带积分边界条件的奇异分数阶微分方程的解问题
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言分数阶微分方程在众多领域中有着广泛的应用，如物理学、工程学、金融学等。
近年来，分数阶微分方程的边值问题解的存在性成为了研究的热点问题。
本文将就分数阶微分方程边值问题解的存在性进行深入探讨，分析其解的存在条件以及相关性质。
二、问题描述与预备知识分数阶微分方程的边值问题通常描述为在一定的区间上，满足一定的边界条件的分数阶微分方程的解的存在性问题。
为了研究这个问题，我们需要了解分数阶微分方程的基本性质，如分数阶导数的定义、分数阶微分方程的解法等。
此外，还需要掌握边值问题的基本理论，如边值条件的设定、边值问题的分类等。
三、解的存在性分析对于分数阶微分方程的边值问题，解的存在性分析主要依赖于以下几个因素：方程的阶数、边界条件的设定、解的空间性质等。
首先，方程的阶数会影响解的存在性。
一般来说，阶数越高，解的存在性越难以保证。
其次，边界条件的设定也会对解的存在性产生影响。
不同的边界条件会导致不同的解的存在性。
最后，解的空间性质也是解的存在性的重要因素。
我们需要分析解的空间是否满足一定的性质，如连续性、可微性等。
在分析解的存在性时，我们通常采用不动点定理、Schauder 不动点定理等数学工具。
这些工具可以帮助我们判断解的存在性，并给出解的存在的一些条件。
此外，我们还需要分析解的唯一性。
如果存在多个解，我们需要进一步研究这些解的性质和关系。
四、具体例子与数值分析为了更好地说明分数阶微分方程边值问题解的存在性，我们可以给出一些具体的例子并进行数值分析。
例如，我们可以考虑一个二阶分数阶微分方程的边值问题，并设定一定的边界条件。
然后，我们可以利用数值方法求解这个边值问题，并分析解的存在性和性质。
通过具体的例子和数值分析，我们可以更深入地理解分数阶微分方程边值问题解的存在性。
五、结论通过对分数阶微分方程边值问题解的存在性的分析，我们可以得出以下结论：1. 分数阶微分方程的边值问题解的存在性取决于多个因素，包括方程的阶数、边界条件的设定以及解的空间性质等。
Banach空间中带积分边界条件的一阶奇异脉冲微分方程边值问题的正解
（１ １） ．
其中Ｊ ０１，， ０ ，∈ ， 且ｆ ． （ ≥ ， Ｂ一㈤ 一‘ｓｅ ㈩ｄ＞ ：Ｅ， ＞ ，ｇ ＬＬ １ ∈， ｆ ０ ｅ 出 ｆ（） ５ ０ 在“＝ ］ ｐ ０］ 时ｇ ） — ｇ — ０
张梅 ， 丛 丛 ， 衍 胜 田 刘
（ 山东师范大学数学科学学 院 ， 山东 济南 ２ ０ １ ） ５０ ４ 摘要 ： 通过构造一个特殊 的算 子 ， 用锥拉伸和锥压缩不动点定 理 ， 利 研究 了 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间中一类 带积分边界 条 件 的奇异脉冲微分方程边值问题 的正解及多重正解的存在性．
关键词 ： 奇异 ； 脉冲 ； 积分边界条件 ； 多解
中图 分 类 号 ： １５ ８ Ｏ ７ ． 文献 标 识 码 ： Ａ
Ｐ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆＦｉｓ － ｄ ｒ ｏ ｉｉ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｓｏ ｒ ｔＯｒ ｅ
Ｓｉ ｕｌ ｒ Ｉ ｐ ｓｖｅ Ｂｏ ｎｇ ａ ｍ ｕｌ ｉ ｕｎｄａ ｙ Ｖａ ｕｅ Ｐｒ ｂｌ ｍ ｒ ｌ ｏ ｅ ｗｉｈ ｎｔ ｇ ａ ｕｎｄａ ｙ Ｃｏ ｔ Ｉ ｅ ｒ ｌＢｏ ｒ ｎｄｉｉ ｎ ｎ Ｂａ ｃ ｔｏ ｉ ｎａ ｈ Ｓｐａ ｅ ｃ
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山 东 科 学
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处 有奇 异 ， ｕ ｔ）＝ｕ ｆ）一Ｍ ｆ ， Ａ （ （ （ ） 这里 ｕ ） 或 （ｉ ）表示 ｕ ｔ 在 ｔ＝ｔ 的右极 限（ （ （ ｆ） （） 处 或左极 限 ） ．
首 先给 出如下 记号 ：ｏ＝ ［ ， ］Ｊ Ｊ ０ｔ ， ＝ （ ， ］ｋ ＝１２ … ， 一１Ｊ ｔｔ ， ，， ｍ ，ｍ＝ （ １． ｔ ］ ， 设 是 实 的 Ｂ ｎｃ 间 ，ｃ［ ， ａａｈ空 Ｐ ．Ｅ］＝ ｛ ： — ＥＩ 在 ．上 连续 ，（ｉ ， ＵＪ ， Ｕ ｔ）＝“ ｔ） “ ｆ 存在 ， １２ （ ，（ ） ｋ＝ ，，
奇异微分方程边值问题的数值解法
奇异微分方程边值问题的数值解法奇异微分方程（singular differential equation）是指微分方程中存在奇异点（singular point）的一类特殊微分方程。
这些奇异点通常是导致方程在一些点上不连续或无定义的地方。
差分法（finite difference method）是将微分方程转化为差分方程，并用差分方法进行逼近求解的一种方法。
它的基本思想是将区间离散化，将微分方程转化为一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。
差分法的步骤如下：1.将求解区间进行等距离离散化，将连续的问题转化为离散的问题。
2.将微分方程中的导数用中心差分或向前/向后差分表示，得到差分方程。
3.将边界条件转化为差分方程中的代数方程。
4.将离散化的差分方程和代数方程组成一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。
有限元法（finite element method）是一种将微分方程用虚位移法（variational principle）得到弱形式，然后通过离散化和近似求解的方法。
它的基本思想是将求解区域划分为有限个子区域，然后在每个子区域内选取适当的基函数，通过这些基函数的线性组合近似原方程。
有限元法的步骤如下：1.将求解区域划分为三角形或四边形的有限个子区域，每个子区域称为单元。
2.在每个单元内选取适当的基函数，通常为多项式函数。
3.将原方程化为弱形式，即将方程两边乘上一个测试函数，并在整个求解区域上进行积分。
4.在每个单元内进行积分近似，并通过对各个单元的积分进行求和，得到离散化的方程。
5.将边界条件转化为代数方程。
6.将离散化的方程和代数方程组成一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。
总结起来，奇异微分方程边值问题的数值解法包括差分法和有限元法。
这两种方法都需要将微分方程进行离散化，然后通过求解线性方程组得到数值解。
选择使用哪种方法主要取决于具体的问题和求解精度要求。
四阶微分方程奇异边值问题的正解
四阶微分方程奇异边值问题的正解【引言】四阶微分方程奇异边值问题的正解是数学领域中的一个有趣而重要的课题。
我们知道，微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，而四阶微分方程则更加复杂，涉及到更高阶的导数。
奇异边值问题是在给定一组边界条件的情况下，寻找四阶微分方程的满足条件的解。
在本文中，我们将全面评估和讨论四阶微分方程奇异边值问题的正解，并分享个人观点和理解。
【正文】1. 什么是四阶微分方程奇异边值问题？四阶微分方程奇异边值问题是指在给定的区间上，满足四阶微分方程和一组边界条件的情况下，求解方程的满足条件的解。
这些边界条件可能包括函数值、导数值以及二阶导数值等信息。
奇异边值问题的难点在于，边界条件的组合可能导致问题的奇异性，使得传统方法难以直接求解。
研究四阶微分方程奇异边值问题的正解对于深入理解微分方程在实际问题中的应用至关重要。
2. 解四阶微分方程奇异边值问题的方法解决四阶微分方程奇异边值问题需要结合数值方法和分析方法，以下是一些常用的方法：1) 分离变量法：将四阶微分方程拆解为一系列一阶或二阶微分方程，通过求解这些低阶方程来获得原问题的解。
2) 特征方法：对于特殊的四阶微分方程，可以使用特征方法，将其转化为一些已知的标准方程，然后进行求解。
3) 变分法：通过引入变分原理，将四阶微分方程奇异边值问题转化为极值问题，利用变分法的性质求解。
3. 四阶微分方程奇异边值问题的应用四阶微分方程奇异边值问题在各个科学领域具有广泛的应用。
以下是几个应用实例：1) 结构力学：四阶微分方程可以描述梁、板等结构的挠度分布，奇异边值问题的正解可以得到结构的稳定性和强度等信息。
2) 电磁场分析：研究电磁场分布时，涉及到Maxwell方程，其中存在四阶微分算符，解奇异边值问题可以得到电磁场的具体分布情况。
3) 物理学：四阶微分方程可以描述波动方程、量子力学中的薛定谔方程等，解奇异边值问题可以获得物理问题的精确解析解。
奇异三阶微分方程m点边值问题的正解
奇异三阶微分方程m点边值问题的正解随着科学技术的不断发展，微分方程在各个领域中的应用也越来越广泛。
其中，奇异微分方程是一类非常重要的微分方程类型，因其特殊的解法和广泛的应用而备受关注。
本文将探讨奇异三阶微分方程m点边值问题的正解，希望能为相关领域的研究者提供一些帮助。
首先，我们来介绍一下什么是奇异微分方程。
奇异微分方程是指在某些点上，方程的系数或解本身出现无穷大、无界或不连续等异常情况的微分方程。
这种微分方程的解法相对于一般的微分方程来说更为复杂，需要特殊的方法进行求解。
而奇异三阶微分方程则是指三阶微分方程中存在某些奇异点的微分方程。
这种微分方程在工程、物理、数学等领域中都有广泛的应用。
但是，由于其解法比较困难，所以在实际应用中往往需要借助计算机等工具进行数值求解。
接下来，我们来探讨一下奇异三阶微分方程m点边值问题的正解。
这里的m点边值问题指的是，在某些特定点上，方程的解需要满足一些特殊的条件。
对于这种问题，我们可以采用分段求解的方法。
具体地，我们将边界点附近的区域分成若干个小区间，在每个小区间内分别求解微分方程，并利用边界点处的条件将各个小区间的解拼接起来，从而得到整个区间上的解。
在实际求解过程中，我们还需要借助一些特殊的技巧来处理奇异点。
例如，我们可以采用Frobenius方法将奇异点附近的解表示成幂级数的形式，从而得到解的通解表达式。
同时，我们还可以借助变量代换等方法将奇异点转化为正常的普通点，从而简化问题的求解。
总之，奇异三阶微分方程m点边值问题的正解是一个比较复杂的问题，需要借助多种数学工具和技巧进行求解。
但是，通过合理的分段求解和特殊的技巧处理，我们仍然可以得到准确的解析解。
这种解法不仅可以帮助我们更好地理解奇异微分方程的性质和规律，还可以为相关领域的研究者提供重要的参考和指导。
奇异积分解析值的求解方法
奇异积分解析值的求解方法奇异积分是数学领域一种非常有特殊性质的积分。
不同于一般的积分，奇异积分经常出现在一些不规则的函数中。
对于这些函数，我们往往难以使用一般的积分求解方法来求得其积分值。
然而，奇异积分解析值的求解方法却一直是数学领域的重要研究方向。
一、奇异点的分类在讨论奇异积分的解析值求解方法之前，我们需要了解常见的奇异点分类，包括可积奇异点和不可积奇异点两种类型。
1、可积奇异点顾名思义，可积奇异点是指可以通过积分求解其积分值的奇异点。
在可积奇异点处，函数本身的值虽然为无穷大，但奇异积分存在有限解析值。
2、不可积奇异点不可积奇异点则是指无法通过积分求解其积分值的奇异点。
不可积奇异点处的函数值无法通过有限的算法来计算。
二、求解奇异积分解析值的方法当遇到一个奇异积分时，我们可以通过以下各种方法来求解其解析值。
1、留数法留数法是较为常见的奇异积分求解法之一。
其基本思想是，将原因函数沿着一条简单的闭合围线上积分，可以将奇异点的积分转化为围线内部点解析函数的积分，从而达到求解奇异积分解析值的目的。
2、拐点法拐点法是另一种常用的奇异积分求解法。
具体方法是，将积分函数分成两个互为奇函数和偶函数的部分，并分别分析其奇异点的分类，再根据一些数学证明技巧将两部分求积分求和，得到原积分函数的积分值。
3、级数展开法级数展开法是一种适用于弱奇点的求解法。
其基本思想是，通过对奇异点周围的函数展开进行泰勒级数的求和，得到函数的主要部分，并将其与常规积分的结果进行比较，从而求得奇异积分的解析值。
4、Riemann-Hilbert问题Riemann-Hilbert问题是转化为保守形式的一种积分方程。
对于一组数据和一组约束条件，可以通过对角化操作来得到矩阵，在矩阵对角线元素处即为所求积分解析值。
这种方法适用于强奇点及其附近的求解。
三、案例分析在进行奇异积分解析值求解时，我们需要对其具体情况进行分析，以确定适用的求解方法。
例如，在积分函数为$f(x) = \int_0^1\frac{e^{xt}-1}{t}\text{d}t$时，其奇异点为$t=0$。
奇异分数阶微分方程边值问题正解的唯一性
奇异分数阶微分方程边值问题正解的唯一性周文学;刘旭【摘要】By the means of the Green’s function, the boundary value problem of fractional dif-ferential equation can be reduced to the equivalent integral equation. Recently, this method is applied successfully to discuss the existence of the solution to boundary value problem of nonlinear fractional differential equation. This article investigates the uniqueness of positive solutions for a singular nonlinear boundary value problem of differential equations of fractional order. Our analysis relies on the fixed point theorem in partially ordered sets and the reduction of the considered problem to the equivalent of integral equations.%应用Green函数将分数阶微分方程边值问题可转化为等价的积分方程。
近来此方法被应用于讨论非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性。
本文讨论奇异非线性分数阶微分方程边值问题正解的唯一性。
应用Green函数将其转化为等价的积分方程，利用偏序集上的不动点定理证明正解的唯一性。
【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】10页(P300-309)【关键词】边值问题;奇异分数阶微分方程;Riemann-Liouville分数阶导数;唯一性;偏序集【作者】周文学;刘旭【作者单位】兰州交通大学数学系，兰州 730070; 复旦大学数学科学学院，上海200433;兰州交通大学数学系，兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O175.81 IntroductionThis paper is mainly concerned with the uniqueness of a positive solution for the singular nonlinear fractional differential equation boundary value problemwhere 3<α≤4 is a real number,is the standard Riemann-Liouville dif f erentiation,and f:(0,1]×[0,+∞)→ [0,+∞)with(i.e.,f is singular at t=0).In the last few years,fractional dif f erential equations(in short FDEs)have been studied extensively.The motivation for those works stems from both the development of the theory of fractional calculus itself and the applications of such constructions in various sciences such asphysics,mechanics,chemistry,engineering,and so on.For an extensive collection of such results,we refer the readers to the monographs by Kilbas et al[1],Miller and Ross[2],Oldham and Spanier[3],Podlubny[4]and Samko et al[5].Some basic theory for the initial value problems of FDE involving Riemann-Liouville dif f erential operator has been discussed by Lakshmikantham[6-8],Babakhani and Daftardar-Gejji[9-11],and Bai[12],and so on.Also,there aresome papers which deal with the existence and multiplicity of solutions(or positive solution)for nonlinear FDE of BVPs by using techniques of nonlinear analysis(fixed-point theorems,Leray-Shauder theory,topological degree theory,etc.),see[13–21]and the references therein.Delbosco and Rodino[21]considered the existence of a solution for the nonlinear fractional dif f erential equationwhere 0<α<1 andf:[0,a]×R→R,0<a≤ +∞ is a given continuous function in(0,a)×R.They obtained results for solutions by using the Schauder fixed point theorem and the Banach contraction principle.Qiu and Bai[21]considered the existence of a positive solution to boundary-value problems of the nonlinear fractional dif f erential equationwhereis the Caputo fractional derivative,andf:(0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)with(i.e.,f is singular at t=0).They obtained the existence of positive solutions by means of Guo-Krasnosel’skii fixed point theorem and nonlinear alternative of Leray-Schauder type in acone.In[21]the uniqueness of the solution is not treated.From the above works,we can see a fact,although the fractional boundary value problems have been investigated by some authors.To the best of our knowledge,there have been few papers which deal with theproblem(1)and(2)for nonlinear singular fractional dif f erential equation.Motivated by all the works above,in this paper we discuss the problem(1)and(2).Using a fixed point theorem in partially ordered sets,we will give the uniqueness of a positive solution for the singular nonlinearfractional dif f erential equation boundary value problem(1)and(2).The paper is organized as follows.In section 2,we give some preliminary results that will be used in the proof of the main results.In section 3,we establish the uniqueness of a positive solution for the singular nonlinear fractional dif f erential equation boundary value problem(1)and(2).In the end,we illustrate a simple use of the main result.2 Preliminaries and lemmasFor the convenience of the reader,we present here the necessary def i nitions from fractional calculus theory.These def i nitions can be found in the recent literature such as[1,4,15].Def i nition 2.1[1,4]The Riemann-Liouville fractional integral of order α>0 of a function f:(0,+∞)→Ris given byprovided that the right side is poi ntwise def i ned on(0,+∞),where Γ is the gamma function.Def i nition 2.2[1,4]The Riemann-Liouville fractional derivative of order α>0 of a continuous function f:(0,+∞)→Ris given byprovided that the right side is pointwise def i ned on(0,+∞).Here n=[α]+1 and[α]denotes the integer part of α.Lemma 2.1[15]Let α >0.If we assume u ∈ C(0,1)∩L(0,1),then the fractional dif f erential equation hasas unique solutions,where N is the smallest integer greater than or equalto α.Lemma 2.2[15]Assume that h∈C(0,1)∩L(0,1)with a fractional derivative of order α >0 that belongs to C(0,1)∩ L(0,1).Thenfor some Ci∈ R,i=1,2,···,N,where N is the smallest integer greater than or equal to α.In the following,we present the Green’s function a boundary value problem of the FDEs.Lemma 2.3 Let h∈C[0,1]and 3<α≤4,then the unique solution ofis given bywhere G(t,s)is the Green’s function given byRemark 2.1 G(t,s)>0 for t,s∈(0,1).The following two lemmas are fundamental in the proofs of our main result.Lemma 2.4[22]Let(E,≤)be a partially ordered set,and suppose that there exists a metric d in E,such that(E,d)is a complete metric space.Assume that E satisf i es(7).Let f:E→E be a nondecreasing mapping such thatwhere φ :[0,+∞)→ [0,+∞)is continuous and nondecreasing function,suc h that φ is positive in(0,+∞),φ(0)=0 andIf there exists x0∈ E withx0≤f(x0),then f has a fixed point.If we consider that(E,≤)satisf i es the following conditionThen we have the following result.Lemma 2.5[22]Adding condition(9)to the hypotheses of Lemma 2.4,we obtain uniqueness of the fixed point of f.3 Main resultsIn this section,we establish the uniqueness of a positive solution for the problem(1)and(2).Theorem 3.1 Let 0<σ<1,3<α≤4,F:(0,1]→[0,+∞)is continuous,andSuppose that tσF(t)is continuous funct ion on[0,1].Then the functionis continuous on[0,1].Proof By the continuity of tσF(t)and It is easy to check that H(0)=0.The proof is divided into three case:Case 3.1 t0=0,∀t∈(0,1].Since tσF(t)is continuous in[0,1],there exists a constant M>0,suchtha t|tσF(t)|≤ M,t∈ [0,1].Hencewhere B(·,·)denotes the beta function.Case 3.2 t0∈(0,1),∀t∈(t0,1].Case 3.3 t0∈(0,1],∀t∈[0,t0).The proof is similar to that of Case 3.2,so weomit it.From the above,for ϵ>0,t,t0 ∈ [0,1],there exists δ>0 such that|t− t0|< δ,w e have|H(t)− H(t0)|< ϵ.Thus,the functionis continuous on[0,1].Let Banach space E=C[0,1]be endowed with the norm ∥u∥=maxt∈[0,1]|u(t)|.Note that this space can be equipped with a partial order given byIt is easy to check that(E,≤)with the classic metri c given bysatisf i es condition(8)of Lemma 2.4.Moreover,for x,y∈E,as the function max{x,y}is continuous in[0,1],(E,≤)satisf i es condition(9).Theorem 3.2 Let 0<σ<1,3<α≤4,f:(0,1]×[0,+∞)→ [0,+∞)iscontinuous,andtσf(t,u)is continuous function on[0,1]× [0,+∞).Assume that there existssuch that for u,v∈[0,+∞)with u≥v and t∈[0,1],where ϕ:[0,+∞)→ [0,+∞)is continuous andnondecreasing,φ(u)=u−ϕ(u)satisf i es:(a): φ:[0,+∞)→[0,+∞)and nondecreasing;(b):φ(0)=0;(c): φ is positive in(0,+∞).Then the problem(1)and(2)has an unique positive solution.Proof Def i ne the cone K⊂E byNote that,as K is a closed subset of E,K is a complete metric space. Suppose that u is a solution of boundary value problem(1)and(2).ThenDef i ne an operator A:K→E as followsBy Theore m 3.1,Au ∈ E.Moreover,in view of Remark 2.1 and as tσf(t,u)≥ 0 for(t,u)∈[0,1]×[0,+∞),by hypothesis,we getSo,A(K)⊂K.Firstly,the operator A is nondecreasing.By hypothesis,for u≥v,thenBesides,for u≥v,by(12),we obtainAs the function ϕ(u)is nondecreasing,then for u ≥ v,we getBy last inequality,we havePut φ(u)=u−ϕ(u).Obviously,φ :[0,+∞)→ [0,+∞)iscontinuous,nondecreasing,positive in(0,+∞),φ(0)=0.Thus,for u≥v,we getFinally,take into account that for the zero function,0≤A0,by Lemma 2.4,our problem(1)and(2)has at least one nonnegative solution.Moreover,this solution is unique,since(K,≤)satisf i es condition(9)and Lemma 2.5.This completes the proof.In the sequel,we present an example which illustrates Theorem 3.2.4 An exampleExample 4.1 Consider the fractional dif f erential equation(this example is inspired in[21])In this case,Note that f is continuous in(0,1]×[0,+∞)andMoreover,for u≥v and t∈[0,1],we haveBecause g(x)=ln(x+2)is nondecreasing on[0,+∞),andNote thatSince all the conditions of Theorem 3.2 are satisf i ed,theproblem(16)and(17)has an unique positive solution.References:[1]Kilbas A A,et al.Theory and Applications of Fractional Dif f erential Equations[M].Amsterdam:Elsevier Science,2006[2]Miller K S,et al.An Introduction to the Fractional Calculus and Dif f erential Equations[M].New York:John Wiley&Sons,1993[3]Oldham K B,et al.The Fractional Calculus[M].London:Academic Press,1974[4]Podlubny I.Fractional Dif f erential Equation[M].San Diego:Academic Press,1999[5]Samko S G,et al.Fractional Integrals and Derivatives,Theory and Applications[M].Yverdon:Gordon and Breach,1993[6]Lakshmikantham V,et al.Basic theory of fractional dif f erential equations[J].Nonlinear Analysis:TheoryMethods&Applications,2008,69(8):2677-2682[7]Lakshmikantham V,et al.General uniqueness and monotone iterative technique for fractional dif f erential equations[J].Applied Mathematics Letters,2008,21(8):828-834[8]Lakshmikantham V.Theory of fractional functional dif f erential equations[J].Nonlinear Analysis:TheoryMethods&Applications,2008,69(10):3337-3343[9]Babakhani A,et al.Existence of positive solutions of nonlinear fractional dif f erential equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2003,278(2):434-442[10]Babakhani A,et al.Existence of positive solutions for N-term non-autonomous fractional dif f erential equations[J].Positivity,2005,9(2):193-206[11]Babakhani A,et al.Existence of positive solutions for multi-term non-autonomous fractional dif f erential equations with polynomial coefficients[J].Electronic Journal of Dif f erentialEquations,2006,2006(129):1-12[12]Bai C Z.Positive solutions for nonlinear fractional dif f erential equations with coefficient that changes sign[J].Nonlinear Analysis:Theory Methods&Applications,2006,64(4):677-685[13]Agarwal R P,et al.Boundary value problems for fractional dif f erential equation[J].Advanced Studies in ContemporaryMathematics,2008,16(2):181-196[14]Ahmad B,et al.Existence results for nonlinear boundary value problems of fractional integrodif f erential equations with integral boundary conditions[J].Boundary Value Problems,2009,708576:1-11[15]Bai Z B,et al.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional dif f erential equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2005,311(2):495-505[16]Xu X J,et al.Multiple positive solutions for the boundary value problem of a nonlinear fractional dif f erential equation[J].Nonlinear Analysis:Theory Methods&Applications,2009,71(10):4676-4688[17]Zhang S Q.Positive solutions for boundary-value problems of nonlinear fractional dif f erential equations[J].Electronic Journal of Dif f erential Equations,2006,2006(36):1-12[18]Zhou W X,et al.Existence of solutions for fractional dif f erential equations with multi-point boundary conditions[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2012,17(3):1142-1148[19]Zhou W X,et al.Multiple positive solutions for nonlinear semipositone fractional dif f erential equations[J].Discrete Dynamics in Nature and Society,2012,850871:1-10[20]Delbosco D,et al.Existence and uniqueness for a nonlinear fractional diff erential equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1996,204(2):609-625[21]Qiu T T,et al.Existence of positive solutions for singular fractional dif f erential equations[J].Electronic Journal of Dif f erentialEquations,2008,2008(146):1-9[22]Harjani J,et al.Fixed point theorems for weakly contractive mappings in partially ordered sets[J].Nonlinear Analysis:TheoryMethods&Applications,2009,71(7-8):3403-3410。
一类积分边界条件下奇异分数微分方程边值问题正解的存在性
Ａｂ ｔａ ｔ：Ｉ ｈｉ ａ ｒ ｂｙ ｕ ｉｉｉ ｅ ｕｌ ｆｏｍ ｈｅ ｆｘｅ ｏｉ ｈｅ ｒ ｍ ｎ ｐａ ｔａｌ ｄｅ ｅ ｅ ｓ，ｔ ｘｉｔ ｎｃ ｎｄ ｓｒｃ ｎ ｔ ｓ ｐ ｐｅ ， ｔｌ ｎｇ ａ ｒ ｓ ｔ ｒ ｚ ｔ ｉ ｄ ｐ ｎｔｔ ｏ ｅ ｉ ｒｉ ｌｙｏｒ ｒ ｄ ｓ ｔ ｈｅ ｅ ｓ ｅ ｅａ
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类 积分 边界 条 件 下 奇 异 分 数 微 分 方 程 边 值 问题 正解 的存 在 性
王 璐
（ 州 师 范 大学 数 学 科 学 学 院 ， 苏 徐 州 ２ １ １ ） 徐 江 ２ １ ６
摘要 ： 虑 （ 考 一１ １ 型 积 分 边 界 条 件 下 奇 异 非 线 性 分 数 微 分 方 程 边 值 问题 ． 用半 序 集 上 的 不 动 点 定 理 研 究 其 正 ，） 运 解 的存 在性 和 唯 一 性 ． 关键词 ： 数微分方程 ； 值问题 ； 分 边 正解 中 图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５ ８ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： ０ ７６ ７ （０ ２０ —０ ８０ １ ０—５ ３ ２ １ ） １０ １—６
［ ２ 中假 设 厂：ｏ １ ×［ ， 。 一 ［ ， ＜ 且 ｌ １］ （ ， ］ Ｏ ＋。 ） ０ ＋Ｏ ） ｉ Ｄ ｍ厂（，・ 一Ｏ （一０是 奇 异点 ） 运用 半 序集 上 的不 动 点 定 ｔ ） ＜ｔ Ｄ ， 理 给 出 了边 值 问题 （ ） 解存 在 的条件 ． １正 受 文献 ［ ２ 的启 发 ， １］ 本文研 究 （ 一１ １ 型积 分边 界条件 下非 线性 分数 微分 方程 边值 问题 ，）
分数阶微分方程边值问题解的存在性
分数阶微分方程边值问题解的存在性分数阶微分方程边值问题解的存在性一、引言分数阶微分方程是一类描述复杂动态系统行为的数学模型，它在描述非线性、非局部以及非整数阶现象等方面具有独特的优势。
与传统的整数阶微分方程相比，分数阶微分方程的解尚未得到充分的研究。
本文将探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性，并通过数学推导和分析，为其解的存在性提供一定的证明。
二、分数阶微积分及其应用分数阶微积分是对经典微积分的一种扩充和泛化，它引入了分数阶导数和分数阶积分的概念。
分数阶导数可以用来描述非局部和非整数阶现象，例如弛豫效应、长程记忆等。
而分数阶微分方程是利用分数阶导数建立的，其在描述复杂系统的行为中发挥着重要的作用。
分数阶微分方程的边值问题是在给定边界条件下求解方程的特定解。
边值问题在实际问题中具有广泛的应用，例如物理学中的电磁场分布、化学反应动力学等。
而分数阶微分方程边值问题的解的存在性则是一个重要的数学问题。
三、分数阶微分方程的边值问题考虑分数阶微分方程边值问题：D^αy(x) = f(x,y(x)), 0 < α ≤ 1, a ≤ x ≤ b,y(a) = A, y(b) = B, (1)其中D^α表示分数阶导数，f(x,y(x))是已知的函数，A、B是给定的常数。
为了研究方程(1)的解的存在性，我们将其转化为积分方程的形式。
首先，将方程(1)的分数阶导数表示为以下定积分形式：y(x) = 1/Γ(1-α)∫[a,x](x-t)^(α-1)f(t,y(t))dt + C,a ≤ x ≤ b, (2)其中C是常数，Γ(1-α)为欧拉积分。
然后，我们通过连续逼近方法，构造一列定义在[a, b]上的函数序列{y_n(x)}，使得它们的极限函数为方程(2)的解。
分数阶微积分的性质表明，通过连续逼近方法可以得到方程(2)的解。
接下来，我们验证这个函数序列是否满足边界条件y_n(a) = A和y_n(b) = B。
《边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题》范文
《边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题》篇一一、引言在数学物理领域，Sturm-Liouville问题一直是一个重要的研究方向。
近年来，随着分数阶微分方程的兴起，分数阶Sturm-Liouville问题也逐渐成为了研究的热点。
特别是在考虑具有复杂边界条件和谱参数的情况下，分数阶Sturm-Liouville问题的研究变得尤为重要。
本文将重点探讨带有谱参数的边界条件在分数阶Sturm-Liouville问题中的应用。
二、问题描述在给定的区间内，我们考虑一个具有分数阶导数的Sturm-Liouville问题。
其中，该问题的边界条件中包含有谱参数。
我们要求解这个带有复杂边界条件的分数阶微分方程，并分析谱参数对解的影响。
三、模型建立首先，我们定义分数阶导数的形式，并给出相应的微分方程。
接着，我们根据问题的特点，设定带有谱参数的边界条件。
这样，我们就建立了一个具有分数阶导数和复杂边界条件的Sturm-Liouville问题模型。
四、问题分析在分析该问题时，我们需要考虑以下几个方面：1. 谱参数对解的影响：我们需研究谱参数的变化如何影响方程的解。
这需要通过对不同谱参数下的解进行比较和分析来实现。
2. 边界条件的处理：由于边界条件中包含有谱参数，我们需要采用适当的方法来处理这些条件。
这可能涉及到对边界条件的近似、插值或变换等方法。
3. 分数阶导数的处理：分数阶导数的处理是解决该问题的关键。
我们需要选择合适的数值方法或近似方法来求解分数阶导数，以保证解的准确性和稳定性。
五、数值方法与求解过程针对该问题，我们可以采用以下数值方法进行求解：1. 有限差分法：通过将微分方程和边界条件离散化，将问题转化为一个线性代数问题，然后采用适当的算法进行求解。
2. 谱方法：利用谱方法的优点，如高精度、快速收敛等，来求解该问题。
在处理分数阶导数和边界条件时，可以采用适当的基函数或变换来简化问题。
3. 迭代法：当问题的规模较大或难以直接求解时，可以采用迭代法进行求解。
奇异微分方程边值问题的数值解法
奇异微分方程边值问题的数值解法
奇异微分方程（singular differential equation）是指方程在某个特定点处出现了令系数函数、初值函数及其导数在该点变为无穷大或为零的情况，使得求解方程的解析方法失效，需要采用数值方法求解。
一般来说，奇异微分方程的求解方法相对复杂，需要寻找专门的数值方法。
奇异微分方程边值问题（Singular boundary value problems）是指包含奇异微分方程的边值问题。
奇异微分方程边值问题的数值解法通常需要考虑奇异点处的解析性质和边界条件限制等方面的问题，常用的数值方法包括：有限元方法、微分学计算、BVP solvers 等。
常用的数值解法之一是有限元方法。
该方法通过将微分方程离散化为有限个线性方程组，再利用数值方法求解方程组解，来计算微分方程的数值解。
该方法在处理奇异微分方程时可以采用局部细化的网格，以提高计算精度。
另一种数值解法是微分学计算。
该方法基于微分学计算理论，采用微分代数、微分几何等方法，以求得微分方程的解析解或其近似解形式。
该方法一般可以处理比较复杂的奇异微分方程问题，但计算过程较为复杂，不适合处理大规模的问题。
最后，BVP solvers 是一类专门用于解决奇异微分方程边值问题的求解器。
BVP solvers 通常结合了多种数值方法，能够处理不同的奇异微分方程，并可以方便地求得边值问题的数值解。
常见的 BVP solvers 包括MATLAB 中的 bvp4c 和 bvp5c 等函数。
分数阶微分方程理论分析与应用问题的研究
分数阶微分方程理论分析与应用问题的研究分数阶微分方程是指含有任意阶导数的微分方程。
近三十年来,由于物理、工程等领域应用的拓展,激发了科研工作者对分数阶微积分的巨大热情。
许多科研工作者指出分数阶微积分比整数阶微积分更适合刻画具有遗传和记忆性质的材料和过程。
但是,由于分数阶微分算子具有非局部性和奇异性,使得分数阶微分方程的理论研究十分困难。
因此,对分数阶微分方程的研究具有重要的理论意义和实际价值。
本论文主要研究了带有参数的分数阶微分方程解的一些性质和含有Riemann-Liouville 型分数阶q-导数的分数阶q-差分方程解的存在性以及含有左右分数阶导数的分数阶脉冲微分包含系统的多解性问题。
全文的主要工作如下:1.带有参数和p-拉普拉斯算子的非线性分数阶微分方程解的存在性、唯一性、多解性和不存在性。
主要通过分析所讨论系统的结构,将系统转化为相应的积分系统,构造了一特殊的泛函空间,应用非线性分析的相关知识结合分数阶微积分的基本理论以及一些不等式的技巧,详细给出了参数在不同的范围取值时,系统解的存在性、唯一性、多解性与不存在性。
补充和完善了已有文献的结果。
2.分数阶q-差分方程解的存在性、唯一性和正解的存在性问题。
主要讨论了一类非线性项含有Riemann-Liouville型分数阶q-导数的分数阶q-差分方程。
应用分数阶q-微分与分数阶q-积分的相关知识以及p-拉普拉斯算子的一些性质,通过三个不动点定理,即Schauder不动点定理、Banach压缩不动点定理、Krasnoselskii不动点定理,分别给出了解的存在性、唯一性和正解的存在性条件。
3.带有积分边界条件的分数阶微分方程和耦合分数阶q-差分系统极值解的存在性问题。
首先考虑了带有积分边界条件的分数阶微分方程的极值解,通过分析相应的格林函数的性质,再应用单调迭代原理以及一些不等式的技巧,由两个幂函数分别得出了两个迭代序列,最后证明了序列的极限即为系统的解。
具有积分边界条件的常微分方程边值问题的数值解
具有积分边界条件的常微分方程边值问题的数值解
具有积分边界条件的常微分方程边值问题是一种复杂的问题，要求通过
数值方法求解这种边值问题，可以有效地求解出其解，并获得非常好的精度。
首先，我们需要了解该问题的描述。
这类问题要求求解的是一个带有积
分边界条件的微分方程组。
其标准形式是： y' = f(x,y)，从x0到xn的范围，其中低端为α（α为积分边界条件），高端点为β，β也被称为另一
个边界条件。
接下来，为了解决这个问题，我们首先要建立一个数值模型。
对该模型
来说，我们需要将[x0,xn]区间划分为若干等距离的子区间，并将该区间拆
分成N个等距离的点，即x1,x2,...,xn-1，它们能够完全表示该区间的函
数的取值，它们被称为子网格点。
接着，我们将把原微分方程组分解为若干
份子问题，并引入一个方程来表示积分的解的变化，求解该方程，以得到积
分边界条件的解。
最后，我们可以使用常用的数值方法求解这一模型。
一般来说，用有限
差分法求解最贴近于实际解决问题，其优点是计算量小，准确性好，不受精
度的限制。
另外，需要注意，积分边界条件可能将确定它们对应的解，有时
尤其是对于带有多个积分边界条件的情况，需要引入改进算法来获得更准确
的结果。
总而言之，具有积分边界条件的常微分方程边值问题可以通过使用数值
解的方法得到满足边界条件的数值解，有助于更好地理解微分方程的解和积
分边界条件的作用。
带有Stieltjes积分边界条件和ψ-Caputo导数的分数阶边值问题解的存在性
第61卷 第3期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .32023年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022299带有S t ie l t j e s 积分边界条件和ψ-C a pu t o 导数的分数阶边值问题解的存在性王 宁,周宗福(安徽大学数学科学学院,合肥230601)摘要:考虑一类带有ψ-C a pu t o 分数阶导数的分数阶微分方程边值问题,其边界条件含有S t i e l t j e s 积分和多个ψ-R i e m a n n -L i o u v i l l e 分数阶积分算子.先给出其相应辅助边值问题解的表达式,再利用B a n a c h 压缩映像原理和S c h a e f e r 不动点定理证明该边值问题解的存在性和唯一性结果,最后举例说明所得结果的有效性.关键词:ψ-C a p u t o 导数;S t i e l t j e s 积分;多点;不动点定理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)03-0469-08E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o rF r a c t i o n a l B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m sw i t h ψ-C a p u t oD e r i v a t i v e a n dS t i e l t j e s I n t e g r a l B o u n d a r y C o n d i t i o n s WA N G N i n g ,Z HO UZ o n gf u (S c h o o l o f M a t h e m a t i c a lS c i e n c e s ,A n h u i U n i v e r s i t y ,H e fe i 230601,C h i n a )A b s t r a c t :W e c o n s i d e r e da c l a s sof b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s f o r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e qu a t i o n sw i t h ψ-C a p u t of r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ,t h eb o u n d a r y c o n d i t i o n si n c l u d e da S t i e l t j e si n t e g r a la n d m u l t i p l e ψ-R i e m a n n -L i o u v i l l e f r a c t i o n a l i n t e g r a l o p e r a t o r s .F i r s t l y ,t h e e x p r e s s i o no f s o l u t i o no f c o r r e s p o n d i n g a u x i l i a r y b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m w a s g i v e n .S e c o n d l y ,t h e e x i s t e n c e a n d u n i qu e n e s s o f s o l u t i o n o f t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m w e r e p r o v e db y u s i n g B a n a c hc o m p r e s s i o n m a p p i n gp r i n c i p l ea n dS c h a e f e r f i x e d p o i n t t h e o r e m.F i n a l l y ,w e g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e v a l i d i t y o f t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :ψ-C a p u t od e r i v a t i v e ;S t i e l t j e s i n t e g r a l ;m u l t i p o i n t ;f i x e d p o i n t t h e o r e m 收稿日期:2022-07-04.第一作者简介:王 宁(1997 ),女,汉族,硕士研究生,从事微分方程的研究,E -m a i l :2925502108@q q.c o m.通信作者简介:周宗福(1964 ),男,汉族,硕士,教授,从事微分方程的研究,E -m a i l :z h o u z f 12@126.c o m.基金项目:安徽省自然科学基金(批准号:1608085MA 12).0 引 言分数阶微积分是整数阶微积分的推广,由于分数阶导数具有良好的记忆性质和遗传特性,使得其在物理和工程等领域应用广泛[1-3],关于分数阶微分方程的研究目前已取得了丰富成果[4-9].分数阶导数的定义形式繁多,为克服该问题,A l m e i d a [10]将C a p u t o 分数阶导数与带有核的R i e m a n n -L i o u v i l l e 分数阶导数相结合,并引入ψ-C a p u t o 分数阶导数,研究了它的一些性质,从而将多种形式的C a p u t o 分数阶导数统一起来,促进了具有一般导数形式的分数阶微积分的发展.文献[11]研究了下列边值问题:Copyright ©博看网. All Rights Reserved.cD α,ψa +y (t )=f (t ,y (t )), t ɪ[a ,b ],y [k ]ψ(a )=y k a (k =0,1, ,n -2), y [n -1]ψ(b )=y b {,(1)其中c D α,ψa +是α阶ψ-C a p u t o 分数阶导数,n -1<αɤn ,n ȡ2,y k a ,y b ɪℝ.文献[12]研究了如下边值问题:c D α,ψ0+(c D β,ψ0+u (t )+h (t ,u (t )))=f (t ,u (t )), 0<α,βɤ1,u (0)=a 1ʏ10u (s )d A 1(s ),u (1)=a 2ʏ10u (s )d A 2(s )+a 3ðm i =1μi I γ,ψ0+u (ηi ìîíïïïïïï),(2)其中c D α,ψ0+,c D β,ψ0+分别是α阶和β阶ψ-C a p u t o 分数阶导数,a i (i =1,2,3)为实数,μi ,ηi (i =1,2, ,m )为正数.受上述研究工作的启发,本文考虑如下分数阶微分方程边值问题:c D α,ψa +u (t )=f (t ,u (t )), t ɪ[a ,b ],u [k ]ψ(a )=u k , k =0,1, ,n -2,u [n -1]ψ(b )=l ʏbau (τ)d A (τ)+ðm i =1μi I βi ,ψa +u (ηi ìîíïïïïïï),(3)其中:cDα,ψa+为α阶ψ-C a p u t o 分数阶导数,n -1<αɤn ,n ȡ2;f :[a ,b ]ˑℝңℝ连续,u k ɪℝ(k =0,1, ,n -2),ʏb au (τ)d A (τ)是R i e m a n n -S t i e l t j e s 积分,A (τ)是[a ,b ]上的单调递增函数,I βi ,ψa+是ψ-R i e m a n n -L i o u v i l l e 分数阶积分,βi >0,μi ɪℝ,ηi ɪ(a ,b )(i =1,2, ,m );l ɪℝ;ψ:[a ,b ]ңℝ是一个单调递增的可微函数且ψᶄ(t )ʂ0,t ɪ[a ,b ];u [k ]ψ(t )=1ψᶄ(t )d d éëêêùûúút k u (t ),k ɪ{0,1, ,n -2},u [n -1]ψ(t )=1ψᶄ(t )d d éëêêùûúút n -1u (t ).1 预备知识定义1[13] 令α>0,u 为[a ,b ]上的可积函数,u (t )的α阶ψ-R i e m a n n -L i o u v i l l e 分数阶积分定义为I α,ψa +u (t )=1Γ(α)ʏt a ψᶄ(s )(ψ(t )-ψ(s ))α-1u (s )d s . 定义2[13]令α>0,u :[a ,b ]ңℝ为可积函数,u (t )的α阶ψ-R i e m a n n -L i o u v i l l e 分数阶导数定义为D α,ψa+u (t )=1ψᶄ(t )d d éëêêùûúút n I n -α,ψa+u (t ),其中n =[α]+1,α∉ℕ,α,αɪℕ{.定义3[13] 令α>0,若u ɪC n -1[a ,b ],则u (t )的α阶ψ-C a pu t o 分数阶导数定义为c D α,ψa +u (t )=D α,ψa +u (t )-ðn -1k =0u [k ]ψ(a )k !(ψ(t )-ψ(a ))éëêêùûúúk ,其中n =[α]+1,α∉ℕ,α,αɪℕ{.定义4[10] 若u ɪC n[a ,b ]且αɪℕ,则cD α,ψa+u (t )=I n -α,ψa +1ψᶄ(t )d d éëêêùûúút n u (t )=1Γ(n -α)ʏt a ψᶄ(s )(ψ(t )-ψ(s ))n -αu [n ]ψ(s )d s ,若α=n ɪℕ,则c D α,ψa +u (t )=u [n ]ψ(t ).074 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.引理1[13] 令α>0,u :[a ,b ]ңℝ,则下列结论成立:1)若u ɪC [a ,b ],则c D α,ψa +I α,ψa +u (t )=u (t );2)若u ɪC n -1[a ,b ],则I α,ψa+cD α,ψa+u (t )=u (t )-ðn -1k =0C k (ψ(t )-ψ(a ))k ,其中C k =u [k]ψ(a )k !.引理2[10] 令α,β>0,u :[a ,b ]ңℝ为可积函数,则:1)I α,ψa+[ψ(t )-ψ(a )]β-1=Γ(β)Γ(α+β)[ψ(t )-ψ(a )]α+β-1;2)c D α,ψa +[ψ(t )-ψ(a )]β-1=Γ(β)Γ(β-α)[ψ(t )-ψ(a )]β-α-1,其中βɪℝ,β>n ,n =[α]+1;3)c D α,ψa +[ψ(t )-ψ(a )]k=0,∀k ɪ{0,1, ,n -1},n =[α]+1ɪℕ;4)I α,ψa +I β,ψa +u (t )=I α+β,ψa+u (t ).引理3(S c h a e f e r 不动点定理)[14]设X 为B a n a c h 空间,T:X ңX 是一个连续的紧映射,{u ɪX u =λT (u ),0<λ<1}有界,则T 至少存在一个不动点.引理4 令n -1<α<n ,g :[a ,b ]ңℝ为连续函数,则分数阶边值问题c D α,ψa +u (t )=g (t ), t ɪ[a ,b ],u [k ]ψ(a )=uk , k =0,1, ,n -2,u [n -1]ψ(b )=l ʏb au (τ)d A (τ)+ðm i =1μi I βi ,ψa +u (ηi ìîíïïïïïï)(4)的解为u (t )=ðn -2k =0u k k !(ψ(t )-ψ(a ))k+1M [P +l ʏba I α,ψa +g (τ)d A (τ)+ðmi =1μi I α+βi ,ψa +g (ηi )+ðn -2k =0λk u k -I α-n +1,ψa +g (b )]ˑ(ψ(t )-ψ(a ))n -1+I α,ψa +g (t),(5)其中M =(n -1)!-l ʏba(ψ(τ)-ψ(a ))n -1d A (τ)-ðmi =1μi I βi ,ψa+(ψ(ηi )-ψ(a ))n -1,P =lʏb a ðn-2k =0u kk !(ψ(τ)-ψ(a ))kd A (τ),λk =ðmi =1μi I βi ,ψa+(ψ(ηi )-ψ(a ))kk !.证明:由引理1知,u (t )=ðn -1k =0C k (ψ(t )-ψ(a ))k+I α,ψa +g (t),(6)其中C k =u [k]ψ(a )k !=u k k !,k =0,1, ,n -2,则u [1]ψ(t )=u ᶄ(t )ψᶄ(t )=ðn -1k =1k C k (ψ(t )-ψ(a ))k -1+1Γ(α-1)ʏta ψᶄ(s )(ψ(t )-ψ(s ))α-2g (s )d s ,u [2]ψ(t )=(u [1]ψ(t ))ᶄψᶄ(t )=ðn -1k =2k (k -1)C k (ψ(t )-ψ(a ))k -2+1Γ(α-2)ʏt a ψᶄ(s )(ψ(t )-ψ(s ))α-3g (s )d s , ︙u [n -1]ψ(t )=(n -1)!C n -1+1Γ(α-n +1)ʏtaψᶄ(s )(ψ(t )-ψ(s ))α-n g (s )d s .由边值条件u [n -1]ψ(b )=l ʏbau (τ)d A (τ)+ðmi =1μi I βi ,ψa+u (ηi )可知,174 第3期 王 宁,等:带有S t i e l t j e s 积分边界条件和ψ-C a pu t o 导数的分数阶边值问题解的存在性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(n -1)!C n -1+1Γ(α-n +1)ʏb a ψᶄ(s )(ψ(t )-ψ(s ))α-n g (s )d s =l ʏb a u (τ)d A (τ)+ðmi =1μi I βi ,ψa +u (ηi ),因此,C n -1=1(n -1)!l ʏb a u (τ)d A (τ)+ðmi =1μi I βi ,ψa +u (ηi )-I α-n +1,ψa +g (b []).(7)将式(6)代入式(7)可得C n -1=1M P +l ʏb a I α,ψa +g (τ)d A (τ)+ðmi =1μi I α+βi ,ψa +g (ηi )+ðn -1k =0λk u k -I α-n +1,ψa +g (b []).将求出的C 0,C 1, ,C n -1代入(6),即知式(5)成立.证毕.2 主要结果定义算子T :C [a ,b ]ңC [a ,b ],(T u )(t )=ðn -2k =0u k k !(ψ(t )-ψ(a ))k+1M [P +l ʏba I α,ψa +f (τ,u (τ))d A (τ)+ðmi =1μi I α+βi ,ψa +f (ηi ,u (ηi ))+ðn -2k =0λk u k -I α-n +1,ψa +f (b ,u (b ))]ˑ(ψ(t )-ψ(a ))n -1+I α,ψa +f (t ,u (t )).由引理4知,T 的不动点即为边值问题(3)的解.为方便,引入以下记号:Λ1=l (A (b )-A (a ))M Γ(α+1)(ψ(b )-ψ(a ))n -1+1Mðmi =1μi (ψ(b )-ψ(a ))βi +n -1Γ(α+βi +1)+1M Γ(α-n +2)+1Γ(α+1). 假设条件:(H 1)存在常数ξ>0,使得f (t ,x )-f (t ,y )ɤξx -y ,t ɪ[a ,b ],x ,y ɪℝ;(H 2)ξΛ1(ψ(b )-ψ(a ))α<1.定理1 假设条件(H 1),(H 2)成立,则边值问题(3)在[a ,b ]上存在唯一解.证明:令B r 0={u ɪC [a ,b ]: u ɤr 0},其中r 0ȡΛ21-ξΛ1(ψ(b )-ψ(a ))α,Λ2=ðn -2k =0u k k !(ψ(b )-ψ(a ))k +1M P +L l (A (b )-A (a ))(ψ(b )-ψ(a ))αΓ(α+1)éëêê+ðmi =1μiL (ψ(b )-ψ(a ))α+βi Γ(α+βi +1)+ðn -2k =0λk ㊃u ùûúúk (ψ(b )-ψ(a ))n -1+L (ψ(b )-ψ(a ))αM Γ(α-n +2)+L (ψ(b )-ψ(a ))αΓ(α+1),L =s u p t ɪ[a ,b ]f (t ,0). 先证T :B r 0ңB r 0.∀u ɪB r 0及∀t ɪ[a ,b ],有(T u )(t )ɤðn -2k =0u k k!(ψ(t )-ψ(a ))k+1M [P+l ʏb aI α,ψa+f (τ,u (τ))d A (τ)+ðmi =1μi I α+βi ,ψa+f (ηi ,u (ηi ))+ðn -2k =0λk ㊃u k +I α-n +1,ψa +f (b ,u (b ))]ˑ(ψ(t )-ψ(a ))n -1+I α,ψa+f (t ,u (t ))ɤðn -2k =0u k k !(ψ(t )-ψ(a ))k+274 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1M{P+l ʏb aI α,ψa+[f (τ,u (τ))-f (τ,0)+f (τ,0)]d A (τ)+ðmi =1μiIα+βi ,ψa+[f (ηi ,u (ηi ))-f (ηi ,0)+f (ηi ,0)]+ðn -2k =0λk ㊃u k +I α-n +1,ψa+f (b ,u (b ))-f (b ,0)+f (b ,0[])}(ψ(t )-ψ(a ))n -1+I α,ψa+[f (t ,u (t ))-f (t ,0)+f (t ,0)]ɤðn -2k =0u k k !(ψ(t )-ψ(a ))k +1M{P+l ʏbaI α,ψa +[ξu (τ)+f (τ,0)]d A (τ)+ðmi =1μi I α+βi ,ψa+[ξu (ηi )+f (ηi ,0)]+ðn -2k =0λk ㊃u k +I α-n +1,ψa+[ξu (b )+f (b ,0)]}ˑ(ψ(t )-ψ(a ))n -1+I α,ψa +[ξu (t )+f (t ,0)]ɤðn -2k =0u k k !(ψ(b )-ψ(a ))k +1M P +l (ξ u +L )(A (b )-A (a ))(ψ(b )-ψ(a ))αΓ(α+1éëêê)+ðm i =1μi (ξ u +L )(ψ(b )-ψ(a ))α+βi Γ(α+βi +1)+ðn -2k =0λk ㊃u ùûúúk ˑ(ψ(b )-ψ(a ))n -1+(ξ u +L )(ψ(b )-ψ(a ))αM Γ(α-n +2)+(ξ u +L )(ψ(b )-ψ(a ))αΓ(α+1)=ξΛ1(ψ(b )-ψ(a ))α u +Λ2.因此, T u ɤξΛ1(ψ(b )-ψ(a ))αr 0+Λ2ɤr 0,即T B r 0⊂B r 0,从而T :B r 0ңB r 0.下证边值问题(3)在[a ,b ]上存在唯一解.令u 1,u 2ɪB r 0,t ɪ[a ,b ],则T u 1(t )-T u 2(t )ɤ1M[l ʏb a Iα,ψa+f (τ,u 1(τ))-f (τ,u 2(τ))d A (τ)+ðmi =1μi I α+βi ,ψa+f (ηi ,u 1(ηi ))-f (ηi ,u 2(ηi ))+I α-n +1,ψa+f (b ,u 1(b ))-f (b ,u 2(b ))]ˑ(ψ(t )-ψ(a ))n -1+I α,ψa+f (t ,u 1(t ))-f (t ,u 2(t ))ɤ1M[ξl ʏb aI α,ψa+u 1(τ)-u 2(τ)d A (τ)+ξðmi =1μiI α+βi,ψa+u 1(ηi )-u 2(ηi )+ξI α-n +1,ψa+u 1(b )-u 2(b )]ˑ(ψ(t )-ψ(a ))n -1+ξI α,ψa+u 1(t )-u 2(t )ɤξ(ψ(b )-ψ(a ))αl (A (b )-A (a ))M Γ(α+1)(ψ(b )-ψ(a ))n -éëêê1+1Mðmi =1μi (ψ(b )-ψ(a ))βi +n -1Γ(α+βi +1)+1M Γ(α-n +2)+1Γ(α+1ùûúú) u 1-u 2 ,于是T u 1-T u 2 ɤξΛ1(ψ(b )-ψ(a ))αu 1-u 2 .再由假设条件(H 2)知,T 为压缩映射.因此,根据B a n a c h 压缩映像原理可知,T 在B r 0中存在唯一的不动点,即边值问题(3)存在唯一解.证毕.下面给出边值问题(3)至少存在一个解的结果.引理5 T :C [a ,b ]ңC [a ,b]为全连续算子.证明:首先证明T 连续.任取{u n }⊂C [a ,b ]且u n ңu ɪC [a ,b ](n ң+ɕ),则∀t ɪ[a ,b ],有T u n (t )-T u (t )ɤ1M[l ʏb aI α,ψa+f (τ,u n (τ))-f (τ,u (τ))d A (τ)+374 第3期 王 宁,等:带有S t i e l t j e s 积分边界条件和ψ-C a pu t o 导数的分数阶边值问题解的存在性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.ðmi =1μi I α+βi,ψa+f (ηi ,u n (ηi ))-f (ηi ,u (ηi ))+I α-n +1,ψa+f (b ,u n (b ))-f (b ,u (b ))]ˑ(ψ(t )-ψ(a ))n -1+I α,ψa+f (t ,u n (t ))-f (t ,u (t ))ɤ (ψ(b )-ψ(a ))αl (A (b )-A (a ))M Γ(α+1)(ψ(b )-ψ(a ))n -1+1Mðmi =1μi (ψ(b )-ψ(a ))βi +n -1Γ(α+βi +1éëêê)+ 1M Γ(α-n +2)+1Γ(α+1ùûúú) f (㊃,u n (㊃))-f (㊃,u (㊃)) ,从而T u n -T u ɤΛ1(ψ(b )-ψ(a ))αf (㊃,u n (㊃))-f (㊃,u (㊃)) .由f 的连续性可知 T u n (t )-T u (t ) ң0(n ң+ɕ),进而T 连续.其次证明T 为紧映射.∀r >0,有界集B r ʒ={u ɪG : u ɤr },令K =s u pa ɤt ɤb ,-r ɤu ɤrf (t ,u ).则对∀u ɪB r ,t ɪ[a ,b ],有(T u )(t )ɤðn -2k =0u k k!(ψ(t )-ψ(a ))k+1M [P +l ʏb aIα,ψa+f (τ,u (τ))d A (τ)+ðmi =1μi I α+βi ,ψa+f (ηi ,u (ηi ))+ðn -2k =0λk ㊃u k +I α-n +1,ψa +f (b ,u (b ))]ˑ(ψ(t )-ψ(a ))n -1+I α,ψa+f (t ,u (t ))ɤðn -2k =0u k k !(ψ(b )-ψ(a ))k+1MP +ðn -2k =0λk ㊃u ()kˑ(ψ(b )-ψ(a ))n -1+K Λ1(ψ(b )-ψ(a ))α.从而T (B r )有界,即T (B r )中的函数一致有界.下证T (B r )中的函数等度连续.定义Q (α)=1,αȡ1,-1,0<α<1{.∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],不妨设t 1<t 2,则有(T u )(t 2)-(T u )(t 1)ɤðn -2k =0u k k ![(ψ(t 2)-ψ(a ))k -(ψ(t 1)-ψ(a ))k]+1M[P +l ʏb aI α,ψa+f (τ,u (τ))d A (τ)+ðmi =1μi I α+βi ,ψa+f (ηi ,u (ηi ))+ ðn -2k =0λk ㊃u k +I α-n +1,ψa+f (b ,u (b ))]ˑ[(ψ(t 2)-ψ(a ))n -1-(ψ(t 1)-ψ(a ))n -1]+ I α,ψa +f (t 2,u (t 2))-I α,ψa +f (t1,u (t 1))ɤ ðn -2k =0u k k ![(ψ(t 2)-ψ(a ))k -(ψ(t 1)-ψ(a ))k]+1M P +l K (A (b )-A (a ))Γ(α+1)(ψ(b )-ψ(a ))éëêêα+ K ðmi =1μi Γ(α+βi +1)(ψ(b )-ψ(a ))α+βi + ðn -2k =0λk ㊃u k +K Γ(α-n +2)(ψ(b )-ψ(a ))α-n +ùûú1ˑ [(ψ(t 2)-ψ(a ))n -1-(ψ(t 1)-ψ(a ))n -1]+ 1Γ(α)ʏt 2a ψᶄ(s )(ψ(t 2)-ψ(s ))α-1f (s ,u (s ))d s -ʏt 1aψᶄ(s )(ψ(t 2)-ψ(s ))α-1f (s ,u (s ))d s ɤ474吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.ðn -2k =0u k k![(ψ(t 2)-ψ(a ))k -(ψ(t 1)-ψ(a ))k]+1MP +l K (A (b )-A (a ))Γ(α+1)(ψ(b )-ψ(a ))éëêα+ K ðmi =1μi Γ(α+βi +1)(ψ(b )-ψ(a ))α+βi +ðn -2k =0λk ㊃u k +K Γ(α-n +2)(ψ(b )-ψ(a ))α-n +ùûúú1ˑ [(ψ(t 2)-ψ(a ))n -1-(ψ(t 1)-ψ(a ))n -1]+ K Γ(α)ʏt 1a Q (α)ψᶄ(s )[(ψ(t 2)-ψ(s ))α-1-(ψ(t 1)-ψ(s ))α-1]d s +K Γ(α)ʏt 2t 1ψᶄ(s )(ψ(t 2)-ψ(t 1))α-1d s ɤ ðn -2k =0u k k ![(ψ(t 2)-ψ(a ))k -(ψ(t 1)-ψ(a ))k]+ 1M P +l K (A (b )-A (a ))Γ(α+1)(ψ(b )-ψ(a ))éëêα+K ðmi =1μi Γ(α+βi +1)(ψ(b )-ψ(a ))α+βi + ðn -2k =0λk ㊃u k +K Γ(α-n +2)(ψ(b )-ψ(a ))α-n +ùûúú1[(ψ(t 2)-ψ(a ))n -1-(ψ(t 1)-ψ(a ))n -1]+ K Γ(α+1)Q (α)[(ψ(t 2)-ψ(a ))α-(ψ(t 2)-ψ(t 1))α-(ψ(t 1)-ψ(a ))α]+K Γ(α+1)(ψ(t 2)-ψ(t 1))α,当t 2ңt 1时,(T u )(t 2)-(T u )(t 1)ң0,因此T (B r )等度连续.由A r z e l a -A s c o l i 定理可知T (B r )列紧,故T 为紧算子,所以T :C [a ,b ]ңC [a ,b ]为全连续算子.证毕.假设条件:(H 3)存在常数r 1>0及连续单调递增函数ϕ:[0,+ɕ)ң[0,+ɕ),使得f (t ,v )ɤϕ(v )+r 1, ∀t ɪ[a ,b ], ∀v ɪℝ; (H 4)存在常数r 2>0,使得当r >r 2时,r >Ω1+Ω2(ϕ(r )+r 1),其中Ω1=ðn -2k =0u k k !(ψ(b )-ψ(a ))k +1MP +ðn -2k =0λk ㊃u ()k(ψ(b )-ψ(a ))n -1,Ω2=Λ1(ψ(b )-ψ(a ))α. 定理2 假设条件(H 3),(H 4)成立,则边值问题(3)在[a ,b ]上至少有一个解.证明:由引理5知,T :C [a ,b ]ңC [a ,b ]为全连续算子.令Δ={u ɪC [a ,b ]:u =λT u ,λɪ(0,1)},下证Δ有界.由Δ的定义知,∀u ɪΔ,∃λɪ(0,1),使得u =λT u ,故∀t ɪ[a ,b ],u (t )=λT u (t ),有 u ɤ T u .由引理5的证明知, T u ɤΩ1+Ω2 f (㊃,u (㊃)) .利用假设条件(H 3)可得, u ɤΩ1+Ω2(ϕ(u )+r 1),由假设条件(H 4)知, u ɤr 2.所以Δ有界.由S c h a e f e r 不动点定理可知T 在C [a ,b ]中至少存在一个不动点,即边值问题(3)在[a ,b ]上至少有一个解.证毕.3 应用实例考虑下列边值问题:c D α,ψa +u (t )=f (t ,u (t )), t ɪ[0,1],u [k ]ψ(0)=0, k =0,1,u [n -1]ψ(1)=34ʏ10u (τ)d τ+17I 1/2,ψ0+u æèçöø÷15+37I 1/3,ψ0+u æèçöø÷45ìîíïïïïï,(8)其中α=52,n =3,m =2,f (t ,u )=t 2000s i n u 1+s i n 2æèçöø÷u +t 2,ψ(t )=2t +2.∀u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有574 第3期 王 宁,等:带有S t i e l t j e s 积分边界条件和ψ-C a pu t o 导数的分数阶边值问题解的存在性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.f (t ,u )-f (t ,v )=t 2000s i n u 1+s i n 2æèçöø÷u -t 2000s i n v 1+si n 2æèçöø÷v =t 2000(s i n u -s i n v )(1-s i n u s i n v )(1+s i n 2u )(1+s i n 2v )ɤ11000s i n u -s i n v ɤ11000u -v .因此,可取ξ=11000.计算可知,ξ(ψ(b )-ψ(a ))αˑl (A (b )-A (a ))M Γ(α+1)(ψ(b )-ψ(a ))n -1+1Mðmi =1μi (ψ(b )-ψ(a ))βi +n -1Γ(α+βi +1)éëêê+1M Γ(α-n +2)+1Γ(α+1ùûúú)ʈ0.2202<1.由定理1可知边值问题(8)在[0,1]上存在唯一解.参考文献[1] Z H O UP ,M AJ ,T A N G J .C l a r i f y t h eP h y s i c a lP r o c e s s f o rF r a c t i o n a lD y n a m i c a l S y s t e m s [J ].N o n l i n e a rD y n a m i c s ,2020,100:2353-2364.[2] B A L E A N U D ,V A C A R U SI .F r a c t i o n a l A n a l o g o u s M o d e l si n M e c h a n i c sa n d G r a v i t y T h e o r i e s [C ]//F r a c t i o n a l D y n a m i c s a n dC o n t r o l .N e wY o r k :S p r i n ge r ,2012:199-207.[3] S A B A T I E RJ .B e y o n d t h eP a r t i c u l a rC a s e of C i r c u i t sw i t hG e o m e t r i c a l l y D i s t r i b u t e dC o m p o n e n t s f o rA p pr o x i m a t i o n o fF r a c t i o n a lO r d e rM o d e l s :A p p l i c a t i o n t oaN e w C l a s so fM o d e l f o rP o w e rL a w T y p eL o n g M e m o r y Be h a v i o u r M o d e l l i n g [J ].J o u r n a l o fA d v a n c e dR e s e a r c h ,2020,25:243-255.[4] WA N G Y Q ,L I U L S .P o s i t i v eS o l u t i o n sf o raC l a s so fF r a c t i o n a l i nF i n i t e -P o i n tB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s [J /O L ].B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s ,(2018-07-21)[2021-09-30].h t t p s ://d o i .o r g/10.1186/s 13661-018-1035-6.[5] S I N G H B K ,A G R AWA L S .S t u d y o f T i m e F r a c t i o n a lP r o p o r t i o n a lD e l a y e d M u l t i -p a n t o g r a p h S y s t e m a n d I n t e g r o -D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].M a t h e m a t i c a lM e t h o d s i n t h eA p p l i e dS c i e n c e s ,2022,45(13):8305-8328.[6] S AMA D IA ,N T O U Y A SSK ,T A R I B O O NJ .N o n l o c a l C o u p l e dS y s t e mf o r (k ,ϕ)-H i l f e rF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s [J ].F r a c t a l a n dF r a c t i o n a l ,2022,6(5):234-1-234-17.[7] J I A N GJQ ,WA N G H C .E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o r aF r a c t i o n a l D i e r e n t i a l E q u a t i o nw i t h M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dA n a l y s i s&C o m p u t a t i o n ,2019,9(6):2156-2168.[8] H R I S T O V A S ,T E R S I A N S ,T E R Z I E V A R.L i p s c h i t z S t a b i l i t y i n T i m ef o r R i e m a n n -L i o u v i l l e F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s [J ].F r a c t a l a n dF r a c t i o n a l ,2021,5(2):37-1-37-13.[9] S U T A RST ,K U C C H E K D.O n N o n l i n e a r H y b r i dF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s w i t h A t a n g a n a -B a l e a n u -C a p u t oD e r i v a t i v e [J ].C h a o s ,S o l i t o n sF r a c t a l s ,2021,143:110557-1-110557-11.[10] A L M E I D A R.A C a p u t o F r a c t i o n a l D e r i v a t i v e o f a F u n c t i o n w i t h R e s p e c t t o A n o t h e r F u n c t i o n [J ].C o mm u n i c a t i o n s i nN o n l i n e a r S c i e n c e a n dN u m e r i c a l S i m u l a t i o n ,2017,44:460-481.[11] A B D O M S ,P A N C HA L S K ,S A E E D A M.F r a c t i o n a lB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m w i t h ψ-C a p u t o F r a c t i o n a l D e r i v a t i v e [J ].P r o c e e d i n g s o f t h e I n d i a nA c a d e m y o f S c i e n c e s :M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,2019,129(5):1-14.[12] S HAMMA K H W ,A L Z UM IHZ ,A l Q A H T A N I BA.A N e wC l a s s o f ψ-C a p u t oF r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s a n dI n c l u s i o n [J /O L ].J o u r n a lo f M a t h e m a t i c s ,(2021-01-18)[2021-09-30].h t t p s ://d o i .o r g /10.1155/2021/6677959.[13] A L M E I D A R ,MA L I N OW S K A A B ,MO N T E I R O M T T.F r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s w i t ha C a pu t o D e r i v a t i v ew i t hR e s p e c t t o aK e r n e lF u n c t i o na n dT h e i rA p p l i c a t i o n s [J ].M a t h e m a t i c a lM e t h o d s i nt h eA p pl i e d S c i e n c e ,2018,41(1):336-352.[14] S C HA E F E R H.Üb e r d i eM e t h o d e d e r aP r i o r i -S c h r a n k e n [J ].M a t h e m a t i s c h eA n n a l e n ,1955,129:415-416.(责任编辑:赵立芹)674 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. 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奇异积分的定义及常见的求解方法
奇异积分的定义及常见的求解方法积分是数学中常见的运算之一，而奇异积分则是更加典型的积分类型之一。
奇异积分是指积分函数在积分区间某些点上发散的积分。
在实际生活和科学研究中，我们经常会遇到许多奇异积分，因此掌握奇异积分的定义及求解方法至关重要。
那么，接下来我们将详细介绍奇异积分的定义以及几种常见的求解方法。
1. 奇异积分的定义在数学中，奇异积分通常指的是定积分中积分区间内某些点存在发散情况的积分。
通俗来讲，就是在一些积分区间内，被积函数存在“壁垒”，或者在某些点上不存在极限，导致积分结果无法收敛。
对于这种情况，我们把积分称为奇异积分。
奇异积分有两种类型，分别是无限积分和有限积分。
无限积分就是通常所说的广义积分，当被积函数在正负无穷大时，不收敛于某一数值，而是趋近于无限大或无限小，公式表示如下：∫f(x)dx = ∫a->∞f(x)dx = lim n->∞∫a->nf(x)dx有限积分则是指被积函数在某些点处发散，但在积分区间内的大部分点都存在极限，不影响积分结果。
一般情况下，我们通过对奇异积分进行分段或者将其近似为常积分的方法来计算其积分值。
2. 常见的求解方法(1) 瑕积分法瑕积分法是奇异积分的常见求解方法，它的基本思想是将奇异点及其邻域，即“瑕点”与剩余的无瑕区结合起来，从而将积分区间“分解”为两部分。
对于积分区间内的奇异点，我们通常将其附近的积分近似为一个无穷小量，并将其视作整个积分函数的瑕值，公式表示为：∫f(x)dx = ∫a->b f(x)dx + ∫a ε<f(x)<∞f(x)dx + ∫-∞<-εf(x)<f(x)dx其中，ε为奇异点的极限值，当ε->0时，整个积分区间被分为两部分，分别是无瑕区和瑕积分区，这样就可以将原有的奇异积分转化为两个常积分的求解。
(2) 主值积分法主值积分法是另一种常见的奇异积分求解方法，它的基本思想是将奇异点的值近似为一定的主值，从而将原有的奇异积分转化为一个可求解的常积分。
带积分边界条件的奇异分数阶微分方程的解问题
带积分边界条件的奇异分数阶微分方程的解问题
武竞力;杨喜陶
【期刊名称】《湖南工程学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(024)002
【摘要】通过不动点理论研究了一类带积分边界条件的奇异分数阶微分方程的解的存在性问题.
【总页数】5页(P52-56)
【作者】武竞力;杨喜陶
【作者单位】湖南科技大学数学与计算科学学院,湘潭411201;湖南科技大学数学与计算科学学院,湘潭411201
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.带积分边界条件的奇异方程组边值问题的正解 [J], 严洁;肖建中
2.带积分边界条件的奇异多点边值问题的正解 [J], 严洁;肖建中
3.带p-Laplacian算子含积分边界条件分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 彭湘凌;刘振林;罗芳苜;廖泓
4.带积分边界条件的非线性Caputo型分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性[J], 赵阳阳
5.带积分边界条件的奇异二阶边值问题的正解 [J], 刘健;封汉颍;高改良
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带积分边值条件下分数阶脉冲微分方程解的存在性
定义 １ 函数 ｆ的 ｑ＞０阶 ＲｉｅｍａｎｎＬｉｏｕｖｉｌｌｅ积
分定义为
∫ Ｉ０ｑ＋ｆ（ｔ）＝Γ（１ｑ）
ｔ
ｑ－１
（ｔ－ｓ） ｆ（ｓ）ｄｓ，ｎ－１＜ｑ≤
０
ｎ
定义 ２ 函数 ｆ的 ｑ＞０阶 Ｃａｐｕｔｏ积分定义为
∫ ｃＤ０ｑ＋ｆ（ｔ）＝Γ（ｎ１－ｑ）ｄｄｔｎｎ
ｔ
ｎ－ｑ－１
（ｔ－ｓ） ｆ（ｓ）ｄｓ
０
ｎ－１＜ｑ≤ ｎ，ｎ∈ Ｎ
注
１ ①
若
ｆ（ｔ）∈Ｃｎ［０，∞），则
ｃＤ０ｑ＋ｆ（ｔ）＝
Ｄ ｃ ｑ ０＋
[ ] ｎ－１ ｆ（ｔ）－
ｔｋ ｆ（ｋ）（０） ，ｔ＞ ０，ｎ－１ ＜ ｑ ＜ ｎ，
ｋ＝０ ｋ！
ｎ∈ Ｎ．
② 常值函数的 Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数为 ０． 引理 １［１］ 对于 ｑ＞０，分数阶微分方程ｃＤ０ｑ＋ｕ（ｔ）＝
关键词：积分边值条件；分数阶脉冲微分方程；Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２０５８Ｘ（２０１７）０４００２４０８
０ 引 言
近年来，分数阶微分方程应用面十分广泛，除
了在数学各方面的应用外，还广泛应用于生物系统
的电传导、流 体 力 学、粘 弹 性 力 学、电 化 学 分 析、分
带积分边值条件下分数阶脉冲微分方程解的存在性
蒋 伟，周宗福
（安徽大学 数学科学学院，合肥 ２３０６０１）
摘 要：针对分数阶脉冲微分方程解的存在性研究，提出一类带积分边值条件的分数阶脉冲微分方程 边值问题；通过上下解方法，利用 Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理得到此边值问题解的存在性结果；最后给出了一个 例子来说明所得结果的应用性．
通讯作者：周宗福（１９６４－），男，安徽合肥人，教授，从事泛函微分方程的研究．Ｅｍａｉｌ：ｚｈｏｕｚｆ１２＠１２６．ｃｏｍ．
《2024年边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题》范文
《边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题》篇一一、引言近年来，分数阶微分方程的研究引起了众多学者的关注。
特别是在数学物理、控制系统和图像处理等领域，分数阶Sturm-Liouville问题展现出了丰富的理论和实践价值。
随着问题的深入探索，我们在该问题中考虑到了带有谱参数的边界条件。
这一拓展使得问题的复杂性和实用性进一步增强。
本文旨在探讨带有谱参数的边界条件下的分数阶Sturm-Liouville问题，对其数学特性及物理意义进行深入研究。
二、问题的描述考虑如下的分数阶Sturm-Liouville问题：Dαu(x) + λu(x) = 0, α ∈ (0, 1)其中Dα表示分数阶导数，u(x)为未知函数，λ为谱参数，x为自变量。
我们假设在问题的边界上，存在带有谱参数的边界条件。
具体地，设两个边界点为a和b，则边界条件可以描述为：u(a) + λa1u'(a) = 0u(b) + λb1u'(b) = 0其中u'(x)表示u(x)的导数，λa1和λb1为谱参数，分别对应于两个边界点的权重。
三、数学特性分析在带有谱参数的边界条件下，分数阶Sturm-Liouville问题展现出了独特的数学特性。
首先，由于分数阶导数的引入，问题的解空间和性质与传统的Sturm-Liouville问题有所不同。
其次，谱参数的引入使得问题的解具有了更丰富的结构，同时也为问题的求解带来了更大的挑战。
此外，由于边界条件的特殊性，问题的解在边界点处具有特定的行为，这为问题的物理应用提供了基础。
四、求解方法针对带有谱参数的边界条件的分数阶Sturm-Liouville问题，我们采用了有限差分法进行求解。
首先，将问题离散化，然后利用差分法对分数阶导数进行近似。
接着，通过迭代法求解离散后的线性方程组，得到问题的近似解。
该方法具有计算效率高、精度好的优点，适用于求解此类问题。
五、数值实验与结果分析为了验证求解方法的正确性和有效性，我们进行了数值实验。
《2024年边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题》范文
《边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题》篇一一、引言近年来，分数阶微分方程问题成为了众多数学和物理研究领域的热点问题。
分数阶Sturm-Liouville问题，作为一种重要的数学模型，广泛应用于电子、力学、量子物理等领域。
特别是在涉及边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题上，其理论研究和实际应用具有重要的学术价值和实践意义。
本文将探讨该问题及其求解方法，旨在为相关研究提供参考和借鉴。
二、问题描述在数学模型中，分数阶Sturm-Liouville问题常常用来描述一维或多维空间的某些特定性质的波动问题。
本论文中我们关注的是具有边界条件的分数阶Sturm-Liouville问题，其中边界条件中包含了谱参数。
具体来说，我们考虑以下形式的分数阶微分方程：Dαu(x) + λu(x) = 0其中Dα表示分数阶微分算子，u(x)是未知函数，λ是谱参数，x是自变量。
此外，我们还需考虑以下边界条件：u(a) = c1, u(b) = c2,其中a和b是边界点，c1和c2是给定的常数。
这种类型的方程和边界条件在物理、工程和其他应用领域中具有广泛的应用。
三、研究方法为了解决上述问题，我们采用了有限差分法与谱方法相结合的方法。
首先，我们使用有限差分法将分数阶微分方程进行离散化处理，得到一系列的线性代数方程组。
然后，我们利用谱方法中的某些技巧来处理边界条件中的谱参数。
在求解过程中，我们采用了迭代法和数值逼近等方法来得到近似解。
四、结果分析通过我们的研究，我们发现谱参数的存在对问题的解具有显著影响。
当谱参数λ取不同的值时，解的形态和性质会发生变化。
此外，我们还发现边界条件对解的影响也非常重要。
通过调整边界条件中的常数c1和c2，我们可以得到不同的解。
这些解在物理和工程应用中具有重要的意义。
五、结论与展望本文研究了边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville 问题。
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ｃ
ｄ ｓ ≤
ｄ ｓ 存在 ， Ｄ ＋
表 示 函数 ，： （ ０ ， 。 。 ） 一Ｒ 的 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ分 数 导 数 ， 定 义 为
州 而１ ＿
０＜ ｔ ＜＋ 。 。 这 里 一 １＜ 口≤ ， Ｅ Ｎ ．
薹 而 告 由 于 级 数 薹 干 ｝ 丽
在性 ， 本 文研 究 当 ∈ Ｒ 时 ， （ １ ）的解 的存 在性 ． 下 一节将 先 给出几 个 引理． 在第 三节 ， 我们 讨论 （ １ ）的解 的存在 性．
ｄ ｔ
— （ ａ ｋ
＋ ａ ） ｒ （ ａ （ 志 ＋ １ ） ） 胁 （ Ｊ ０ 斟 ａ 一
『 ｆ （ 。 ） ＋ 。 ） 卟＝
证 明
ｐ ｔ
Ｊ ｏ
由 于
Ｉ Ｉ （ ￡ ～ｓ ） Ｅ ｏ ， （ （ 一ｓ ） 。 ） － 厂 （ ｓ ） Ｉ ｄ ｓ ≤
（ １）
这 里 ≥ ２ ， ａ∈ （ 一 １ ， ］ ， Ｅ Ｒ， （ ） 是一 个有 界
变 差 函数 ．在 本文 中 ， 假设当ｔ 一１ 时， ，可能 有一 个 奇 点． 若 Ｖ￡∈ （ ０ ， ｏ ｏ ） ， 万 Ｊ ～ｆ— Ｓ 一
妻
ｋ＝ ｌ
…
利 用 恒 等 式 ｊ ． ： ｌ （ １ ｄ 一
而
ｋ ＝ Ｏ
有
故 Ｄ各 ＋ ｈ （ ￡ ） 一２ ｈ （ ￡ ）一 － 厂 （ ￡ ） ． 此时 ， 引 理 １的 结 论 成 立 ．
ｓ 针
若 ａ≥ １ ， 口∈ （ 一 １ ， ］ ， （ ∈ Ｎ ） ． 由于
Ｅ ｃ Ｅ ｏ ， １ ） 及 ｒ函数 的性 质 知 ：
学， 化 学 等 ，见 文 献 Ｅ ｌ ｉ～ Ｅ ３ － １ ．在 文 献 ［ ４ ］中，
Ｓ ｅ ａ ｋ Ｗｅ ｎ ｇ Ｖｏ ｎ ｇ 研 究 了 当 一 ０时 ， （ １ ） 的 正 解 的 存
参 ㈤一 薹
一
＝ ＝
ｒ （ １ 一ａ ）
—
芸 ） Ｐ（ ａ ｋ＋ ａ ） Ｊ ｏ ～ … …ｄ ～
＝ Ｏ
㈨＝ ＝ ＝ 妻
ｋ＝ ０
ｄ ｎ － １
一
ｎ ２ ｆ ： 肌一 ÷ ） （ ÷ ） ～ ｄ （ ÷ ） 一 ｋｄ
关 键 词 ：分 数 导 数 ； 分数 阶微 分 方程 ； 格林 函数 ； 不 动 点 理 论
中 图分类 号 ：Ｏ１ ７ ５ ． １
文献标 识码 ：Ａ
文章编 号 ： １ ６ ７ １ —１ １ ９ Ｘ（ ２ ０ １ ４ ） ０ ２ —０ ０ ５ ２ —０ ５
考 虑 带 一 个 积 分 边 界 条 件 的分 数 阶 微 分 方 程 ：
． ｆ ： （ — — ｓ ） 一 。 ＾ （ ｓ ） ｄ
第 ２ 期
武竞 力等 ： 带积 分边 界条 件 的奇异 分数 阶微分 方程 的解 问题
５ ３
＝ 丽 ｊ ＇ ： （ ｔ － ｓ ） ￣ 妻
ｋ ＝ Ｏ
Ｅ ｆ（ 抖 ＋
又
ｓ
抖
ｊ 厂 （ ｓ 一 ｄ 臼
带 积 分 边 界 条 件 的 奇 异 分 数 阶 微 分 方 程 的 解 问 题
武 竞 力 ，杨 喜 陶
（ 湖 南科 技 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ， 湘潭 ４ １ １ ２ ０ １ ）
摘 要 ：通过 不 动点理 论研 究 了一 类带积 分边 界条件 的奇异 分数 阶微 分 方程 的解 的存 在性 问题 ．
ｈ （ ￡ ） 有 限．
（ ２ ）
收敛 ， 从 而
近年来 ， 分数 阶微 分方 程被 广泛 地研 究． 分 数 阶 微 分方 程在 很 多领 域 都 有 应 用 ， 包括工程学 ， 物理
卜回 芎 愿 ｈ（ ￡ ）的 口 Ｊ 微性 ， Ｇ －ａ Ｅ （ ０ ， １ ） ． 由＿ ， （ ）
第２ ４卷 第 ２期
２ ０ １ ４年 ６月
湖
南
工 程
学
院
学 报
Ｖｏ １ ． ２ ４ ． Ｎｏ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ｅ ２ ０ １ ４
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｕ ｎ ａ ｎ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
一 一
ｄ ｄ ｔ ∑—— Ｆ （ ａ ｋ ＋ 口 ＋ １ｏ ｋ－ ＋ － ａ－ ｝ － １ ）
１ 几 个 引理
引理 １ 如果 － 厂 （ ￡ ） 在（ ０ ， １ ） 可微 ， － 厂Ｅ Ｃ Ｅ ｏ ， １ ） ， 且 存在正数 Ｍ ， 使得对于 ｔ Ｅ［ ０ ， １ ］ ， （ １ 一￡ ） Ｉ 厂 （ ￡ ）ｌ ≤ Ｍ
ｆ Ｄ 。 “ ‘ ～ “ ‘ ＋ ， ‘ ＇ “ 一 ｏ
１ Ｌ （ ０ ） 一…一ｕ （ ｎ － １ ） （ ｏ ） 一０ ， “ （ １ ） 一Ｊ Ｉ “ （ ｓ ） ｄ （ ｓ ） ，
０ 。
若 （ 易 知Ｖ ∈ Ｒ ， Ｅ ， （ ） ≠ ０ ） ．
满 足 Ｄ ＾ （ ￡ ） 一 Ａ ｈ （ ￡ ） 一 （ ￡ ） 其中Ｅ （ ） 一 ∑
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ —１ ｌ 一２ ６ 作者简介 ： 武竞力 （ １ ９ ８ ４ 一） ， 男， 硕 士研 究 生 ， 研究方 向： 常微 分 方 程
Ｄ ＋ 矗 （ ） ＝ ＝