江苏省如东高级中学2015年高考热身训练数学试题案
江苏省如东高级中学第一学期高三数学第二次阶段测试卷
江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题2007.10.7第I 卷 (选择题，共50分)一．选择题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．若22(1)(32)x x x i-+++是纯虚数，则实数x的值是（ ）A . 1B . 1-C . 1±D . －2 2．下列函数中，在)4,0(π内递减，且关于直线4π=x 对称的函数是（ ）A.x y 2tan =B.)2cos(x y +=πC. )22cos(x y +=πD.|2sin |x y =3．2|log |y x =的定义域为[, ]a b ， 值域为[0, 2]则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为 ( )A ．3B ．43C ．2D ．23 4．若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数，则点(,a b )的轨迹方程 ( ) . 0(0)A x y x -=≠ . 0(0)B x y x +=≠. 20(0)C x y x -=≠ . 20(0)D x y x +=≠5．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,s i n s i n AB AC OP OA AB B AC Cl l =++??uu u r uuu ruu u r uu r uu u r uuu r．则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） （Ａ）重心 （B ）垂心 （C ）内心 （D ）外心 6．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程[()]g f x x =的解集为 （ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．∅二、填空题：本大题共10小题，第7～11题每小题5分，第12～16题每小题6分，共55分．答案填在题中横线上7．向量=(n,1)与=(4,n)共线且方向相同，则n = __▲ . 8．在△ABC 中，已知15,3,5,4AB CA AB AC BAC ⋅===∠则= _▲ .9．已知ABCDEF 是正六边形，且,AB a AE b ==，则CD = _▲ （用,a b 表示）.10．求值0cos10(tan10sin 50-∙= _▲ 11．已知向量25(cos sin )(cos sin )||5a ααb ββa b =-=，，=，，，则cos ()αβ-= _▲ .12．函数12121x x y +-=+的值域是 _▲ ．13．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点横坐标从小到大依次记为,,,,321⋅⋅⋅P P P 则||42P P等于 _ ▲ . 14．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数， 则m 的取值范围是 _▲ ．15．定义在] ,[22-上的偶函数()g x ，当0x ≥时()g x 单调递减， 若 (1) ()g m g m -<， 则m 的取值范围是 _▲ ．16．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度的比为m ，则m 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算17．设，)2cos ,sin 2(x x =，x ，)1cos (-=其中x ∈[0，2π]．(1)求f (x )=OB OA ·的最大值和最小值；(2)当 OA ⊥OB ，求|AB |．18．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三内角，a ，b ，c 是三内角对应的三边长，已知222.b c a bc +-=（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小19．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与x a -和x 的乘积成正比；②当时2a x =，2a y =；③.)(20t x a x≤-≤其中t 为常数，且]1,0[∈t ．(1)设)(x f y =，求出)(x f 的表达式，并求出)(x f y =的定义域；(2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值 20．已知函数f (x )=(x -a )(x -b )(x -c )．(1)求证：()f x '=(x -a )(x -b )＋(x -a ) (x -c )＋(x -b ) (x -c )；(2)若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．.21．对于函数y=f(x)( x∈D，D为函数定义域)，若同时满足下列条件：①f(x)在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]D⊆，使f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]，那么把y= f(x)(x)D∈称为闭函数．(1) 求闭函数y= –x3符合条件②的区间[a，b]；(2)判定函数f(x)= 31((0,))4x xx+∈+∞是否为闭函数？并说明理由；(3) 若()f x=k k的取值范围．．江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题（加试）2007.10.7一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 1. 已知矩阵121A c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为λ，10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是A 的属于λ的特征值向量，则=-1A2. 若cos sin sin cos x θθθθ=（R θ∈）,则函数2()23f x x x =+-的最大值为3. 设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2008(x )＝4. 给出下列命题：①若函数3()f x x =，则(0)0f '=；②若函数2()21f x x =+，图像上(1,3)P 及 邻近点(1,3)Q x y +∆+∆， 则42yx x∆=+∆∆；③加速度是动点位移函数()S t 对时间t 的导数；④2lg 2x x y x =+，则2222212x x xx x y x ⋅-⋅'=-．其中正确的命题为 ．（写上序号）二、解答题：本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算5. (本题8分) 已知函数()ln f x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最值；（Ⅱ）对x D ∈，如果函数()F x 的图像在函数()G x 的图像的下方，则称函数()F x 在D 上被函数()G x 覆盖．求证：函数()f x 在区间()1,+∞上被函数2()g x x =覆盖6．(本题12分) 已知二次函数2()f x ax bx c =++, 满足(0)(1)0f f ==且()f x 的最小值是14-.（Ⅰ）求()f x 的解析式;（Ⅱ）设直线21:(0,)2l y t t t t =-<<其中为常数,若直线l 与()f x 的图象以及y 轴这二条直线和一条曲线所围成封闭图形的面积是1()S t , 直线l 与()f x 的图象以及直线12x =这二条直线和一条曲线所围成封闭图形的面积是2()S t ,已知121()()()2g t S t S t =+,当()g t 取最小值时,求t 的值.江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题参考答案一、 选择题 ACBBAC二、 填空题7，28，23π9，)(21a b - 10，－2 11，35 12，1(,1)2- 13，π 14，[1,3] 15，1[1,)2-16，),2(+∞三、 解答题17解：⑴f (x )=·= -2sin x cos x +cos2x =)42cos(2π+x ．∵0≤x ≤2π ， ∴4π≤2x +4π≤45π．∴当2x +4π=4π，即x =0时，f (x )max =1；当2x +4π=π，即x=83π时，f (x )min = -2．⑵⊥即f (x )=0，2x +4π=2π，∴x =8π．此时||22)12(cos )cos sin 2(-++=x x x=222)12(cos cos sin 4cos sin 4-+++x x x x x=x x x 2cos 2sin 22cos 27272++- =4cos 4sin 24cos 27272πππ++- =231621-． 18，解：（Ⅰ）在△ABC 中，bc a c b A bc a c b +=+=-+222222cos 2又3,21cos π==∴A A ……………………………… 6分（Ⅱ）由正弦定理,又222sin sin sin A B C +=,故222222444a b c R R R += 即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形又,36A B ππ=∴=………………………………………………12分19，解：(1)设()y k a x x =-．由2ax =，2a y =，得：k =4． 于是，4()y a x x =-．解关于x 的不等式：02()x t a x ≤≤-，得0≤x ≤212att+．∴函数的定义域为2[0,]12att+，t 为常数，]1,0[∈t ． (2)22)2(4)(4a a x x x a y +--=-= ． 当2max ,2,121,2212a y ax t a t at ==≤≤≥+时即时； 当]212,0[)(4,210,2212tatx x a y t a t at +-=≤≤<+在时即时上为增函数，故当212atx t=+时,2max 28(12)at y t =+． 故112t ≤≤当时，投入2a x =时，附加值y 最大为2a 万元；当210<≤t 时，投入t at x 212+=时，附加值y 最大为22)21(8t at +万元 20，解：(1)∵ f (x )=(x -a )(x -b)(x -c )=ｘ3-(a+b +ｃ)x 2＋(ab+bc+ac )x -abcf ′(x )=3 x 2-2(a+b +ｃ)x ＋(ab+bc+ac )=[ x 2- (a+b )x ＋ab ]＋[ x 2- (a+c )x ＋ac ]＋[ x 2- (b+c )x ＋bc ] =(x -a )(x -b )＋(x -a )(x -c ) ＋(x -b )(x -c )．(2)∵f (x )是R 上的单调函数，∴f ′(x )≥0，对x ∈R 恒成立，即 3x 2-2(a+b+c )x+(ab+bc+ca )≥0 对x ∈R 恒成立． ∴△≤0， 4(a+b+c )2-12(ab+bc+ca ) ≤0， ∴ (a -b )2＋(a -c )2＋ (b -c )2≤0，∴ a=b=c ． ∴f (x )=(x -a )3 ， ∴f (x )关于点(a ，0)对称．证明如下：设点P (x ，y )是 f (x )=(x -a )3图像上的任意一点，y=(x -a )3，点P 关于点(a ，0)对称的点P ′(2a -x ，-y )， ∵(2a -x -a )3=(2a -x )3= -(x -2a )3=-y ，∴点P ′在函数f (x )=(x -a )3的图像上，即函数f (x )=(x -a )3关于点(a ，0)对称21，解 (1)由y =x -3在[a ，b ]上为减函数，得 33,,.b a a b a b ⎧=-⎪=-⎨⎪<⎩可得a = –1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[–1，1]．(2)取x 1 = 1 ， x 2 = 10，可得f (x )不是减函数；取x 1 =21,10x =1100，可得f (x )在(0 ，+∞)不是增函数，所以f (x )不是闭函数．(3)设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则a k b k =+=+⎧⎪⎨⎪⎩故a ， b 是方程x=k22(21)20,2,x k x k x x k ⎧-++-=⎪≥-⎨⎪≥⎩有两个不等实根． 当k 2≤-时，2222212,2(21)4(2)0,22(21)20.k k k k k +⎧>-⎪⎪⎪+-->⎨⎪+++-≥⎪⎪⎩解得：94k >-，∴ 9(,2]4k ∈--；当2k >-时，222221,2(21)4(2)0,(21)20.k k k k k k k k +⎧>⎪⎪⎪+-->⎨⎪-++-≥⎪⎪⎩这时k 无解．所以 k 的取值范围是9(,2]4--．参考答案一、1. ⎥⎦⎤-⎢⎣⎡1201 2. 0 3. sinx 4 ①②二、5．（12分）解：（1）1()10f x x'=+>在2[1,]e 恒成立. ∴()f x 在2[1,]e 为增函数. ………………………3分 ∴min ()(1)2f x f ==， 22max ()()2f x f e e ==+ ……………………………6分(2)2()()ln g x f x x x x -=--1(()())210g x f x x x'-=-->在(1,)+∞恒成立. ()()g x f x -在(1,)+∞为增函数. ……………………………9分∴()()(1)(1)0g x f x g f ->-= 得证6． 解: (1)由二次函数图象的对称性, 可设211()()24f x a x =--,又(0)01f a =∴= 故2()f x x x =-…………………5分(2) 据题意, 直线l 与()f x 的图象的交点坐标为2(,)t t t -,由定积分的几何意义知1222221201()()()[()()][()()]2t t g t S t S t t t x x dx x x t t dx =+=--------⎰⎰=1222220[()()][()()]ttx x t t dx t t x x dx ---+---⎰⎰132322220[()()]|[()()]|3232t t x x x x t t x t t x =---+---=32431132212t t t -+-+而22111'()43(861)(41)(21)222g t t t t t t t =-+-=--+=---令1'()0,4g t t =⇒=或12t =(不合题意,舍去)当111(0,),'()0,()[,),'()0,(),442t g t g t t g t g t ∈<∈≥递减,递增故当14t =时,()g t 有最小值。
江苏省南通市如东高中2015-2016学年高二下学期期末数学试卷 含解析
2015—2016学年江苏省南通市如东高中高二（下)期末数学试卷一、填空题1．若函数最小正周期为，则ω=．2．已知z=（2﹣i）2(i为虚数单位），则复数z的虚部为．3．若sinα=2cosα，则sin2α+6cos2α的值为．4．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样），已知编号为4，a，28,b，52号学生在样本中，则a+b=．5．从1，2，3，4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是．6．某老师星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6,该组数据的标准差为．7．已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+)=．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为．9．观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为．10．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（写最简分数）11．将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则=．12．已知cos（）=，则cos（）﹣sin2(α﹣)=．13．函数f(x）=x3﹣3x，若方程f（x)=x2+m在（0，+∞）上两个解，则实数m的取值范围为．14．若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1(x）到函数f2（x)在区间D上的“折中函数"．已知函数f（x）=(k﹣1）x﹣1，g（x）=0，h（x)=（x+1）lnx，且f(x）是g(x）到h(x）在区间［1，2e］上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是．二、解答题15．设复数z=﹣3cosθ+isinθ．(i为虚数单位）(1)当θ=π时，求｜z｜的值;（2）当θ∈[，π］时，复数z1=cosθ﹣isinθ，且z1z为纯虚数，求θ的值．16．某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系,从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据,得到如下频率分布表：组号分组频数频率第1组［160，165) 10 0.100第2组[165，170）①0.150第3组［170，175) 30 ②第4组［175,180) 25 0。
2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三(上)段考数学试卷
2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三（上）段考数学试卷一．填空题：1．(★★★★)已知集合A={1，3}，B={2，x}，若A∪B={1，2，3，4}，则x= 4 ．2．(★★★★)命题“∃x＞0，e x＜x+1”的否定是∀x＞0，e x≥x+1 ．x3．(★★★★)已知f（x）=x 2+2xf′（1），则f′（0）= -4 ．4．(★★★★)已知函数f（x）=e |x-a|（a为常数）．若f（x）在区间1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（-∞，1 ．5．(★★★★)已知a，b为正实数，函数f（x）=ax 3+bx+2 x在0，1上的最大值为4，则f （x）在-1，0上的最小值为 - ．6．(★★★)已知，则tanα= ．7．(★★)若函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，y＞0满足f（xy）=f（x）+f（y）则不等式f（x+6）+f（x）＜2f（4）的解集为（0，2）．8．(★★★)已知过点O的直线与函数y=3 x的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y=9 x的图象于C点，当BC∥x轴，点A的横坐标 log 32 ．39．(★★★)设函数D（x）= ，有下列四个结论：①D（x）的值域为{0，1}；②D（x）是偶函数；③D（x）不是周期函数；④D（x）不是单调函数；其中正确的是①②④（填序号）10．(★★)已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2 x-2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是（-4，-2）．11．(★★★★)在△ABC中，若tanAtanC+tanBtanC=2tanAtanB，则= 2 ．12．(★★★)函数f（x）=xcosx 2在区间0，4上的零点个数为 6 ．13．(★★)已知函数则满足不等式f（f（x））＞1的x的取值范围是（4，+∞）．14．(★★)已知函数f（x）=2ax 2+bx-3a+1，当x∈-4，4时，f（x）≥0恒成立，则5a+b最值为最大值为；最小值为- ．二．解答题：15．(★★★)已知p：函数y=x 2+mx+1在（-1，+∞）上单调递增，q：函数y=4x 2+4（m-2）x+1大于0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．16．(★★★)已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R），且函数f（x）的最大值为2，最小正周期为，并且函数f（x）的图象过点（，0）．（1）求函数f（x）解析式；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（）=2，c= ，求a+2b的取值范围．17．(★★★)如图，有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB选一点D，将△ACD沿CD折起．翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2），设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d，实践证明，遮阳效果y与S，d的乘积Sd成正比，比例系数为k，（k为常数，且k＞0）（1）设∠ACD=θ，试将S表示为θ的函数（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）18．(★★)已知函数f（x）=log a（a＞0，a≠1）的图象关于原点对称．（1）求m的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；（3）当a＞1，x∈（t，a）时，f（x）的值域是（1，+∞）求a与t的值．19．(★★)已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x 0＞1，求证：存在唯一的x 0使得g（x）图象在点A（x 0，g（x 0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得| -1|＜a成立．20．(★★)已知函数f（x）=x 2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间-2，2上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．四、高三阶段测试（加试题）21．(★★★)已知函数f（x）=ax 2+2ln（2-x）（a∈R），设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与直线x-2y+2=0垂直，求a的值．22．(★★)设函数f（x）=|x+1|+|x-4|-a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．23．(★★★)在△ABC中，BC= ，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当∠C变化时，求线段CD长的最大值为多少？24．(★★★)函数，定义f（x）的第k阶阶梯函数，其中k∈N *，f（x）的各阶梯函数图象的最高点P k（a k，b k），最低点Q k（c k，d k）．（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；（2）求证：所有的点P k在某条直线L上．（3）求证：点Q k到（2）中的直线L的距离是一个定值．。
江苏省南通市如东高中2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷
江苏省南通市如东高中2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B=．2．集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的子集个数为．3．函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域是．4．已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．5．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．6．函数f（x）=x2﹣2|x|的单调递增区间是．7．f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=．8．已知函f（x）=，则f（f（））=．9．如果函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在的区间是（n，n+1），则正整数n=．10．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．其中假命题的序号是．11．已知偶函数f（x）在m2，n上的单调性并用定义证明；（3）当a=16时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m﹣+9恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x+1|+2a（a是常数且a∈R）（1）若函数f（x）的一个零点是1，求a的值；（2）求f（x）在上的最小值g（a）；（3）记A={x∈R|f（x）＜0}若A=φ，求实数a的取值范围．江苏省南通市如东高中2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：集合A与集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，能求出A∪B．解答：解：∵集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，∴A∪B={1，2，3，4，5}．故答案为：{1，2，3，4，5}．点评：本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的子集个数为4．考点：子集与真子集．专题：集合．分析：根据题意，易得集合M中有2个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案．解答：解：集合A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，则其子集有22=4个，故答案为4．点评：本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系，牢记若一个集合有n个元素，则其有2n个子集．3．函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域是1，2），故答案为：﹣1，01，+∞）．考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：根据已知中函数的解析式f（x）=x2﹣2|x|，我们易画出函数f（x）=x2﹣2|x|的图象，根据图象即可分析出函数f（x）=x2﹣2|x|的单调递增区间．解答：解：函数f（x）=x2﹣2|x|的图象如下所示：由函数的图象可得函数f（x）=x2﹣2|x|的单调递增区间是和﹣1，01，+∞）点评：本题考查的知识点是二次函数的图象及性质，其中根据函数的解析式，画出函数的图象是解答本题的关键．7．f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=±1．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，解方程f（﹣x）=﹣f（x），即可得到结论．解答：解：若f（x）=在定义域上为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即=﹣，则（k•2x﹣1）（1+k•2x）=﹣（k﹣2x）（k+2x），即k2•22x﹣1=﹣（k2﹣22x，则k2•22x﹣1+k2﹣22x=0，即k2﹣1=0，解得k=±1，故答案为：±1点评：本题主要考查函数奇偶性的判断和应用，根据条件建立方程是解决本题的关键．8．已知函f（x）=，则f（f（））=．考点：对数的运算性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数直接进行求值即可．解答：解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．点评：本题主要考查分段函数求值，比较基础．9．如果函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在的区间是（n，n+1），则正整数n=2．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解答：解：∵f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）=﹣2＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3），∴n=2．故答案为2．点评：本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．10．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．其中假命题的序号是①③④．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：①m∥n或m，n相交或m，n异面；②由面面垂直的判定定理可得α⊥β；③n∥α或n⊂α，④n⊥α或n⊥β．，但也有可能n与α，β斜交解答：解：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故①错误②若m∥n，m⊂α，则当n⊄α时，根据线面平行的判定定理可得n∥α，由n⊥β可得α⊥β，当n⊂α时，由n⊥β，则可得m⊥β，由平面垂直的判定定理可得，α⊥β，故②正确③若α∩β=m，m∥n，当n⊆α时，满足已知；当n⊈α时，由线面平行的判定定理可得则n∥αn与β的关系同理可判断，故③错误④若m⊥n，α∩β=m，若n⊆β，由线面垂直的判定定理可得则n⊥α或若n⊆α，由线面垂直的判定定理可得n⊥β．n⊈α，n⊈β时，n与α，β不垂直，即有可能n与α，β斜交，故④错误故答案为：①③④点评：本题主要题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间直线与平面位置关系的判断，其中根据面面平行，线面垂直的判定及性质，空间直线与平面位置关系的定义和几何特征11．已知偶函数f（x）在0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f （2）是解决本题的关键．12．对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是①④⑤．①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；压轴题．分析：①根据三棱锥的结构特征判断．②根据对棱不一定相互垂直判断．③可由正四面体时来判断．④由棱中点两两连接构成平行四边形判断．⑤根据两边之和大于第三边判断．解答：解：①根据三棱锥的结构特征知正确．②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．⑤设图中CD是最长边．BC+BD＞CD，AC+AD＞CD若AC+BC≤CD 且AD+BD≤CD则AC+AD+BC+BD≤CD+CD，矛盾则命题成立．故答案为：①④⑤点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，通过作高，取中点连线，来增加考查的难度，即全面又灵活，是一道好题，属中档题．13．已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间上的最大值为2，则n+m=．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先结合函数f（x）=|log2x|的图象和性质，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒数关系，再由“若f（x）在区间上的最大值为2”，求得m．n的值得到结果．解答：解：∵f（x）=|log2x|，且f（m）=f（n），∴mn=1∵若f（x）在区间上的最大值为2∴|log2m2|=2∵m＜n，∴m=∴n=2∴n+m=故答案为：点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法．14．已知函数f（x）=若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围是0，）的最小值大于等于2x﹣1在0，）上的最小值为；2x﹣1在，）上递增∴当x=时y=当x=时y=∴y∈，）故答案为上的单调性并用定义证明；（3）当a=16时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m﹣+9恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过a的值是否为0，利用奇偶性的定义，直接判断f（x）的奇偶性；（2）通过a=16，利用函数的单调性的定义判断f（x）在x∈（0，2上递减．…（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，22，+∞）上递增，所以f（x）min=f（2）=12，…所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2，即，即1≤m＜5．…（16分）点评：本题考查函数的恒成立，函数的单调性的应用，奇偶性的判断，分类讨论思想的应用，是中档题．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x+1|+2a（a是常数且a∈R）（1）若函数f（x）的一个零点是1，求a的值；（2）求f（x）在上的最小值g（a）；（3）记A={x∈R|f（x）＜0}若A=φ，求实数a的取值范围．考点：函数的零点；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数f（x）的一个零点是1，得到f（1）=0，即可求a的值；（2）根据二次函数的图象和性质，即可求f（x）在上的最小值g（a）；（3）根据不等式的解法，即可求a的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）的一个零点是1，∴．（2）f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，x∈，①当a=0时g（a）=f（2）=﹣3．②当a＜0时，对称轴为g（a）=f（2）=6a﹣3．③当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴x=，若x=＜1，即a＞时，g（a）=f（1）=3a﹣2．若1≤≤2，即时，g（a）=f（）=2a﹣1﹣，若＞2，即0＜a＜时，g（a）=f（2）=6a﹣3．综上：g（a）=，（3）由题意知：不等式f（x）＜0无解即ax2﹣|x+1|+2a≥0恒成立，即对任意x∈R恒成立，令t=x+1，则对任意t∈R恒成立，①当t=0时g（0）=0，②当t＞0时，③当t＜0时，∴a≥g（t）max，即．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质以及函数零点的应用，对应含有参数的问题要对参数进行分类讨论．。
2015年江苏高考数学模拟试卷(5套,含附加)有详细答案
2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{|0}U x x =∈>R ，集合{}2A x x =∈R ≥，则U A ð ▲ ． 2．如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则z 2的模为 ▲ ． 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 ▲ ．4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=．则“3-=a ”是“1l ∥2l ”的 ▲ 条件． 5．当向量(1,1)==-a c ，(1,0)=b 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为 ▲ ．6．为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为 ▲ ．7．定义在R 上的偶函数()f x x a x b =-+-（其中a b 、为常数）的最小值为2，则22=a b + ▲ ．8．设不等式组2201010x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D ，()P x y ，是区域D 上任意一点，则2x y --的最小值是 ▲ ．9．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ▲ ． 10．已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则sin(2)3πθ-= ▲ ． 11．已知22:1O x y +=e ，若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O e 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若7 88 6 1 8 9 1 5 7 8A 1-2Oyx212||||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．13．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 等于 ▲ ． 14．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且10<<k ），lBD =为定长，则ABC ∆的面积最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数π()cos(π)(0)2f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示． （1）写出ϕ及图中0x 的值；（2）求()f x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中， 11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ． （1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；（3）设点,,,E F H G 分别是111111,,,B C AA A B B C 的中点，试判断,,,E F H G 四点是否共面，并说明理由．CBC 1B 1A 1A如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD ． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>且过点P ．右焦点为F ，点N （2,0）． （1）求椭圆E 的方程；（2）设动弦AB 与x 轴垂直，求证：直线AF 与直线BN 的交点M 仍在椭圆E 上．ABDCPβ α已知函数e ()xf x x=．（1）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （2）当0x >时，求证：()f x x >；（3）设函数()()F x f x bx =-，其中b 为实常数，试讨论函数()F x 的零点个数，并证明你的结论．20．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，122n n a a p +=+（p 为常数，1,2,3,n =L ）． （1）若312S =，求n S ；（2）若数列{}n a 是等比数列，求实数p 的值． （3）是否存在实数p ，使得数列1{}na 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p 的值；若不存在，说明理由．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PD 为切线，割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，43PD =，求EFD ∠的度数．B ．选修4—2：矩阵与变换将曲线y ＝2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y ＝sin x ，求变换矩阵M 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知0a b >，且1a b +=，求证：212122a b +++≤．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A P A λ=（∈λR ）． （1）证明：PN ⊥AM ；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．23．（本小题满分10分）已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数．2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{|02}x x ∈<<R 2．5 3． 1(,0)2- 4．充分不必要 5．2 6．0.625 7．28．3- 9．2π 10．410- 11． (,1][1,)-∞-+∞U 12．(]1,3 13．12 14．)1(222k l -． 解析：2．2225z i z z =-+==， 4．1230l l a a ⇒=-=∥或,7．由题意()f x x a x b =-+-为偶函数，故0a b +=，又()f x 的最小值为2，所以2a b -=，所以221a b ==10．4cos(2)sin 225πθθ+=-=-，3cos()0,cos245πθθ+>∴=Q，故sin(2)3πθ-12．设2PF x =，2448a x a a x++≥，所以2x a c a =-≥，所以13e <≤13．2222221232222212349141a a a d d d b b b d d q d q q q ++++==++++++，令214=1t q q ++，t 为正整数，所以214+1=0q q t +-，解得q =8t 时，12q =14．如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy ．设A (x ，y )，y >0．因AD =kAC =kAB ，故AD 2=k 2AB 2，于是(x -l )2+y 2=k 2(x 2+y 2)．所以，22222(1)21k x lx l y k --+-=-=2222222(1)()111l k l k x k k k ---+---≤2222(1)k l k -，于是，max21kly k =-，2max 2()2(1)ABD kl S k ∆=-，2max max 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）ϕ的值是π6．0x 的值是53． （2）由（1）可知：π()cos(π)3f x x =+．因为 11[,]23x ∈-，所以 ππππ362x -+≤≤． 所以 当ππ03x +=，即13x =-时，()f x 取得最大值1；当πππ62x +=，即13x =时，()f x 取得最小值0．16．证明：（1）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C ．因为 BC Ë平面11AB C ，11B C Ì平面11AB C ， 所以 //BC 平面11AB C ．（2）连接1BC ．在正方形11ABB A 中，1AB BB ^． 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C ．因为 1B C Ì平面11BB C C ， 所以 1AB B C ^． 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^．因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B I =，所以 1B C ^平面1ABC ． 因为 1AC Ì平面1ABC ， 所以 1B C ⊥1AC ． （3）,,,E F H G 四点不共面． 理由如下：因为 ,E G 分别是111,B C B C 的中点， 所以 GE ∥1CC ． 同理可证：GH ∥11C A ．因为 GE Ì平面EHG ，GH Ì平面EHG ，GE GH G I =，1CC Ì平面11AAC C ，11A C Ì平面11AAC C ，所以 平面EHG ∥平面11AAC C ． 因为 F ∈平面11AAC C ，所以 F ∉平面EHG ，即,,,E F H G 四点不共面．17．解：（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE ∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++961961x x x x==-⋅+， 化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．（2）设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，CBC 1B 1A 1AH GFECBC 1B 1A 1A2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．设227()18135tf t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =，当27)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数；当27,18)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m 时，αβ+取得最小值． 18．（1）解：因为2e =，所以a =，b =c ， 即椭圆E 的方程可以设为222212x y b b+=．将点P 的坐标代入得：213144b =+=， 所以，椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）证明：右焦点为F （1,0），设00(,)A x y ，由题意得00(,)B x y -．所以直线AF 的方程为：00(1)1y y x x =--， ① 直线BN 的方程为：00(2)2y y x x -=--， ② ①、 ②联立得，0000(1)(2)12y y x x x x --=---， 即003423x x x -=-，在代入②得，000034(1)123y x y x x -=---，即0023y y x =-．所以点M 的坐标为000034(,)2323x y x x ---．又因为2222220000200034(34)21()()2223232(23)M M x y x y x y x x x --++=+=--- ③将22012x y =-代入③得，2222202000222000(34)2(1)824182(23)2122(23)2(23)2(23)M M x x x x x x y x x x -+--+-+====---． 所以点M 在椭圆E 上．19．（1）解：2e e '()x xx f x x-=． 因为切线0ax y -=过原点(0,0)， 所以 00000200e e e x x x x x x x -=，解得：02x =． （2）证明：设2()e ()(0)xf xg x x x x ==>，则24e (2)'()x x x g x x -=． 令24e (2)'()0x x x g x x -==，解得2x =． x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表所以 当2x =时，()g x 取得最小值2e4． 所以 当0x >时，2e ()14g x ?，即()f x x >．（3）解：()0F x =等价于()0f x bx -=，等价于20xe b x-=．注意0x ≠．令2()x e H x b x =-，所以3(2)()(0)x e x H x x x -'=≠． （I ）当0b ≤时， ()0H x >，所以()H x 无零点，即F(x)定义域内无零点．（II ）当0b >时，（i ）当0x <时，()0H x '>，()H x 单调递增；因为()H x 在(,0)-∞上单调递增，而11(H be b b -=-=⋅，又1>，所以(0H <．又因为1(n H nbe b b -=-=⋅，其中n N *∈，取13n b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，1b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示1b的整数部分．所以1e <<，3n >，由此(0H >． 由零点存在定理知，()H x 在(,0)-∞上存在唯一零点． （ii ）当02x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减； 当2x >时，()0H x '>，()H x 单调递增．所以当2x =时，()H x 有极小值也是最小值，2(2)4e H b =-． ①当2(2)04e H b =->，即204e b <<时，()H x 在(0,)+∞上不存在零点； ②当2(2)04e H b =-=，即24e b =时，()H x 在(0,)+∞上存在惟一零点2；………12分 ③当2(2)04e H b =-<，即24e b >时，由1>有(1)0H b b =-=->，而(2)0H <，所以()H x 在(0,2)上存在惟一零点；又因为23b >，223224(2)44b b e e b H b b b b -=-=． 令31()2th t e t =-，其中22t b =>，23()2t h t e t '=-，()3t h t e t ''=-，()3t h t e '''=-， 所以2()30h t e '''>->，因此()h t ''在(2,)+∞上单调递增，从而2()(2)60h t h e ''>=->， 所以()h t '在(2,)+∞上单调递增，因此2()(2)60h t h e ''>=->， 故()h t 在(2,)+∞上单调递增，所以2()(2)40h t h e >=->．由上得(2)0H b >，由零点存在定理知，()H x 在(2,2)b 上存在惟一零点，即在(2,)+∞上存在唯一零点．综上所述：当0b ≤时，函数F(x)的零点个数为0；当2e 04b <<时，函数F(x)的零点个数为1；当2e 4b =时，函数F(x)的零点个数为2；当2e 4b >时，函数F(x)的零点个数为3．20．解：（1）因为 11a =，122n n a a p +=+，所以 21222a a p p =+=+，322222a a p p =+=+． 因为 312S =，所以 22226324p p p ++++=+=，即6p =． 所以 13(1,2,3,)n n a a n +-==L ．所以 数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列．所以 2(1)31322n n n n nS n --=⨯+⨯=． （2）若数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =．由（1）可得：2(1)1(1)2p p +=⨯+．解得：0p =． 当0p =时，由122n n a a p +=+得：11n n a a +===L ． 显然，数列{}n a 是以1为首项，1为公比的等比数列． 所以 0p =．（3）当0p =时，由（2）知：1(1,2,3,)n a n ==L ．所以11(1,2,3,)nn a ==L ，即数列1{}n a 就是一个无穷等差数列．所以 当0p =时，可以得到满足题意的等差数列． 当0p ≠时，因为 11a =，122n n a a p +=+，即12n n pa a +-=， 所以 数列{}n a 是以1为首项，2p为公差的等差数列． 所以 122n p p a n =+-． 下面用反证法证明：当0p ≠时，数列1{}na 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列．假设存在00p ≠，从数列1{}na 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为{}nb ． 设数列{}n b 的公差为d ．①当00p >时，0(1,2,3,)n a n >=L ． 所以 数列{}n b 是各项均为正数的递减数列． 所以 0d <．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+-<+--=，这与0n b >矛盾． ②当00p <时，令001022p pn +-<，解得：021n p >-．所以 当021n p >-时，0n a <恒成立． 所以 数列{}n b 必然是各项均为负数的递增数列． 所以 0d >．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+->+--=，这与0n b <矛盾． 综上所述，0p =是唯一满足条件的p 的值．第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 解：连结DO ，Q PD 为切线，PEF 为割线，∴2PD PE PF =⋅，又Q PD =12PF =，∴24PD PE PF==，∴8EF PF PE =-=，4EO =，Q PD 为切线，D 为切点，∴OD PD ⊥在Rt PDO V 中，4OD =，8PO PE EO =+=，∴30DPO ∠=o ，60DOP ∠=o ，Q OD OF =，∴1302EFD DOP ∠=∠=o ． B ．选修4—2：矩阵与变换解：由条件知点(x ，y)在矩阵M 作用下变换为点⎝⎛⎭⎫4x ，y 2，即M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x y 2， 所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，于是有MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝14b ＝0c 2＝0d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝0d ＝2，所以M 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2=所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=．（2）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得04cos 4sin 22=--ααt t ．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则=+21t t αα2sin cos 4，=21t t α2sin 4-， ∴=-+=-=21221214)(t t t t t t AB αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+，当2πα=时，AB 的最小值为4．D ．选修4—5：不等式选讲解：()()()22221212121118a b a b +++++++=≤，∴212122a b +++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，12），从而PN u u u r ＝（12－λ，12，－1），AM u u u u r ＝（0,1，12），PN AM ⋅u u u r u u u u r ＝（12－λ)×0＋12×1－1×12＝0，所以PN ⊥AM ；（2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA u u u r＝（0,0,1）．设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ），由（1）得MP u u u r ＝（λ，－1，12）．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021,021)21(,0,0z y x z y x MP m NP m λλ得 解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m x x z x y 得令． ∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12．故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12．23．解：（1）当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-， 所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当3a =时，1114,31n a n a a -+==+．下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅L L ，m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立．2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．函数2()log (21)f x x =-的定义域为 ▲ ． 2．若复数iia ++2是实数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 ▲ ． 3．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ▲ ． 4．若()1cos 33πα-= ，则()sin 26πα-= ▲ ． 5．如图所示的流程图，若输入x 的值为 5.5-，则输出的结果c = ▲ ．6．已知实数x y ，满足约束条件 13230x x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≤ 若z ax y =+取得最小值时的最优解有无数个，则a = ▲ ．7．给出下列命题：其中，所有真命题的序号为 ▲ ．（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中正确的是 ▲ ．8．设斜率为22的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．9．已知等比数列{}n a 各项都是正数，且42324,4a a a -==，则{}n a 前10项的和为 ▲ ．10．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别是2222a b c a b c +=，，，，则角C 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象，其中A B ，分别是图中的最高点和最低点，且5AB =，那么ωϕ+的值为 ▲ ． 12．若141m x x+-≥对任意的)1,0(∈x 恒成立，则m 的取值范围为 ▲ ． 13．若正实数a ，b ，c 满足2223108a ab b c +-=，且a>b ，若不等式5a +6b ≥kc 恒成立，则实数k 的最大值为 ▲ ．14．设三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对边a 、b 、c 成等比数列，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a =sin θ)与b =(1，cos θ)互相平行，其中θ∈(0，2π)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）求f (x )=sin(2x ＋θ)的最小正周期和单调增区间．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点， （1）求证：//MN 面PAB ；（2）若面PMC ⊥面PAD ，求证：CM AD ⊥．BDA O BM C DEF N xy如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中2=OC ，3=OA （单位百米）．已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N ．现以点O 为坐标原点，线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF 满足函数()2202y x x =-+剟的图象．若点M 到y 轴距离记为t ． （1）当32=t 时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，并求出最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 2e =﹒ （1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0作斜率为k 的直线l 交点B 是点A 关于x 求出定点坐标﹒在数列{a n }中，1n a n=(n ∈N *)．从数列{a n }中选出k (k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项之列．例如数列11112358，，，为{a n }的一个4项子列． （1）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足108d -<< ； （3）如果{c n }为数列{a n }的一个m (m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．（本小题满分16分）已知函数xm x x x f --=ln )(． （1）若,2=m 求)(x f 的最值； （2）讨论)(x f 的单调性；（3）已知B A ,是)(x f 图像上的二个不同的极值点，设直线AB 的斜率为k ． 求证: 1->k第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．若35AC AB =，求FDAF的值．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c b M 有特征值11-=λ及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ． （1）求矩阵M ；（2）求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知222+=x y ，且x y ≠，求()()2211++-x y x y 的最小值．ABCDEFO【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱锥ABC O -的侧棱OC OB OA ,,两两垂直，且2,1===OC OB OA ，E 是OC 的中点． （1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求二面角C BE A --的正弦值．23．（本小题满分10分）设整数3n ≥，集合{1,2,,},,P n A B =L 是P 的两个非空子集．记n a 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数． （1）求3a ； （2）求n a ．AECBO2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1(,)2+∞ 2．2 3．564．79- 5．1 6．－12 7．()1、()3、()4 89．1023 10．(0,]3π11．76π 12．1m ≥ 13． 14．解析：1．只要解不等式210x ->3．任意取两个球的种数有6种，取出两个都是白色的有2种， 116P =-6．直线y ＝－ax ＋z 与可行域（三角形）下边界x －2y －3＝0重合时z 最小，a=－128．设点P 、Q 在x 轴上的射影分别为焦点F 1、F 2，|PF 1|=2c (其中c 为|OF 1|的长)，从而|PF 2，所以2a =|PF 1|＋|PF 2|=，得e ． 9．由条件得11,2a q ==，则101023S =10．2222221cos 2442a b c a b ab C ab ab ab +-+===≥，又因为(0,)C π∈，得C ∈(0,]3π11． 23,6,2T T πω===得3πω=，又当0x =时，(0)1f =，得56πϕ=12．由题意可知0>m ，)1)(11(11x x x mx x m x -+-+=-+1111x mx m m x x-=+++++-≥∴14m ++，∴1m ≥13．由已知，2(4)(32)a b a b c +-=，40,320a b a b +>->，562(4)(32)a b a b a b +=++-≥min 56()a bk c+=≤14．sin cos tan sin cos tan A A C B B C ++=sin cos cos sin sin cos cos sin A C A C B C B C ++=sin()sin()A C B C ++=sin()sin()B A ππ--=sin sin B A =ba设a 、b 、c 的公比为q ，则b =aq ，c =aq 2，又 a 、b 、c 能构成三角形的三边，所以有222a aq aq aq aq a a aq aq ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，解得15151551q q q q R⎧-+<<⎪⎪⎪+-⎪<->⎨⎪∈⎪⎪⎪⎩或，即5151q -+<<． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为向量a 与b 平行，则sin θ=3cos θ，tan θ=3，又θ∈(0，2π)， 所以θ=3π，所以sin θ=32，cos θ=12；（2）由f (x )=sin(2x ＋θ)=sin(2)3x π+，得最小正周期T π=，由22k ππ-≤23x π+≤22k ππ+，k Z ∈，解得512k ππ-≤x ≤12k ππ+，k Z ∈， 所以f (x )的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． 16．证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，四边形ENMA 是平行四边形， 得//MN AE ，MN ⊄面PAB ，AE ⊂面PAB ，//MN ∴面PAB（2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，Q 面PMC ⊥面PAD ，面PMC I 面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂面PADAH ∴⊥面PMC ，CM ⊂面PMC ，AH ∴⊥CMQ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM Q PA AH A =I ，PA 、AH ⊂面PAD ，CM ⊥面PAD ，AD ⊂Q 面PAD ，CM AD ∴⊥17．解：（1）由题意得()214,39M， 又因为2y x '=-，所以直线l 的斜率34-=k ，故直线l 的方程为()1442933y x -=--， 即92234+-=x y ． （2）由（1）易知)(2)2(:2t x t t y l --=--，即222++-=t tx y ．令0=y 得()122x t t=+，令0x =得22y t =+．由题意()2122,223t tt ⎧+⎪⎨⎪+⎩≤≤解得221t -≤≤． ()()2112222ODN S t t t ∆∴=⋅++()31444t t t=++．令()()31444g t t t t=++，则()()42222143443444t t g t t t t +-'=+-=()()2222324t t t +-=． 当6t =时，()60g '=；当()622,t ∈-时，()60g '<；∴所求面积的最大值为86918．解：（1）设椭圆E 的方程为22221x ya b +=，由已知得：2122a c c a⎧-=⎪⎨=⎪⎩21a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-= ，∴椭圆E 的方程为2212x y += （2）设()11,A x y ，()11,B x y -，则11x ≠，直线AP :11(1)1y y x x =--，与椭圆方程2222x y +=联立， 得()1222111234340x x y x x x -++-=，得113423P x x x -=-，点P 在直线AP 上，则1123P y y x =-，直线BP 方程：1111()(2)y y y x x x +=---，化简得：11(2)(2)y y x x =---，则直线BP 过定点(2,0)19．解：（1）3项子列111,,236；(答案不唯一)（2）由题意，知1≥b 1>b 2>b 3>b 4>b 5>0，所以d =b 2－b 1<0．若b 1=1，若{b n }为{a n }的一个5项子列，得b 2≤12，所以d =b 2－b 1≤12－1=－12，又b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1=b 5－1>－1，即d >－14，与d ≤－12矛盾，所以b 1≠1． 所以b 1≤12，因为b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1≥b 5－12>－12，即d >－18， 所以108d -<<．（3）由题意，设{c n }的公比为q ，则：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)，因为{c n }为{a n }的一个m 项子项，所以q 为正有理数，且q <1，c 1=1a≤1(a ∈N *)， 设q =(,*KK L N L∈，且K ，L 互质，L ≥2)， 当K =1时，因为q =1L ≤12，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)≤ 1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 当K ≠1时，因为c m =c 1qm －1=111m m K a L--⨯是{a n }的项，且K 、L 互质，所以a =K m －1×M (M ∈N*) 所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)=1232111111()m m m m M K K L K L L----++++L 因为L ≥2，M ∈N *，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 综上，c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．解：（1）当2=m 时， 222(2)(2)(1)()0x x x x f x x x-----+'===，∴2=x ∴)(x f 在()2,0上单调递增，在()+∞,2上单调递减 ∴32ln )2()(max -==f x f（2）2221()()1m x x m f x x x x---'=-+= )0(>x i: 104m ∆-≤时，即≤时()0f x '≤，∴)(x f 在()+∞,0上单调递减．ii: ()0f x '=时24111m x +-=，24112mx ++=① 当041<<-m 时， 210x x << ∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2411,0m上单调递减，在1122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． ② 当0m ≥时， 210x x <<∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2411,0m 上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． （3）设)(,(),(,(2211x f x B x f x A则21,x x 是方程02=--m x x 的二个根，且m x x -=⋅21，1021<<<x x∴212221112121)(ln ln )()(x x x m x x x m x x x x x f x f k ------=--=2121211ln ln x x m x x x x ⋅+---=2ln ln 2121---=x x x x令)10(ln )(<<-=x xx x g ，∴ 11()10xg x x x-'=-=>，∴)(x g 在()1,0上单调递增 Θ1021<<<x x ，∴ )()(21x g x g <即2211ln ln x x x x -<-∴2121ln ln x x x x -<-，∴ 1ln ln 2121>--x x x x∴ 1->k第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M ．因为OA=OD ，所以∠OAD=∠ODA ；又因为∠OAD=∠DAE ，所以∠ODA=∠DAE 所以OD//AE ；又 因为AC ⊥BC ，且DE ⊥AC ，所以BC//DE ． 所以四边形CMDE 为平行四边形，所以CE=MD 由35AC AB =，设AC=3x ，AB=5x ，则OM=32x ，又OD=52x ， 所以MD=52x -32x =x ，所以AE=AC+CE=4x ，因为OD//AE ，所以FD AF =48552AE x OD x ==．B ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）由已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡111121c b ，即12,11=--=-c b ， ∴3,2==c b ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2331M ； （2）设曲线上任一点),(y x P ，P 在M 作用下对应点),(11'y x P ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 232111 即⎩⎨⎧+=+=y x y y x x 23211，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4321111y x y x y x ，代入148522=++y xy x 得22121=+y x ，即曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线的方程是222=+y x ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝2．又圆C 的半径r ＝2， 因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝22．D ．选修4—5：不等式选讲解：222x y +=Q ，()()224x y x y ∴++-= ，()()()2222114()()x y x y x y x y ⎛⎫++-+ ⎪+-⎝⎭Q≥，22111()()x y x y ∴++-≥， 当且仅当0x y ==，或0x ,y ==时2211()()x y x y ++-的最小值是1． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，E (0，1，0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-u u u r u u u r 2cos ,5EB AC ∴<>=-u u u r u u u r异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25． （2）(2,0,1),(0,1,1)AB AE =-=-u u u r u u u r，设平面ABE 的法向量为1(,,)x y z =n ，则由11,AB AE ⊥⊥n n u u u r u u u r ，得120(1,2,2)0x z y z -=⎧=⎨-=⎩n 取平面BEC 的法向量为2(0,0,1)=n122cos ,3∴<>=n n ， 二面角C BE A --． 23．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{x |x <a }，其中a Z ∈，若A I B={1,2}，则a ＝ ▲ ． 2．若复数(1+i )z =3-4i (i 为虚数单位)，则复数z 的模| z | = ▲ ．3．右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．4．右边是一个算法的伪代码，若输入x 的值为1，则输出的x 的值是 ▲ ．5．有三张大小形状都相同的卡片，它们的正反面分别写有1和2、3和4、5和6，现将它们随机放在桌面上，则三张卡片上显示的数字之和大于10的概率是 ▲ ．6．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若371517233a a a a ++-=，则17S = ▲ ．7．已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为 ▲ .8．设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 9．已知x ，y 满足约束条件1,3,23,x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则z ＝2x ＋y 的最小值为 ▲ ．10．若2x ∀<，不等式()2620x a x a +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，A 为椭圆上一点，120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，2AF 与y轴交与点M ，若254F M MA =u u u u u r u u u r，则椭圆离心率的值为 ▲ ．12．已知二次函数232()(16)16f x ax a x a =+--（0a >）的图象与x 轴交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值 ▲ ．13．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 上的中点，线段AB ，AC 上的动点D ，E分别满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(12)AE AC λ=-u u u r u u u r()λ∈R ，设DE 中点为F ，记()FG R BCλ=u u u r u u u r ，则()R λ的取值范围为 ▲ ． 14．设二次函数2()(21)2(0)f x ax b x a a =++--≠在区间[3,4]上至少有一个零点，则22a b +的最小值Read xIf x >3 then x ←x -3 Else x ←3-x EndIf Print x为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且222a cb ac +=+． （1）若cosA ＝13，求sinC 的值；（2）若b ＝7，a ＝3c ，求三角形ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面ABCD 是菱形，45ABC ∠=︒， E 、F 分别是棱BC 、P A 上的点，EF //平面PCD ，PAE PAD ⊥平面平面． （1）求证：EF BC ⊥；（2）若AF FP λ=，求实数λ的值．如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设COB θ∠=．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．18．（本小题满分16分）如图，设A 、B 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，P 是椭圆E 上不同于A 、B 的一动点，点F 是椭圆E 的右焦点，直线l 是椭圆E 的右准线．若直线AP 与直线：x a =和l 分别相交于C 、Q 两点，FQ 与直线BC 交于M ． （1）求:BM MC 的值；（2）若椭圆E的离心率为2，直线PM 的方程为80x +-=，求椭圆E 的方程．已知数列{n a }、{n b }满足：1121141n n n n n b a a b b a +=+==-，，.（1）求1234,,,b b b b ；（2）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．20．（本小题满分16分）已知函数()f x 满足2(2)()f x f x +=，当(02)x ∈，x ∈(0，2)时，1()ln ()2f x x ax a =+<-，当42x ∈--（，）时，()f x 的最大值为 - 4．（1）求实数a 的值； （2）设b ≠0，函数31()3g x bx bx =-，12x ∈（，）．若对任意112x ∈（，），总存在212x ∈（，），使()()120f x g x -=，求实数b 的取值范围．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，P A ＝3，PB ＝1，求∠ABC 的大小．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A 和A 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m ＝（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|F A|·|FB|的最大值与最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2a 2＋3b 2＋6c 2＋d 2＝25，求实数d 的取值范围．OCBPA【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1 D 1的所有棱长都为1，M 、N 分别为线段BD 和B 1C 上的两个动点．（1）求线段MN 长的最小值；（2）当线段MN 长最小时，求二面角B －MN －C 的大小．23．（本小题满分10分）设函数()213213x f x x ex x -=--()x ∈R ． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，用数学归纳法证明：*n ∀∈N ，1!nx x en ->．C 1AA2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．3 2．5223．1.04 4．2 5． 12 6． 10.2 7．3154 8．1665- 9．1 10． 2a ≥ 11．1012．12 13．17,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．1100 解析：2．由|(1+i )z | =|3-4i |和|(1+i )z | =|1+i ||z | 可知|z |＝522. 3．由题意知，只要求83，84，84，85，86的方差，得到2222221.40.40.40.6 1.6 1.045s ++++==.4．1<3，故x =3-1=2.5．1+3+5=9，1+3+6=10，1+4+5=10，1+4+6=11，2+3+5=10，2+3+6=11，2+4+5=11，2+4+6=12共8种其中和大于10的有4种，故概率为4182=. 6．由条件得953a =，故1791710.2S a ==9．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由1,23,x y x =⎧⎨=-⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩∴z min ＝2－1＝1.11．设(0,)M m ，(,)A x y ，因为254F M MA =u u u u u r u u u r ，所以5(,)(,)4c m x y m -=-，解得49,55x c y m =-=，又因为120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，所以999(,)(,)05555c m c m ---=，解得229c m =，因为点A 在椭圆22221x y a b+=上，所以2222168112525c m a b +=，即222216912525c c a b +=，又即42241650250c a c a -+=，从而421650250e e -+=，解得10e =. 12．因式分解可得2()()(16)f x x a ax =-+，于是,A B 两点的坐标分别是216(,0),(,0)a a-，于是线段AB 的长度等于216a a +．记216()F a a a=+，322162(8)'()2a F a a a a -=-=，于是()F a 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，从而()F a 的最小值就是216(2)2122F =+=． 13．()12FG EC DB =+u u u r u u u r u u u r ，不妨设三角形边长为1，则12(1)2FG AC AB λλ=+-u u u r u u u r u u u r 231λ+=，又由。
江苏省如东高级中学高一上学期阶段测试(二) 数学 Word版含答案
江苏省如东高级中学2014-2015学年第一学期高一年级阶段测试（二）高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．设集合}{1,2,3A =,}{2,4,5B =, 则AB = ▲ ．2．集合{}03x x x Z <<∈且的子集个数为 ▲ ． 3．函数()lg(2)f x x =-+定义域为 ▲ ．4．已知幂函数的图象经过点，则(4)f = ▲ ．5．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m 2． 6．函数2()2||f x x x =-的单调增区间是 ▲ ．7．若函数2()12xxk f x k -=+在定义域上为奇函数，则实数k = ▲ ．8．若函数3log ,(0)()2,(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1()9f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭▲ ． 9．如果函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间是(,1)n n +，则正整数n = ▲ ． 10．关于直线,m n 和平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//,//m n αβαβ，则//m n ； ②若//,,m n m n αβ⊂⊥，则αβ⊥； ③若,//m m n αβ=，则//n α且//n β； ④若,m n m αβ⊥=，则n α⊥或n β⊥.其中假命题．．．的序号是 ▲ ． 11．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则实数x 的取值范围 是 ▲ ．12．对于四面体ABCD ，下列命题中正确的是 ▲ ．(写出所有正确命题的编号)① 相对棱AB 与CD 所在的直线异面；② 由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 的三条高线的交点；③ 若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④ 四面体的四个面中最多有四个直角三角形；⑤ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱. 13．设已知函数2()log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m += ▲ ．14．已知函数111,0,22()12,,22x x x f x x -⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩，若存在,,21x x 当2021<<≤x x 时，12()()f x f x =,则 ()12x f x ⋅的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知集合2{650},{11}.A x x x B x x =++<=-≤< （1）求AB ；（2）若全集{55},U x x =-<<求()U C A B ；（3）若{},C x x a =<且,B C B =求a 的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB =，D 为AC 的中点，1AC ⊥平面1A BD .求证：（1）1B C ∥平面1A BD ；（2）11B C ⊥平面11ABB A .C 1B 1A 1DCBA第16题17．(本小题满分14分)甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入20.4 4.2(05)()11(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩ ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入—总成本）； （2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？18．(本小题满分16分)在如图的五面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(1) 求证：//EF BC ；(2) 求证：BD EG ⊥；(3) 求多面体ADBEG 的体积.A DFEBG C第18题19．(本小题满分16分)已知函数()2a f x x x=+， （1）判断()x f 的奇偶性并说明理由；（2）当16a =时，判断()x f 在(]0,2x ∈上的单调性并用定义证明；（3）当16a =时，若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()9f x m >恒成立，求实数m 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知函数a x ax x f 21)(2++-=（a 是常数且R a ∈） （1）若函数)(x f 的一个零点是1，求a 的值； （2）求)(x f 在][2,1上的最小值)(a g ；（3）记{}0)(<∈=x f R x A 若φ=A ，求实数a 的取值范围.江苏省如东高级中学2014-2015学年第一学期高一年级阶段测试（二）高一数学试题参考答案 2015.01一、填空题1．{1,2,3,4,5} 2． 4 3． [1,2) 4．125．．()1,0-和()1,+∞ 7． 1±8．14 9． 2 10．①③④ 11．()1,3- 12.①④⑤ 13． 52 14．1)2二、解答题 15.解：（1）{}15-<<-=x x A ………………………………2分A B ⋂=φ ………………………………5分（2）{}51A B x x ⋃=-<< ………………………………9分{}()15U C A B x x ⋃=≤< ……………………………11分（3）因为B C B ⋂=所以B C ⊆ ……………………………13分则a 的取值范围为1≥a ……………………………14分 16.解：（1）如图，连接1A B 与1AB 相交与点M ，则M 为1A B 中点， 连接MD ，又D 为AC 的中点，∴1//B C MD . ………………………………3分 又1B C ⊄平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD ………………………………7分 （2）∵1AB B B =， ∴四边形11ABB A 为正方形，∴11A B AB ⊥， ………………………………9分 又∵1AC ⊥平面1A BD ， ∴11A B AC ⊥∴1A B ⊥平面11AB C ………………………………12分 ∴111A B B C ⊥又∵111B C B B ⊥，且11A BB B B =,∴11B C ⊥平面11ABB A .………………………………14分17. 解：（1）由题意得G (x )=2.8+x ． …………………2分1A∴()f x =R (x )-G (x )=20.4 3.2 2.8(05)8.2(5)x x x x x ⎧-+-⎨->⎩≤≤． …………………7分（2）当x >5时，∵函数()f x 递减，∴()f x 8.25<-=3.2（万元）． ……………10分 当0≤x ≤5时，函数()f x = -0.4(x -4)2+3.6，当x =4时，()f x 有最大值为3.6（万元）． …………………13分 答：当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3. 6万元． …………………14分 18．解：(Ⅰ)证明：∵//AD EF ,AD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，又EF ⊂平面FEBC ，平面FEBC平面ABCD =BC∴//EF BC …………………5分 (Ⅱ)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥， 又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE .过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥.∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==， ∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形， ……8分 ∴BH EG ⊥， 又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ∵BD ⊂平面BHD , ∴BD EG ⊥. ………11分 (Ⅲ) ∵EF ⊥平面AEB ，//AD EF ，∴⊥EF 平面AEB ，由（2）知四边形BGHE 为正方形，∴BC BE ⊥. ………13分 ∴BEG D AEB D ADBEG V V V --+=AE S AD S BGE ABE ⋅+⋅=∆∆3131383434=+= ……16分 19. 解：（1）当0=a 时，()2,(0)f x x x =≠为偶函数； …………………2分 当0≠a 时，()11f a =+,()11f a -=-,故()()11f f -≠且()()11f f -≠-，所以()x f 无奇偶性. 综上得：当0=a 时，()x f 为偶函数；当0≠a 时，()x f 无奇偶性. …………………5分 （2）()216f x x x=+， 任取1202x x <<≤，则()()221212121616f x f x x x x x -=+--()1212121216x x x x x x x x -=+-⎡⎤⎣⎦， ∵1202x x <<≤∴0,02121><-x x x x ，()121216x x x x +<，∴()()120f x f x ->，所以()x f 在区间(]0,2上递减. …………………9分 （3）由题意得()min 9f x m >，由（2）知()x f 在区间(]0,2上是递减，同理可得()x f 在区间[)2,+∞上递增， 所以()()min 212f x f ==， …………………12分所以129m >，即120m -<，(t 0)=≥t ，则220t t --<，解得12t -<<，故02t ≤<，即02≤<，即15m ≤<。
江苏省如东高级中学2014-2015学年高二12月阶段考试数学试题
江苏省如东高级中学2014-2015学年高二12月阶段考试数学试题数学Ⅰ一、填空题1. 命题“2,10x R x x ?∈-+=”的否定是 .2. 抛物线241x y =的准线方程是． 3.已知ABC ?的周长为16，点B （-3，0），C （3，0），则顶点A 的轨迹方程为 .4. 已知a b +=23，则a b +222的最小值为 .5. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=230，且点P（,-3程为．6. 下列四个命题：（1）“若a b >，则ac bc >22”的否命题;(2)“若xy =0，则||||x y +=0”的逆否命题；(3)在ABC ?中，“o A 30>”是“21sin >A ”的充分不必要条件；(4) “数列{}n a 的前n 项和是n S An Bn =+2”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 其中真命题的序号是___________________(真命题的序号都填上)7. 等比数列{}n a 的公比1≠q ，且354,,a a a 成等差数列，则6453a a a a ++= ． 8.若抛物线()220y px p =>上的点()2A m ，到焦点的距离为6，则p = ．9.若不等式102x m x m -+<-成立的一个充分不必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是 .10. 已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=??≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = .11. 数列{}n a 的前n 项和n n S =-21，则n a a a +++=22212 ． 12.关于x 的不等式x px q ≤++≤201的解集为[3,4]，则p +q = .13. 在直角坐标系中，过双曲线1922=-y x 的左焦点F 作圆122=+y x 的一条切线（切点为T ）交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，则MT OM -= ．14.如图所示，设曲线1y x =上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB 1A 1，A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上，则x 轴上的点A n （n =1，2，3，…，n ，…）的横坐标依次组成的数列为{}n x ，则数列{}n x 的通项公式为．二、解答题15. （本题14分）已知命题p ：方程x y a a +=--22115表示双曲线，命题q ：关于x 的方程x 2-3ax +2a 2+1=0的两个相异实根均大于3．若p 、q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．16. （本题14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S n =2（1）求数列{}n a 的通项公式，并证明{}n a 为等差数列；（2）记n n n b a a +=11，12n n T b b b =+++，若*n N ?∈，n T m >，求m 的取值范围．17. （本题14分）已知椭圆C ：x y +=2214，（1）若直线l 过点Q （1，1），交椭圆C 于A 、B 两点，求直线l 的方程使得Q 为AB 的中点；（2）定点M （0，2），P 为椭圆C 上任意一点，求线段PM 的最大值．解：（1）450x y +-= …………………………7分（2）…………………………14分 18. （本题16分）因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即EF =50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离(cm)x 在区间[140,180]内. 设支架FG 高为(090)h h <<㎝, 100AG =㎝, 顾客可视的镜像范围为CD (如图所示), 记CD 的长度为y （y GD GC =-）.（Ⅰ）当40h =㎝时, 试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；（Ⅱ）当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC GAGD <≤（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h 的取值范围.(1) 因为40FG =,100AG =,所以由GC GC AG FG AB +=,即10040GC GC x+=,解得400040GC x =-, 同理,由GD GD AG EG AB +=,即10090GD GD x+=, 解得900090GC x =-…………………………………2分2941000()5000,[140,180]90401303600x y GD GC x x x x x =-=?-=?∈---+…… 5分5000,[140,180]3600130y x x x=∈+-, 因为3600130x x +-在[140,180]上单调递增,所以y 在[140,180]上单调递减,故当140x =㎝时, y 取得最大值为140㎝…………………8分第18题A B C D E F G A 1 ·(2)由100GC GC h x +=,得100h GC x h =-,由10050GD GD h x +=+,得100(50)50h GD x h +=--,所以由题意知1GC AG AG GD <=≤,即100100(50)10050h h x h x h +<≤---对[140,180]x ∈恒成立……12分从而2502x h x h ?h h ?<=≥-=??, 故h 的取值范围是[)40,70……16分19. （本题16分）已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）求线段MN 的长度的最小值解：（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==故椭圆C 的方程为2214x y +=……………………4分（Ⅱ）设2222000000(,),1144x x S x y y y +=∴=-得 2000200012244SA SO y y y k k x x x ?=?==-+--故……………………9分（Ⅲ）（常规方法，函数思想）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33k M ………………11分由22(2)14y k x x y =++=??得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414k y k =+即222284(,),1414k k S k k -++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ?=--=??得10313x y k ?==-??101(,)33N k ∴-……13分故161||33k MN k =+又16180,||333k k MN k >∴=+≥= 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83………16分（Ⅲ）方法二：利用第2问结论设1010(,),(,),0,033M N M N M y N y y y ><则 9116,()101064492233N M N M SA SD M N y y y y k k y y ?=?==-∴?-=+-则 (13)分故8,3M N MN y y =+≥=当且仅当4()3M N y y =-=时等号成立即M,N 的长度的最小值为83……………16分 20. 设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足232()02n n n t b n b -++=（*,t R n N ∈∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，是否存在m ，使得1180m T =成立？若存在求出m 的值；若不存在，请说明理由.解析：解：（1）nn a 2=………………………………………………………4分（2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tn n b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-=则由2312b b b =+，得3=t ……………………………………………………8分当3=t 时，n b n 2=，由21=--n n b b ，所以数列{}n b 为等差数列………10分（3）存在1289()8m b b b =+++++=89 ………………………………………16分如东中学高二第一学期数学阶段测试（含答案）数学Ⅱ2. 已知矩阵M 2311--??所对应的线性变换把点A(x,y )变成点A ‘(13,5),试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解答：(1)解:依题意得由 2 3,1 1M -??= ?-??得1M =,故1 1 3,1 2M --??= ?-??……………………5分从而由 2 3131 15x y -= ??? ?-得1 3131133521 25113253x y --?+=== ? ? ?--?+?-故2,(2,3)3,x A y =?-?=-?即为所求. ………………10分 3.已知椭圆x y +=22 11612内一点A （1,1-），F 为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点P ，求||||PA PF +2的最小值及取得最小值时点P 的坐标．答案：最小值7，… ……………5分点P 1-）… ……………10分 4. 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F .圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交l 于点A ，交圆M 于另一点B ，且AO ＝OB ＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM →·PF →的最小值；(3)过l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解 (1)因为p 2＝OA ·cos 60°＝2×12＝1，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . 设圆M 的半径为r ，则r ＝OB 2·1cos 60°＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.。
江苏省如东高级中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案
一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写 在答题卡相应位置上.1.在复平面内，复数1312iz i-=+ 对应的点位于第________象限. 2.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为_______.3.曲线3231y x x =-+在点()1,0处的切线方程为________.4.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用截取的随机数表（如下图）选取6个个体，选取方法是从所给的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为________. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 1128 0598 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 74815.如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________.6.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为004，这600名学生分住在三个营区.从001到300在第I 营区，从301到495在第II 营区，从496到600在第III 营区.则第三个营区被抽中的人数为________.7.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数12，则抽取的学生总人数是_______.8.在如图所示的算法中，输出的i 的值是_________.9.甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是________.10.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_______, 11.观察下列等式，332333233332123,1236,123410+=++=+++= 根据上述规律，333333123456+++++= ________,12.已知函数()()21ln ,2f x xg x x a ==+（a 为常数），直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1，则a 的值为_______.13.已知()f x ' 是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是_________.14.已知函数()f x ，若对于任意的()()()123123,,,,,x x x R f x f x f x ∈为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构成三角形的函数”.已知函数()1x x e t f x e +=+是“可构成三角形的函数”，则实数t 的取值范围是__________.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分) （1）已知11123x yi i i+=+-+ ，求实数,x y 的值； （2）已知12,z z C ∈，若121234,5,z i z z z =+=是纯虚数，求2z . 16.(本小题满分14分)甲、乙两名运动员参加“选拨测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （1）用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由； （3）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的频率. 17.(本小题满分14分) 已知函数()ln xf x x=.（1）判断()f x 在[),e +∞上的单调性；（2）分别取1,2,3,4,5n =，试比较1n n+与()1nn +的大小；并写出一个一般性结论，并利用（1）的结论加以证明.18.如图所示，AB 是半径为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形ABCD ，设梯形ABCD 的面积为y .（1）设2CD x =，将y 表示成x 的函数关系式并写出其定义域； （2）求梯形ABCD 面积y 的最大值.19.已知()()()2ln ,f x a x g x f x bx cx ==++，且()()21,f g x '=在12x =和2x =处有极值.（1）求实数,,a b c 的值；（2）若0k >，判断()g x 在区间(),2k k 内的单调性.20.给出定义在()0,+∞上的三个函数：()()()()2ln ,,f x x g x x af x h x x ==-=-已知()g x 在1x =处取最值. （1）确定函数()h x 的单调性； （2）求证：当21x e <<时，恒有()()22f x x f x +<-成立；（3）把函数()h x 的图象向上平移6个单位得到函数()1h x ，试确定函数()()1y g x h x =-的零点个数，并说明理由.高二数学（加试）解答题：本大题共4小题，共40分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.已知221,,2,12x R a x b x c x x ∈=+=-=-+，试用反证法证明中,,a b c 至少有一个不小于1.2.函数()()3123,3xf x x xg x m =-+=-，若对[][]()()12121,5,0,2,x x f x g x ∀∈-∃∈≥，求实数m 的最小值.3.某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取了50名学生的笔试成绩，按成绩分组得到频率分布表如下：（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拨出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，然后在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率. 4.已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值. （1）求实数a 的值； （2）若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式()23412ln 149n n n +++++>+都成立.参考答案一、填空题1. 三2. 103. 33y x =-4. 055. 176. 97. 488. 79.2310. 12711. 221 12. 12- 13. ()()1,01,-+∞ 14. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题： 15.解：（1）12213i ix yi +-+=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 177,2626x y ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）2,,z a bi a b R =+∈()()()12343443z z i a bi a b a b i =++=-++2225340430a b a b a b ⎧+=⎪-=⎨⎪+≠⎩……………………………………………………………………9分 所以43a b =⎧⎨=⎩或43a b =-⎧⎨=-⎩………………………………………………12分所以243z i =+或243z i =--……………………………………………………14分 16.解：（1）茎叶图如下：………………………4分（2）选派乙参赛更好……………………………………5分因为乙的平均成绩为85，高于甲的平均成绩81…………………………………9分 （3）记“甲的成绩比乙高”为事件A ，则()3472525p A +==……………………………………………13分 答：甲的成绩比乙高的概率是725………………………………14分17.解：（1）∵()ln x f x x =，∴()21ln xf x x -'=，而x e ≥时，()0f x '≤， 故()ln xf x x=在[),e +∞上单调递减的……………………………………6分 （2）211,12n =<，∴()11nn nn +<+322,23n =<，∴()11nn n n +<+，………………………………………………7分 433,34n =<，∴()11nn n n +>+， 544,45n =<，∴()11n n n n +>+，证明：由（1）有3n ≥时，()ln nf n n=是递减的 ∴()ln 1ln 1n n n n +>+………………………………………………12分∴()()1ln ln 1n n n +>+即()1ln ln 1nn nn +>+，而函数ln y x =是单调递增的， 所以3n ≥时，11n n nn +>+………………………………………14分18.解：（1）过点C 作CE AB ⊥于E ，∵2CD x =，∴()01OE x x =<<，CE =2分()(112222y AB CD CE x =+=+，∴()101y x x =+<<……………………………………………7分（说明：若函数的定义域漏写或错误，则扣2分）（2）y ==，令43221t x x x =--++， 则()()()2323246222312121t x x x x x x '=--+=-+-=-+-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以当102x <<时，0t '>，∴函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当112x <<时，0t '<∴函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当12x =时，t 有最大值2716，max 4y =…………………………………15分答：梯形ABCD 面积的最大值为4平方米………………………………16分 19.解：（1）()ln f x a x =，得()(),212a af x f x ''===即2a =， 所以()2ln f x x =………………………………2分所以()22ln g x x bx cx =++，从而()22222bx cx g x bx c x x++'=++=，因为()22ln g x x bx cx =++在12x =和2x =处有极值. 所以()2211221222222,202b c b c g g x x ⎛⎫++ ⎪⨯++⎛⎫⎝⎭''=== ⎪⎝⎭，解得1,5b c ==-……………………………………………………………6分 经检验1,5b c ==-满足题意.所以2,1,5a b c ===-…………………………………………………7分 （2）由（1）知()22ln 5g x x x x =+-，()()22520x x g x x x-+'=>，易知：()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增；在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减……………………………………9分若122k ≤，且0k >， 即104k <≤时，()g x 在区间(),2k k 内的单调递增； (10)分 若10222k k <<<<，即1142k <<时， ()g x 在区间1,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递增，在区间1,22k ⎛⎫⎪⎝⎭内的单调递减； (12)分 若1222k k ≤<≤，即112k ≤≤时，()g x 在区间(),2k k 内的单调递减；……………………13分 若1222k k <<<，即12k <<时， ()g x 在区间(),2k 内的单调递减，在区间()2,2k 内的单调递增……………………………15分若2k ≥，()g x 在区间(),2k k 内的单调递增………………………………16分20.解：（1）由题设，()2ln g x x a x =-，则()2ag x x x'=-， 由已知，()10g '=，即202a a -=⇒=， 经检验2a =满足题意，于是()h x x =-()1h x '=， 由()101h x x '=->⇒>，()1001h x x '=-<⇒<<， 所以()h x 在()1,+∞上是增函数，在()0,1上是减函数………………………………………5分（2）当21x e <<时，0ln 2x <<，即()02f x <<，欲证()()22f x x f x +<-，只需证()()22x f x f x -<+⎡⎤⎣⎦，即证()()211x f x x ->+，设()()()()2121ln 11x x x f x x x x ϕ--=-=-++，则()()()()()()22221211111x x x x x x x x ϕ+---'=-=++， 当21x e <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()21,e 上为增函数.从而当21x e <<时，()()10x ϕϕ>=，即()()211x f x x ->+，故()()22f x x f x +<-…………………10分 （3）由题设，()16h x x =-，令()()10g x h x -=，则()22l n 20x x x ---=，设()()()())()))222ln 6,21211111222m x x x x m x x x x x m x xx'=---=--=+'==令()0m x '=得1x =，当()0,1x ∈时，()0m x '<，当()1,x ∈+∞时，()0m x '>， 所以()()min 140m x m ==-<，()()()()()384224481121210,0e e e e e e m e m e e e ---++++-=<=>，()()()44421270m e e e e =-+->，故由零点存在定理，函数()m x 在()4,1e -，存在一个零点，函数()m x 在()41,e 存在一个零点，也就是说函数()()1y g x h x =-有两个零点…………………………16分附加题参考答案1. 解：假设,,a b c 均小于1，即1,1,1a b c <<<，则有3a b c ++<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 而2212232332a b c x x x ⎛⎫++=-+=-+≥ ⎪⎝⎭矛盾 所以原命题成立…………………………………………………10分2. 解：由题意()()()()()2min min ,312322f x g x f x x x x '≥=-=-+， ()f x 在[]1,2-递减，在[]2,5递增，所以()()min 2824313f x f ==-+=-，…………………………………3分()3x g x m =-在[]0,2单调递增，()()min 01g x g m ==-，…………………………………………6分13114m m -≥-⇒≥；………………………………………………………10分3．解：（1）①②位置的数据分别为12、0.3；…………………………………4分（2）设6人为abcdef （其中第四 组的两人分别为,d e ），则从6人中任取2人的所有情形为：{},,,,,,,,,,,,,,ef ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df 共有15种，……………………………8分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A ，则事件A 所含的基本事件的种数有9种， 所以，()93155P A ==，故2人中至少有一名是第四组的概率为35…………………………10分4.解：()121f x x x a'=--+， 因为0x =时，()f x 取得极值，所以()0f x '=， 故120100a-⨯-=+，解得1a =， 经检验1a =符合题意…………………………………………………………………2分（2）由1a =知()()2ln 1f x x x x =+--，由()52f x x b =-+，得()23ln 102x x x b +-+-=， 令()()23ln 12x x x x b ϕ=+-+-， 则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根. ()()()()4511321221x x x x x x ϕ-+-'=-+=++， 当[]0,1x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在[]0,1上单调递增；当(]1,2x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.依题意有()()()()()0031ln 11022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=++->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩ 解得1ln 31ln 22b -≤<+…………………………………………5分 （3）()()2ln 1f x x x x =+--，定义域为{}|1x x >- 由（1）知()()231x x f x x -+'=+， 令()0f x '=得：0x =或者32x =-（舍去） 当10x -<<时，()0f x '>，()f x 在10x -<<上单调递增，当0x >时，()0f x '< ，()f x 在0x >上单调递减，()0f 为()f x 在{}|1x x >-上的最大值，所以()()0f x f ≤，故()2ln 10x x x +--≤（当且仅当0x =时取等号） 对任意正整数n ，取10x n =>， 得：2111ln 1n n n ⎛⎫+<+⎪⎝⎭故211ln n n n n ++<， 即23413412ln 2ln ln ln 4923n n n n++++++>++++， 即()23412ln 149n n n +++++>+…………………………………………10分。
江苏省南通市如东县2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为．2．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是．3．在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，则公比为．4．不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为．5．若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为．6．椭圆C：+=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，则+的最小值为．7．等差数列{a n}，{b n}的前n项和为S n，T n．且=，则=．8．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为2x﹣y=0，则该双曲线的离心率为．9．3＜m＜9是方程+=1表示的椭圆的条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）10．已知x∈（1，5），则函数y=+的最小值为．11．若关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为．12．设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．13．如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MF⊥OA，则椭圆的离心率为．14．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=（n∈N*），则b2015=．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知：命题p：∀x∈R，x2+ax+1≥0，命题q：∃x∈[﹣2，0]，x2﹣x+a=0，若命题p与命题q一真一假，求实数a的取值范围．16．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，抛物线y2=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，且椭圆M的离心率为．（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A，B两点，且椭圆M上存在点P，满足=+，求m的值．17．已知等差数列{a n}中，a3=5，a6=11，数列{b n}前n项和为S n，且S n=b n﹣．（1）求a n和b n；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18．如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．19．椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．①求椭圆C的方程；②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．20．已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）已知数列{a n}为“r关联数列”，且a1=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+a k﹣1+a k=a1+a2+…+a m﹣1+a m？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”．【考点】四种命题．【专题】简易逻辑．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，故答案为：“若x≤1，则x2≤1”【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．2．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．3．在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，则公比为4．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，可得q4=256且q＞0，即可求出公比．【解答】解：∵在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，设公比为q，则q4=256且q＞0，解得：q=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的通项公式，属基础题．4．不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为（﹣1，﹣）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】由于不ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}，可得：1，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，利用根与系数的关系可把不等式cx2﹣bx+a＜0化为二次不等式即可解出．【解答】解：由题意得：a＞0，﹣=1+3=4，=1×3=3，即b=﹣4a，c=3a，故不等式cx2﹣bx+a＜0可化为：3x2+4x+1＜0，化简得（3x+1）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜﹣．∴所求不等式的解集为（﹣1，﹣），故答案为：（﹣1，﹣）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．5．若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，﹣2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（4，﹣2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×4﹣2=6．故答案为：6．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．椭圆C：+=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，则+的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由+==，MF1•MF2的最大值为a2=25，能求出+的最小值．【解答】解：∵椭圆C：+=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，∴+==，∵MF1•MF2的最大值为a2=25，∴+的最小值d min==．故答案为：．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．7．等差数列{a n}，{b n}的前n项和为S n，T n．且=，则=．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】利用=，即可得出．【解答】解：∵====．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为2x﹣y=0，则该双曲线的离心率为或．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】当双曲线焦点在x轴上时，可设标准方程为（a＞0，b＞0），此时渐近线方程是，与已知条件中的渐近线方程比较可得b=2a，最后用平方关系可得c=a，用公式可得离心率e==；当双曲线焦点在y轴上时，用类似的方法可得双曲线的离心率为．由此可得正确答案．【解答】解：（1）当双曲线焦点在x轴上时，设它的标准方程为（a＞0，b＞0）∵双曲线的一条渐近线方程是2x﹣y=0，∴双曲线渐近线方程是，即y=±2x∴⇒b=2a∵c2=a2+b2∴== a所以双曲线的离心率为e==（2）当双曲线焦点在y轴上时，设它的标准方程为（a＞0，b＞0）采用类似（1）的方法，可得⇒∴==所以双曲线的离心率为e==综上所述，该双曲线的离心率为或故答案为：或【点评】本题用比较系数法求双曲线的离心率的值，着重考查了双曲线的渐近线和平方关系等基本概念和双曲线的简单性质，属于基础题．9．3＜m＜9是方程+=1表示的椭圆的必要不充分条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）【考点】椭圆的标准方程．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．【分析】根据椭圆的标准方程，先看由3＜m＜9能否得出方程表示椭圆，而方程表示椭圆时，再看能否得出3＜m＜9，这样由充分条件和必要条件的定义即可判断3＜m＜9是方程表示椭圆的什么条件．【解答】解：（1）若3＜m＜9，则m﹣3＞0，9﹣m＞0；∵m﹣3﹣（9﹣m）=2m﹣12，3＜m＜9；∴m=6时，m﹣3=9﹣m；∴此时方程表示圆，不表示椭圆；∴3＜m＜9得不到方程表示椭圆；即3＜m＜9不是方程表示椭圆的充分条件；（2）若方程表示椭圆，则；∴3＜m＜9，且m≠6；即方程表示椭圆可得到3＜m＜9；∴3＜m＜9是方程表示椭圆的必要条件；综上得，3＜m＜9是方程表示椭圆的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】考查椭圆的标准方程，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．10．已知x∈（1，5），则函数y=+的最小值为．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣+==，由f′（x）=0得x2﹣18x+49=0得x===9±4，∵x∈（1，5），∴x=9﹣4，当1＜x＜9﹣4时，f′（x）＜0，函数单调递减，当9﹣4＜x＜5时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x=9﹣4时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，此时f（9﹣4）=+=+=+=+=+=+=，故答案为：【点评】本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．11．若关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为[，1）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】由题意得到a＞0，解出二次不等式，根据解的区间端点范围可得a的范围．【解答】解：关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0的解集中仅有4个整数解，∴，解得a＞0，解不等式得﹣1＜x＜，要使不等式的解集中仅有4个整数解，∴3＜≤4，解得≤a＜1，故答案为：[，1）．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．12．设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由于不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，利用等差数列的前n项和公式可得+，当a1≠0时，化为λ≤，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，，∴+，当a1≠0时，化为+1=，当=﹣时，上式等号成立．∴．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13．如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MF⊥OA，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为+=1（a＞b＞0），求得C和M的坐标，运用O，C，M共线，即有k OC=k OM，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为+=1（a＞b＞0），令x=c，可得y=b=，即有M（c，），由C是AB的三等分点（靠近点B），可得C（，），即（，），由O，C，M共线，可得k OC=k OM，即为=，即有b=2c，a==c，则e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的有关知识，考查运算能力，属于中档题．14．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=（n∈N*），则b2015=．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出b n+1=，b1=，从而得到数列{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，由此能求出b2015．【解答】解：∵a n+b n=1，且b n+1=，∴b n+1=，∵a1=，且a1+b1=1，∴b1=，∵b n+1=，∴﹣=﹣1，又∵b1=，∴=﹣2．∴数列{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，∴=﹣n﹣1，∴b n=．则b2015=．故答案为：．【点评】本题考查数列的第2015项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知：命题p：∀x∈R，x2+ax+1≥0，命题q：∃x∈[﹣2，0]，x2﹣x+a=0，若命题p与命题q一真一假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】对于命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0，可得△≤0，解得a范围．命题q：∃x∈[﹣2，0]，x2﹣x+a=0，即a=x﹣x2，利用二次函数的单调性即可得出a的取值范围．再利用命题p与命题q一真一假，即可得出．【解答】解：对于命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0，∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2．命题q：∃x∈[﹣2，0]，x2﹣x+a=0，即a=x﹣x2=﹣∈[﹣6，0]．若命题p与命题q一真一假，则，或，解得﹣6≤a＜﹣2，或0＜a≤2．∴实数a的取值范围是[﹣6，﹣2）∪（0，2]．【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，抛物线y2=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，且椭圆M的离心率为．（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A，B两点，且椭圆M上存在点P，满足=+，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知椭圆M的一个焦点F（1，0），e=，由此能求出椭圆M的方程．（2）联立，得3x2+4mx+2m2﹣2=0，由此利用韦达定理、向量、椭圆性质能求出m的值．【解答】解：（1）∵椭圆M的对称轴为坐标轴，抛物线y2=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，且椭圆M的离心率为，∴椭圆M的一个焦点F（1，0），设椭圆方程为=1（a＞b＞0），∵e=，∴b=c=1，a=，∴椭圆M的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得3x2+4mx+2m2﹣2=0，△=（4m）2﹣12（2m2﹣2）=﹣8m2+24＞0，解得﹣，∵=，∴P（x1+x2，y1+y2），∵，，∴P（﹣）在椭圆=1上，∴（﹣）2+2（）2=2，解得m=．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、向量知识、直线方程、抛物线等知识点的合理运用．17．已知等差数列{a n}中，a3=5，a6=11，数列{b n}前n项和为S n，且S n=b n﹣．（1）求a n和b n；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用d=及a n=a3+（n﹣3）d计算即得等差数列{a n}的通项公式；当n≥2时利用b n=S n﹣S n﹣1化简整理可知b n=3b n﹣1，进而可知数列{b n}是首项、公比均为3的等差数列，计算即得数列{b n}的通项公式；（2）通过（1）可知c n=（2n﹣1）3n，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则d===2，∴a n=a3+（n﹣3）d=2n﹣1；∵S n=b n﹣，∴当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（b n﹣）﹣（b n﹣）﹣1=（b n﹣b n），﹣1，整理得：b n=3b n﹣1又∵b1=b1﹣，即b1=3，∴数列{b n}是首项、公比均为3的等差数列，于是b n=3•3n﹣1=3n；（2）由（1）可知a n=2n﹣1、b n=3n，则c n=a n b n=（2n﹣1）3n，∵T n=1•3+3•32+5•33+…+（2n﹣1）•3n，∴3T n=1•32+3•33+5•34+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，两式相减得：﹣2T n=3+2（32+33+34+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=3+﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣6﹣（2n﹣2）•3n+1，∴T n=3+（n﹣1）•3n+1．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．18．如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD=EF，设∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，则θ=α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=，tanβ=，则tanθ=tan（α﹣β）==（x＞0），令u=，则ux2﹣2x+1.25u=0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max=，∵正切函数y=tanx在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x==，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ===，即x2﹣4x+4=﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2=﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【点评】本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值，注意解题方法的积累，属于中档题．19．椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．①求椭圆C的方程；②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）①由椭圆过两点，利用待定系数法能求出椭圆C的方程．②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx﹣1，与椭圆方程联立求出P点坐标，用﹣代k，得M点坐标，由此能求出直线PM，从而能证明直线PM经过定点T（0，）．（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，由此利用换元法及基本不等式性质能求出椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．【解答】解：（1）①∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（﹣3，0）和（2，），∴，解得a=3，b=1，∴椭圆C的方程为．证明：②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx﹣1，由，得P（，），用﹣代k，得M（，），∴=，∴直线PM：y﹣=，即y=，∴直线PM经过定点T（0，）．解：（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，由=1，得，∴==，令t=a2﹣5，t＞0，则=t++9≥2+9=4+9，当且仅当t=2，时，等号成立，∴椭圆C的中心到右准线的距离的最小值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查椭圆中心到右准线的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、均值定理的合理运用．20．已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）已知数列{a n}为“r关联数列”，且a1=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+a k﹣1+a k=a1+a2+…+a m﹣1+a m？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．【考点】数列的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）若数列{a n}为“6关联数列”，{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，可得a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1，即可求数列{a n}的通项公式；（2）由（1）得（或，可见数列{a n S n}的最小项为a6S6=﹣6，即可证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3），分类讨论，求出所有的k，m值．【解答】解：（1）∵数列{a n}为“6关联数列”，∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1=﹣3…∴（或）．…（2）由（1）得（或）…，{S n}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{a n S n}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{a n S n}的最小项为a6S6=﹣6，证明：，列举法知当n≤5时，（a n S n）min=a5S5=﹣5；…当n≥6时，，设t=2n﹣5，则．…（3）数列{a n}为“r关联数列”，且a1=﹣10，∵∴…①当k＜m≤12时，由得（k+m）（k﹣m）=21（k﹣m）k+m=21，k，m≤12，m ＞k，∴或．②当m＞k＞12时，由2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56得m=k，不存在…③当k≤12，m＞12时，由，2m﹣10=k2﹣21k+112当k=1时，2m﹣10=92，m∉N*；当k=2时，2m﹣10=74，m∉N*；当k=3时，2m﹣10=58，m∉N*；当k=4时，2m﹣10=44，m∉N*；当k=5时，2m﹣10=25，m=15∈N*；当k=6时，2m﹣10=22，m∉N*；当k=7时，2m﹣10=14，m∉N*；当k=8时，2m﹣10=23，m=13∈N*；当k=9时，2m﹣10=22，m=12舍去；当k=10时，2m﹣10=2，m=11舍去当k=11时，2m﹣10=2，m=11舍去；当k=12时，2m﹣10=22，m=12舍去…综上所述，∴存在或或或．…【点评】本题考查数列的应用，考查新定义，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，难度大．。
江苏省如东高级中学2015届高三数学练习(11)数学试题及答案
如东中学2015届高三数学每周练习（11）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程.请将答案填写在答题纸相应位置上）1． 若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z +为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ . 2．等差数列{}n a 中,若1,164106==+a a a ,则12a 的值是 ▲ .3．分别写有1,2,3,4的张卡片中，任意抽取两张，当两张卡片上的数字之和能被2整除时，就说这次试验成功，则一次试验成功的概率为 ▲ .4．一个与球心距离为2的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 ▲ . 5．集合{}R x x y y M ∈+==),1lg(2,集合{}R x x N x ∈>=,44,则N M 等于 ▲ .6．若P : 2≥x ,Q : 01)2(≥+-x x ,则P 是Q 的 ▲ 条件.7．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ▲ .(第7题图)8．将圆122=+y x 按向量a ()1,2-=平移后，恰好与直线0=+-b y x 相切，则实数b 的值为 ▲ .9．线性目标函数z x y =+在约束条件30,20,x y x y y a +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是 ▲ .0．0．10md 5m10．在ABC ∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,则2abc的最大值为 ▲ . 11．已知n a n =，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状： 1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a………………………………… 记(,)A m n 表示第m 行的第n 个数，则(10,12)A = ▲ . (第12题图)12．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d 米（当点P 在水面下时，d 为负数），则d （米）与时间t （秒）之间满足的关系式为sin()(0,0,)22d A t k A ππωϕωϕ=++>>-<<，且当P 点从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①10A =；②215ωπ=；③6πϕ=-；④5k =，其中所有正确的结论的序号是 ▲ .13．若函数22()243f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a = ▲ .14．已知数列{}n a 满足：11a =，2a x =（x N *∈），21n n n a a a ++=-，若前2010项中恰好含有666项为0，则x 的值为 ▲ .P二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ． （1）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1； （2）求三棱锥C AB A 11-的体积．16．某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？17．如图，已知圆心坐标为的圆M 与x 轴及直线x y 3=分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x 轴及直线x y 3=分别相切于C 、D 两点． （1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．A BCC 1A 1B 118．已知函数x x x f cos sin )(-=，R x ∈． （1）求函数)(x f 在]2,0[π内的单调递增区间；（2）若函数)(x f 在0x x =处取到最大值，求)3()2()(000x f x f x f ++的值； （3）若x e x g =)(（R x ∈），求证：方程)()(x g x f =在[)+∞,0内没有实数解．（参考数据：ln 20.69≈，14.3≈π）19．已知函数x x x x f 3231)(23+-=（R x ∈）的图象为曲线C ． （1）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．20．（本小题满分18分）已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 是等差数列，令集合},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．（1）若n c n =，*N n ∈，求数列}{n b 的通项公式；（2）若φ=B A ，数列}{n c 的前5项成等比数列，且11=c ，89=c ，求满足451>+n n c c 的正整数n 的个数．如东中学2015届高三数学每周练习（11） 参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程.请将答案填写在答题纸相应位置上） 1．-3. 2．15. 3．31. 4．20π. 5．),1(+∞. 6．充分而不必要. 7．48. 8．132.9．(+∞,2] 10．23±-. 11．93. 12．①②③④. 13 14、8或9二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）15． （本小题满分14分）解：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，则BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，-----------------------------------------------------3分又由于AC=BC=BB 1=1，AB 1=3，则AB=2，则由AC 2+BC 2=AB 2可知，AC ⊥BC ，---------------------------------------6分 又由上BB 1⊥底面ABC 可知BB 1⊥AC ，则AC ⊥平面B 1CB ，所以有平面AB 1C ⊥平面B 1CB ；----------------------------------------------9分 （2）三棱锥A 1—AB 1C 的体积61121311111=⨯⨯==--AC A B C AB A V V ．-----14分 （注：还有其它转换方法）16．（本小题满分14分）解：（1）xx x y )2642(5.0100++++++=即5.1100++=xx y （0>x ）；------------------------------------------7分 （不注明定义域不扣分，或将定义域写成*N x ∈也行）（2）由均值不等式得：5.215.110025.1100=+⋅≥++=xx x x y （万元）-----------------11分 当且仅当xx 100=，即10=x 时取到等号．-----------------------------------13分 答：该企业10年后需要重新更换新设备．---------------------------------------14分17．（本小题满分14分）解：（1）由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA的平分线，∵M 的坐标为)1,3(，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1， 则⊙M 的方程为1)1()3(22=-+-y x ，-------------------------------4分设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的的切点为C ，连接MA 、MC ，由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ：ON=MA ：NC ， 即313=⇒=+r rr r ， 则OC=33，则⊙N 的方程为9)3()33(22=-+-y x ；----------8分 （2）由对称性可知，所求的弦长等于过A 点直线MN 的平行线被⊙N 截得的弦的长度，此弦的方程是)3(33-=x y ，即：033=--y x ， 圆心N 到该直线的距离d=23，--------------------- ------------------ -11分 则弦长=33222=-d r ．----------------------------------------------------14分 另解：求得B （23,23），再得过B 与MN 平行的直线方程033=+-y x ， 圆心N 到该直线的距离d '=23，则弦长=33222=-d r ． （也可以直接求A 点或B 点到直线MN 的距离，进而求得弦长）18．（本小题满分14分）解：（1）)4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f ，令]22,22[4πππππ+-∈-k k x （Z k ∈）则]432,42[ππππ+-∈k k x ，------------------------------------------------2分由于]2,0[π∈x ，则)(x f 在]2,0[π内的单调递增区间为]43,0[π和]2,47[ππ； （注：将单调递增区间写成]43,0[π ]2,47[ππ的形式扣1分） （2）依题意，4320ππ+=k x （Z k ∈），-------------------------------------6分由周期性，)3()2()(000x f x f x f ++12)49cos 49(sin )23cos 23(sin )43cos 43(sin-=-+-+-=ππππππ；-----------------8分（3）函数xe x g =)(（R x ∈）为单调增函数，且当]4,0[π∈x 时，0)(≤x f ，0)(>=x e x g ，此时有)()(x g x f <；-------------10分当⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,4πx 时，由于785.04ln 4≈=ππe ，而345.02ln 212ln ≈=，则有2ln ln 4>πe，即4()4g e ππ=>，又()g x 为增函数，∴当⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,4πx时，()g x > ------12分 而函数)(x f 的最大值为2，即()f x ≤则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,4πx 时，恒有)()(x g x f <， 综上，在[)+∞,0恒有)()(x g x f <，即方程)()(x g x f =在[)+∞,0内没有实数 解．--------------------------------------------------------------------------------------------14分19． （本小题满分16分）解：（1）34)(2+-='x x x f ，则11)2()(2-≥--='x x f ，即曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[)+∞-,1；------------4分（2）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk ---------------------------------------------------------6分解得01<≤-k 或1≥k ，由03412<+-≤-x x 或1342≥+-x x得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22, x ；-------------------------------9分 （3）设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，21x x ≠，则切线方程是：))(34()3231(112112131x x x x x x x y -+-=+--，化简得：)232()34(2131121x x x x x y +-++-=，--------------------------11分 而过B ),(22y x 的切线方程是)232()34(2232222x x x x x y +-++-=，由于两切线是同一直线，则有：3434222121+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------13分 又由22322131232232x x x x +-=+-，即0))((2))((32212122212121=+-+++--x x x x x x x x x x 04)(31222121=+++-x x x x ，即012)(22211=-++x x x x 即0124)4(222=-+⨯-x x ，044222=+-x x得22=x ，但当22=x 时，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾。
江苏省如东高级中学数学热身练试卷
2008年江苏省如东高级中学数学热身练试卷(2008.06.02)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置上． 1. sin1740的值等于 .2. 对于命题p ：R x ∈∃，使得x 2+ x +1 < 0．则p ⌝为：___ ______．3. 函数y =()2log 2y x a =+有相同的定义域，则a = . 4.5. 一组数据的方差为2，将这组数据中每个扩大为原数的2倍，则所得新的一组数据的方差是 ．6. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 ． 7．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 ． 8．已知1sin()64πα-=，则sin(2)6πα+= ． 9．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积为V= ；10．三角形ABC 中AP 为BC 3=，2-=⋅＝ ． 11．定义在),0(+∞上的函数)(x f 的导函数0)('<x f 恒成立，且1)4(=f ，若()1f x y +≤，则 y x y x 2222+++的最小值是12．在1，2，3，4，5五条线路的车停靠的同一个车站上，张老师等候1，3，4路车的到来，按汽车经过该站的平均次数来说，2，3，4，5路车的次数是相等的，而1路车的次数是汽车各路车次数的总和，则首先到站的汽车是张老师所等候的汽车的概率为 ． 13．已知2sin cos 2a a θθ+=，2sin cos 2()b b a b θθ+=≠，对任意,a b R ∈，经过两点22(,),(,)a a b b 的 直线与一定圆相切，则圆方程为 ．14．对于数列{}n a ，定义数列{}n a ∆满足： 1n n n a a a +=∆-，（n *∈N ），定义数列2{}n a ∆满足： 21n n n a a a +∆=∆-∆，（n *∈N ），若数列2{}n a ∆中各项均为1，且2120080a a ==，则1a =__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 ．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为12i +，向量BC对应的复数为3i -，求：（Ⅰ）点,C D 对应的复数；（Ⅱ）平行四边形ABCD 的面积．16．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC 1∩B 1C ＝E ，F 是AC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（Ⅱ）设∠B 1AC 1＝θ，且cos θ＝23，试在棱AA 1上找一点M ，使得BM ⊥平面AB 1C ．17．如图，在矩形ABCD中，1AB BC ==，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积；（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，试确定M 的位置，使圆M 为矩形内 部面积最大的圆．18．有一五边形ABCDE 的地块（如图所示），其中CD ，DE 为围墙.其余各边界是不能动的一些体育C 1B 1A 1CFEBA设施．现准备在此五边形内建一栋科技楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽 的空地.（Ⅰ）请设计科技楼的长和宽，使科技楼的底面面积最大？（Ⅱ）若这一块地皮价值为400万，现用来建每层为256平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即 各层的面积之和）的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整栋楼房每平方 米的建筑费用增加25元.已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为500元.为了使该楼每平方 米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），问应把楼建成几层?19．根据如图所示的程序框图，将输出a ，b 的值依次分别记为a 1，a 2，…，a n ，…，a 2008；b 1，b 2，…，b n ，…，b 2008．（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）写出b 1，b 2，b 3，b 4，由此猜想{ b n }的通项公式，并证明你的证明；（Ⅲ）在 a k 与 a k ＋1 中插入b k ＋1个3得到一个新数列 { c n } ，设数列 { c n }的前n 项和为S n ，问是否存在这样的正整数m ，使数列{ c n }的前m 项的和2008m S =，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．20． 设函数321() (a<b<c)3f x ax bx cx =++，其图像在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0，a -．（1）求证：01b a≤< （2）若函数()f x 的递增区间为[],s t ，求s t -的取值范围；（3）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒有()0f x a '+<，试求k 的最小值附加题部分1．（矩阵与变换，满分10分）已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ a b ⎤⎥⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向是是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ； （2）若向量74β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A β的值.3．(极坐标与参数方程，满分10分) 已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程；（2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长．3．某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A 、B 、C 、D 与它们 的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得1-分，一名观众随意连线，他的得分记作ξ． （Ⅰ）求该观众得分ξ为非负的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．4. 如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.建立如图空间直角坐标系． （Ⅰ）求二面角B AC M --的大小的余弦值； （Ⅱ）求三棱锥MAC P -的体积．.2008年江苏省高考数学热身练答案一、填空题1．-2．R x ∈∀，均有x 2+ x +1≥0 3．2a =- 4．5354321b b b b b b =∙∙∙∙ 5．8 6．3 7．22 8．78 9．16+ 1011．16 12．3413．224x y += 14．20070 二、解答题15．解：（1）∵ 向量BA 对应的复数为12i +，向量BC 对应的复数为3i -， ∴ 向量AC 对应的复数为（12i +）-（3i -）=23i -．又 OC OA AC =+，∴点C 对应的复数为（2i +）+（23i -）=42i -．又 BD BA BC =+=（12i +）+（3i -）=4i +，2(12)1OB OA BA i i i =-=+-+=-， ∴ 1(4)5OD OB BD i i =+=-++=，∴点D 对应的复数为5． （2） ∵cos ,cos 5BA BC BABC BA BC B B BA BC=∴===∴ sin B =sin 7S BA BC B ===．∴平行四边形ABCD 的面积为7．16．解：（Ⅰ）在△AB 1C 中，E ，F 分别是B 1C 和AC 的中点，则EF ∥AB 1，而EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，∴EF ∥平面AB 1C 1．（Ⅱ）设三棱柱的侧棱AA 1＝b ，AB ＝AC ＝a ， 由∠BAC ＝90°，可得BC ＝2 a ，有题意可得AB1＝AC 1在△AB 1C 1中，2222222cos 3b a b θ===+， ∴222b a =，即b ＝ 2 a ．当M 为AA 1的中点时，在矩形AA 1B 1B 中，易证得BM ⊥AB 1，∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面AA 1B 1B ，BM ⊂平面AA 1B 1B ， ∴BM ⊥AC ，又AC∩AB 1＝A ，∴BM ⊥平面AB 1C ．17．解（Ⅰ）以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设P （x 0，y 0），B ），D （0,1），圆弧DE 的方程x 2＋y 2＝1（0,0x y ≥≥） 切线l 的方程：x 0x ＋y 0y ＝1（可以推导）． 设l 与AB 、CD交于F 、G 可求F（1,0x ），G （001,1y x -），l 平分矩形ABCD 面积，∴000001120y FBGN y x x -=⇒=⇒+-= ……① 又22001x y +=……②解①、②得：0011,()2222x y P ==∴． （Ⅱ）由题（Ⅰ）可知：切线l 20y +-=，当满足题意的圆M面积最大时必与边BC 相切，设圆M 与直线l 、BC 、DC 分别切于R 、Q 、T ，则MR =MT =MQ =r （r 为圆M 的半径）．∴M ,1)r r -1(),r r r =⇒==舍 MC 1B 1A 1CFEBA∴M 点坐标为3(,33． 18．解：（Ⅰ）由图建立如图所示的坐标系，可知AB 所在的直线方程为x 20＋y20＝1，即 x ＋y ＝20，设G (x ，y )，由y ＝20－x 可知G (x ，20－x )．S ＝ (34-（20-x ）)(23-5－x )＝－x 2＋4x ＋18·14＝－(x －2)2＋256． 由此可知，当x ＝2时，S 有最大值256平方米．答：长宽均为16时面积最大.（Ⅱ）设应把楼房建成x 层，则楼房的总面积为256x 平方米，每平方米的购地费为4000000÷(256x )元，每平方米的建筑费用为500＋500(x －5)·5%元．于是建房每平方米的综合费用为y ＝500＋500(x －5)·5%＋4000000256x ＝375＋25x ＋4000000256x ≥375＋225·4000000256＝375＋2·5·200016＝375＋1250＝1625（元）.当25x ＝4000000256x ，即x 2＝4000000256·25 ，x ＝200016·5＝25时，y 有最小值1125．故为了使该楼每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼房建成25层． 19．解：（Ⅰ）a 1＝1，a n ＋1 ＝a n ＋1，∴{ a n }是公差为1的等差数列．∴a n ＝n ． （Ⅱ）b 1＝0，b 2＝2，b 3＝8，b 4＝26，猜想131n n b -=-．证明如下：b n ＋1 ＝3b n ＋2，b n ＋1＋1＝3（b n ＋1），∴{ b n ＋1}是公比为3的等比数列．∴1111(1)33n n n b b --+=+=．则131n n b -=-． （Ⅲ）数列{}n c 中，k a 项（含k a ）前的所有项的和是121(12)(333)k k -+++++++()13322k k k +-=+， 估算知，当7k =时，其和是73328112020082-+=<，当8k =时，其和是83336331520082-+=>，又因为200811208882963-==⨯，是3的倍数，故存在这样的m ，使得2008m S =，此时257(1333)296667m =++++++=．20．附加题答案1．解： (1) 11A ⎡=⎢-⎣ 24⎤⎥⎦； ---------------------------------------------------------4分 (2)矩阵A 的特征多项式为1()1f λλ-=24λ--2560λλ=-+=，得122,3λλ==, -----------------------------------------------------------------------5分 当1122,1λα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦时 ,当2213,1λα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦时得． ----------------------------------------6分由12m n βαα=+，得273,14m n m n m n +=⎧==⎨+=⎩得． -------------------------------------7分∴5A β5551212(3)3()A A A αααα=+=+55551122214353()32311339λαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．--------------------10分22131sin 321212042100736101610y y x y d r πρθρθθ-∴=-+=+===∴．解：（）由sin(-)=6得:()=6------------2分-----------------------分（）------------------------------------ 分（）且弦长等于------------------------分3解: （Ⅰ）ξ的可能取值为4,0,4,12-．(12)P ξ=441124A ==，(4)P ξ=244414C A ==，(0)P ξ=1444213C A ⨯==． 该同学得分非负的概率为(12)(4)(0)P P P ξξξ=+=+==1524． （Ⅱ）(4)P ξ=-4433924A ⨯==． ξ的分布列为:数学期望9114412024424E ξ=-⨯+⨯+⨯= 4解：（Ⅰ）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有1,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >， 则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭,由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得0cos 60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即200z z =，解得01z =,∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =，则111101022y z y z +=⎧-=⎪⎩，取11x =，得{1,3,n =, 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m =,设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7m n m nθ⋅-==⋅显然，二面角M AC B --的平面角为锐角， 故二面角M AC B --,（Ⅱ）取平面PCM 的法向量取为()11,0,0n =，则点A 到平面PCM 的距离113CA n h n ⋅==,∵1,1PC PM ==，∴11111326212P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=。
2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三(上)开学数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．（4分）已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}＝{0，1}的集合M的个数是．2．（4分）函数y＝|x﹣1|+|x+4|的值域为．3．（4分）函数f（x）＝lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是．4．（4分）已知方程x2﹣4|x|+5＝m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是．5．（4分）设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为．6．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x＝1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）＝f（0），其中正确的序号是．7．（4分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为．8．（4分）圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线2ax﹣by+2＝0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．9．（4分）设P点在圆x2+（y﹣2）2＝1上移动，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值是．10．（4分）若函数f（x）＝（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为．11．（4分）已知数列{a n}满足，，则＝．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．13．（10分）某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？14．（12分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x＝（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．15．（12分）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n＝a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．16．（12分）已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y＝|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．【解答】解：∵M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}＝{0，1}，∴M＝{0，1}或{0，1，2，3}或{0，1，3}或{0，1，4}共4个，故答案为：4．2．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y＝﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y＝5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．3．【解答】解：令t＝x2﹣ax﹣1则y＝lgt∵y＝lgt在（0，+∞）递增又∵函数f（x）＝lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，∴t＝x2﹣ax﹣1在区间（1，+∞）上为单调增函数，且x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案为a≤04．【解答】解析：设f（x）＝x2﹣4|x|+5，则f（x）＝，作出f（x）的图象，如图要使方程x2﹣4|x|+5＝m有四个全不相等的实根，需使函数f（x）与y＝m的图象有四个不同的交点，由图象可知，1＜m＜5．故答案：（1，5）5．【解答】解：因为两个绝对值相加的函数的图象形状为，即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称．又因为函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝的图象关于直线x＝1对称，所以有＝1⇒a＝3．故答案为：3．6．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+1）＝﹣[﹣f（x+1+1）]＝f（x+2），∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．又∵f（x+2）＝f（x）＝f（﹣x），∴y＝f（x）的图象关于x＝1对称，②正确，又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]上是减函数，又∵对称轴为x＝1．∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）＝f（0），故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．7．【解答】解：由不等式组给定的区域D如图所示：z＝•＝x+y，即y＝﹣x+z首先做出直线l0：y＝﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．8．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2＝0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2＝0，即a+b＝1，故1＝a+b≥2，求得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．9．【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2＝9．点Q到圆心（0，2）的距离为d＝＝＝，故当y＝﹣时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+．故答案为：1+．10．【解答】解：∵函数f（x）＝∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴∴（k2﹣1）（2x）2＝1﹣k2∴（k2﹣1）＝0∴k＝±1故答案为：±1．11．【解答】解：∵，，∴a n+1＝，∴＝＝+，∴+＝3（+），即＝3，∴＝3n﹣1，即＝3n﹣1，∴＝3n﹣1﹣，∴＝（30+3+32+…+3n﹣1）﹣＝＝．故答案为：．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，∴＝，化简可得sin C cos A﹣cos C sin A＝sin B cos C﹣cos B sin C，即sin（C﹣A）＝sin（B﹣C）．∴C﹣A＝B﹣C，或者C﹣A＝π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即2C＝A+B，∴C＝．（2）由于C＝，设A＝+α，B＝﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a＝2r sin A＝sin A，b＝2r sin B＝sin B，∴a2+b2＝sin2A+sin2B＝+＝1﹣[cos（+2α）+cos（﹣2α）]＝1+cos2α．由﹣＜2α＜，可得﹣＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为（，]．13．【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y＝（a+）（x﹣3）（5.5≤x≤7.5），（2）当k＝2a时，依题意有（a+）（x﹣3）≥（8﹣3）a×（1+20%），解之得x≥6或4＜x≤5，又5.5≤x≤7.5，所以6≤x≤7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%．14．【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c＝1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）＝0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离＝所以，解得t＝4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0＝0，∴2x0+ty0＝2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）＝0，∴x02+y02＝2x0+ty0＝2，所以为定值．15．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n＝1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为＝，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s＝b r+b t成立，则只有可能有2b r＝b s+b t成立，∴化简整理后可得，2＝（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．16．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，∴f′（x）＝a x lna+2x﹣lna＝2x+（a x ﹣1）lna，由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）＝0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）＝0有唯一解x＝0．所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y＝|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）＝t±1有三个根，即y＝f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y＝t±1共有三个交点．不妨取a＞1，y＝f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）＝1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．∵t﹣1＜t+1，∴f（x）＝t+1有两个根，f（x）＝t﹣1只有一个根．∴t﹣1＝f min（x）＝f（0）＝1，∴t＝2．（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|＝（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min＝f（0）＝1，（f（x））max＝max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t＝1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）＝0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a≥e．②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．。
江苏省如东县掘港高级中学高三数学最后一次热身训练卷
江苏省如东县掘港高级中学高三数学最后一次热身训练卷第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 等于( ) A.{1} B.∅ C.∅或{1} D.∅或{2}则样本在(20，50]上的频率为( )A.12％B.40％C.60％D.70％3设m ，n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是( )A.m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βB.α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nC.α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nD.α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ⇒n ⊥β4、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.5B.4C. 3D. 2 5、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如图2所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =（ ）A.4B.3C. 2D.16．椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的四个顶点A 、B 、C 、D ，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（ ） 7．已知函数)(x f 的导函数是)(x f ',且,3)1(,2)1(=-'=-f f 则曲线)(x f y =在点1-=x 处的切线方程是（ ）A ．y=3x+5B ．y=3x+6C ．y=2x+5D ．y=2x+48．已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 ( )A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º9、在约束条件24xyy x sy x≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当3≤s≤5时，目标函数32z x y=+的最大值的变化范（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]10、对于任意的两个实数对(,)a b和(,)c d，规定：(,)(,)a b c d=，当且仅当,a cb d==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d⊕=++，设,p q R∈，若(1,2)(,)(5,0)p q⊗=，则(1,2)(,)p q⊕=（）A.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,4)-第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.（11）︒-︒︒+︒︒40cos270tan10sin310cos20cot＝（12）一只箱子中有形状相同的4个红球和2个白球，在其中任取一只球，放回后再取一只球，则取出的两球为一红一白的概率为．(13)不等式3)61(log2≤++xx的解集为________．(14)将正方形按ABCD沿对角线AC折成二面角D-AC-B，使点B、D的距离等于AB的长.此时直线AB与CD所成的角的大小为____________________.（15）数列{}{}nnnnaaaaa把数列满足,63,111+==+的每一项都要加上一个常数a使得新数列恰为等比数列，则a的值为__________（16）某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F为左焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球的半径为R km，关于椭圆有以下四种说法：①焦距长为n m-；；③离心率2n mem n R-=++；④以AB方向为x轴的正方向，F为坐标原点，则左准线方程为2()()m R n Rxn m-++=-。
高考数学模拟试卷最后一卷(如东县教育局教师发展中心).docx
2015届江苏如东高考数学模拟试卷最后一卷(如东县教育局教师发展中心)数学试卷1如东县教育局教师发展中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{}1,3A =，{}2,B x =，若{1,2,3,4}A B =，则x = .【答案】42.设i 为虚数单位，则复数1iiz -=的虚部是 . 【答案】1-2. 若复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 . 【答案】3±3.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[]241,360内的人数是． 【答案】6.4．下面的程序段结果是 .5．已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟， 则一乘客到站后能立即乘上车的概率 . 【答案】1106．已知3(0,),cos()45αππα∈+=-，则tan α＝ . 【答案】7i←1 s←1While i≤4 s←s×i i←i+1 End whilePrint s7.如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，底面ABCD 是矩形， 2AB =，3AD =，4PA =，点E 沿B C D A →→→运动， 则三棱锥E －P AB 的体积的最大值为 .【答案】48．已知函数1()log (01)a xf x a b x-=<<+为奇函数，当(]1,x a ∈-时，函数()f x 的值域是(],1-∞，则a b +的值为 .【答案】29．若方程[][]22221,1,5,2,4x y a b a b+=∈∈表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，则z a b =+的最小值为 . 【答案】49. 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线218y x =的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 . 【答案】10510．曲线:2sin C y x =在6x π=和0x x =处的切线互相垂直，将曲线C 的图象向左平移2πϕ+个单位后所得的图象关于直线0x x =对称，则cos2ϕ的值为 . 【答案】56-11．已知ABC ∆是边长为4的正三角形，D 、P 是ABC ∆内部两点，且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r，则APD ∆的面积为 .【答案】3412.已知周期为4的函数21,(1,1]()12,(1,3]m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 .【答案】15(,7)313．已知圆22:(2)(3)4M x y -+-=，过点(0,)P t 的直线交圆于不同的两点A,B ，且PA AB =，则实数t 的取值范围为 .【答案】)(342,33,342⎡⎤-+⎣⎦13. 已知P 点为圆1O 与圆2O 公共点，圆2221:()()O x a y b b -+-=，圆2222:()()O x c y d d -+-= ，若9,a c acb d ==，则点P 与直线l ：34250x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 . 【答案】2 第13题：a c kb d==，则1O ：2222()()x a y k a k a -+-= 整理得：2222(2)0a x k y a x y -+++= 同理2O 化为：2222(2)0c x k y c x y -+++= 故,a c 是方程2222(2)0m x k y mx y -+++=的两个根故229ac x y =+=，下省略14．已知数列{}{},n n a b 的各项均为正数，且对任意*n N ∈，都有1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列，且1210,15a a ==，则数列的通项{}n b 公式为n b = ．【答案】2(4)2n +二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()sin()(0,||,)2f x A x A x R πωϕϕ=+><∈，且函数()f x 的最大值为2，最小正周期为2π，并且函数()f x 的图像过点(,0)24π（1）求函数()f x 的解析式；（2）设ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()24cf =，32c =，求2a b +的取值范围。
2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三(上)开学数学试卷
2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．(★★★★)已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是4 ．2．(★★★★)函数y=|x-1|+|x+4|的值域为 5，+∞）．3．(★★★★)函数f（x）=lg（x 2-ax-1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是 a≤0 ．4．(★★★★)已知方程x 2-4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是（1，5）．5．(★★★)设函数f（x）=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为 3 ．6．(★★)定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在-1，0上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在0，1上是增函数；④f（x）在1，2上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是①②⑤．7．(★★★)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M （x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为 4 ．8．(★★★★)圆x 2+y 2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．9．(★★★)设 P点在圆x 2+（y-2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是 1+ ．10．(★★)若函数f（x）= （k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为±1 ．11．(★★)已知数列{a n}满足，，则=．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．(★★★)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a 2+b 2的取值范围．13．(★★)某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？14．(★★)已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x= （a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．15．(★★)已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12-a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．16．(★★)已知函数f（x）=a x+x 2-xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x 1，x 2∈-1，1，使得|f（x 1）-f（x 2）|≥e-1，试求a的取值范围．。
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4
上．
)
(Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 0 , 0 2 时，求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标．
D． （本小题满分 10 分） 已知 a、b、c 均为正实数，且 a+b+c=1，求 a 1 b 1 c 1 的最大值．
O Q
（第 17 题）
A
x
18. （本小题满分 16 分） 在一个边长为 1000 m 的正方形野生麋鹿保护区的正中央，有一个半径为 30 m 的圆形水 塘，里面饲养着鳄鱼，以提高麋鹿的抗天敌能力． （1）刚投放进去的麋鹿都是在水塘以外的任意区域自由活动．若岸上距离水塘边 1 m 以 内的范围都是鳄鱼的攻击区域，请判断麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性是否会超过 1‰ ，并说明理由； （2）现有甲、乙两种类型的麋鹿，按野生麋鹿活动的规律，它们活动的适宜范围平均每 只分别不小于 8000 m2 和 4500 m2 （水塘的面积忽略不计 ） ．它们每只每年对食物的 ．．．．．．．．． 需求量分别是 4 个单位和 5 个单位， 岸上植物每年提供的食物总量是 720 个单位． 若 甲、乙两种麋鹿每只的科研价值比为 3 : 2，要使得两种麋鹿的科研总价值最大，保 护区应投放两种麋鹿各多少只？
（第 4 题）
4． 如图是某班 8 位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这 8 位学生 得分的平均分为 ▲ ． ▲ ．
5． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为
6． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的 概率为 0.8，乙不输的概率为 0.7，则两人下成和棋的概率为 7．给出下列命题： ▲
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题纸的指定区域内. 15． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) sin x π cos x π ， g ( x) 2sin 2 x ， x R ． 2 6 3 （1）求函数 y f ( x) g ( x) 的最小正周期和值域； （2）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a 6 ， f ( A) 3 3 ， 5 求△ABC 面积的最大值．
1 3 1 2 2 x x 23 x 1 在 (m,) 3 2
内为“勾函数”？若存在，试求出 m 的取值范围，若不存在，说明理由．
绝密★启用前
2015 年高考热身训练
数学Ⅱ（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
2015-6-2
1. 本试卷共 2 页，均为解答题（第 21 题-第 23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分。 考试结束后，请将答题卡交回。 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答 题卡上，并用 2B 铅笔正确涂写考试号。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置 作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
16． （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA PC ， BC 4 ， AC 2 ． M 为 BC 的中点， N 为 AC 上一点，且
MN ∥平面 PAB ， MN 3 ．
P
A
N
求证： （1）直线 AB ∥平面 PMN ； （2）平面 ABC 平面 PMN ．
（x1，y1） 过点 M 的直线与抛物线交于 A， B 两点．设 A 到准线 l 的距离 d p （ 0 ） ．
（1）若 y1 d 1 ，求抛物线的标准方程；
（2）若 AM AB 0 ，求证：直线 AFra bibliotek 的斜率为定值．
l
y
B A
O
M
x
（第 22 题）
▲
．
10．数列 {an } 中， a1 0 ，a4 7 ， n N* ，当 n≥2 时， (1 an )2 (1 an1 )(1 an 1 ) ，则数 列 {an } 的前 n 项和为 ▲ ． ▲ 条件．
11．设实数 a 1 ， b 1 ，则“ a b ”是“ ln a ln b a b ”成立的
一、填空题：本题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分．不需写解答,请把答案填写在答题纸指定位 ．．．．．． 置上 ． ．． 1． 已知集合 A={2，5}，B={ x |1 ≤ x ≤ 3 }，则 A B = 2． 设 a R ，复数 ▲ ． ▲ ． 8 9 58 012246
a 2i （ i 是虚数单位）是纯虚数，则 a 的值为 1 2i 1 ，则 f ( x) 3． 已知幂函数 f ( x) 的图象经过点 2 ， ▲ ． 4
(请用“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”中之一填空)
A B C 12． 在△ABC 中， M， N 分别为边 AC， AB 的中点， 且 BM AC 2CN AB ， 则 B B 45， B C B A
an
20． （本小题满分 16 分） 对于函数 y f ( x) ，若存在开区间 D ，同时满足： ①存在 a D ，当 x a 时，函数 f ( x) 单调递减，当 x a 时，函数 f ( x) 单调递增； ②对任意 x 0 ，只要 a x, a x D ，都有 f (a x) f (a x) ． 则称 y f ( x) 为 D 内的“勾函数” ． （1）证明：函数 y ln x 为 (0,) 内的“勾函数” ． （2）对于给定常数 ，是否存在 m ，使函数 h( x)
23． （本小题满分 10 分） 设 f (n) (a b)n （ n N* ， n≥2 ） ，若 f (n) 的展开式中，存在某连续三项，其二项式 系数依次成等差数列，则称 f (n) 具有性质 P ．
（1）求证： f (7) 具有性质 P ； （2）若存在 n ≤ 2015 ，使 f (n) 具有性质 P ，求 n 的最大值．
8． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 为双曲线 x2 y 2 4 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲 线的右支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积为 ▲ ．
1] ，则 A 9．已知定义在集合 A 上的函数 f ( x) log 2 ( x 1) log 2 (2 x 1) ，其值域为 (，
s 0 t 1 For I From 1 s s+I t t I End For r s t ． Print r
（第 5 题）
To 3
（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 则其中所有真命题 的序号是 ．．． ▲ ．
12． 2 2 13．
6 14． (， 4) ( 7 1， ) 3
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域 内作答．解答时应写出文字 ．．．．．．． 说明、 证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 14 分） 解： （ 1 ） f ( x) sin x cos π +cos x sin π cos x cos π +sin x sin π 3 sin x ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 6 6 3 3 分
17． （本小题满分 14 分）
2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x 2 2 1 (a b 0) 的右顶点与上顶点分别为 a b
A，B，椭圆的离心率为 3 ，且过点 1， 3 ． 2 2 （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，若直线 l 与该椭圆交于 P，Q 两点，直线 BQ ，AP 的斜率互为相反数． 求证：直线 l 的斜率为定值； y B P l
21． 【选做题】本题包括 A，B，C，D 共 4 小题，请从这 4 题中选做 2 小题，每小题 10 分， 共 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A． （本小题满分 10 分） 如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB=AC，延长 BC 到点 D，使得 CD=AC，连结 AD 交⊙O 于点 E，连结 BE 与 AC 交于点 F，求证 BE 平分∠ABC． A E O B B． （本小题满分 10 分） 若二阶矩阵 M 满足： M (Ⅰ）求二阶矩阵 M ； (Ⅱ）若曲线 C : x 2 xy 2 y 1 在矩阵 M 所对应的变换作用下得到曲线 C ，求曲线
19． （本小题满分 16 分） 设数列{an}的各项都是正数，且对任意 n∈N*都有 a13＋a23＋a33＋„＋an3＝Sn2＋2Sn，其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和． （1）求 a1，a2； （2）求数列{an}的通项公式； Sn＋3 2 （3）bn＝ ，cn＝ a －1 ，试找出所有既在数列{bn}中又在数列{cn}中的项． Sn n 2 ＋an
2 2
F C D
(第 21A 题图)
1 2 5 8 . 3 4 4 6
C 的方程.
C． （本小题满分 10 分） 已知点 P(1 2 cos , 2 sin ) （其中 0, 2 ) ，点 P 的轨迹记为曲线 C1 ，以坐标原点为 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 Q 在曲线 C2 :
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答 ，解答 ．．．．．．．．．． 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． （本小题满分 10 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2 2 px （ p 0 ）的准线 l 与 x 轴交于点 M ，