高三数学(文科)一轮学案【第15课时】不等式的综合应用

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高三数学一轮复习-基本不等式及其应用教案设计

基本不等式及其应用一、教学分析设计【教材分析】人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。

在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。

在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。

并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。

基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。

基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。

教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。

《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。

通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。

基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它来解决简单的有关问题）。

【学生分析】从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。

从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的能力。

【目标分析】结果性目标：1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式；2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形；3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。

高三数学总复习不等式的综合应用教案

城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学总复习不等式的综合应用教案A版1.(必修5P102习题7改编)函数y＝x＋(x≠0)的值域是________．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析：当x>0时，y＝x＋≥2＝4，当x<0时，y＝x＋＝－≤－2＝－4.2.(必修5P102习题9改编)某种产品按以下三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价%，第二次提价%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．答案：方案丙解析：设原来价格为A，方案甲：经两次提价后价格为A＝A；方案乙：经两次提价后价格为A；方案丙：经两次提价后价格为A＝A[1＋＋.因为>，所以方案丙提价最多．3.(2021·联考)设x∈R，f(x)＝，假设不等式f(x)＋f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立，那么实数k 的取值范围是________．答案：k≥2解析：不等式化为k≥＋，因为∈(0，1]，所以k≥2.4.(2021·期中)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，那么x＋2y的最大值为________．答案：2解析：作出可行域为正方形，4个顶点分别为(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，那么z＝x＋2y 过点(0，1)时最大值为2.[备课札记]题型1含参数的不等式问题例1假设不等式组的解集中所含整数解只有－2，求k的取值范围．解：由x2－x－2>0有x＜－1或者者x＞2，由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0.因为－2是原不等式组的解，所以k＜2.由(2x＋5)·(x＋k)＜0有－＜x＜－k.因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，故k的取值范围是[－3，2)．不等式(－1)na<2＋对任意n∈N*恒成立，务实数a的取值范围．解：当n为奇数时，－a＜2＋，即a＞－.而－≤－3，那么a>－3；当n为偶数时，a＜2－，而2－≥2－＝，所以a＜.综上可得：－3<a<.题型2不等式在函数中的应用例2函数f(x)＝在区间[－1，1]上是增函数．(1)务实数a的值组成的集合A；(2)设x1、x2是关于x的方程f(x)＝的两个相异实根，假设对任意a∈A及t∈[－1，1]，不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，务实数m的取值范围．解：(1)f′(x)＝，因为f(x)在[－1，1]上是增函数，所以当x∈[－1，1]时，f′(x)≥0恒成立，令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立．解得－1≤a≤1.所以A＝{a|－1≤a≤1}．(2)由f(x)＝得x2－ax－2＝0.设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2.从而|x1－x2|＝＝，因为a∈[－1，1]，所以≤3，即|x1－x2|max＝3，不等式对任意a∈A及t∈[－1，1]不等式恒成立，即m2＋tm－2≥0恒成立．设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，那么解得m≥2或者者m≤－2.故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．设a，b＞0，且ab＝1，不等式＋≤λ恒成立，那么λ的取值范围是________．答案：[1，＋∞)解析：因为ab＝1，所以＋＝＋＝≤＝1，所以λ≥1.题型3不等式在实际问题中的应用例3某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，消防队员在现场平均每人灭火50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？解：设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，那么t＝＝，y＝灭火劳务贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费＝125xt＋100x＋60(500＋100t)＝125x×＋100x＋30000＋＝100(x－2)＋＋31450≥2＋31450＝36450，当且仅当100(x－2)＝，即x＝27时，y有最小值36450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36450元．某拟建一块周长为400 m的操场，如下列图，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间矩形区域的长，宽分别为xm，ym，中间的矩形区域面积为Sm2，那么半圆的周长为m.∵操场周长为400 m，所以2x＋2×＝400，即2x＋πy＝400.∴S＝xy＝·(2x)·(πy)≤·＝.由解得∴当且仅当时等号成立．即把矩形的长和宽分别设计为100 m和m时，矩形区域面积最大．1.(2021·模拟)关于x的不等式x2－ax＋2a＜0的解集为A，假设集合A中恰有两个整数，那么实数a 的取值范围是________．答案：∪解析：设方程x2－ax＋2a＝0的两根为x1、x2，那么1<|x1－x2|＝≤3，解得4＋<a≤9或者者－1≤a<4－.当4＋<a≤9时，考虑抛物线的对称轴，因为4<<≤，集合A中恰有两个整数即4和5，所以5－<≤－3，解得<a≤9；当－1≤a<4－时，考虑抛物线的对称轴，因为－≤<<0，集合A中恰有两个整数即－1和0，所以－(－1)<≤1－，解得－1≤a<－.2.(2021·)函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A，假设A，那么实数a的取值范围是________．答案：解析：由题意得0∈A，所以f(0＋a)<f(0)，即a(1＋a|a|)<0，显然a<0，解得－1<a<0，函数f(x)＝x(1＋a|x|)是奇函数且图象中两条抛物线的对称轴x＝，x＝－之间的间隔大于1，而－1<a<0，所以f(x＋a)<f(x)的解集为，所以(－，－－)，解得<a<.又－1<a<0，所以<a<0.3.(2021·模拟)假设a>0，b>0，且＋＝1，那么a＋2b的最小值为________．答案：解析：2a＋4b＋3＝(2a＋4b＋3)·＝[(2a＋b)＋3(b＋1)]·＝1＋＋＋3≥4＋2，所以a＋2b≥.4.(2021·)设a＋b＝2，b>0，那么当a＝________时，＋获得最小值．答案：－2解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，当且仅当＝且a<0取等号，即a＝－2，b＝4.1.(2021·模拟)假设对满足条件x＋y＋3＝xy(x＞0，y＞0)的任意x、y，(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围是________．答案：解析：x＋y＋3＝xy≤，所以x＋y≥6，那么a≤x＋y＋，因为上述不等式右边的的最小值为6＋＝，故a≤.2.(2021模拟)实数x、y满足不等式那么的取值范围是________．答案：解析：作出可行域，求得∈，令t＝∈，那么＝＋t2，求导可得＋t2在上递减，在(1，2)上递增，故＝＋t2∈.3.(2021·模拟)设P(x，y)为函数y＝x2－1(x＞)图象上一动点，记m＝＋，那么当m最小时，点P的坐标为________．答案：(2，3)解析：m＝＋＝6＋＋.当且仅当＝，即x＝2时m获得最小，此时点P的坐标为(2，3)．4.(2021·模拟)x、y为正数，那么＋的最大值为________．答案：解析：设t＝∈(0，＋∞)，那么令f(t)＝＋＝＋，求导得f(t)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，故所求的最大值为f(1)＝2 3.1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或者者解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用根本不等式求最值问题．不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合．解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联络，充分利用数学思想和数学方法解题．2.建立不等式的主要途径有：利用根本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等．3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验．[备课札记]。

高三数学一轮复习讲义专题30 不等式的综合应用

专题30 不等式的综合应用考纲导读：考纲要求:掌握应用基本不等式解决实际问题;掌握应用不等式知识解决函数、方程等方面的问题.考纲解读: 考查不等式在实际生活中的应用,考查了均值不等式等号成立的条件.不等式的应用题作为大题的考查已有所降低,其作为选择填空的可能性较大,解题的关键在于关系式的列式及限制条件的挖掘.考点精析：考点1、应用基本不等式解决实际问题用基本不等式知识解决实际问题是不等式应用的一个重要内容，常出现在选择与填空题中,属中档题.【考例1】 (·天津理15文15)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．解题思路：本题考查了不等式在实际生活中的应用,考查了均值不等式等号成立的条件.正确答案：由题意得总费用40044y x x =⋅+，由均值不等式有：4004480(y x x =⋅+≥当且仅当40044x x⋅=即20x =时取“=”）回顾与反思：不等式的应用考查常突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.知识链接：加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.【考例2】 (·郑州模)某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.解题思路：本小题主要考查建立函数关系、均值不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.正确答案：由已知y 1=x20；y 2=0.8x (x 为仓库与车站距离)费用之和 y =y 1+y 2=0.8x + x 20≥2x x 208.0⋅=8.(当且仅当0.8x =x20即x =5时“=”成立.) 回顾与反思：加强化归思想的复习，均值不等式的应用过程是一个把已知条件向要最值的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视.知识链接：加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力.考点2、不等式与函数交汇的命题用不等式知识解决函数问题是不等式应用的一个重要内容，也是高考的一个热点和难点，常以压轴题的形式出现.【考例1】(·陕西模)某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即10x ，0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的 z 倍. (1)设y =ax ，其中a 是满足31≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)若y =32x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围. 解题思路：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力.正确答案：(1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p (1+10x )元、n (1－10y )元、npz 元，因而 )10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=，在y =ax 的条件下，z =1001［－a ［x －a a )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］.由于31≤a ＜1，则0＜aa )1(5-≤10. 要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x =aa )1(5-. (2)由z =1001 (10+x )(10－32x )＞1，解得0＜x ＜5. 回顾与反思：函数定义域通常都是解不等式得到，利用不等式方法可以求出函数值的取值范围.知识链接：如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误.【考例2】(·扬州二模)已知定义在区间(-m ,m )(m ＞0)上,值域为R 的函数f (x )满足:①当0＜x ＜m 时,f (x )＞0;②对于定义域内任意的实数a 、b 均满足:f (a +b )=()()1()()f a f b f a f b +-. (1)试求f (0);(2)判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若函数f (x )存在反函数g (x )，当x ∈N 时，求证：g (17)+g (113)+…+g (2133n n ++)＜g (12) 解题思路：此题考查函数关系、不等式性质等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.考查数学建模能力、证明不等式的方法.正确答案：（1）令a =0,b =0,则有f (0)=2(0)(0),(0)0.1(0)f f f f +∴=- (2)令a =x ,b =-x ,得f (x )+f (-x )=0.所以函数f (x )为奇函数.设任意的x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2＜m ,则m ＞x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＞0且f (x 2)、f (x 1) ＞0.∴f (x 2)-f (x 1) =f (x 2)+f (-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］［1-f (x 2)f (-x 1)］=f (x 2-x 1)［1+ f (x 2)f (x 1)］＞0，∴函数f (x )在区间(0,m )(m ＞0)上单调递增.又函数f (x )为奇函数且f (0)=0,因此函数f (x )在区间(-m ,m )(m ＞0)上单调递增.(3)∵函数f (x )在区间(-m ,m )( m ＞0)上单调递增,∴函数f (x )必存在反函数g(x),且g (x )也为奇函数,∴函数g (x )在R 上单调递增;且当x ＞0时, m ＞g (x )＞0.由f (a +b )=()()1()()f a f b f a f b +-可得a +b =g ［()()1()()f a f b f a f b +-］, 令f (a )=x ,f (b)=y ,则a =g (x ), b =g ( y ),则上式可改写为:g (x )+g (y )=g (1x y xy+-)对任意的x ,y ∈R 都成立 ∴211111(1)(2)12,11123(1)(2)111(1)(2)12n n n n n n n n n n n n -++++===+++++++++++ ∴211111()()()()().331212g g g g g n n n n n n =+-=-++++++ g (17)+g 2111()()...()132133g g n n +++++ =［11()()23g g -］+［11()()34g g -］+…+［11()()12g g n n -++］ =11()()22g g n -+＜1()2g .证毕. 回顾与反思：函数中很多知识和方法与不等式是紧密相关的，不等式问题也经常利用函数的图象和性质等知识转化为函数问题来解决，因此函数与不等式密不可分，常常互相转化.知识链接：恒成立的不等式经常转化为最值问题解决，其方法有二，把所有项移到一边，形成()0f x >形式，由()0f x >恒成立，得()0f x >最小值，从而转化为()f x 的最值问题.在实际应用问题中常有求最值的问题，解法通常是先将要求最值的量表示为某个变量的函数，利用不等式知识和方法求该函数的最值.考点3、不等式与解析几何、数列等知识交汇的命题不等式与解析几何、数列的综合问题在近年的高考中时有出现，近两年更是以压轴题形式出现，因此不等式与数列的综合题是高考的重点和难点.【考例1】 (·浙江理)已知函数32()f x x x =+，数列{}(0)n n x x >的第一项11x =，以后各项按如下方式取定：曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线与经过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线平行（如图），求证：当*n N ∈时（1）221132n n n n x x x x +++=+；（2）1211()()22n n n x --≤≤. 解题思路：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力正确答案：证明：（I ）因为'2()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率121132.n n n k x x +++=+ 因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n n x x +所以221132n n n n x x x x +++=+.（II ）因为函数2()h x x x =+当0x >时单调递增，而221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+，所以12n n x x +≤，即11,2n n x x +≥ 因此1121211().2n n n n n n x x x x x x x ----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ 又因为12212(),n n n n x x x x +++≥+令2,n n n y x x =+则11.2n n y y +≤ 因为21112,y x x =+=所以12111()().22n n n y y --≤⋅= 因此221(),2n n n n x x x -≤+≤ 故1211()().22n n n x --≤≤ 回顾与反思：在全面考查数列与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.知识链接：纵观近几年高考题，凡涉及不等式问题往往会出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式问题成为高考的难点问题.【考例2】设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx +c （a ＞0），方程f （x ）－x ＝0的两根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜a1．（Ⅰ）当x ∈（0，x 1）时，证明：x ＜f （x ）＜x 1；（Ⅱ）设函数f （x ）的图象关于直线x =x 0对称，证明：x 0＜21x ．解题思路：此题考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查证明不等式的方法.正确答案：（1）令F （x ）=f （x ）－x ，由x 1、x 2是方程f （x ）－x =0的两根，有F （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）当x ∈（0，x 1）时，由x 1≤x 2，及a ＞0，有F （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）＞0，即F （x ）=f （x ）－x ＞0，f （x ）＞x ．又x 1－f （x ）=x 1－［x ＋F （x ）］＝x 1－x －a （x －x 1）（x －x 2）＝（x 1－x ）［1＋a （x －x 2）］因为0＜x ＜x 1＜x 2＜a1,所以x 1－x ＞0，1＋a （x －x 2）＝1＋ax －ax 2＞1－ax 2＞0 得x 1＞f （x ），所以x ＜f （x ）＜x 1. （2）依题意x 0＝－ab 2，因x 1、x 2是f （x ）－x =0的根，即x 1、x 2是方程 ax 2＋（b －1）x +c =0的根,所以x 1＋x 2＝a b 1--， aax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-= 因为ax 2＜1，即ax 2－1＜0，故x 0＝22211121x a ax a ax ax =<-+．回顾与反思：在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.知识链接：数列中常有求范围和求最值的问题，解决这些问题经常要用到解不等式、重要不等式、变量分离处理恒成立问题等不等式知识和方法.数列中的不等式证明经常用的方法是比较法、数学归纳法、放缩法.创新探究：【探究1】已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0. (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式：f (x +21)＜f (11-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围.创新思路：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力. 解析: (1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2) , ∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数.(2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R } (3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}.【探究2】已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥0.(1)求p 、q 之间的关系式；(2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.创新思路：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解析: (1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0(3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增.∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6.方法归纳：1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性.2.对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.过关必练：一、选择题:1.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A.800～900元B.900～1200元C.1200～1500元D.1500～2800元2. （05·黄冈模）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）A.5种B.6种C.7种D.8种3. (·北京理8文8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，则( )A. 123x x x >>B. 132x x x >>C. 231x x x >>D. 321x x x >> 4. 一个正常人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg ml ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08/mg ml ,那么喝了少量酒的驾驶员，至少过( )小时才能开车.(精确到1小时)A. 3B. 4C. 5D. 65. 方程1+=ax x 有一个负根且无正根，则a 的取值范围是（）A.1->aB. 1=aC. a ≤1D. a ≥1二、填空题:6. 已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________.7. (·江苏模)二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx +c >0的解集是_______________________.8. 已知点A n (n,a n )为函数F 1: y =12+x 上的点，点B n (n,b n )为函数F 2:y =x 上的点,其中n∈N +，设c n = a n -b n (n ∈N),则c n 与c n+1的大小关系为 .9. 设)2,0(),cos (sin log 2πθθθ∈+=x ，则xx 1--的最大值为 . 10. 若关于x 的不等式x x k k k k -+-<+-122)232()232(的解集是),21(+∞，则实数k 的取值范围是____________．三、解答题:11. (·上海)已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g .（1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值.12. 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0．2＋30＝110（元）.设购买商品得到的优惠率＝商品的标价购买商品获得的优惠额.试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于31的优惠率? 13. 某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=15km ，BC=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。

高三数学一轮复习不等式的综合应用学案(二)

§6.7不等式的综合应用（二）【复习目标】理解掌握不等式在函数，三角，数列，解析几何，方程等内容中的应用；函数性质，三角式，直线与圆锥曲线，数列的通项及部分和的变化等内容常与不等式的证明或解不等式有密切的关系，要熟悉这方面问题的类型和思考方法；培养学生对数形结合，特殊与一般，分类讨论等思想的领悟和应用能力。

【课前预习】数列{}n a 的通项公式290n n a n =+，则数列{}n a 的最大项为（） A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D.第9项和第10项函数224sin sin y x x=+的最小值为。

0a >且1a ≠，3log (1)a P a =+，2log (1)a Q a =+，则P 、Q 的大小关系是（）A ．P>QB ．p<QC ．P ＝QD ．不确定 (2004年重庆卷)若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（）A ．4005B ．4006C ．4007D ．4008设点（x,y ）在椭圆22194x y +=上移动，则x+y 的最大值为。

【典型例题】例1 若关于x 的方程9(4)340x x a +++=有解，求a 的取值范围。

例2 设集合A={}2(,)20,x y x mx y +-+=B={}(,)10且02x y x y x -+=≤≤ 如果AB φ≠，求实数m 的取值范围。

例3 在等比数列{}n a 中，其首项10a >，公比1q >-，且1q ≠，前n 项和为n S ；在数列{}n b 中，12n n n b a ka ++=-，前n 项和为n T .求证：0n S >；若n n T k S >⋅对一切正整数n 成立，求证：12k ≤-.【巩固练习】若实数m,n,x,y 满足2222,()m n a x y b a b +=+=≠，则mx ny +的最大值。

高考数学一轮总复习 7.5 不等式的综合应用教案理新人教A版

7.5 不等式的综合应用典例精析题型一含参数的不等式问题【例1】若不等式组⎩⎨⎧<+++>--05)25(2,0222k x k x x x 的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围.【解析】由x2－x －2＞0有x ＜－1或x ＞2，由2x2＋(5＋2k)x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k)＜0.因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2.由(2x ＋5)(x ＋k)＜0有－52＜x ＜－k. 因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，故k 的取值范围是[－3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(－1)na ＜2＋(－1)n ＋1n对任意n ∈N*恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】当n 为奇数时，－a ＜2＋1n ，即a ＞－(2＋1n). 而－(2＋1n)＜－2，则a≥－2；当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜32. 综上可得－2≤a＜32. 【点拨】不等式中出现了(－1)n 的时候，常常分n 为奇数和偶数进行分类讨论. 题型二不等式在函数中的应用【例2】已知函数f(x)＝2x －a x2＋2在区间[－1,1]上是增函数. (1)求实数a 的值组成的集合A ；(2)设x1，x2是关于x 的方程f(x)＝1x的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]，不等式m2＋tm ＋1≥|x1－x2|恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)f′(x)＝4＋2ax －2x2(x2＋2)2，因为f(x)在[－1,1]上是增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f′(x)≥0恒成立，令φ(x)＝x2－ax －2，即x2－ax －2≤0恒成立.所以A ＝{a|－1≤a≤1}.(2)由f(x)＝1x得x2－ax －2＝0. 设x1，x2是方程x2－ax －2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a ，x1x2＝－2.从而|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2＋8，因为a ∈[－1,1]，所以a2＋8≤3，即|x1－x2|max ＝3.不等式对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]不等式恒成立，即m2＋tm －2≥0恒成立.设g(t)＝m2＋tm －2＝mt ＋m2－2，则解得m≥2或m≤－2.故m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a2＋1＋b b2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是 .【解析】[1，＋∞).因为ab ＝1，所以a a2＋1＋b b2＋1＝2a ＋b ≤22ab＝1，所以λ≥1. 题型三不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火 50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则t ＝5×10050x －100＝10x －2， y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费＝125xt ＋100x ＋60(500＋100t)＝125x×10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝100(x －2)＋62 500x －2＋31 450 ≥2100(x －2)·62 500x －2＋31 450＝36 450，当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ，中间的矩形区域面积为S ，则半圆的周长为πy 2，因为操场周长为400，所以2x ＋2×πy 2＝400，即2x ＋πy ＝400(0＜x ＜200,0＜y ＜400π)，所以S ＝xy ＝12π·(2x)·(πy)≤12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋πy 22＝20 000π，由⎩⎨⎧=+=,400π2,π2y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 所以当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大. 总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.。

高三数学第一轮复习教案不等式小结(学案)

高三数学第一轮复习讲义（小结）不等式一．复习目标：1．进一步巩固不等式的解法、证明不等式的一般方法、利用不等式求最值的方法； 2．能熟练运用不等式的思想方法解决有关应用问题．二．课前预习：1．已知c d <，0a b >>，下列不等式中必成立的一个是（）()A a c b d +>+()B a c b d ->-()C ad bc <()D a b c d> 2．设,x y 满足220x y +=的正数，则lg lg x y +的最大值是（） ()A 50()B 2()C 1lg5+()D 13．设,x y R ∈，221x y +=，(1)(1)m xy xy =-+，则m 的取值范围是（）()A 1[,1]2 ()B (0,1] ()C 3[,1]4 ()D 3[,1)44．设12x >，则函数821y x x =+-的最小值是，此时x = ．5．关于x 的不等式260x ax a --<的解集不是空集，且区间长度不超过5，则实数a 的取值范围是．6．使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是．7．锐角三角形ABC 中，已知边1,2a b ==，则边c 的取值范围是．三．例题分析：例1．（1）已知0x y >>，且1xy =，求22x y x y+-的最小值及相应的,x y 的值；（2）已知0x y >>，且3412x y +=，求lg lg x y +的最大值及相应的,x y 的值．例2．设绝对值小于1的全体实数的集合为S ，在S 中定义一种运算*，使得*1a ba b ab+=+，求证：如果a 与b 属于S ，那么*a b 也属于S ．例3．证明：1)1n<++<*()n N ∈．例4．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件．若定价上涨x 成（注：x 成即10x ，010x <≤），每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍．（1）若y ax =，其中a 是满足113a ≤<的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 值；（2）若23y x =，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围．四．课后作业：班级学号姓名1．已知0,0a b >>，则不等式1b a x-<<等价于（）()A 1x a <-或1x b >()B 1x b <-或1x a > ()C 10x a -<<或10x b <<()D 10x b -<<或10x a<< 2．一批货物随17列火车从A 市以 /v km h 的速度匀速直达B 市，已知两地铁路线长为400km ，为了安全，两列货车的距离不得小于2() 20vkm （货车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到B 市，最快需要（） ()A 6h ()B 8h ()C 10h ()D 12h3．若,a b 是实数，且a b >，则在下面三个不等式：①11a ab b ->-；②22()(1)a b b +>+；③22(1)(1)a b ->-，其中不成立的有个． 4．设,a b 都是大于0的常数，则当0x >时，函数()()()x a x b f x x++=的最小值是．5．已知()21f x ax a =++，当[,1]x ∈-时，()f x 的值有正有负，则a 的取值范围为．6．已知,x y R ∈，且22222x xy y -+=，则||x y +的最大值是．7．设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．8．已知,,a b c 都是正数，求证：111111222a b c b c c a a b++≥+++++．9．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台*()x N ∈，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用运输和保管费用总计43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

高考数学一轮复习不等式的综合运用课件

9．某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方形状），高度恒度，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，试算：仓库面积最大允许值是多少？为使仓库面积 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
3. 若关于 x的方程 9x+(4+a)· 3x+4 ＝ 0 有解，则实数 a 的取值范围是( D ) (A)(-∞，-8]∪[0，+∞) (B)(-∞，-4) (C)[-8，4) (D)(-∞ ，-8]
返回 4. 设a，b，c∈R，ab＝2且c≤a2+b2恒成立，则c的最大值为______. 4
3.用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化为不等式
表示的模型，再求出极值.
课前热身
1. 果函数 y ＝ log(1/3)(x2-2ax+a+2) 的单调递增区间是 (-∞， -1＜a＜2 a]，那么实数a的取值范围是__________. 2.数y＝x2+√1-x2的值域是( (A)[12，1] (C)[1，1+234] B ) (B)[1，54] (D)[32，1 ]
5.不等式ax2-bx+c＞0的解集是 (-1/2，2)，对于a、b、 c有以下结论：① a＞ 0；② b＞ 0；③ c＞ 0；④ a+b+c＞ 0；⑤ ③、⑤ a-b+c＞0.其中正确结论的序号是__________
例 1 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 2 和 EFGH 构成的面积为 200 m 的十字型地域．现计划在正方形 MNPQ 上建一花坛，造价为 4200 元／m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为 210 元／m2，再在四个空角上铺草坪，造价为 80 元／m2. G H

高三数学一轮复习 6.5 不等式的综合应用课件文大纲人教版

范围问题等，都与解不等式的知识相关联．
(4)不等式在实际问题中的应用．在解有关不等式的实际应用题时要注意：首先要
过“阅读”关，即读懂题目，能够概括出问题涉及到哪些内容；其次，过“理解
”关，即准确理解和把握各个量之间的关系，然后建立数学模型，再讨论不等关系，最后得出问题结论．【思考】利用不等式解决实际问题时，建立不等关系的途径主要有哪些？答案：①利用几何意义；②利用判别式；③应用变量的有界性；④应用函数的单
调性；⑤应用基本不等式等．
1．已知f(x)是R上的减函数，则满足f A．(－∞，1) C．(－∞，0)∪(0,1) 解析：由题意知答案：D
>f(1)的实数x的取值范围是( B．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
)
，得：x<0或x>1.
2．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则常数a的取值范围是( A．a<－2或a>2 C．a≠2且a≠－2 B．－2<a<2 D．1<a<3
又f(x)＋1＝0有实根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有实根，所以Δ＝4b2－4(c＋1)≥0，
即(c＋1)2－4(c＋1)≥0，所以c≤－1或c≥3. 又－3<c<－所以－3<c≤－1.此时b＝－ ≥0显然成立．
Байду номын сангаас
解：(2)f(x)＝x2＋2bx＋c＝x2－(c＋1)x＋c＝(x－c)(x－1)．所以函数f(x)＝x2＋2bx＋c的图象与x轴的交点分别为A(c,0)，B(1,0)．因为f(m)＝－1<0，所以c<m<1，故c－4<m－4<1－4<c，即m－4<c. 因为f(x)＝x2＋2bx＋c在区间(－∞，c)上单调递减，所以f(m－4)>f(c)＝0，所以f(m－4)的符号为正.

2019-2020学年高考数学一轮复习-第15课时-不等式的综合应用学案-文

2019-2020学年高考数学一轮复习第15课时不等式的综合应用学案文【课题】不等式的综合应用【课时】第15课时【复习目标】掌握不等式的各类综合问题的处理方法.【基础知识】1. 设集合P }32|{<<-=x x ,}0)1)(3(|{>-+=x x x Q ,则=Q P2. 不等式1||||≤+y x 所表示的平面区域的面积为3. 下列条件: ①0>ab ;②0<ab ;③0,0>>b a ;④0,0><b a ,能使不等式 a b 2≥+ba 成立的条件为 (填序号) 4. 二次方程02)1(22=-+++a x a x 有一个根比1大,另一个根比-1小,则a 的取值范围是5. 要使不等式012>+-kx kx 对于x 的任意值都成立,则k 取值范围为 6. 圆1)1(22=++y x 在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-00y x y x 所表示平面区域中所围成的图形的面积为7. 已知b a ,为正实数且1=ab ,若不等式M yb x a y x >++))((对任意正实数y x ,恒成立,则 M 的取值范围是8. 若a 是b 21+与b 21-的等比中项,则||2||2b a ab +的最大值是 9.已知函数()3123f x x x =+,对任意的[]3,3t ∈-,()()20f tx f x -+<恒成立,则x 的取值范围是_________.10.已知a 为正的常数,2112x x x a+≥+-对一切非负实数x 恒成立,则a 的最大值为______.【例题分析】例1.已知R y x b a ∈,,,,且满足)0,0(,222222>>=+=+q p q y x p b a ,求by ax +的最大值和最小值.例2.定义函数1(0),()1(0),x x x ϕ≥⎧=⎨-<⎩222()2()()f x x x x a x a ϕ=---. (1)解关于a 的不等式:(1)(0)f f ≤;(2)已知函数()f x 在[]0,1x ∈的最小值为(1)f ,求正实数a 的取值范围.变式：设不等式0222≤++-a ax x 的解集为M ,如果]4,1[⊆M ,求实数a 的取值范围.例3.(1)若关于x 的方程0124=++•+a a x x 有实数解，求实数a 的取值范围(2)解关于x 的不等式)0(,11)1(2>>+-+a x ax x a例4.某啤酒厂为适应市场需要,2011年起引进葡萄酒生产线,同时生产啤酒和葡萄酒,2011年啤酒生产量为16000吨,葡萄酒生产量1000吨.该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%,葡萄酒生产量比上一年增加100%,试问:(1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低?(2)从2011年起(包括2011年),经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的23?(生产总量是指各年年产量之和)【巩固迁移】1.0">a 且"0>b 是"2"ab b a ≥+的条件2.若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=0,)31(0,1)(x x x x f x 则不等式31|)(|≥x f 的解集为3.已知不等式0122>--mx x 对一切31≤≤x 都成立,则m 的取值范围是 4.已知12,0,022=+≥≥b a b a ,则21b a +的最大值为 5.若y x ,满足2434≥+y x ,且1≤-y x ,则y x +的最小值为6.已知不等式9)1)((≥++ya x y x 对任意正实数y x ,恒成立,则正实数a 的最小值为 7.已知直线l 过点)1,2(P ,且与x 轴,y 轴的正半轴分别交于B A ,两点,O 为坐标原点,则OAB ∆的面积的最小值为8.已知)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数,且1)1(=f ,若]1,1[,-∈n m ,且0≠+n m 时,有0)()(>++nm n f m f (1) 判断)(x f 在]1,1[-上的单调性,并证明你的结论;(2) 解不等式)11()21(-<+x f x f9.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年比上一年减少15.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年比上一年增加14. (1)设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业的总收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（lg 20.3010=）回顾小结1、已知实数,x y 同时满足54276x y --+=,2741log log 6y x -≥,2741y x -≤,则x y +的取值范围是______. 2、设62,,22=+∈b a R b a ,则3-a b的最大值是_________________.3、设变量y x ,满足1||||≤+y x ,则y x 2+的最大值为____________.4、设，，xx f R x )21()(=∈若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立,则实数k的取值范围是____________..5、若对任意x R ∈,不等式23324x ax x -≥-恒成立,则实数a 的范围__________.6、已知f(x)= 222mx m ++,0,,m m R x R ≠∈∈.若121x x +=,则12()()f x f x 的取值范围是7、已知01a <<,若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+,且x y <+λ,则λ的最大值为________.1、【答案】56⎧⎫⎨⎬⎩⎭2、【答案】13、【答案】24、【答案】2≥k5、【答案】11a -≤≤6、【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,221 7、【答案】答案:-2.。

近年高考数学一轮复习第三章不等式第15课基本不等式及其应用教师用书(2021年最新整理)

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第15课基本不等式及其应用[最新考纲]内容要求A B C基本不等式及其应用√1．基本不等式ab≤a＋b 2（1）基本不等式成立的条件：a>0,b〉0。

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab（a，b∈R);（2）错误!＋错误!≥2(a，b同号且不为零）；(3)ab≤错误!2(a,b∈R)；(4)错误!2≤错误!（a，b∈R）．3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为错误!,几何平均数为错误!，基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x〉0，y〉0,则（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记:积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时,xy有最大值是错误!（简记：和定积最大)．1．（思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”）(1）函数y＝x＋错误!的最小值是2。

（)(2)函数f(x)＝cos x＋错误!，x∈错误!的最小值等于4。

( )(3）x〉0，y>0是错误!＋错误!≥2的充要条件．( )(4）若a〉0，则a3＋错误!的最小值为2错误!.( )[答案］(1）×（2)×(3）×（4）×2．若a,b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是________．（填序号)①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2错误!；③错误!＋错误!〉错误!；④ba＋错误!≥2.④［∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①错误；对于②，③，当a<0,b<0时，明显错误．对于④,∵ab〉0,∴错误!＋错误!≥2错误!＝2。

2019-2020学年高考数学一轮复习《不等式的应用》学案.doc

2019-2020学年高考数学一轮复习《不等式的应用》学案1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．例 1.若关于x 的方程4x ＋a·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围.解:令t ＝2x (t ＞0)，则原方程化为t 2＋at ＋a ＋1＝0，变形得]212)1[(112-+++-=++-=t t t t a 222)222(-=--≤ 变式训练1：已知方程sin 2x －4sinx ＋1－a ＝0有解，则实数a 的取值范围是（）A ．[－3，6]B ．[－2，6]C ．[－3，2]D ．[－2，2]解:B＞0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0)，得b ＝aa +-230(0＜a ＜30) ① 于是 y ＝ab k ＝a a a k +-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k = 当a ＋2＝264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a ＝6，a ＝－10(舍去).典型例题基础过关两车的距离不能小于(10v )2千米，运完这批物资至少需要（）A ．10小时B ．11小时C ．12小时D ．13小时解:C例3. 已知二次函数y ＝ax 2＋2b x ＋c ，其中a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0.（1）求证：此函数的图象与x 轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x 轴所得线段的长为l ，求证：3＜l ＜23.证明:(1)由a ＋b ＋c ＝0得b ＝－(a ＋c).Δ＝(2b)2－4ac ＝4(a ＋c)2－4ac＝4(a 2＋ac ＋c 2)＝4[(a ＋2c )2＋43c 2]＞0. 故此函数图象与x 轴交于相异的两点.(2)∵a ＋b ＋c ＝0且a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 由a ＞b 得a ＞－(a ＋c)，∴a c ＞－2. 由b ＞c 得－(a+c)＞c ，∴a c ＜－21. ∴－2＜a c ＜－21. l ＝|x 1－x 2|＝32142++）（a c . 由二次函数的性质知l ∈(3，23)变式训练3：设函数f(x)＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c≤－1且b≥0；(2)若m 是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m －4)的正负，并加以证明．证明:(1)210210)1(+-=⇒=++⇒=c b c b f又c ＜b ＜1，故313121-<<-⇒<+-<c c c 又方程f(x)＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根．故△＝4b 2－4(c －1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1 由1313313-≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-<<-c c c c 或由021≥+-=b c b 知 (2))()1(2)(22c x c x c x c bx x x f -=++-=++=)1(-xf(m)＝－1＜0∴c ＜m ＜1c －4＜m －4＜－3＜c∴f(m －4)＝(m －4－c)(m －4－1)＞0∴f(m －4)的符号为正．例4. 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q ＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k ．⑴ 把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v 的函数，并求出这个函数的定义域． ⑵ 为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解:(1) y ＝kv 2pv s -，v ∈(p ，q] (2) i) 2p ≤q 时，船的实际前进速度为p ；ii) 2p ＞q 时，船的实际前进速度为q －p ．变式训练4：某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？解:设购卡x 张，总费用y 元．y ＝240(x ＋x 64)≥3840x ＝8时，y min ＝38403840÷48＝80(元)答：每人最少交80元钱．不等式的应用主要有两类：⑴ 一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通． ⑵ 一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．归纳小结。

高三数学第一轮复习：不等式的综合应用知识精讲

高三数学第一轮复习：不等式的综合应用【本讲主要内容】一. 本周教学内容：不等式的综合应用【知识掌握】【知识点精析】等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美。

不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其它问题，诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系。

许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题。

不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程。

总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。

在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。

不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其它知识综合运用的特点比较突出。

不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值X 围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题。

1、解答不等式应用题，一般可分为如下四步：（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系。

初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向。

（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向。

（3）讨论不等式关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值。

高考数学一轮复习第15章选考部分不等式选讲教学案苏教版选修4

选修4—5 不等式选讲考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式． (1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c .3．理解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法． 4．了解算术—几何平均不等式与柯西不等式．1．含___________的不等式叫做绝对值不等式．|x －a |的几何意义：数轴上表示数x 与a 的两点间的______．2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种： (1)__________：根据|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≥0，－f x ，f x <0去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|ax ＋b |≤c (c ＞0)⇔________；|ax ＋b |≥c (c ＞0)⇔__________. (3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数．．．，再平方，从而去掉绝对值符号．形如|x －a |＋|x －b |≥c (a ≠b )与|x －a |＋|x －b |≤c (a ≠b )的绝对值不等式的解法主要有三种：①运用绝对值的几何意义； ②零点分区间讨论法；③构造分段函数，结合函数图象求解．3．定理：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当______时，等号成立．其中不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |称为三角绝对值不等式．定理：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．重要绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤________.使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即|a ＋b |＝|a |＋|b |⇔ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |⇔ab ≤0；|a |－|b |＝|a ＋b |⇔b (a ＋b )≤0； |a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0；注：|a |－|b |＝|a ＋b |⇔|a |＝|a ＋b |＋|b |⇔|(a ＋b )－b |＝|a ＋b |＋|b |⇔b (a ＋b )≤0.同理可得|a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0.4．定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当______时，等号成立．基本不等式：如果a ，b ＞0，那么__________，当且仅当a ＝b 时等号成立．三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c ＞0，那么____________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________时等号成立．5．(1)不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等． (2)柯西不等式二元柯西不等式：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，a ，b ，c ，d ∈R ，等号当且仅当__________时成立．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．类似地，从空间向量的几何背景也能得到|α·β|≤|α||β|.将空间向量的坐标代入，可得到三元柯西不等式：(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当且仅当α，β共线时，即β＝0，或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．6．数学归纳法是重要的数学思想方法，数学归纳法常用来证明一些与自然数有关的命题．数学归纳法的核心是首先验证命题n ＝n 0正确，然后在归纳假设的基础上，完成由n ＝k 到n ＝k ＋1的归纳证明，难点在于应用归纳假设完成归纳证明，还要注意数学归纳法的书写格式．1．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．2．(2012江苏南京三模)解不等式：|x －1|＞2x .3．设a ，b 为不相等的两个正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2.求证：1＜a ＋b ＜43.4．已知a ，b ，c 为正数，且a 2＋b 2＋c 2＝14，试求a ＋2b ＋3c 的最大值． 1．解绝对值不等式时易犯的错误是什么？提示：解绝对值不等式的关键是利用绝对值的概念或几何意义去掉绝对值符号，在求解过程中实施了非同解变形是常见的错误．2．利用“零点划分法”解绝对值不等式的一般步骤是什么？提示：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n 个根把数轴分为n ＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．一、含有绝对值的不等式的解法【例1】设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．方法提炼1．解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号．对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图象法求解．2．已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值．请做针对训练1二、利用绝对值的几何意义或含绝对值的函数图象解不等式【例2】设函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，若不等式|a ＋b |－|4a －b |≤|a |f (x )对任意a ，b ∈R ，且a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围．方法提炼1．不等式|x －a |＋|x －b |≥c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和不小于c 的点的集合；反之，不等式|x －a |＋|x －b |＜c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和小于c 的点的集合．2．构造形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |的函数，通过去掉绝对值，将其转化成分段函数，利用其图象求解不等式，体现了函数与方程的思想．请做针对训练2三、不等式的证明【例3】(2012江苏南京二模)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：12a ＋1＋42b ＋1≥94.方法提炼1．以下绝对值不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |或|a －b |≤|a －c |＋|c －b |，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值．2．证明不等式时应注意以下几个问题：(1)比较法通常是进行因式分解或进行配方，利用非负数的性质来进行判断．(2)综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向上的差别，一个是“由因导果”，而另一个则是“执果索因”．(3)放缩法的要求较高，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中去寻找．(4)证明不等式的方法还有反证法、换元法、单调函数法、三角代换法等，应了解每一种证明方法的基本含义和适用范围，不宜盲目追求证明的难度和一题多证，宜以达到“双基”要求为准．请做针对训练3《不等式选讲》是高考的选考内容之一，题目难度不大，关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式．通常考查解绝对值不等式，同时与不等式的性质相结合；以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、补运算；与函数、数列等知识相结合综合考查不等式的证明方法等．对于不等式的证明，通常考查用综合法、分析法、比较法、反证法、放缩法证明不等式．另外，柯西不等式也是考查的重点．1．解关于x 的不等式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1x ＜3.2．(2012江苏泰州第一学期期末)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －y ＋1|的最大值．3．(2012江苏镇江第一学期期末)已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.参考答案基础梳理自测知识梳理1．绝对值符号距离2．(1)分段讨论 (2)－c ≤ax ＋b ≤c ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c 3．ab ≥0 (a －b )(b －c )≥0 |a |＋|b | 4．a ＝ba ＋b2≥aba ＋b ＋c3≥3abca 1＝a 2＝…＝a n 5．(2)ad ＝bc 基础自测1．解：令x ＋3＝0得x ＝－3；令x －2＝0得x ＝2.当x ≤－3时，原不等式变为－x －3＋x －2≥3，解集为.当－3<x <2时，原不等式变为x ＋3＋x －2≥3，解得x ≥1，∴1≤x <2. 当x ≥2时，原不等式变为x ＋3－x ＋2≥3，解集为R ，∴x ≥2. 综上所述，原不等式的解集为{x |x ≥1}． 2．解：当x <0时，原不等式成立；当x ≥1时，原不等式等价于x (x －1)>2，解得x >2或x <－1，所以x >2；当0<x <1时，原不等式等价于x (1－x )>2，这个不等式无解．综上，原不等式的解集为{x |x <0或x >2}．3．证明：由题意，得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b .于是(a ＋b )2>a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，所以a ＋b >1.又(a ＋b )2>4ab ，而(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝a ＋b ＋ab <a ＋b ＋a ＋b 24，即34(a ＋b )2<a ＋b ，所以a ＋b <43，所以1<a ＋b <43.4．解：根据柯西不等式，得(a ＋2b ＋3c )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)＝142，所以a ＋2b ＋3c ≤14，即a ＋2b ＋3c 的最大值为14. 考点探究突破【例1】解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 解得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.【例2】解：因为|a ＋b |－|4a －b |≤|(a ＋b )＋(4a －b )|＝5|a |，又因为a ≠0，所以|a |>0.由题意，得5|a |≤|a |f (x )，即f (x )≥5，解得x ≤－52或x ≥52.所以x 的取值范围是x ≤－52或x ≥52.【例3】证法1：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1＋42b ＋1[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]＝1＋4＋2b ＋12a ＋1＋42a ＋12b ＋1 ≥5＋22b ＋12a ＋1×42a ＋12b ＋1＝9. 而(2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥94.证法2：因为a >0，b >0，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1＋42b ＋1[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12a ＋1＋42b ＋12b ＋12＝(1＋2)2＝9.由a ＋b ＝1，得(2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥94.证法3：设2a ＋1＝x,2b ＋1＝y ，则x >1，y >1，且x ＋y ＝2a ＋1＋2b ＋1＝4.只需证明1x ＋4y ≥94即可．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y ) ＝5＋y x＋4xy≥5＋24＝9，且x ＋y ＝4，所以1x ＋4y ≥94.故12a ＋1＋42b ＋1≥94. 演练巩固提升针对训练1．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1x <3⇔|2x －1||x |<3，当x ≠0时，|x |>0，不等式两边同乘|x |，将|2x －1|<3|x |两边平方，得(2x －1)2<(3x )2，即(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15>0. ∴该一元二次不等式的解集即原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >15.2．解：方法1：|x －y ＋1|＝|(x －1)－(y －2)|≤|x －1|＋|y －2|≤2，当且仅当x ＝2，y ＝3时取等号，所以|x －y ＋1|的最值为2.方法2：因为|x －1|≤1，所以0≤x ≤2. 因为|y －2|≤1，所以1≤y ≤3. 所以－3≤－y ≤－1，所以－2≤x －y ＋1≤2.所以|x －y ＋1|的最大值为2.3．证明：由于a >0，b >0，(a ＋1＋b ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥(a ＋b )2.根据a ＋b ＝2，可得2211a b a b +++≥1.。

高三数学第一轮复习不等式应用教案(学生)

芯ห้องสมุดไป่ตู้州星海市涌泉学校教案8不等式应用
一、课前检测
1．函数的值域为_______________．
2.假设、为实数，求证：
3.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
二、典型例题选讲
例1.〔1〕正数满足的最小值为16，那么正数的值是
变式训练：、、，且，求证：
例2.假设、，求的最大值．
变式训练：非负实数、满足，那么的最大值是〔〕
〔A〕〔B〕〔C〕5〔D〕10
例3.如图，设矩形的周长为，把它关于折起来，折过去后，交于，设，求的最大面积及相应的值.
变式训练：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，假设池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

高考数学一轮总复习讲不等式的综合应用课件文新课标

三不等式的实际应用问题
【例 3】设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840 cm2，画面的宽与高的比为 λ(λ＜1)，画面的上、下各留 8 cm 的空白，画面的左、右各留 5 cm 的空白．
(1)怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画的纸张面积最小？
(2)如果要求 λ∈[23，34]，那么 λ 为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
【解析】因为 α∈(π2，π)，所以 sinα∈(0,1)，cosα∈(－1,0)， logsinα(1－x2)>2⇔0<1－x2<sin2α ⇔－ x<1co<sxα<或1 x>－cosα ⇔－1<x<cosα 或－cosα<x<1.
二不等式与方程综合
【例 2】试讨论实数 a 的取值，指出关于 x 的方程 lg(2x)＝2lg(x＋a)何时有两个不同的实数解，有一个实数解，没有实数解．
1.已知 x0 是函数 f(x)＝2x＋1－1 x的一个零点，若 x1∈(1，x0)，
x2∈(x0，＋∞)，则(
)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
【解析】易知 f(x)＝2x＋1－1 x在(1，＋∞)上单调递增，且 f(x0)＝0，故 f(x1)<0，f(x并正确列出函数式．
备选例题
(2011·阜阳模拟)假若你已经参加了工作，为了工作需要，花了 10000 元买了一台较高档的组装电脑，随着电脑的更新换代及工作的需要，从购买的第二年起，每年用于电脑更新换代的钱以 200 元的速度逐年递增，该电脑在三年内卖给别人肯定不划算(卖不出好价钱)，而三年后卖给别人最多只能卖 2000 元，那么你计划该电脑用了几年后报废才划算呢？

高三数学(文科)一轮学案【第15课时】不等式的综合应用

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