度 反过来， X (t ) 可用两个分量来描述： 幅度
A(t ) = Ac2 (t ) + As2 (t ) ，相位
Φ(t ) = arctan
n(t ) 是均值为零、方差为 σ 2 的高斯随机信号，得 n(t ) 的概率密度函数： f n (t ) = 1 2πσ e
− n2 2σ 2
5‐ 5 / 7
又 n(t ) = X (t ) − a cos ωt ，带入上式即可得到 X (t ) 的概率密度函数：
f X (t ) =
1 2πσ
S m (t ) 的功率谱密度 Ps ( f ) 与其自相关函数 Rs m (τ ) 是一对傅立叶变换对。则有：
5‐ 6 / 7
1 Ps (ω) = FT [Rs m (τ )] = FT [ Rm (τ )cos(ω cτ )] 2 1 = [Pm (ω) ∗ Pc (ω)] 2
其中 Pm ( f ) 是 m(t ) 的功率谱密度， Pc (ω) 是 cos(ω cτ ) 的频谱， 又因为 Pc (ω) = π[δ(ω − ω c ) + δ(ω + ω c )] 所以 1 1 Ps (ω) = i Pm (ω) * π[δ(ω − ω c ) + δ(ω + ω c )] 2 2π 1 = [Pm (ω − ω c ) + Pm δ(ω + ω c ] 4 1 1 功率 P = Rs m (0) = Rm (0)cos 0 = 2 2 1 ∞ 1 ∞ 1 或则 P = Ps (ω)d ω = dω = [Pm (ω − ω c ) + Pm (ω + ω c )] ∫ ∫ 2π −∞ 2π −∞ 2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
第5章-窄带随机过程
RXXˆ () RXXˆ ()
RXXˆ (0) 0
互相关函数是奇函数
ˆ (t )正交 意味着 X (t )与 X
17
（9）偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希 尔伯特变换为偶函数 2015/6/2
Hilbert变换
常用变换
xt
cos 2 f0 t sin 2 f0 t
X () X () j ( j sgn()) X () (1 sgn()) X () =2 X ( w)U ( w) 2 X ( w), W 0 W 0 0, 即，解析信号的频谱在负频率部分为0，在正频率部分是 是信号的两倍。
2015/6/2 22
解析信号的特点2：解析信号频谱与复包络频谱
2015/6/2
6
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1. 定义 ：
正变换定义：
ˆ (t ) H [ x(t )] x
反变换：
ˆ ( ) x ˆ (t )] x(t ) H [x d t 1 1 ˆ (t )] x ˆ (t ) H [x t
2015/6/2 20
解析信号的性质(2)
4) 解析信号 x(t ) 的能量为其实信号 x (t)能量的2倍
x1 t x 2 t 0 5) 提示：利用性质2）和3） x t x2 t 0 1 6) 已知实函数 x t , 求其解析信号的方法
x( t ) A( t )cos 2 f 0 t x( t ) A t e j 2 f0t
2015/6/2
注：A t 为低通信号，其带宽W f 0 .
窄带随机过程
一. 非线性变换系统信噪比的计算
1、同步检波器
s(t)+n’(t)
s(t)+n (t) d(t)
窄带中放
低通滤波器
sD(t)
cos2fct 同步振荡器
Gn'
f
1 2
N0
s(t) a(t) cos 2fct
SNRo
a2 t
f Nc
2 SNRI
一. 非线性变换系统信噪比的计算
2、包络检波器
s(t)+n(t)
2、窄带随机过程的准正弦振荡表示
任何一个实平稳窄带随机过程X(t)都可以表示为：
X (t) A(t) cos[0t (t)]
其中 A(t), (t) 都是慢变化的随机过程。
莱斯(Rice)表示： X (t) AC (t) cos0t AS (t) sin 0t
AC (t) A(t) cos (t) 同相分量 AS (t) A(t) sin (t) 正交分量
H () 2
2
1
0
0
X (t)
A
B
带通滤波器
包络检波器
N (t )
Hale Waihona Puke H () 2 21
0
0
RY ( ) RX ( ) RNC ( ), GY ( ) GX ( ) GNC ( )
GNC () | H () |2
GN () | H () |2
N0 2
N0 2
1
1
|
| 0
0,
,
0
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
第5章 窄带随机过程
而且带宽 满足 <<0 ，则称此随机过程为 2 C 窄带平稳随机过程。
二. 窄带随机过程的表示方法
1、窄带随机过程的莱斯(Rice)表示式
任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
Y ( t ) A ( t ) c o s t A ( t ) s i n t C 0 S 0
0 0
正 交 滤 波 器
H() 1
/2 0 ( ) 0 /2
相频特性为：
二. 希尔伯特（Hilbert）变换的性质
证明：
证明：
（8）偶函数的希尔伯特变换是奇函数， 奇函数的希尔伯特变换是偶函数。
（9）解析过程的性质 若X(t)平稳，则 Xˆ ( t ) 也平稳，且联合平稳
R )R ( ) ˆ( X X
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R 0 )R 0 ) ˆ( X( X
R X Xˆ ( ) 是奇函数。
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R ( 0 ) R ( 0 ) 0 ˆ ˆ X X X X
表明同一时刻X(t)与其希尔伯特变换正交。
ˆ A ( t ) X ( t ) s i n t X ( t ) c o s t
ˆ A ( t ) X ( t ) c o s t X ( t ) s i n t C 0 0
S 0 0
2 2 A 1 A c t s t f ( A , A ) f ( A ) f ( A ) 2 e x p 2 A A c t s t A c t A s t cs c S 2 2
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
二. 窄带随机过程的表示方法
1、窄带随机过程的莱斯(Rice)表示式
任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
Y ( t ) A ( t ) c o s t A ( t ) s i n t C 0 S 0
0 0
正 交 滤 波 器
H() 1
/2 0 ( ) 0 /2
相频特性为：
二. 希尔伯特（Hilbert）变换的性质
证明：
证明：
（8）偶函数的希尔伯特变换是奇函数， 奇函数的希尔伯特变换是偶函数。
（9）解析过程的性质 若X(t)平稳，则 Xˆ ( t ) 也平稳，且联合平稳
R )R ( ) ˆ( X X
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R 0 )R 0 ) ˆ( X( X
R X Xˆ ( ) 是奇函数。
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R ( 0 ) R ( 0 ) 0 ˆ ˆ X X X X
表明同一时刻X(t)与其希尔伯特变换正交。
ˆ A ( t ) X ( t ) s i n t X ( t ) c o s t
ˆ A ( t ) X ( t ) c o s t X ( t ) s i n t C 0 0
S 0 0
2 2 A 1 A c t s t f ( A , A ) f ( A ) f ( A ) 2 e x p 2 A A c t s t A c t A s t cs c S 2 2
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
4.3 窄带随机过程的基本特点及解析表示
RAC AS RAS AC 0
即： AC t 与
S AC AS S ASA 0
C
AS t 处处正交
结论：
X(t)宽平稳，期望为0的实窄带随机过程, Ac(t),As(t) 低频过程
性质： （1）Ac(t),As(t) 期望为0，低频、平稳过程，且 联合平稳 （2）自相关函数，功率谱密度相同
RAc () RAs () S Ac () S As ()
（3）Ac(t),As(t)与X(t)平均功率同，方差同
（4）Ac(t),As(t) 互相关函数为奇函数
互谱密度相反
（5）同一时刻Ac(t),As(t)正交
(6)若X(t)单边功率谱关于ω0对偶，则两低频Ac(t),As(t) 过程始终正交（互谱密度，互相关函数横为0）
直接得到困难
X (t )
A(t ) (t )
AC (t ) AS (t )
展开成另一种表达形式(莱斯表示式):
X t A t cos 0 t t
A t cos t cos 0t A t sin t sin 0t
1．均值：零均值
ˆ t sin t 0 E A t E X t cos t X 0 0 C
ˆ t cos t 0 E A t E X t sin t X 0 0 S
4.3.2 平稳窄带随机过程的特点
这节讨论的X(t)是任意的宽平稳、数学期望为零的 实窄带随机过程。
对窄带过程取希尔伯特变换
X t AC t cos 0 t AS t sin 0 t ˆ X ( t ) AC t sin 0 t AS t cos 0 t
北大随机过程课件：第4章第7讲窄带实平稳随机过程
窄带实平稳随机过程¾ 1概述6 确定性窄带信号窄带信号的数学表达式 同相分量、正交分量 包络和相位分量6 窄带实平稳信号的Hilbert 变换Hilbert 变换（冲击响应、频率响应）和等效的线性系统窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的自相关函数和功率谱 窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的互相关函数和互功率谱¾ 2线性调制过程（1）6 由两个均值为零实宽平稳过程()a t 、()b t ，常数0ω，构造线性调制过程6线性调制过程的广义平稳的条件 6 构造线性调制过程的对偶过程 6 线性调制过程的复数表示6 线性调制过程相关函数和功率谱 6 单边带调制过程 ¾ 3线性调制过程（2）6 由线性调制过程)(t ξ构造对偶过程，解析信号6等效低通信号定义、频谱、功率谱，数学表达式时域表示，等效低通信号，它的同相分量、正交分量窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的同相分量、正交分量¾ 4计算调制过程分量的相关函数和功率谱 6 自相关函数和功率谱)(t x c 、)(t x s 的自相关函数和自功率谱6互相关函数和功率谱)(),(t x t x s c ；)(),(t x t x c s 的互相关函数和互功率谱6相关函数和相关矩阵进一步讨论 定理：窄带实平稳的随机过程的功率谱、时域的同相分量和正交分量表示、同相分量和正交分量的自功率谱、同相分量和正交分量的互功率谱、 6 相关函数和功率谱密度的小结¾ 5窄带实平稳随机过程的相关函数和相关矩阵： 6 相关函数 6 相关矩阵1概述1.1 确定性窄带信号窄带信号，信号的频谱分量仅仅集中在载波频率附近。
窄带信号的数学表达式是：()()()cos 2()()cos ()cos2()sin ()sin 2()cos2()sin 2c c c c c s c x t V t f t t V t t f t V t t f t x t f t x t f tπφφπφπππ=−=+=+ 同相分量、正交分量分别是：)(sin )()()(cos )()(t t V t x t t V t x s c φφ⋅=⋅=包洛和相位分量分别是：1()()()tan ()s c V t x t t x t φ−=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1.2 窄带实平稳信号的Hilbert 变换Hilbert 变换和等效的线性系统如果把变换看作一个线性系统，Hilbert 变换的频率响应和冲击响应分别是f j jf H sgn )(⋅−= tt h π1)(=随机过程)(t ξ的Hilbert 变换记作)(ˆt ξ11ˆ()()()()t t u du u du u t u ξξξππ=−=−∫∫ 窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换的自相关函数、互相关函数、功率谱和互功率谱：它们的相关函数和功率谱是)()()()(2ˆf P f P f H f P ξξξ== )()(ˆττξξR R =它们的互相关函数和互功率谱是)()()()sgn()()()()()sgn()()()(ˆˆ*ˆˆττξξξξξξξξξξξξR R f P f j f P f H f P f P f j f P f H f P −=⋅==⋅⋅−== 2线性调制过程（1）2.1构造线性调制过程线性调制过程：给定两个均值为零实宽平稳过程()a t 、()b t ，常数0ω，构造过程()x t ，[]000()()cos ()sin ()cos ()x t a t t b t tr t t t ωωωϕ=−=+其中振幅过程()r t 、相位过程()t ϕ()()()/()r t tg t b t a t ϕ==该过程是具有振幅调制()r t 和相位调制的调制过程。
窄带平稳随机过程
x 2 + y 2 − 2 Ax + A2 = exp − 2 2πσ 2σ 2
r 2 − 2 Ar cos θ + A2 p ( r, θ ) = exp − J 2 2 2πσ 2σ 1 r 2 + A2 − 2 Ar cos θ r exp − = 2 2πσ 2σ 2
r 2πσ
2π 0 ∞
2
e
−
r
cos θ ∂r = ∂ns − r sin θ ∂θ 2
sin θ =r r cos θ
2σ 2
则
r
∫
p (r,θ ) dθ =
σ
2
e
−
r2 2σ
2
) = ∫0 )=
1 p (r,θ ) dr = 2π p ( r ) p (θ
)
结论
窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同 相分量正交
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
t ) ) = m a 自相关
σ
1
⇒ nc = r cos θ ,
则
ns = r sin θ
r2 1 p ( r, θ ) = exp − 2 2 2πσ 2σ
|J|
|J|为Jacobian行列式 因此 ∂nc ∂ns
∂r | J |= ∂nc ∂θ
p ( r, θ ) =
5.7窄带随机过程包络和初相的特性
T0 Tc
T0 1 / c
在一个高频周期T0内，a(t)的变差均方值远小于其均方值。
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窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
利用切比雪夫不等式： P
X − E[ X ]
2 X 2
P
a(t + T0 ) − a(t)
E[[a(t
+ ) 2
− a(t)]2 ]
c2T02E[a2 (t)] 2
对于窄带随机过程，在一个高频周期内， a(t) 变化的概率趋于0，
即a(t) 为慢变化的随机过程。
同理， b(t) 也为慢变化的随机过程。
窄带随机过程包络和初相的特性
包络：
A(t) = a 2 (t) + b2 (t) 1/ 2 b(t)
)
=
1
2
− Sa ()[1− cos ]d
窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
cos = 1− 2sin2 ( / 2) ，且 | sin |
1− cos
= 2 sin2
2
2
2
2
=
2 2
2
Ra
(0)
−
Ra (
)
=
1
2
− Sa ()[1− cos ]d
1
2
c −c
Sa
()
2
2
2
d
1 c2 2 2 2
Hale Waihona Puke 窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
证明：（以a(t)为例）
a(t) 的功率谱满足： Sa () = 0 c 0,c 0
E[[a(t + ) − a(t)]2 ] = 2[Ra (0) − Ra ( )]
4.3窄带随机过程的基本特点
果 带 程 单 功 谱 关 称 , 5. 如 窄 过 X (t)的 边 率 是 于ω0对 的 那 A (t)和 S (t)的 相 函 和 功 谱 为 , 么C A 互 关 数 互 率 恒 零 两 低 过 正 ,即: 个 频 程 交 RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) = 0 SAC AS (ω) = SAS AC (ω) = 0
2 2 2 σA =σA =σX
C S
16
4. A (t)与 S (t)的 相 函 为 函 ,且 : A 互 关 数 奇 数 有 C RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) = RAC AS (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) A 在 一 刻 A (t)与 S (t)正 ,即: 同 时 , C 交 RAC AS (0) = RAS AC (0) = 0
6
RAC (t , t + τ ) = E[{ X (t ) cos(ω0t ) + X (t ) sin(ω0t )} { X (t + τ ) cos(ω0t + ω0τ ) + X (t + τ ) sin(ω0t + ω0τ )}]
= R X (τ ) cos(ω0t ) cos(ω0t + ω0τ ) + R X (τ ) sin(ω0t ) sin(ω0t + ω0τ ) + R XX (τ ) cos(ω0t ) sin(ω0t + ω0τ ) + R XX (τ ) sin(ω0t ) cos(ω0t + ω功率谱是关于
ω 0 对称 , 则有 : S A
C
AS
(ω ) = S AS AC (ω ) = 0
2 2 2 σA =σA =σX
C S
16
4. A (t)与 S (t)的 相 函 为 函 ,且 : A 互 关 数 奇 数 有 C RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) = RAC AS (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) A 在 一 刻 A (t)与 S (t)正 ,即: 同 时 , C 交 RAC AS (0) = RAS AC (0) = 0
6
RAC (t , t + τ ) = E[{ X (t ) cos(ω0t ) + X (t ) sin(ω0t )} { X (t + τ ) cos(ω0t + ω0τ ) + X (t + τ ) sin(ω0t + ω0τ )}]
= R X (τ ) cos(ω0t ) cos(ω0t + ω0τ ) + R X (τ ) sin(ω0t ) sin(ω0t + ω0τ ) + R XX (τ ) cos(ω0t ) sin(ω0t + ω0τ ) + R XX (τ ) sin(ω0t ) cos(ω0t + ω功率谱是关于
ω 0 对称 , 则有 : S A
C
AS
(ω ) = S AS AC (ω ) = 0
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p
r,
1
2
2
exp
r2
2 2
|
J
|
|J|为Jacobian行列式
因此
nc
| J | r nc
ns
r cos ns r sin
sin
r
r cos
p r,
r
2
2
e
r2 2 2
则
p r
2
p
0
r,
d
r
2
r2
e 2 2
p
0
p
r,
dr
1
2
p r, p r p
结论
窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同 相分量正交
exp
A2 cos2
2 2
2
A cos
Q
A
cos
1
2
exp
A2
2 2
1
2
A cos
Q
A cos
exp
A2 sin2
2 2
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X
t
an g t
其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
形式 x t Acosct n t Acosct nc t cosct ns t sin ct
包络 R t A nc t 2 ns2 t
莱斯分布
p
r
r
2
exp
r2
2
A2
2
I0
Ar
2
,
r0
相位
t
arctg
arctg
ns nc
t t
p 1
2
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变
量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
令 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
则 nc r cos , ns r sin
f
Rx
e j2 f d
可以分解成两个互相独立的零均值平稳高 斯过程，且功率相同。
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
E nc t ns t 0
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R t nc t 2 ns t 2
瑞利分布
p
r
r
2
exp
பைடு நூலகம்
r2
2 2
,
r0
相位 t
均匀分布
2Ar cos 2 2
A2
J
r
2
2
exp
r2
A2
2Ar
2 2
cos
p r
0
p r, d
r
2
exp
r2 A2
2 2
0
1
2
exp
Ar cos 2
d
r
2
exp
r2
2
A2
2
I0
Ar
2
其中，I0(x)称为零阶修正贝塞尔函数(Bessel)
I0
x
2
0
1
2
exp x cos
xl t xc t jxs t
窄带平稳随机过程的性质
由解析函数和等效基带信号的关系可得
xl
t
X
t
j
^
X
t
e
jct
^
xc t X t cosct X t sinct
^
xs t X t sinct X t cosct
窄带随机过程性质（证）
如果X(t)平稳，则Xc(t),Xs(t)联合平稳。 如果E[X(t)]=0,则E[Xc(t)]=E[Xs(t)]=0 如果X(t)高斯平稳，则Xc(t),Xs(t)高斯平稳。 如果X(t)高斯平稳且零均值，则Xc(t),Xs(t)
ns t A nc t
证明
令 x A nc , y ns ，则
x r cos
y r sin
其中，x ~ N A, 2 , y ~ N 0, 2
则
p x, y
1
2 2
x A2
exp
2 2
y2
1
2
2
exp
x2
y2
2Ax
2 2
A2
p r,
1
2
2
exp
r2
nT
n
E an ma , E an*ank Ra k
循环平稳过程的统计特性
期望
E X t ma g t nT
n
自相关
RX t,t Ra n m g* t nT g t mT
nm
功率谱密度
Rx
t,
t
1 T
T /2 T / 2
Rx
t, t
dt
Rx
Px
d
p
0
p
r,
dr
0
r
2
2
exp
r
Acos 2
2
2
A sin
2
dr
1
2
exp
A2 sin2
2 2
0
r
2
exp
r
A cos 2 2
2
dr
1
2
exp
A2 sin2
2 2
Acos
x
A cos 2
exp
x2
2 2
dx
1
2
exp
A2 sin2
2 2
相互正交且功率相同。
白噪声
定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
高斯白噪声经过带通系统
n t nc tcosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t
2
E
ns
t
2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
窄带平稳随机过程
定义
功率谱密度形如带通信号的平稳随机过程。 （见书图）
感性认识：
窄带平稳随机过程的样本（书图）
• 高频振荡波形，包络随机起伏
窄带平稳随机过程的表示
X t a t cos ct t
a t cos t cosct a t sin t sin ct xc t cosct xs t sin ct Re xl t e jct