2013年高考数学全击破《圆锥曲线方程》抛物线

课时作业42 抛物线

课时作业42 抛物线

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

解析：由题意知，点P 到点(2,0)的距离与P 到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P 的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x ＝－2为准线的抛物线，故选D.

答案：D

2．AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是 ( )

A ．2 B.1

2

C.32

D.52

解析：|AB |＝x A ＋x B ＋1＝4，x C ＝x A ＋x B 2＝3

2

.

答案：C

3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( )

A ．2

B ．3 C.115 D.3716

解析：∵直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 准线，∴P 到l 2的距离d 2＝|PF |(F (1,0)为抛物线焦点)，所

以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离|4×1－3×0＋6|

32＋4

2

＝2，故选A. 答案：A

4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为 ( )

图1

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

解析：如图1：y 2

＝8x 的焦点 F (2,0)，准线x ＝－2，K (－2,0)．

设A (x ，y )，由|AK |＝2|AF |，得：(x ＋2)2＋y 2 ＝2(x －2)2＋y 2，

即：(x ＋2)2＋y 2＝2[(x －2)2＋y 2]，化简得：y 2＝－x 2＋12x －4与y 2＝8x 联立求解得：x ＝2，y ＝±4，

∴S △AFK ＝12|FK |·|y A |＝1

2

×4×4＝8.故选B.

答案：B

5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝ ( )

A.13

B.23

C.23

D.223

图2

解析：过A 、B 作抛物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1(如图2)，由抛物线定义可知，|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，

∵2|BF |＝|AF |，

∴|AA 1|＝2|BB 1|，即B 为AM 的中点． 从而y A ＝2y B ，联立方程组 ?

????

y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ?消去x 得：y 2－8

k y ＋16＝0，

∴????? y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16??????

3y B ＝8k ，2y 2B ＝16

?消去y B 得k ＝22

3.

答案：D

6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为抛物线上异于原点O 的任意一点，过A 作AT 垂直y 轴于T ，OT 的中点为M ，则直线AM 一定经过△ATF 的 ( )

A ．内心

B ．外心

C ．重心

D ．垂心

图3

解析：如图3所示，设AT 交准线于N ，连结FN ，由NT ＝OF 可证M 为NF 中点，又由AN ＝AF ，可知AM 为∠F AT 的角平分线，∴AM 经过△ATF 的内心．

答案：A

二、填空题(每小题5分，共20分) 7．已知有以点(0,3)为顶点，点(0,6)为焦点的抛物线，设点P (a ，b )在该抛物线上，且点Q (a,0)满足∠FPQ ＝60°，则b ＝________.

解析：由题意知，该抛物线的准线是x 轴，且|FP |＝|PQ |，∠FPQ ＝60°，∴△FPQ 是正三角形，b ＝12.

答案：12 8．如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且仅有一个公共点，那么直线l 的方程为__________．

解析：当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程是x ＝1时，显然该直线与抛物线y ＝2x 2

只有一个公共

点，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y －2＝k (x －1)，由?

????

y －2＝k (x －1)

y ＝2x 2

消去y 得2x 2－kx ＋(k －2)＝0，Δ＝k 2－8(k －2)＝0，k ＝4，直线l 的方程是y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.综上所述，直线l 的方程是x ＝1或4x －y －2＝0.

答案：x ＝1或4x －y －2＝0

9．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．

解析：抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，∴p

2

＝1，抛物线方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，

y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 21＝4x 1 ①，y 22＝4x 2 ②，①－②得y 2

1－y 22＝4(x 1－x 2)，

∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2

x 1－x 2

＝1，

∴直线l 的斜率为1，且过点(2,2)， ∴直线方程为y －2＝x －2，∴y ＝x . 答案：y ＝x

10．已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标为(0,2)，则

1

y 1

＋1

y 2

＝__________. 解析：取特例，AB 为焦点弦，则AB ：y ＝－2x ＋2， 由?????

y 2＝4x y ＝－2x ＋2

得x 2－3x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝3. ∴y 1＋y 2＝－2(x 1＋x 2)＋4＝－2 y 1y 2＝4(x 1x 2－x 1－x 2＋1)＝－4 1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12

答案：12

三、解答题(共50分)

11．(15分)已知抛物线方程为标准方程，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (a ，－4)到焦点F 的距离为5，求抛物线的方程和a 的值．

解：∵抛物线顶点在原点，对称轴为y 轴， ∴设抛物线方程为x 2＝2py (p ≠0)．

又点M (a ，－4)在抛物线上，且与焦点F 的距离为5.

∴p <0且－p

2

＋4＝5.

∴p ＝－2，即抛物线方程为x 2＝－4y .

将点M (a ，－4)代入方程，可知是a ＝±4.

12．(15分)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知可设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点P (1,2)在抛物线上，∴p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ， 准线方程是x ＝－1.

(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2

x 2－1(x 2

≠1)．

∵P A 与PB 斜率存在且倾斜角互补， ∴k P A ＝－k PB .

又∵A 、B 点均在抛物线上， ∴y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.

∴x 1＝y 214，x 2＝y 22

4.

∴y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224

－1. ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.

由?

????

y 21＝4x 1，y 22＝4x 2两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)， ∴k AB ＝

y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝4

－4

＝－1. 13．(20分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上一点A (a,0)(a >0)的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向直线l ：x ＝－a 作垂线，垂足分别为M 1、N 1.

(1)当a ＝p

2

时，求证：AM 1⊥AN 1；

(2)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3.是否存在λ，使得对任意的a >0，都有S 22

＝λS 1S 3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

解：依题意，可设直线MN 的方程为x ＝my ＋a ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有M 1(－a ，y 1)，N 1(－a ，y 2)．

由?????

x ＝my ＋a ，y 2＝2px ，

消去x 可得y 2－2mpy －2ap ＝0. 从而有?????

y 1＋y 2＝2mp ， ①y 1y 2

＝－2ap . ②

于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2a ＝2(m 2p ＋a )．

又由y 21＝2px 1，y 2

2＝2px 2，

可得x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝(－2ap )

2

4p

2

＝a 2.③

图4

(1)如图4，当a ＝p

2

时，点A ????p 2，0 即为抛物线的焦点，l 为其准线x ＝－p 2

.

此时M 1????－p 2，y 1，N 1????－p

2，y 2，并由①可得y 1y 2＝－p 2. 证法1：∵AM 1→＝(－p ，y 1)，AN 1→

＝ (－p ，y 2)，

∴AM 1→·AN 1→

＝p 2＋y 1y 2＝p 2－p 2＝0，即AM 1⊥AN 1.

(2)存在λ＝4，使得对任意的a >0，都有

S 22＝4S 1S 3成立．证明如下：

证法1：记直线l 与x 轴的交点为A 1，则|OA |＝|OA 1|＝a .于是有

S 1＝12·|MM 1|·|A 1M 1|＝1

2(x 1＋a )|y 1|，

S 2＝1

2·|M 1N 1|·|AA 1|＝a |y 1－y 2|，

S 3＝12·|NN 1|·|A 1N 1|＝1

2

(x 2＋a )|y 2|.

∴S 22＝4S 1S 3?(a |y 1－y 2|)2＝(x 1＋a )|y 1|·(x 2＋a )|y 2|?a 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝[x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2

]|y 1y 2|. 将①、②、③代入上式化简可得

a 2(4m 2p 2＋8ap )＝2ap (2am 2p ＋4a 2)?4a 2p (m 2p ＋2a )＝4a 2p (m 2p ＋2a )． 上式恒成立，即对任意a >0，S 22＝4S 1S 3成立．

图5

证法2：如图5，连结MN 1、NM 1，则由y 1y 2＝－2ap ，y 2

1＝2px 1可得

k OM ＝y 1x 1＝2p y 1＝2py 2y 1y 2＝2py 2－2ap ＝y 2

－a ＝kON 1，

所以直线MN 1经过原点O .

同理可证直线NM 1也经过原点O . 又|OA |＝|OA 1|＝a ，设|M 1A 1|

＝h 1，|N 1A 1|＝h 2，|MM 1|＝d 1，|NN 1|＝d 2，则S 1＝12d 1h 1，S 2＝12·2a (h 1＋h 2)＝a (h 1＋h 2)，S 3＝1

2

d 2h 2.

∵MM 1∥NN 1∥AA 1，

∴△OA 1M 1∽△NN 1M 1，△OA 1N 1∽△MM 1N 1， ∴a d 2＝h 1h 1＋h 2，a d 1＝h 2h 1＋h 2

， 即a (h 1＋h 2)＝h 1d 2＝h 2d 1. ④

而λ＝S 22

S 1S 3＝4a 2(h 1＋h 2)2d 1h 1d 2h 2

＝4·a (h 1＋h 2)h 1d 2·a (h 1＋h 2)h 2d 1

⑤

将④代入⑤，即得λ＝4，故对任意a >0，S 22＝4S 1S 3成立．