焦点三角形面积公式

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焦点三角形面积公式

椭圆焦点三角形面积公式的应用2 2 22(a -C ) 2b 1 COST 1 COST由任意三角形的面积公式得:2 eS,F 1PF 2 = b tan 2典题妙解△ F i PF 2的面积.y1 中，a =10,b =8,c =6,而 J - 60 .记 | PR几，| PF 2 |二 r 2.64点P 在椭圆上,-由椭圆的第一定义得：r 1 r 2 =2a=20.例1 若P 是椭圆100F 2是其焦点，且—FfF ? =60，求2S..R PF 2- 2 r 1r 2 Sin 71 - b1 COSTe e2sin COS — 2 2 二 b 2 2COS 2-2e tan —.2 同理可证，在椭圆 22y- —1(ba >b >0) 中，公式仍然成立.解法一：在椭圆100 即 4a 2 -2r 1r 2(1 COST ) = 4c 2.22定理在椭圆写•爲二1 ( a > b > 0)中，焦点分别为F 1、F 2，点P 是椭圆上任,, 2 2 2在厶F |PF2中，由余弦定理得：r ir 2 -2r i r 2cos v - （2c ）.配方，得：（n 亠 r 2 ）2 —3「订2 =144.256 .400 一3叩2 =144.从而吋2二已3.Sr 1PF^b 2tan64tanBO 、6^2 3| PF i | | PF 2 |A. 3 37 ,贝y cos 二二 PF1 PF2.| PF 1 | ■〔 PF 2 |29 S.^PF ? - b tan 2 故选答案A.= 9tan30' -3.3.点 P 到 x 轴的距离为 h ,则 S.F I PF 2 二 b 2tan 寸=9tan45 =9 ,又 S FPF2解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了, 两个解法的优劣立现!例2 已知P22是椭圆—1上25 9的点，F 1、 F 2分别是椭圆的左、右焦点，若PF 1 PF 2 则厶F 1PF 2的面积为（2 2 例3（ 04湖北）已知椭圆 —•厶=1的左、右焦点分别是 16 9 F i、F 2 ,点P 在椭圆上.若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到x 轴的距离为（ 9 A.—59・7B.7C. 解：若已或F 2是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长 b 2若P 是直角顶点，设1S.F |PF 2 二 2「1r 2 Sin 7164.3x 2解法二：在椭圆一1002計中，b 2=64，而—aB. 2 3解：设-F 1PF 2(2c) h = 7h,2一 9 7 .、.7h =9 , h.故答案选D.7金指点睛2 2y x1. 椭圆1上一点P 与椭圆两个焦点 F i 、F 2的连线互相垂直，则厶F 1PF 2的面积为（）49 24A. 20B. 22C. 28D. 24X 22— 一2. 椭圆y = 1的左右焦点为F i 、F 2， P 是椭圆上一点，当厶F i PF 2的面积为1时，PF i 卩F 24的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 623. 椭圆y 2 =1的左右焦点为F i 、F 2，P 是椭圆上一点，当厶F 1PF 2的面积最大时，PF i 卩F 24的值为（）A. 0B. 2C. 4D. - 2X 2 24•已知椭圆 — y -1 （ a > 1）的两个焦点为 F i 、F 2, P 为椭圆上一点，且• F i PF 2=60 ,a则| PF i | |PF 2啲值为（）1 B.-3F i 、F 2为焦点，点P 在椭圆上，直线PF i 与PF 2倾斜角的差为90 , △ F 1PF 2的面积是20,离心率为PF 1 PF o16.已知椭圆的中心在原点，F 1、F 2为左右焦点，P 为椭圆上一点，且 --，△ F 1PF 2— |PF i |-|PF 2|2—4 3的面积是.3，准线方程为x，求椭圆的标准方程.3答案1.解： F 1PF 2 - v -90 ,b 2=24 ,故答案选D./a2日日日皿 r --—'5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴,二 b tan 24tan45 = 24.22解：设•F i PF—, srw 厂tan厂1，- T45—90，卩—.故答案选A.3.解：a = 2, b = 1, c = .. 3，设/ F 1 PF 2-), S 行PF 2 = b 2 tan 三=tan ?,.当厶F 1PF 2的面积最大时，二为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，二=120，2.PF PF 2 =|PF 1 | |PF 2|cosv -a cos120 - -2.故答案选D.4.解：匕F 1PF 2 - )-60 ， b = 1， S F 1PF 2 = b 2tantan30 = —3，2313Q PF 1| |PF 2|s 『盲1 PF 」|PF 2|，3 3才旳丹21盲'从而E |PF 2 故答案选C.5.解：设 F 1PF 2「，贝- 90 . - S * =b 2 tanf 二 b 2 tan45‘ =b 2 =20 , — c Ja 2 -b 2 <5 乂 • e =a a320a 2 解得：a 2 =45.2222所求椭圆的标准方程为 —=1或— =1.45 20 45 206.解：设 F 1PF 2 二 , cos” PF1 PF2IPF 1I IPF 2I二 b 2tan60 二、3b 22日S F1PF「b tan 22 又；— c c 2 b 2 c 21L 14J3二c 亠c 3当C 二.3时, a = b 2 c 22=2，这时椭圆的标准方程为 — y^ 1;4乂' S.F 1PF 2= 120 .当c 3时，a「b2y2二空，这时椭圆的标准方程为牢・y2=1；3 3 43 但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，二为最大，r - 60，不合题意.2故所求的椭圆的标准方程为—y2 = 1.4211上的一点，F1、64。

椭圆的焦点三角形面积公式

椭圆的焦点三角形面积公式
1、椭圆的焦点三角形面积公式:
椭圆的焦点三角形面积公式，指的是针对椭圆的一种特殊形状的三角形，是其面积计算公式。

具体计算公式为：S=1/2ab*sqrt(1-e2)，其中a、b、e分别表示椭圆长轴、短轴以及离心率，即椭圆椭圆小周长与大周
长之比，由此可以得出动态椭圆的焦点三角形面积。

2、离心率的计算方法：
离心率是指椭圆小周长与大周长之比，计算方法也很简单，通过将椭
圆的两个焦点到长轴上的距离除以长轴的长度，即可得到离心率的值。

这里要注意的是，离心率的值不能大于1，否则椭圆的小周长就大于大周长，椭圆就变成了另一种不同的形状了。

3、椭圆的焦点三角形面积计算实例：
具体计算实例，假设我们有一个椭圆，长轴长度为a=30，短轴长度为
b=20，离心率为e=0.6，则该椭圆的焦点三角形的面积计算公式为：
S=1/2ab*sqrt(1-e2)，其中的a、b、e分别表示椭圆的长轴、短轴以及离
心率，则本例中的面积计算结果为S=216，即椭圆的焦点三角形的面
积为216。

有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用

圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。

椭圆中焦点三角形的面积公式

椭圆中焦点三角形的面积公式椭圆中的焦点三角形，是由椭圆的两个焦点和椭圆上的任意一点构成的三角形。

我们可以通过椭圆的长轴、短轴和焦距来推导出该三角形的面积公式。

首先，我们需要知道椭圆的两个焦点的坐标。

设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，椭圆的中心点为O，则左右焦点的坐标分别为(-c,0)和(c,0)。

接下来，设椭圆上任意一点的坐标为(x,y)，则该点到两个焦点的距离分别为：d1 = √((x+c)² + y²) 和d2 = √((x-c)² + y²)。

由于椭圆上的点满足椭圆方程，即(x²/a²) + (y²/b²) = 1，我们可以将其转化为：y = b√(1 - x²/a²)。

将上述两个方程代入三角形面积公式S = (1/2)×b×h，其中h为三角形的高，我们有：S = (1/2)×b×(2y) = b²√(1 - (x²/a²)) (①)根据椭圆的性质，我们可以发现椭圆的长轴与短轴满足a² = b² + c²，因此，将上述公式中的b代入为√(a² - c²)后，我们有：S = a²√(1 - (x²/a²)) - c²√(1 - (x²/a²)) = a²√(1 -(x²/a²))(1 - (c²/a²)) (②)上述公式(②) 即为椭圆中焦点三角形的面积公式。

注意到其中的(1 - (c²/a²))是一个小于1的系数，因此面积公式中的主要因素是椭圆的长轴和短轴，也就是椭圆的大小。

当椭圆是一个圆形时，也就是长轴等于短轴，面积公式中的系数即为1。

抛物线的焦点三角形面积公式

抛物线的焦点三角形面积公式抛物线的焦点三角形面积公式是一个有趣的几何学概念，它可以用来计算抛物线上任意三点所组成的三角形的面积。

抛物线是一类曲线，当这类曲线经过一定变换后，它们的焦点就会凸显出来。

在抛物线上任意三点A,B,C所组成的三角形ABC的面积，可以用下面的抛物线的焦点三角形面积公式来计算：面积S=1/4[(AB²+AC²+BC²)-2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)]其中，AB、AC、BC分别表示三角形ABC的三条边长度，AB.AC、AB.BC、AC.BC分别表示三边长之间的点乘积。

抛物线的焦点三角形面积公式可以帮助我们计算出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积，而不需要求出抛物线的方程，这个公式比较简单，如果我们了解了它的原理，就可以很容易地计算出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

抛物线的焦点三角形面积公式的原理是：如果抛物线上任意三点所构成的三角形的面积，其面积可以由抛物线的方程来求解，而抛物线的方程可以采用下面的标准形式：y=ax²+bx+c其中a,b,c是抛物线的方程中的常数。

假设抛物线上任意三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则把抛物线的方程代入，可以得到：y1=ax12+bx1+cy2=ax22+bx2+cy3=ax32+bx3+c这三式子可以组成一个三元二次方程组，可以求解出a,b,c的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

因此，抛物线的焦点三角形面积公式的原理是：利用抛物线的方程求解出a,b,c的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

总之，抛物线的焦点三角形面积公式是一个有趣的几何学概念，它可以用来计算抛物线上任意三点所组成的三角形的面积。

它的原理是：利用抛物线的方程求解出a,b,c 的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

椭圆中三角形面积公式

椭圆中三角形面积公式椭圆三角形面积公式：S=b2*tan。

椭圆是移动点P的轨迹，其从平面到固定点F1和F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2|）。

F1和F2称为椭圆的两个焦点。

数学表达式为：｜Pf1|PF2|=2A（2A>|F1F2|）。

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。

焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ／2)（θ为焦点三角形的顶角）。

椭圆的焦点三角形性质为：（1）｜PF1|+|PF2|=2a。

（2）4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ。

（3）周长＝2a+2c。

（4）面积＝S=b²·tan(θ／2)（∠F1PF2=θ）。

椭圆三角形面积公式：S=b^2*tan(θ/2)。

1、离心率由正弦公式推导：F1P/sinα=F2P/sinβ=F1F2/sin θ，sinθ=sin(α+β)，F1P+F2P=2a，F1F2=2c，e=c/a。

2、已知tan(θ/2)=sinα/(cosα+1)。

3、焦点三角形面积由余弦公式推导：∠F1PF2=θ，PF1=m，PF2=n。

4、则m+n=2a，在△F1PF2中，由余弦定理：(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ。

5、即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)。

6、所以mn=2b^2/(1+cosθ)。

7、S=(mnsinθ)/2=b^2*sinθ/(1+cosθ)=b^2*tan(θ/2)。

椭圆三角形表达椭圆是移动点P的轨迹，其从平面到固定点F1和F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2|）。

F1和F2称为椭圆的两个焦点。

数学表达式为：Pf1|PF2|=2A（2A>|F1F2|）。

焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ／2)（θ为焦点三角形的顶角）。

专题12 焦点三角形的面积公式(解析版)

A． 48 5
B． 36 5
C．16
D． 48 或 16 5
【答案】D
【详解】依题意， a 5,b 4, c 3 ，不妨设 F1 3, 0, F 3, 0 ，
对于直角三角形 MF1F2 ，
若 F1MF2
π 2
，
PF1 PF2 2a 10
由
PF1
2
PF2
2
4c
2
36
，整理得
PF1
PF2
7 7 3
3
2
33
【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，
在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，SPF1F2
b2 tan
要特别注意记忆
F1PF2 表
2
示的是哪个角.另外利用结论 SPF1F2
b2 求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.
即为 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 4c2
联立可得 PF1 PF2 4c2 4a2 4b2
F1F2P 的面积为
3,
可得 1 2
PF1
PF2
sin 60 1 4b 2 2
3 2
3b2
3
解得
b
1,
a
1 2
，所以双曲线的实轴的长
2a
1.
故选：A
7．（2022
秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）椭圆 x2 100
直线 AF 的斜率为（）
A．
1 3
B． 2 3
C．
1 2
D． 2 2
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点为 F2 ，连接 AF2 , BF2 ，由图形的对称性知 AFBF2 为矩形，则有 | AF | AF2 2a ，

抛物线焦点三角形的面积公式

抛物线焦点三角形的面积公式
1、有一边在坐标轴上：S=1/2xa-xb×yc，有一边与坐标轴（x轴）平行：S=1/2xa-xb×yc-ya。

（得出结论）
2、抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。

它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

（原因解释）
3、抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

（内容延伸）抛物线焦点三角形面积公式
P²／2Sina。

任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点。

那么△PAB称作阿基米德三角形。

该三角形满足以下特性：
1、P点必在抛物线的准线上
2、△PAB为直角三角形，且角P为直角
3、PF⊥AB（即符合射影定理）
另外，对于任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）均有如下特性
抛物线焦点三角形面积公式
焦点三角形面积=b*b*tan(r/2)(其中b为短半轴长，r表示椭圆周角)设焦点为f1，f2，椭圆上任意点为a，设角f1af2为角r推导方式是设三角形另外一点是a，af1+af2=2aaf1向量-af2向量=f2f1向量。

两式都两边平方再整理得mn=2b^2/(1-cosa)(0度可以不考虑)面积就是1/2mnsina，把上面带入即得。

{注：m，n为af1和af2的长}。

专题13 焦点三角形的面积公式

专题13 焦点三角形的面积公式一、结论1、椭圆中焦点三角形面积公式在椭圆22221x y a b +=(0a b >>)中,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,12F PF θ∠=,12PF F ∆的面积记为12PF F S ∆，则：①12121||||||2PF F p p S F F y c y ∆== ②12121|||||sin 2PF F S PF PF θ∆=③122tan2PF F S b θ∆=,其中12F PF θ=∠.2、双曲线中焦点三角形面积公式在双曲线22221x y a b −=(0a >,0b >)中,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,12F PF θ∠=，12PF F ∆的面积记为12PF F S ∆，则：①12121||||||2PF F p p S F F y c y ∆== ②12121|||||sin 2PF F S PF PF θ∆=③122tan2PF F b S θ∆=注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.二、典型例题1．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知1F 、2F 是椭22:143x yC +=圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，则12PF F ∆的面积是（）A ．3B ．2C D 【答案】D 【详解】由椭圆22:143x y C +=的方程可得24a =，23b =，1c =，则1224PF PF a +==，因为1260F PF ︒∠=，则2221212122cos60PF PF PF PF F F +−⋅=，即()221212123PF PF PF PF F F +−⋅=，即121634PF PF −⋅=，解得124PF PF ⋅=，因此，121211sin60422PF F SPF PF =⋅=⨯故选：D.另解：根据焦点三角形面积公式，求122tan2PF F S b θ∆=,其中12F PF θ=∠，由题意知23b =，6πθ=，代入122tan3tan26PF F S b θπ∆==⋅=【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，122tan2PF F S b θ∆=要特别注意记忆12F PF θ=∠表示的是哪个角.2．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知P 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上一动点，1F，2F 是椭圆的左、右焦点，当123F PF π∠=时，12F PF S =△1PF 的中点落到y 轴上时，124tan 3F PF ∠=，则点P 运动过程中，1211PF PF +的取值范围是（）A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．82,153⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,215⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【详解】设12,PF m PF n ==. 在12F PF △中，当123F PF π∠=时，由椭圆的定义，余弦定理得：()22222cos 23m n a m n mn c π+=⎧⎪⎨+−=⎪⎩整理得：243b mn =由三角形的面积公式得：121sin 23F PF S mn π==△，解得：212b =. 因为线段1PF 的中点落到y 轴上，又O 为12FF 的中点，所以2//PF y 轴，即2PF x ⊥.由124tan 3F PF ∠=，得12243F F PF =，解得：232c PF =，所以3,2c P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆标准方程得：2222914c c a b+=.又有22212b a c =−=，解得：2216,4a c ==，所以椭圆标准方程为：2211612x y +=.所以8m n +=.因为a c m a c −≤≤+，所以26m ≤≤.所以1211118m n PF PF m n mn mn++=+==. 因为()()2288416mn m m m m m =−=−+=−−+，当26m ≤≤时，1216mn ≤≤，所以1211812.23PF PF mn ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.另解：根据焦点三角形面积公式，求122tan2PF F S b θ∆=,其中12F PF θ=∠，由题意知3πθ=，代入公式12222tantan1226PF F S b b b θπ∆=⇒=⇒=，又当线段1PF 的中点落到y 轴上时，124tan 3F PF ∠=，可知122F F P π∠=，从而有32n c =，52m c =，且212b n a a ==，进一步有：24431222a ca c c a =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩所以椭圆标准方程为：2211612x y +=. 所以8m n +=.因为a c m a c −≤≤+，所以26m ≤≤.所以1211118m n PF PF m n mn mn++=+==. 因为()()2288416mn m m m m m =−=−+=−−+，当26m ≤≤时，1216mn ≤≤，所以1211812.23PF PF mn ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【反思】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为22a ，则双曲线的离心率为（） ABC ．2D【答案】B 【详解】解：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '，因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ，所以AF BF ⊥，圆心为()0,0O ，半径为c ，根据双曲线的对称性可得四边形AFBF '是矩形，设||AF m =，||BF n =，则222224122n m a n m c mn a ⎧⎪−=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，由()2222n m m n mn −=+−可得222484c a a −=，所以223c a =，所以2223c e a==，所以e 故选：B.另解：解：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '，因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ，所以22AF F S a '∆=，且2F AF π'∠=,根据双曲线焦点三角形面积公式：122tan2PF F b S θ∆=得：222a b =，结合222c a b =+，得222222233a c a c a e e =−⇒=⇒=⇒=【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即||||||2AF AF a '−=,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式122tan2PF F b S θ∆=.4．(多选）（2022·广东·模拟预测）已知双曲线C ：2214y x −=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 双曲线C 右支上，若12F PF θ∠=，12PF F △的面积为S ，则下列选项正确的是（）A ．若60θ=︒，则S＝B ．若4S =，则2PF =C ．若12PF F △为锐角三角形，则S ∈D ．若12PF F △的重心为G ，随着点P 的运动，点G 的轨迹方程为22919143y x x ⎛⎫−=> ⎪⎝⎭ 【答案】ACD 【详解】由2214y x −=，得221,4a b ==，则1,2,a b c ==焦点三角形12PF F 的面积公式24tantan22b S θθ==，将60θ=代入可知S =，故A 正确．当S ＝4时，90θ=，由1222212122PF PF PF PF F F ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，可得22PF =，故 B 错误．当1290F PF ∠=时，S ＝4，当2190PF F ∠=时，S =，因为12PF F △为锐角三角形，所以S ∈，故C 正确．设()()000(,),,1G x y P x y x >，则()2200114y x x −=>，由题设知12(F F ，则0033x x y y=⎧⎨=⎩，所以22919143y x x ⎛⎫−=> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ACD【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即12||||||2AF AF a −=,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式122tan2PF F b S θ∆=.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F ∆的面积为（） A ．8B．C ．16D．2．（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为()13,0F ，()23,0F −，动点P 在椭圆上，若12PF F ∆的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12F PF ∠为直角的点P 有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个3．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F ∆的面积为（） A ．48B ．40C ．28D ．244．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设12,F F 是椭圆2211224x y+=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F ∆的面积为（）A ．6B．C ．8D．5．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））椭圆2214x y +=的左右焦点为1F ､2F ，P 为椭圆上的一点，123F PF π∠=，则12PF F ∆的面积为（）A ．1BCD ．26．（2021·北京市第五十七中学高二阶段练习）已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（） A ．离心率45e =B ．12F PF ∆的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925−D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF ∆的面积为8 7．（2021·黑龙江·大庆中学高二期末）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，使得122OP F F =，设12F PF ∆的面积为S ，若()212S PF PF =−，则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．12C D 8．（2022·山西运城·高二期末）已知点12F F ､是双曲线22221(0,0)x y a b ab−=>>的左､右焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若213PF PF =，则（） A ．1PF 与双曲线的实轴长相等B ．12PF F ∆的面积为232aC ．双曲线的离心率为52D ．直线320x y +=是双曲线的一条渐近线9．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））已知双曲线221916x y −=的两个焦点为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，212PF F F ⊥，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，则PI =（）A B C D10．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线C 12,F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若12PF F ∆C 的实轴长为（） A ．1 B ．2C ．3D ．411．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知双曲线22:12y C x −=的左，右焦点为12,F F ，P为双曲线右支上的一点，1230PF F ∠=︒，I 是12PF F ∆的内心，则下列结论错误的是（）A ．12PF F ∆是直角三角形B ．点I 的横坐标为1C ．||2PI =D ．12PF F ∆的内切圆的面积为π12．（2022·天津和平·高二期末）双曲线221169x y −=的两个焦点分别是12,F F ，点P 是双曲线上一点且满足1260F PF ∠=，则12F PF ∆的面积为（）A ．B ．C ．D ．13．（2022·全国·高三专题练习）P 是双曲线22:145x y M −=右支上的一点，1F ，2F 是左，右焦点，24PF =，则12PF F ∆的内切圆半径为（）A BC D。

椭圆焦点三角形面积公式

求解之老阳三干创作运用公式设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P=α ，F2F1P=β，F1PF2=θ，则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。

证明方法一设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n，由射影定理得2c=mcosβ+ncosα，e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)，由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/(sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。

证明方法二对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n则m+n=2a在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2所以mn=2b^2/(1+cosθ)例题F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| *2c=c*|y2-y1|△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理暗示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。

设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。

【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2假设A在x上方，B在下方直线过(1,0)设直线是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)△F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即 |y1|+|y2|最小[1]）∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3)→→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数)∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．。

焦点三角形面积公式cy0的推导过程

焦点三角形面积公式cy0的推导过程先来介绍一下焦点三角形的定义。

焦点三角形是指一个三角形，其每个顶点位于一个给定焦点上，并且三角形的内部角度之和等于180度。

下面我们从焦点三角形的椭圆定义开始推导焦点三角形面积公式。

一个椭圆可以通过焦点F和直线上的一个点A定义。

对于任意点P（P不是F或A），我们定义矢量FP和AP的夹角为φ。

首先，我们需要了解一些椭圆的性质。

对于一个给定的焦点F和参考直线上的一个点A，椭圆上的点P满足：，PF，+，PA，=常数。

我们可以通过这个性质进行推导。

我们以焦点F为原点建立直角坐标系，令焦点A在参考直线上的坐标为(x,0)。

则焦点F的坐标为(-c,0)，椭圆上的点P的坐标为(x',y')。

由于P位于椭圆上，根据椭圆方程的定义，我们有：(x'+c)^2+y'^2=r^2------(1)其中，r是椭圆的半径。

根据椭圆性质可以得到：PF，+，PA，=，PF，+，x'-x，=常数------(2)结合直角坐标系定义，我们可以得到：PF，=√((x'+c)^2+y'^2)------(3)将(3)代入(2)，并进行平方运算，得到：[(x'+c)^2+y'^2]+(x'-x)^2+2√((x'+c)^2+y'^2)(x'-x)=常数------(4)将(1)展开，并将其代入(4)，可以得到：2x'^2 - 2xx' + 2cx' = 常数 ------ (5)由于P不是F或A，所以x'不等于0。

我们可以将(5)进一步化简：x'^2 - xx' + cx' = 常数/2 ------ (6)由于常数是固定的，我们可以约定常数'常数/2'为K，并将(6)改写为：x'^2 - xx' + cx' = K ------ (7)整理(7)可得到：x'^2+(c-x)x'-K=0------(8)考虑到P是椭圆上的点，在椭圆方程中替代x'然后进行计算可得到：[(x+c)^2+K-r^2]+(x-x')^2=0------(9)由于等式的左边是平方和的形式，所以等式左边必然大于等于0。

椭圆焦点三角形面积公式

求解之答禄夫天创作运用公式设P为椭圆上的任意一点,角F1F2P=α , F2F1P=β, F1PF2=θ,则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ), 焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2).证明方法一设F1P=m , F2P=n , 2a=m+n,由射影定理得2c=mcosβ+ncosα,e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n),由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）.证明方法二对焦点△F1PF2, 设PF1=m,PF2=n则m+n=2a在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2所以mn=2b^2/(1+cosθ)例题F1, F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点, PQ是过F1的一条弦, 求三角形PQF2面积的最年夜值【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| *2c=c*|y2-y1|△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c, 之后是联立直线方程与椭圆方程, 利用韦达定理暗示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题, 会对你有所启发的.设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点, 弦AB过椭圆的右焦点, 求三角形F1AB的面积的最年夜值.【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2假设A在x上方, B在下方直线过(1,0)设直线是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)。

焦点三角形面积公式

椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F .同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == Θ点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ F 2解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若212121=，则△21PF F 的面积为（） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ 故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）A. 59B.779 C. 49D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故答案选D. 金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（）A. 20B. 22C. 28D.242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF ⋅的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF ⋅的值为（）A. 0B. 2C. 4D.2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（） A ．1B ．31C ．34D ．325. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程.6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程. 答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ，Θ 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ，Θ 2tan2tan221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ. 故答案选D.4．解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ，又Θ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. Θ 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又Θ3522=-==a b a ac e ， ∴95122=-a b ，即952012=-a.解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-==120,21cos 2121θθ.3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又Θ3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。

椭圆双曲线焦点三角形面积公式

椭圆双曲线焦点三角形面积公式
椭圆双曲线焦点三角形面积公式指的是一种计算三角形面积的
公式，其中三角形的顶点分别为椭圆双曲线的两个焦点和一点，椭圆双曲线是二次曲线的一种，具有两个焦点和两个顶点。

该公式可以通过将三角形分解成三个小三角形，并利用椭圆双曲线的性质来求解。

具体公式如下：
设三角形顶点为 A、B、C，椭圆双曲线的两个焦点为 F、F，椭
圆双曲线的半轴长为 a、b，则有：
S △ABC = 2ab × sin ( ∠FAF ) × sin ( ∠FBF ) × sin ( ∠FCF )
其中，S △ABC 表示三角形 ABC 的面积，∠FAF、∠FBF、∠FCF 分别表示三角形 ABC 的三个内角所对应的椭圆双曲线焦点的角度。

通过上述公式，可以较为准确地计算椭圆双曲线焦点三角形的面积。

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