窄带平稳随机过程
窄带系统和窄带随机过程
R
L
系统的传递
C
窄带系统冲激响应
窄带-对称系统的包络定理
窄带-对称系统的包络定理: 1) 求解出系统传递函数 的零-极点形式;
2) 画出 的“极点分布图”；
3)去除第三象限的极点，并将二象限的极点沿 虚轴平移，使其中心与实轴重合；
(a) 极点分布
(b) 极点分布
4)对 取拉氏反变换,得到
其中,
窄带高通滤波器
H j
白高斯 噪声
RCL串联回路
R
L
C
高斯白噪声由大量独立的面积随机变化的 型随机脉冲迭加。
线性电路性质：
输出信号由大量幅度为 ，以 衰减的， 相位随机 的谐振振荡为 的信号组成。
输出信号的振幅 就是大量幅度为 ，以 衰减的，相位随机 的信号矢量 迭加而成。
当 ，迭加的数量增加， ；
§5.2 窄带随机过程的一般概念
§5.2.1 定义 平稳随机过程 ，若其功率谱密度函数 为
则称此随机过程为平稳随机过程。
窄带高通滤波器
§5.2.2 窄带随机过程表示为准正弦振荡
准正弦振荡
式中 是随机过程的慢变幅度，称为窄带随 机过程的包络； 是慢变相位，称为窄带随机 过程的随机相位。
窄带随机过程准正弦振荡表示物理解释
1.衰减因子 ，衰减越快， 的拖尾(尾迹) 越长;
2.衰减因子 ，衰减越慢， 的拖尾(尾迹) 越长；
第5章-窄带随机过程
第五章 窄带随机过程
5.1 窄带随机过程的概念
1． 通信工程中的信号频率
在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。对于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。 2． 窄带随机过程
（1） 带通随机过程的定义
若随机过程)(t X 的谱密度满足：
⎩⎨
⎧∆<-=其它
0)()(0ω
ωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。
带通过程的谱密度的图解如下图。 （2） 窄通随机过程的定义
若)(t X 为带通过程，且0ωω<<∆，即中心频率过大于谱宽，则称)(t X 为窄通随机过程。
3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法
（1）窄带随机过程的莱斯表示
定理：任何一个实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：
)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω-=
证明：略。
注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。 （2） )(t a 、)(t b 的性质 ①)(t a 、)(t b 都是实随机过程。 ②0))(())((==t b E t a E . 。
③)(t a 与)(t b 各自广义平稳，联合平稳，且：)()
(ττb a R R =。
④))(())(())((2
22t X E t b E t a E ==，由此可得方差22b a σσ=。
⑤0)0(=ab R ，这说明)(t a 与)(t b 在同一时刻正交。 ⑥)()(ωωb a S S =。
4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法
09第八章窄带随机过程
d
ˆ 4 ) H [ X ( t )] X ( t )
希尔伯特变换的性质
证明:
例 题 ： 求 S ( t ) s in w 0 t , w 0 > 0 的 希 尔 伯 特 变 换 。 解：
H [s in w 0 t ] 1
1
s in w 0 ( t )
4S (w) w 0 (t)的 功 率 谱 密 度 S (w) X 5) 解 析 过 程 X X w 0 0 ˆ 解 ： 已 知 R X ( ) 2[ R X ( ) jR X ( )]， 等 式 两 边 做 傅 氏 变 换 可 得 ： ˆ S X ( w ) 2[ S X ( w ) jS X ( w )] ˆ 其 中 ， S X ( w ) j sgn( w ) S X ( w ) 所 以 ： S X ( w ) 2[ S X ( w ) s g n ( w ) S X ( w )] 4SX (w) w 0 w 0 0
( t ) ， b ( t )为 另 外 两 个 随 机 过 程 。
ˆ ( t ) = X ( t ) c o s w 0t X ( t ) s i n w 0t ˆ b( t ) = - X ( t ) s i n w 0 t X ( t ) c o s w 0 t 证明：
窄带随机过程的两种表达式
窄带随机过程的两种表达式
随机过程是有关概率的一个抽象概念，它指的是一系列随机变化的事件序列，可以通过某种数学形式来描述。窄带随机过程是指在一定的时间和频率内的随机过程，它是不断变换的快速信号序列，可以被压缩表示为一维或二维的图像。窄带随机过程的表达式可以主要分为两类：
一、谱密度函数表示法
谱密度函数可以定义为：S(f),是指窄带随机过程中，每一种频率f处的功率谱密度，即根据频率f得到每一次过程的变化情况，它可以用来预测窄带随机过程所属的分布，如正态分布、均方差和偏差等。
举例来说，以正态分布为例，谱密度函数S(f)的表达式可以表示为：S(f) = σ^2 / (2πf^2)
其中，σ代表窄带随机过程的均方差，f为频率。
二、功率谱密度函数表示法
功率谱密度函数可以定义为：P(f),是指窄带随机过程中，随机变量的模方差的函数，它可以用来描述窄带随机过程的功率谱特性，估计窄带
随机信号的能量。
举例来说，功率谱密度函数P(f)的表达式可以表示为：
P(f) = 2πf^2σ^2
其中，σ代表函数的模方差，f为频率。
总的来说，窄带随机过程的两种表达式主要是谱密度函数表达法和功率谱密度函数表达法，它们各有特点，可以根据不同的窄带随机信号类型选择不同的表达方式，以达到最佳的谱性能效果。
窄带随机过程ppt课件
S () S ()
R() R(), 偶函数 I () I ()， 奇函数
j arctanI ( )
S( ) S( ) e j( f ) R2 () I 2 ()e
R( )
S ()，偶函数 ()，奇函数
由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。 9
从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余 余的，所以只要保留正频域的频谱，记为 S () ，即可。
T 2T T
T 2T T
15
性质4. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换 Xˆ (t) 的自相关函数满足：
RXˆ ( ) RX ( )
变换后平均功率不变
RXˆ (0) RX (0)
性质5. 平稳随机过程 X(t) ~ Xˆ (t) 的互相关函数满足：
R X
Xˆ
(
)
Rˆ X
(
),
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2：Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
25
RZ ( ) cos0
1
2
GZ
()e
六.窄带随机过程
(2) RX ˆ ( ) RX ( ) , S X ˆ ( ) S X ( )
ˆ ˆ (3) RXX ˆ ( ) R X ( ) , R X ˆX ( ) R X ( )
1 x (t ) d
反变换
ˆ ( ) x ˆ (t )] x(t ) H [ x d t ˆ (t ) 1 x d
1
1
ˆ (t ) 1 x d
H ( )
一个典型的确定性窄带信号可表示为 窄带系统
白噪声
X (t )
Y (t )
x (系统示意图 t ) a (t ) cos[ 0 t (t )] 或宽带噪声
x(t ) y(t ) a(t ) —— 幅度调制或包络调制信号
窄带噪声
0
窄带系统传递函数
(t ) ——相位调制信号
ˆ (t ) sin t Ac (t ) X (t ) cos 0 t X 0 ˆ (t ) cos 0 t As (t ) X (t ) sin 0 t X
27 2014-10-16
2.1 窄带信号与调制
第四章 窄带随机过程
AC t cos 0 t AS t sin 0 t
AC t A t cos t
AS t A t sin t
A(t ) A (t ) A (t )
2 C 2 S
ຫໍສະໝຸດ Baidu
——同相分量 ——正交分量
AS (t ) (t ) arctan AC (t )
ˆ F H x(t ) X H ( ) X j sgn X ( )
Hilbert频域特性图示
j 0 H ( ) j sgn j 0
H ( )
+j 图1 0 -j 1
ˆ E AC t E X t cos 0 t X t sin 0 t 0
ˆ E AS t E X t sin 0 t X t cos 0 t 0
在同一时刻 AC t 与
AS t
正交
6. 互谱密度
C
S AC AS S ASA j S X 0 S X 0 0 , 2 , others
/ 2
若:
S X 0 S X 0
RAC AS RAS AC 0
Matlab仿真窄带随机过程
随机过程数学建模分析
任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：
中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。
图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。
图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图
图2 窄带随机过程的一个样本函数
二、窄带随机过程的数学表示
1、用包络和相位的变化表示
由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式：
X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]
其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。
2、莱斯（Rice）表示式
任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：
第12讲_窄带随机过程2
窄带信号通过窄带系统
窄带信号通过窄带系统
窄带信号的低通表示方法
Xω
(
A
中除载波频率之外的所有信息，称为
)
窄带信号通过窄带系统窄带系统的表示方法
H
(
H
窄带信号通过窄带系统窄带信号通过窄带系统的计算方法
例已知，，且，。窄带信号通过窄带系统
()0()cos x t m t t =ωr t ()0
cos ,00,
t t T
h t <<⎧=⎨⎩ω其他0
2T >>πω()
h t 求()解法1：
T
=∗()()()
r t x t h t +∞−∞=
−∫
()()x t h d τττ
=−−∫
000
()cos ()cos T
m t t d τωτωττ
=−+−−∫∫0000
11()cos ()cos (2)22T T
m t td m t t d τωττωττ1t d =−u t τt =−2u t τ=∫cos ()t m u du ω++∫1()cos u t
m udu ω窄带信号通过窄带系统
解法2：
先求等效基带信号T
先求等效带信号
()=0()cos x t m t t
ω()()()=+=0
00()cos sin j t x
t m t t jm t t m t e ωωω ()()0
()j t L x t x
t e m t ω−== 再求系统的等效低通表示
=−−0()[()()]cos h t U t U t T t
ω=−−=−−0j t h ω +⎡⎤⎣
⎦00()[()()]cos sin [()()]t U t U t T t j t U t U t T e ωω
窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
X(t) SX(ω)
Δω
-ω0-ωc -ω0 -ω0+ωc
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
t
5.2.1 窄带随机过程的莱斯(Rice)表示
对于任一实随机过程X(t)，可以得 到解析过程：
X~(t) X (t) jXˆ (t) 其中 Xˆ (t)为X(t)的希尔伯特变换。有：
5.3.1 包络和相位的一维概率密度
假设X(t)是一个窄带平稳的高斯实 随机过程，具有零均值和方差σ2。莱斯 表示式和准正弦振荡表示式之间有：
A(t) a2 (t) b2 (t)
(t) arctg b(t)
a(t)
设在任意时刻t，A(t)、 φ(t)、a(t) 和b(t)的采样值分别为At, φt,at和bt 。它 们之间的关系为：
X~(t)e j0t [ X (t) cos0t Xˆ (t) sin 0t] j[ X (t) sin 0t Xˆ (t) cos0t]
令 a(t) X (t) cos0t Xˆ (t) sin 0t b(t) X (t) sin0t Xˆ (t) cos0t
有： X~(t) [a(t) jb(t)]e j0t
2. 希尔伯特变换的逆变换为：
x(t) H 1[xˆ(t)]
1 xˆ(t ) d
窄带实平稳高斯随机过程
29 窄带实平稳高斯随机过程
概述
窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布
窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度：
一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量： 窄带实平稳随机过程的二维（两个时刻）包络和相位分布
两个时刻信号的表达式：
两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 两个时刻同相分量和正交分量的协方差矩阵：
两个时刻同相分量和正交分量的联合概率密度函数： 两个时刻包络和相位的联合概率密度函数： 两个时刻包络的联合边缘分布：
两个相距无穷远时刻的包络联合边缘分布： 一个时刻包络的边缘分布： 两个时刻相位的联合边缘分布：
两个时刻相位和两个时刻包络的分布不是统计独立的：
29.1 窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布 29.1.1 窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量
t
f t t f t t x t f t t f t t x c c s c
c c πξπξπξπξ2cos )(ˆ2sin )()(2sin )(ˆ2cos )()(−=+=
以及
t f s t x t f t x t t
f t x t f t x t c
s c c c s c c ππξππξ2cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(−=+=
因为窄带实平稳高斯随机过程的Hilbert 变换是一个高斯随机过程，它的同相分量
与正交分量是它和它的Hilbert 变换的线性变换，同相分量和正交分量也是高斯过程。上述高斯随机过程是联合高斯的。
窄带平稳随机过程
t
arctg
ns nc
t t
p 1
2
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 的高斯随机变量2，因此它们独立
（窄带高斯过程的性质），则
令
p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
则 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
nc r cos , ns r sin
正交且功率相同。
白噪声
❖ 定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
❖ 高斯白噪声经过带通系统
n t nc t cosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
2 2
A2
Hale Waihona Puke Baidu
p r,
1
2
2
exp
r2
2Ar cos 2 2
A2
J
r
2
2
exp
r2
A2
2Ar
北大随机过程课件：第 4 章 第 7 讲 窄带实平稳随机过程
窄带实平稳随机过程
¾ 1概述
6 确定性窄带信号
窄带信号的数学表达式 同相分量、正交分量 包络和相位分量
6 窄带实平稳信号的Hilbert 变换
Hilbert 变换（冲击响应、频率响应）和等效的线性系统
窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的自相关函数和功率谱 窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的互相关函数和互功率谱
¾ 2线性调制过程（1）
6 由两个均值为零实宽平稳过程()a t 、()b t ，常数0ω，构造线性调制过程
6
线性调制过程的广义平稳的条件 6 构造线性调制过程的对偶过程 6 线性调制过程的复数表示
6 线性调制过程相关函数和功率谱 6 单边带调制过程 ¾ 3线性调制过程（2）
6 由线性调制过程)(t ξ构造对偶过程，解析信号
6
等效低通信号
定义、频谱、功率谱，数学表达式
时域表示，等效低通信号，它的同相分量、正交分量
窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的同相分量、正交分量
¾ 4计算调制过程分量的相关函数和功率谱 6 自相关函数和功率谱
)(t x c 、)(t x s 的自相关函数和自功率谱
6
互相关函数和功率谱
)(),(t x t x s c ；)(),(t x t x c s 的互相关函数和互功率谱
6
相关函数和相关矩阵进一步讨论 定理：
窄带实平稳的随机过程的功率谱、时域的同相分量和正交分量表示、同相分量和正交分量的自功率谱、同相分量和正交分量的互功率谱、 6 相关函数和功率谱密度的小结
¾ 5窄带实平稳随机过程的相关函数和相关矩阵： 6 相关函数 6 相关矩阵
第7章 窄带随机过程
hH 1 (t )
1
t
希尔伯特变换
x(t )
1 h (t ) t
ˆ (t ) x
j 0 H ( ) j sgn( ) j 0
幅频特性为：
– 两种描述方法对随机过程仍然适用
z (t )是均值为0的平稳窄带过程，则表示包络的两 • 结论：
个直角分量也是均值为0的平稳随机过程； • 两个直角分量的自相关函数相同，并因此有相同的功率
谱密度，且与具有相同的平均功率，即它们的方差相同；
2 2 2 X Y Z
• 由
性质8 RXY (0) E[ X (t )Y (t )] 0, RYX (0) 0 (7.3.8) 若窄带过程的单边功率谱是关于中心频率对称的，那么的
27
(t ) a (t ) cos[0t (t )] 可进一步表示为
(t ) a (t ) cos[ 0 t (t )]
a (t )[cos 0 t cos (t ) sin 0 t sin (t )] [a (t ) cos (t )] cos 0 t [a (t ) sin (t )] sin 0 t C (t ) cos 0 t S (t ) sin 0 t
ˆ (t ) z(t ) x(t ) jx
《随机信号分析基础》第5章 课件 _窄带随机过程
A
2 +a 2s 2
2
ö÷÷ø÷÷I
0
çæçççèasA2 ö÷÷ø÷÷,
A³0
(5.4)
如图5.2。其中 s 2 = D[N (t)]为噪声方差， I 0(⋅) 是零阶修正贝塞尔函数。
ò I
0 (x )
=
1 2p
2p exp(x cos q)dq
0
在低信噪比r = (a s)2 情况下，包络近似为瑞利分布；在高信噪比情况下，包络近似为高斯分
=
1 2
Rm (t) cos(w ct )
且
E
[S
2 m
(t
)]
=
Rsm
(0)
=
1 2
Rm (0)
=
1 2
<
¥
5‐ 5 / 7
由上可见： S m(t) 的均值 E[S m(t)]与时间 t 无关，相关函数 Rsm (t)只与时间间隔 t 有关。
∴ S m(t)是宽平稳的随机信号。
（2）由于S m(t)是宽平稳随机信号，所以由维纳‐辛钦定理知：
包络 A(t) =
(a
cos q
+ Ac(t))2
+ (a
sin q
+ As(t))2
，相位 F(t)
=
arctan
asinq acosq
第五章窄带随机过程
证明:
SXˆ () H () 2 SX ()
H () 1
SXˆ () SX () RXˆ ( ) RX ( )
5.1、预备知识
5.1.4、随机过程的希尔伯特变换: Hilbert Transform
（P3） X (t) 与 Xˆ (t) 联合平稳
奇函数
RXXˆ ( ) RˆX ( ) RXˆX ( ) RˆX ( ) RXˆX ( ) RXˆX ( )
12 / 30
5.1、预备知识
5.1.2、希尔伯特变换: Hilbert Transform
性质3:
x(t) cos( 0t )
xˆ t sin 0t
xˆ(t) 1 x( )d 1 x(t )d
t
1 cos(0t 0 )d
1 cos(0t ) cos(0 )d 1 sin(0t ) sin(0 )d
sin(0t
)
1
sin(0 )d
sin(0t )
5.1、预备知识
5.1.2、希尔伯特变换: Hilbert Transform
希尔伯特变换性质：
4)若a(t)为低频信号，其傅立叶变换为A(),且||> 时， 2
A()=0，则当0
>
2
时，有
H[a(t)cos0t]=a(t)sin0t，H[a(t)sin0t]=-a(t)cos0t
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可以分解成两个互相独立的零均值平稳高 斯过程，且功率相同。
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
E nc t ns t 0
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R t nc t 2 ns t 2
瑞利分布
p
r
r
2
exp
r2
2 2
,
r0
Hale Waihona Puke Baidu
相位 t
均匀分布
窄带平稳随机过程
定义
功率谱密度形如带通信号的平稳随机过程。 （见书图）
感性认识：
窄带平稳随机过程的样本（书图）
• 高频振荡波形，包络随机起伏
窄带平稳随机过程的表示
X t a t cos ct t
a t cos t cosct a t sin t sin ct xc t cosct xs t sin ct Re xl t e jct
f
Rx
e j2 f d
nT
n
E an ma , E an*ank Ra k
循环平稳过程的统计特性
期望
E X t ma g t nT
n
自相关
RX t,t Ra n m g* t nT g t mT
nm
功率谱密度
Rx
t,
t
1 T
T /2 T / 2
Rx
t, t
dt
Rx
Px
2Ar cos 2 2
A2
J
r
2
2
exp
r2
A2
2Ar
2 2
cos
p r
0
p r, d
r
2
exp
r2 A2
2 2
0
1
2
exp
Ar cos 2
d
r
2
exp
r2
2
A2
2
I0
Ar
2
其中，I0(x)称为零阶修正贝塞尔函数(Bessel)
I0
x
2
0
1
2
exp x cos
arctg
ns nc
t t
p 1
2
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变
量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
令 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
则 nc r cos , ns r sin
d
p
0
p
r,
dr
0
r
2
2
exp
r
Acos 2
2
2
A sin
2
dr
1
2
exp
A2 sin2
2 2
0
r
2
exp
r
A cos 2 2
2
dr
1
2
exp
A2 sin2
2 2
Acos
x
A cos 2
exp
x2
2 2
dx
1
2
exp
A2 sin2
2 2
ns t A nc t
证明
令 x A nc , y ns ，则
x r cos
y r sin
其中，x ~ N A, 2 , y ~ N 0, 2
则
p x, y
1
2 2
x A2
exp
2 2
y2
1
2
2
exp
x2
y2
2Ax
2 2
A2
p r,
1
2
2
exp
r2
相互正交且功率相同。
白噪声
定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
高斯白噪声经过带通系统
n t nc tcosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t
2
E
ns
t
2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
p
r,
1
2
2
exp
r2
2 2
|
J
|
|J|为Jacobian行列式
因此
nc
| J | r nc
ns
r cos ns r sin
sin
r
r cos
p r,
r
2
2
e
r2 2 2
则
p r
2
p
0
r,
d
r
2
r2
e 2 2
p
0
p
r,
dr
1
2
p r, p r p
结论
窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同 相分量正交
其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
形式 x t Acosct n t Acosct nc t cosct ns t sin ct
包络 R t A nc t 2 ns2 t
莱斯分布
p
r
r
2
exp
r2
2
A2
2
I0
Ar
2
,
r0
相位
t
arctg
xl t xc t jxs t
窄带平稳随机过程的性质
由解析函数和等效基带信号的关系可得
xl
t
X
t
j
^
X
t
e
jct
^
xc t X t cosct X t sinct
^
xs t X t sinct X t cosct
窄带随机过程性质（证）
如果X(t)平稳，则Xc(t),Xs(t)联合平稳。 如果E[X(t)]=0,则E[Xc(t)]=E[Xs(t)]=0 如果X(t)高斯平稳，则Xc(t),Xs(t)高斯平稳。 如果X(t)高斯平稳且零均值，则Xc(t),Xs(t)
exp
A2 cos2
2 2
2
A cos
Q
A
cos
1
2
exp
A2
2 2
1
2
A cos
Q
A cos
exp
A2 sin2
2 2
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X
t
an g t