江苏中考数学热点专题练习函数综合问题

2023年中考苏科版数学一轮复习专题提优练习-一次函数和二次函数综合

2023年中考数学一轮复习专题提优练习一次函数和二次函数综合一、选择题1．二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与一次函数y 2＝mx +n 的图象如图所示，则满足ax 2+bx +c ＞mx +n 的x 的取值范围是（）A ．﹣3＜x ＜0B ．x ＜﹣3或x ＞0C ．x ＜﹣3D ．0＜x ＜3第1题第2题2．如图，直线y ＝kx +b 与直线y ＝mx 相交于点A （﹣1，2），与x 轴相交于点B （﹣3，0），则关于x 的不等式组0＜kx +b ＜mx 的解集为（）A ．x ＞﹣3B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．﹣1＜x ＜0D ．﹣3＜x ＜03．已知二次函数y=－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为（）A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或64．用列表法画二次函数y=x 2+bx+c 的图象时先列一个表，当表中自变量x 的值以相等间隔增加时，函数y 所对应的值依次为：20, 56, 110, 182, 274, 380, 506, 650. 其中有一个值不正确，这个不正确的值是（）A ．505B ．380C ．274D ．1825．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫作“整点”. 例如：P （1，0），Q （2，－2）都是“整点”. 抛物线y=mx 2－4mx+4m －2（m>0）与x 轴的交点为A ，B ，若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包含边界）恰有7个“整点”，则m 的取值范围是（）A ．121<≤m B ．121≤<m C ．1<m ≤2 D ．1≤m<26．四位同学在研究函数y=x 2+bx+c （b, c 是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x 2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4. 已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．根据关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0，可列表如下：则方程x 2+px +q ＝0的正数解满足（）x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x 2+px +q﹣15﹣8.75﹣2﹣0.590.842.29A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是28. 已知二次函数c bx x y ++=2中，函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：X … 0 1 2 3 … y…5212…点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在函数图象上，则当0<x 1<1，2<x 2<3时，y 1与y 2的大小关系正确性是（）A ．y 1≥y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1≤y 2二、填空题9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝．10．如图，在抛物线y 1＝ax 2（a ＞0）和和y 2＝mx 2+nx （m ＜0）中，抛物线y 2的顶点在抛物线y 1上，且与x 轴的交点分别为（0，0）（4，0），则不等式（a ﹣m ）x 2﹣nx ＜0的解集是．第9题第10题第11题第12题11．如图，二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为﹣4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是．12. 如图是抛物线y=c bx ax ++2(0≠a )的一部分，其对称轴为直线x=2，若其与x 轴的一个交点为B （5，0），则由图像可知，不等式02>++c bx ax 的解集是________. 13. 如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx +c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则方程ax 2＝bx +c 的解是__________________．第13题第14题14．已知点A （﹣2，0），点P 是直线y ＝x 上的一个动点，当以A ，O ，P 为顶点的三角形面积是3时，点P 的坐标为．15. 对于二次函数322-==mx x y ，有下列说法：①它的图像与x 轴有两个公共点；②如果当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=－1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为－3. 其中正确的说法是___________（把你认为正确说法的序号都填上）. 三、解答题16．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中点A （﹣1，0），点C （0，5），点D （1，8）都在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB 的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．17．如图①，将抛物线y ＝ax 2（﹣1＜a ＜0）平移到顶点恰好落在直线y ＝x ﹣3上，并设此时抛物线顶点的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式（用含a 、m 的代数式表示）（2）如图②，Rt △ABC 与抛物线交于A 、D 、C 三点，∠B ＝90°，AB ∥x 轴，AD ＝2，BD ：BC ＝1：2．①求△ADC 的面积（用含a 的代数式表示）②若△ADC 的面积为1，当2m ﹣1≤x ≤2m +1时，y 的最大值为﹣3，求m 的值．18．如图1，平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+4x 与x 轴交于O 、A 两点．直线y ＝kx +m 经过抛物线的顶点B 及另一点D （D 与A 不重合），交y 轴于点C ．（1）当OA ＝4，OC ＝3时．①分别求该抛物线与直线BC 相应的函数表达式；②连结AC ，分别求出tan ∠CAO 、tan ∠BAC 的值，并说明∠CAO 与∠BAC 的大小关系；（2）如图2，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接CE ．当a 为任意负数时，试探究AB 与CE 的位置关系？19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（﹣3，﹣12）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，若锐角∠PCO ＝∠ACO ，写出此时点P 的坐标；（3）若直线l ：y ＝kx （k ≠0）与线段BC 交于点D （不与点B ，C 重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B ，O ，D 为顶点的三角形与△BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由．20. 如图，抛物线y=ax ax 22（a<0）位于x 轴上方的图象记为F 1，它与x 轴交于P 1，O 两点，图象F 2与F 1关于原点O 对称，F 2与x 轴的另一个交点为P 2，将F 1与F 2同时沿x 轴向右平移P 1P 2的长度即可得F 5与F 6；……；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F 1，F 2，…，F n ，我们把这组图象称为“波浪抛物线”.（1）当a=－1时， ①求图象F 1的顶点坐标.②点H （2014，－3）________（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象F n 的顶点T n 的横坐标为201，则图象F n 对应的解析式为__________，其自变量x 的取值范围为_________.（2）设图象F m ，F m+1的顶点分别为T m ，T m+1（m 为正整数），x 轴上一点Q 的坐标为（12，0）.试探究：当a 为何值时，以O ，T m ，T m+1，Q 四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m 的值.21. 设二次函数)(2b a bx ax y +-+=（a ，b 是常数，a≠0）.（1）判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由.（2）若该二次函数图象经过A （－1，4），B （0，－1），C （1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.（3）若a+b<0，点P （2，m ）（m>0）在该二次函数图象上，求证：a>0.22. 如图所示，已知二次函数c bx x y ++-=2的图像经过点C （0，3），与x 轴分别交于点A.点B （3，0）.点D （n, y 1）.E （n+t ，y 2）.F （n+4，y 3）都在这个二次函数的图像上，其中0<t<4，连接DE.DF.EF ，记ΔDEF 的面积为S.（1）求二次函数c bx x y ++-=2的表达式；（2）若n=0，求S 的最大值，并求此时t 的值；（3）若t=2，当n 取不同数值时，S 的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n 的代数式表示S.23.如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）.C.H.N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．。

江苏省2020年中考数学选择填空压轴专题：《函数的几何综合问题》(含答案)

专题: 函数的几何综合问题例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝33x－33与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是____________．同类题型1.1 如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l 于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3＝B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2017等于（）A．24030B．24031C．24032D．24033同类题型1.2 如图，已知直线l：y＝33x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，128）B．（0，256）C．（0，512）D．（0，1024）同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x ＋1交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，过点A 作AB 1 ⊥AB 交x 轴于点B 1 ，过点B 1 作B 1A 1 ⊥x 轴交直线l 于点A 2 …依次作下去，则点B n 的横坐标为____________．例2．高速公路上依次有3个标志点A 、B 、C ，甲、乙两车分别从A 、C 两点同时出发，匀速行驶，甲车从A →B →C ，乙车从C →B →A ，甲、乙两车离B 的距离y 1 、y 2 （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A 、C 之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E 的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A 地前往B 地，甲车以a 千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a 千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B 地，比甲车早30分钟到达．到达B 地后，乙车按原速度返回A 地，甲车以2a 千米/时的速度返回A 地．设甲、乙两车与A 地相距s （千米），甲车离开A 地的时间为t （小时），s 与t 之间的函数图象如图所示．下列说法：①a ＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25；④当t ＝3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个同类题型2.2 甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象．则下列结论：（1）a ＝40，m ＝1；（2）乙的速度是80km/h ；（3）甲比乙迟74h 到达B 地；（4）乙车行驶94 小时或194小时，两车恰好相距50km ．正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4同类题型2.3 甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y （米）与甲出发的时间x （秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a ＝750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3．如图，已知动点P 在函数y ＝ 12x（x ＞0）的图象上运动，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：y ＝－x ＋1交于点E ，F ，则AF ﹒BE 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．12同类题型3.1 如图，在反比例函数y ＝ 32x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝ k x的图象上运动，若tan ∠CAB ＝2，则k 的值为（）A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12同类题型3.2 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点C 在线段AB 上，点D 在AB 的右侧，△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∠OAB ＝∠BCD ＝90°，若函数y ＝ 6x（x ＞0）的图象经过点D ，则△OAB 与△BCD 的面积之差为（） A ．12 B ．6 C ．3 D ．2同类题型3.3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y ＝ 1x 和y ＝ 9x在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝ 1x的图象于点C ，连结A C ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是___________．例4．如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ k x的图象交于点A （3，6）与点B ，且与y 轴交于点C ，若点P 是反比例函数y ＝ k x图象上的一个动点，作直线AP 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，连结BN 、CM ．若S △ACM ＝S △ABN ，则APAN的值为__________．同类题型4.1 当12 ≤x ≤2时，函数y ＝－2x ＋b 的图象上至少有一点在函数y ＝ 1x的图象下方，则b 的取值范围为（）A ．b ＞2 2B ．b ＜ 92C ．b ＜3D ．2 2＜b ＜ 92同类题型4.2 方程x 2＋3x －1＝0的根可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝ 1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x 2＋2x －1＝0的实数根x 0 所在的范围是（）A ．－1＜x 0 ＜0B ．0＜x 0 ＜1C ．1＜x 0 ＜2D ．2＜x 0 ＜3例5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－x 2＋2mx －m 2－m ＋1交y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ．当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH ＝∠AHO ，则m ＝__________．同类题型5.1 已知抛物线y ＝ 14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（ 3 ，3），P 是抛物线y ＝ 14x 2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6同类题型5.2 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3（a ≠0）经过点A （－1，0），B （ 32，0），且与y 轴相交于点C ．设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__________cm ．参考答案例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝ 33x － 33与x 轴交于点B 1 ，以OB 1 为边长作等边三角形A 1OB 1 ，过点A 1 作A 1B 2 平行于x 轴，交直线l 于点B 2 ，以A 1B 2 为边长作等边三角形A 2A 1B 2 ，过点A 2 作A 2B 3 平行于x 轴，交直线l 于点B 3 ，以A 2B 3 为边长作等边三角形A 3A 2B 3 ，…，则点A 2017 的横坐标是____________．解：由直线l ：y ＝33x －33 与x 轴交于点B 1 ，可得B 1 （1，0），D （0，－33），∴OB 1 ＝1，∠OB 1 D ＝30°，如图所示，过A 1 作A 1A ⊥OB 1 于A ，则OA ＝12OB 1＝12，即A 1 的横坐标为12＝21－12，由题可得∠A 1B 2B 1＝∠OB 1 D ＝30°，∠B 2A 1B 1＝∠A 1B 1 O ＝60°，∴∠A 1B 1B 2 ＝90°， ∴A 1B 2＝2A 1B 1 ＝2，过A 2 作A 2B ⊥A 1B 2 于B ，则A 1B ＝12A 1B 2 ＝1，即A 2 的横坐标为12＋1＝32＝22－12 ，过A 3 作A 3C ⊥A 2B 3 于C ，同理可得，A 2B 3＝2A 2B 2 ＝4，A 2C ＝12A 2B 3 ＝2，即A 3 的横坐标为12＋1＋2＝72＝23－12，同理可得，A 4 的横坐标为12＋1＋2＋4＝152＝24－12 ，由此可得，A n 的横坐标为2n－12 ，∴点A 2017 的横坐标是22017－12．同类题型1.1 如图，直线l ：y ＝x ＋1交y 轴于点A 1 ，在x 轴正方向上取点B 1 ，使OB 1＝OA 1 ；过点B 1 作A 2B 1 ⊥x 轴，交l 于点A 2 ，在x 轴正方向上取点B 2 ，使B 1B 2＝B 1A 2 ；过点B 2 作A 3B 2 ⊥x 轴，交l 于点A 3 ，在x 轴正方向上取点B 3 ，使B 2B 3＝B 2A 3 ；…记△OA 1B 1 面积为S 1 ，△B 1A 2B 2 面积为S 2 ，△B 2A 3B 3 面积为S 3 ，…则S 2017 等于（）A ．24030B ．24031C ．24032D ．24033解：∵OB 1＝OA 1 ；过点B 1 作A 2B 1 ⊥x 轴，B 1B 2＝B 1A 2；A 3B 2 ⊥x 轴，B 2B 3＝B 2A 3 ；… ∴△△OA 1B 1 ，△B 1A 2B 2 ，△B 2A 3B 3 是等腰直角三角形， ∵y ＝x ＋1交y 轴于点A 1 ， ∴A 1 （0，1）， ∴B 1 （1，0）， ∴OB 1＝OA 1 ＝1，∴S 1＝12×1×1＝12×12 ，同理S 2＝12×2×2＝12×22 ，S 3＝12×4×4＝12×42；…∴S n ＝12×22n －2＝22n －3 ，∴S 2017＝22×2017－3＝24031，选B ．同类题型1.2 如图，已知直线l ：y ＝ 33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1 ；过点A 1 作y 轴的垂线交直线l 于点B 1 ，过点B 1 作直线l 的垂线交y 轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，128） B．（0，256） C．（0，512） D．（0，1024）解：∵直线l的解析式为；y＝33x，∴l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO＝30°，∵OA＝1，∴OB＝2，∴AB＝ 3 ，∵A1B⊥l，∴∠ABA1＝60°，∴A1O＝4，∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…∴A4纵坐标为44＝256，∴A4（0，256）．选B．同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝33x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作AB1⊥AB交x轴于点B1，过点B1作B1A1⊥x轴交直线l于点A2…依次作下去，则点B n的横坐标为____________．解：由直线l ：y ＝33x ＋1交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，可得A （0，1），B （－ 3 ，0），∴tan ∠ABO ＝33，即∠ABO ＝30°， ∴BA ＝2AO ＝2，又∵AB 1 ⊥AB 交x 轴于点B 1 ，AO ＝1，∴AB 1＝233 ，∴Rt △BAB 1 中，BB 1＝433 ；由题可得BA 1＝83 ，∴A 1B 2＝893 ，∴Rt △BA 1B 2 中，BB 2＝1693 ；由题可得BA 2＝329 ，∴A 2B 3＝32273 ，∴Rt △BA 2B 3 中，BB 3＝64273 ，…以此类推，BB n ＝(43)n3 ，又∵BO ＝ 3 ，∴OB n ＝(43)n3－ 3 ，∴点B n 的横坐标为(43)n3－ 3 ．例2．高速公路上依次有3个标志点A 、B 、C ，甲、乙两车分别从A 、C 两点同时出发，匀速行驶，甲车从A →B →C ，乙车从C →B →A ，甲、乙两车离B 的距离y 1 、y 2 （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A 、C 之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E 的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．解：①450＋240＝690（千米）．故A、C之间的路程为690千米是正确的；②450÷5－240÷4＝90－60＝30（千米/小时）．故乙车比甲车每小时快30千米是正确的；③690÷（450÷5＋240÷4）＝690÷（90＋60）＝690÷150＝4.6（小时）．故4.6小时两车相遇，原来的说法是错误的；④（450－240）÷（450÷5－240÷4）＝210÷（90－60）＝210÷30＝7（小时），450÷5×7－450＝630－450＝180（千米）．故点E的坐标为（7，180）是正确的，故其中正确的有①②④．同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t＝3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解：①由函数图象，得a＝120÷3＝40故①正确，②由题意，得5.5－3－120÷（40×2），＝2.5－1.5，＝1．∴甲车维修的时间为1小时；故②正确， ③如图：∵甲车维修的时间是1小时， ∴B （4，120）．∵乙在甲出发2小时后匀速前往B 地，比甲早30分钟到达． ∴E （5，240）．∴乙行驶的速度为：240÷3＝80， ∴乙返回的时间为：240÷80＝3， ∴F （8，0）．设BC 的解析式为y 1＝k 1t ＋b 1 ，EF 的解析式为y 2＝k 2t ＋b 2 ，由图象，得 ⎩⎪⎨⎪⎧120＝4k 1＋b 1240＝5.5k 1＋b ，，⎩⎪⎨⎪⎧240＝5k 2＋b 20＝8k 2＋b 2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝80b 1＝－200 ，⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－80b 2＝640 ，∴y 1 ＝80t －200，y 2 ＝－80t ＋640，当y 1＝y 2 时，80t －200＝－80t ＋640， t ＝5.25．∴两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25小时，故弄③正确，④当t ＝3时，甲车行的路程为：120km ，乙车行的路程为：80×（3－2）＝80km ， ∴两车相距的路程为：120－80＝40千米，故④正确，选A ．同类题型2.2 甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象．则下列结论：（1）a ＝40，m ＝1；（2）乙的速度是80km/h ；（3）甲比乙迟74 h 到达B 地；（4）乙车行驶94 小时或194小时，两车恰好相距50km ．正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：（1）由题意，得m ＝1.5－0.5＝1． 120÷（3.5－0.5）＝40（km/h ），则a ＝40，故（1）正确；（2）120÷（3.5－2）＝80km/h （千米/小时），故（2）正确；（3）设甲车休息之后行驶路程y （km ）与时间x （h ）的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得 ⎩⎨⎧40＝1.5k+b 120＝3.5k+b解得：⎩⎨⎧k ＝40b ＝-20∴y ＝40x －20，根据图形得知：甲、乙两车中先到达B 地的是乙车，把y ＝260代入y ＝40x －20得，x ＝7， ∵乙车的行驶速度：80km/h ，∴乙车的行驶260km 需要260÷80＝3.25h ，∴7-（2+3.25）=74 h ，∴甲比乙迟74h 到达B 地，故（3）正确；（4）当1.5＜x ≤7时，y ＝40x －20．设乙车行驶的路程y 与时间x 之间的解析式为y ＝k 'x ＋b '，由题意得 ⎩⎨⎧0＝2k ′+b ′120＝3.5k ′+b ′解得：⎩⎨⎧k ′＝80b ′＝-160∴y ＝80x －160．当40x －20－50＝80x －160时，解得：x=94．当40x －20＋50＝80x －160时，解得：x=194．∴94－2＝14 ，194－2＝114．所以乙车行驶小时14 或114小时，两车恰好相距50km ，故（4）错误．选C ．同类题型2.3 甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y （米）与甲出发的时间x （秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a ＝750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解：①根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则甲的速度是：900÷600＝1.5米/秒，故①正确；②甲跑500秒时的路程是：500×1.5＝750米，故②正确；③CD 段的长是900－750＝150米，时间是：560－500＝60秒，则乙速度是：150÷60＝2.5米/秒；甲跑150米用的时间是：150÷1.5＝100秒，则甲比乙早出发100秒．乙跑750米用的时间是：750÷2.5＝300秒，则乙在途中等候甲用的时间是：500－300－100＝100秒，故③正确； ④甲每秒跑1.5米，则甲的路程与时间的函数关系式是：y ＝1.5x ，乙晚跑100秒，且每秒跑2.5米，则 AB 段的函数解析式是：y ＝2.5（x －100），根据题意得：1.5x ＝2.5（x －100），解得：x ＝250秒．∴乙的路程是：2.5×（250－100）＝375（米）．∴甲出发250秒和乙第一次相遇，此时乙跑了375米，故④正确．选D ．例3．如图，已知动点P 在函数y ＝ 12x（x ＞0）的图象上运动，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：y ＝－x ＋1交于点E ，F ，则AF ﹒BE 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．12解：作FG ⊥x 轴，∵P的坐标为（a，12a），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，12a），M点的坐标为（a，0），∴BN＝1－12a，在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°（OB＝OA＝1，三角形OAB是等腰直角三角形），∴NF＝BN＝1－12a，∴F点的坐标为（1－12a ，12a），同理可得出E点的坐标为（a，1－a），∴AF 2＝（1－1＋12a）2＋（12a）2＝12a2，BE2＝（a）2＋（－a）2＝2a2，∴AF 2﹒BE2＝12a2﹒2a2＝1，即AF﹒BE＝1．选C．同类题型3.1 如图，在反比例函数y＝32x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝kx的图象上运动，若tan∠CAB＝2，则k的值为（）A．－3 B．－6 C．－9 D．－12解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∵由直线AB与反比例函数y＝32x的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO ＝BO ．又∵AC ＝BC ， ∴CO ⊥A B ．∵∠AOE ＋∠AOF ＝90°，∠AOF ＋∠COF ＝90°， ∴∠AOE ＝∠COF ，又∵∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°， ∴△AOE ∽△COF ，∴AE CF ＝OE OF ＝AO CO， ∵tan ∠CAB ＝OCOA＝2，∴CF ＝2AE ，OF ＝2OE ．又∵AE ﹒OE ＝32，CF ﹒OF ＝|k |，∴k ＝±6．∵点C 在第二象限， ∴k ＝－6，选B ．同类题型3.2 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点C 在线段AB 上，点D 在AB 的右侧，△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∠OAB ＝∠BCD ＝90°，若函数y= 6x（x ＞0）的图象经过点D ，则△OAB 与△BCD 的面积之差为（） A ．12 B ．6 C ．3 D ．2解：∵△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∴OA ＝AB ，CD ＝B C ．设OA ＝a ，CD ＝b ，则点D 的坐标为（a ＋b ，a －b ），∵反比例函数y ＝6x在第一象限的图象经过点D ，∴（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2＝6，∴△OAB 与△BCD 的面积之差＝12a 2－12b 2＝12×6＝3．选C ．同类题型3.3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y ＝ 1x 和y ＝ 9x在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝ 1x的图象于点C ，连结A C ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是___________．解：∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x，解得：x ＝3k，y ＝3k ，∴点B 坐标为（3k，3k ），点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x，解得：x ＝1k，y ＝k ，∴点A 坐标为（1k，k ），∵BD ⊥x 轴， ∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3， ∴点C 坐标为（3k，k3），∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则(3k －1k )2＋(3k －k )2＝3k －k 3 ，解得：k ＝377 ；②AC ＝BC ，则(3k－1k)2＋(k －k 3)2＝3k －k 3 ，解得：k ＝155；故答案为k ＝377 或155．例4．如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ k x的图象交于点A （3，6）与点B ，且与y 轴交于点C ，若点P 是反比例函数y ＝ k x图象上的一个动点，作直线AP 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，连结BN 、CM ．若S △ACM ＝S △ABN ，则APAN的值为__________．解：把A （3，6）代入到一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝k x中，得：b ＝3，k ＝18，∴y ＝18x，y ＝x ＋3，∴C （0，3），则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x y ＝x ＋3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 1＝6 ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6y 2＝－3 ，∴B （－6，－3），分两种情况：①点P 在第一象限时，如图1，∵S △ACM ＝S △ABN ，S △MNC －S △ACN ＝S △ACN ＋S △BCN ， S △MNC ＝2S △ACN ＋S △BCN ， 12NC ﹒OM ＝2×12NC ×3＋12 NC ×6， OM ＝6＋6＝12， ∴M （12，0），直线AM 的解析式为：y ＝－23x ＋8，∴N （0，8），则⎩⎨⎧y ＝18xy ＝－23x ＋8，18x ＝－23x ＋8，解得：x ＝3或9， ∴P （9，2），∴AN ＝32＋22＝13 ，AP ＝62＋42＝213 ， ∴AP AN ＝21313＝2；②当点P 在第三象限上时，如图2，∵S △ACM ＝S △ABN ，∴S △ACN ＋S △MNC ＝S △ACN ＋S △BCN ， S △MNC ＝S △BCN ， 12NC ﹒OM ＝12 NC ×6， ∴OM ＝6， ∴M （－6，0），直线AM 的解析式为：y ＝23x ＋4，∴N （0，4），则⎩⎨⎧y ＝18xy ＝23x ＋4 ，18x ＝23x ＋4，解得：x ＝3或－9， ∴P （－9，－2），∴AN ＝13 ，AP ＝122＋82＝413 ， ∴AP AN ＝41313＝4，综上所述，则AP AN的值为2或4．同类题型4.1 当12 ≤x ≤2时，函数y ＝－2x ＋b 的图象上至少有一点在函数y ＝ 1x的图象下方，则b 的取值范围为（）A ．b ＞2 2B ．b ＜ 92C ．b ＜3D ．2 2＜b ＜ 92解：在函数y ＝1x 中，令x ＝2，则y ＝12 ；令x ＝12，则y ＝2；若直线y ＝－2x ＋b 经过（2，12），则12 ＝－4＋b ，即b ＝92；若直线y ＝－2x ＋b 经过（12，2），则2＝－1＋b ，即b ＝3，∵直线y ＝－2x ＋92在直线y ＝－2x ＋3的上方，∴当函数y ＝－2x ＋b 的图象上至少有一点在函数y ＝1x的图象下方时，直线y ＝－2x ＋b 在直线y ＝－2x ＋92的下方，∴b 的取值范围为b ＜92．选B ．同类题型4.2 方程x 2＋3x －1＝0的根可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝ 1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x 2＋2x －1＝0的实数根x 0 所在的范围是（） A ．－1＜x 0 ＜0 B ．0＜x 0 ＜1 C ．1＜x 0 ＜2 D ．2＜x 0 ＜3解：方程x 2＋2x －1＝0的实数根可以看作函数y ＝x ＋2和y ＝1x的交点．函数大体图象如图所示：A ．由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于－2，故－1＜x 0 ＜0错误；B ．当x ＝1时，y 1 ＝1＋2＝3，y 2＝11＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故0＜x 0 ＜1正确；C ．当x ＝1时，y 1 ＝1＋2＝3，y 2＝11＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故1＜x 0 ＜2错误；D ．当x ＝2时，y 1 ＝2＋2＝4，y 2＝12 ，而4＞12，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于2，故2＜x 0 ＜3错误．选B ．例5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－x 2＋2mx －m 2－m ＋1交y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ．当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH ＝∠AHO ，则m ＝__________．解：（1）∵y ＝－x 2＋2mx －m 2－m ＋1＝－（x －m ）2－m ＋1， ∴顶点D （m ，1－m ）． ∵顶点D 在第二象限， ∴m ＜0．当点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）作AG ⊥DH 于点G ，∵A （0，－m 2－m ＋1），D （m ，－m ＋1），∴H （m ，0），G （m ，－m 2－m ＋1） ∵∠ADH ＝∠AHO ，∴tan ∠ADH ＝tan ∠AHO ， ∴AG DG ＝AO HO． ∴－m 1－m －(－m 2－m ＋1)＝－m 2－m ＋1－m．整理得：m 2＋m ＝0． ∴m ＝－1或m ＝0（舍）．当点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）．作AG ⊥DH 于点G ，∵A （0，－m 2－m ＋1），D （m ，－m ＋1），∴H （m ，0），G （m ，－m 2－m ＋1） ∵∠ADH ＝∠AHO ，∴tan ∠ADH ＝tan ∠AHO ， ∴AG DG ＝AO HO． ∴－m 1－m －(－m 2－m ＋1)＝m 2＋m －1－m．整理得：m 2＋m －2＝0． ∴m ＝－2或m ＝1（舍）．综上所述，m 的值为－1或－2．同类题型5.1 已知抛物线y ＝ 14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（ 3 ，3），P 是抛物线y ＝ 14x 2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6解：过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线y ＝14x 2 ＋1于点P ，此时△PMF 周长最小值，∵F （0，2）、M （ 3 ，3），∴ME ＝3，FM ＝(3－0)2＋(3－2)2 ＝2，∴△PMF 周长的最小值＝ME ＋FM ＝3＋2＝5．选C ．同类题型5.2 抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋3（a ≠0）经过点A （－1，0），B （ 32，0），且与y 轴相交于点C ．设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．解：如图2所示：延长CD ，交x 轴与点F ．∵∠ACB ＝45°，点D 是第一象限抛物线上一点，∴∠ECD ＞45°．又∵△DCE 与△AOC 相似，∠AOC ＝∠DEC ＝90°，∴∠CAO ＝∠EC D ．∴CF ＝AF ．设点F 的坐标为（a ，0），则（a ＋1）2＝32＋a 2 ，解得a ＝4．∴F （4，0）．设CF 的解析式为y ＝kx ＋3，将F （4，0）代入得：4k ＋3＝0，解得：k ＝－34 ． ∴CF 的解析式为y ＝－34x ＋3．将y ＝－34 x ＋3与y ＝－2x 2 ＋x ＋3联立：解得：x ＝0（舍去）或x ＝78．将x ＝78 代入y ＝－34 x ＋3得：y ＝7532． ∴D （78 ，7532 ）．同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__________cm ．解：如图所示，建立直角坐标系，过A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，过M 作MP ⊥AG 于P ，由题可得，AQ ＝12，PQ ＝MD ＝6，故AP ＝6，AG ＝36，∴Rt △APM 中，MP ＝8，故DQ ＝8＝OG ，∴BQ ＝12－8＝4，由BQ ∥CG 可得，△ABQ ∽△ACG ，∴BQ CG ＝AQ AG ，即4CG ＝1236， ∴CG ＝12，OC ＝12＋8＝20，∴C （20，0），又∵水流所在抛物线经过点D （0，24）和B （12，24），∴可设抛物线为y ＝ax 2 ＋bx ＋24，把C （20，0），B （12，24）代入抛物线，可得⎩⎨⎧24＝144a ＋12b ＋240＝400a ＋20b ＋24 ，解得⎩⎨⎧a ＝－320b ＝95， ∴抛物线为y ＝－320x 2＋95x ＋24，又∵点E 的纵坐标为10.2，∴令y ＝10.2，则10.2＝－320x 2＋95x ＋24，解得x 1＝6＋8 2 ，x 2＝6－8 2 （舍去）， ∴点E 的横坐标为6＋8 2 ，又∵ON ＝30，∴EH ＝30－（6＋82）＝24－8 2 ．。

2020江苏省中考数学选择填空压轴题专题：《函数的几何综合问题》(含答案)

专题: 函数的几何综合问题例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝33x－33与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是____________．同类题型1.1 如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l 于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3＝B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2017等于（）A．24030B．24031C．24032D．24033同类题型1.2 如图，已知直线l：y＝33x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，128）B．（0，256）C．（0，512）D．（0，1024）同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x ＋1交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，过点A 作AB 1 ⊥AB 交x 轴于点B 1 ，过点B 1 作B 1A 1 ⊥x 轴交直线l 于点A 2 …依次作下去，则点B n 的横坐标为____________．例2．高速公路上依次有3个标志点A 、B 、C ，甲、乙两车分别从A 、C 两点同时出发，匀速行驶，甲车从A →B →C ，乙车从C →B →A ，甲、乙两车离B 的距离y 1 、y 2 （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A 、C 之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E 的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A 地前往B 地，甲车以a 千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a 千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B 地，比甲车早30分钟到达．到达B 地后，乙车按原速度返回A 地，甲车以2a 千米/时的速度返回A 地．设甲、乙两车与A 地相距s （千米），甲车离开A 地的时间为t （小时），s 与t 之间的函数图象如图所示．下列说法：①a ＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25；④当t ＝3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个同类题型2.2 甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象．则下列结论：（1）a ＝40，m ＝1；（2）乙的速度是80km/h ；（3）甲比乙迟74h 到达B 地；（4）乙车行驶94 小时或194小时，两车恰好相距50km ．正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4同类题型2.3 甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y （米）与甲出发的时间x （秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a ＝750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3．如图，已知动点P 在函数y ＝ 12x（x ＞0）的图象上运动，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：y ＝－x ＋1交于点E ，F ，则AF ﹒BE 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．12同类题型3.1 如图，在反比例函数y ＝ 32x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝ k x的图象上运动，若tan ∠CAB ＝2，则k 的值为（）A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12同类题型3.2 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点C 在线段AB 上，点D 在AB 的右侧，△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∠OAB ＝∠BCD ＝90°，若函数y ＝ 6x（x ＞0）的图象经过点D ，则△OAB 与△BCD 的面积之差为（） A ．12 B ．6 C ．3 D ．2同类题型3.3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y ＝ 1x 和y ＝ 9x在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝ 1x的图象于点C ，连结A C ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是___________．例4．如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ k x的图象交于点A （3，6）与点B ，且与y 轴交于点C ，若点P 是反比例函数y ＝ k x图象上的一个动点，作直线AP 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，连结BN 、CM ．若S △ACM ＝S △ABN ，则APAN的值为__________．同类题型4.1 当12 ≤x ≤2时，函数y ＝－2x ＋b 的图象上至少有一点在函数y ＝ 1x的图象下方，则b 的取值范围为（）A ．b ＞2 2B ．b ＜ 92C ．b ＜3D ．2 2＜b ＜ 92同类题型4.2 方程x 2＋3x －1＝0的根可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝ 1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x 2＋2x －1＝0的实数根x 0 所在的范围是（）A ．－1＜x 0 ＜0B ．0＜x 0 ＜1C ．1＜x 0 ＜2D ．2＜x 0 ＜3例5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－x 2＋2mx －m 2－m ＋1交y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ．当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH ＝∠AHO ，则m ＝__________．同类题型5.1 已知抛物线y ＝ 14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（ 3 ，3），P 是抛物线y ＝ 14x 2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6同类题型5.2 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3（a ≠0）经过点A （－1，0），B （ 32，0），且与y 轴相交于点C ．设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__________cm ．参考答案例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝ 33x － 33与x 轴交于点B 1 ，以OB 1 为边长作等边三角形A 1OB 1 ，过点A 1 作A 1B 2 平行于x 轴，交直线l 于点B 2 ，以A 1B 2 为边长作等边三角形A 2A 1B 2 ，过点A 2 作A 2B 3 平行于x 轴，交直线l 于点B 3 ，以A 2B 3 为边长作等边三角形A 3A 2B 3 ，…，则点A 2017 的横坐标是____________．解：由直线l ：y ＝33x －33 与x 轴交于点B 1 ，可得B 1 （1，0），D （0，－33），∴OB 1 ＝1，∠OB 1 D ＝30°，如图所示，过A 1 作A 1A ⊥OB 1 于A ，则OA ＝12OB 1＝12，即A 1 的横坐标为12＝21－12，由题可得∠A 1B 2B 1＝∠OB 1 D ＝30°，∠B 2A 1B 1＝∠A 1B 1 O ＝60°，∴∠A 1B 1B 2 ＝90°， ∴A 1B 2＝2A 1B 1 ＝2，过A 2 作A 2B ⊥A 1B 2 于B ，则A 1B ＝12A 1B 2 ＝1，即A 2 的横坐标为12＋1＝32＝22－12 ，过A 3 作A 3C ⊥A 2B 3 于C ，同理可得，A 2B 3＝2A 2B 2 ＝4，A 2C ＝12A 2B 3 ＝2，即A 3 的横坐标为12＋1＋2＝72＝23－12，同理可得，A 4 的横坐标为12＋1＋2＋4＝152＝24－12 ，由此可得，A n 的横坐标为2n－12 ，∴点A 2017 的横坐标是22017－12．同类题型1.1 如图，直线l ：y ＝x ＋1交y 轴于点A 1 ，在x 轴正方向上取点B 1 ，使OB 1＝OA 1 ；过点B 1 作A 2B 1 ⊥x 轴，交l 于点A 2 ，在x 轴正方向上取点B 2 ，使B 1B 2＝B 1A 2 ；过点B 2 作A 3B 2 ⊥x 轴，交l 于点A 3 ，在x 轴正方向上取点B 3 ，使B 2B 3＝B 2A 3 ；…记△OA 1B 1 面积为S 1 ，△B 1A 2B 2 面积为S 2 ，△B 2A 3B 3 面积为S 3 ，…则S 2017 等于（）A ．24030B ．24031C ．24032D ．24033解：∵OB 1＝OA 1 ；过点B 1 作A 2B 1 ⊥x 轴，B 1B 2＝B 1A 2；A 3B 2 ⊥x 轴，B 2B 3＝B 2A 3 ；… ∴△△OA 1B 1 ，△B 1A 2B 2 ，△B 2A 3B 3 是等腰直角三角形， ∵y ＝x ＋1交y 轴于点A 1 ， ∴A 1 （0，1）， ∴B 1 （1，0）， ∴OB 1＝OA 1 ＝1，∴S 1＝12×1×1＝12×12 ，同理S 2＝12×2×2＝12×22 ，S 3＝12×4×4＝12×42；…∴S n ＝12×22n －2＝22n －3 ，∴S 2017＝22×2017－3＝24031，选B ．同类题型1.2 如图，已知直线l ：y ＝ 33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1 ；过点A 1 作y 轴的垂线交直线l 于点B 1 ，过点B 1 作直线l 的垂线交y 轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，128） B．（0，256） C．（0，512） D．（0，1024）解：∵直线l的解析式为；y＝33x，∴l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO＝30°，∵OA＝1，∴OB＝2，∴AB＝ 3 ，∵A1B⊥l，∴∠ABA1＝60°，∴A1O＝4，∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…∴A4纵坐标为44＝256，∴A4（0，256）．选B．同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝33x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作AB1⊥AB交x轴于点B1，过点B1作B1A1⊥x轴交直线l于点A2…依次作下去，则点B n的横坐标为____________．解：由直线l ：y ＝33x ＋1交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，可得A （0，1），B （－ 3 ，0），∴tan ∠ABO ＝33，即∠ABO ＝30°， ∴BA ＝2AO ＝2，又∵AB 1 ⊥AB 交x 轴于点B 1 ，AO ＝1，∴AB 1＝233 ，∴Rt △BAB 1 中，BB 1＝433 ；由题可得BA 1＝83 ，∴A 1B 2＝893 ，∴Rt △BA 1B 2 中，BB 2＝1693 ；由题可得BA 2＝329 ，∴A 2B 3＝32273 ，∴Rt △BA 2B 3 中，BB 3＝64273 ，…以此类推，BB n ＝(43)n3 ，又∵BO ＝ 3 ，∴OB n ＝(43)n3－ 3 ，∴点B n 的横坐标为(43)n3－ 3 ．例2．高速公路上依次有3个标志点A 、B 、C ，甲、乙两车分别从A 、C 两点同时出发，匀速行驶，甲车从A →B →C ，乙车从C →B →A ，甲、乙两车离B 的距离y 1 、y 2 （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A 、C 之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E 的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．解：①450＋240＝690（千米）．故A、C之间的路程为690千米是正确的；②450÷5－240÷4＝90－60＝30（千米/小时）．故乙车比甲车每小时快30千米是正确的；③690÷（450÷5＋240÷4）＝690÷（90＋60）＝690÷150＝4.6（小时）．故4.6小时两车相遇，原来的说法是错误的；④（450－240）÷（450÷5－240÷4）＝210÷（90－60）＝210÷30＝7（小时），450÷5×7－450＝630－450＝180（千米）．故点E的坐标为（7，180）是正确的，故其中正确的有①②④．同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t＝3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解：①由函数图象，得a＝120÷3＝40故①正确，②由题意，得5.5－3－120÷（40×2），＝2.5－1.5，＝1．∴甲车维修的时间为1小时；故②正确， ③如图：∵甲车维修的时间是1小时， ∴B （4，120）．∵乙在甲出发2小时后匀速前往B 地，比甲早30分钟到达． ∴E （5，240）．∴乙行驶的速度为：240÷3＝80， ∴乙返回的时间为：240÷80＝3， ∴F （8，0）．设BC 的解析式为y 1＝k 1t ＋b 1 ，EF 的解析式为y 2＝k 2t ＋b 2 ，由图象，得 ⎩⎪⎨⎪⎧120＝4k 1＋b 1240＝5.5k 1＋b ，，⎩⎪⎨⎪⎧240＝5k 2＋b 20＝8k 2＋b 2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝80b 1＝－200 ，⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－80b 2＝640 ，∴y 1 ＝80t －200，y 2 ＝－80t ＋640，当y 1＝y 2 时，80t －200＝－80t ＋640， t ＝5.25．∴两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25小时，故弄③正确，④当t ＝3时，甲车行的路程为：120km ，乙车行的路程为：80×（3－2）＝80km ， ∴两车相距的路程为：120－80＝40千米，故④正确，选A ．同类题型2.2 甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象．则下列结论：（1）a ＝40，m ＝1；（2）乙的速度是80km/h ；（3）甲比乙迟74 h 到达B 地；（4）乙车行驶94 小时或194小时，两车恰好相距50km ．正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：（1）由题意，得m ＝1.5－0.5＝1． 120÷（3.5－0.5）＝40（km/h ），则a ＝40，故（1）正确；（2）120÷（3.5－2）＝80km/h （千米/小时），故（2）正确；（3）设甲车休息之后行驶路程y （km ）与时间x （h ）的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得 ⎩⎨⎧40＝1.5k+b 120＝3.5k+b解得：⎩⎨⎧k ＝40b ＝-20∴y ＝40x －20，根据图形得知：甲、乙两车中先到达B 地的是乙车，把y ＝260代入y ＝40x －20得，x ＝7， ∵乙车的行驶速度：80km/h ，∴乙车的行驶260km 需要260÷80＝3.25h ，∴7-（2+3.25）=74 h ，∴甲比乙迟74h 到达B 地，故（3）正确；（4）当1.5＜x ≤7时，y ＝40x －20．设乙车行驶的路程y 与时间x 之间的解析式为y ＝k 'x ＋b '，由题意得 ⎩⎨⎧0＝2k ′+b ′120＝3.5k ′+b ′解得：⎩⎨⎧k ′＝80b ′＝-160∴y ＝80x －160．当40x －20－50＝80x －160时，解得：x=94．当40x －20＋50＝80x －160时，解得：x=194．∴94－2＝14 ，194－2＝114．所以乙车行驶小时14 或114小时，两车恰好相距50km ，故（4）错误．选C ．同类题型2.3 甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y （米）与甲出发的时间x （秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a ＝750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解：①根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则甲的速度是：900÷600＝1.5米/秒，故①正确；②甲跑500秒时的路程是：500×1.5＝750米，故②正确；③CD 段的长是900－750＝150米，时间是：560－500＝60秒，则乙速度是：150÷60＝2.5米/秒；甲跑150米用的时间是：150÷1.5＝100秒，则甲比乙早出发100秒．乙跑750米用的时间是：750÷2.5＝300秒，则乙在途中等候甲用的时间是：500－300－100＝100秒，故③正确； ④甲每秒跑1.5米，则甲的路程与时间的函数关系式是：y ＝1.5x ，乙晚跑100秒，且每秒跑2.5米，则 AB 段的函数解析式是：y ＝2.5（x －100），根据题意得：1.5x ＝2.5（x －100），解得：x ＝250秒．∴乙的路程是：2.5×（250－100）＝375（米）．∴甲出发250秒和乙第一次相遇，此时乙跑了375米，故④正确．选D ．例3．如图，已知动点P 在函数y ＝ 12x（x ＞0）的图象上运动，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：y ＝－x ＋1交于点E ，F ，则AF ﹒BE 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．12解：作FG ⊥x 轴，∵P的坐标为（a，12a），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，12a），M点的坐标为（a，0），∴BN＝1－12a，在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°（OB＝OA＝1，三角形OAB是等腰直角三角形），∴NF＝BN＝1－12a，∴F点的坐标为（1－12a ，12a），同理可得出E点的坐标为（a，1－a），∴AF 2＝（1－1＋12a）2＋（12a）2＝12a2，BE2＝（a）2＋（－a）2＝2a2，∴AF 2﹒BE2＝12a2﹒2a2＝1，即AF﹒BE＝1．选C．同类题型3.1 如图，在反比例函数y＝32x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝kx的图象上运动，若tan∠CAB＝2，则k的值为（）A．－3 B．－6 C．－9 D．－12解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∵由直线AB与反比例函数y＝32x的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO ＝BO ．又∵AC ＝BC ， ∴CO ⊥A B ．∵∠AOE ＋∠AOF ＝90°，∠AOF ＋∠COF ＝90°， ∴∠AOE ＝∠COF ，又∵∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°， ∴△AOE ∽△COF ，∴AE CF ＝OE OF ＝AO CO， ∵tan ∠CAB ＝OCOA＝2，∴CF ＝2AE ，OF ＝2OE ．又∵AE ﹒OE ＝32，CF ﹒OF ＝|k |，∴k ＝±6．∵点C 在第二象限， ∴k ＝－6，选B ．同类题型3.2 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点C 在线段AB 上，点D 在AB 的右侧，△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∠OAB ＝∠BCD ＝90°，若函数y= 6x（x ＞0）的图象经过点D ，则△OAB 与△BCD 的面积之差为（） A ．12 B ．6 C ．3 D ．2解：∵△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∴OA ＝AB ，CD ＝B C ．设OA ＝a ，CD ＝b ，则点D 的坐标为（a ＋b ，a －b ），∵反比例函数y ＝6x在第一象限的图象经过点D ，∴（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2＝6，∴△OAB 与△BCD 的面积之差＝12a 2－12b 2＝12×6＝3．选C ．同类题型3.3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y ＝ 1x 和y ＝ 9x在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝ 1x的图象于点C ，连结A C ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是___________．解：∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x，解得：x ＝3k，y ＝3k ，∴点B 坐标为（3k，3k ），点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x，解得：x ＝1k，y ＝k ，∴点A 坐标为（1k，k ），∵BD ⊥x 轴， ∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3， ∴点C 坐标为（3k，k3），∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则(3k －1k )2＋(3k －k )2＝3k －k 3 ，解得：k ＝377 ；②AC ＝BC ，则(3k－1k)2＋(k －k 3)2＝3k －k 3 ，解得：k ＝155；故答案为k ＝377 或155．例4．如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ k x的图象交于点A （3，6）与点B ，且与y 轴交于点C ，若点P 是反比例函数y ＝ k x图象上的一个动点，作直线AP 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，连结BN 、CM ．若S △ACM ＝S △ABN ，则APAN的值为__________．解：把A （3，6）代入到一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝k x中，得：b ＝3，k ＝18，∴y ＝18x，y ＝x ＋3，∴C （0，3），则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x y ＝x ＋3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 1＝6 ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6y 2＝－3 ，∴B （－6，－3），分两种情况：①点P 在第一象限时，如图1，∵S △ACM ＝S △ABN ，S △MNC －S △ACN ＝S △ACN ＋S △BCN ， S △MNC ＝2S △ACN ＋S △BCN ， 12NC ﹒OM ＝2×12NC ×3＋12 NC ×6， OM ＝6＋6＝12， ∴M （12，0），直线AM 的解析式为：y ＝－23x ＋8，∴N （0，8），则⎩⎨⎧y ＝18xy ＝－23x ＋8，18x ＝－23x ＋8，解得：x ＝3或9， ∴P （9，2），∴AN ＝32＋22＝13 ，AP ＝62＋42＝213 ， ∴AP AN ＝21313＝2；②当点P 在第三象限上时，如图2，∵S △ACM ＝S △ABN ，∴S △ACN ＋S △MNC ＝S △ACN ＋S △BCN ， S △MNC ＝S △BCN ， 12NC ﹒OM ＝12 NC ×6， ∴OM ＝6， ∴M （－6，0），直线AM 的解析式为：y ＝23x ＋4，∴N （0，4），则⎩⎨⎧y ＝18xy ＝23x ＋4 ，18x ＝23x ＋4，解得：x ＝3或－9， ∴P （－9，－2），∴AN ＝13 ，AP ＝122＋82＝413 ， ∴AP AN ＝41313＝4，综上所述，则AP AN的值为2或4．同类题型4.1 当12 ≤x ≤2时，函数y ＝－2x ＋b 的图象上至少有一点在函数y ＝ 1x的图象下方，则b 的取值范围为（）A ．b ＞2 2B ．b ＜ 92C ．b ＜3D ．2 2＜b ＜ 92解：在函数y ＝1x 中，令x ＝2，则y ＝12 ；令x ＝12，则y ＝2；若直线y ＝－2x ＋b 经过（2，12），则12 ＝－4＋b ，即b ＝92；若直线y ＝－2x ＋b 经过（12，2），则2＝－1＋b ，即b ＝3，∵直线y ＝－2x ＋92在直线y ＝－2x ＋3的上方，∴当函数y ＝－2x ＋b 的图象上至少有一点在函数y ＝1x的图象下方时，直线y ＝－2x ＋b 在直线y ＝－2x ＋92的下方，∴b 的取值范围为b ＜92．选B ．同类题型4.2 方程x 2＋3x －1＝0的根可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝ 1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x 2＋2x －1＝0的实数根x 0 所在的范围是（） A ．－1＜x 0 ＜0 B ．0＜x 0 ＜1 C ．1＜x 0 ＜2 D ．2＜x 0 ＜3解：方程x 2＋2x －1＝0的实数根可以看作函数y ＝x ＋2和y ＝1x的交点．函数大体图象如图所示：A ．由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于－2，故－1＜x 0 ＜0错误；B ．当x ＝1时，y 1 ＝1＋2＝3，y 2＝11＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故0＜x 0 ＜1正确；C ．当x ＝1时，y 1 ＝1＋2＝3，y 2＝11＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故1＜x 0 ＜2错误；D ．当x ＝2时，y 1 ＝2＋2＝4，y 2＝12 ，而4＞12，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于2，故2＜x 0 ＜3错误．选B ．例5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－x 2＋2mx －m 2－m ＋1交y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ．当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH ＝∠AHO ，则m ＝__________．解：（1）∵y ＝－x 2＋2mx －m 2－m ＋1＝－（x －m ）2－m ＋1， ∴顶点D （m ，1－m ）． ∵顶点D 在第二象限， ∴m ＜0．当点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）作AG ⊥DH 于点G ，∵A （0，－m 2－m ＋1），D （m ，－m ＋1），∴H （m ，0），G （m ，－m 2－m ＋1） ∵∠ADH ＝∠AHO ，∴tan ∠ADH ＝tan ∠AHO ， ∴AG DG ＝AO HO． ∴－m 1－m －(－m 2－m ＋1)＝－m 2－m ＋1－m．整理得：m 2＋m ＝0． ∴m ＝－1或m ＝0（舍）．当点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）．作AG ⊥DH 于点G ，∵A （0，－m 2－m ＋1），D （m ，－m ＋1），∴H （m ，0），G （m ，－m 2－m ＋1） ∵∠ADH ＝∠AHO ，∴tan ∠ADH ＝tan ∠AHO ， ∴AG DG ＝AO HO． ∴－m 1－m －(－m 2－m ＋1)＝m 2＋m －1－m．整理得：m 2＋m －2＝0． ∴m ＝－2或m ＝1（舍）．综上所述，m 的值为－1或－2．同类题型5.1 已知抛物线y ＝ 14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（ 3 ，3），P 是抛物线y ＝ 14x 2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6解：过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线y ＝14x 2 ＋1于点P ，此时△PMF 周长最小值，∵F （0，2）、M （ 3 ，3），∴ME ＝3，FM ＝(3－0)2＋(3－2)2 ＝2，∴△PMF 周长的最小值＝ME ＋FM ＝3＋2＝5．选C ．同类题型5.2 抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋3（a ≠0）经过点A （－1，0），B （ 32，0），且与y 轴相交于点C ．设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．解：如图2所示：延长CD ，交x 轴与点F ．∵∠ACB ＝45°，点D 是第一象限抛物线上一点，∴∠ECD ＞45°．又∵△DCE 与△AOC 相似，∠AOC ＝∠DEC ＝90°，∴∠CAO ＝∠EC D ．∴CF ＝AF ．设点F 的坐标为（a ，0），则（a ＋1）2＝32＋a 2 ，解得a ＝4．∴F （4，0）．设CF 的解析式为y ＝kx ＋3，将F （4，0）代入得：4k ＋3＝0，解得：k ＝－34 ． ∴CF 的解析式为y ＝－34x ＋3．将y ＝－34 x ＋3与y ＝－2x 2 ＋x ＋3联立：解得：x ＝0（舍去）或x ＝78．将x ＝78 代入y ＝－34 x ＋3得：y ＝7532． ∴D （78 ，7532 ）．同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__________cm ．解：如图所示，建立直角坐标系，过A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，过M 作MP ⊥AG 于P ，由题可得，AQ ＝12，PQ ＝MD ＝6，故AP ＝6，AG ＝36，∴Rt △APM 中，MP ＝8，故DQ ＝8＝OG ，∴BQ ＝12－8＝4，由BQ ∥CG 可得，△ABQ ∽△ACG ，∴BQ CG ＝AQ AG ，即4CG ＝1236， ∴CG ＝12，OC ＝12＋8＝20，∴C （20，0），又∵水流所在抛物线经过点D （0，24）和B （12，24），∴可设抛物线为y ＝ax 2 ＋bx ＋24，把C （20，0），B （12，24）代入抛物线，可得⎩⎨⎧24＝144a ＋12b ＋240＝400a ＋20b ＋24 ，解得⎩⎨⎧a ＝－320b ＝95， ∴抛物线为y ＝－320x 2＋95x ＋24，又∵点E 的纵坐标为10.2，∴令y ＝10.2，则10.2＝－320x 2＋95x ＋24，解得x 1＝6＋8 2 ，x 2＝6－8 2 （舍去）， ∴点E 的横坐标为6＋8 2 ，又∵ON ＝30，∴EH ＝30－（6＋82）＝24－8 2 ．。

苏科版九年级数学下册《二次函数综合》专项练习题-附带答案

苏科版九年级数学下册《二次函数综合》专项练习题-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．已知函数，当时，则m的取值范围是（）A．m≥−2B．−2≤m≤−1C．−2≤m≤−1D．m≤−123．已知二次函数y=－2x2+4x+k(其中k为常数)，分别取x1=－0.99；x2=0.98；x3=0.99，那么对应的函数值为y1、y2、y3中，最大的为( )A．y3B．y2C．y1D．不能确定，与k的取值有关4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )A．B．C．D．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（）x …﹣1 0 1 3 …y …﹣3 1 3 1 …A．a＜0B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间C．2a+b＞0，y2）都在函数图象上，则y1＜y2D．若点（5，y1）、（﹣326．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(1，n)，其部分图像如图所示，下面结论错误的是（）A．abc>0B．b2−4ac>0C．关于x的方程ax2+bx+c=n+1没有实数根D．关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根x1取值范围为：−1<x1<07．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x−m)2+n的顶点在线段AB上运动，与x 轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为−3，则点D的横坐标最大值为（）A．−3B．1 C．5 D．88．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．将抛物线y=−2x3向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为.10．已知二次函y=−x2+2mx+1，当−2≤x≤1时最大值为4，则m的值为．11．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，当y<0时，则x的取值范围是．12．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于两点A(−1，p)，B(4，q)，则不等式ax2−mx+c<n 的解集是.13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确的是．三、解答题14．如图，二次函数的图象与轴分别交于点（点在点的左侧），且经过点，与y轴交于点C .（1）求的值.（2）将线段平移，平移后对应点O′和B′都落在拋物线上，求点的坐标.15．在国庆期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件80元，现以每件120元销售，每天可售出20件．在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，设每件童装单价降价了x元．（1）若销售单价降低5元，则该款童装每天的销售量为件，每天利润是元；（2）请写出每天销售该款童装的利润y（元）与每件童装降价x（元）之间的函数关系式；（3）当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？16．我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投入市场销售，经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系如图所示.（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？（3）某村今年草莓采摘期限30天，预计产量6000千克，则按照（2）中的方式进行销售，能否销售完这批草莓？请说明理由.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G.求出△PFG的周长最大值；（3）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．中国女排队员平时刻苦训练，掌握了纯熟的技能，在赛场上敢拼敢打，是国民的骄傲，为备战杭州亚运会，女排队员克服重重困难，进行封闭集训．已知排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−h)2+k(a<0)．（1）若某队员第一次在O处正上方2米发球，当排球运行至离O的水平距离为6米时，到达最大高度2.8米．①求排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式；②这次所发的球能否过网▲（填“能”或“否”）．（2）若该队员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满(x−4)2+2.88，请问：该队员此次发球有没有出界？并说明理由．足函数关系y=−150答案1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D 8．D9．y =−2x 2+3 10．−√3 11．−1<x <3 12．−1<x <4 13．①④14．（1）解：将点、代入二次函数解析式得{16+4b +c =09−3b +c =7解得；（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，由题意可得设平移后点和的坐标分别为，则为一元二次方程的两个根（），且 ∴x 2−2x −8−m =0 由根与系数的关系可得： ∴{x 2+x 1=2x 2−x 1=4 解得∴x 1x 2=−1×3=−8−m ∴m =5 ∴B ′(3，−5) . 15．（1）30；1050（2）解：由题意，得y =(120−80−x)(20+2x)=−2x 2+60x +800(0≤x ≤40) ∴y 与x 的函数关系式为y =−2x 2+60x +800(0≤x ≤40)；（3）解：由（2）知：y =−2x 2+60x +800=−2(x −15)2+1250∵−2<0∴当x =15时，销售单价定价为120−15=105元时，商场每天可获得最大利润1250元．16．（1）解：设y 与x 的函数关系式为y=kx+b （k ≠0），把A （12，400），B （14，350）分别代入得，解得：，∴y 与x 的函数关系式为y=-25x+700，由题意知： ∴10≤x ≤28（2）解：设每天的销售利润为w 元，由题意知w=（x-10）（-25x+700）=-25x 2+950x-7000 =-25（x-19）2+2025.∵a=-25＜0，∴当x=19时，w 取最大值，为2025.当该品种草莓定价为19元/千克时，每天销售获得的利润最大，为2025元. （3）解：能销售完这批草莓.理由如下：当x=19时，y=-25×19+700=225，225×30=6750＞6000. ∴按照（2）中的方式进行销售，能销售完17．（1）解：∵直线AB ：y ＝x ＋3与坐标轴交于A(－3，0)、B(0，3)两点代入抛物线解析式y ＝－x 2＋bx ＋c 中有 {0=−9−3b +c 3=c ∴{b =−2c =3∴抛物线解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3（2）解：∵由题意可知△PFG 是等腰直角三角形设P(m ，－m 2－2m ＋3) ∴F(m ，m ＋3)∴PF ＝－m 2－2m ＋3－m －3＝－m 2－3m.△PFG 周长为：－m 2－3m ＋ (－m 2－3m)＝－(＋1)(m ＋)2＋ ∴△PFG 周长的最大值为：.（3）解：点M 有三个位置，如图所示的M 1、M 2、M 3，都能使△ABM 的面积等于△ABD的面积．此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等.∵D(－1，4)，∴E(－1，2)、则N(－1，0)∵y＝x＋3中，k＝1，∴直线DM1解析式为：y＝x＋5，直线M3M2解析式为：y＝x＋1.∴x＋5＝－x2－2x ＋3或x＋1＝－x2－2x＋3，∴x1＝－1(舍去)，x2＝－2，x3＝，x4＝，∴M1(－2，3)，M2(，)M3(，).18．（1）解：①由题意可得抛物线的顶点为(6，2.8)设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+2.8(a<0)把(0，2)代入，得a=−145(x−6)2+2.8．∴所求函数关系为y=−145②能．（2）解：没有出界．(x−4)2+2.88=0令y=0，则−150解得x1=−8（舍）x2=16．∵x2=16<18∴没有出界。

初三数学函数综合-中考必做题(详解版)

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随着运算次数的增加，运算结果越
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的面积恰好等于正方形的面积，求点
，一次函数解析式为．
，
9
的图象相交于点，与轴相交于点．
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，试比较，对应的的范围．
；当时，
．
．
函数
函数基础知识
动点问题的函数图象
分段函数
二次函数
二次函数与方程不等式综合
二次函数与一元二次方程的关系
利用二次函数图象解决不等式问题26
的不等式组，恰有三个整数解，则关于
的图像的公共点的个数为
不等式组的解为：，
∵不等式组恰有个整数解，
．
联立方程组，得
，
这是一个二次函数，开口向上，
27
点关28
29
30。

2023年中考苏科版数学一轮复习专题练习-一次函数与反比例函数综合应用

2023年中考数学一轮复习专题练习一次函数与反比例函数综合应用一、选择题 1．下列式子：①y =3x −5；②y =x 1；③y=1-x ；④y 2=x ；⑤y =|x |，其中y 是x 的函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．点P （3，﹣1）关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．（﹣3，1）B ．（﹣3，﹣1）C ．（1，﹣3）D ．（3，1） 3.下列函数是反比例函数的是（）A ．2x y =B ．x y 1-=C ．y ＝x 2D ．y ＝2x ＋1 4.在反比例函数x m y 31-=的图像上有A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，x 1＜0＜x 2，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（）A ．m ＞31B ．m ＜31C ．m≥31D ．m≤31 5．一次函数y ＝—2x ＋3的图象与坐标轴的交点是（） A ．(3，1)(1，23) B ．(1，3)(23，1) C ．(3，0)(0，23) D ．(0，3)(23，0) 6．若函数y ＝（m +2）x |m |﹣3是反比例函数，则m 的值是（） A ．2 B ．﹣2C ．±2D ．不为2的实数 7．已知点A （﹣2，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数y ＝的图象上，则（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3 8. 函数y 1＝x 和y 2＝x1的图像如图所示，则y 1＞y 2的x 取值范围是（） A ．x ＜－1或x ＞1 B ．x ＜－1或0＜x ＜1C ．－1＜x ＜0或x ＞1D ．－1＜x ＜0或0＜x ＜1 9. 如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－x4的图像相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，则四边形ACBD 的面积为（） A ．2 B ．4C ．6D ．8第8题第9题二、填空题10．已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y ＝（k2≠0）的图象交于M．N两点，若点M 的坐标是（1，2），则点N 的坐标是．11．如图，直线y 1＝x+2与双曲线y2＝交于A（2，m）、B（﹣6，n）两点．则当y1≤y2时，x的取值范围是．12．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为．13．如图，直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴的正半轴于点A，B，交反比例函数y＝﹣的图象于点C，D（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若，则CD的长为．14．点A（a，b）是一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的交点，则a2b﹣ab2＝．三、解答题15．如图，点A和点E(2，1)是反比例函数y＝kx（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝6x（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．（1）k＝；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：．第11题第12题第13题16．如图，反比例函数y ＝与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A (﹣2，6)、点B (n ，1)．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．（3）将一次函数y ＝ax +b 的图象沿y 轴向下平移n 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝的图象有且只有一个交点，求n 的值．17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y ＝﹣x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象于点E ．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求线段EF 的长度；（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点已知实数0k ≠，一次函数3y x k =-+的图像经过点C 、D ，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点B ，求k 的值．19.已知一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象相交于A（2，4），B（n，﹣2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式kx+ b﹣＜0的解集；（3）点C（a，b），D（a，c）（a＞2）分别在一次函数和反比例函数图象上，且满足CD＝2，求a的值．20如图，已知反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）求出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM．（3）延长线段AB，交x轴于点D，若点B恰好为AD的中点，求此时点B的坐标．21.如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B 在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．23．如图，在平面直角坐标系中，□ABCO的顶点A在x轴正半轴上，两条对角线相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过C，D两点．（1）求□ABCO的面积．（2）若□ABCO是菱形，请直接写出：①tan∠AOC＝．②将菱形ABCO沿x轴向左平移，当点A与O点重合时停止，则平移距离t与y轴所扫过菱形的面积S之间的函数关系式：．24．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．【初步感知】如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为；（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．【深入感悟】如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．【灵活运用】如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．。

苏科版九年级下册数学：中考热点函数

本节课我们主要复习了哪些知识？本节课你还有什么疑问？
数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
----华罗庚
《中考700分》课时作业本第19页的第10题
③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
④当1＜x＜4时，有y2＞y1； ⑤x（ax＋b）≤a＋b，
其中正确的结论是 ②⑤．
（只填写序号）
类型之三反比例函数与二次函数结合
a
4标.（系2中01的7大•广致州图）像a≠可0，能函是数（yD＝）x 与y＝－a x2＋a在同一直角坐
拓展提高：
(2017.张家界)已知抛物线的顶点为A(1,4),与y轴的交点
为 D(0,3).

(1)求 c1 的解析式；
(2)若直线 l1 : y x
m与c1
仅有唯一的交点，求m的值；
(3)若抛物线 c1
x轴的直线记作
关于y轴对称的抛物线记作 c2，平行于 l2 : y n. 试结合图形回答：
当n为何值时， l2与c1和c2 共有：
①两个交点；
② 三个交点；
③四个交点；
(4)若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．
与抛物线无关
变式1：试在坐标轴上求点P，使△PAB为等腰三角形,这样的点有——9 —个.
变式2：试在抛物线上C1求点P，使△PAB 为等腰三角形．
变式3：试在坐标轴上求点P，使△PAB为直角三角形．
中考700分
中考热点 (五)
函数家庭大集合
复习目标：
1、熟练掌握一次函数、二次函数与反比例函数的图象及性质； 2、对函数待定系数法求解析式有更深一层的理解，能得心应手； 3、对函数间的综合题型能熟练解决。

苏科版九年级数学下小专题复习：函数——综合应用

∴OD＝ 3，AD＝1 ∴A（3，1）
∴ k＝3.
【反思】用方程思想是解决此类问题的常用方法。
k
你还可提出哪些问题？点B坐标？S△AOB？ x ＜ x－2 的解集? … …
【例题2】（202X·无锡）一次函数 y＝4 x－b与 y＝4 x－1图像
之间的距离等于3，则b的值为
3
3（）
A．－2或4 B．2或－4 C．4或－6 D．－4或6
202X
函数（5）—综合应用
苏教版九年级下册数学
三方程驾马不等式车函数学习过程
描述现实生活中变量之间关系的重要模型
函数概念确定函数的表达式探究函数的图像得出函数的性质运用函数解决问题
考查情势：函数常与代数、几何相结合，有一定的综合性。
解决策略：会用函数性质，借助数形结合思想、转化等方法解决数学问题。
分析：总利润＝单件利润×销量
（1）总利润 w ＝(x －20) y
建
＝ (x －20)(－10x＋500) ＝－10 (x －35)2 ＋2250 模
心中有图
－10 (x －35)2 ＋2250 ≥2000
（3）可知：30≤x≤40时，w≥2000. 又∵ x≤32，∴30≤x≤32.
（2）由w ＝2000 得：
【变式】如图，一次函数y＝
4 3
x－1的图像交x、y轴于A、B，将直
线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的表达式.
分析：由∠ABC ＝45°联想到什么图形？如何构造？
求直线BC，只需求出直线上任另一点即可.
解析：作AD⊥AB交BC于D，作DE⊥x轴于E.
（构造“K”型图）
则 OA＝ED＝ ∴ OE＝ 7

押江苏苏州卷第23-27题(三角函数的应用、反比例函数、圆综合问题、一次函数应用、二次函数综合)解析

押江苏苏州卷第23-27题押题方向一：三角函数的应用3年江苏苏州真题考点命题趋势2023年江苏苏州卷第23题三角函数的应用从近年江苏苏州中考来看，解直角三角形的实际应用是相对很固定的考点，试题以解答题形式呈现，整体难度中等；预计2024年江苏苏州卷还将继续重视对三角函数解决实际问题，大家一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。

1．（2023·江苏苏州·中考真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，,,BE CD GF 为长度固定的支架，支架在,,A D G 处与立柱AH 连接（AH 垂直于MN ，垂足为H ），在,B C 处与篮板连接（BC 所在直线垂直于MN ），EF 是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F 处的螺栓改变EF 的长度，使得支架BE 绕点A 旋转，从而改变四边形ABCD 的形状，以此调节篮板的高度）．已知,208cm AD BC DH ==，测得60GAE ∠=︒时，点C 离地面的高度为288cm ．调节伸缩臂EF ，将GAE ∠由60︒调节为54︒，判断点C 离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin540.8,cos540.6︒≈︒≈）【答案】点C 离地面的高度升高了，升高了16cm ．【分析】如图，延长BC 与底面交于点K ，过D 作DQ CK ^于Q ，则四边形DHKQ 为矩形，可得208QK DH ==，证明四边形ABCD 是平行四边形，可得AB CD ∥，当60GAE ∠=︒时，则60QCD QBA GAE ∠=∠=∠=︒，此时30CDQ ∠=︒，28820880CQ =-=，2160CD CQ ==，当54GAE ∠=︒时，则54QCD QBA GAE ∠=∠=∠=︒，cos541600.696CQ CD =︒≈⨯= ，从而可得答案．【详解】解：如图，延长BC 与底面交于点K ，过D 作DQ CK ^于Q ，则四边形DHKQ 为矩形，∴208QK DH ==，∵AD BC =，AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，当60GAE ∠=︒时，则60QCD QBA GAE ∠=∠=∠=︒，此时30CDQ ∠=︒，28820880CQ =-=，∴2160CD CQ ==，当54GAE ∠=︒时，则54QCD QBA GAE ∠=∠=∠=︒，∴cos541600.696CQ CD =︒≈⨯= ，而96>80，968016-=，∴点C 离地面的高度升高了，升高了16cm ．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．解直角三角形实际应用的一般步骤：（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。

江苏省中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

专题 03 函数的几何综合问题例 1．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：＝ 33与 x 轴交于点，以－ By x33OB为边长作等边三角形AOB，过点A作AB平行于x 轴，交直线l 于点B，以AB为边长作等边三角形AAB，过点A作AB平行于x 轴，交直线l 于点B，以AB为边长作等边三角形AAB，，则点A的横坐标是 ____________．同类题型 1.1 如图，直线 l：y＝x＋1 交 y 轴于点A，在 x 轴正方向上取点B，使OB＝OA；过点B作AB⊥ x 轴，交 l 于点A，在 x 轴正方向上取点B，使BB＝BA；过点B作AB⊥ x 轴，交 l 于点A，在 x 轴正方向上取点B，使BB＝BA；记△OAB面积为 S，△ BAB面积为 S，△BAB面积为 S，则 S等于（）A．2B．2C．2D．2同类题型 1.2 如图，已知直线l： y＝3x，过点A（0，1）作y 轴的垂线交直3线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点A；过点A作 y 轴的垂线交直线 l 于点B，过点B作直线 l 的垂线交 y 轴于点A；；按此作法持续下去，则点A的坐标为（）A．（ 0， 128）B．（ 0， 256）C．（ 0， 512）D．（0，1024）同类题型 1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝3x＋1 交 x 轴于点 B，3交y 轴于点 A，过点 A 作AB⊥AB 交 x 轴于点B，过点B作BA⊥x 轴交直线 l 于点A挨次作下去，则点B的横坐标为 ____________．例2．高速公路上挨次有3 个标记点A、B、C，甲、乙两车分别从A、C 两点同时出发，匀速行驶，甲车从 A→B→C，乙车从 C→B→A，甲、乙两车离 B 的距离、（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象以下图．察看图 y y 象，给出以下结论：①A、C 之间的行程为690 千米；②乙车比甲车每小时快30 千米；③ 4.5 小时两车相遇；④点 E 的坐标为（7， 180），此中正确的有_________（把全部正确结论的序号都填在横线上）．同类题型 2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从 A 地前去 B 地，甲车以a 千米 /时的速度匀速行驶，途中出现故障后泊车维修，修睦后以 2a 千米 /时的速度持续行驶；乙车在甲车出发 2 小时后匀速前去 B 地，比甲车早 30 分钟抵达．抵达B 地后，乙车按原速度返回 A 地，甲车以 2a 千米 /时的速度返回 A 地．设甲、乙两车与 A 地相距 s（千米），甲车走开 A 地的时间为 t（小时），s 与 t 之间的函数图象以下图．以下说法：①a＝40；②甲车维修所用时间为 1 小时；③两车在途中第二次相遇时t 的值为 5.25；④当 t＝3 时，两车相距40 千米，其中不正确的个数为（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个同类题型 2.2 比乙车早行驶（km）与时间甲、乙两车从 A 地驶向 B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车2h，而且甲车途中歇息了 0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离 y x （h）的函数图象．则以下结论：（1）a＝40，m＝1；（ 2）乙的速度是 80km/h；（ 3）甲比乙迟7h 抵达 B 地；4（4）乙车行驶9小时或19小时，两车恰巧相距50km．正确的个数是4 4（）A．1B．2C．3D．4同类题型 2.3 甲、乙两人从科技馆出发，沿同样的路线分别以不一样的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段行程后，乙开始出发，当乙高出甲 150 米时，乙停在此地等待甲，两人相遇后乙又持续以本来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的行程 y（米）与甲出发的时间 x（秒）的函数图象．则以下四种说法：①甲的速度为 1.5 米/秒；② a＝750；③乙在途中等待甲100 秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375 米．此中正确的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个D． 4 个例3．如图，已知动点 P 在函数y＝1（x＞0）的图象上运动， PM⊥x 轴于点2xM， PN⊥ y 轴于点N，线段 PM、 PN 分别与直线AB： y＝－ x＋1 交于点 E，F，则 AF﹒BE 的值为（）A．4B．2C．1D．12同类题型 3.1 如图，在反比率函数y＝3 的图象上有一动点2xA，连结AO 并延伸交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，知足AC＝ BC，当点 A 运动时，点 C 一直在函数y＝k的图象上运动，若tan∠ CAB＝ 2，则k 的值为x（）A．－ 3 B．－ 6 C．－ 9 D．－ 12同类题型 3.2 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 在第一象限，点 C 在线段 AB 上，点 D 在 AB 的右边，△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∠ OAB＝∠ BCD＝ 90°，若函数＝6（x＞0）的图象经过点 D，则y x△OAB 与△BCD 的面积之差为（）A．12 B．6 C．3 D．2同类题型 3.3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y＝ kx（ k＞ 0）分别交反比率函数y＝1和y＝9在第一象限的图象于点A，B，过点 B 作BD⊥ x 轴x x于点 D，交y＝1的图象于点 C，连结 AC．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值x是___________．例 4．如图，一次函数y＝x＋b 的图象与反比率函数y＝k的图象交于点A（3，xkB，且与 y 轴交于点 C，若点 P 是反比率函数 y＝图象上的一个动 x 点，作直线 AP 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M、N，连结 BN、CM．若S＝S，则APAN 的值为 __________．同类题型 4.1 当1≤x≤2时，函数 y＝－ 2x＋b 的图象上起码有一点在函数y＝1 2 x的图象下方，则 b 的取值范围为（）A．＞2 2 B．9 C．b＜3 D．22＜9＜＜b b 2 b 2 同类题型 4.2 方程x＋3x－1＝0 的根可视为函数 y＝x＋3 的图象与函数y＝1的x图象交点的横坐标，那么用此方法可推测出方程x＋2x－1＝0 的实数根x所在的范围是（）A．－1＜x＜0B．0＜x＜1C．1＜x＜2D．2＜x＜3例5．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y＝－x＋2mx－m－ m＋1 交 y 轴于点为 A，极点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H．当抛物线极点 D 在第二象限时，假如∠ ADH＝∠ AHO，则 m＝__________．同类题型 5.1 已知抛物线y＝1x＋1 拥有以下性质：该抛物线上随意一点到定点4F（0，2）的距离与到x 轴的距离一直相等，如图，点M 的坐标为（3，3），1△PMF 周长的最小值是P 是抛物线 y＝ x＋ 1 上一个动点，则4（）A．3B．4C．5D．6同类题型 5.2 抛物线＝＋bx＋3（a≠0）经过点yax3A（－ 1，0），B（，0），且与y 轴订交于点 C．设点 D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右边，点上，且 DE⊥AC，当△DCE 与△AOC 相像时，求点 D 的坐标．E 在线段AC同类题型 5.3 小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完整开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口 B 和落水滴 C 恰幸亏同向来线上，点 A 至出水管BD 的距离为12cm，洗手盆及水龙头的有关数据如图 2 所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心E，则点 E 到洗手盆内侧的距离EH 为__________cm．参照答案例 1．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：3 3，以＝－与 x 轴交于点 3 By3xOB 为边长作等边三角形 AOB ，过点 A 作AB 平行于 x 轴，交直线 l 于点 B ，以 AB 为边长作等边三角形 AAB ，过点 A 作AB 平行于 x 轴，交直线 l 于点 B ，以 AB 为边长作等边三角形 AAB ，，则点 A 的横坐标是 ____________．解：由直线 l ： y ＝ 33与 x 轴交于点 B ，可得 B（1，0），D （0， 3），x －3－33∴OB ＝1，∠OB D ＝30°，以下图，过 A 作AA ⊥ OB 于 A ，则 OA ＝1OB ＝1，2 212－1即A 的横坐标为＝，由题可得 ∠ABB ＝∠OBD ＝30°，∠BAB ＝∠ABO ＝60°，∴∠ABB ＝90°，∴AB ＝2AB ＝2，1过A 作AB ⊥ AB 于 B ，则 AB ＝ AB ＝1，2即A 的横坐标为 1＋1＝3＝2－1，2 2 2过A 作AC ⊥ AB 于C ， 1同理可得， AB ＝2AB ＝4，AC ＝ AB ＝2，2即的横坐标为 172－1，A＋＋＝＝1 2 2 22同理可得，的横坐标为 1＋＋＋＝ 15 2 －1，A ＝ 21 2 4 2 22－1由此可得， A 的横坐标为，2－1∴点 A 的横坐标是．同类题型 1.1 如图，直线 l ：y ＝x ＋1 交 y 轴于点 A ，在 x 轴正方向上取点 B ，使OB ＝OA ；过点 B 作 AB ⊥ x 轴，交 l 于点 A ，在 x 轴正方向上取点 B ，使BB ＝BA；过点作⊥ x 轴，交 l 于点，在 x 轴正方向上取点，使＝；记 B AB ABBB BA △ OAB 面积为 S ， △BAB 面积为 S ， △ BAB 面积为 S ，则S 等于（） A ．2B ．2C ．2D ．2解：∵ ＝；过点作 ⊥xOBOABAB轴，＝； ⊥xBBBAAB轴，BB ＝BA ；∴ △ △ OAB，△ BAB，△ BAB是等腰直角三角形，∵y＝x＋1 交 y 轴于点A，∴A（0，1），∴B（1，0），∴OB＝OA＝1，1＝1，∴ ＝2 ×1 S 2 ×1 ×1同理1 1，1 1；＝＝＝＝×4 ×4 ×4S2 ×2 ×2 2 ×2 S 221＝，∴ ＝S 2 ×2 2 ∴S＝2＝2，选B．同类题型 1.2 如图，已知直线l：y＝3x，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直3线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点A；过点A作 y 轴的垂线交直线 l 于点B，过点B作直线 l 的垂线交 y 轴于点A；；按此作法持续下去，则点A的坐标为（）A．（0，128） B ．（0，256）C．（0，512）D．（0，1024）解：∵直线 l 的分析式为；y＝3 x，3∴l与 x 轴的夹角为30°，∵AB∥x 轴，∴∠ ABO＝30°，∵OA＝1，∴OB＝2，∴AB＝ 3，∵A B⊥l，∴∠ABA＝60°，∴A O＝4，∴A（0，4），同理可得A（0，16），∴A纵坐标为4＝256，∴A（0，256）．选B．同类题型 1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝3x＋1 交 x 轴于点 B，3交y 轴于点 A，过点 A 作AB⊥AB 交 x 轴于点B，过点B作BA⊥x 轴交直线 l 于点A挨次作下去，则点B的横坐标为 ____________．解：由直线 l：y＝3x＋ 1 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 A，可得 A（ 0， 1），3B（－ 3，0），∴t an∠ABO＝3，即∠ ABO＝30°， 3∴BA＝2AO ＝2，又∵AB⊥AB 交 x 轴于点B，AO＝1，2∴AB＝3，34∴Rt △BAB中，BB3；38由题可得BA＝，8∴AB＝3，9∴R t △中，163；＝BAB BB9 由题可得32，＝BA9∴＝32 3，AB 27∴R t △中，643，＝BAB BB27以此类推，＝F(4,3)) 3，BB又∵ BO＝ 3，∴OB＝ F(4,3)) 3－ 3，∴点 B的横坐标为F(4,3)) 3－ 3．例2．高速公路上挨次有3 个标记点A、B、C，甲、乙两车分别从A、C 两点同时出发，匀速行驶，甲车从 A→B→C，乙车从 C→B→A，甲、乙两车离 B 的距离、（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象以下图．察看图 y y 象，给出以下结论：① A、C 之间的行程为 690 千米；②乙车比甲车每小时快 30 千米；③ 4.5 小时两车相遇；④点 E 的坐标为（ 7， 180），此中正确的有_________（把全部正确结论的序号都填在横线上）．解：① 450＋240＝690（千米）．故A、C之间的行程为 690 千米是正确的；②450÷5－240÷4＝90－60＝30（千米 /小时）．故乙车比甲车每小时快30 千米是正确的；③690÷（450÷5＋240÷4）＝690÷（90＋60）＝690÷150＝4.6（小时）．故4.6 小时两车相遇，本来的说法是错误的；④（ 450－240）÷（450÷5－240÷4）＝210÷（90－60）＝210÷30＝7（小时），450÷ 5×7－450＝630－450＝180（千米）．故点 E 的坐标为（ 7，180）是正确的，故此中正确的有①②④．同类题型 2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从 A 地前去 B 地，甲车以 a 千米 /时的速度匀速行驶，途中出现故障后泊车维修，修睦后以 2a 千米 /时的速度持续行驶；乙车在甲车出发 2 小时后匀速前去 B 地，比甲车早 30 分钟抵达．抵达 B 地后，乙车按原速度返回 A 地，甲车以 2a 千米 /时的速度返回 A 地．设甲、乙两车与 A 地相距 s（千米），甲车走开 A 地的时间为 t（小时），s 与 t 之间的函数图象以下图．以下说法：①a＝40；②甲车维修所用时间为1 小时；③两车在途中第二次相遇时 t 的值为 5.25；④当 t＝3 时，两车相距 40 千米，其中不正确的个数为（）A．0 个 B ．1 个C．2 个D．3 个解：①由函数图象，得a＝120÷3＝40故①正确，②由题意，得5.5－3－120÷（40×2），＝ 2.5－1.5，＝ 1．∴甲车维修的时间为 1 小时；故②正确，③如图：∵甲车维修的时间是 1 小时，∴B （4，120）．∵乙在甲出发 2 小时后匀速前去 B 地，比甲早 30 分钟抵达．∴E （5，240）．∴乙行驶的速度为： 240÷3＝80，∴乙返回的时间为： 240÷80＝3，∴F （8，0）．设 BC 的分析式为 y ＝kt ＋b ，EF 的分析式为 y ＝kt ＋b ，由图象，得120＝4k ＋b ， 240＝5k ＋b{240＝5.5k ＋b ) { 0＝8k ＋b ) 解得k ＝80，k＝－80，{b ＝－ 200){b ＝640 )∴y ＝80t －200，y ＝－ 80t ＋640，当y ＝y 时，80t －200＝－ 80t ＋640，t ＝5.25．∴两车在途中第二次相遇时t 的值为 5.25 小时，故弄③正确，④当 t＝3 时，甲车行的行程为：120km，乙车行的行程为：80×（ 3－2）＝80km，∴两车相距的行程为： 120－80＝40 千米，故④正确，选A．同类题型 2.2甲、乙两车从 A 地驶向 B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶 2h，而且甲车途中歇息了 0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离 y （km）与时间 x（h）的函数图象．则以下结论：（1）a＝40，m＝1；（2）乙的速度是 80km/h；7（3）甲比乙迟h 抵达 B 地；（4）乙车行驶9小时或19小时，两车恰巧相距50km．4 4正确的个数是（）A．1 B ．2C．3D．4解：（ 1）由题意，得 m＝1.5－0.5＝1．120÷（3.5－0.5）＝ 40（km/h），则 a＝40，故（ 1）正确；（2）120÷（3.5－2）＝ 80km/h （千米 /小时），故（ 2）正确；（3）设甲车歇息以后行驶行程 y （km ）与时间 x （ h ）的函数关系式为 y ＝kx ＋b ，由题意，得40＝1.5k + b{120＝3.5k + b ) 解得：{k ＝40)b ＝ - 20∴y ＝40x －20，依据图形得悉：甲、乙两车中先抵达B 地的是乙车，把 y ＝260 代入 y ＝40x －20 得， x ＝7， ∵乙车的行驶速度： 80km/h ，∴乙车的行驶 260km 需要 260÷80＝3.25h ，7∴7 - （2 + 3.25）= 4h ， 7∴甲比乙迟 h 抵达 B 地，故（ 3）正确；（4）当 1.5＜x ≤7时， y ＝40x －20．设乙车行驶的行程 y 与时间 x 之间的分析式为 y ＝k'x ＋b'，由题意得0＝2k ′+ b ′{120＝3.5k ′+ b ′) 解得：{k ′＝80)b ′＝ - 160∴y ＝80x －160．当 40x －20－50＝80x －160 时，解得： x = 9．4当 40x －20＋50＝80x －160 时，解得： x = 19．49 1 19 11 ∴ －2＝，－2＝．4444因此乙车行驶小时1或11小时，两车恰巧相距50km，故（ 4）错误．4 4选C．同类题型 2.3 甲、乙两人从科技馆出发，沿同样的路线分别以不一样的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段行程后，乙开始出发，当乙高出甲 150 米时，乙停在此地等待甲，两人相遇后乙又持续以本来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的行程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象．则以下四种说法：①甲的速度为 1.5 米/秒；② a＝750；③乙在途中等待甲100 秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375 米．此中正确的个数是（）A．1 个 B ．2 个C．3 个D．4 个解：①依据图象能够获得：甲共跑了900 米，用了 600 秒，则甲的速度是： 900÷600＝1.5 米/秒，故①正确；②甲跑 500 秒时的行程是： 500×1.5＝750 米，故②正确；③CD 段的长是 900－750＝150 米，时间是： 560－500＝60 秒，则乙速度是： 150÷60＝2.5 米/秒；甲跑 150 米用的时间是： 150÷1.5＝100 秒，则甲比乙早出发 100 秒．乙跑 750 米用的时间是： 750÷2.5＝300 秒，则乙在途中等待甲用的时间是：500－300－100＝100 秒，故③正确；④甲每秒跑 1.5 米，则甲的行程与时间的函数关系式是：y＝1.5x，乙晚跑 100 秒，且每秒跑 2.5 米，则AB 段的函数分析式是： y＝2.5（x－100），依据题意得： 1.5x＝2.5（x－100），解得： x＝250 秒．∴乙的行程是： 2.5 ×（250－100）＝ 375（米）．∴甲出发 250 秒和乙第一次相遇，此时乙跑了375 米，故④正确．选D．例3．如图，已知动点 P 在函数y＝1（x＞0）的图象上运动， PM⊥x 轴于点2xM， PN⊥ y 轴于点 N，线段 PM、 PN 分别与直线AB： y＝－ x＋1 交于点 E，F，则 AF﹒BE 的值为（）A．4 B ．2 C．1 D．12解：作 FG⊥x 轴，∵P 的坐标为（ a ，1），且 PN ⊥OB ， PM ⊥OA ，2a 1 ∴N 的坐标为（ 0，），M 点的坐标为（ a ，0），1∴BN ＝1－，在直角三角形 BNF 中，∠ NBF ＝45°（OB ＝OA ＝1，三角形 OAB 是等腰直角三角形），∴ NF ＝＝1，－BN 1 2a∴F 点的坐标为（1－1，1）， 2a 2a同理可得出 E 点的坐标为（ a ，1－a ），∴ AF111 ，，＝（－＋）＋（）＝＝（）＋（－）＝1 1 2a2a2a BE aa 2a1∴AF ﹒BE ＝2a ﹒2a ＝1，即 AF ﹒BE ＝1．选 C ．同类题型 3.1 如图，在反比率函数 y ＝ 3的图象上有一动点 A ，连结 AO 并延伸2x交图象的另一支于点 B ，在第二象限内有一点C ，知足 AC ＝ BC ，当点 A 运动时，点 C 一直在函数 y ＝ k的图象上运动，若 tan ∠ CAB ＝ 2，则 k 的值为x（）A ．－ 3B ．－ 6C ．－ 9D ．－ 12解：如图，连结OC，过点 A 作 AE⊥y 轴于点 E，过点 C 作 CF⊥y轴于点 F，∵由直线 AB 与反比率函数y＝3的对称性可知 A、B 点对于 O 点对称，2x∴AO＝BO．又∵ AC＝BC，∴CO⊥AB．∵∠ AOE＋∠ AOF＝90°，∠ AOF＋∠ COF＝90°，∴∠ AOE＝∠ COF，又∵∠ AEO＝90°，∠ CFO＝90°，∴△ AOE∽△ COF，∴AE OE AO，＝＝CO CF OF∵t an∠CAB＝OC＝2，OA∴CF＝2AE，OF＝2OE．3又∵AE﹒OE＝，CF﹒OF＝|k|，∴k＝±6．∵点 C 在第二象限，∴k ＝－ 6，选 B ．同类题型 3.2 如图，在平面直角坐标系中，点A 在 x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点 C 在线段 AB 上，点 D 在 AB 的右边， △OAB 和 △BCD 都是等腰直角三角形，∠ OAB ＝∠ BCD ＝90°，若函数 y = 6（ x ＞0）的图象经过点 D ，则x△OAB 与△BCD 的面积之差为（）A ．12B ．6C ．3D ．2解：∵△ OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∴OA ＝AB ，CD ＝BC ．设 OA ＝a ，CD ＝b ，则点 D 的坐标为（ a ＋b ，a －b ），∵反比率函数 y ＝6在第一象限的图象经过点 D ，x∴（a ＋b ）（a －b ）＝a －b ＝6，1 11 ∴△ OAB 与△BCD 的面积之差＝ a － b ＝ ×6＝3．2 22选 C ．同类题型 3.3 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y ＝ kx （ k ＞ 0）分别交反比率函数 y ＝ 1和y＝9在第一象限的图象于点 A ，B ，过点 B 作 BD ⊥ x 轴x x于点 D ，交 y ＝ 1的图象于点 C ，连结 AC ．若 △ABC 是等腰三角形，则 k 的值x是___________．解：∵点 B 是 y ＝kx 和y ＝9的交点，y ＝kx ＝9， x x解得：＝ 3 ，＝，3 kxyk3 （k∴点 B 坐标为，3 ），k点 A 是 y ＝kx 和y ＝1的交点，y ＝kx ＝1，x x解得：＝ 1，＝ k ，x yk1∴点 A 坐标为（， k ），k∵BD ⊥x 轴，∴点 C 横坐标为 3，纵坐标为 k3 k∴点 C 坐标为（，），k 3∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，1 ＝ k ，3 3k①AB ＝BC ，则 FR(,k))－ FR(,k)))＋R(,k)－ R(,k))＝3 k － k，3解得：3 7＝；k7②AC ＝BC ，则 FR(,k))－ FR(,k)))＋ R(,k)－ F R(,k),3))＝3 k － k，3解得： k ＝ 15；5故答案为 k ＝3 7或 15．75例 4．如图，一次函数 y ＝x ＋ b 的图象与反比率函数＝ k的图象交于点 A（3，y x6）与点 B ，且与 y 轴交于点 C ，若点 P 是反比率函数＝ k图象上的一个动yx点，作直线 AP 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M 、N ，连结 BN 、CM ．若，则APS ＝SAN的值为 __________．解：把 A （3，6）代入到一次函数 y ＝x ＋b 与反比率函数 y ＝k中，x 得： b ＝3，k ＝18，∴y ＝18，y ＝x ＋3，x∴C （0，3），＝18 x＝3 x＝－ 6 则y x ，解得：，，{) { ){ )y＝6 y＝－ 3 ∴B（－ 6，－ 3），分两种状况：①点 P 在第一象限时，如图1，∵S＝S，S－S＝S＋S，＝＋，S 2S S1 1 1NC﹒OM＝2 × NC ×3＋ NC×6，2 2 2OM＝6＋6＝12，∴M（12，0），直线 AM 的分析式为：y＝－2x＋8，3∴N（0，8），18y＝x则，{y＝－2x＋8)18 2＝－ x＋8，x 3解得： x＝3 或 9，∴P（9，2），∴＋，＋，2＝ 13 ＝ 6 4＝13 ＝ 3AP 2ANAP 2 13∴＝＝2；AN13②当点 P 在第三象限上时，如图2，∵S＝S，∴S＋S＝S＋S，S＝S，1 1NC﹒OM＝ NC×6，2 2∴OM＝6，∴M（－ 6，0），直线 AM 的分析式为：y＝2x＋4，3∴N（0，4），18y＝x则，{y＝2x＋4)18 2＝x＋4，x 3解得： x＝3 或－ 9，∴P（－ 9，－ 2），∴＝13，＝ 12＋8＝4 13，AN AP∴AP 4 13＝＝4，AN 13综上所述，则AP的值为 2 或 4．AN同类题型 4.1当1≤x ≤2时，函数 y ＝－ 2x ＋b 的图象上起码有一点在函数 y ＝ 12x的图象下方，则 b 的取值范围为（）A ．＞29C ．b ＜3D ．2＜ 9B ．＜2 ＜b 2bb22解：在函数＝1中，令 x ＝2，则 y1；令x1，则 y ＝2；＝＝yx 221若直线 y ＝－ 2x ＋b 经过（ 2，），则21＝－ 4＋b ，即 b ＝ 9；221若直线 y ＝－ 2x ＋b 经过（，2），则22＝－ 1＋b ，即 b ＝3，∵直线 y ＝－ 2x ＋ 9在直线 y ＝－ 2x ＋3 的上方，2∴当函数 y ＝－ 2x ＋b 的图象上起码有一点在函数y ＝1的图象下方时，直线 y ＝x－2x ＋b 在直线 y ＝－ 2x ＋9的下方，2∴b 的取值范围为 b ＜ 9．2选 B ．同类题型4.2方程 x ＋3x －1＝0 的根可视为函数y ＝x ＋3 的图象与函数y ＝1的 x图象交点的横坐标，那么用此方法可推测出方程x＋2x－1＝0 的实数根x所在的范围是（）A ．－1＜x ＜0B ．0＜x ＜1C ．1＜x ＜2D ．2＜x ＜3解：方程 x ＋2x －1＝0 的实数根能够看作函数 y ＝x ＋2 和y ＝1的交点．x函数大概图象以下图：A ．由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于－2，故－1＜x ＜0 错误；B ．当 x ＝1 时， y ＝ 1＋2＝ 3， y ＝1＝1，而 3＞1，依据函数的增减性可知，第 1 一象限内的交点的横坐标小于1，故 0＜x ＜1 正确；C ．当 x ＝1 时， y ＝ 1＋2＝ 3， y ＝1＝1，而 3＞1，依据函数的增减性可知，第 1 一象限内的交点的横坐标小于1，故 1＜x ＜2 错误；1 1D ．当 x ＝2 时， y ＝2＋2＝ 4，y ＝，而 4＞，依据函数的增减性可知，第一象2 2 限内的交点的横坐标小于 2，故 2＜x ＜3 错误．选 B ．例 5．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝－ x ＋2mx －m － m ＋1 交 y 轴于点为 A ，极点为 D ，对称轴与 x 轴交于点 H ．当抛物线极点 D 在第二象限时，如果∠ ADH ＝∠ AHO ，则 m ＝__________．解：（ 1）∵ －m ＋1，y ＝－ x ＋2mx －m －m ＋1＝－（x －m ）∴极点 D （m ，1－m ）．∵极点 D 在第二象限，∴m＜0．当点 A 在 y 轴的正半轴上，如图（ 1）作 AG⊥DH 于点 G，∵A（0，－m－m＋1），D（m，－ m＋1），∴H（m，0），G（m，－m－m＋1）∵∠ ADH＝∠ AHO，∴t an∠ADH＝tan∠AHO，∴AG＝ AO．DG HO∴－m ＝－－＋－m m 1．－－－＋1)－m1 m ( m S UP6(2) m整理得：m＋m＝0．∴m＝－ 1 或 m＝0（舍）．当点 A 在 y 轴的负半轴上，如图（2）．作 AG⊥DH 于点 G，∵A（0，－m－m＋1），D（m，－ m＋1），∴H（m，0），G（m，－m－m＋1）∵∠ ADH＝∠ AHO，∴t an∠ADH＝tan∠AHO，∴AG＝ AO．DG HO－m∴＝1－m－(－m S UP6(2)－m＋1) 整理得：m＋m－2＝0．∴m＝－ 2 或 m＝1（舍）．综上所述， m 的值为－ 1 或－ 2．m＋m－1．－m同类题型 5.1 已知抛物线y＝1x＋1 拥有以下性质：该抛物线上随意一点到定点4F（0，2）的距离与到x 轴的距离一直相等，如图，点M 的坐标为（ 3，3），1P 是抛物线 y＝ x＋1 上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（） 4A．3 B ．4C．5D．61解：过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，交抛物线y＝4x＋1 于点 P，此时△PMF 周长最小值，∵F（0，2）、（3，3），M∴ME＝3，FM ＝ R(,3)－0)＋(3－2)＝2，∴△PMF 周长的最小值＝ ME＋FM ＝3＋2＝5．选C．同类题型 5.2 抛物线＝＋bx＋3（a≠0）经过点yax3A（－ 1，0），B（，0），且与y 轴订交于点 C．设点 D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右边，点上，且 DE⊥AC，当△DCE 与△AOC 相像时，求点 D 的坐标．E 在线段AC 解：如图 2 所示：延伸 CD，交 x 轴与点 F．∵∠ ACB＝45°，点 D 是第一象限抛物线上一点，∴∠ ECD＞45°．又∵△ DCE 与△AOC 相像，∠ AOC＝∠ DEC＝90°，∴∠ CAO＝∠ ECD．∴CF＝AF．设点 F 的坐标为（ a，0），则（a＋1）＝3＋a，解得 a＝4．∴F（4，0）．3 设 CF 的分析式为y＝ kx＋3，将 F（4， 0）代入得： 4k＋3＝ 0，解得：k＝－4 ．∴CF 的分析式为 y ＝－3x ＋3．4将＝－ 3x ＋3 与＝－＋x ＋3 联立：解得： x ＝0（舍去）或7．＝y 4y2xx8将x ＝7代入 y ＝－ 3x ＋3得： y ＝75．8 4327 75 ∴D （，）．8 32同类题型 5.3 小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图 1），完整开启后，水流路线呈抛物线，把手端点 A ，出水口 B 和落水滴 C 恰幸亏同向来线上，点 A 至出水管 BD 的距离为 12cm ，洗手盆及水龙头的有关数据如图 2 所示，现用高 10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心 E ，则点 E 到洗手盆内侧的距离 EH 为__________cm ．解：以下图，成立直角坐标系，过A 作 AG ⊥OC 于 G ，交 BD 于 Q ，过 M作 MP ⊥AG 于 P ，由题可得， AQ ＝12，PQ ＝MD ＝6，故 AP ＝6，AG ＝36，∴Rt △APM 中， MP ＝ 8，故 DQ ＝8＝OG ，∴BQ ＝12－8＝4，由 BQ ∥CG 可得， △ABQ ∽△ ACG ，∴BQ ＝AQ ，即 4 ＝12， CG AG CG 36∴CG ＝12，OC ＝12＋8＝20，∴C （20，0），又∵水流所在抛物线经过点 D （0，24）和 B （12，24），∴可设抛物线为 y ＝ax ＋bx ＋24，把 C （20，0），B （12，24）代入抛物线，可得3a ＝－{24＝144a ＋12b ＋24)，解得 {20)，0＝400a ＋20b ＋249 b ＝539∴抛物线为 y ＝－x ＋ x ＋24，又∵点 E 的纵坐标为 10.2，∴令 y ＝10.2，则 10.2＝－ 3 x ＋ 9x ＋24，20 5 解得＝＋ 2，＝－ 8 2（舍去），x 6 8 x 6∴点 E 的横坐标为＋ 8 2，6又∵ ON＝30，∴EH＝30－（6＋8 2）＝24－8 2．。

2023年春苏科版九年级数学中考复习《二次函数与一次函数综合型解答题》

2023年春苏科版九年级数学中考复习《二次函数与一次函数综合型解答题》一、问题描述在2023年春季的苏科版九年级数学中考中，涉及到了二次函数与一次函数综合型解答题。

本文将为你详细介绍这个解答题的问题描述、解题思路和解题步骤。

二、问题描述题目中给出了一个二次函数和一个一次函数，要求解答以下两个问题： 1. 二次函数和一次函数的图象是否有交点？ 2.如果有交点，求出交点的横坐标和纵坐标。

三、解题思路对于这个问题，我们可以采取以下步骤来解答： 1. 将二次函数和一次函数的方程表示出来。

2. 将二次函数和一次函数的方程相等，解得交点的横坐标。

3. 将交点的横坐标带入二次函数或一次函数中，求得交点的纵坐标。

四、解题步骤下面我们将按照解题思路中的步骤一步步地解答这个问题。

步骤1：方程表示已知二次函数的方程为：y = ax^2 + bx + c已知一次函数的方程为：y = mx + n步骤2：二次函数和一次函数相等将二次函数和一次函数的方程相等，得到以下方程：ax^2 + bx + c = mx + n化简得：ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0这是一个二次方程，我们可以通过求解该二次方程来得到交点的横坐标。

步骤3：求解交点的横坐标使用二次方程的求根公式，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)带入步骤2中得到的二次方程的系数，求解得到交点的横坐标。

步骤4：求解交点的纵坐标将交点的横坐标带入二次函数或一次函数中，求得交点的纵坐标。

五、总结通过以上的解题步骤，我们可以解答出题目中的两个问题。

首先，我们将二次函数和一次函数的方程表示出来，然后将二次函数和一次函数的方程相等，得到一个二次方程。

通过求解该二次方程，我们可以得到交点的横坐标。

最后，将交点的横坐标带入二次函数或一次函数中，求得交点的纵坐标。

江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题较难题知识点分类

江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题较难题知识点分类一．反比例函数综合题（共3小题）1．（2023•镇江）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B （1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．（1）m＝，k＝，点C的坐标为；（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．2．（2023•泰州）在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）、B（m﹣a，0）（a＞m＞0）的位置和函数y1＝（x＞0）、y2＝（x＜0）的图象如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图象相交于点E，CD边与函数y1、y2的图象分别相交于点G、H，一次函数y3的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．（1）若m＝2，a＝4，求函数y3的表达式及△PGH的面积；（2）当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；（3）试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图象上？并说明理由．3．（2023•连云港）【问题情境建构函数】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC＝x，AE＝y，试用含x的代数式表示y．【由数想形新知初探】（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．【数形结合深度探究】（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）【抽象回归拓展总结】（4）若将（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此时y关于x的函数表达式是；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．二．二次函数的应用（共1小题）4．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x （元/kg）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】三．二次函数综合题（共8小题）5．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．6．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．7．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．（1）求点A、B的坐标；（2）随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为．8．（2023•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣6x+8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B 的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．（1）求点A，B的坐标；（2）若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点（3，2），求PM长的取值范围．9．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B 在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．10．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．11．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB 下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．12．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．①a＝；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．四．三角形综合题（共4小题）13．（2023•镇江）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，OA、OB分别表示门框和门所在位置，点M、N分别是OA、OB上的定点，OM ＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定长，∠MFN大小可变．（1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度数；（2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置OB（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（3）在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值＝．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．14．（2023•镇江）已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（m，n），点C与点B关于原点对称，直线AB、AC分别与y轴交于点E、F，点F在点E的上方，EF＝2．（1）分别求点E、F的纵坐标（用含m、n的代数式表示），并写出m的取值范围；（2）求点B的横坐标m、纵坐标n满足的数量关系（用含m的代数式表示n）；（3）将线段EF绕点（0，1）顺时针旋转90°，E、F的对应点分别是E'、F'．当线段E'F'与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围．15．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．16．（2023•扬州）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．（1）当α＝60°时，BC＝；当BC＝2时，α＝ °；（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．五．四边形综合题（共4小题）17．（2023•镇江）[发现]如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：①取AB、AC的中点D、E，在边BC上作MN＝DE．②连接EM，过点D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分别为G、H．③将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置．④延长PQ、ST交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q、A、T在一条直线上；②四边形FPGS是矩形；③△FQT≌△HMN；④四边形FPGS与△ABC的面积相等．[任务1]请你对结论①进行证明．[任务2]如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，P、Q分别是AB、CD的中点，连接PQ．求证：PQ＝（AD+BC）．[任务3]如图3，有一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB ＝，小丽分别取AB、CD的中点P、Q，在边BC上作MN＝PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM 的长．18．（2023•徐州）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．19．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．求证：．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为．20．（2023•常州）对于平面内的一个四边形，若存在点O，使得该四边形的一条对角线绕点O旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形MNPQ中，对角线MP、NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”．（1）若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是；（2）如图1，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点O是四边形ABCD的一个“旋点”．求∠ACB的度数；（3）如图2，在四边形ABCD中，AC＝BD，AD与BC不平行．四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请说明理由．六．圆的综合题（共1小题）21．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；逆向思考（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P 为该圆的圆心；拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．七．作图—复杂作图（共1小题）22．（2023•常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心．①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接PQ，则PQ与BE的关系是．八．相似三角形的判定与性质（共1小题）23．（2023•苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．（1）求证：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的长．九．相似形综合题（共2小题）24．（2023•南通）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．（1）如图，点E在边BC上，BE＝DF，则图中与线段AE相等的线段是；（2）过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；（3）在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF＝DG时，求的值．25．（2023•常州）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E、F在边AB上（EF＜AB），且点C、D、G、H在直线AB的同侧；第二步，设＝m，＝n，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点O，射线OH与射线AD相交于点P（点P、D不重合），射线OG与射线BC相交于点Q（点Q、C不重合），观测DP、CQ的长度．（1）如图2，小丽取AB＝4，EF＝3，m＝1，n＝3，滑动矩形EFGH，当点E、A重合时，CQ＝；（2）小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB的中点．她发现对于任意的m≠n，DP＝CQ 总成立．请说明理由；（3）经过数次操作，小丽猜想，设定m、n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP＝CQ总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题较难题知识点分类参考答案与试题解析一．反比例函数综合题（共3小题）1．（2023•镇江）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B （1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．（1）m＝　﹣3　，k＝　﹣3　，点C的坐标为　（﹣4，0）　；（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．【答案】（1）﹣3，﹣3，（﹣4，0）；（2）点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即点B（1，﹣3），将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝﹣3×1＝﹣3，即反比例函数的表达式为：y＝﹣，根据正比例函数的对称性，点A（﹣1，3），由点O、A的坐标得，OA＝，过点A作AH⊥x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠AOH＝3，而∠ACO＝45°，设AH＝3x＝CH，则OH＝x，则AO＝x＝，则x＝1，则AH＝CH＝3，OH＝1，则CO＝CH+OH＝4，则点C的坐标为：（﹣4，0），故答案为：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；（2）当点P在x轴的负半轴时，∵∠BOP＞90°＞∠AOC，又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，∴△BOP和△AOC不可能相似；当点P在x轴的正半轴时，∠AOC＝∠BOP，若△AOC∽△BOP，则，则OP＝OC＝4，即点P（4，0）；若△AOC∽△POB，则，即，解得：OP＝2.5，即点P（2.5，0），综上，点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．2．（2023•泰州）在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）、B（m﹣a，0）（a＞m＞0）的位置和函数y1＝（x＞0）、y2＝（x＜0）的图象如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图象相交于点E，CD边与函数y1、y2的图象分别相交于点G、H，一次函数y3的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．（1）若m＝2，a＝4，求函数y3的表达式及△PGH的面积；（2）当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；（3）试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图象上？并说明理由．【答案】（1）y3＝﹣2x+5，；（2）当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积不变化，理由见解答；（3）直线PH与BC边的交点在函数y2的图象上，理由见解答．【解答】（1）∵m＝2，a＝4，∴点A（2，0），B（﹣2，0），y1＝，y2＝，∴点E（2，1），G（，4），H（﹣，4），∵一次函数y3的图象经过点E、G，∴设y3＝kx+b，则，∴，∴函数y3的表达式为y3＝﹣2x+5，∴P（0，5），∴PM＝OP﹣OM＝1，∴S△PGH＝×HG×PM＝×1×1＝．（2）∵点A（m，0），B（m﹣a，0），y1＝，y2＝，∴点E（m，1），G（，a），H（，a），设y3＝k1x+b1，则，∴b1＝a+1，∴P（0，a+1），∴PM＝OP﹣OM＝1，∴S△PGH＝×HG×PM＝×（）×1＝．∴当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积不变化．（3）设直线PH与BC边的交点为N，设直线PH为y＝k2x+a+1，代入H（，a），得+a+1＝a，∴k2＝，∴y＝x+a+1，当x＝m﹣a时，y＝1，∴N（m﹣a，1），∴点N在y2＝（x＜0）的图象上．3．（2023•连云港）【问题情境建构函数】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC＝x，AE＝y，试用含x的代数式表示y．【由数想形新知初探】（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．【数形结合深度探究】（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y 随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是　①④　．（写出所有正确结论的序号）【抽象回归拓展总结】（4）若将（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此时y关于x的函数表达式是　y＝（x＞0，k＞0）　；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．【答案】（1）y＝＝（x＞0）；（2）当x取任意实数时，函数y＝的图象关于原点成中心对称；（3）①④；（4）y＝（x＞0，k＞0），性质见解答．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BCM＝90°，∴∠ABE+∠MBC＝90°，∵AE⊥BM，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠AEB＝∠BCM，∠MBC＝∠BAE，∴Rt△ABE∽Rt△BMC，∴，∵AB＝4，点M是CD的中点，∴CM＝CD＝AB＝2，在Rt△BMC中，BM＝＝＝，∴＝，∴y＝＝（x＞0）；（2）x取任意实数时，对应的函数图象关于原点对称理由如下：若P（a，b）为图象上任意一点，则b＝，∴设P（a，b）关于原点的对称点为Q，则Q（﹣a，﹣b），∵当x＝﹣a时，y＝＝﹣，∴Q（﹣a，﹣b）也在函数y＝的图象上，∴当x取任意实数时，函数y＝的图象关于原点对称；（3）观察图象，①函数值y随x的增大而增大；故正确，②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；故错误，③存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误，④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形，故正确．故答案为：①④；（4）y关于x的函数表达式为y＝（x＞0，k＞0），当k≠0，x取任意实数时，有如下相关性质：当k＞0时，图象经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大，y的取值范围为﹣2k＜y＜2k；当k＜0时，图象经过第二、四象限，函数值y随x的增大而减小，y的取值范围为2k＜y ＜﹣2k；函数图象经过原点；函数图象关于原点对称；故答案为：y＝（x＞0，k＞0）．二．二次函数的应用（共1小题）4．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x （元/kg）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】【答案】（1）y＝；（2）当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，将（22，48），（30，40）代入解析式得，，解得，∴函数表达式为：y＝﹣x+70；当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，将（30，40），（45，10）代入解析式得，，解得，∴函数表达式为：y＝﹣2x+100，综上，y与x的函数表达式为：y＝；（2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，∴当x＝30时，w取得最大值为400；当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，当x＝35时，w取得最大值为450；∵450＞400，∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．三．二次函数综合题（共8小题）5．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．【答案】（1）存在，k＝±；（2）证明见解答；（3）0＜n≤1且n≠1/6．【解答】（1）解：存在，理由：由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），解得：k＝±；（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，﹣kt+2k），由点A的坐标知，点A在直线y＝x﹣2上，同理可得，点B在直线y＝﹣x+2k，则y1＝m2﹣2，y2＝﹣m2+2k，则y1﹣y2＝m2﹣2+﹣m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，即y1﹣y2≥2；（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，则t＝s﹣5，即点A在直线y＝x﹣5上，同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，当n＞0时，抛物线和直线AB的大致图象如下：直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如上图，联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，设点A的横坐标为x，则x+5＝，∵x≥0，则﹣5≥0，解得：n≤1，此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，故n≠，即0＜n≤1且n≠；当n＜0时，当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，故该情况不存在，综上，0＜n≤1且n≠1/6．6．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是　②　（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．【答案】（1）②；（2）①2；②，；（3）＞16．【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y＝﹣，∴与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②，故答案为：②；（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；②∵2x2﹣5x+2＝﹣，∴2x3﹣5x2+2x+1＝0，∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1＝0，∴（2x3﹣2x2）﹣（2x2﹣2x）﹣（x2﹣1）＝0，∴2x2（x﹣1）﹣2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣x﹣1）＝0，∴2x2﹣3x﹣1＝0，∴x＝或x＝．故答案为：，．（3）x1满足方程﹣x+m＝﹣，即﹣mx1＝2，x2，x3满足方程x﹣m＝﹣，即x2，x3是方程x2﹣mx+2＝0的两个根，∴Δ＝m2﹣8＞0，即m2＞8，x2+x3＝m，∴＝（m﹣2x1）2＝m2﹣4mx1+4＝m2+4（﹣mx1）＝m2+8＞16．7．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB 交于点F，∠DEA＝60°．（1）求点A、B的坐标；（2）随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为　　．【答案】（1）A（2，0），B（1，）；（2）①∠EDA的大小保持不变；②线段BF的长度最大值为；（3）．【解答】解：（1）令y＝0，得：，解得：x1＝0，x2＝2，∴A（2，0），∵y＝﹣＝，∴顶点B的坐标为（1，）；（2）①在线段AB上截取BG＝BE，连接EG，由已知可得：∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，由（1）可抛物线对称轴是直线x＝1，∴OH＝1，∴OB＝，AB＝＝2，∴AB＝OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AC＝BC＝AB＝2，∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°，∵∠GBE＝60°，BG＝BE，∴△BGE是等边三角形，∴∠BGE＝∠BEG＝∠GBE＝60°，BE＝GE，∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝120°，又∵∠DBE＝∠OBA+∠ABC＝120°，∴∠DBE＝∠AGE，∵∠BED+∠DEG＝∠GEA+∠DEG＝60°，∴∠BED＝∠GEA，∴△DBE≌△AGE（ASA），∴DE＝AE，又∠AED＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠EDA＝60°，即∠EDA的大小保持不变；②∵△ADE和△AOB是等边三角形，∴∠AOD＝∠DBF＝∠EDA＝60°，∠BDF+∠EDA＝∠AOD+∠OAD，∴∠BDF＝∠OAD，∴△AOD∽△DBF，∴，设OD＝x，则BD＝2﹣x，，∴BF＝，∴当x＝1时（此时点D为OB的中点），BF取最大值；（3）设DE的中点为M，连接AM，过点D作DN⊥对称轴于点N，∵OA＝OB＝AC＝BC＝AB，∴四边形OACB是菱形，∴OA∥BC，∵DN⊥BH，∴OA∥BC∥DN，∴∠EBM＝∠DNM，∠BEM＝∠NDM，又∵DM＝EM，∴△BEM≌△NDM（AAS），∴DN＝EB，∵AD＝AE，DM＝ME，∴AM⊥DE，∴∠AME＝90°，∴∠BME+∠HMA＝90°，∵∠BME+∠BEM＝90°，∴∠HMA＝∠BEM，∴Rt△BME∽Rt△HAM，∴，∴，∴BM＝，∴MH＝BH﹣BM＝，∴DN＝BE＝，∴S△BDE＝S△BDM+S△EBM＝＝；故答案为：．8．（2023•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣6x+8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B 的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P 作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．（1）求点A，B的坐标；（2）若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点（3，2），求PM长的取值范围．【答案】（1）点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．（2）PM长的取值范围为：或＜PM＜2或PM＞2．【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴A（2，0），B（4，0）．答：点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．（2）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴对称轴为x＝3．设P（m，m2﹣6m+8），∵PM⊥l，∴M（3，m2﹣6m+8），连接MT，则MT⊥PT，∴PT2＝PM2﹣MT2＝（m﹣3）2﹣r2，即以切线长PT为边长的正方形的面积为（m﹣3）2﹣r2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则，∴（m﹣3）2﹣r2＝m2﹣6m+8，∵r＞0，∴r＝1．假设⊙M经过点N（3，2），则有两种情况：①如图，当点M在点N的上方，∴M（3，3），∴m2﹣6m+8＝3，解得m＝5或1，∵m＞4，∴m＝5．②如图，当点M在点N的下方，∴M（3，1），∴m2﹣6m+8＝1，解得，∵m＞4，∴，综上所述，PM＝m﹣3＝2或，答：PM长的取值范围为：或＜PM＜2或PM＞2．9．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B 在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．【答案】（1）（1，6）；（2）∠BCD＝90°时，L2：y＝﹣x2+2x++3；当∠BDC＝90°，L2：y＝﹣x2+2x﹣3；（3）．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线L1的顶点坐标P（1，﹣4），∵m＝1，点P和点D关于直线y＝1对称，∴点D的坐标为（1，6）；（2）∵抛物线L1的顶点P（1，﹣4）与L2的顶点D关于直线y＝m对称，∴D（1，2m+4），抛物线L2：y＝﹣（x﹣1）2+（2m+4）＝﹣x2+2x+2m+3，∴当x＝0时，C（0，2m+3），①当∠BCD＝90°时，如图1，过D作DN⊥y轴于N，∵D（1，2m+4），∴N（0，2m+4），∵C（0，2m+3），∴DN＝NC＝1，∴∠DCN＝45°，∵∠BCD＝90°，∴∠BCO＝45°，∵直线l∥x轴，∴∠BOC＝90°，∴∠CBO＝∠BCO＝45°，BO＝CO，∵m≥﹣3，∴BO＝CO＝（2m+3）﹣m＝m+3，∴B（m+3，m），∵点B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，∴m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，∴m＝0或m＝﹣3，∵当m＝3时，得B（0，﹣3），C（0，﹣3），此时，点B和点C重合，舍去，当m＝0时，符合题意；将m＝0代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得L2：y＝﹣x2+2x+3，②当∠BDC＝90°，如图2，过B作BT⊥ND交ND的延长线于T，同理，BT＝DT，∴D（1，2m+4），∴DT＝BT＝（2m+4）﹣m＝m+4，∵DN＝1，∴NT＝DN+DT＝1+（m+4）＝m+5，∴B（m+5，m），∵当B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，∴m＝（m+5）2﹣2（m+5）﹣3，解得m＝﹣3或m＝﹣4，∵m≥﹣3，∴m＝﹣3，此时，B（2，﹣3），C（0，﹣3）符合题意；将m＝﹣3代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得，L2：y＝﹣x2+2x﹣3，③易知，当∠DBC＝90°，此种情况不存在；综上所述，L2所对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3或y＝﹣x2+2x﹣3；（3）由（2）知，当∠BDC＝90°时，m＝﹣3，此时，△BCD的面积为1，不合题意舍去，当∠BCD＝90°时，m＝0，此时，△BCD的面积为3，符合题意，由题意得，EF＝FG＝CD＝，取EF的中点Q，在Rt△CEF中可求得CQ＝EF＝，在Rt△FGQ中可求得GQ＝，当Q，C，G三点共线时，CG取最小值，最小值为．10．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝　﹣1　；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．【答案】（1）b＝﹣1；（2）k≤﹣3；（3）P（3，﹣）或（﹣1，﹣）．【解答】解：（1）由题意得，﹣2b﹣4＝0，∴b＝﹣1；（2）∵tan∠AOD＝，∴设D（2t，5t），∴，∴t1＝﹣，t2＝4（舍去），∴D（﹣1，﹣），∵y＝﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴新抛物线设为：y＝（x﹣m）2﹣，∴﹣，∴m1＝﹣3，m2＝1（舍去），∴y＝（x+3）2﹣，∵在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，∴k≤﹣3；（3）如图，作PV⊥CQ于V，设P（t，），∴平移后的抛物线为：y＝（x﹣t）2+（），当x＝1时，y＝t2﹣2t﹣，∴Q（1，t2﹣2t﹣），∵＞0，∴∠CPQ＝90°，∵QV＝（t2﹣2t﹣）﹣（）＝﹣t，CV＝（﹣t﹣4）﹣（﹣）＝﹣t+，∴QV＝CV，∴PV＝CV＝QV，∴|t﹣1|＝，∴t1＝3，t2＝﹣1，t3＝t4＝1（舍去），当t＝3时，y＝32﹣3﹣4＝﹣，。

2023年江苏中考数学一轮复习专题训练第11讲二次函数

第11讲二次函数 2023年中考数学一轮复习专题训练严老师选编一、单选题1．（2022·泰州）已知点(−3，y1)，(−1，y2)，(1，y3)在下列某一函数图象上，且y3<y1<y2那么这个函数是()A．y=3x B．y=3x2C．y=3x D．y=−3 x2．（2022·泗洪模拟）下列函数属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1x B．y＝（x﹣3）2﹣x2C．y＝1x2﹣x D．y＝2（x+1）2﹣13．（2022·泗洪模拟）关于x的二次函数y=(x−ℎ)2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值为（）A．0或2B．2或4C．0或4D．0或2或4 4．（2022·泗洪模拟）已知二次函数y=x2+bx+c中，其函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：x…0123…y…5212…点A(x1，y12，y212y12（）A．y1≥y2B．y1≤y2C．y1>y2D．y1<y2 5．（2022·徐州模拟）将抛物线y=2x2−1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y=2(x+1)2−3B．y=2(x−1)2+1C．y=2(x−1)2−3D．y=2(x+1)2+16．（2021·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x+2)2−1D．y=(x−2)2−17．（2021·宿迁）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a>0；②b2−4ac＞0；③4a+b=0；④不等式ax2+（b−1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2021·宝应模拟）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a(x﹣1)2+2a，若(m﹣1)a+b+c≤0，则m的最大值是（）A．0B．1C．2D．4二、填空题9．（2021·丰县模拟）若把函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象向左平移a个单位，再向上平移b个单位，所得图象的函数表达式是y＝（x+3）2+2，则a＝，b＝.10．（2022·盐城）若点P(m，n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n 的取值范围是．11．（2022·泗洪模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−1.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为4，则该方程的另一个根为.12．（2022·泗洪模拟）已知函数y=x2−2019x+2020与x轴的交点为(m，0)，(n，0)，则(m2−2019m+2020)(n2−2019n+2020)=.13．（2022·惠山模拟）如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2＋c＜mx＋n的解集是.14．（2022·海陵模拟）当x取任意实数时，二次函数y=x2－(2m+1)x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是.15．（2022·连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是m .16．（2022·沭阳模拟）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，当y> 0时，x的取值范围是.三、综合题17．（2022·泰州）如图，二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=k的图象相交于点B(3，1).x(x>0)（1）求这两个函数的表达式；（2）当y1随x的增大而增大且y1<y2时，直接写出x的取值范围；（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.18．（2021·常州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12x2+bx﹣2的图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C.（1）求二次函数的表达式；（2）若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB＝∠BCO，求点P的坐标；（3）若点Q在第四象限内，且tan∠AQB=32，M（﹣2，1），线段MQ是否存在最大值，如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由.。

中考数学真题分项汇编(江苏专用)函数与一次函数

中考数学真题分项汇编（江苏专用）专题04函数与一次函数一．选择题（共8小题）1．（2022•扬州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据平方数非负数判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴点P（﹣3，a2+1）所在的象限是第二象限．故选：B．2．（2022•常州）某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y与x之间的函数表达式为（）A．y＝x+50B．y＝50x C．y＝D．y＝【分析】根据题意列出函数关系式即可得出答案．【解答】解：由城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，则平均每人拥有绿地y＝．故选：C．3．（2022•连云港）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥0C．x≤0D．x≤1【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵x﹣1≥0，∴x≥1．故选：A．4．（2022•无锡）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x＞4B．x＜4C．x≥4D．x≤4【分析】因为当函数用二次根式表达时，被开方数为非负数，所以4﹣x≥0，可求x的范围．【解答】解：4﹣x≥0，解得x≤4，故选：D．5．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2B．x＞2C．x＜1D．x＞1【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可．【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，故选：D．6．（2022•无锡）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（﹣，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（）A．3B．C．D．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m，进而求出点A、B的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵点A（﹣，﹣2m）在反比例函数y＝上，∴﹣2m＝，解得：m＝2，∴点A的坐标为：（﹣，﹣4），点B的坐标为（2，1），∴S△OAB＝××5﹣××4﹣×2×1﹣×1＝，故选：D．7．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1B．C．2D．4【分析】根据三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，再根据两点间的距离公式解答即可．【解答】解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，），∴OA＝，∵≥0，即：﹣4≥0，∴≥4，∵≥0，两边同时开平方得：a﹣＝0，∴当a＝时，OA有最小值，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），∴A点坐标为（，），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB＝OA＝2．故选：C．8．（2022•扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据题意可知xy的值即为该校的优秀人数，再根据图象即可确定丙校的优秀人数最多．【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，∴乙、丁两所学校的优秀人数相同，∵点丙在反比例函数图象上面，∴丙校的xy的值最大，即优秀人数最多，故选：C．二．填空题（共10小题）9．（2022•无锡）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交：y＝x+1（答案不唯一）．【分析】设函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再根据一次函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交可知k＞0，b＞0，写出符合此条件的函数解析式即可．【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵一次函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交，∴k＞0，b＞0，∴符合条件的函数解析式可以为：y＝x+1（答案不唯一）．故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．10．（2022•泰州）一次函数y＝ax+2的图象经过点（1，0）．当y＞0时，x的取值范围是x ＜1．【分析】由待定系数法可求得一次函数的解析式，再结合图象即可得出答案．【解答】解：将点（1，0）代入y＝ax+2，得a+2＝0，解得a＝﹣2，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+2，如图，∴当y＞0时，x＜1．故答案为：x＜1．11．（2022•盐城）《庄子•天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线l2：y＝x于点O1，过点O1作y轴的平行线交直线l1于点A1，以此类推，令OA＝a1，O1A1＝a2，…，O n﹣1A n﹣1＝a n，若a1+a2+…+a n≤S对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为2．【分析】由直线l1的解析式求得A，即可求得a1，把A的坐标代入y＝x求得O1的坐标，进而求得A1的坐标，即可求得a2，把A1的纵坐标代入y＝x求得O2的坐标，进而求得A2的坐标，即可求得a3，…，得到规律，即可求得O n﹣1A n﹣1＝a n＝（）n﹣1，根据a1+a2+…+a n≤S对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为2．【解答】解：把x＝0代入y＝x+1得，y＝1，∴A（0，1），∴OA＝a1＝1，把y＝1代入y＝x得，x＝1，∴O1（1，1），把x＝1代入y＝x+1得，y＝×1+1＝，∴A1（1，），∴O1A1＝a2＝﹣1＝，把y＝代入y＝x得，y＝，∴O2（，），把x＝代入y＝x+1得，y＝×+1＝，∴A2（，），∴O2A2＝a3＝﹣＝，…，∴O n﹣1A n﹣1＝a n＝（）n﹣1，∵a1+a2+…+a n≤S对任意大于1的整数n恒成立，∴S的最小，∵S≥a1+a2+…+a n＝1+++…+＝1+1﹣+﹣+…+﹣＝2﹣，∴S的最小值为2，故答案为：2．12．（2022•宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是y＝﹣x+2（答案不唯一）．【分析】根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数为一次函数，再利用一次函数的性质，可得出k＜0，b＝2，取k＝﹣1即可得出结论．【解答】解：∵函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图象经过点（0，2），∴该函数为一次函数．设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＜0，b＝2．取k＝﹣1，此时一次函数的表达式为y＝﹣x+2．故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）．13．（2022•苏州）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为．【分析】设出水管每分钟排水x升．由题意进水管每分钟进水10升，则有80﹣5x＝20，求出x，再求出8分钟后的放水时间，可得结论．【解答】解：设出水管每分钟排水x升．由题意进水管每分钟进水10升，则有80﹣5x＝20，∴x＝12，∵8分钟后的放水时间＝＝，8+＝，∴a＝，故答案为：．14．（2022•扬州）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1．【分析】根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式kx+b＞3的解集．【解答】解：由图象可得，当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＞3的解集为x1，故答案为：x＜﹣1．15．（2022•淮安）在平面直角坐标系中，将点A（2，3）向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值是﹣4．【分析】点A（2，3）向下平移5个单位长度得到点B（2，﹣2），代入y＝利用待定系数法即可求得k的值．【解答】解：将点A（2，3）向下平移5个单位长度得到点B，则B（2，﹣2），∵点B恰好在反比例函数y＝的图像上，∴k＝2×（﹣2）＝﹣4，故答案为：﹣4．16．（2022•镇江）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，y1＞y2，写出符合条件的k的值﹣1（答案不唯一，写出一个即可）．【分析】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图像经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，y1＞y2，∴此反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，∴k可为小于0的任意实数，例如，k＝﹣1等．故答案为：﹣1．17．（2022•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，则k的值为．【分析】连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，由B、C点的坐标可知B、C关于原点对称，则BO＝CO，即可求得S△AOB＝1，根据反比例函数系数k的几何意义得出S＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，即可得出|6n+2m|•|3m﹣m|＝1，求得m2△AOB＝，由于k＝6m2，即可求得k＝．【解答】解：如图，连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝（k≠0）图象上的三点．∴k＝6m2＝6mn，∴n＝m，∴B（3m，2m），C（﹣3m，﹣2m），∴B、C关于原点对称，∴BO＝CO，∵S△ABC＝2，∴S△AOB＝1，∵S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，∴|6m+2m|•|3m﹣m|＝1，∴m2＝，∵k＝6×，∴k＝，故答案为：．18．（2022•盐城）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为y＝．【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可．【解答】解：令反比例函数为y＝（k≠0），∵反比例函数的图象经过点（2，3），∴3＝，k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝．故答案为：y＝．三．解答题（共9小题）19．（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．（1）小丽步行的速度为80m/min；（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．【分析】（1）用路程除以速度即可得小丽步行的速度；（2）求出小华的速度，即可求出两人相遇所需的时间，进而可得小丽所走路程，即是他们到甲地的距离．【解答】解：（1）由图象可知，小丽步行的速度为＝80（m/min），故答案为：80；（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是＝120（m/min），∴出发后需要＝12（min）两人相遇，∴相遇时小丽所走的路程为12×80＝960（m），即当两人相遇时，他们到甲地的距离是960m．20．（2022•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．【分析】（1）根据图形即可得出结论；（2）用待定那个系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式即可；（3）分0≤a≤30和30＜a≤120两种情况列方程求解即可．【解答】解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0），把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，解得k＝20，∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x （0≤x≤120）；当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′x（k′≠0），把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，解得：k′＝25，∴y乙＝25x；当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx+n（m≠0），则，解得：，∴y乙＝15x+300，综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝；（3）①当0≤a≤30时，根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，解得：a＝60＞30，不合题意；②当30＜a≤120时，根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，解得：a＝80，综上，a的值为80．21．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n （cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；（2）①由得P（2p+1，p﹣1），当x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根据点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；②由函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q 的位置不变，Q（3，0）．【解答】解：（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；（2）①由得，∴P（2p+1，p﹣1），∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，∵m+n＞1，∴1﹣m﹣n＜0，∴p﹣1＜0，∴p＜1；②存在m＝时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0），理由如下：由①知，P（2p+1，p﹣1），∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，∵p≠1，∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p ﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，∴当3﹣4m＝0，即m＝时，x﹣＝0，∴x＝3，∴m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．22．（2022•苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：进货批次甲种水果质量（单位：千克）乙种水果质量（单位：千克）总费用（单位：元）第一次60401520第二次30501360（1）求甲、乙两种水果的进价；（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．构建方程组求解；（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，解得x≥80．设获得的利润为w元，由题意，得w＝（17﹣12）×（x ﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，利用一次函数的性质求解．【解答】解：（1）设甲两种水果的进价为每千克a元，乙两种水果的进价为每千克b元．由题意，得，解得，答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，解得x≥80．设获得的利润为w元，由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，∵﹣5＜0，∴w随x的增大而减小，∴x＝80时，w的值最大，最大值为﹣35m+1600，由题意，得﹣35m+1600≥800，解得m≤，∴m的最大整数值为22．23．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH＝AD，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE ﹣PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，∴设点A的坐标为（m，），∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴AD⊥CE，AD平分CE，如图．连接CE交AD于H，∴CH＝EH，∵BC＝CD，OC⊥BD，∴OB＝OD，∴OC＝AD，∵AD⊥x轴于D，∴CE∥x轴，∴E（2m，），∵2m×＝8，∴点E在这个反比例函数的图象上；（2）①∵四边形ACDE为正方形，∴AD＝CE，AD垂直平分CE，∴CH＝AD，设点A的坐标为（m，），∴CH＝m，AD＝，∴m＝×，∴m＝2（负值舍去），∴A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，∴；②延长ED交y轴于P，∵CB＝CD，OC⊥BD，∴点B与点D关于y轴对称，∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，由①知，A（2，4），C（0，2），∴D（2，0），E（4，2），设直线DE的解析式为y＝ax+n，∴，∴，∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴P（0，﹣2）．故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．24．（2022•镇江）如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B．（1）k＝4，b＝2；（2）连接并延长AO，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．【分析】（1）将点A（1，4）分别代入反比例函数y＝（k≠0）和一次函数y＝2x+b的解析式中，求解即可；（2）根据题意，需要分类讨论：当点D落在y轴的正半轴上，当点D落在y轴的负半轴上，△COD∽△AOB或△COD∽△BOA，依次根据比例关系，求解即可．【解答】解：（1）将点A（1，4）代入反比例函数y＝（k≠0）的解析式中，∴k＝1×4＝4；将A（1，4）代入一次函数y＝2x+b，∴2×1+b＝4，解得b＝2．故答案为：4；2．（2）当点D落在y轴的正半轴上，则∠COD＞∠ABO，∴△COD与△ABO不可能相似．当点D落在y轴的负半轴上，若△COD∽△AOB，∵CO＝AO，BO＝DO＝2，∴D（0，﹣2）．若△COD∽△BOA，则OD：OA＝OC：OB，∵OA＝CO＝，BO＝2，∴DO＝，∴D（0，﹣），综上所述：点D的坐标为（0，﹣2），（0，﹣）．25．（2022•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点B（0，4），△BOC的面积是2．（1）求b、k的值；（2）求△AOC的面积．【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y＝2x+b的图象上，代入求得b＝4，由△BOC 的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象过点B（0，4），∴b＝4，∴一次函数为y＝2x+4，∵OB＝4，△BOC的面积是2．∴OB•x C＝2，即＝2，∴x C＝1，把x＝1代入y＝2x+4得，y＝6，∴C（1，6），∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝1×6＝6；（2）把y＝0代入y＝2x+4得，2x+4＝0，解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∴OA＝2，∴S△AOC＝＝6．26．（2022•苏州）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x ＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．（1）求k与m的值；（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．【分析】（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A 的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；（2）根据S△CAP＝S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k＝，∴y＝x+2，把A（2，n）代入y＝x+2，得n＝3，∴A（2，3），把A（2，3）代入y＝，得m＝6，∴k＝，m＝6；（2）当x＝0时，y＝2，∴B（0，2），∵P（a，0）为x轴上的动点，∴PC＝|a+4|，∴S△CBP＝•PC•OB＝×|a+4|×2＝|a+4|，S△CAP＝PC•y A＝×|a+4|×3，∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，∴|a+4|＝+|a+4|，∴a＝3或﹣11．27．（2022•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求△POQ的面积．【分析】（1）把P的坐标代入y＝，利用待定系数法即可求得反比例函数解析式，进而求出Q的坐标，把P、Q的坐标代入一次函数的解析式求出即可；（2）根据三角形面积和可得结论．【解答】解：（1）将点P（﹣4，3）代入反比例函数y＝中，解得：k＝﹣4×3＝﹣12，∴反比例函数的表达式为：y＝﹣；当y＝﹣2时，﹣2＝﹣，∴x＝6，∴Q（6，﹣2），将点P（﹣4，3）和Q（6，﹣2）代入y＝ax+b中得：，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+1；（2）如图，y＝﹣x+1，当x＝0时，y＝1，∴OM＝1，∴S△POQ＝S△POM+S△OMQ＝×1×4+×1×6＝2+3＝5．21/ 21。

江苏中考数学历年真题分类一次函数和反比例函数图像、性质和应用

江苏中考数学历年真题分类一次函数和反比例函数图像、性质和应用一、单选题1．（2021·南通）平面直角坐标系 xOy 中，直线 y =2x 与双曲线 y =kx(k >2) 相交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限.设 M(m ，2) 为双曲线 y =kx(k >2) 上一点，直线 AM ， BM 分别交y 轴于C ，D 两点，则 OC −OD 的值为（） A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【解答】解：∵直线 y =2x 与双曲线 y =kx(k >2) 相交于A ，B 两点， ∴联立可得： {y =2x ，y =k x ，解得： {x 1=√2k 2，y 1=√2k ．或 {x 2=−√2k 2，y 2=−√2k ．∵点A 在第一象限，∴A(√2k 2，√2k) ， B(−√2k 2，−√2k) .∵M(m ，2) 为双曲线 y =kx(k >2) 上一点，∴2=k m. 解得： m =k2 .∴M(k2，2) .设直线AM 的解析式为 y =k 1x +b 1 ，将点 A(√2k 2，√2k) 与点 M(k 2，2) 代入解析式可得： {√2k =k 1·√2k2+b 1，2=k 1·k 2+b 1，解得：{ k 1=2√2k−4√2k−kb 1=√2k−k √2k √2k−k∴直线AM 的解析式为 y =√2k−4√2k−k +√2k−k √2k√2k−k. ∵直线AM 与y 轴交于C 点， ∴x C =0 .∴yC =2√2k−4√2k−k·02√2k−k√2k√2k−k=2√2k−k√2k√2k−k.∴C(0√2k−k√2k√2k−k).∵k>2，∴OC=√2k−k√2k√2k−k =√2k−k√2k√2k−k.设直线BM的解析式为y=k2x+b2，将点B(−√2k2，−√2k)与点M(k2，2)代入解析式可得：{−√2k=k2⋅(−√2k2)+b2，2=k2⋅k2+b2，解得：{k2=√2k+4√2k+kb2=2√2k−k√2k√2k+k∴直线BM的解析式为y=√2k+4√2k+k +√2k−k√2k√2k+k.∵直线BM与y轴交于D点，∴x D=0.∴yD =√2k+4√2k+k·0√2k−k√2k√2k+k=√2k−k√2k√2k+k.∴D(02√2k−k√2k √2k+k).∵k>2，∴OD=2√2k−k√2k√2k+k=k√2k−2√2k√2k+k.∴OC−OD=2√2k−k√2k√2k−kk√2k−2√2k√2k+k=√2k√2k)(√2k(√2k−k)(√2k+k)√2k√2k)(√2k(√2k+k)(√2k−k)=4k−2k2+2k√2k−k2√2k2k−k2−2k2−4k−k2√2k+2k√2k2k−k2=8k−4k22k−k2=4(2k−k2)2k−k2=4.故答案为：B.【分析】联立y =2x 与 y =kx (k >2)为方程组，求解即得A 、B 坐标，将M(m ，2) 代入y =k x (k >2) 中，可得M(k 2，2)，利用待定系数法求出AM 解析式，从而求出点C 坐标，即得OC 的长，利用待定系数法求出BM 解析式，从而求出点D 坐标，即得OD 的长，从而求出OC-OD 的值.2．（2021·无锡）一次函数 y =x +n 的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数 y =m x (m >0) 的图象交于点 A(1，m) ，且 △AOB 的面积为1，则m 的值是（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【解答】∵一次函数 y =x +n 的图象与x 轴交于点B ，∴B(-n ，0)，∵△AOB 的面积为1，一次函数 y =x +n 的图象与反比例函数 y =mx (m >0) 的图象交于点A(1，m) ，∴{12×|n|×m =11+n =m，∴n 2+n −2=0 或 n 2+n +2=0 ，解得：n=-2或n=1或无解，∴m=2或-1（舍去），故答案为：B.【分析】先求出B(-n ，0)，将点A(1，m)代入y =x +n 中得m=n+1①，由△AOB 的面积为1可得12×|n|×m =1②，联立①②求出m 值即可. 3．（2021·宿迁）已知双曲线 y =kx(k <0) 过点(3， y 1 )、(1， y 2 )、(-2， y 3 )，则下列结论正确的是（） A ．y 3>y 1>y 2B ．y 3>y 2>y 1C ．y 2>y 1>y 3D ．y 2>y 3>y 1【答案】A【解析】【解答】解：∵y =kx(k <0) ∴当x ＞0时，y 随x 的增大，且y ＜0；当x ＜0时，y 随x 的增大，且y ＞0； ∵0＜1＜3，-2＜0 ∴y 2＜y 1＜0，y 3＞0 ∴y 3>y 1>y 2 .故答案为：A.【分析】根据反比例函数k ＜0可得图像在二、四象限，可得y 2＜y 1＜0，y 3＞0，根据图像在各自象限y 随x 的增大而增大.4．（2021·苏州）已知点 A(√2,m) ， B(32,n) 在一次函数 y =2x +1 的图象上，则 m 与 n 的大小关系是（） A ．m >nB ．m =nC ．m <nD ．无法确定【答案】C【解析】【解答】解：在一次函数y=2x+1中，∵k=2>0，∴y 随x 的增大而增大.∵2< 94，∴√2<32 .∴m<n. 故答案为：C【分析】由题意根据一次函数的性质“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大.”并结合点A 、B 的横坐标即可判断求解.5．一次函数y ＝kx+3（k≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，它的图象不经过的象限是（）A ．第一B ．第二C ．第三D ．第四【答案】D【解析】【解答】解：∵一次函数y ＝kx+3（k≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，∴k ＞0，该函数过点（0，3），∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故答案为：D.【分析】根据一次函数y ＝kx+3（k≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，可以得到k ＞0，与y 轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题.6．点 P(a,b) 在函数 y =3x +2 的图像上，则代数式 6a −2b +1 的值等于（）A ．5B ．3C ．-3D ．-1【答案】C【解析】【解答】把P(a,b)代入函数解析式y=3x+2得：b=3a+2，化简得到：3a−b=−2，∴6a−2b+1=2(3a−b)+1=2×(−2)+1=−3.故答案为：C.【分析】把P(a,b)代入函数解析式得b=3a+2，化简得3a−b=−2，化简所求代数式即可得到结果；7．（2020·扬州）在平面直角坐标系中，点P(x2+2,−3)所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】【解答】∵x2＋2＞0，∴点P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限.故答案为：D.【分析】由于x2≥0，可得x2+2＞0，可得点P的坐标符号为正负，根据第四象限内点的坐标符号为正负，据此判断即可.8．（2020·扬州）小明同学利用计算机软件绘制函数y=ax(x+b)2（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（）A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0【答案】C【解析】【解答】∵图像过二、四象限∴a＜0，∵x在负半轴时，图像不连续∴-b＜0∴b＞0故答案为：C.【分析】根据图像过二、四象限可判断a的取值，根据x在负半轴的图像，可判断b的取值.9．（2020·连云港）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶.图中折线表示快、慢两车之间的路程y(km)与它们的行驶时间x(h)之间的函数关系.小欣同学结合图像得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/ℎ；③图中a=340；④快车先到达目的地.其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④【答案】B【解析】【解答】当t=2h时，表示两车相遇，2-2.5h表示两车都在休息，没有前进，2.5-3.6时，其中一车行驶，其速度为88−03.6−2.5=80km/h，设另一车的速度为x，依题意得2（x+80）=360，解得x=100km/h，故快车途中停留了3.6-2=1.6h，①错误；快车速度比慢车速度多20km/ℎ，②正确；t=5h时，慢车行驶的路程为（5-0.5）×80=360km，即得到目的地，比快车先到，故④错误；t=5h时，快车行驶的路程为（5-1.6）×100=340km，故两车相距340m，故③正确；故答案为：B.【分析】根据函数图象与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断.10．（2019·徐州）若A(x1,y1)、B(x2,y2)都在函数y=2019x的图象上，且x1<0<x2，则（）A．y1<y2B．y1=y2C．y1>y2D．y1=−y2【答案】A【解析】【解答】解：∵函数y=2019 x，∴该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小，∵A(x1,y1)、B(x2,y2)都在函数y=2019x的图象上，且x1<0<x2，∴y1<y2。

专题17 一次函数综合问题-2021年中考数学名校地市必刷题(江苏专用)(解析版)

专题17 一次函数综合问题一、单选题（共12小题）1.（2020春•荔湾区期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三、四象限．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三、四象限，故选：D．【知识点】正比例函数的性质、一次函数的性质、一次函数的图象2.（2020秋•会宁县期末）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象是正确的．【解答】解：当a＞0，b＞0时，一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，一次函数2＝bx+a的图象经过第一、二、三象限，故选项C错误；当a＞0，b＜0时，一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，一次函数2＝bx+a的图象经过第一、二、四象限，故选项A正确、选项B错误、选项D错误；故选：A．【知识点】一次函数的性质、一次函数的图象3.（2020春•和平区期末）某个一次函数的图象与直线y═x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（）A．y＝﹣x﹣5 B．y＝x+3 C．y＝x﹣3 D．y＝﹣2x﹣8【答案】C【分析】根据两直线平行时k的值相等，设出所求解析式，把已知点坐标代入计算即可．【解答】解：由一次函数的图象与直线y═x+6平行，设直线解析式为y＝x+b，把（﹣2，﹣4）代入得：﹣4＝﹣1+b，即b＝﹣3，则这个一次函数解析式为y＝x﹣3．故选：C．【知识点】一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征4.（2020春•新罗区期末）如图，一次函数l：y＝﹣x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点在第一象限作等腰直角三角形ABC，则直线BC的解析式是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAE，得出C点坐标，用待定系数法即可求出直线BC的解析式．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2中，令x＝0得：y＝2；令y＝0，解得x＝5，∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）．若∠BAC＝90°，如图，作CE⊥x轴于点E，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAE＝90°，又∵∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠BAO．在△ABO与△CAE中，∴△ABO≌△CAE（AAS），∴OB＝AE＝2，OA＝CE＝5，∴OE＝OA+AE＝2+5＝7．则C的坐标是（7，5）．设直线BC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴直线BC的解析式是y＝x+2．故选：D．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征5.（2020春•大化县期末）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（）A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1【答案】B【分析】观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx﹣1的图象上方，所以不等式x+b ＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．故选：B．【知识点】一次函数与一元一次不等式6.（2020•阿城区模拟）小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离y（米）与小亮出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．小明的速度是4米/秒B．小亮出发100秒时到达终点C．小明出发125秒时到达了终点D．小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米【答案】D【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，小明的速度为8÷2＝4（米/秒），故选项A正确；小亮出发100秒时到达终点，故选项B正确；小明出发500÷4＝125秒时到达终点，故选项C正确；小亮出发20秒时，小明走的路程是8+4×20＝88（米），小亮走的路程是500÷100×20＝100（米），此时小亮在小明前方100﹣88＝12米处，故选项D错误；故选：D．【知识点】一次函数的应用7.（2020秋•德城区校级月考）一天，明明和强强相约到距他们村庄560米的博物馆游玩，他们同时从村庄出发去博物馆，明明到博物馆后因家中有事立即返回．如图是他们离村庄的距离y（米）与步行时间x （分钟）之间的函数图象，若他们出发后6分钟相遇，则相遇时强强的速度是（）米/分钟A．80 B．90 C．100 D．不能确定【答案】A【分析】根据图象找出点A、B的坐标利用待定系数法求出线段AB的函数解析式，代入x＝6求出点F的坐标，由此即可得出答案．【解答】解：观察图象可得出：点A的坐标为（5，560），点B的坐标为（12，0），设线段AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，解得：，∴线段AB的解析式为y＝﹣80x+960（5≤x≤12）．当x＝6时，y＝480，∴点F的坐标为（6，480），∴所以相遇时强强的速度是480÷6＝80（米/分钟）．故选：A．【知识点】一次函数的应用8.（2020秋•沈北新区校级期末）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是（）①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为90千米/小时；③货车的速度为60千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【答案】D【分析】由图象可知，甲乙两地的距离为450千米；设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为V1千米/小时，V2千米/小时，根据相遇时：轿车路程+货车路程＝甲乙两地距离，轿车路程﹣货车路程＝90，列方程组求解即可求出两车的速度；根据两车相遇后继续前行，轿车到达乙地时，两车之间的距离为y（千米），即可得出点C的实际意义．【解答】解：由图象可知，甲乙两地的距离为450千米，故①说法正确；设轿车和货车的速度分别为V1千米/小时，V2千米/小时．根据题意得3V1+3V2＝450.3V1﹣3V2＝90．解得：V1＝90，V2＝60，故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时；故②③说法正确；轿车到达乙地的时间为450÷90＝5（小时），此时两车间的距离为（90+60）×（5﹣3）＝300（千米），故点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．故④说法正确．所以说法正确的是①②③④．故选：D．【知识点】一次函数的应用9.（2020春•临江市校级期末）某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）．方案一：购票总价由图中的折线OAB所表示的函数关系确定；方案二：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元．则两种方案购票总价相同时，x的值为（）A．80 B．120 C．160 D．200【答案】D【分析】根据题意，可以分别求得方案一和方案二对应的函数解析式，然后令它们的函数值相等，即可得到两种方案购票总价相同时，x的值．【解答】解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx，12000＝100k，得k＝120，即OA段对应的函数解析式为y＝120x，设AB段对应的函数解析式为y＝ax+b，，得，即AB段对应的函数解析式为y＝60x+6000，由题意可得，方案二中y与x的函数关系式为y＝50x+8000，令50x+8000＝120x，得x＝，∵x为整数，∴x＝应舍去，令60x+6000＝50x+8000，得x＝200，即当x＝200时，两种方案购票总价相同，故选：D．【知识点】一次函数的应用10.（2020•定海区模拟）如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与x轴交于点A，与二次函数交于点B、点C，点A、B、C三点的横坐标分别是a、b、c，则下面四个等式中不一定成立的是（）A．a2+bc＝c2﹣ab B．＝C．b2（c﹣a）＝c2（b﹣a）D．＝+【答案】A【分析】将点A（a，0）坐标代入一次函数表达式，求得一次函数的表达式为y＝mx﹣am，而点B、C在该二次函数上，则，对①②两式进行处理，即可求解．【解答】解：一次函数y＝mx+n与x轴的轴交于点A，故点（a，0），将点A（a，0）坐标代入一次函数表达式得：0＝am+n，解得：n＝﹣am，故一次函数的表达式为y＝mx﹣am，∵点B、C在一次函数上，故点B、C的坐标分别为（b，mb﹣ma）、（c，mc﹣ma），设二次函数的表达式为y＝Ax2，点B、C在该二次函数上，则，（1）②﹣①得：A（b2﹣c2）＝m（c﹣b），等式两边同除以Ab2得，，即，故B正确，不符合题意；（2）①÷②得：③，即C正确，不符合题意；（3）化简③得：a＝，即＝，故D正确，不符合题意；（4）化简A得：a2﹣c2＝﹣bc﹣ab，化简得：a+b＝c，而从上述各式看，该式不一定成立，故A符合题意，故选：A．【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征11.（2020•鹿城区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边△ABC，以AO为一边向左作等边△ADO，连结DC交直线l于点E．则点E 的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【答案】A【分析】求出点C、点D的坐标，得到CD的表达式为：y＝x+，将CD的表达式与直线l的表达式联立，即可求解．【解答】解：y＝﹣x+2①，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2，故点A、B的坐标分别为：（0，2）、（2，0），即OB＝2，AO＝2＝OD，则AB＝4＝BC，tan∠ABO＝＝，故∠ABO＝60°，而△ABC为等边三角形，则BC与x轴的夹角为180°﹣∠ABC﹣∠ABO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则y C＝BC sin60°＝4×＝2，x C＝x B+BC cos60°＝2+4×＝4，故点C（4，2），同理可得点D的坐标为：（﹣3，），设直线CD的表达式为y＝kx+b，则，解得：，故直线CD的表达式为：y＝x+②，联立①②并解得：x＝，y＝，故点E的坐标为：（，），故选：A．【知识点】一次函数的性质、等边三角形的性质、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质12.（2020春•翠屏区期末）如图，直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：①AB＝10；②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；③点D（，）；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】B【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．【解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，∴点A（8，0），点B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝＝10，故①正确；∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，∴AD＝AB﹣BD＝4，∵AC2＝AD2+CD2，∴（8﹣OC）2＝16+OC2，∴OC＝3，∴点C（3，0），设直线BC解析式为：y＝kx+6，∴0＝3k+6，∴k＝﹣2，∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；如图，过点D作DH⊥AC于H，∵CD＝OC＝3，∴CA＝5，∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD，∴DH＝＝，∴当y＝时，＝﹣x+6，∴x＝，∴点D（，），故③正确；∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，∴PD∥OC，∴点P纵坐标为，故④错误，故选：B．【知识点】一次函数综合题二、填空题（共8小题）13.（2020•温州模拟）如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x时，y1＜y2．【答案】＞a【分析】观察函数图象，找出一次函数y1在y2的图象下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：观察图象得：当x＞a时，y1＜y2；故答案为＞a．【知识点】一次函数与一元一次不等式14.（2020•南山区校级一模）如图，正方形ABCO的边长为，OA与x轴正半轴的夹角为15o，点B在第一象限，点D在x轴的负半轴上，且满足∠BDO＝15°，直线y＝kx+b经过B、D两点，则b﹣k＝．【分析】连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，根据正方形的性质可得出∠AOB的度数及OB的长，结合三角形外角的性质可得出∠BDO＝∠DBO，利用等角对等边可得出OD＝OB，进而可得出点D的坐标，在Rt△BOE中，通过解直角三角形可得出点B的坐标，由点B，D的坐标，利用待定系数法可求出k，b的值，再将其代入（b﹣k）中即可求出结论．【解答】解：连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．∵正方形ABCO的边长为，∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝2．∵OA与x轴正半轴的夹角为15o，∴∠BOE＝45°﹣15°＝30°．又∵∠BDO＝15°，∴∠DBO＝∠BOE﹣∠BDO＝15°，∴∠BDO＝∠DBO，∴OD＝OB＝2，∴点D的坐标为（﹣2，0）．在Rt△BOE中，OB＝2，∠BOE＝30°，∴BE＝OB＝1，OE＝＝，∴点B的坐标为（，1）．将B（，1），D（﹣2，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴b﹣k＝4﹣2﹣（2﹣）＝2﹣．故答案为：2﹣．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质15.（2020秋•大东区期末）已知一次函数y＝2x+b和y＝kx﹣3（k≠0）的图象相交于点P（4，﹣6），则二元一次方程组的解是．【分析】两个一次函数的交点坐标为P（4，﹣6），那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：∵一次函数y＝2x+b和y＝kx﹣3（k≠0）的图象交于点P（4，﹣6），∴点P（4，﹣6）满足二元一次方程组，∴方程组的解是．故答案为．【知识点】一次函数与二元一次方程（组）16.（2020秋•崆峒区期末）如图，⊙P与y轴相切于点C（0，3），与x轴相交于点A（1，0），B（7，0），直线y＝kx﹣1恰好平分⊙P的面积，那么k的值是．【答案】1【分析】连接PC，P A，过点P作PD⊥AB于点D，根据切线的性质可知PC⊥y轴，故可得出四边形PDOC 是矩形，所以PD＝OC＝3，再求出AB的长，由垂径定理可得出AD的长，故可得出OD的长，进而得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y＝kx﹣1即可得出结论．【解答】解：连接PC，P A，过点P作PD⊥AB于点D，∵⊙P与y轴相切于点C（0，3），∴PC⊥y轴，∴四边形PDOC是矩形，∴PD＝OC＝3，∵A（1，0），B（7，0），∴AB＝7﹣1＝6，∴OD＝AD+OA＝3+1＝4，∴P（4，3），∵直线y＝kx﹣1恰好平分⊙P的面积，∴3＝4k﹣1，解得k＝1．故答案为：1．【知识点】垂径定理、切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征17.（2020•南关区校级模拟）直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则M的坐标为．【答案】（0，3）【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，进而可得出OA、OB的长度，结合勾股定理可得出AB的长度，根据折叠的性质可得出AM平分∠BAO．（方法一）设OM＝m，则BM＝8﹣m，根据角平分线的性质可得出＝，即＝，解之即可得出点M的坐标；（方法二）过点M作MN⊥AB于N，设MO＝n，则MN＝MO＝n，BM＝8﹣n，根据相似三角形的性质（或者正弦的定义）可得出＝，即＝，解之即可得出点M的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+8＝8，∴点B（0，8），OB＝8；当y＝﹣x+8＝0时，x＝6，∴点A（6，0），OA＝6，根据折叠的性质可知：∠BAM＝∠B′AM，∴AM平分∠BAO．（方法一）设OM＝m，则BM＝8﹣m，∵AM平分∠BAO，∴＝，即＝，解得：m＝3，∴点M的坐标为（0，3）；（方法二）过点M作MN⊥AB于N，如图所示．设MO＝n，则MN＝MO＝n，BM＝8﹣n．∵∠ABO＝∠MBN，∠AOB＝∠MNB＝90°，∴△ABO∽△MBN，∴＝，即＝，解得：n＝3，∴点M的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【知识点】翻折变换（折叠问题）、一次函数图象上点的坐标特征18.（2020•浦口区模拟）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中线段AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示，则E点坐标为．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得小丽和小明的速度，然后即可得到点E的横坐标，再根据图形中的数据，可以得到点E的纵坐标，从而可以得到点E的坐标．【解答】解：由图可得，小丽的速度为：36÷2.25＝16（km/h），小明的速度为：36÷1﹣16＝20（km/h），故点E的横坐标为：36÷20＝，纵坐标是：（20+16）×（﹣1）＝，故答案为：（，）．【知识点】一次函数的应用19.（2020•鄂州）如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为．【分析】在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝，可得OB＝4，OA＝，得角OBA＝30°，根据PQ切⊙O于Q点可得OQ⊥PQ，由OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE ⊥y轴于点E，根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长．【解答】解：如图，在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝，∴OB＝4，OA＝，∴tan∠OBA＝＝，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ＝，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP＝OB＝2，此时PQ＝＝，BP＝＝2，∴OQ＝OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP＝BP＝，∴BE＝＝3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE＝OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2．故答案为：2．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、切线的性质、一次函数的性质20.（2020•金华模拟）如图，点A（﹣1，0），点P是射线AO上一动点（不与O点重合），过点P作直线y＝x的平行线交y轴于C，过点P作x轴的垂线交直线y＝x于B，连结AB，AC，BC．（1）当点P在线段OA上且AP＝PC时，AB：BC＝．（2）当△ABC与△OPC相似时，P点的横坐标为．【分析】（1）AP2＝（m+1）2，PC2＝m2+m2＝2m2，当AP＝PC时，即（m+1）2＝2m2，求出m值，即可求解；（2）当△ABC与△OPC相似时，则△ABC为等腰直角三角形，再分AC是斜边、AB是斜边、BC是斜边三种情况，讨论求解即可．【解答】解：设点P（m，0），则点B（m，m），直线PC∥OB，则直线PC的倾斜角45°，故OP＝CO，故点C（0，﹣m），而点A（﹣1，0），则AB2＝（m+1）2+m2＝2m2+2m+1，BC2＝m2+（m+m）2＝5m2，同理AC2＝m2+1，（1）AP2＝（m+1）2，PC2＝m2+m2＝2m2，当AP＝PC时，即（m+1）2＝2m2，解得：m＝1﹣（不合题意的值已舍去），AB2＝2m2+2m+1＝（2﹣）2+（1﹣）2＝9﹣6，同理BC2＝15﹣10，则＝＝，故AB：BC＝，故答案为：；（2）∵△OPC为等腰直角三角形，∴当△ABC与△OPC相似时，则△ABC也为等腰直角三角形．①当AC是斜边时，则AC2＝AB2+BC2，即m2+1＝2m2+2m+1+5m2，解得：m＝﹣或0（舍去0），当m＝﹣时，AB2＝2m2+2m+1＝，同理BC2＝，即AB＝BC，即△ABC为等腰直角三角形，符合题意；②当AB是斜边时，同理可得：m＝或0（舍去0），此时，BC2＝，AC2＝，即BC＝AC，即△ABC为等腰直角三角形，符合题意；③当BC是斜边时，同理：5m2＝2m2+2m+1+m2+1，解得：m＝，此时，AB≠AC，故m舍去；综上，m＝﹣或，故答案为：﹣或．【知识点】一次函数综合题三、解答题（共10小题）21.（2020秋•高新区校级月考）已知y＝y1+y2，且y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝1；当x＝﹣3时，y＝13，求：（1）y与x之间的函数解析式；（2）当x＝3时，求y的值．【分析】（1）根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1+y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k 与b的值，确定出解析式；（2）将x＝3代入计算即可求出值．【解答】解：（1）根据题意设y1＝，y2＝b（x﹣2），即y＝y1+y2＝+b（x﹣2），将x＝1时，y＝1；x＝﹣3时，y＝13分别代入得：，解得：k＝﹣，b＝﹣，则y＝﹣﹣（x﹣2）；（2）当x＝3时，y＝﹣﹣＝﹣3．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质22.（2020秋•昌图县期末）如图，一次函数y1＝﹣x+m的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数y2＝﹣x图象交于点C（﹣2，n）．（1）求m和n的值；（2）求△OAC的面积；（3）问：在y轴上，是否存在一点P，使得S△BCP＝S△OAC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接利用待定系数法可先确定n的值，然后再把C的坐标代入一次函数y＝﹣x+m可得m的值；（2）首先确定A点坐标，进而可得AO的长，再集合C点坐标可得△OAC的面积；（3）根据题意可得S△BCP＝PB•|x C|＝S△OAC＝6，解出PB的值，进而可得P点的坐标．【解答】解：（1）∵点C（﹣2，n）在正比例函数y2＝﹣x图象上，∴n＝﹣×（﹣2）＝3，∴点C的坐标为（﹣2，3）．∵点C（﹣2，3）在一次函数y＝﹣x+m的图象上，∴3＝﹣（﹣2）+m，解得：m＝2，∴一次函数解析式为y＝﹣x+2．∴m的值为2，n的值为3．（2）当y＝0时，0＝﹣x+2，解得x＝4，∴点a的坐标为（4，0），∴S△OAC＝OA•y C＝×4×3＝6．（3）存在．当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，∴B（0，2），∵S△BCP＝PB•|x C|＝S△OAC＝6，∴PB•2＝6，∴PB＝6，∴点P的坐标为（0，8）或（0，﹣4）．【知识点】两条直线相交或平行问题23.（2020春•渝中区校级期中）如图，l A、l B分别表示A步行与B骑车在同一公路上同时出发，距甲地的路程S（千米）与B出发的时间t（小时）的关系．已知B骑车一段路后，自行车发生故障，进行修理．（1）B出发时与A相距千米，B出发后小时与A相遇；（2）求出A距甲地的路程S A（千米）与时间t（小时）的关系式，并求出B修好车后距甲地的路程S B（千米）与时间t（小时）的关系式．（写出计算过程）（3）请通过计算说明：若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，在途中何时与A相遇？【答案】【第1空】10【第2空】3【分析】（1）从图上可看出B出发时与A相距10千米，B出发后3小时与A相遇；（2）利用待定系数法可求解析式；（3）求出B不发生故障时的解析式和S A的解析式，再求出两直线的交点坐标，即可得出答案．【解答】解：（1）由图形可得B出发时与A相距10千米B出发后3小时与A相遇；故答案为：10，3；（2）设S A的解析式为；S A＝k2t+b，由题意得：，解得：，则S A的解析式为；S A＝t+10，设S B的解析式为S B＝mt+n，由题意得：解得：，∴S B的解析式为S B＝10t﹣7.5；（3）如图，设B不发生故障时的解析式为：y＝k2t，根据题意得：7.5＝0.5k2，解得：k2＝15，则解析式为y＝15t，由，解得：，∴当t＝时，与A相遇【知识点】一次函数的应用24.（2020•黄岩区模拟）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米．（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？【答案】【第1空】10【第2空】30【分析】（1）根据速度＝高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度＝速度×时间即可算出乙在A 地时距地面的高度b的值；（2）分0≤x≤2和x＞2两种情况，根据高度＝初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度﹣甲登山全程中y关于x的函数关系式＝50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．【解答】解：（1）（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），b＝15÷1×2＝30．故答案为：10；30．（2）当0≤x≤2时，y＝15x；当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝．（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．当10x+100﹣（30x﹣30）＝50时，解得：x＝4；当30x﹣30﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝9；当300﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝15．答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．【知识点】一次函数的应用25.（2020•郑州校级二模）为了迎接疫情彻底结束后的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋价格甲乙进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且甲种运动鞋的数量不超过100双，问该专卖店共有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式组，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．【解答】解：（1）依题意得，，整理得，3000（m﹣20）＝2400m，解得m＝100，经检验，m＝100是原分式方程的解，所以，m＝100；（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意得，，解得95≤x≤100，∵x是正整数，100﹣95+1＝6，∴共有6种方案；（3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤100），①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，所以，当x＝100时，W有最大值，W最大＝22000﹣100a，即此时应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；W最大＝16000；③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，所以，当x＝95时，W有最大值，W最大＝21700﹣92a；即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．【知识点】一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用26.（2020秋•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8与直线y＝x﹣1交于点A（3，m）．（1）求k，m的值；（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣1交于点M，过点P作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+8交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．【分析】（1）把A点坐标代入y＝x﹣2中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入y＝kx+7中，求得k的值；（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得PM、PN的值，根据PN≤2PM，列出n的不等式，再求得结果．【解答】解：（1）把A（3，m）代入y＝x﹣1中，得m＝3﹣1＝2，∴A（3，2），把A（3，2）代入y＝kx+8中，得2＝3k+8，解得，k＝﹣2；答：k，m的值为﹣2、2；（2）由（1）知，直线y＝kx+8为y＝﹣2x+8，根据题意，如图：∵点P（n，n），∴M（n﹣1，n），N（n，﹣2n+8），∴PM＝1，PN＝|3n﹣8|，∵PN≤2PM，∴|3n﹣8|≤2×1，∴2≤n≤∵P与N不重合，∴n≠﹣2n+8，∴n≠，综上，2≤n≤，且n≠．【知识点】两条直线相交或平行问题27.（2020秋•长宁区期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A坐标为（3，4），将直线OA绕点O顺时针旋转45°后得到直线y＝kx（k≠0）．（1）求直线OA的表达式；（2）求k的值；（3）在直线y＝kx（k≠0）上有一点B，其纵坐标为1．若x轴上存在点C，使△ABC是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C的坐标．【分析】（1）利用待定系数法可求解；（2）过点A作AD⊥OA，交直线y＝kx于D，作EF⊥y轴于E，过点D作DF⊥EF于F，由“AAS”可证△AOE≌△DAF，可得OE＝AF＝4，AF＝DF＝3，进而可得点D坐标，代入解析式可求k的值；（3）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和两点距离公式可求解．【解答】解：（1）设直线OA解析式为y＝ax，∵点A（3，4），∴4＝3a，∴a＝，∴直线OA解析式为y＝x；（2）如图，过点A作AD⊥OA，交直线y＝kx于D，作EF⊥y轴于E，过点D作DF⊥EF于F，∵∠AOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠AOD＝∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∵EF⊥EO，EF⊥DF，∴∠AEO＝∠AFD＝90°，∴∠OAE+∠AOE＝90°＝∠EAO+∠F AD，∴∠AOE＝∠DAF，∴△AOE≌△DAF（AAS），∴OE＝AF＝4，AF＝DF＝3，∴点D（7，1），∴1＝7k，∴k＝；（3）∵k＝，∴y＝x，当y＝1时，x＝7，∴点B（7，1）；设点C（x，0），∵点C（x，0），点B（7，1），点A（3，4），∴AB2＝（7﹣3）2+（1﹣4）2＝25，AC2＝（3﹣x）2+16，BC2＝（7﹣x）2+1，若AB＝AC时，∴25＝（3﹣x）2+16，解得：x＝0或6，∴点C（0，0）或（6，0）；当AB＝BC时，∴25＝（7﹣x）2+1，∴x＝7±2，∴点C（7+2，0）或（7﹣2，0）；当AC＝BC时，∴（3﹣x）2+16＝（7﹣x）2+1，∴x＝，∴点C（，0），综上所述：点C坐标为（7+2，0）或（7﹣2，0）或（0，0）或（6，0）或（，0）．【知识点】一次函数综合题28.（2020秋•锦州期末）已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C（3，0）．（1）如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．①求点E的坐标；②△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；（2）如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质和中点坐标公式可求点E坐标；②先求点F坐标，由“SAS”可证△AOB≌△FOD；（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）①如图1，连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，。