2013年高考数学全击破《圆锥曲线方程》抛物线

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课时作业42 抛物线

课时作业42 抛物线

时间:45分钟 分值:100分

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为 ( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线

解析:由题意知,点P 到点(2,0)的距离与P 到直线x =-2的距离相等,由抛物线定义得点P 的轨迹是以(2,0)为焦点,以直线x =-2为准线的抛物线,故选D.

答案:D

2.AB 是抛物线y 2=2x 的一条焦点弦,|AB |=4,则AB 中点C 的横坐标是 ( )

A .2 B.1

2

C.32

D.52

解析:|AB |=x A +x B +1=4,x C =x A +x B 2=3

2

.

答案:C

3.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( )

A .2

B .3 C.115 D.3716

解析:∵直线l 2:x =-1恰为抛物线y 2=4x 准线,∴P 到l 2的距离d 2=|PF |(F (1,0)为抛物线焦点),所

以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离|4×1-3×0+6|

32+4

2

=2,故选A. 答案:A

4.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且|AK |=2|AF |,则△AFK 的面积为 ( )

图1

A .4

B .8

C .16

D .32

解析:如图1:y 2

=8x 的焦点 F (2,0),准线x =-2,K (-2,0).

设A (x ,y ),由|AK |=2|AF |,得:(x +2)2+y 2 =2(x -2)2+y 2,

即:(x +2)2+y 2=2[(x -2)2+y 2],化简得:y 2=-x 2+12x -4与y 2=8x 联立求解得:x =2,y =±4,

∴S △AFK =12|FK |·|y A |=1

2

×4×4=8.故选B.

答案:B

5.已知直线y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点.若|F A |=2|FB |,则k = ( )

A.13

B.23

C.23

D.223

图2

解析:过A 、B 作抛物线准线l 的垂线,垂足分别为A 1、B 1(如图2),由抛物线定义可知,|AA 1|=|AF |,|BB 1|=|BF |,

∵2|BF |=|AF |,

∴|AA 1|=2|BB 1|,即B 为AM 的中点. 从而y A =2y B ,联立方程组 ⎩

⎪⎨⎪⎧

y =k (x +2),y 2=8x ⇒消去x 得:y 2-8

k y +16=0,

∴⎩⎪⎨⎪⎧ y A +y B =8k ,y A ·y B =16⇒⎩⎪⎨⎪⎧

3y B =8k ,2y 2B =16

⇒消去y B 得k =22

3.

答案:D

6.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A 为抛物线上异于原点O 的任意一点,过A 作AT 垂直y 轴于T ,OT 的中点为M ,则直线AM 一定经过△ATF 的 ( )

A .内心

B .外心

C .重心

D .垂心

图3

解析:如图3所示,设AT 交准线于N ,连结FN ,由NT =OF 可证M 为NF 中点,又由AN =AF ,可知AM 为∠F AT 的角平分线,∴AM 经过△ATF 的内心.

答案:A

二、填空题(每小题5分,共20分) 7.已知有以点(0,3)为顶点,点(0,6)为焦点的抛物线,设点P (a ,b )在该抛物线上,且点Q (a,0)满足∠FPQ =60°,则b =________.

解析:由题意知,该抛物线的准线是x 轴,且|FP |=|PQ |,∠FPQ =60°,∴△FPQ 是正三角形,b =12.

答案:12 8.如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y =2x 2有且仅有一个公共点,那么直线l 的方程为__________.

解析:当直线l 的斜率不存在,即直线l 的方程是x =1时,显然该直线与抛物线y =2x 2

只有一个公共

点,满足题意;当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程是y -2=k (x -1),由⎩

⎪⎨⎪⎧

y -2=k (x -1)

y =2x 2

消去y 得2x 2-kx +(k -2)=0,Δ=k 2-8(k -2)=0,k =4,直线l 的方程是y -2=4(x -1),即4x -y -2=0.综上所述,直线l 的方程是x =1或4x -y -2=0.

答案:x =1或4x -y -2=0

9.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点为F (1,0),直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点.若AB 的中点为(2,2),则直线l 的方程为________.

解析:抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点为F (1,0),∴p

2

=1,抛物线方程为y 2=4x .设A (x 1,y 1),B (x 2,

y 2),则y 1+y 2=4,y 21=4x 1 ①,y 22=4x 2 ②,①-②得y 2

1-y 22=4(x 1-x 2),

∴(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),∴y 1-y 2

x 1-x 2

=1,

∴直线l 的斜率为1,且过点(2,2), ∴直线方程为y -2=x -2,∴y =x . 答案:y =x

10.已知抛物线y 2=4x 的一条弦AB ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 所在直线与y 轴交点坐标为(0,2),则

1

y 1

+1

y 2

=__________. 解析:取特例,AB 为焦点弦,则AB :y =-2x +2, 由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2=4x y =-2x +2

得x 2-3x +1=0,∴x 1+x 2=3. ∴y 1+y 2=-2(x 1+x 2)+4=-2 y 1y 2=4(x 1x 2-x 1-x 2+1)=-4 1y 1+1y 2=y 1+y 2y 1y 2=12

答案:12

三、解答题(共50分)

11.(15分)已知抛物线方程为标准方程,焦点在y 轴上,抛物线上一点M (a ,-4)到焦点F 的距离为5,求抛物线的方程和a 的值.

解:∵抛物线顶点在原点,对称轴为y 轴, ∴设抛物线方程为x 2=2py (p ≠0).

又点M (a ,-4)在抛物线上,且与焦点F 的距离为5.

∴p <0且-p

2

+4=5.

∴p =-2,即抛物线方程为x 2=-4y .

将点M (a ,-4)代入方程,可知是a =±4.

12.(15分)抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P (1,2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程;

(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率. 解:(1)由已知可设抛物线方程为y 2=2px . ∵点P (1,2)在抛物线上,∴p =2. 故所求抛物线的方程是y 2=4x , 准线方程是x =-1.

(2)设直线P A 的斜率为k P A ,直线PB 的斜率为k PB ,则k P A =y 1-2x 1-1(x 1≠1),k PB =y 2-2

x 2-1(x 2

≠1).

∵P A 与PB 斜率存在且倾斜角互补, ∴k P A =-k PB .

又∵A 、B 点均在抛物线上, ∴y 21=4x 1,y 22=4x 2.

∴x 1=y 214,x 2=y 22

4.

∴y 1-2y 214-1=-y 2-2y 224

-1. ∴y 1+2=-(y 2+2). ∴y 1+y 2=-4.

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