常微分 用万有引力定律推导开普勒三定律
开普勒三定律与万有引力定律
第四讲 开普勒三定律与万有引力定律【知识梳理】一、开普勒行星运动三定律1. 开普勒第一定律：2. 开普勒第二定律：3. 开普勒第三定律：二、万有引力定律1. 万有引力定律内容：2. 万有引力定律表达式：3. 万有引力常量：⑴ 开普勒第一定律中不同行星绕太阳运行时的椭圆轨道是不同的。
⑵ 开普勒第二定律中行星在近日点的速率大于在远日点的速率，从近日点向远日点运动时速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。
⑶ 开普勒第三定律的表达式k Tr =23中，k 是与太阳有关而与行星无关的常量，如果认为行星的轨道是圆的，式中半长轴r 代表圆的半径。
⑷开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于卫星。
适用于卫星时,23k Tr =，常量k ’是由行星决定的另一常量，与卫星无关。
【例题1】太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是多少年？【变式训练1】、已知地球半径约为R=6.4⨯106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。
图4-1（1）地球对物体的吸引力就是万有引力，重力只是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力是物体随地球自转所需的向心力。
如图4-1所示。
（2）物体在地球上不同的纬度处随地球自转所需的向心力的大小不同，重力大小也不同： 两极处：物体所受重力最大，大小等于万有引力，即2RMmGmg =。
赤道上：物体所受重力最小，22自ωmR R Mm Gmg -= 自赤道向两极，同一物体的重力逐渐增大，即g 逐渐增大。
（3）一般情况下，由于地球自转的角速度不大，可以不考虑地球的自转影响，近似的认为2RMmGmg = 【例题2】已知火星的半径为地球半径的一半，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的4/9倍，则火星的质量约为地球质量的多少倍？【变式训练2】经测定，太阳光到达地球需要经过500s 的时间，已知地球的半径为6.4×106m ，试估算太阳质量与地球质量之比。
万有引力定律和开普勒三定律的互相推导
用万有引力定律推导开普勒三定律
⃗ = − ������������������ 万有引力定律数学表达式： ������ ������0 (G 为引力常数， m 是行星的质量， 2 ⃗⃗⃗⃗
������
′
⃗=− m’是太阳质量)，设������ = ������������������′，则������
̇) (������ 2 ������ ������ 2
2
∙ =−
������
1
4������2 ������2 ������2 ������ 2
∙
������ ������2
∙
1 ������ 2
= −4������ 2 ∙
������3 ������ 2
∙
1 ������ 2
(4)
开普勒第三定律： 行星轨迹椭圆的半长轴的三次方和运动周期的平方成正比。 即
������ ������
2
+ ������������������������������
解积分可得：������ = ������������������������������������
������⁄������−������������ ⁄������
2 2 √2������������+������ ������ ⁄ 2 ������
从开普勒三定律推导万有引力定律
开普勒第一定律：行星围绕太阳的运动轨迹是一个椭圆，太阳在椭圆的一个 焦点上。 ������ = ������ 1 + ������������������������������
������2 ������
上式为椭圆的极坐标方程。 这里������ =
万有引力公式推导
万有引力公式推导
万有引力定律的推导以开普勒第三定律作为已知条件，开普勒第三定律r/T=C(C是常数)，推导得F=GMm/r，引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
万有引力的科学意义
万有引力定律的辨认出，就是17世纪自然科学最了不起的成果之一。
它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了出来，对以后物理学和天文学的发展具备深刻的影响。
它第一次表述了（自然界中四种相互作用之一）一种基本相互作用的规律，在人类重新认识自然的历史上践行了一座里程碑。
万有引力定律揭示了天体运动的规律，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。
它为实际的天文观测提供了一套计算方法，可以只凭少数观测资料，就能算出长周期运行的天体运动轨道，科学史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现，都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。
利用万有引力公式，开普勒第三定律等还可以计算太阳、地球等无法直接测量的天体的质量。
牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的潮汐现象。
他依据万有引力定律和其他力学定律，对地球两极呈扁平形状的'原因和地轴复杂的运动，也成功的做了说明。
推翻了古代人类认为的神之引力。
对文化发展存有重大意义：并使人们创建了用能力认知天地间的各种事物的信心，革命了人们的思想，在科学文化的发展史上出了积极主动的促进促进作用。
由万有引力定律推导开普列三定律
由万有引力定律推导开普列三定律——————《牛顿定律及万有引力》1，牛顿定律定义牛顿运动定律包含以下三个定律：牛顿第一运动定律：孤立质点保持静止或做匀速直线运动；用公式表示为：，式中为合力，为速度，为时间。
牛顿第二运动定律：动量为的质点，在外力的作用下，其动量随时间的变化率同该质点所受的外力成正比，并与外力的方向相同；用公式表达为：。
根据动量的定义，。
若质点的质量不随时间变化（即），则质点运动的加速度的大小同作用在该质点上的外力的大小成正比，加速度的方向和外力的方向相同；用公式表达为：。
牛顿第三运动定律：相互作用的两个质点之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上；用公式表达为：（式中表示质点受到的质点的作用力，表示质受到的质点的反作用力）。
开普列定律定义开普勒在《宇宙谐和论》上的原始表述：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。
常见表述：绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方（ ）跟它的公转周期的二次方（ ）的比值都相等，即，（其中M 为中心天体质量，k 为开普勒常数，这是一个只与被绕星体有关的常量[2] ，G 为引力常量，其2006年国际推荐数值为）不确定度为。
2，推导过程万有引力定律是用开普勒第三定律导出的，因此不能再用万有引力定律来推导开普勒第三定律，循环论证是不严谨的。
开普勒第三定律是开普勒根据第谷的观测数据来计算出来的，没有见过推导，推导过程只能是与万有引力定律的联系，不能叫推导。
所以由万有引力定律推导开普勒第三定律 推导过程是逆历史发展顺序的。
首先由万有引力=向心力r m Mm2r 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=T G π 瞬间得出()onst 232r 2C GMT ==π此即开普勒第三定律行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比然后由角动量对时间的导数等于力矩F L ⨯=r dtd 中心力场，力臂 r 总与力 F 垂直，上式导数为零，得角动量 L 守恒 r ×dr 为平行四边形面积，得dt dA m dt dr mr C L 2.onst =⨯==推开普勒第一定律，在平方反比的有心引力作用下物体的轨道必为椭圆 证明这个需要在极坐标系下解微分方程.()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=u u -m u d d u h 2222θF。
从万有引力定律推导开普勒第三定律
从万有引力定律推导开普勒第三定律
在“万有引力与航天”这章中，第一节介绍了行星的运动的规律，即著名的开普勒三大定律，其中第三条是这样的表述的：“所有行星的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方比值都相等”。
写成等式：
其中k是一个对所有行星都相同的常量，并且只与中心天体有关，也就是与太阳有关。
在中学阶段，我们把行星的轨道按圆轨道处理，定律中的“半长轴”也就修改为“半径r”。
在之后的万有引力定律的学习过程中，如在第四节“万有引力理论的成就”中，计算天体质量这一部分内容里面，有关于对太阳的质量的求解，具体过程是：
设M是太阳的质量，m是绕太阳做匀速圆周运动的的某个行星的质量，r是行星到太阳中心的距离，T是行星绕太阳的公转周期，那么由于行星做匀速圆周运动，那么它需要的向心力由太阳对它的万有引力提供。
写成等式：
从而得出太阳的质量：
如果测出行星公转周期T和它到太阳的距离r，就可以算出太阳的质量了。
现在，我们把上面的式子整理得：
令常量等于k，于是有：
证毕。
开普勒三大定律的内容及意义
开普勒三大定律的内容及意义开普勒三大定律是什么，有什么重要的意义？想知道的小伙伴看过来，下面由小编为你精心准备了“开普勒三大定律的内容及意义”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容!开普勒三大定律的内容开普勒在1609年发表了关于行星运动的两条定律，一条是开普勒第一定律，也叫轨道定律，内容是所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆的，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律，也叫面积定律，对于任何一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。
用公式表示为：SAB=SCD=SEK到了1619年时，开普勒又发现了第三条定律，也就是开普勒第三定律，也称为周期定律，内容为所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
开普勒不仅为哥白尼的日心说找到了数量关系，更找到了物理上的依存关系，使天文学假说更加的符合自然界本身的真实。
行星运动三大定律的发现为经典天文学奠定了基石，并导致数十年后万有引力定律的发现。
开普勒全名约翰尼斯开普勒，出生于1571年，死于1630年，开普勒是德国近代著名的天文学家，数学家，物理学家和哲学家。
开普勒以数学的和谐性探索宇宙，在天文学方面作出了巨大的贡献，开普勒是继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说，并在天文学方面有突破性的成就的人物，被后世的科学家称为天上的立法者。
开普勒是哥白尼日心说的忠实信徒，为此开普勒做了不少天文测量，并在天文学方面作出了许多积极的贡献，1604年他观察到了银河系内的一颗超新星，历史上称它为开普勒新星，1607年，开普勒观测了一颗大慧星，就是后来的哈雷慧星，到了1609年，开普勒发表了多项有关行星运动的理论，当中包括了开普勒第一定律和开普勒第二定律，1618年，开普勒再次发表了有关行星运动的开普勒第三定律的论文。
开普勒三大定律的意义开普勒的三定律是天文学的又一次革命，它彻底摧毁了托勒密繁杂的本轮宇宙体系，完善和简化了哥白尼的日心宇宙体系。
万有引力定律推导开普勒三定律
万有引力定律推导开普勒三定律万有引力定律是指两个物体之间的引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
而开普勒三定律描述了行星围绕太阳运动的规律。
那么，如何用万有引力定律推导出开普勒三定律呢？首先，考虑一个行星绕太阳运动的情况。
根据万有引力定律，太阳和行星之间的引力为：F =G * M1 * M2 / r^2其中，G是万有引力常数，M1是太阳的质量，M2是行星的质量，r是太阳和行星之间的距离。
由于行星绕太阳运动是一个圆形轨道，因此，我们可以将行星的运动分解为两个正交方向的分量：径向分量和切向分量。
径向分量指的是行星运动方向与太阳之间的连线方向，切向分量指的是行星运动方向的垂线方向。
根据牛顿第二定律，行星的运动加速度可以表示为：a = F / M2将上式代入万有引力定律中，得到：a = G * M1 / r^2其中，M2已经被消去了。
根据圆形运动的几何关系，我们可以发现，行星的加速度大小就等于它所受到的向心加速度大小，即：a = v^2 / r其中，v是行星的运动速度。
将上式代入上面得到的等式中，解得：v^2 = G * M1 / r这就是开普勒第一定律，也就是说，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
接下来，我们考虑开普勒第二定律，即行星在椭圆轨道上的运动速度与它距离太阳的距离的平方成反比。
根据万有引力定律，行星所受到的引力大小为：F =G * M1 * M2 / r^2根据牛顿第二定律，行星的运动加速度为：a = F / M2将上式代入上面得到的等式中，解得：a = G * M1 / r^2同时，由于行星在椭圆轨道上的运动速度是恒定的，因此，我们可以用它的速度v表示出它在不同位置所受到的向心加速度a，即： a = v^2 / r将上面两个等式联立，得到：v^2 = G * M1 / r这就是开普勒第二定律，即反比例定律。
最后，我们考虑开普勒第三定律，即行星公转周期的平方与它距离太阳的距离的立方成正比。
开普勒三大定律公式的推导
开普勒三大定律公式的推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开普勒三大定律是描述行星运动规律的重要定律，它们为现代天文学的发展奠定了基础。
这三大定律分别是第一定律：行星运动轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上；第二定律：行星在它们的轨道上等面积运动，即行星与太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积；第三定律：行星轨道的平方周期与它们轨道长半轴的立方成正比。
本文将对开普勒三大定律的推导过程进行详细描述。
我们从第一定律开始推导。
根据椭圆的定义，椭圆是一个平面上的点到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
假设行星在太阳周围运动，我们取太阳为椭圆的一个焦点。
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，根据椭圆的定义可知，行星到太阳的距离之和为常数。
即可得椭圆方程：r = \frac{p}{1+e\cos\theta}这里，r为行星到太阳的距离，p为焦点到行星的距离，e为椭圆的离心率，\theta为行星与近日点的角度。
接下来，我们来推导第二定律。
根据第二定律的描述，行星在它们的轨道上等面积运动，即行星与太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积。
这意味着在相等的时间间隔内，等面积扫过的弧长相等。
我们知道，扫过的面积等于扇形的面积减去三角形的面积。
假设在时间t 内，太阳至行星的连线扫过了角度\Delta\theta。
根据三角形求面积的公式可得：扫过的面积为：A = \frac{1}{2}p^2\int_0^t \sin(\frac{2\pi}{T}t')dt'这里T为行星的轨道周期。
根据积分的性质，可知这是一个等面积扫描的过程。
根据等面积扫描的性质，我们可以证明第二定律的成立。
我们来推导第三定律。
第三定律描述了行星轨道的周期与长半轴的关系。
根据牛顿万有引力定律，太阳与行星之间的引力为：F = \frac{GMm}{r^2}根据牛顿第二定律，可得：整理可得：v^2r = GM而行星绕太阳运动的圆周速度为：代入可得：由于GM为常数，因此可得第三定律：这里k为一个常数，与行星的质量无关。
万有引力定律推导开普勒第三定律
万有引力定律推导开普勒第三定律大家都知道，天上有很多星星、行星，甚至有那些绕着我们地球转的月亮。
可是你有没有想过，为什么这些天体不会散得满天都是，而是总在固定的轨道上转来转去？为什么太阳的引力能牢牢抓住地球不让它飞出去？这背后可有一个了不起的定律——万有引力定律。
说起来，这个定律可不是简单的“天上有个重物把轻的吸引”这么简单，它可是通过一段非常精妙的推理，帮我们揭开了行星运动的神秘面纱。
今天，我就带你一起走一遍这条逻辑链，看看怎么从万有引力定律推导出咱们非常熟悉的开普勒第三定律。
咱们得从牛顿的万有引力定律说起。
这可是个经典中的经典，大家都知道，牛顿说过：“任何两个物体之间都有引力。
”简单说，就是天上星星、地上苹果，彼此之间都有相互吸引的力。
这个力，随着物体质量的增大而变强，随着它们之间的距离增大而变弱。
嗯，牛顿说得很清楚啊，你就把这想象成一个无形的“牵线人”，它不停地把天体拉得紧紧的，不让它们轻易松开。
是不是觉得很神奇，太阳和地球之间竟然能通过一根看不见的线维持这么复杂的运动？好啦，别急，我们慢慢理清楚。
然后咱们回到一个非常有趣的现象。
你想，地球绕着太阳转的速度怎么不快也不慢，而月亮也不乱跑，它总是围着地球稳稳地转。
哎，说到这，我得提一个人，约翰内斯·开普勒，他是一个天文学家，靠着观测太阳系的行星运动，发现了几个非常棒的规律，开普勒第三定律就是其中之一。
简单来说，开普勒第三定律告诉我们：“任何一颗行星绕太阳转的周期的平方，和它离太阳的平均距离的立方成正比。
”这个听起来可能有点绕，但其实没啥难度。
想象一下，地球离太阳有一个固定的距离，太阳对它的引力也就固定了，地球也因此保持着稳定的转动速度和周期。
咱们就可以开始解谜了，怎么从万有引力定律推导出开普勒的这个定律呢？别急，看我慢慢来。
根据牛顿的万有引力定律，太阳对地球的引力可以用一个简单的公式表示——引力 = (太阳的质量) × (地球的质量) ÷ (它们之间的距离平方)。
根据万有引力定律和牛顿运动定律推导开普勒第三定律
根据万有引力定律和牛顿运动定律推导开普勒第三定律嘿，朋友们，今天咱们来聊聊一个有趣的话题，开普勒的第三定律。
听起来高深莫测，其实没那么复杂，咱们轻轻松松就能搞明白。
开普勒，这位聪明绝顶的家伙，他可真是个天文学的超级英雄。
他观察到，行星在围绕太阳转的时候，运动的速度可不是随便的，而是跟它们离太阳的距离有关系。
你说，这事儿神不神奇？先从万有引力定律说起。
这个定律就像个宇宙的“万金油”，无论你想说什么，只要提到引力，它都能给你答案。
牛顿，那个被苹果砸到的家伙，他告诉我们，任何两个物体之间都有一种吸引力。
想象一下，太阳就像个超级大磁铁，而行星们就像小铁片，被它吸引着转啊转的。
离太阳近的行星，受引力的影响比较大，速度自然快；而那些离得远的，慢悠悠的，简直像是在散步。
咱们再来看牛顿的运动定律。
你记得吗？有个定律说物体在没有外力作用下会保持静止或匀速直线运动。
就像咱们在公园推秋千一样，你使点劲，秋千就动了；你不动，它就停下。
这就让我们明白，行星围着太阳转的时候，其实是在不停地“推”和“拉”。
这就是引力的魅力所在，让它们在太空中翩翩起舞。
开普勒的第三定律是什么呢？简单来说，它就是行星绕太阳转的周期平方，跟它们离太阳的平均距离的立方成正比。
也就是说，越远的行星，转一圈所需的时间越长。
这像什么呢？就像小孩子玩陀螺，离着边缘转的速度可慢了，转的时间也长；而中间的，转得快，时间短。
这种关系其实很简单，越远，越慢；越近，越快。
想象一下，太阳就像个舞台的演员，行星们则是围着它跳舞的舞者。
离得近的舞者，动作灵活，转得飞快；而远的舞者，动作悠闲，旋转得慢半拍。
这种天体之间的舞蹈，真是优雅得让人惊叹。
而这个优雅的舞蹈，背后全是牛顿的定律和开普勒的观察。
开普勒的第三定律不只是个枯燥的公式，它还让我们明白了宇宙的节奏。
就像咱们的生活，快慢有序。
我们在生活中忙忙碌碌，有时候像个火箭，有时候又像只懒洋洋的猫咪。
每个行星都有自己的轨道，正如每个人都有自己的生活轨迹，都是在这个浩瀚宇宙中寻找属于自己的位置。
万有引力推导开普勒第三定律
万有引力推导开普勒第三定律万有引力，这个词听起来就像个高深莫测的天文名词，其实它和我们生活息息相关。
想想，天上那些星星、行星，就像个个小小的舞者，在宇宙的舞台上转来转去。
我们今天聊聊开普勒的第三定律，这可是个有趣的话题哦。
开普勒可不是什么神秘的外星人，而是一位聪明绝顶的科学家。
他研究行星运动，结果发现了一个惊人的规律。
听着，大家肯定觉得这个定律听起来有点晦涩，但其实它跟我们身边的事儿是一样的道理。
开普勒的第三定律告诉我们，行星绕太阳转的时间和它离太阳的距离有关系。
想象一下，咱们的太阳就像个大电灯泡，而行星就像是围着它转的小虫子。
越远的小虫子转得越慢，近的转得快，简直就像一场追逐游戏。
比方说，水星这家伙离太阳最近，所以它的转速飞快，一年才三百多天就转完一圈。
可冥王星就惨了，离得远得要命，转一圈得上好几千年。
是不是很神奇？这就好比你在赛道上跑步，离终点越近，跑得越快，离得远，就得慢慢来。
说到万有引力，这可是宇宙间最重要的法则之一。
想象一下，万有引力就像一根无形的绳子，把行星们拉得紧紧的。
每个行星都在用力挣扎，但又被这个无形的力量牵引着，真是“拔河”比赛！你看看，地球和月球的关系就很好。
月球离地球不远，结果总是围着地球转，成为我们夜空中最亮的那颗星。
而太阳更是个“大咖”，把所有行星都吸引得团团转，真是个霸道总裁！开普勒的第三定律其实就是在告诉我们：行星越远，转得越慢。
它是通过万有引力这个神奇的力量来解释的。
大家可以想象一下，这就像一个小朋友在荡秋千。
小朋友离秋千架子远的时候，荡得慢，离得近的时候，荡得快。
这种感觉真是让人忍不住想笑，因为就算是秋千，依然有“力”在其中。
我们可以用数学来表达这个定律。
这也是个简单的公式：行星的公转周期的平方，和它到太阳距离的立方成正比。
听上去复杂，但咱们可以把它看成是一个游戏的规则。
你越靠近太阳，转得快；越远，就得悠着点。
这个简单的规律，帮助科学家们理解了宇宙的奥秘，让我们更好地认识天体的运动。
开普勒第3定律公式
开普勒第3定律公式
开普勒第三定律公式是描述行星运动规律的一个重要公式。
该
公式是德国天文学家开普勒根据他的观测数据提出的，它定量描
述了行星围绕太阳运动的周期和轨道半长轴之间的关系。
开普勒第三定律公式可以用数学方式表示为：
T² = k × a³
其中T表示行星绕太阳一周所花费的时间，a表示行星轨道的
半长轴，k是一个常数。
这个公式表明了行星轨道半长轴与公转周期的平方成正比。
这个公式的重要性在于它帮助人们理解行星运动的规律。
通过
观测不同行星的的半长轴和公转周期，我们可以利用这个公式推
算出其他未知行星的运动参数。
这种数学描述的方法使得天文学
家能够更深入地研究宇宙中行星的运动规律。
开普勒第三定律公式的发现对现代科学的发展产生了重要影响。
它帮助人们更好地理解并推动了牛顿万有引力定律的发展，为理
解行星盘旋、人造卫星运行等现象提供了重要的理论基础。
总结来说，开普勒第三定律公式是描述行星运动规律的一个基
本公式，它通过关联行星的公转周期和轨道半长轴，帮助我们理
解并推算行星的运动轨迹。
这个公式的发现对宇宙科学的发展具
有重要意义。
简述开普勒三大定律
简述开普勒三大定律开普勒三大定律是物理学中非常重要的一个概念，它是十九世纪以及XX世纪学者们对太阳系行星运行规律的描述。
开普勒三大定律被称为是行星科学史上最伟大的成果，其发现者为荷兰天文学家哥白尼。
开普勒三大定律指的是牛顿万有引力定律和开普勒力学的结合，即行星的运行轨道都满足特定的定律。
它们分别是：第一定律：行星在自身的轨道上运行，轨道呈现椭圆形，而太阳则位于椭圆的一个焦点。
根据这个定律，行星沿着椭圆轨道，近太阳的一端时，行星的线速度会加快，而当行星远离太阳的一端时，它的线速度则会减慢。
第二定律：沿着其椭圆轨道运行的行星每个时刻都会受到太阳的引力，且受到的“积分”引力总和是恒定的，即在椭圆轨道上的任何位置，行星受到的引力都是相同的。
第三定律：根据角动量守恒定律，行星在椭圆轨道上运行围绕太阳的周期与它的轨道长轴之比成确定比例。
这个比例是一个定值，不管行星轨道的大小如何，运行周期与它的轨道长轴之比都是不变的。
开普勒三大定律对于研究星系中行星及其他天体运行轨道有着重要的意义。
它们提供了确定太阳系中行星运行轨道的科学原理，使研究者可以利用该定律来把握行星的运行轨道，从而推导出行星的位置，时间，公转速度等属性，并进行未来的发现和预测。
开普勒三大定律也为现今物理学研究中的一些非常重要的概念和理论奠定了基础，比如牛顿平衡定律和引力波等。
它们也成为天文观测中精确计算行星位置所依赖的，被称为“天体动力学”的研究所不可缺少的一部分。
此外，开普勒三大定律也及其重要的作用，比如由它们推导出的历法及时钟等，在人类社会中起到了非常重要的作用。
可以说，开普勒的三大定律的发现为科学的发展奠定了坚实的基础，它们也影响着人类社会。
正是因为开普勒的三大定律，我们才能够了解和探索宇宙中行星的运行轨道，同时借助它们来准确测定行星的位置，从而在宇宙中寻找其他新的发现。
根据万有引力定律证明开普勒第三定律
根据万有引力定律证明开普勒第三定律好，今天我们聊聊一个既神奇又让人摸不着头脑的课题——怎么从万有引力定律来推导出开普勒的第三定律。
说起来，这两个理论可都是宇宙中的大牛，万有引力定律就像是老大哥一样，告诉我们一切物体都会相互吸引，开普勒的第三定律则像是宇宙的节奏大师，告诉我们行星绕太阳转的规律。
那问题来了，这两个看似没什么关系的东西，怎么能扯上关系呢？咱们一步步来，慢慢捋。
先说万有引力定律，听名字是不是有点吓人？其实它简单得很，就是说：所有物体之间都有一种看不见的力量，这个力的大小和物体的质量成正比，和它们之间的距离的平方成反比。
你想啊，地球拉着我们往下掉，月亮拉着地球转圈，太阳拉着地球转，这都是万有引力在“背后推波助澜”。
不管是苹果掉下来的故事，还是月亮“悠然自得”地绕地球转，都是这个定律在“默默地干活”。
那万有引力定律和开普勒的第三定律有啥关系呢？来，咱慢慢讲。
开普勒的第三定律说，行星绕太阳转的周期（就是绕一圈的时间）和它们离太阳的平均距离的三次方成正比。
简单点说，就是离太阳远的行星，转得慢；离得近的，转得快。
这规律看似是天文数字，实则藏着一个大秘密，竟然能通过万有引力定律来解释，简直就像是在用“一个定理解锁宇宙秘密”一样。
好啦，话不多说，我们直接开始推导。
大家知道行星绕太阳转的时候，它并不是在做圆圈，而是在做椭圆圈，太阳就在椭圆的一个焦点上。
别看行星的轨道曲折，但它的运动依旧是受万有引力支配的。
太阳对行星的引力，就是它一直拉着行星往回“拽”，让行星不至于飞出去。
换句话说，行星是被太阳的引力“牵引”着走的，这样的力量，就好比咱们去玩蹦极，绳子把我们拉回来，但不管怎么拉，我们的重力始终让我们“往下掉”。
咱们要用到的一个物理量叫做“向心力”。
这名字听着有点高深，别怕，向心力就是指一个物体因为做圆周运动而受到的“拉力”。
咱们可以理解成，行星绕太阳转时，它的引力就变成了“向心力”，它把行星“拉”在一个固定的轨道上。
常微分 用万有引力定律推导开普勒三定律
万有引力推导开普勒定律万有引力定律的阐明：任意两个质点由通过连心线方向上的力相互吸引。
该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
开普勒定律的阐明：①椭圆定律:所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
②面积定律:行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
③所有行星绕太阳一周的恒星时间()的平方与它们轨道长半轴(ai)的立方成比例，即一、开普勒第二定律导引：由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。
用方程式表示为：；其中，是太阳作用于行星的万有引力、是行星的质量、是太阳的质量、是行星相对于太阳的位移向量、是的单位向量。
牛顿第二定律声明：物体受力后所产生的加速度，和其所受的浮力成正比，和其质量成反比。
用方程式表示：。
合并这两个方程式：(1)思考位置向量，随时间微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：在这里，我们用到了单位向量微分方程式：，。
（2）合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式：取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：，(3)。
(4)导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。
试想行星的角动量。
由于行星的质量是常数，角动量随时间的导数为：。
角动量也是一个运动常数，即使距离与角速度都可能会随时间变化。
从时间到时间扫过的区域：。
行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间。
所以，开普勒第二定律是正确的。
二、开普勒第一定律导引：设定。
这样，角速度是：。
随时间微分与随角度微分的关系为：。
随时间微分径向距离：。
再微分一次：。
代入径向运动方程式 (3) 得：，。
将此方程式除以，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程式来描述行星轨道：。
特征方程式为：。
求解剩余的常系数齐次线性全微分方程式，。
其特解方程式为；这里，与都是任意积分常数。
综合特征方程式与特解方程式得：。
牛顿万有引力公式其实就是开普勒第三定律
牛顿万有引力公式其实就是开普勒第三定律Ⅰ推导过程我们试着用牛顿的思路，完全用开普勒第三定律本身，变形出牛顿的万有引力公式。
首先给出开普勒第三定律：R3T 2 =K （1） R 为平均轨道半径，T 为环绕周期因为T=2πR V，代入公式（1）得 V 2·R=4π2K （2） 我们把变量放等号左边，常量放等号右面牛顿看到公式（2）后，肯定会想到向心加速度的公式 V 2R=a 然后让公式（2）的左边变成V 2R，公式（2）等式两边同除以R 2,公式变换V 2R=4π2K R 2 （3） 牛顿创造的力学的核心是F=ma ，他必定要把公式（3）的等号左边化成F,即V 2R·m 的形式。
所以公式（3）变两边同乘以m （m 可以是太阳系行星的质量）变换为：m·V2R=4π2K·mR2（4）接下来的变换是最为神奇和关键的一步，当牛顿看见公式（4）中“4π2K”时，觉得这个数值很大很大。
在牛顿时代之前，人们已经知道，k的大小只取决于中心天体，而是和绕行天体无关的常数。
人们也已经粗略的知道，中心天体越大，这个K值就越大，两者可能是成正比的。
牛顿顺着这些前人的思路，做出了一个非常大胆的假设，或者说是猜测，他猜测“4π2K”就是中心天体的质量，但他随后马上发现“4π2K”和质量的单位两者不相同，于是为了单位的平衡，牛顿认为需要加入了一个“带单位的常量”，它就是后来人们所熟悉的万有引力常数G。
至此，牛顿按照自己的意愿，人为的规定：MG=4π2K ,其中M是中心天体的质量。
把它代入公式（4）公式（4）变换为：m·V2R=GM·mR2（5）F=ma= m·V2R=GM·mR2公式（5）就是我们熟知的万有引力公式。
我们回顾和总结一下整个过程，从公式（1）（开普勒第三定律）到公式（4）只是普通的公式变换，公式（4）到公式（5），MG为什么可以替代“4π2K”，牛顿没有给出任何可信或可验证的证据。
开普勒三定律与万有引力定律
开普勒三定律与万有引力定律一、开普勒三定律1、开普勒三定律图示:2、开普勒三定律的理解和应用（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
（3）开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
（4）从动力学角度和能量角度理解第二定律二、万有引力定律1．万有引力定律内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
2．万有引力定律公式：F＝Gm1m2r2，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.（称为为有引力恒量，由卡文迪许扭称实验测出）。
3．万有引力定律适用条件：①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点r应为两物体重心间的距离。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1kg的两个质点相距1m时相互作用的万有引力。
4.对万有引力定律的进一步理解（1）当两物体为均质球体或均质球层时，可以认为均质球体或均质球层的质量集中于球心，r表示两球心间的距离，引力的方向沿两球心的连线。
（2）当两物体相隔甚远时，两物体可当做质点，则公式中r 为两质点间的距离。
（3）当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力，然后求合力。
(4)两个推论①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝GM′mr2.*开普勒三定律与万有引力定律知识点：1)开普勒第二定律知，太阳和行星的连线在相等的时间里扫过的面积相等，取足够短的时间Δt，则有：va·Δt·a ＝vb·Δt·b，所以vb＝abva.2)开普勒第三定律3木2木＝3地2地，得木星与地球绕太阳运动的周期之比T木T地＝R\o\al(3木3地)，线速度v＝2πRT3)重力和地球的万有引力大小相等。
证明开普勒第三定律
证明开普勒第三定律简介开普勒第三定律是描述行星运动规律的基本定律之一，它表明行星公转周期的平方与它们离太阳平均距离的立方成正比。
本文将详细探讨该定律的证明过程。
开普勒第三定律的表述根据开普勒第三定律，一个行星绕太阳公转的周期的平方与该行星到太阳的平均距离的立方成正比。
数学上可以表示为：T2=k×r3其中，T表示行星的公转周期，r表示行星到太阳的平均距离。
k是一个常数，与太阳质量无关。
证明过程为了证明开普勒第三定律，我们需要借助牛顿引力定律和运动学的知识。
第一步：牛顿引力定律牛顿引力定律表明，两个物体间的引力与它们的质量和距离有关。
对于太阳和行星之间的引力，可以表示为：F=G×M×mr2其中，F表示引力大小，G是万有引力常数，M是太阳的质量，m是行星的质量，r 是太阳和行星之间的距离。
第二步：行星公转的运动学根据牛顿运动定律，行星的运动满足以下方程：F=m×v2r其中，v表示行星公转的速度。
将牛顿引力定律代入上式，得到：G×M×mr2=m×v2r整理后可得：v2=G×M r第三步：行星公转周期的求解根据运动学的知识，行星的公转周期可以表示为：T=2π×r v将v2的表达式代入上式，得到：T=2π×r√G×Mr将√G×Mr 简写为√kr，则上式可以进一步简化为：T=2π×r×√r√k将r简写为r3/2，则上式可以进一步简化为：T=2π×√r3√k即：T2=4π2k×r3与开普勒第三定律的表述相吻合。
总结通过上述推导，我们证明了开普勒第三定律的正确性。
这个定律描述了行星的公转周期与它们离太阳的距离之间的定量关系，为我们理解和研究行星运动提供了重要的依据。
开普勒第三定律不仅在天文学中有着重要的应用，也为我们对宇宙的探索和认识提供了有力支持。
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万有引力推导开普勒定律
万有引力定律的阐明：
任意两个质点由通过连心线方向上的力相互吸引。
该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
开普勒定律的阐明：
①椭圆定律:所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
②面积定律:行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
③所有行星绕太阳一周的恒星时间()的平方与它们轨道长半轴(ai)的立
方成比例，即
一、开普勒第二定律导引：
由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。
用方程式表示为：
；
其中，是太阳作用于行星的万有引力、是行星的质量、是太阳的质量、是行星相对于太阳的位移向量、是的单位向量。
牛顿第二定律声明：物体受力后所产生的加速度，和其所受的浮力成正比，
和其质量成反比。
用方程式表示：。
合并这两个方程式：
(1)
思考位置向量，随时间微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：
在这里，我们用到了单位向量微分方程式：
，。
（2）
合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式：
取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：
，(3)。
(4)
导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。
试想行星的角动量。
由于行星的质量是常数，角动量随时间的导数为：。
角动量也是一个运动常数，即使距离与角速度都可能会随时间变化。
从时间到时间扫过的区域：。
行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间。
所以，开普勒第二定律是正确的。
二、开普勒第一定律导引：
设定。
这样，角速度是：。
随时间微分与随角度微分的关系为：。
随时间微分径向距离：。
再微分一次：。
代入径向运动方程式 (3) 得：
，。
将此方程式除以，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程式来描述行星轨道：。
特征方程式为：。
求解剩余的常系数齐次线性全微分方程式，。
其特解方程式为
；
这里，与都是任意积分常数。
综合特征方程式与特解方程式得：。
选择坐标轴，让。
代回得：。
假若，则所描述的是椭圆轨道。
所以，开普勒第一定律是正确的。
三、开普勒第三定律导引：
在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。
假若我们接受牛顿运动定律。
试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧呈圆形，轨道半径为。
那么，太阳作用于行星的万有引力
为。
行星移动速度为。
依照开普勒第三定律，这速度
与半径的平方根成反比。
所以，万有引力。
猜想这大概是牛顿
发现万有引力定律的思路，虽然我们并不能完全确定，因为我们无法在他的计算本裡，找到任何关于这方面的证据。
行星环绕太阳（焦点 F1 ）的椭圆轨道。
开普勒第一定律阐明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。
椭圆的面积是；这里，与分别为椭圆的半长轴与半短轴。
在开普勒第二定律导引里，行星
－太阳连线扫过区域速度为：。
所以，行星公转周期为：。
(5)
关于此行星环绕太阳，椭圆的半长轴，半短轴与近拱距（近拱点 A 与引力中心之间的距离），远拱距（远拱点 B 与引力中心之间的距离）的关系分别为：
，(6)。
(7)
如果想要知道半长轴与半短轴，必须先求得近拱距与远拱距。
依据能量守恒定律：。
在近拱点 A 与远拱点 B，径向速度都等于零：。
所以：。
稍为加以编排，可以得到的一元二次方程式：。
其两个根分别为椭圆轨道的近拱距与远拱距
；。
代入方程式 (6) 与 (7) ，。
代入方程式 (5) ，周期的方程式为。