数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第11章 反常积分

u xq
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
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同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
uc a
vc v
若
c f ( x)dx 和
b f ( x)dx 都收敛,则称
b
f ( x)dx
a
c
a
收敛.
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例1 讨论无穷积分
dx 1 xp
的收敛性.
解
u dx
1 x p
1
1
p
ln u,
u1 p 1
, p 1, p 1,
因此,
lim
u
u dx 1 xp
v 2g(h x).
在时间d t内,桶中液面降低的微小量为d x,它们
之间应满足 πR2dx vπr 2dt, 因此
dt
R2
dx , x 0,h.
r2 2gh x
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于是流完一桶水所需时间为
h
t
R2
dx.
0 r2 2gh x
但由于被积函数是 0,h 上的无界函数,所以它的
确切含义为
记作
b
J f ( x)dx, a
并称 b f ( x)dx 收敛. 若极限 lim b f ( x)dx不存在,
a
ua u
则称 b f ( x)dx 发散. a
通常称a 为 f 的瑕点. 又称 b f ( x)dx 为瑕积分, a
类似定义瑕点为 b 时的瑕积分
b
u
f ( x) dx lim f ( x) dx.
mgR.
用 g 9.81(m / s2 ) , R 6.371106 (m) 代入,得
v0 2gR 11.2 (km / s).
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例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有 一半径为 r 的小孔．试问从盛满水开始打开小孔 直至流完桶中的水,共需多少时间？
解 桶内水位高度为 h x 时,流出水的速度为
1, p1 ,
p 1, p 1.
若 f (x) 的原函数为 F (x),
无穷积分的牛顿－莱布尼
y p1
p1
p1
y
1 xp
1
p1
O1
p1
p1 x
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茨公式写作
f ( x) dx F ( x) ,
a
a
F() F(a) lim F(u) F(a). u
例2 讨论无穷积分
§1 反常积分概念
反常积分讨论的是无穷区间上的积 分和无界函数的积分，是定积分概念 的推广.
一、反常积分的背景 二、两类反常积分的定义
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一、反常积分的背景
在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间
的有穷性; 被积函数的有界性. 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间
上的“积分”或无界函数的“积分”.
a
其中 a 是( ， ) 内任意一点 .
定义2 设函数 f 定义在 (a, b] 上, 在 a 的任意右邻
域内无界, 但在任何内闭区间 [u, b] 上有界且可积.
如果存在极限
b
lim f ( x)dx J ,
ua u
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则称此极限为无界函数 f 在 (a, b] 上的反常积分,
t e pt dt
0
p 0 的收敛性.
解
t e ptdt
t e pt p
1 p2
e pt
C,
因此
t e ptdt 0
t e pt p
1 p2
e pt
0
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1 1
(0 0) 0
p2
p2 .
例3 讨论瑕积分
1 dx 0 xq
q 0
的收敛性.
解
1 dx
例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火
箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初
速度 v0 至少要多大？
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解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重
力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x R
处火箭所受的引力为
F
mgR 2 x2
,
于是火箭从地面上升到距地心为 r R 处需作功
u
R2
t lim
dx
uh 0 r 2 2g h x
2 R2
lim uh
g r2
h hu
2h g
R r
2
.
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二、两类反常积分的定义
定义1 设函数 f 定义在 [ a, +)上, 且在任何有限
区间 [a, u] 上可积. 若存在极限
u
lim f ( x)dx J ,
2. f ( x) 在 [a, )上非负连续, lim f ( x) 0, 是否可 x 推得 f ( x)dx 收敛? a
3. f ( x) 在 [a, )上定义, 且
lim f ( x) A.
x
当 f ( x)dx 收敛时,是否必有 A 0? a 前页 后页 返回
r R
mgR x2
2
dx
mgR 2
1 R
1 r
.
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当 r 时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地 球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为
的积分
mgR2
r mgR2
R
x2
dx lim r R
x2 dx mgR.
由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使
1 2
mv02
u a
则称此极限 J 为函数 f 在 a , 上的无穷限反
常积分(简称无穷积分),记作
J a f ( x)dx,
并称 f ( x)dx 收敛, 否则称 f ( x)dx 发散.
a
a
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类似定义
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
u u
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a
ub a
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其中 f 在 [a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无界,
在任何 [a,u] [a,b]上可积.
若 f 的瑕点 c (a,b) , 定义
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
u
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx.
F(x)
b a
F (b)
F(a )
F(b) lim F(u). ua 1
例4 计算瑕积分0 ln x dx.
解
1
ln
xdx
的瑕点为
0.
因此,
0
1
ln xdx lim
x ln x 1
1
dx
0
0
lim
0
0
ln
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1
1.
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复习思考题
1. f ( x) 在 [a, )上非负连续, 且 f ( x)dx 收敛, a 是否必有lim f ( x) 0? x