集合经典例题总结

集合经典例题讲解
集合元素的“三性”及其应用
集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错．
例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，
Ａ＝Ｂ，求q 的值．
例2 设Ａ＝｛ｘ∣2
x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和．
例3 已知集合 =A {2，3,2a +4a +2}， B ＝{0,7, 2a +4a -2,2-a }，且
A B={3,7},求a 值．
分析：
集合易错题分析
1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.
2．你会用补集的思想解决有关问题吗？
3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？
1、忽略φ的存在：
例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．
2、分不清四种集合：
{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别.
例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数
为…………………………………………………………………………（ ）
（A ） 1 （B ）0 （C ）1或0 （D ） 1或2
3、搞不清楚是否能取得边界值：
例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ⊆A ，求m 的范围.
例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P 等
于 （ ） A.（0,2）,(1,1) B.{(0,2),(1,1)} C. {1,2} D.
{}2≤y y
集合与方程
例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。

例2、已知集合(){}
(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，
如果φ≠B A ,求实数a 的取值范围。

例3、已知集合()(){}
30)1()1(,,123,2=-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若
φ=B A ，求实数a 的值。

集合学习中的错误种种
数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生．
一、混淆集合中元素的形成
例集合
{}
()|0
A x y x y
=+=
，，{}
()|2
B x y x y
=-=
，，则A B=
忽视空集的特殊性
例已知
{}
|(1)10
A x m x
=-+=，{}
2
|230
B x x x
=--=，若A B
⊆，则m的值为
没有弄清全集的含义
例设全集
{}{}
2
2323212
S a a A a
=+-=-
，，，，，{}5
S
C A=，求a的值
没有弄清事物的本质
例若
{}
|2
A x x n n
==∈Z
，，{}
|22
B x x n n
==-∈Z
，，试问A B
，是否相等．
等价转化思想
例已知M ={(x，y)| y = x＋a}，N ={(x，y)| x2＋y2= 2}，求使得M N=φ成立的实数a的取值范围。

分类讨论思想
解答集合问题时常常遇到这样的情况：解题过程中，解到某一步时，不能再以统一的方法、统一的形式继续进行，因为这时被研究的数学对象已包含了多种可能的情形，必须选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想方法．
例设集合A = {x | x2＋4x = 0，x∈R}，B = {x | x2＋2(a＋1)x＋a2－1= 0，a∈R，x∈R }，若A
B⊆，求实数a的取值范围。

开放思想
开放型问题是相对于中学课本中有明确条件和结论的封闭型问题而言的．这类问题的知识覆盖面大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度．集合中的开放型问题问题大多是结论不定性开放型问题．
例
设集合A = {(x ，y)|y 2－x －1= 0 }，集合B ={(x ，y)| 4x 2＋2x －2y ＋5 = 0 }，集合C ={(x ，y)| y = kx ＋b }，是否存在k ，b ∈N ，使得()A B C φ=？若存在，请求出k ，b 的值；若不存在，请说明理由．
历年高考题精选：
例1 (2005年天津理工高考) 设集合A={x||4x －1|≥9，x ∈R}，B={x|3+x x
≥0 ，x ∈R }则A ∩B =
例2 (2005年重庆理工高考)集合A={ x ∈R|x 2
－x －6 < 0}，B={ x ∈R||x －2| < 2}，则A ∩B =___________。

例3(2005年湖南理工高考)集合A={x|011<+-x x }，B ={x||x －b| < a}，若“a =
1”是“A ∩B =φ”的充分条件，则b 的取值范围可以是( )
例4(2000年春季高考) 设全集U={a ，b ，c ，d ，e}，集合A={a ，c ，d}，B={b ，d ，e}，那么C U A ∩C U B =（ ）。

例5(1994年全国高考)设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则C U A ∪C U B = ( )
例6(2005年天津文史高考) 集合A={x|0≤x<3且x ∈N}的真子集个数为( )
例7(1993年全国高考)集合A={x|x=2πk +4π, k ∈Z}，B={x|x=4πk +2π
k ∈Z}则有
( )
A ．A =
B B ．A ⊃B
C ． A ⊂B
D ．A ∩B =φ
例8(1996年全国高考)，已知全集U=N ，集合A={x|x=2n ，n ∈N},集合B={x|x = 4n ，n ∈N}，则( )
A ．U= A ∪
B B ．U=
C U A ∪B C ．A ∪C U B
D ．C U A ∪C U B
交、并集思想在实际中的应用
新教材高中数学（必修1）在课程标准中提到：①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；②能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

交、并集是集合的运算。

准确把握交、并集思想；恰当运用交、并集的运算方法是培养我们从日常生活中的问题抽取到用数学符号表示的抽象、归纳的思维能力，也是培养我们从感性到理性的认识能
力。

本文就交、并集思想在实际中的应用作些探讨，供同行参考。

准确理解交、并集的定义从而直接解题 例．设{}042=+=x x x A ，函数{}
01)1(222=-+++=a x a x x B ，求使（1）
B B A = 的实数a 的取值范围。

（2）使B B A = 的实数a 的值.
利用交、并集的思想解决实际生活中的问题
例．高一（1）班学生期终考试成绩表明：（1）36人数学成绩不低于80分；（2）20人物理成绩不低于80分；（3）15人的人数学、物理成绩不低于80分.问：有多少人这两科成绩至少有一科不低于80分？
交、并集性质的拓宽应用
例．某班共有学生50名，其中参加数学课外小组的学生有22名，参加物理课外小组的学生有18名，他们中同时参加数学、物理课外小组的学生有13人.问至少参加数学与物理两个课外小组中一个的学生有多少名？数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少名？
复杂问题转化到交、并集的领域，实现思维的升华
例6．设U=R ，集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，
{}R x a x a x x B ∈=+--=,0)1(22，{}
R x a ax x x C ∈=-+=,0222，若A ，B ，C 中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围。

在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到
底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。

例 1已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。

例2、若下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。

例3、若x 、y 、z 均为实数，且
62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，
求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.。