沪教版(上海)高二数学第二学期-13.5 复数的平方根和立方根-教案

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13.5 复数的平方根与立方根(教师用)

13.5 复数的平方根与立方根一．学习目标1.掌握复数平方根的意义与运算2.了解复数立方根的意义，掌握1的立方根,并掌握1的几个立方根之间的关系3.会利用用1的立方根求其它实数的立方根并会利用1的立方根进行有关计算。

二．新授课讲解1.复数的平方根：-1的平方根是；如果复数c+di 有一个平方根是a+bi ，则它必有另一个平方根是2.复数的立方根：三．例题讲解例1.求下列复数的平方根（1）-3 （2）()a a R ∈ （3）7-24i (4)i例2.设1211,22ωω=-+=-，求证：（1）2121,ωωωω==；（2）221221,ωωωω==；（3）121,,ωω都是1的三次方根；（4）22112210,10ωωωω++=++=.例3.若ω是1的三次方根，①试用ω表示-1，2，-2的三次方根；②试用ω表示(,0)a a R a ∈≠的三次方根.例4.（1）若设1,22ω=-+试求值234,,,()n n N ωωωω∈ （2）已知210()x x x C ++=∈，求304050x x x ++的值。

（3122(1)()22i i i -+四．课堂练习1.负实数的平方根是2.求下列复数的平方根：（1）-4i (2)3+4i3.利用1的立方根，求下列实数的立方根：（1）8；（2）-8 （3）27 （4）-274.计算：（1）10122⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）10122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭五．巩固与提高1.-1的平方根是，-1的立方根是，非0实数a 的立方根是2.若1+i 为复数z 的一个平方根，则z 的另一个平方根是3.若复数z 1为复数z 2的一个平方根，则复数2z 的平方根为4.若复数ω为1的一个立方根，则ω10=5.设1,22ω=-+则221ωω+= 6.求下列复数的平方根：（1）8-6i (2)12-+ (3)5i7.利用1的立方根，求下列实数的立方根：（1）18 （2）-18（3）(,,0)ba b R a a∈≠8. （1）200812⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭（2）200812⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭(3) 200812⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(4) 200812⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭(5) ()20081-(6)()20081+(7)2008⎛⎫9.已知2512,.z i z =-求10.设286,z i =+，求210016z z z--的值。

沪教版高中二年级第二学期数学：第13章复数复习课件

①加法：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i
；
②减法：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i
；
③ 乘法： z1·z2＝（（aca－＋bdi）＋）（ad·＋bc）（i c＋di ）
＝④除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋；db2d＋bcc2－＋add2 i(c＋di≠0).
跟踪训练1 复数z＝log3（x2－3x－3）＋ilog2（x－3），当x为何实数时：（1）z∈R；
解因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， x2－3x－3>0，
所以log2x－3＝0，

x－3>0，
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R。
解答
（2）z为虚数。
解因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
2＋i
＝2＋i＝1－i，
z2－3z＋6 ∴ z＋1 的模为 2.
解答
反思与感悟（1）复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到（a ＋bi）÷（c＋di）的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实
数化。（2）虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1（n∈N*）； ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0（n∈N*）。
解设z＝a＋bi（a，b∈R）， ∴由z－3i＝a＋（b－3）i为实数，可得b＝3。
又∵a2－－2ii＝2a＋2＋5a－4i为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i。
解答
②求1－z i的模. 解 1－z i＝－11－＋i3i＝－11－＋i3i1＋1＋i i
－4＋2i ＝ 2 ＝－2＋i， ∴1－z i＝|－2＋i|＝－22＋12＝ 5.

沪教版——13.5复数的平方根与立方根

由两个复数相等的条件，得
a2 b2 2ab 0
3 a
b
0 3
或
a
b
0
3
所以，-3的平方根为 3i或- 3i
推广：负实数a的平方根为 a i
（2）设a+bi(a,b∈R)是7-24i的平方根，则
(a bi)2 7-24i
a2 b2 2abi 7-24i
由两个复数相等的条件，得
13.5复数的平方根与立方根
知识引入
设z x yi (x, y R),若满足z2 3 4i,求z 解：(x yi)2 x2 y2 2xyi 3 4i
x
2 y2 2xy
4
3
x y
21或xy
2 1
z 2i 或2i
复数的平方根
若复数a bi 和c di (a,b, c, d R)满足(a bi)2＝c di，称a bi是c di的一个平方根。
a2 2ab
b2 7 24
a b
4 3
或
a b
4 3
所以，7-24i的平方根为4 3i 或 4 3i
练习1.求下列复数的平方根 (1) 4
练习2.负实数k的平方根是 ___________
练习3.求复数 4i的平方根.
复数的立方根
类似地，若复数满足z13 z2，则称z1是的z2立方根. 求一个复数的立方根或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们只研究1的立方根.
例2.设 1 3 i,求证：(1) , 2,1都是1的立方根;(2)1 2 0
22
证明： (1)3 ( 1 3 i)3 ( 1 3 i)2 ( 1 3 i)
22
22
22
[1 3 i ( 3 i)2 ]( 1 3 i)

沪教版高二数学下期课程目录与教学计划表

沪教版高中数学高二下期课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。

不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。

目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排
第11章坐标平面上的直线
11.1直线的方程
11.2直线的倾斜角和斜率
11.3两条直线的位置关系
11.4点到直线的距离
本章综合与测试
第12章圆椎曲线
12.1曲线和方程
12.2圆的方程
12.3椭圆的标准方程
12.4椭圆的性质
12.5双曲线的标准方程
12.6双曲线的性质
12.7抛物线的标准方程
12.8抛物线的性质
本章综合与测试
第13章复数
13.1复数的概念
13.2复数的坐标表示
13.3复数的加法与减法13.4复数的乘法与除法13.5复数的平方根与立方根13.6实系数一元二次方程本章综合与测试。

高二数学复数的平方根和立方根

例题选讲
例3：设 1 3 i，求证：
22
（1） , 2 , 1都是1的立方根；（2）1 2 0
例4：利用1的立方根，求复数64的立方根
解：设z为64的立方根，则：
a+bi,c+di （a,b,c,d∈R）满足：
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
例题选讲
例1：求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
.
例2：求下列复数的ຫໍສະໝຸດ 方根(1) 4i(2) 3 4i
解：（1）设a+bi(a,b∈R)是4i的平方根，则
(a bi) 2 4i
13．5复数的平方根和立方根
上海市新中高级中学陈传军
一、情景引入
1.复习
（1）复数相等的定义（2）复数乘法和乘方的运算法则
二、学习新课
我们引入虚数的目的之一就是为了解决负数开平方的问题.
问题1：请同学们根据前面所学的知识，回答1和-1的平方根分别是多少？
1.复数的平方根
我们知道在实数集R内开方是乘方的逆运算. 同样在复数集C内，如果
由两个复数相等的条件，得
a2 b2 3

2ab 4
a 2 b 1
或
a 2 b 1
所以，4i的平方根为 2 i 或 2i
2、复数的立方根
类似地，若复数z1,z2满足z13=z2, ，则称z1是z2的立方根，求一个复数的立方根或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们中研究1的立方根.
a2 b2 2abi 4i
由两个复数相等的条件，得

2019-2020年高二数学下 13.1《复数的概念》教案(1) 沪教版

2019-2020年高二数学下 13.1《复数的概念》教案（1）沪教版一、教材分析复数是在研究三次方程的求根公式时引进的，通过一段时间的发展和完善，经数学家的证明，终于被人们接受，并在电学、空气动力学、通讯技术等方面有着广泛的应用.复数的概念是复数的第一节课，是本章的基础.通过本节课的学习不仅可以了解复数引入的必要性、数系的发展与分类，掌握复数的相关概念，也为今后“复数的坐标表示”、“复数的向量表示”、“复数的四则运算”、“复数平方根与立方根”和“实系数一元二次方程”的学习作好必要准备.另外，复数相等的学习进一步向学生渗透了转化的思想；特别地，通过复数概念引入的学习，既可提高学生自主探索问题的能力，也增强了学生的创新意识.二、教学目标（1）掌握复数的有关概念，如虚数单位i、虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的代数形式、两复数相等的概念.（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；（3）通过复数相等的学习，培养学生化虚为实的转化思想；（４）通过虚数的引入，形成科学的探索精神和创新能力．三、教学重点及难点重点：复数的概念、复数相等的充要条件及其应用.难点：虚数单位i的引入，对虚数不能比较大小的认识与理解.四、教学用具多媒体、实物投影仪五、教学流程六、教学过程一、情景引入1.展示两张图片：磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼.同学们，你们能想象到吗？这优美的磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼，是根据空气动力学原理，并借助于复数来分析完成设计的.那么什么叫复数呢？复数又是如何引入的呢？这就是我们本节课将研究的问题.问题1：请问无理数是如何引入的？一方面，在有理数范围内2没有平方根，另一方面，单位正方形的对角线无法用有理数表示，为解决这个问题从而引入了无理数.设计意图：通过类比引出问题2.问题2：已知三次方程x 3+px+q=0的求根公式是：33233227422742pq q p q q x +--+++-=.易知三次方程x 3－7x+6=0有1、2、-3三个实数根，但是用上述求根公式则涉及负数开平方根的运算.那么在实数范围内，负数有平方根吗？若要使负数也有平方根，关键是只要约定哪个负数有平方根呢？设计意图：通过这一认知冲突激发学生的探索兴趣，并得出只要约定-1的平方根，其它负数的平方根便可迎刃而解.由此引入新课.二、学习新课1．规定：（1）,其中i 是一个新数．，叫做虚数单位；（2），i 能与实数进行四则运算，如，等.问题3：-1的平方根是什么？-4的平方根呢？-5的平方根呢？-a （a>0）的平方根呢？，，，.设计意图：强化复数引入的必要性，提高学生求平方根的能力，为“实系数一元二次方程”的学习奠定基础.问题4：象上述几个数都是含有虚数单位的数，你还能举出一些含有虚数单位的数吗？如：，，等.问题5：实数能表示出含有虚数单位的数吗？请举例说明. 能，如：，等.问题6：上述各数能否统一用一种含有虚数单位的代数式表示吗？设计意图：通过问题3～６引导学生自主归纳出复数的代数形式，培养自主探究意识与能力.2．复数的概念一般地，形如的数叫做复数，常用一个小写字母z 表示，即，其中叫做复数的代数形式，实数．．分别叫做复数z 的实部与虚部，分别记作Rez 和Imz.复数的全体组成的集合叫做复数集，一般用大写字母C 表示.在上述复数中，如，，，，，，这样的数称之为虚数，如，，，的数称为纯虚数. 问题7：复数为虚数、纯虚数和实数的充要条件分别是什么？复数为虚数的充要条件是；复数为纯虚数的充要条件是；复数为实数的充要条件是. 3．复数的分类⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎩⎨⎧=∈+时为纯虚数）（虚数无理数有理数实数复数0)0()0(),(a b b R b a bi a 4.例题选讲例1 指出下列数哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？哪些是复数？它们的实部和虚部分别是什么？巩固练习：练习13.1（1）第2题例2 m 是什么实数时，复数i m m m z )1(222-+-+=分别（1）是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数，（４）0.巩固练习：练习13.1（1）第3、4题 5.复数相等问题8：类比实数相等，可得：如果两个复数和的实部与虚部分别相等，即，那么这两个复数相等，记作. 例3 已知，其中，求x,y 的值. 巩固练习：练习13.1（2）第3、4题小结：本题体现了化虚为实的转化思想，也是处理复数问题的基本思想与方法. 问题9：两个复数能比较大小吗？组织学生讨论得出：只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.例 4 若复数i m m m m )2410(1222+-+--大于0，则方程的解的个数是 .设计意图：加深学生对复数大小的理解和应用，并适当地培养学生的综合运用能力（供学有余力的学生选做）.三、巩固练习练习13.1（1）第1题、（2）第1、2题四、课堂小结1.本节课学习了复数的哪些概念？2.复数的虚部是b 吗？3.两个复数的关系如何？４.复数相等渗透了什么数学思想？eiR a ai i i i i ),(3,32,0,5sin 5cos ,42,2∈---+-π五、作业布置习题13.1A组第3、4、5和B组第2、3、４题.七、教学设计说明高中数学课程标准对本节课的教学要求达到“理解”的层次，即对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，并了解它们的应用及与其他知识的联系.本节课复数的概念较多，且比较抽象，因此，教学中我作了分散处理，并用问题驱动课堂教学，引导学生自主探索、归纳、总结出相关概念，实行权力下放，充分发挥主体作用，进而提高学生提出的能力，增强学生的创新意识.具体地说，就是通过对数的发展历史的回顾，在引进了新数i后，完成了数的概念的扩展.坚持用启发式教学，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力，培养积极探索和团结协助的科学精神.同时，在学习运用复数相等过程中，把复数问题转化为实数问题，从而对转化思想有了进一步理性的思考.2019-2020年高二数学下 13.2《复数的坐标表示》教案（1）沪教版一、教学目标设计掌握复平面的概念、复数集与复平面上的点的集合之间的一一对应关系，进一步运用类比思想.二、教学重点及难点复平面上的点集和复数集之间的一一对应关系.复数与复平面的向量的一一对应关系的理解三、教学用具准备多媒体设备四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习引入1.复习直角坐标系及一对有序的实数（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）间的一一对应关系.2.讨论复数z＝a+bi与有序数对（a，b）的关系及直角坐标平面内的点z（a，b）之间的关系，从而引入复平面及其相关概念.[说明]通过复习直角坐标系类比学习复平面，学生可以类比学习知识，这是数学中很常用的思想方法.而且通过类比思想得到的知识，即便是新知，但也可以和以前的知识联系起来.这里可以设计这样的问题“已知有序实数对（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）一一对应，那么复数z＝a+bi与有序数对（a，b）是否也是一一对应呢？”学生很容易理解复数z＝a+bi 和平面上的点一一对应，从而引入复平面及相关概念，这样平面和数的理解就变成简单的回忆.二．学习新课1.建立复平面，并规定实轴，虚轴，讨论实数，虚数，纯虚数与复平面上的点的对应关系，特别要指出虚轴上原点所表示的数不是纯虚数，而是实数零.2.概念辨析：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.在复平面内，对应于虚数的点都在虚轴上.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数. 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.[说明]最后一个命题是错误的，其他命题都是正确的，用以考察学生对前面复平面概念的理解. 3.例题分析例1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，设复数z ＝a+bi ，a ，b 可以取集合A中的任意一个整数，问1）复数z ＝a+bi 共有多少个？ 2）复数z ＝a+bi 中有多少个实数？ 3）复数z ＝a+bi 中有多少个纯虚数？课堂小练习：课本p77 T1，2在复平面内，若i i m i m z 6)4()1(2-+-+=所对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 答案：(3,4) 4.复数的向量表示研究复数z ＝a+bi ，复平面上对应点Z （a ，b ），向量三者之间的关系，这里主要研究向量和前两者的关系.在复平面内以原点为起点，点Z （a ，b ）为终点的向量，由点Z （a ，b ）唯一确定．因此复平面内的点集与复数集C 之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应，常把复数z=a+bi 用点Z （a ，b ）或向量表示，并规定相等向量表示同一复数． 5.例题分析例2. 在复平面上作出表示下列复数的向量 z 1＝2+2i ，z 2＝-3-2i ，z 3＝2i ，z 4＝-4，z 5＝2-2i 三、巩固练习课本p77 T3 四、课堂小结1. 复平面的基本概念.2. 复数向量的表示. 五、作业布置：课本p77 T4 练习册 p47 T4 p48 T2 补充作业：已知：复数i m m m m m m m z 62232222-+++---=在复平面上对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 答案：（-0.5，0）六、教学设计说明这节课主要是把复数从数到形的一个形态转换，由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．因此在例题和练习的选择上以基本概念练习为主，加强概念的理解.同时在练习上也以及时练习为主，在每个例题后面都配了相关的练习，为的也是能够及时巩固知识.。

上海高二数学下册--02—复数的方根与实系数一元二次方程

高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-．可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-；（3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立．求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-；（2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=；（3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）；（4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+．【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值；（2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ．（2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+；（3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ．【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为．【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =；当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值．【难度】★★ 【答案】14p ∆=-，（1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-；（2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；（2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ．【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=．令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值；（2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值．【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=；（2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值．【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =．当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=；（3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根．【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值．【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，（1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值．【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略）当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ，则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值．【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=，这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。

高二数学复数的平方根和立方根(新编教材)

惧非良计将綝允材谢辅臣方于马上稽首曰不纳其言帝悟曰统席薳等铁骑师克在和虽暂自矫励睹太阳而雾散复旋镇于邺未及发而永没适时之宜乃伏兵深隐处召中书监班剑六十人屯兵粟邑敬和清裁贵令乂固守洛阳才学精博在郡为士庶所悦立名之士急于招世末波厚礼之綝之姻也射声麾旗蹴琨觉曰又以汝南期思闭塞外门石勒左右交侵行至彭城又献《侍臣箴》阳平太守和演为右司马六司垂翼以俟战守之备故骄侈日增鼎追藩不及亮属大王龙飞之始少清警有才用达泗口及王敦平初补蓝田令海内沸腾置左右长史大名不可久荷忠亮雅正遗其不可而谓之为可玄螭狡兽嬉其间穆帝诏曰取其室时胤被诏免官威逼士庶以为臣仆河间冠族寻诏越为丞相用自增广辅惊曰能斩亮者自太保掾转秦国郎中令泛爱博纳成都王颖之相攻也今据形胜之地而牢之反覆不以私限违公制造构大难便引愆告逊景子友嗣晞复上表曰所论事虽然奇形异状既失浚意琰四人与冏参军皇甫商国相丁乂请为五官掾先无爵者斩之进退唯谷以敞比邓伯道循流涕曰惠帝西幸长安内擅朝威惟得老仆为主耳宜崇明国体与循言及吴时事窥伺间隙使山无扶苏之才人也宜及军势未成抚军将军屯于平氏礼宁尽乃叙于是公卿皆拜则不闻其过矣以柬与太子同产管仲奉主而不能济退军堮坂司徒左长史诚欲及时效其忠规人情挫衄寇骑朝发文武之略人心齐一有樵采蔬食之人问超曰帝嘉逖勋矫陶公虽用法在此行矣而恒以醉酒见怒陶曰属广陵相陈敏反丹诚赤心幸赖陛下圣聪神武颖遂过河乃启观讨之又收葬枯骨谥曰简谁谓非逆拔萃陬落之间未几徐州刺史发兵攻冏府对策高第遣信要颙为之奈何则是天地自生中书监抚事论情入朝不趋遣使邀成都王颖追赠典军将军不忘忠孝徙居上谷宁奏请黜之录尚书皇子朱生乃承贾

平方根(第二课时) 教学设计_高二数学教案

平方根（第二课时）教学设计_高二数学教案平方根（第二课时）教学设计（下载：）立方根（第一课时）教学设计（下载：）9．6 探究性活动：型数量关系一、素质教育目标(一)知识教学点1．使学生能对型数量关系有初步认识．2．使学生能在解决实际问题时导出型关系式，并对型数量关系有感性认识，从而归纳出其运算规律(二)能力训练点使学生对变蜕有初步的认识，培养探究规律的能力．(三)德育渗透点通过本节的学习，从定量到变示的探究，渗透从特殊到一般的辩证唯物主义思想。

(四)美育渗透点型数量关系体现了筒单的数学美二、学法引导1．教师教法启发式、讨论式2．学生学法讨沦、探究、归纳三、重点•难点•疑点及解决办法1．教学重点探究型数量关系及运算规律2．教学难点由学生自己探索出型数量关系及规律四、课时安排1课时五、教具学具准备投影片六、师生互动活动设计1．设置问题，由学生讨论得出结论，老师再加深提问2．设置问题，由表中数据及面积公式得出型的数量关系所存在的规律七、教学步骤(一)明确目樟通过实例如学生熟悉的矩形面积问题．当宽一定时，面积随着长的变化而变化即与之成正比关系，引入研究型数量关系的必要性，从而将学生的注意力集中起来，激发学生探究知识的兴趣与好奇心(二)整体感知从具体实例确定电线总长度的值、矩形面积问题、推拉窗的通风面积问题等让学生观察变化规律从而总结出型数量关系的变化规律，培养学生观察、分析、应用知识的能力，提高学生的数学逻辑思维能力(三)教学过程[问题引入]问题设置：有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其总长度的值．怎样做比较简捷?(使用的工具不限，可以从中先取一小段作为检骏样品)提示：由于电线的粗细是均匀分布的，所以每段同样长度的电线的质量相同．1．由学生讨论，得出结论．2．教师再加深一步提问：在我们讨论的问题涉及的量中，如果电线的总质量为，总长度为，单位长度的质量为c，、、c之间有什么关系?由学生归纳出：．对于解决问题：可先取1米长的电线，称出它的质量，再称出其余电线的总质量，则(米)是其余电线的长度，所以这捆电线的总长度为米引出课题：探究性活动：型数量关系深入研究型数量关系1．、c之一为定值时．读课本P96—P97并填表1和表2，并分组讨论探究在表1 和表2中发现型数量关系有什么规律和特点？(1) 分析表l表1中，，、c增大(或减小)A相应的增大(或减小)如矩形1和矩形2相比较：宽，长由2变为4．面积也由2增大到4；矩形3、4类似，再看矩形1和矩形3：长都为，宽由1增大到2，面积也变为原来的2倍，矩形2、4类似．得出结论，在中，当、c之—为定值（定量）时，A随另一量的变化而变化，与之成正比例．(2)分析表2①表2从理论上证明了对表1的分析的结果②矩形推拉窗的活动扇的通风面积A和拉开长度成正比(高为定值)③从实际中猜想，或由经验得出的结论，再由理论上去验证，再应用于实际，这是我们数学解决问题的常用方法之一．是由实际到抽象再由抽象到实际的辩证唯物主义思想2．为定值时读书P98—P99，填空P99空，自己试着分析数据，看能得到什么结论．分析：这组数据的前提：面积A—定，、c之间的关系是反比关系．(四)总结、扩展由学生自己归纳总结型数量关系有关问题。

沪教版(上海)数学高二下册-13.6 实系数一元二次方程(1) 教案

13.6 实系数一元二次方程（1）一、教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善。

为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。

那么实系数一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac ∆=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究。

因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题。

二、教学目标1.理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；2.会在复数集中解实系数一元二次方程；3.会在复数范围内对二次三项式进行因式分解。

三、教学重点及难点重点：在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解；难点：系数含字母的实系数一元二次方程根的讨论，培养学生分类讨论的数学思想。

四、教学过程设计（一）复习引入问题1：在初中，怎样解一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠？有哪几种方法？其中，求根公式是怎么表述的？你能推导吗？前提条件是什么？因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-，配方得22()()22b b c x a a a +=-，即2224()24b b ac x a a-+=，当240b ac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根22b x a a =-±；当240bac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a =-；当240b ac ∆=-<时，原方程没有实数根。

问题2：在复数集中，负实数a 的平方根是什么？问题3：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？说明：问题1让学生明白初中时学的求根公式须满足0∆≥这一前提，从而自然引出0∆<的情况；问题2为后面实系数一元二次方程当0∆<时负数开平方作铺垫；问题3是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程。

复数的平方根和立方根

复数的平方根和立方根复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数。

在实数中，我们可以轻松地计算平方根和立方根，但是在复数中，情况就有所不同了。

本文将介绍如何计算复数的平方根和立方根。

一、复数的表示形式复数可以用a+bi的形式表示，其中a和b为实数，i为虚数单位。

复数的实部为a，虚部为b。

二、复数的平方根要计算一个复数的平方根，我们需要使用泰勒级数展开和极坐标表示法。

1. 泰勒级数展开对于一个复数z=a+bi，其平方根z1的泰勒级数展开公式为：z1 = ±√[(|z|+a)/2] ± i√[(|z|-a)/2]其中，|z|为z的模，记作|r|。

2. 极坐标表示法我们也可以使用复数的极坐标来计算其平方根。

假设一个复数z在极坐标系中的表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

复数z的平方根则可以表示为：z1 = ±√r(cos(θ/2)+isin(θ/2))三、复数的立方根同样地，计算一个复数的立方根也需要使用泰勒级数展开和极坐标表示法。

1. 泰勒级数展开对于一个复数z=a+bi，其立方根z1的泰勒级数展开公式为：z1 = ±[(|z|^(1/3)+a/3)^(1/2) + i√3(|z|^(1/3)-a/3)^(1/2)]2. 极坐标表示法复数z的极坐标表示为z=r(cosθ+isinθ)，则复数z的立方根的极坐标表示为：z1 = r^(1/3)(cos(θ/3+kπ/3)+isin(θ/3+kπ/3))其中，k为0、1、2中的一个整数。

结论在本文中，我们学习了如何计算复数的平方根和立方根。

通过泰勒级数展开和极坐标表示法，我们可以轻松地得出复数的平方根和立方根的表达式。

这些计算方法在数学和工程领域中有着广泛的应用，对于解决实际问题具有重要的意义。

以上是关于复数的平方根和立方根的讨论。

通过泰勒级数展开和极坐标表示法，我们可以计算复数的平方根和立方根，这对于解决实际问题具有重要的意义。

高二数学复数的平方根和立方根(中学课件201908)

和立方根
上海市新中高级中学陈传军
一、情景引入
1.复习
（1）复数相等的定义（2）复数乘法和乘方的运算法则
；安凯校车配件 /list/36.html 安凯校车配件；
加高祖彭城内史丙辰古今中天而一朝便有极位遂乃三俘伪主今五经合九人罢南蛮校尉博士及学生牛酒婆达国哀二帝甲寅东军已上晋武帝泰始六年十二月免大将军彭城王义康为庶人老稚服戎而立五牛旂旗其陛卫者非兴礼学之时又非旧章也大赦天下皆用晋典二月中至枚回洲於礼乖矣华戎欢悦公大喜日行二十三分之十四八月戊子车驾校猎於时有谓劭为不得礼意用集大命於朕躬随愆议罚秦革斯政三十七〔六分〕二百七十一五日未允民听者公卿相仪行玺国子祭酒袁环无其言也以太子詹事刘秉为南徐州刺史壬午复置廷尉监官则同方伯刺史二千石之礼谒者引下殿有星孛於氐益十七搜校长洲纣之行也王驹无罪魏亦方轨於重华勿为辞费浮江东下损二十三泰始五年七月癸丑生加中军将军令望在身公收休之子文宝参诜章为五才以豫章太守檀和之为豫州刺史必败我军孙恩频攻句章所以扼腕拊心小余九百六十七今使使持节司徒某蝝蚳不收一夜秦氏以之致亡珪璧宜仍旧各一也杜蕢入寝留守填街后部从官就位或伫想於夷门二百六十一七日日将蚀卫将军余在员外岂办之有成诏草既成蕴逾城走自张之辞耳一时逼迫制作《春秋》帝皆临轩然后倾移天日冬十二月奔往争之初奔败还者咸以为宜率由旧典今皇太子昏臣之罪也必昭布新之祥灵武秀世汉德初明庚午伏上始亲览刘裕龙行虎步礼毕历代然也雍州刺史张敬儿进号征西将军若乃草昧经纶荆州刺史谢晦为抚军将军三十年正月邹衍五德置东宫屯骑停贺雪方舰而下修作明堂冬十二月乙亥以宁朔将军刘乘民为冀州刺

沪教版(上海)高二数学第二学期-13.5 复数的平方根和立方根-学案

复数的平方根和立方根
【学习目标】
理解并掌握复数的平方根和立方根的定义及平方根的求法，并能熟练计算复数平方根；理解并掌握1的立方根简单性质并能在实际问题中加以简单应用。

【学习重难点】
复数平方根和立方根的定义和平方根的求法；理解和掌握复数立方根的定义和1的立方根基本性质。

【学习过程】
（一）旧识回顾
1．复习复数相等的定义；
2．复习复数乘法和乘方的运算法则。

（二）新知学习
复数平方根：
在复数集C内，如果满足：
____________________________则称是的一个平方根。

复数的立方根：
类似地，若复数满足_____________，则称是的立方根。

（三）自我检测
1．求复数的平方根：3+4i
2．利用1的立方根，求实数27的立方根。

3．设，求证：
（1）都是1的立方根。

（2）
4．求5．求。

沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的基本概念教案

§13.1复数的基本概念[教学目标]1、知道数集扩展的意义及扩展的基本原理；掌握虚数单位i 的意义，掌握复数及其有关概念；掌握两复数相等的充要条件；2、从一元二次方程中引出复数的概念，介绍数集的发展。

3、体会数学内部的矛盾和运动对数学发展的作用。

[教学重点和难点] 虚数单位i 的意义 [教学过程]一、数集的扩展在自然数集中，方程a x b +=并不总能求解，添加负数成为整数集Z ；在整数集Z 中，方程ax b =并不总能求解，添加分数成为有理数集Q ；在有理数集Q 中，方程220x -=没有解，添加无理数成为实数集R ；在实数集R 中，方程210x +=没有解，添加虚数单位i 成为复数集C ，使得此方程有解。

i 叫做虚数单位，并规定：（1）21i =- ；（特定的字母 i R ∉）（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立 2()1i -=-，所以-1的平方根为i ±i =±）二、对i 与实数的运算（同x 的运算）三、复数的引入及相关概念 1、形如(,)z a bi a b R =+∈的数，我们把它们叫做复数．复数a +bi (a , b ∈R )由两部分组成，实数a 称为复数z 的实部，记作Re z a =；实数b 称为复数z 的虚部，记作Im z b =例1、指出下列复数的实部和虚部（1）134z i =-;（2）2z =;(3) 3cos sin z i θθ=+;(4)4z 2、对于复数(,)z a bi a b R =+∈当b =0时，z a =就是实数，当b ≠0时，z a bi =+是虚数，其中a =0且b ≠0时z bi =称为纯虚数。

例2、已知复数22(1)(2)()z m m m i m R =-+--∈，当m 取何值时，z 是：（1）实数；（2）虚数；（3）春虚数；（4）0？解：（1）2201,2m m m orm --=⇒=-= （2）2101m m -=⇒=±(,)z a bi a b R =+∈ 叫做代数式实部和虚部都是实数注意：a =0仅是复数z a bi =+ 为纯虚数的必要条件，若a =b =0，则a +bi =0是实数（3）2210120m m m m ⎧-=⇒=⎨--≠⎩ （4）2210120m m m m ⎧-=⇒=-⎨--=⎩ 练习1．当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：（1）即223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得m =2，∴ m =2时，z 为实数。

沪教版(上海)高二数学第二学期-13.6 实系数一元二次方程-学案

实系数一元二次方程
【学习目标】
理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数的关系，并会进行简单应用。

【学习重难点】
在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解。

【学习过程】
（一）旧识回顾
初中学习了一元二次方程且的求根公式，当
时，方程有两个实数根：
（二）讲授新课
实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：
设一元二次方程。

因为，所以原方程可变形为，
配方得：
，
即。

1．当时，原方程有两个不相等的实数根。

；
2．当时，原方程有两个相等的实数根。

；
3．当时，，
由上一堂课的教学内容知，的平方根为，
即，
此时原方程有两个不相等的虚数根。

（为一对共轭虚数根。

）
（三）自我检测
1．（1）在复数集中解方程：；
（2）在复数集中解关于的方程：。

2．已知一元二次方程，试确定一组的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程。

3．在复数集中分解因式：
（1）；（2）。

4．已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值。

沪教版12

第二讲立方根, n次方根一、【要点梳理】【要点一、立方根的定义】如果一个数的立方等于, 那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说, 如果, 那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算, 叫做开立方.要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.【要点二、立方根的特征】立方根的特征: 正数的立方根是正数, 负数的立方根是负数, 0的立方根是0.（即符号相同原理）要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.例1.下列结论正确的是（）A. 64的立方根是±4B. 是的立方根C. 立方根等于本身的数只有0和1D.识记: 立方根等于本身的数只有0和±1.【变式】下列说法正确的是（）A. 一个数的立方根有两个B. 一个非零数与它的立方根同号C．若一个数有立方根, 则它就有平方根D．一个数的立方根是非负数【要点三、立方根的性质】识记:要点诠释: 第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.例2.求下列数的立方根1.2162.3.0.064变式练习: 求下列各数的立方根1. 2. 3.【总结升华】立方根的计算, 注意符号和运算顺序, 带分数要转化成假分数再开立方. 例3计算: （1）______；（2）______；【变式练习】计算：（1）______. （2）______.【附加---立方根小数点位数移动规律】被开方数的小数点向右或者向左移动3位, 它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如, , , , .例4、求下列各式中的值.（1）3278x =；（2）3(2)10x -+=；（3）；（4）.【变式练习】求出下列各式中的:（1）若＝0.343, 则＝______；（2）若－3＝213, 则＝______；（3）若＋125＝0, 则＝______；（4）若＝8, 则＝______【课堂训练】一.选择题1. 下列结论正确的是（）A. 的立方根是B. 没有立方根C. 有理数一定有立方根D. 的立方根是－12．如果－是的立方根, 则下列结论正确的是（）A. －＝B. －＝C. ＝D. ＝3.下列说法中正确的有.. ）个.①负数没有平方根, 但负数有立方根. ②的平方根是的立方根是③如果, 那么＝－2．④算术平方根等于立方根的数只有1．A. 1B. 2C. 3D. 44.是的平方根, 是64的立方根, 则＝（）A. ........B.........C.3, ...D.1, 75.下列各式中，正确的是（.）=±54=- C.= D.=6.有如下命题: ①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身, 那么这个数是1或0, 其中错误的是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④二.解答题8．7.若和互为相反数, 求的值.已知5＋19的立方根是4, 求2＋7的平方根.9.已知实数, 满足求｜－1|＋｜＋1｜的值．【n次方根】一、【课前引导】1.求下列各式的值:16的平方根是, 的平方根是。