常微分 用万有引力定律推导开普勒三定律
从开普勒的三大定律到牛顿的万有引力定律及其应用
从开普勒的三大定律到牛顿的万有引力定律及其应用
机15 010645 谢贤仕
学习理论力学，不是为了学术而学术，就好像赚着了钱一定要把它花出去一样，才能保持生产与消费的平衡，才能享受创造与享受的快乐，才真正有利于社会的发展，才真正有利于个人的健康，至少是精神上的健康。所以本文着重写的是力学在天文学上的应用，是在人类文明发展史上有过极其重要的作用，甚至现在，也是天文学上认识宇宙，发现规律的基本出发点。 -----前记
开普勒的三大定律
德国天文学家开普勒在哥白尼地动学说的影响下，在前人收集的大量关于行星运动的资料的基础上，经过仔细分析、整理和推算，总结出行星运动的三条运动学规律，即开普勒三定律。
第一定律(轨道定律)：一切行星都沿各自的椭圆轨道运行，太阳在该椭圆的一个焦点上。
第二定律(面积定律)：对任何一个行星，它和太阳连线在相等的时间内总是扫过相等的面积。
第三定律(周期定律)：每个行星的椭圆轨道是半长轴的立方跟公转周期
行的椭圆轨道与圆轨道相近，当把行星轨道近似当做圆时，公式中的a
即为圆半径。
开普勒确立的三定律为牛顿创立他的天体动力学理论奠定的实验基础，同时，开普勒也是最早用数学公式表达物理规律并获得成功的人之一，从他所在的时代开始，数学方程就成为表达物理规律的基本方式。
万有引力定律的推导
地球及其它行星的公转轨道近似于圆，行星的运动可看成以太阳为中心的匀速圆周运动。设想行星做圆周运动的向心力就是太阳对行星的吸引力，若行星质量为m，公转周期为T，轨道半径为r，由牛顿第二定律可得
此式说明太阳对行星的引力与它们间的距离平方成反比，与该行星的质量成正比，式中的μ，各个行星都相等，它是一个与行星无关，只与太阳性质有关的常量。
牛顿力学中的万有引力与开普勒行星运动定律
牛顿力学中的万有引力与开普勒行星运动定
律
牛顿力学是经典力学的基础，由英国物理学家艾萨克·牛顿在
17世纪末提出。其中，万有引力定律和开普勒行星运动定律是牛
顿力学中的两个重要理论，它们对我们理解宇宙的运动方式和天
体之间的相互作用具有重要意义。
一、万有引力定律
万有引力定律是牛顿力学的基石，它描述了天体间的引力作用。根据该定律，任何两个物体之间的引力都与它们的质量成正比，
与它们之间的距离的平方成反比。具体表达式为：
F =
G * (m1 * m2) / r^2
在公式中，F代表物体之间的引力，G为引力常数，m1和m2
分别代表两个物体的质量，r表示它们之间的距离。
根据万有引力定律，我们可以解释地球围绕太阳的运动、卫星
绕行星的运动等天体现象。例如，地球绕太阳运动的轨道近似为
椭圆形，而不是圆形，这正是万有引力的结果。另外，万有引力
还可以解释为什么质量较大的物体具有较强的引力，以及为什么
离心力和向心力在运动中平衡。
二、开普勒行星运动定律
开普勒行星运动定律是基于天文观测数据总结出的经验规律，
由德国天文学家约翰内斯·开普勒在17世纪初提出。这些定律描述了行星围绕太阳运动的规律，对宇宙中的天体运动具有重要意义。
第一定律，也称为椭圆轨道定律，表明行星的轨道近似为椭圆形，太阳处于椭圆的一个焦点上。
第二定律，也称为面积定律，指出在相同时间内，行星与太阳
连线所扫过的面积相等。这意味着行星在离太阳较远的轨道上运
动较慢，在离太阳较近的轨道上运动较快。
第三定律，也称为调和定律，根据行星轨道的长短轴、周期的
关系，可以推导出具体的数学表达式。这个定律表明，行星公转
开普勒第三定律公式
开普勒第三定律公式
开普勒第三定律是天体运动定律中的一个重要定律，它描述了行星围绕恒星的
运动规律。该定律由德国天文学家开普勒于17世纪提出，它被广泛应用于天文学
和天体力学的研究中。
定律描述
开普勒第三定律也被称为“开普勒定律之三”或者“行星定律之三”，它的数学描
述如下：
T^2 = k * r^3
其中，T表示行星绕恒星一周所需的时间（周期），r表示行星和恒星之间的
平均距离（半长轴），k是一个常量。
定律的意义
开普勒第三定律的公式描述了行星运动的周期和距离的关系。通过观测行星绕
恒星的周期和距离，我们可以计算出这个恒星和行星系统的质量。这对于研究宇宙中的天体运动和结构非常重要。
开普勒第三定律也为我们认识宇宙的基本规律提供了重要线索。根据这个定律，我们可以推断出其他星系中的恒星和行星的运动规律，进一步探索宇宙的奥秘。
定律的推导
开普勒第三定律的推导过程涉及到牛顿的万有引力定律和二体问题的分析。在
此我们给出一个简化的推导：
考虑一个行星绕恒星轨道的二体问题，根据万有引力定律，有如下关系：
F =
G * (m1 * m2) / r^2
其中，F是恒星对行星的引力，G是万有引力常量，m1和m2分别是恒星和
行星的质量，r是两者之间的距离。
根据牛顿第二定律，可得：
F = m2 * a
其中，a是行星所受到的加速度。
将以上两个方程联立，消去F，我们可以得到：
m2 * a = G * (m1 * m2) / r^2
化简后得到：
a = G * m1 / r^2
上式表示行星绕恒星运动时的加速度大小。
根据牛顿第三定律，行星和恒星之间的引力大小相等，方向相反。因此，行星所受到的向心力等于行星的质量乘以加速度：
万有引力定律和开普勒三定律的互相推导
������ ⃗=
⃗ ������ 2 ������ ������������ 2
= (������̈ − r������̇ 2 )������ ⃗⃗⃗⃗ 0
(3)
(3)表明了行星在任意位置的加速度方向（也就是受力方向）都在矢径那条 直线上。 把椭圆的极坐标方程变为 ������ = ������(1 + ������������������������������) 对上式方程两边求二阶导，可得： ������̈ − ������������̇ 2 0 = ������̈ = ∙ ������ + ������������̇ 2 ������ 所以 ������̈ − ������������̇ 2 = −
从开普勒三定律推导万有引力定律
开普勒第一定律：行星围绕太阳的运动轨迹是一个椭圆，太阳在椭圆的一个 焦点上。 ������ = ������ 1 + ������������������������������
������2 ������
上式为椭圆的极坐标方程。 这里������ =
是焦参数， ������ = √1 −
̇) (������ 2 ������ ������ 2
2
∙ =−
������
1
4������2 ������2 ������2 ������ 2
∙
高一物理§ 5.1万有引力定律及引力常量的测定鲁教版知识精讲
高一物理§ 5.1万有引力定律及引力常量的测定鲁教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
§ 5.1万有引力定律及引力常量的测定
二. 知识重点：
1、了解开普勒天文三定律的内容，并能写出第三定律的代数式。
2、了解万有引力定律得出的思路和过程。
3、理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律。
4、了解卡文迪许实验装置及其原理，知道引力常量的数值及其意义。
三. 知识难点：
1、掌握天体运动的演变过程，熟记开普勒三定律。
2、能够推导万有引力定律，并用万有引力定律推导开普勒第三定律。
3、用万有引力定律进行计算。
4、万有引力与重力关系，重力加速度的计算
（一）行星运动的规律
1、地心说：认为地球是宇宙中心，任何星球都围绕地球旋转。该学说最初由古希腊学者欧多克斯提出，后经亚里士多德、托勒密进一步发展而逐渐建立和完善起来。尽管它把地球当作宇宙中心是错误的，然而它在特定的历史时期是有着重要的意义的。
2、日心说：认为太阳是宇宙的中心，地球和其他行星都绕太阳转动。日心说最早于十六世纪，由波兰天文学家哥白尼提出。哥白尼认为，地球不是宇宙的中心，而是一颗普通行星，太阳才是宇宙的中心，一年的周期是地球每年绕太阳公转一周的反映。日心说是天文学上的一次巨大革命。但哥白尼的日心说也有缺点和错误，这就是：（1）太阳是宇宙的中心，实际上，太阳只是太阳系中的一个中心天体，不是宇宙的中心；（2）沿用了行星在圆形轨道做匀速圆周运动的旧观念，实际上行星轨道是椭圆的，速度的大小也不是恒定的。
地心说和日心说的共同点：天体的运动都是匀速圆周运动。
高中物理：万有引力定律
高中物理：万有引力定律
1、万有引力定律
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。
其中m1、m2是两个质点的质量，r为两质点间的距离，G是万有引力常量，数值为：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。（万有引力常量是英国物理学家卡文迪许首先测量出的）。
G在数值上等于：质量都是1kg的物体，在相距1m时的相互作用力的大小等于6. 67×10－11N。
2、万有引力定律的使用条件
①万有引力定律适用于质点间的相互作用，表达式中的r是两个质点间的距离。
②两个质量分布均匀的球体间的相互作用也可以用万有引力定律的表达式来计算，其中应把r理解为两个球心的距离。例如：我们可以把地球看作各层质量均匀分布的球体，所以地面上质量为m的物体所受地球的引力可以表示为F=GMm/R2，式中M和R分别表示地球的质量和地球的半径。
③一般质量很小的物体之间的引力十分微小，特别是在研究微观粒子时，万有引力一般忽略不计。
辨析：由万有引力定律公式可知，当时，。这个结论对吗？
答：这个结论不对！
万有引力定律公式只适用于求两个质点（或两个物体均可视为质点）之间的万有引力（若两个物体不能视为质点，则要将它们分割成许多小块（质点），然后用此式去计算每一对小块间的引力，最后将其中一个物体所受的各个引力进行矢量合成）。
既然，就不能将两个物体视为质点了！所以我们不能将物理
问题纯数学化！
3、万有引力定律的推导
向心力公式→用周期表示的向心力公式→吸引力提供向心力→吸引力是相互的。
万有引力公式推导
万有引力公式推导
万有引力定律的推导以开普勒第三定律作为已知条件，开普勒第三定律r/T=C(C是常数)，推导得F=GMm/r，引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
万有引力的科学意义
万有引力定律的辨认出，就是17世纪自然科学最了不起的成果之一。它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了出来，对以后物理学和天文学的发展具备深刻的影响。它第一次表述了（自然界中四种相互作用之一）一种基本相互作用的规律，在人类重新认识自然的历史上践行了一座里程碑。
万有引力定律揭示了天体运动的规律，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。它为实际的天文观测提供了一套计算方法，可以只凭少数观测资料，就能算出长周期运行的天体运动轨道，科学史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现，都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。利用万有引力公式，开普勒第三定律等还可以计算太阳、地球等无法直接测量的天体的质量。牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的潮汐现象。他依据万有引力定律和其他力学定律，对地球两极呈扁平形状的'原因和地轴复杂的运动，也成功的做了说明。推翻了古代人类认为的神之引力。
对文化发展存有重大意义：并使人们创建了用能力认知天地间的各种事物的信心，革命了人们的思想，在科学文化的发展史上出了积极主动的促进促进作用。
从万有引力定律推导开普勒第三定律
从万有引力定律推导开普勒第三定律
在“万有引力与航天”这章中，第一节介绍了行星的运动的规律，即著名的开普勒三大定律，其中第三条是这样的表述的：“所有行星的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方比值都相等”。写成等式：
其中k是一个对所有行星都相同的常量，并且只与中心天体有关，也就是与太阳有关。在中学阶段，我们把行星的轨道按圆轨道处理，定律中的“半长轴”也就修改为“半径r”。
在之后的万有引力定律的学习过程中，如在第四节“万有引力理论的成就”中，计算天体质量这一部分内容里面，有关于对太阳的质量的求解，具体过程是：
设M是太阳的质量，m是绕太阳做匀速圆周运动的的某个行星的质量，r是行星到太阳中心的距离，T是行星绕太阳的公转周期，那么由于行星做匀速圆周运动，那么它需要的向心力由太阳对它的万有引力提供。写成等式：
从而得出太阳的质量：
如果测出行星公转周期T和它到太阳的距离r，就可以算出太阳的质量了。
现在，我们把上面的式子整理得：
令常量等于k，于是有：
证毕
开普勒第三定律的推导过程
开普勒第三定律的推导过程天文单位（英文：Astronomical Unit，简写AU）是一个长度的单位，约等于地球跟太阳的平均距离
万有引力定律是用开普勒第三定律导出的，因此不能再用万有引力定律来推导开普勒第三定律，循环论证是不严谨的。开普勒第三定律是开普勒根据第谷的观测数据来计算出来的，没有见过推导，推导过程只能是与万有引力定律的联系，不能叫推导。
把星球作的运动看成匀速圆周运动。这时，万有引力提供向心力。用质量、角速度、轨道半径表示出向心力，这样就可以写出一个方程.再将方程中的角速度用周期、圆周率表示。再用绕同一中心天体运的星体列一个方程，两式相比就可证明开普勒第三定律：
万有引力
（1）
向心力
（2）
（1）=（2），求出
（3）又
（4）
将（3）代入（4）即可
R为运行轨道半径，
T=行星公转周期，常数
这种方法只局限于匀速圆周运动的轨道模型，但现实中的星体运动的轨道都为椭圆，于是便有以下推导：
利用微元，矢径R在很小的Δt时间内，扫过面积为ΔS，矢径R与椭圆该点的切线方向夹角为α，椭圆的弧长为ΔR。在Δt→0时，扫过面积可以看作为三角形，R为半长轴
面积速度为
各行星绕太阳运行周期为T
设椭圆半长轴为a、半短轴为b、太阳到椭圆中心的距离为c
则行星绕太阳运动的周期
选近日点A和远日点B来研究，由ΔS相等可得
从近日点运动到远日点的过程中，根据机械能守恒定律得：
得：
，由几何关系得：
，
，
所以
整理得
水星0.998 ，金星0.995 ，地球1，火星0.996，木星0.994，土星0.990 ，天王星1.00 ，海王星0.990。
由万有引力定律推导开普列三定律
由万有引力定律推导开普列三定律
——————《牛顿定律及万有引力》1，牛顿定律定义
牛顿运动定律包含以下三个定律：
牛顿第一运动定律：
孤立质点保持静止或做匀速直线运动；用公式表示为：
，
式中为合力，为速度，为时间。
牛顿第二运动定律：
动量为的质点，在外力的作用下，其动量随时间的变化率同该质点所受的外力成正比，并与外力的方向相同；用公式表达为：。根据动量的定义，
。
若质点的质量不随时间变化（即），则质点运动的加速度的大小同作用在该质点上的外力的大小成正比，加速度的方向和外力的方向相同；用公式表达为：
。
牛顿第三运动定律：
相互作用的两个质点之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上；
用公式表达为：（式中表示质点受到的质点的作用力，表示质受到的质点的反作用力）。
开普列定律定义
开普勒在《宇宙谐和论》上的原始表述：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。
常见表述：
绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方（ ）跟它的公转周期的二次方（ ）的比值都相等，即，（其中M 为中心天体质量，k 为开普勒常数，这是一个只与被绕星体有关的常量[2] ，G 为引力常量，其2006年国际推荐数值为
）不确定度为。
2，推导过程
万有引力定律是用开普勒第三定律导出的，因此不能再用万有引力定律来推导开普勒第三定律，循环论证是不严谨的。开普勒第三定律是开普勒根据第谷的观测数据来计算出来的，没有见过推导，推导过程只能是与万有引力定律的联系，不能叫推导。
所以由万有引力定律推导开普勒第三定律 推导过程是逆历史发展顺序的。
专题06 开普勒三定律及万有引力定律——教师版
专题6开普勒三定律及万有引力定律（教师版）
一、目标要求
目标要求重、难点开普勒三定律重点万有引力定律的基本概念重点万有引力与重力的关系
重难点
二、知识点解析
1.开普勒三定律
（1）开普勒第一定律：又称轨道定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
（2）开普勒第二定律：又称面积定律，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等S AB =S CD =S EK.
（3）开普勒第三定律：又称周期定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等．用公式表示：
3
2
a k T ，其中比例常数k 与行星无关只与太阳有关．（4）对开普勒三定律的理解
①开普勒三定律是实验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，主要是从运动学的角度描述了行星绕太阳的运动规律．
②开普勒三定律否定了天体运行的圆轨道想法，建立了正确的行星轨道理论；它还指出行星绕太阳运
行时远日点速率小，近日点速率大；开普勒第三定律提示了周期和轨道半径的关系，该定律具有普遍性，后面将学到的人造卫星也涉及相似的常数，此常数与卫星无关，只与地球质量有关．
2．万有引力定律(1)推导过程：
①简化轨道：把实际的椭圆轨道看成是圆形轨道，天体做匀速圆周运动．②圆周运动条件：引力
向F F =，即2
v F m r
=．
③开普勒定律的运用由于2π=r v T ，则22
22π1(4π==⋅r r F m m T r T
3
22'22224π()4π===r m m m k k T r r r ，其中
32r k T
牛顿万有引力公式其实就是开普勒第三定律
牛顿万有引力公式其实就是开普勒第三定律
Ⅰ推导过程
我们试着用牛顿的思路，完全用开普勒第三定律本身，变形出牛顿的万有引力公式。
首先给出开普勒第三定律：
R
3
T 2 =K （1） R 为平均轨道半径，T 为环绕周期
因为T=2πR V
，代入公式（1）得 V 2·R=4π2K （2） 我们把变量放等号左边，常量放等号右面
牛顿看到公式（2）后，肯定会想到向心加速度的公式 V 2R
=a 然后让公式（2）的左边变成V 2R
，公式（2）等式两边同除以R 2,公式变换
V 2R
=4π2K R 2 （3） 牛顿创造的力学的核心是F=ma ，他必定要把公式（3）的等号左边
化成F,即V 2R
·m 的形式。 所以公式（3）变两边同乘以m （m 可以是太阳系行星的质量）变换为：
m·V2
R
=
4π2K·m
R2
（4）
接下来的变换是最为神奇和关键的一步，当牛顿看见公式（4）中“4π2K”时，觉得这个数值很大很大。在牛顿时代之前，人们已经知道，k的大小只取决于中心天体，而是和绕行天体无关的常数。
人们也已经粗略的知道，中心天体越大，这个K值就越大，两者可能是成正比的。牛顿顺着这些前人的思路，做出了一个非常大胆的假设，或者说是猜测，他猜测“4π2K”就是中心天体的质量，但他随后马上发现“4π2K”和质量的单位两者不相同，于是为了单位的平衡，牛顿认为需要加入了一个“带单位的常量”，它就是后来人们所熟悉的万有引力常数G。至此，牛顿按照自己的意愿，人为的规定：
MG=4π2K ,其中M是中心天体的质量。把它代入公式（4）公式（4）变换为：
万有引力定律推导开普勒三定律
万有引力定律推导开普勒三定律
万有引力定律是指两个物体之间的引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。而开普勒三定律描述了行星围绕太阳运动的规律。
那么，如何用万有引力定律推导出开普勒三定律呢？
首先，考虑一个行星绕太阳运动的情况。根据万有引力定律，太阳和行星之间的引力为：
F =
G * M1 * M2 / r^2
其中，G是万有引力常数，M1是太阳的质量，M2是行星的质量，r是太阳和行星之间的距离。
由于行星绕太阳运动是一个圆形轨道，因此，我们可以将行星的运动分解为两个正交方向的分量：径向分量和切向分量。径向分量指的是行星运动方向与太阳之间的连线方向，切向分量指的是行星运动方向的垂线方向。
根据牛顿第二定律，行星的运动加速度可以表示为：
a = F / M2
将上式代入万有引力定律中，得到：
a = G * M1 / r^2
其中，M2已经被消去了。
根据圆形运动的几何关系，我们可以发现，行星的加速度大小就等于它所受到的向心加速度大小，即：
a = v^2 / r
其中，v是行星的运动速度。
将上式代入上面得到的等式中，解得：
v^2 = G * M1 / r
这就是开普勒第一定律，也就是说，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
接下来，我们考虑开普勒第二定律，即行星在椭圆轨道上的运动速度与它距离太阳的距离的平方成反比。根据万有引力定律，行星所受到的引力大小为：
F =
G * M1 * M2 / r^2
根据牛顿第二定律，行星的运动加速度为：
a = F / M2
将上式代入上面得到的等式中，解得：
开普勒三大定律公式的推导
开普勒三大定律公式的推导
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
开普勒三大定律是描述行星运动规律的重要定律，它们为现代天文学的发展奠定了基础。这三大定律分别是第一定律：行星运动轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上；第二定律：行星在它们的轨道上等面积运动，即行星与太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积；第三定律：行星轨道的平方周期与它们轨道长半轴的立方成正比。本文将对开普勒三大定律的推导过程进行详细描述。
我们从第一定律开始推导。根据椭圆的定义，椭圆是一个平面上的点到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。假设行星在太阳周围运动，我们取太阳为椭圆的一个焦点。设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，根据椭圆的定义可知，行星到太阳的距离之和为常数。即可得椭圆方程：
r = \frac{p}{1+e\cos\theta}
这里，r为行星到太阳的距离，p为焦点到行星的距离，e为椭圆的离心率，\theta为行星与近日点的角度。
接下来，我们来推导第二定律。根据第二定律的描述，行星在它们的轨道上等面积运动，即行星与太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积。这意味着在相等的时间间隔内，等面积扫过的弧长相等。我
们知道，扫过的面积等于扇形的面积减去三角形的面积。假设在时间t 内，太阳至行星的连线扫过了角度\Delta\theta。根据三角形求面积的公式可得：
扫过的面积为：
A = \frac{1}{2}p^2\int_0^t \sin(\frac{2\pi}{T}t')dt'
这里T为行星的轨道周期。根据积分的性质，可知这是一个等面积扫描的过程。根据等面积扫描的性质，我们可以证明第二定律的成立。
常微分 用万有引力定律推导开普勒三定律
万有引力推导开普勒定律
万有引力定律的阐明：
任意两个质点由通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
开普勒定律的阐明：
①椭圆定律:所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
②面积定律:行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
③所有行星绕太阳一周的恒星时间()的平方与它们轨道长半轴(ai)的立
方成比例，即
一、开普勒第二定律导引：
由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。用方程式表示为：
；
其中，是太阳作用于行星的万有引力、是行星的质量、是太阳的质量、是行星相对于太阳的位移向量、是的单位向量。
牛顿第二定律声明：物体受力后所产生的加速度，和其所受的浮力成正比，
和其质量成反比。用方程式表示：
。
合并这两个方程式：
(1)
思考位置向量，随时间微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：
在这里，我们用到了单位向量微分方程式：
，
。（2）
合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式：
取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：
，(3)
。(4)
导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的角动量。由于行星的质量是常数，角动量随时间的导数为：
。
角动量也是一个运动常数，即使距离与角速度都可能会随时间变化。从时间到时间扫过的区域：
。
行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间。
所以，开普勒第二定律是正确的。
二、开普勒第一定律导引：
设定。这样，角速度是：
开普勒定律推导万有引力定律
开普勒定律推导万有引力定律
标题：开普勒定律的推导与万有引力定律的关系
简介：本文将从开普勒定律入手，推导出万有引力定律，并探讨它们之间的关系和重要性。
正文：
开普勒定律是描述天体运动规律的基本原理，而万有引力定律则是质点间相互作用力的基本规律。本文将通过推导的方式展示开普勒定律如何导致万有引力定律，并解释它们之间的关系和重要性。
首先，我们来看看开普勒第一定律，也称为椭圆轨道定律。它表明，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，而太阳位于椭圆的一个焦点上。这个定律告诉我们天体运动轨迹的形状，并为后面的推导奠定基础。
接下来，我们将研究开普勒第二定律，也称为面积速度定律。它指出，行星在相同时间内扫过的面积是相等的。换句话说，行星在离
太阳近的位置运动速度较快，而在离太阳远的位置运动速度较慢。这个定律揭示了行星运动速度与距离的关系。
最后，我们来探讨开普勒第三定律，也称为调和定律。它指出，天体绕太阳运动的周期的平方与其椭圆轨道的长轴长度的立方成正比。这个定律告诉我们行星的运动周期与距离的关系，从而揭示了行星间的普遍规律。
现在我们将通过这些开普勒定律来推导万有引力定律。根据开普勒第三定律，我们知道行星绕太阳运动的周期与其距离的关系。而根据牛顿的第二定律，运动物体所受的力与加速度成正比。因此，我们可以推断出行星绕太阳运动所受的力与距离的关系。
根据这个推断，我们可以假设存在一个与行星质量和距离相关的力，即万有引力。这个力的大小与行星质量成正比，与距离的平方成反比。这样，我们就得到了万有引力定律，它描述了质点间相互作用力的规律。
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万有引力推导开普勒定律
万有引力定律的阐明：
任意两个质点由通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
开普勒定律的阐明：
①椭圆定律:所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
②面积定律:行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
③所有行星绕太阳一周的恒星时间()的平方与它们轨道长半轴(ai)的立
方成比例，即
一、开普勒第二定律导引：
由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。用方程式表示为：
；
其中，是太阳作用于行星的万有引力、是行星的质量、是太阳的质量、是行星相对于太阳的位移向量、是的单位向量。
牛顿第二定律声明：物体受力后所产生的加速度，和其所受的浮力成正比，
和其质量成反比。用方程式表示：
。
合并这两个方程式：
(1)
思考位置向量，随时间微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：
在这里，我们用到了单位向量微分方程式：
，
。（2）
合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式：
取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：
，(3)
。(4)
导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的角动量。由于行星的质量是常数，角动量随时间的导数为：
。
角动量也是一个运动常数，即使距离与角速度都可能会随时间变化。从时间到时间扫过的区域：
。
行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间。
所以，开普勒第二定律是正确的。
二、开普勒第一定律导引：
设定。这样，角速度是：
。
随时间微分与随角度微分的关系为：
。
随时间微分径向距离：
。
再微分一次：
。
代入径向运动方程式 (3) 得：
，
。
将此方程式除以，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程式来描述行星轨道：
。
特征方程式为：
。
求解剩余的常系数齐次线性全微分方程式，
。
其特解方程式为
；
这里，与都是任意积分常数。综合特征方程式与特解方程式得：
。
选择坐标轴，让。代回得：
。
假若，则所描述的是椭圆轨道。
所以，开普勒第一定律是正确的。
三、开普勒第三定律导引：
在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。假若我们接受牛顿运动定律。试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧呈圆形，轨道半径为。那么，太阳作用于行星的万有引力
为。行星移动速度为。依照开普勒第三定律，这速度
与半径的平方根成反比。所以，万有引力。猜想这大概是牛顿
发现万有引力定律的思路，虽然我们并不能完全确定，因为我们无法在他的计算本裡，找到任何关于这方面的证据。
行星环绕太阳（焦点 F1 ）的椭圆轨道。
开普勒第一定律阐明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。椭圆的面积是；这里，与分别为椭圆的半长轴与半短轴。在开普勒第二定律导引里，行星
－太阳连线扫过区域速度为：
。
所以，行星公转周期为：
。(5)
关于此行星环绕太阳，椭圆的半长轴，半短轴与近拱距（近拱点 A 与引力中心之间的距离），远拱距（远拱点 B 与引力中心之间的距离）的关系分别为：
，(6)
。(7)
如果想要知道半长轴与半短轴，必须先求得近拱距与远拱距。依据能量守恒定律：
。
在近拱点 A 与远拱点 B，径向速度都等于零：
。
所以：
。
稍为加以编排，可以得到的一元二次方程式：
。
其两个根分别为椭圆轨道的近拱距与远拱距
；
。
代入方程式 (6) 与 (7) ，
。
代入方程式 (5) ，周期的方程式为
。