福建泉州市晋江市季延中学学年高一下学期期中数学考试Word版含解析

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2022-2023学年福建省泉州市高一下学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省泉州市高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．若角α的终边经过点()1,3P ，则()cos α-的值为（）A ．32B ．12C ．32-D ．12-【答案】B【分析】根据任意角三角函数定义可求得cos α，结合诱导公式可求得结果.【详解】αQ 终边过点()1,3P ，11cos 213α∴==+，()1cos cos 2αα∴-==.故选：B.2．下列结论正确的是（）A ．()sin 10sin50-︒>︒B ．tan70sin70︒<︒C ．()cos 40cos310-︒<︒D ．cos130cos200︒>︒【答案】D【分析】利用三角函数的性质，结合诱导公式，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A ，因为()sin 10sin100-︒=-︒<，sin500︒>，所以()sin 10sin50-︒<︒，故A 错误；对于B ，因为0cos701<︒<，所以sin 70tan70sin70cos70︒︒=>︒︒，故B 错误；对于C ，因为()cos 40cos 40-︒=︒，()cos310cos 36050cos 50︒=︒-︒=︒，又cos 40cos50︒>︒，所以()cos 40cos310-︒>︒，故C 错误；对于D ，因为()cos130cos 9040sin 40︒=︒+︒=-︒，()cos 200cos 27070sin 70︒=-︒=-︒，又sin 40sin 70︒<︒，所以sin 40sin 70-︒>-︒，即cos130cos 200︒>︒，故D 正确.故选：D.3．已知π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12cos 613β⎛⎫-=⎪⎝⎭，α，6π0,β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos αβ+=（）A ．6365B ．3365C ．1665D ．5665【答案】D【分析】根据已知求得π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π5sin 613β⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合()ππcos cos[()()]66αβαβ+=++-求值即可.【详解】由题设πππ(,)663α+∈，ππ(,0)66β-∈-，又π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12cos 613β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π5sin 613β⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又()ππππππcos cos[()()]cos()cos()sin()sin()666666αβαβαβαβ+=++-=+--+-3124556()51351365=⨯-⨯-=.故选：D4．函数()()tan f x x ωϕ=+π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，图中阴影部分的面积为3π，则ϕ=（）A ．5π12-B ．π6-C ．π3D ．π12【答案】A【分析】根据正切型函数的对称性分析可得πT =，进而可求得1ω=，再代入点π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，运算求解即可.【详解】如图所示，区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD 的面积，可得3AB =，设函数()f x 的最小正周期为T ，则AD T =，由题意可得：33πT =，解得πT =，故ππω=，可得1ω=，即()()tan f x x ϕ=+，可知()f x 的图象过点π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，即ππtan tan 166ϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ2π,633ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴ππ64ϕ+=-，解得5π12ϕ=-.故选：A.5．ABC 中，0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，22BA CB BA BC⋅=-，则ABC 为（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【分析】根据已知条件可知角A 的角平分线与BC 垂直，可得AB AC =，再由向量夹角公式得2cos 2B =，得π4B =，求出A 、C ，即可得ABC 的形状.【详解】∵因为AB AB为AB方向上的单位向量，AC AC uuu r uuu r 为AC 方向上的单位向量，则AB ACAB AC +在BAC ∠的平分线上，又0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，∴BAC ∠的角平分线垂直于BC ，根据等腰三角形三线合一定理得到ABC 为等腰三角形，且AB AC =，又∵22BA CB BA BC⋅=- ，则22BA BC BA BC ⋅= ，则2cos 2BA BC B BA BC=⋅=，又0πB <<，所以π4B =，所以π4C B ==，可得π2A =，所以ABC 是等腰直角三角形.故选：D.6．如图，某同学运用数学知识测算东西塔塔尖M ，N 的距离，该同学选择地面上一点C 为观测点，测得西塔A 的塔尖M 仰角为45ACM ∠=︒，东塔B 的塔尖N 仰角30°，且120MCN ∠=︒，502m AC =，1003m BC =，则塔尖M 、N 的距离为（）A ．1007mB ．10010mC ．200mD ．2003m【答案】A【分析】先求得100MC =，200NC =，再根据余弦定理即可求解.【详解】由题得，在ACM △中，MA AC ⊥，22tan 5021502, 100MA AC ACM MC MA AC =∠=⨯==+=，在CBN △中，NB BC ⊥，1003200cos 32CB NC NCB ===∠，则在MCN △中,由余弦定理可得22222212cos 100200210020071002MN MC NC MC NC MCN ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=⨯ ⎪⎝⎭所以1007MN =.故选：A7．不等式22sin sin sin 20x a θθθ+-+≥，对于任意π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，R x ∈恒成立，则实数a 的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．43【答案】C【分析】由任意R x ∈可知20x ≥，从而原问题等价于2sin sin 20a θθ-+≥对于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，利用换元法令sin t θ=，不等式可整理为220t at -+≥在(0,1]t ∈恒成立，得22t a t+≤，利用分离常数法结合对勾函数的单调性即可求解.【详解】因为22sin sin sin 20x a θθθ+-+≥对于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，任意R x ∈恒成立，而20x ≥，所以2sin sin 20a θθ-+≥对于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，设πsin ,0,,(0,1]2t t θθ⎛⎤=∈∴∈ ⎥⎝⎦，则不等式即为220t at -+≥在(0,1]t ∈恒成立，即222t a t t t +≤=+在(0,1]t ∈恒成立.而2y t t =+在(0,1]上单调递减，所以当1t =时，2y t t=+有最小值3，3a ∴≤，即实数a 的最大值是3.故选：C8．如图，ABC 中，2AD DB =，3AE EC =，CD 与BE 交于F ，设AB a=，AC b = ，AF xa yb =+ ，则(),x y 为（）A ．33,77⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．29,520⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用向量共线定理与线性运算，从两个不同的角度表示出AF，从而得到关于,λμ的方程组，解之即可得解.【详解】2,3AD DB AE EC == ，()AF AB BF AB BE AB AE ABλλ∴=+=+=+- 33(1)44AB AC AB AB AC λλλ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，同理：()AF AC CF AC CD AC AD ACμμ=+=+=+-22(1)33AC AB AC AB AC μμμ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为平面向量基本定理可知向量AF用不共线的两个向量线性表示是唯一的，所以213314λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1132AF AB AC =+ ，即(),x y 为11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题9．设复数13i z =-，21i z =-，下列说法正确的是（）A ．12z z >B ．1z 的虚部是1-C ．2z 是纯虚数D ．1224iz z ⋅=-【答案】BD【分析】对于A ，复数不能比较大小，可判断；对于B ，根据复数的虚部的定义可判断；对于C ，根据纯虚数的定义可判断；对于D ，计算12z z ⋅即可判断.【详解】对于A ，复数不能比较大小，A 错；对于B ，1z 的虚部是1-，B 对；对于C ，2z 不是纯虚数，C 错；对于D ，21233i i i 24i z z ⋅=--+=-，D 对.故选：BD10．已知向量()1,2a =r，()4,2b =- ，则（）A ．a b - 与a b +夹角为60°B ．a b⊥ C ．b a - 在a 上的投影向量是a-r D ．a在a b + 上的投影向量是()3,4-【答案】BC【分析】根据向量的坐标运算求出()5,0a b -= ，()3,4a b +=- ，即可计算夹角判断A 项；计算a b⋅即可判断B 项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C 、D 项.【详解】由已知可得，()5,0a b -= ，()3,4a b +=-.对于A 项，因为()()()530415a b a b -⋅+=⨯-+⨯=- ，5,5a b a b -=+=，令a b - 与a b + 夹角为θ，所以153cos 555θ-==-⨯，所以a b - 与a b +夹角不为60°，故A 项错误；对于B 项，因为()14220a b ⋅=⨯-+⨯= ，所以a b ⊥，故B 项正确；对于C 项，因为()5,0b a -=- ，()51025b a a -⋅=-⨯+⨯=- ，22125a =+= ，所以b a - 在a上的投影向量是()555b a a a a a a a-⋅-⋅=⋅=- ，故C 项正确；对于D 项，()()13245a a b ⋅+=⨯-+⨯=，5a b += ，所以a在a b + 上的投影向量是()()51343,4,5555a a b a b a b a b ⋅++⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭++ ，故D 项错误.故选：BC.11．下列命题中正确的是（）A ．ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立C ．ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰直角三角形D ．ABC 中，AB AC AB AC +=-，则ABC 是等腰三角形【答案】AB【分析】A.利用大角对大边以及正弦定理边化角来判断；B.利用π2A B +>以及余弦函数的性质来判断；C.先利用正弦定理边化角，然后利用倍角公式变形得,A B 关系，进而可得三角形的形状；D.利用平面向量数量积的运算法则得到0AB AC ⋅=，从而得以判断.【详解】对于A ：A B > ，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >，A 正确；对于B ：在锐角ABC 中，π02A <<，π02B <<，π2A B +>，则ππ022A B >>->，πsin sin cos 2A B B ⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ：在ABC 中，若cos cos a A b B =，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，又0πA <<，0πB <<，0πA B <+<，22A B ∴=或22πA B +=，则A B =或π2A B +=，故ABC 是等腰三角形或直角三角形，C 错误；对于D ： AB AC AB AC +=- ，22AB AC AB AC ∴+=- ，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，40AB AC ∴⋅=，即0AB AC ⋅= ，AB AC ∴⊥ ，故ABC 是直角三角形，显然，并不能确定ABC 是否为等腰三角形，D 错误.故选：AB.12．函数()()cos f x x ωϕ=+π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．34x =是函数的一条对称轴B ．π3ϕ=C ．()22f x =在[]0,2023x ∈上有2023个实数解D ．若()()sin g x x ϕω=+，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦在[]1,0-上单调递增【答案】ACD【分析】由图象可知周期，从而求得πω=，可判断B ；由104f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得π4ϕ=，令πππ,Z4x k k +=∈求解可判断A ；利用余弦函数的性质结合周期可判断C ；由复合函数的单调性可判断D.【详解】由图可知，最小正周期512244T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以2ππ2ω==，对于B ，因为104f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1cos π04ϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以πππ,Z 42k k ϕ+=+∈，即ππ4k ϕ=+，Zk ∈又||2ϕπ<，所以π4ϕ=，此时π()cos π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，B 错误；对于A ，令πππ,Z 4x k k +=∈，则14x k =-，Z k ∈，当1k =时，34x =，A 正确；对于C ，因为()π20cos 42f ==，37π2cos 242f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()22f x =在[)0,2x ∈上有2个实数解，又()f x 的最小正周期2T =，所以()22f x =在[)0,2022x ∈上有2022个实数解，又()()()()20220,20231f f f f ==，所以()22f x =在[]2022,2023x ∈上有1个实数解，故()22f x =在[]0,2023x ∈上有2023个实数解，C 正确；对于D ，()πsin π4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πsin π4y f x ⎡⎤=⎢⎥⎛⎣+ ⎪⎝⎭⎦⎫，当10x -≤≤时，3ππππ44x ≤+≤，()πsin π4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以()202g x ≤≤，令()t x g =，则ππ2ππππ4424t <++<≤，而()f t 在此区间单调递减，所以函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦在[]1,0-单调递增，D 正确.故选：ACD三、填空题13．复数()31i z m m =+-为纯虚数，则实数m 的值是.【答案】0【分析】根据纯虚数的定义即可求解.【详解】因为复数()31i z m m =+-为纯虚数，所以3010m m =⎧⎨-≠⎩，解得0m =.故答案为：014．函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0ω>）在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在最小值1-，则实数ω的取值范围是.【答案】[)5,+∞【分析】由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，求出ππππ,6636x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，再根据题意可得ππ3π362ω-≥，从而可的答案.【详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππππ,6636x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在最小值1-，所以ππ3π362ω-≥，解得5ω≥，所以实数ω的取值范围是[)5,+∞.故答案为：[)5,+∞.15．如图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中T 是房梁与该截面的交点，A ，B 分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，AT ，BT 均视作线段，记1P ，2P ，3P 是AT 的四等分点，1Q ，2Q ，3Q 是BT 的四等分点，记22TQ L =，13322PP PT L ==（L 为测量单位），测得127cos 219PQ T ∠=，32PQ 的长度为.（用含L的式子表示）【答案】7L【分析】根据题意作出示意图，在12T PQ △中，利用余弦定理求得12PQ ，21cos PTQ ∠，在32T PQ △中利用余弦定理即可求解32PQ ．【详解】根据题意作出示意图，如图所示，由题意2133,2,1P L Q L P L T T T ===，在12T PQ △中，2211122222212cos P PQ Q PQ Q P T Q T T T ∴∠⋅=+-⋅即221122222927321PQ PQ =+-⨯⨯⨯，2211214109PQ PQ ∴--=，又210PQ >，解得2119PQ =，22222212221112cos 232191232P Q PQ P Q T T T T P Q T -∴++-=⨯⋅⋅==-∠⨯，在32T PQ △中，222233322232211221272cos 2PQ P Q P T Q P Q T T T T ∴=+-⋅∠⎛⎫⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，327.PQ L ∴=故答案为：7L ．四、双空题16．设点F 在单位圆的内接正六边形123456A A A A A A 的边23A A 上，点E 为六边形上不同于F 的任意一点.若数量积i EF EA ⋅（1,2,3,4,5,6i =）的结果构成集合M ，则集合M 的元素最少有个；222126FA FA FA ++⋅⋅⋅+ 的取值范围是.【答案】321,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据正六边形的对称性得到数量积i EF EA ⋅（1,2,3,4,5,6i =）的最少结果个数，再以圆心为原点O ，63A A 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，得到各点的坐标，从而得到直线23A A 的方程，设(),F x y ，得到()2222212666FA FA FA x y ++⋅⋅⋅+=++ ，结合条件得到x 的取值范围，即可求解.【详解】由正六边形的对称性知：当点F 在3A ，E 在6A 时，数量积i EF EA ⋅（1,2,3,4,5,6i =）的结果个数最少，即15EF EA EF EA ×=× ，24EF EA EF EA ×=× ，23636363EF EA A A A A A A ⋅=⋅= ，所以集合M 的元素最少有3个.如图所示，以圆心为原点O ，63A A 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则113,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，213,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()31,0A ，413,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，513,22A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，()61,0A -，所以直线23A A 的斜率1123302k -==--，即直线23A A 的方程为()31y x =--，设(),F x y ，则2222111322FA FA x y ⎛⎫⎛⎫==++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2222221322FA FA x y ⎛⎫⎛⎫==-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()22223310FA FA x y ==-+- ，2222441322FA FA x y ⎛⎫⎛⎫==-++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2222551322FA FA x y ⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()22226610FA FA x y ==++- ，所以()2222212666FA FA FA x y ++⋅⋅⋅+=++ ，因为(),F x y 在23A A 上，则()31y x =--（112x ≤≤），则()22222212632163162442FA FA FA x x x ⎛⎫⎡⎤++⋅⋅⋅+=+-+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭ ，又1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则23212124,12422x ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以222126FA FA FA ++⋅⋅⋅+ 的取值范围是21,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：3；21,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：根据平面几何图形，选择适当的原点和坐标轴建立平面直角坐标系，将要探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.五、解答题17．求解：(1)化简：()()()()3πtanπcos2πsin2cosπsinπααααα⎛⎫-⋅-⋅-+⎪⎝⎭--⋅--；(2)画出函数3πsin24y x⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]0,π上的图象.3π24x-3π4-π2-0π2πx03π87π8π3πsin24y x⎛⎫=-⎪⎝⎭22-1-01022-【答案】(1)-1；(2)答案见解析；【分析】（1）按照基本诱导公式结合奇变偶不变，符号看象限法则化简即可；（2）分别计算五点坐标，利用五点法即可画出图形．【详解】（1）()()()()()()()()3π3πtan cos sintanπcos2πsin22cosπsinπcosπsinπαααααααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅---⋅-⋅-+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--⋅----⋅--=()[]()()2tan cos cos tan cos1cos sincosπsinπ+ααααααααα-⋅⋅-⋅==--⋅+⋅-⎡⎤⎣⎦；（2）计算填表：3π24x-3π4-π2-0π2π5π4x0π83π85π87π8π3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22-1-01022-描点，连线，可得图象如下：18．已知平行四边形ABCD 中，2,4,60AB BC DAB ∠=== ，点E 是线段BC 的中点．（I ）求AB AD ⋅的值；（II ）若AF AE AD λ=+ ，且BD AF ⊥，求λ的值．【答案】（I ）4；（II ）12λ=-.【分析】（I ）建立坐标系，利用坐标求解数量积，或者利用数量积的定义求解；（II ）求出向量,BD AF的坐标，结合向量垂直的坐标表示可求λ的值，或者位置关系求解.【详解】法1：（I ）以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(4,23),(3,3),(2,0),(2,23)A C E B D ，(2,23),(2,0)AD AB ==，4AB AD ∴⋅=；（II ）,(32,323),(0,23)AF AE AD AF BD λλλ=+=++=,23(323)0BD AF BD AF λ⊥∴⋅=+=，12λ∴=-．法2：（I ）1||||cos 602442AB AD AB AD ⋅=⋅=⨯⨯=；（II ）AF AE AD EF AD λλ=+⇒= ，∴//EF AD ，∵BD AF ⊥ ，BD AB ⊥，∴F 与B 重合，∴12λ=-．19．ABC 的三角形A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的最大值.【答案】(1)π6(2)234+【分析】（1）先将方程转化为12sin cos 232b c A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，再利用正弦定理进行边化角，转化之后化简求解即可.（2）由余弦定理和基本不等式求出ab 的范围，代入面积公式可得面积最大值.【详解】（1）（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以12sin cos 232b c A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理得3sin sin sin cos sin sin(π)sin()sin cos cos sin C A C A B A C A C A C A C +==--=+=+，即3sin sin sin cos C A A C =，又sin 0A ≠，所以3tan 3C =，又(0,π)C ∈，所以π6C =.（2）由（1）知π6C =，再由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，所以2213(23)a b ab ab =+-≥-，当且仅当a b =时，等号成立，故23ab ≤+，所以1123sin 244ABC S ab C ab +==≤（当且仅当a b =时等号成立），所以ABC 面积的最大值为234+.20．已知函数()223cos 2sin cos 3f x x x x ωωω=+-（0ω>）的最小正周期为π.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12倍，再将图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，是否存在ϕ？对于任意的1x ，23ππ,86x ϕϕ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，当12x x <时，()()()()12121122f x f x g x g x ->-恒成立，若存在，求ϕ的取值范围.【答案】(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)ϕ不存在.【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得()π2sin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由2ππ2T ω==即可求解.（2）由三角函数的平移变换可得()πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()1π2sin 2212h x f x g x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为()h x 在区间3ππ,68ϕϕ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，只需π5πππ3π22,22π,2π,Z 126422x k k k ϕϕ⎛⎫⎡⎤+∈--+⊆++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可.【详解】（1）()2()23cos 2sin cos 331cos 2sin 23f x x x x x x ωωωωω=+-=++-31π2cos 2sin 22sin 2223x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0ω>，2ππ2T ω==，解得1ω=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由题意可得()πππsin 2cos 2433g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()()1ππsin 2cos 2233h x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2sin 22sin 23412x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1283ππ,,6x x ϕϕ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，当12x x <时，()()()()12121122f x f x g x g x ->-恒成立，即()()()()11221122f xg x f x g x ->-恒成立，即()()12h x h x >恒成立，()h x ∴在区间3ππ,68ϕϕ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，因为3ππ68,x ϕϕ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，所以π5πππ3π22,22π,2π,Z 126422x k k k ϕϕ⎛⎫⎡⎤+∈--+⊆++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，5ππ22π62π3π22π425π2264k k ϕϕπϕϕ⎧-≥+⎪⎪⎪∴-+≤+⎨⎪⎪-<-+⎪⎩，Z k ∈，ππ67ππ813π48k k ϕϕϕ⎧≤-⎪⎪⎪∴≤+⎨⎪⎪>⎪⎩，Z k ∈，当0k ≥时，6ππ6πk ϕ≤-≤，则ϕ不存在，当0k <时，7π7ππ88k ϕ≤+<，则ϕ不存在，所以不存在ϕ，对于任意的1x ，23ππ,86x ϕϕ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，当12x x <时，()()()()12121122f x f x g x g x ->-恒成立.【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换、三角函数的平移变换，三角函数的单调性，解题的关键是结合不等式将问题转化为()()()1π2sin 2212h x f x g x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭在区间是单调递减函数，考查了计算能力、分析能力以及转化能力.21．在酷暑来临之前，安溪某公司计划在该集团一处院子修建避暑山庄O ，以作为合作伙伴“四大集团”的集中研讨地.院子门前两条夹角为π6（即AOB ∠）的小路OA ，OB 之间要修建一处弓形花园，弓形花园弦长23AB =，弓形花园顶点M ，且π6MAB MBA ∠=∠=，记OBA θ∠=.(1)用θ表示OB 的长度；(2)要在M 点修建喷泉，为获得更好的观景视野，如何规划花园两条小路OA ，OB 长度，才能使喷泉M 与山庄O 的距离最大？【答案】(1)π43sin 6OB θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)632OA OB ==+.【分析】（1）在OAB 中，由正弦定理即可求解；（2）在MAB △中，利用正弦定理求得2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理可知，222π2cos 6OM OB BM OB BM θ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，化简后利用正弦函数的性质可求得最大值.【详解】（1）在OAB 中，由正弦定理可知πsin sin sin 6OA OB AB OABθ==∠，则43sin OA θ=，ππ43sin 43sin π43sin .66OB OAB θθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=∠=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）π6MAB MBA ∠=∠= ，23AB =，πsin 622πsin 3AB AM BM ⋅∴===，在OMB △中，由余弦定理可知，222π2cos 6OM OB BM OB BM θ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭2π48sin 4163sin cos 666ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ241cos 2483sin 233θθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦83sin 23cos 22833ππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π163sin 2283θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，5π2π2π7π0,,2,6333θθ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，2π3sin 21,32θ⎡⎫⎛⎫∴+∈-⎪⎢⎪⎪⎝⎭⎣⎭.当2πsin 213θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即5π12θ=时，OM 取得最大值28163423+=+，此时5πππ43sin43sin cos 1246OA ⎛== ⎝ππcos sin 63246⎫+=+⎪⎭，5ππ5π5π43sin 43sin π43sin 6321261212OB ⎛⎫⎛⎫=+=-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即当632OA OB ==+时，喷泉M 与山庄O 之间的距离最大.22．已知函数()sin 2cos 2f x x x =-.(1)求函数()f x 的最小值；(2)设函数()42π1π23π22848228x x g x f fx f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，记()g x 最大值为()max g x ⎡⎤⎣⎦，()g x 最小值为()min g x ⎡⎤⎣⎦，若实数m 满足()()max min22m g x g x -=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，如果函数()22log y x mx λ=-++在定义域内不存在零点，试求实数λ的取值范围.【答案】(1)2-(2)(1,0)-【分析】（1）利用三角函数的辅助角公式化简函数()f x ，从而得解；（2）利用（1）中函数求出()g x ，换元并结合单调性求出()g x 的最值，再利用对数函数性质与恒成立问题的解法求解即可.【详解】（1）因为()sin 2cos 2f x x x =-π2sin 24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，定义域为R ，所以当Z 2ππ22π,4x k k -=-+∈，即ππ,Z 8x k k =-+∈时，函数()f x 取得最小值为2-.（2）由（1）得πππ2sin 22828s 42in x x x f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎢⎥⎭⎦=⎭⎝⎣=⎝，ππ2sin 24π2sin 288f x x x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫+=+= ⎝⎦⎪⎭，π23π3ππ2cos s 2in 22sin 82824x x f x x ⎛⎫+=++= ⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎭⎣⎝⎭⎝⎦，则()42π1π23π22848228x x g x f fx f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()4sin sin 2cos x x x=++，令|sin ||cos |1|sin 2|[1,2]t x x x =+=+∈，则2|sin 2|1x t =-，因此24()()(1)g x h t t t ==-+，因为函数21u t =-在[1,2]t ∈上单调递增，[0,1]u ∈，函数4y u =在[0,1]u ∈上单调递增，所以在[1,2]t ∈上，函数()421y t =-单调递增，故()h t 单调递增，则max min [()]12,[()]1(2)(1)g x h g x h ==+==，因为max min 2[()][()]2m g x g x -=-，即有222m -=，解得2m =-，而函数()22log y x mx λ=-++，即()22log 2y x x λ=--+在定义域内不存在零点，显然220x x λ--+>，即222(1)1x x x λ>+=+-，1λ>-，且由220x x λ--+>得1111x λλ--+<<-++，所以函数()22log 2y x x λ=--+的定义域为()11,11λλ--+-++，于是原问题转化为函数()22log 2y x x λ=--+在(11,11)λλ--+-++上无零点，即22x x λ--+的最大值小于1恒成立，显然当1x =-时，2max (2)1x x λλ--+=+，有11λ+<，解得0λ<，综上：10λ-<<，故实数λ的取值范围为(1,0)-．【点睛】结论点睛：函数()y f u =在区间I 上单调，函数()u g x =在区间D 上单调，并且()u g x =在D 上函数值集合包含于区间I ，则函数(())y f g x =在区间D 上单调；如果()y f u =与()u g x =单调性相同，那么(())y f g x =是增函数，如果()y f u =与()u g x =单调性相反，那么(())y f g x =是减函数.。

2016-2017年福建省泉州市晋江市季延中学高一(下)期中数学试卷和答案

2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）1340°角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）已知tanθ=﹣，θ∈（，2π），则cos（θ+）=（）A．B．C．D．4．（5分）设，是不共线的两个向量，已知=2+m，=+，=﹣2．若A，B，D三点共线，则m的值为（）A．1B．2C．﹣2D．﹣15．（5分）若D点在三角形ABC的边BC上，且=4=γ+s，则3γ+s的值为（）A．B．C．D．6．（5分）若x=15°，则sin4x﹣cos4x的值为（）A．B．﹣C．﹣D．7．（5分）若a=sin147°，b=cos55°，c=tan215°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 8．（5分）已知△ABC是等腰直角三角形，点E，F是斜边AC的三等分点，则tan ∠EBF=（）A．B．C．D．9．（5分）在这四个函数：①y=sin|x|、②y=|sinx|、③y=sin（2x+）、④y=tan （2x+）中，最小正周期为π 的函数有（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．②③10．（5分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）11．（5分）化简的结果是（）A．4cos5﹣2sin5B．﹣2sin5﹣4cos5C．2sin5﹣4cos5D．﹣2sin512．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若tanα=4的值，则=．14．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．15．（5分）如图，平面内有三个向量，，，∠AOB=120°，∠AOC=45°，且||=||=1，||=2，若=λ+μ，则λ+μ的值为．16．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若函数g（x）=f（a+sinx）+f（2cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知向量=（﹣3，2），=（2，1），=（3，﹣1），t∈R，（1）若﹣t与共线，求实数t的值；（2）请用向量，表示向量．18．（12分）已知2cosθ+sinθ=0，且θ∈（0，π）．（Ⅰ）分别求tanθ，sinθ，cosθ的值；（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，＜φ＜π，求cosφ的值．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的周期、单调递增区间；（Ⅱ）当x∈时，求函数f（x）的最大值和最小值．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）对称中心坐标和对称轴方程．21．（12分）在△ABC中，已知（2b﹣c）cos A=acos C．（1）求角A的大小；=，a=，求b+c的值；（2）若S△ABC（3）若△ABC的外接圆半径R=1，求b+c的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=4sin2（）•sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．（1）化简f（x）；（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g（x）=在的最大值为2，求实数a的值．2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）1340°角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：1340°=3×360°+260°，且180°＜260°＜270°，所以角1340°是第三象限角．故选：C．2．（5分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选：A．3．（5分）已知tanθ=﹣，θ∈（，2π），则cos（θ+）=（）A．B．C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得，联立，得或．∵θ∈（，2π），∴，则cos（θ+）=cosθcos﹣sinθsin=．故选：C．4．（5分）设，是不共线的两个向量，已知=2+m，=+，=﹣2．若A，B，D三点共线，则m的值为（）A．1B．2C．﹣2D．﹣1【解答】解：由题意可得=+=（+）+（﹣2）=，因为A，B，D三点共线，所以向量和共线，故存在实数λ，使，即2+m=λ（）=，故可得，解得，故选：D．5．（5分）若D点在三角形ABC的边BC上，且=4=γ+s，则3γ+s的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，；∴；又；∴；∴．故选：C．6．（5分）若x=15°，则sin4x﹣cos4x的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵x=15°，∴sin4x﹣cos4x=（sin2x﹣cos2x）（sin2x+cos2x）=﹣cos2x=﹣cos30°=．故选：B．7．（5分）若a=sin147°，b=cos55°，c=tan215°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵a=sin147°=sin33°，b=cos55°=sin35°，函数y=sinx在（0°，90°）上是增函数，∴0＜a＜b＜1；又c=tan215°=tan35°=＞sin35°=b，则a＜b＜c，故选：A．8．（5分）已知△ABC是等腰直角三角形，点E，F是斜边AC的三等分点，则tan ∠EBF=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，设AC=6，点E，F是斜边AC的三等分点，可得EF=2．过B点作AC的垂下交于D，∠DBF=∠DBE．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC=．DC=3由勾股定理，可得：DB=3．那么：tan∠DBF=．∴tan∠EBF=tan2∠DBF==．故选：D．9．（5分）在这四个函数：①y=sin|x|、②y=|sinx|、③y=sin（2x+）、④y=tan （2x+）中，最小正周期为π 的函数有（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．②③【解答】解：由于①y=sin|x|不是周期函数；②y=|sinx|的最小周期为π；③y=sin（2x+）的最小正周期为=π；④y=tan（2x+）的最小正周期为，故选：D．10．（5分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）【解答】解：将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为y=sin（x﹣），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣），故选：D．11．（5分）化简的结果是（）A．4cos5﹣2sin5B．﹣2sin5﹣4cos5C．2sin5﹣4cos5D．﹣2sin5【解答】解：==2|sin5﹣cos5|+=2cos5﹣2sin5+2cos5=4cos5﹣2sin5．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若tanα=4的值，则=3．【解答】解：∵tanα=4，∴=．故答案为：3．14．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．15．（5分）如图，平面内有三个向量，，，∠AOB=120°，∠AOC=45°，且||=||=1，||=2，若=λ+μ，则λ+μ的值为+3．【解答】解：以O为原点，以为x轴建立坐标系，则=（1，0），=（﹣，），=（，），∵=λ+μ，∴，解得λ=，μ=2，∴λ+μ=+3．故答案为：+3．16．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若函数g（x）=f（a+sinx）+f（2cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[，2] ．【解答】解：g（x）=f（a+sinx）+f（2cos2x﹣3）=f（2cos2x+sinx+a﹣3），∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（0）=2f（0），∴f（0）=0，∵g（x）在（0，π）上有零点，∴2cos2x+sinx+a﹣3=0在（0，π）上有解，即a=﹣2cos2x﹣sinx+3在（0，π）上有解，设h（x）=﹣2cos2x﹣sinx+3=2sin2x﹣sinx+1=2（sinx﹣）2+，∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，∴≤h（x）≤2．故答案为[，2]．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知向量=（﹣3，2），=（2，1），=（3，﹣1），t∈R，（1）若﹣t与共线，求实数t的值；（2）请用向量，表示向量．【解答】解：（1）∵=（﹣3﹣2t，2﹣t），又与共线，=（3，﹣1），∴（﹣3﹣2t）×（﹣1）﹣（2﹣t）×3=0，解得t=．（2）设=x+y（x、y∈R），则解得．18．（12分）已知2cosθ+sinθ=0，且θ∈（0，π）．（Ⅰ）分别求tanθ，sinθ，cosθ的值；（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，＜φ＜π，求cosφ的值．【解答】解（Ⅰ）∵2cosθ+sinθ=0，∴tanθ=﹣2，∵θ∈（0，π），又tanθ=﹣2．可知θ∈（，π），∴sinθ＞0，cosθ＜0．将2cosθ+sinθ=0代入sin2θ+cos2θ=1．解得：．（Ⅱ）∵∴∴cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）=．故cosφ的值为．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的周期、单调递增区间；（Ⅱ）当x∈时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数=cos2xcos+sin2xsin+2×=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，…3分由，k∈Z；解得：；∴函数f（x）的单调递增区间是；…4分最小正周期为；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈时，﹣≤2x﹣≤；时，﹣≤2x﹣≤，为增函数，…7分，时，≤2x﹣≤，为减函数，…9分又，，，∴函数f（x）的最大值为2，最小值为．…10分．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）对称中心坐标和对称轴方程．【解答】解：（1）由图象可知，解得A=2，B=﹣1，…（2分）又由于=﹣=，∴T=π，∴ω==2，…（4分）由图象及五点法作图可知：2×+φ=，解得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）﹣1；…（6分）（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）﹣1，令2x+=kπ，k∈Z，解得x=﹣，k∈Z，所以f（x）的对称中心的坐标为（﹣，﹣1），k∈Z；…（9分）令，得，即为所求对称轴方程．…（12分）21．（12分）在△ABC中，已知（2b﹣c）cos A=acos C．（1）求角A的大小；（2）若S=，a=，求b+c的值；△ABC（3）若△ABC的外接圆半径R=1，求b+c的取值范围．【解答】解：（1）因为（2b﹣c）cos A=acos C，所以（2sin B﹣sin C）cos A=sin Acos C，即2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A，即2sin Bcos A=sin B，因为sin B≠0，所以cos A=，又0＜A＜π，于是A=．…（4分）（2）因为S=，所以bcsin=，所以bc=4，△ABC由余弦定理可知a2=b2+c2﹣bc，所以（b+c）2=a2+3bc=13+12=25，即b+c=5．…（7分）（3）由A=，知B+C=，且0＜B＜又a=2Rsin A=2sin A=2sin=，b=2Rsin B=2sin B，c=2Rsin C，故b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（A+B）==…（10分）由0＜A＜，知，所以，，即b+c的取值范围是…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=4sin2（）•s inx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．（1）化简f（x）；（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g（x）=在的最大值为2，求实数a的值．【解答】解：（1）f（x）=2[1﹣cos（+x）]•sinx+cos2x﹣sin2x﹣1=（2+2sinx）•sinx+1﹣2sin2x﹣1=2sinx．（2）∵f（ωx）=2sinωx，由≤ωx≤，解得﹣+≤x ≤+，∴f（ωx）的递增区间为[﹣+，+]，k∈Z．∵f（ωx）在[﹣，]上是增函数，∴当k=0时，有，∴，解得，∴ω的取值范围是（0，]．（3）g（x）=sin2x+asinx﹣acosx﹣a﹣1，令sinx﹣cosx=t，则sin2x=1﹣t2，∴y=1﹣t2+at﹣a﹣1=﹣（t﹣）2+﹣，∵t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），∵x∈[﹣，]，∴x﹣∈[﹣，]，∴．①当＜﹣，即a＜﹣2时，y max=﹣（﹣）2+﹣=﹣a﹣﹣2．令﹣a﹣﹣2=2，解得a=﹣（舍）．②当﹣≤≤1，即﹣2≤a≤2时，y max=﹣，令，解得a=﹣2或a=4（舍）．③当，即a＞2时，在t=1处，由得a=6．因此，a=﹣2或a=6．。

福建省晋江市季延中学_学年高一数学下学期期中试题【含答案】

季延中学2016年春高一年期中考试数学科试卷考试时间：120分钟满分：150分一．选择题（每题5分，共60分） 1. 与角﹣终边相同的角是。

（） A ．B ．C ．D ．2. 函数y=sin(2x-3π)在区间[-2π,π]上的简图是。

（）3.若a =0160tan ，则02000sin 等于。

（）A 、21a a + B 、21a a + C 、211a+ D 、211a+-4. 设D 为ABC ∆所在平面内一点且3BC CD =，则。

（）A 1433AD AB AC =-+ B 1433AD AB AC =- C 4133AD AB AC =+ D 4133AD AB AC =-5.已知()x x f 2cos cos =，则()030sin f 的值等于。

（）A 、B 、23 C 、 ﹣D 、23-6. 已知α为第三象限角，且22sin ,2cos sin m m ==+ααα，则m 的值为。

（）A ．33 B ．33- C ．31- D ．32-7. 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是。

（）A ．||||||a b a b ∙≤ B-≤ C ．()2+=+ D ．()()22-=-+8.要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像。

（）A 向左平移12π个单位 B 向左平移3π个单位 C 向右平移12π个单位 D 向右平移3π个单位9. 若非零向量,a b 满足=，且()()ba b a 23+⊥-，则与的夹角为。

（）A 、4π B 、2πC 、34πD 、π10. 已知正角α的终边上一点的坐标为（32cos,32sin ππ），则角α的最小值为。

（） A ．65π B ．32π C ．35π D ．611π11.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是。

2022-2023学年福建省泉州市高一下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省泉州市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知a 为实数，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（）A ．1B ．2iC ．1±D ．2【答案】D【分析】根据复数z 为纯虚数，列方程求出a 的值，进而可得复数z 的虚部.【详解】由已知21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，故2z i =，其虚部为2，故选：D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.2．tan15= （）A ．23-+B ．23--C ．23-D ．23+【答案】C【分析】利用二倍角的正切公式即可求解.【详解】31tan 45tan 303tan15tan(4530)231tan 45tan 30313-︒-︒=︒-︒===-+︒⋅︒+，故选：C.3．已知向量()()22cos ,3,1,sin2m x n x == ，设函数()f x m n =⋅ ，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是（）A ．关于直线π12x =对称B ．关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．周期为2πD ．()y f x =在π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数【答案】D【分析】先利用向量的数量积表示函数，再利用公式化简，根据三角函数图像和性质判断.【详解】因为向量()()22cos ,3,1,sin2m x n x == ,()21cos 22cos 3sin 223sin 22x f x m n x x x+=⋅=+=⨯+π3sin 2cos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭.所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.对于A ，把π12x =代入()f x 得()31f x =+，没有取得最值，所以不成立.对于B ，把5π12x =代入()f x 得()1f x =，所以不成立.对于C ，由于周期2ππ2T ==,所以不成立.对于D ，因为ππππ,0,2,3626x x ⎛⎫⎛⎫∈-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ππππ,,2622⎛⎫⎛⎫-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.故选：D.4．函数()21sin 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据奇偶性和()2f 的符号，使用排除法可得.【详解】()f x 的定义域为R ，因为()e 12122e e 1sin()1sin sin 11e e x x xx x f x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎭⎝-⎝⎝⎭⎭1sin 1sin ()e e 2211x xx x f x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，故CD 错误；又因为()2221sin 21e f ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，2210,sin 201e -<>+，所以()20f <，故B 错误.故选：A5．在平行四边形ABCD 中，AE EB = ，2CF FB =，连接CE 、DF 交于点M ，若AM AB AD λμ=+，则实数λ与μ的乘积为（）A ．14B ．38C ．34D ．43【答案】B【分析】由已知可得()2AM AE AC λμμ=-+,由,,E M C 三点共线可得()21λμμ-+=，同理可知3AM AF AD λλμ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，由,,F M D 三点共线可知13λλμ+-=，两式联立即可求解.【详解】由已知条件得E 为AB 的中点，F 为BC 的三等分点，连接,,AM AF AC,AM AB AD AB BCλμλμ=++=()AB AC AB λμ+=- ()AB AC λμμ=-+ ()2AE AC λμμ=-+,∵,,E M C 三点共线，∴存在唯一实数m 使EM mMC =,∴()AM AE m AC AM -=- ,整理得111m AM AE AC m m=+++,即1111m m m +=++，故可知()21λμμ-+=①，同理()AF FB AD AM AB AD λλμμ=+=++ ()AF BF ADλμ=-+133AF AD AD AF ADλλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵,,F M D 三点共线，∴13λλμ+-=②,将①②联立解得31,42λμ==，即38μλ⋅=，故选：B .6．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，30CD =米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总高度约为（）（参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈）A ．13米B ．24米C ．39米D ．45米【答案】C【分析】在Rt △ABC 根据∠ACB 的正切得AB 与BC 的关系，在△BCD 中利用正弦定理列式即可求解．【详解】设AB m =，则tan 603m mBC ==︒，在BCD △中，105CBD ∠=︒，由正弦定理得sin105sin 45CD BC=︒︒，因为()sin105sin 4560︒=︒+︒sin 45cos60cos 45sin 60=︒︒+︒︒264+=，代入数据，解得90303m =-9030 1.739≈-⨯=（米），故选：C ．7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin cos 62A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（）A ．[)6,8B ．[]6,8C ．[)4,6D ．[]4,6【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得332sin A π+=（），结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =-，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．【详解】∵3 sin 62A cos A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，313222sinA cosA sinA ∴+-=，可得：332sin A π+=（），40333A A ππππ∈+∈ （，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=，∵4b c +=，∴由余弦定理可得222222163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），∵由4b c +=，2b c bc +≥，得04bc ≤＜，∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，）．故选：A ．8．已知()sin(2)(0)6f x x πωφω=+->同时满足下列三个条件：①T π=；②()6y f x π=+是奇函数；③(0)()3f f π<.若()f x 在[0,)a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是A ．511(,]612ππB ．5(0,]12πC ．11(0,]12πD ．511(,]1212ππ【答案】A【分析】因为函数的周期T π=，计算ω的值，根据函数6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数，求得,6k k Z πφπ=-+∈，又因为()03f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，可求2,6k k Z πφπ=-+∈，所以()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据函数图像判断a 的取值范围.【详解】()f x 的周期T π=，22ππω∴=，1ω∴=，()sin 26f x x πφ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 是奇函数，()f x \关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，2,66k k Z ππφπ∴⨯+-=∈，解得：,6k k Z πφπ=-+∈，()03f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，33sin sin sin cos 6222ππφφφφ⎛⎫⎛⎫∴-<+⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 3cos φφ<，,6k k Z πφπ=-+∈，2,6k k Z πφπ∴=-+∈，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，当[)0,x a ∈时，2,2333x a πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，由图象可知若满足条件，432332a πππ<-≤，解得：511612a ππ<≤.故选：A【点睛】本题考查根据函数性质判断参数的取值范围，意在考查函数性质的熟练掌握，以及数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是正确求函数的解析式.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．向量a 在向量b上的投影向量可表示为a b b b b ⋅⋅B ．若0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角θ的范围是π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．若ABC 是等边三角形，则AB、BC 的夹角为60 D ．若a b ⊥ ，则0a b ⋅= 【答案】ABD【分析】利用投影向量的定义可判断A 选项；利用平面向量数量积的定义结合向量夹角的取值范围可判断B 选项；利用平面向量夹角的定义可判断C 选项；利用平面向量垂直的数量积表示可判断D 选项.【详解】对于A 选项，向量a 在向量b上的投影向量为cos ,b a b b a b b a a b a b a b b bb⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，A 对；对于B 选项，因为0a b ⋅< ，则a 与b均为非零向量，所以，cos 0a b a bθ⋅=<⋅ ，又因为0πθ≤≤，故ππ2θ<≤，B 对；对于C 选项，若ABC 是等边三角形，则,180********AB BC ABC =-∠=-= ,即AB、BC 的夹角为120 ，C 错；对于D 选项，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，D 对.故选：ABD.10．已知函数()()02πsin ,f x x ωϕϕω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭＜，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π4，且直线π12x =-是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为π2B ．函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．点5π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图像的一个对称中心D ．将函数()f x 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图像向左平移π6个单位长度，可得到()sin2g x x =的图像【答案】AC【分析】先求出()46πsin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对四个选项一一验证：对于A ：利用周期公式验证；对于B ：直接代入法判断单调性验证；对于C ：代入法验证；对于D ：利用图像变换验证.【详解】因为图像相邻两条对称轴之间的距离为π4，所以函数()f x 的最小正周期为π2π24T ==⨯，所以2π4T ω==，所以()()sin 4f x x ϕ=+，因为直线π12x =-是其中一条对称轴，所以()ππ4πZ 122k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，所以()5ππZ 6k k ϕ=+∈，因为2πϕ＜，所以1k =-，5πππ66ϕ=-+=-，所以()46πsin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于A ，由上可知，函数()f x 的最小正周期为π2，故A 正确；对于B ，若ππ612x -≤≤，则5πππ6466x -≤-≤，所以()f x 不单调，故B 错误；对于C ，当5π=24x -时，()5π5ππsin 4=sin π=024246f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以点5π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图像的一个对称中心，故C 正确；对于D ：将函数()f x 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向左平移π6个单位长度，得到ππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误.故选：AC11．ABC 中，角A ､B ､C 所对的边为,,a b c ，下列叙述正确的是（）A ．若sin sin AB >，则A B>B ．若45,14,16A a b ===o ，则ABC 有两个解C ．若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰三角形D ．若2cos 2b C a c ≤-，则π0,3B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】ABD【分析】由正弦定理进行边角转化判断A ，由正弦定理求出sin B ，再根据,a b 大小关系确定B 角的解判断B ，正弦定理化边为角，进行三角恒等变换后判断C ，利用余弦定理变形后得出B 角范围判断D ．【详解】ABC 中，由正弦定理sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，A 正确；若45,14,16A a b ===o ，由sin sin a b A B =得sin 16sin 4542sin 1147b A B a ︒===<，又a b <，所以A B <，因此B 角可以为锐角也可以为钝角，有两解，B 正确；若cos cos a A b B =，则sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，C 错误；若2cos 2b C a c ≤-，则222222222a b c a b c b a c ab a+-+-⋅=≤-，整理得222a c b ac ≥+-，所以2221cos 22a c b B ac +-=≥，所以π03B <≤，D 正确．故选：ABD ．12．已知点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=uuu r uuu r uuu r r ，则下列选项正确的是（）A ．1324AO AB AC=+uuu r uuu r uuu r B ．直线AO 必过BC 边的中点C ．:3:2AOB AOC S S =△△D ．若1OB OC ==uuu r uuu r ，且OB OC ⊥u u u r u u u r ，则13OA =uur 【答案】ACD【分析】根据题设条件，化简得到423AO AB AC =++uuu r uuu r uuu r，可判定A 是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到2()4OB OC AC OD +=-=- ，可判定B 不正确；根据4AC OD =- ，得到32BE EC =，结合三角形的面积公式，可判定C 正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D 是正确的.【详解】如图所示，点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=uuu r uuu r uuu r r，可得223350AO OB OA OC OA OA +-+-+=uuu r uuu r uur uuu r uur uur r，即()()23AO OB OA OC OA =-+- ，即423AO AB AC =+，所以1324AO AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，所以A 是正确的；在ABC 中，设D 为BC 的中点，由230AO OB OC ++=uuu r uuu r uuu r r，可得()2()0AO OC OB OC +++=uuu r uuu r uuu r uuu r r ，所以2()4OB OC AC OD +=-=-，所以直线AO 不过BC 边的中点，所以B 不正确；由4AC OD =-，可得4AC OD = 且//AC OD ，所以14DE OD EC AC ==，所以14DE EC =，可得25EC BC =，所以32BE EC =所以1sin 3212sin 2AOBAOCAD BE AEBS BE S EC AD EC OEC ⨯∠===⨯∠△△，所以C 正确；由230AO OB OC ++=uuu r uuu r uuu r r ，可得23OA OB OC=+uur uuu r uuu r 因为1OB OC ==uuu r uuu r ，且OB OC ⊥u u u r u u u r ，可得222223412913OA OB OC OB OB OC OC =+=+⋅+=uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以13OA =uur ，所以D 是正确的.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、填空题13．i 是虚数单位，则复数7i34i+=+．【答案】1i-【分析】化简分式的复数，乘以分母的共轭复数化简即可.【详解】()()()(7i)34i 7i 5(1i)1i 34i 34i 34i 5+-+-===-++-.故答案为：1i-14．设向量,a b 满足π,3a b = ，1a = ，1b = ，则3a b += ．【答案】13【分析】将3a b +r r写为()23a b+ ，展开后将模和夹角代入计算结果即可.【详解】解：因为π,3a b = ，1a = ，1b = ，所以()22233323a b a b a b a b+=+=++⋅ 2236cos ,a b a b a b=++⋅ 1196132=++⨯=.故答案为：13.15．计算：sin 50sin 20cos30cos 20︒︒︒-︒=．【答案】12/0.5【分析】利用两角和的正弦化简三角函数式后可得其值.【详解】原式()sin 2030sin 20cos30cos 20︒︒︒︒+-=︒=sin 20cos 30cos 20sin 30sin 20cos 30cos 20︒︒︒︒︒︒+-︒=cos 20sin 301sin 30cos 202︒︒︒==︒．故答案为：12.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则实数m 的取值范围是.【答案】13,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】根据()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =，类比周期函数的性质，求出函数的解析式，然后作出图象，利用数形结合法求解.【详解】当[]0,x π∈时，()sin f x x =；当(],2x ππ∈时，(]0,x ππ-∈，()()()2si 22n sin ππ--=-==f x x f x x ，当(]2,3x ππ∈时，(],2x πππ-∈，()()()2sin 44sin ππ--===-f x x f x x ，当(],0x π∈-时，(]0,x ππ+∈，()()()1sin 1122sin 2ππ=++==-f x x f x x ，则函数()f x 的图象如图所示：当(]2,3x ππ∈时，()si 24n ==f x x ，解得136x π=，若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则136π≤m ，故答案为：13,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想好推理求解问题的能力，属于中档题.四、解答题17．已知i 为虚数单位，复数3i()z b b =+∈R ，且(1)3i z +⋅为纯虚数．（1）求复数z 及z ；（2）若2iz ω=+，求复数ω的模．【答案】（1）3i +，3i -；（2）2．【分析】（1）先求出(1)3i z +⋅，结合(1)3i z +⋅为纯虚数可得复数z ，然后可求z ；（2）把复数z 代入，结合模长公式可求.【详解】（1）由题可得13i 13i (3i)339()()()()i z b b b +⋅=++=-++，因为(1)3i z +⋅为纯虚数，所以330b -=且90b +≠，解得1b =，所以3i z =+，3i z =-．（2）由（1）可得3i (3i)(2i)7i 71i 2i 2i (2i)(2i)555z ω++--=====-+++-，所以227171i |()()2555|5||ω-=+-==．【点睛】本题主要考查复数的运算和模长的求解，熟记求解公式是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．已知向量()()()1,2,,4,4,a b x c x ===- ，且向量a 与b 共线．(1)证明：a c ⊥ ；(2)求a 与c b - 夹角的余弦值；(3)若10a tc += ，求t 的值．【答案】(1)证明见解析(2)22-(3)12t =±【分析】（1）根据向量共线得a b λ= ，列方程组解出x ，再利用向量垂直的坐标表示证明即可；（2）利用()cos ,a c b a c b a c b ⋅--=- 及向量数量积和模长的坐标表示求解即可；（3）利用向量数量积的运算律求解即可.【详解】（1）因为向量a 与b 共线，所以a b λ= ()0λ≠，则124x λλ=⎧⎨=⎩，解得122x λ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()2,4b = ，()4,2c =- ，因为()14220a c ⋅=⨯+⨯-= ，所以a c ⊥ .（2）由（1）得()2,6c b -=- ，所以()()()222212262cos ,21226a c b a c b a c b ⋅-⨯+⨯--===--+⨯+- ，即a 与c b - 夹角的余弦值为22-.（3）因为2222125a a ==+= ，()22224220c c ==+-= ，0a c ⋅= ，所以22222252010a tc a ta c t c t +=+⋅+=+= ，解得12t =±.19．已知向量()2cos ,1m x ω=- ，()sin cos ,2n x x ωω=- ，其中0ω>，函数()3f x m n =⋅+ ，若函数()f x 图象的两个相邻对称中心的距离为π2.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域．【答案】（1）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)；（2）1,2⎡⎤⎣⎦．【分析】（1）根据题意，代入数量积公式表示出()f x ，然后化简得()2sin(2)4f x x πω=-，利用周期计算得1ω=，利用整体法计算单调增区间；（2）利用平移变换得函数()g x 的解析式，利用整体法计算值域.【详解】（1）由题意可得，()32cos (sin cos )23ωωω=⋅+=--+ f x m n x x x ，22sin cos 2cos 1sin 2cos 22sin(2)4πωωωωωω=-+=-=-x x x x x x .由题意知，22T ππω==，得1ω=，则()2sin(2)4f x x π=-，由222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）将()f x 的图象向左平移4π个单位长度，得到2sin(2)4y x π=+的图象，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()2sin()4π=+g x x 的图象．∵,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2sin()124π≤+≤x ，故函数()g x 的值域为1,2⎡⎤⎣⎦.【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式.20．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量2(cos ,2cos 1)2C m B =- ，(,2)n c b a =- ，且0m n ⋅= .（1）求C ∠的大小；（2）若点D 为边AB 上一点，且满足,7,23AD DB CD c === ，求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）23.【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，求得cos (2)cos 0m n c B b a C ⋅=+-= ，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到1cos 2C =，即可求解；(2)由AD DB = ，求得2CD CA CB =+ ，两边平方化简得2228b a ab ++=，再由余弦定理，得到2212a b ab +-=，联立方程组，求得8ab =，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，因为2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2C m B B C =-= ，(,2)n c b a =- ，可得cos (2)cos 0m n c B b a C ⋅=+-= ，在ABC 中，由正弦定理得sin cos (sin 2sin )cos 0C B B A C +-=，化简得sin 2sin cos A A C =，又因为(0,)A π∈，可得sin 0A >，所以1cos 2C =，因为(0,)C π∈，所以3C π=.(2)由AD DB = ，可得CD CA CB CD -=- ，所以2CD CA CB =+ ，两边平方得2222242cos 28CD b a ab ACB b a ab =++∠=++= ①又因为2222cos c a b ab ACB =+-∠，所以2212a b ab +-=.②由①②得8ab =，所以1sin 232ABC S ab ACB =∠= .【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及正弦定理和余弦定理的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及合理利用正弦定理的边角互化和三角的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.21．ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）323+.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：23AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴ 周长323L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为323+.[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b c A B C ===，所以23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦23cos 23α=≤，当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为323+．[方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223cos b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3cos b c θθ+=+=23sin 236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，易知当6C π=时，max ()23b c +=，所以ABC 周长的最大值为323+．【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC 区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC 周围筑起护栏.已知40m AC =，403m BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.(1)若20m AM =时，求护栏的长度（△MNC 的周长）；(2)当ACM ∠为何值时，鱼塘△MNC 的面积最小，最小面积是多少？【答案】(1)60203+；(2)15ACM ∠=︒，最小值为()2120023km -.【分析】（1）由已知可得30B =︒则有80AB =，在△ACM 中应用余弦定理求得203CM =，再分别求出,CN MN ，即可求护栏的长度.（2）设()060ACM θθ∠=︒<<︒，应用正弦定理及三角形面积公式可得()300sin 60cos CMN S θθ=+︒ ，再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母，最后由正弦型函数的性质求最值.【详解】（1）由40m AC =，403m BC =，AC BC ⊥，则3tan 3AC B BC ==，所以30B =︒，60A =︒，则280AB AC ==，在△ACM 中，由余弦定理得22212cos 16004002402012002CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，则203CM =，所以222AC AM CM =+，即CM AB ⊥，又30MCN ∠=︒，所以tan 3020MN CM =︒=，则240CN MN ==，综上，护栏的长度（△MNC 的周长）为204020360203++=+.（2）设()060ACM θθ∠=︒<<︒，在△BCN 中，由()sin 30sin 90CN BC θ=︒︒+，得203cos CN θ=，在△ACM 中，由()sin 60sin 60CM CA θ=︒︒+，得()203sin 60CM θ=+︒，所以()1300sin 302sin 60cos CMN S CM CN θθ=⋅︒=+︒ ，而()213sin 60cos sin cos cos 22θθθθθ+︒=+()()13113313sin 21cos 2sin 2cos 2sin 26044222424θθθθθ⎛⎫=+⨯+=++=+︒+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()12002sin 2603CMN S θ=+︒+ ，仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，()2sin 2603θ+︒+有最大值为23+，此时△CMN 的面积取最小值为()2120023km -.。

福建省晋江市季延中学2016-2017高一下学期期中考试数学试题 (word版含答案)

季延中学2017年春高一年期中考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1． 1340°角是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．)()4cos(),2,23(,125tan .3=+∈-=πθππθθ则已知1325.A 1327.B 26217.C 2627.D4．设a ，b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋k b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b . 若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－15．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝xAB →＋yAC →，则3x ＋y 的值为( )A ．165B ．125C ．85D ．45）的值为（则若x x x 44cos sin ,15.6-=A ．B ．﹣C ．﹣D ．）的大小关系是（则若c b a c b a ,,,215tan ,55cos ,147sin .7 ===c a b D ac b C b a c B c b a A <<<<<<<<....)(tan ,.8=∠∆EBF AC F E ABC 的三等分点，则是斜边是等腰直角三角形，点已知43.33.32.2716.D C B A9．在这四个函数：①y=sin |x |、②y=|sinx |、③y=sin （2x +）、④y=tan （2x +）中，最小正周期为 π 的函数有（）A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．②③10．将函数y=sin （x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A ．y=sin （x﹣） B ．y=sin（x﹣） C ．y=sin （2x﹣） D ．y=sin x11．化简的结果是( )A ．4cos 52sin 5-B ．2sin 54cos5--C ． 2sin 54cos 5-D ．2sin 5-12．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f （x ）的零点，x=为y=f （x ）图象的对称轴，且f （x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A ．5B ．7C ．9D ．11二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若tan 4α=的值，则sin()sin()2cos()ππααα--+-＝14. 在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝.15. 如图，平面内有三个向量OA→，OB →，OC →，∠AOB=120°，∠AOC =45°，且| OA→|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB → ，则λ＋μ的值为.16．定义在R 上的单调函数f(x)满足：f(x +y)=f(x)+f(y)，若函数g(x)=f(a+sinx)+f(2cos 2x ﹣3)在（0，π）上有零点，则a 的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(满分10分)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R ，（1）若a －t b 与c 共线，求实数t 的值；（2）请用向量a ，b 表示向量c.18．（满分12分）已知2cos sin 0θθ+=，且(0,)θπ∈． (Ⅰ)分别求tan θ，θsin ，θcos 的值；(Ⅱ)若sin()θϕ-=2πϕπ<<,求cos ϕ的值．19．（满分12分）已知函数2()cos(2)2sin 3f x x x π=-+.(Ⅰ)求函数()f x 的周期、单调递增区间；(Ⅱ)当x ∈[0,]2π时,求函数()f x 的最大值和最小值．20. （满分12分）已知函数的部分图象如图所示：（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）对称中心坐标和对称轴方程.21. （满分12分）在△ABC 中，已知(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求角A 的大小；(2)若S △ABC ＝3，a ＝13，求b ＋c 的值； (3)若△ABC 的外接圆半径 R=1，求b ＋c 的取值范围.22．（满分12分）已知函数1)sin )(cos sin (cos )24(sin sin 4)(2--+++=x x x x xx x f π（1）化简函数f (x )的解析式；（2）常数ω＞0，若函数y=f (ωx )在区间[﹣，]上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g （x ）=在[﹣，]上的最大值为2，求实数a 的值．季延中学2017年春高一年期中考试数学试卷答案CACDC BADDB AC 13. 3 14. 1 15. 236+ 16. ]2,87[17.解：(1)∵a －t b ＝(－3－2t,2－t )，又a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1)，∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.……………………5分(2)设c ＝x a ＋y b (x 、y ∈R )，则(3，-1)＝x(-3，2)＋y(2，1)＝(-3x ＋2y ，2x +y )，则-3x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝-1，解得y x 7375,73,75+-==-=故……………………10分18解(Ⅰ)∵2cos sin 0tan 2，∴θθθ+==-………………2分将2cos sin 0θθ+=代入22sin cos 1θθ+=得:sin θθ==………4分∵(0,)θπ∈,又由(Ⅰ)知tan 20θ=-<,∴(,)2πθπ∈ ∴sin θθ==．……6分 (Ⅱ) ∵,2222ππππϕπθπθϕ<<<<⇒-<-<∴cos()θϕ-==…………………9分 ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ϕθθϕθθϕθθϕ=--=-+-==…………………12分 19解(Ⅰ)()cos2cossin 2sin1cos233f x x x x ππ=++-sin(2)16x π=-+…………3分由222262k x k πππππ-≤-≤+,解得：,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈∴函数的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈……………………5分22T ππ== ……………………………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,03x π≤≤时,()sin(2)16f x x π=-+为增函数, ………………8分32x ππ≤≤时,()sin(2)16f x x π=-+为减函数, ……………10分又1(0)sin()162f π=-+=,2()sin()12336f πππ=-+=,3()sin()1262f πππ=-+=∴函数()f x的最大值为2,最小值为12．………………12分20.解：（1）由图象可知，……………2分又由于，所以，……………4分由图象及五点法作图可知：，所以，所以．……………6分（2）由（1）知，，令，得，所以f（x）的对称中心的坐标为．……………9分令Zkkx∈+=+,232πππ，得Zkkx∈+=,2112ππ，即为所求对称轴方程……………12分21解(1)因为(2b－c)cos A＝a cos C，所以(2sin B－sin C)cos A＝sin A cos C，即2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A，即2sin B cos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝21，又π<<A0，于是A＝π3.………………4分(2)因为S△ABC＝3，所以12bc sinπ3＝3，所以bc＝4，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－bc，所以(b＋c)2＝a2＋3bc＝13＋12＝25，即b＋c＝5.………………7分(3)由A＝π3，知B+C=2π3，且0<B<2π3又a＝2R sin A＝2sin A＝2sinπ3=3，b＝2R sin B＝2sin B，c＝2R sin C，故b+c＝2sinB＋2sinC＝)sin(2sin2BAB++=BB cos3sin3+=)6sin(32π+B……………10分由0<A<2π3，知6566πππ<+<A ，所以1)6sin(21≤+<πA ，32)6sin(323≤+<πA ，即b ＋c 的取值范围是]32,3(……12分22解：（1）f （x ）=2[1﹣cos （+x ）]•sinx +cos 2x ﹣sin 2x ﹣1=（2+2sinx ）•sinx +1﹣2sin 2x ﹣1=2sinx ．……………………………………………3分（2）∵f （ωx ）=2sinωx ，由≤ωx ≤，解得﹣+≤x ≤+，∴f （ωx ）的递增区间为[﹣+，+]，k ∈Z ．∵f （ωx ）在[﹣，]上是增函数，∴当k=0时，有，∴，解得，∴ω的取值范围是（0，]．……………………………………………7分（3）g （x ）=sin2x +asinx ﹣acosx ﹣a ﹣1，令sinx ﹣cosx=t ，则sin2x=1﹣t 2，∴y=1﹣t 2+at ﹣a ﹣1=﹣（t ﹣）2+﹣，∵t=sinx ﹣cosx=sin （x ﹣），∵x ∈[﹣，]，∴x ﹣∈[﹣，]，∴．①当＜﹣，即a ＜﹣2时，y max =﹣（﹣）2+﹣=﹣a ﹣﹣2．令﹣a ﹣﹣2=2，解得a=﹣（舍）．②当﹣≤≤1，即﹣2≤a ≤2时，y max =﹣，令，解得a=﹣2或a=4（舍）．③当，即a ＞2时，在t=1处，由得a=6．因此，a=﹣2或a=6．………………………………………………………………………12分。

2014-2015年福建省泉州市晋江市季延中学高一(下)期中数学试卷和答案

个长度单位个长度单位 =（ D．）
6．（5 分）在△ABC 中， A． + B．
7．（5 分）以下给出了 5 个命题（1）两个长度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起点必相同；（3）若 • = • ，且 ≠ ，则 = ；（4）若向量的模小于的模，则＜．（5）若 = ，且 ≠ ，则 • = • （6）与同方向的单位向量为其中正确命题的个数共有（ A．3 个 B．2 个） C．1 个 D．0 个）
2014-2015 学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．（5 分）某班的 40 位同学已编号 1，2，3，…，40，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被 5 整除的 8 名同学的作业本，这里运用的抽样方法是（） B．抽签法 D．分层抽样的周期是（ B．π ） C．2π D．4π
A．简单随机抽样 C．系统抽样 2．（5 分）函数 A．
3．（5 分）在下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ A． B． C． D． 4．（5 分）抛掷一枚骰子，记事件 A 为“落地时向上的数是奇数”，记事件 B 为“落地时向上的数是偶数”，事件 C 为“落地时向上的数是 2 的倍数”，事件 D 为“落地时向上的数是 2 或 4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（） B．A 与 B C．B 与 C D．B 与 D ）的图象如））
11．（5 分）函数 y=sin（ A．，
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C．
，
]（k∈z）
D．
，
]（k∈z）
12．（5 分）菱形 ABCD 边长为 2，∠BAD=120°，点 E，F 分别别在 BC，CD 上， =λ A．， =μ ，若 • =1， • =﹣ ，则 λ+μ=（ C．） D．

福建省晋江季延中学高一数学下学期期中试题

福建省晋江市季延中学2014-2015学年高一年下学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．某班的40位同学已编号1，2，3，…，40，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的8名同学的作业本，这里运用的抽样方法是（）A ．简单随机抽样B ．抽签法C ．系统抽样D ．分层抽样 2.函数tan(2)6y x π=+的周期是( )A.2πB. πC.π2D.π4 3．在下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A .)0,0(1=e )6,1(2-=B . )5,3(1=e )10,6(2= C.)2,1(1-=)1,5(2-= D .)3,2(1-=e )43,21(2-=4．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的数是奇数”，记事件B 为“落地时向上的数是偶数”，事件C 为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D 为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（） A ．A 与D B ．A 与B C ．B 与C D ．B 与D5. 函数()()ϕω+=x A x f sin（其中A ＞0，|ϕ|＜）的图象如图所示，为了得到()x x g 2sin =的图象，则只需将()x f 的图象（）.A ．向右平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位 D ．向左平移个长度单位6. 在ABC △中，=，=．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）A ．3132+ B ．3235-C ．3132- D ．3231+7.以下给出了5个命题：( )（1）两个长度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起点必相同；（3）若c a b a ⋅=⋅，且0≠a ，则=b c ；（4）若向量a 的模小于b 的模，则<a b .（5）若,b c →→=且0≠a ，则c a b a ⋅=⋅（6）与a 同方向的单位向量为a a其中正确命题的个数共有A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0个 8. 函数cos(2)2y x π=+的图像的一条对称轴的方程为( )A.2x π=-B. 8x π=-C. 4x π=-D. x π=9．已知P 是△ABC 内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机投入△ABC 内，则该粒黄豆落在△PAC 内的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 1510．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin11.函数y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2 4π的单调增区间是（）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87ππ 83ππk k ，，k ∈Z B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++8π5π 8ππk k ，，k ∈Z C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-83ππ 8ππk k ，，k ∈Z D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8π3π 8π3πk k ，，k ∈Z12. 菱形ABCD 边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别别在BC 、CD 上,u ==,λ,若31,2AE AF CE CF ⋅=⋅=-，则()=+u λ A.21 B.23 C.45 D.127 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知角α终边上一点P （-4，3），则cos()sin()2119cos()sin()22π+α-π-αππ-α+α的值为_________. 14．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x ＝π3，则ω的最小值是 . 15.已知两点A(－1，0)，B(－1，3)．O 为坐标原点，点C 在第一象限，且∠AOC ＝120°，设＝－3＋λ(λ∈ R)，则λ＝ . 16. 方程1sin 222x x x π⎡⎤⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在区间[]0,π内的所有实根之和为 .（符号[]x 表示不超过x 的最大整数）。

2015-2016学年福建省晋江市季延中学高一下期中数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015-2016学年福建省晋江市季延中学高一下期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：138分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数。

下列判断正确的是（）A ．函数的最小正周期为B ．函数的图象关于点对称C ．函数的图象关于直线对称D ．函数在上单调递增2、是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（） A ．B ．C ．D ．3、已知正角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（）A ．B ．C ．D ．4、若非零向量满足，且，则与的夹角为（）A ．B ．C ．D ．5、要得到函数y=sin （4x-）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位6、已知为第三象限角，且，则的值为（）A ．B ．C ．D ．7、已知，则的值等于（）A ．B ．C ．﹣D ．8、设D 为所在平面内一点且，则（）A ．B ．C ．D ．9、若，则等于（）A ．B ．C ．D ．10、函数y=sin （2x-）在区间[-,π]上的简图是（）11、与角﹣终边相同的角是（）A ．B ．C ．D ．12、对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（） A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知函数f （x ）＝Asin （ωx ＋φ）的部分图象如图所示．则f （x ）＝__________.14、已知在中，，则角_________15、方程恒有实数解，则实数的取值范围是_________16、已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝__________.三、解答题（题型注释）17、如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（是直角顶点）来处理污水，管道越长污水净化效果越好，设计要求管道的的接口是的中点，分别落在线段上。

2014-2015学年福建省泉州市晋江市季延中学高一(下)期中数学试卷 (解析版)

2014-2015学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（2014春•和平区期末）某班的40位同学已编号1，2，3，…，40，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的8名同学的作业本，这里运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．抽签法C．系统抽样D．分层抽样考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据收取的号码间隔相同，可判断该抽样方法为系统抽样．解答：解：∵收取的号码间隔都是5，∴由系统抽样方法的特征得，该抽样方法为系统抽样．故选：C．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解题的关键．2．（2015春•晋江市校级期中）函数的周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正切函数的周期公式即可得到结论．解答：解：∵y=tan（2x+），∴由三角函数的周期性及其求法可得函数的周期T=，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期的计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础．3．（2015春•福州校级期末）在下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．B．C． D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：阅读型．分析：分别判断四个答案中的一组向量，若它们共线（平行）则他们不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；若他们不共线（平行），故可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底．解答：解：A中，∵=，故不适合做为向量的基底；B中，，，﹣1×（﹣1）﹣2×5≠0，故两个向量不共线（平行），故可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；C中，，，3×10﹣5×6=0，故两个向量共线（平行），故可以不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；D中，，2×（）﹣（﹣3）×=0，故两个向量共线（平行），故可以不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；故选B点评：本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中熟练掌握基底的定义﹣﹣平面内两个不共线的向量，是解答本题的关键．4．（2014春•和平区期末）抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，记事件B 为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A．A与D B．A与B C．B与C D． B与D考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，利用定义子集判断即可．解答：解：抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“向上的点数是2的倍数”，事件D为“2点或4点向上”．事件A、B既是互斥事件也是对立事件；所以B不正确．B与C是相同事件，表示互斥事件．所以不正确．B与D不是互斥事件，所以不正确．A与D是互斥事件，对数不是对立事件，所以A正确．故选：A．点评：本题主要考查对立事件和互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件5．（2015•日照一模）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω，0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，根据==﹣，求得ω=2，再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把f（x）的图象向右平移个长度单位，可得g（x）=sin2x的图象，故选：C．点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．（2010•广东模拟）在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由向量的运算法则，结合题意可得═=，代入已知化简可得．解答：解：由题意可得=====故选A点评：本题考查向量加减的混合运算，属基础题．7．（2015春•晋江市校级期中）以下给出了5个命题（1）两个长度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起点必相同；（3）若•=•，且≠，则=；（4）若向量的模小于的模，则＜．（5）若=，且≠，则•=•（6）与同方向的单位向量为其中正确命题的个数共有（）A． 3 个B．2个C．1个D． 0个考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：根据向量的物理背景与概念、数量积的概念逐个分析．解答：解：两个向量相等的充要条件是大小相等且方向相同，所以两个长度相等的向量不一定相等，故（1）错误；两个向量只要大小相等且方向相同，就是相等向量，所以相等的向量起点可以不相同，故（2）错误；若•=•，且≠，则=或且，故（3）错误；（4）∵两个向量不能比较大小，∴＜不正确，故（4）错误；（5）由（3）可以得到（5）正确；（6）根据单位向量的定义可以（6）正确．故正确命题的个数为2个，故选：B．点评：本题考查向量的概念，两个向量的数量积的定义和性质，注意向量的数量积与实数的乘积的区别，正确理解向量相等的含义．8．（2009•山东模拟）函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x= D． x=π考点：余弦函数的对称性．专题：计算题．分析：根据三角函数的图象，三角函数的函数值取最值时，对称轴的x取值．解答：解：此函数的对称轴方程为，当k=0时，．故选B．点评：本题是基础题，求出余弦函数的对称轴方程是解决此问题的关键．9．（2015春•晋江市校级期中）已知P是△ABC内一点，++2=0，现将一粒黄豆随机投入△ABC内，则该粒黄豆落在△PAC内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题符合几何概型的意义，只要画出满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则2，又P点满足++2=0，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足++2=0，此时S△APC=S△ABC，故黄豆落在△APC内的概率为，故选：C．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是选择公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式解答．10．（2014春•未央区校级期末）已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A． 2 B．C．2sin1 D． sin2考点：弧长公式．专题：计算题．分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．解答：解：如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，Rt△AOC中，AO==，从而弧长为α•r=，故选B．点评：本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．11．（2015春•晋江市校级期中）函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈Z B． [kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D． [kπ﹣，kπ+]，k∈Z考点：复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的单调性进行求解即可．解答：解：y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），要求函数y=sin（﹣2x）的单调增区间即求函数y=sin（2x﹣）的递减区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的单调递增区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．12．（2014春•德州期末）菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由若•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，得﹣2λ﹣2μ+2λμ=﹣②，结合①②求得λ+μ的值．解答：解：由题意可得•==+++=2×2×cos120°++=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）=（1﹣λ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）═（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣2λ﹣2μ+2λμ=﹣②，由①②求得λ+μ=，故选：C．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）（2010•舟山模拟）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：利用角α终边上一点P的坐标求得tanα的值，然后利用诱导公式对原式化简整理后，把tanα的值代入即可求得答案．解答：解：∵∴故答案为：﹣点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的化简求值．注意利用好三角函数中平方关系，倒数关系和商数关系．14．（4分）（2014春•嘉峪关期末）函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），把函数f（x）的图象向右平移个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x=，则ω的最小值是2．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（ωx+﹣）的一条对称轴方程是x=，可得ω•+﹣=kπ+，k∈z，由此求得ω的最小值．解答：解：把函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[ω（x﹣）+]=sin（ωx+﹣）的一条对称轴方程是x=，ω•+﹣=kπ+，k∈z，即=kπ+，k∈z，故ω的最小值为2，故答案为：2．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．15．（4分）（2015春•晋江市校级期中）已知两点A（﹣1，0），B（﹣1，）．O为坐标原点，点C在第一象限，且∠AOC=120°，设=﹣3+λ（λ∈R），则λ=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：通过设C（a，b），利用∠AOC=120°可得C（a，a），通过将相关值代入=﹣3+λ（λ∈R），计算即可．解答：解：∵点C在第一象限，∴可设C（a，b），∵A（﹣1，0），∠AOC=120°，∴=tan60°=，则C（a，a），∵B（﹣1，），=﹣3+λ（λ∈R），∴（a，a）=﹣3（﹣1，0）+λ（﹣1，），∴（a，a）=（3﹣λ，λ），∴=，解得：λ=，故答案为：．点评：本题考查平面向量的相关知识、三角函数的定义，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（4分）（2014•陕西校级一模）方程在区间[0，π]内的所有实根之和为2．（符号[x]表示不超过x的最大整数）．考点：正弦函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据[x]的定义分别讨论x的取值，利用条件求出方程sinπx=[﹣[]+]在区间[0，π]内的所有实数根，即可得到结论．解答：解：①若0≤x＜1，则0≤＜，[]=0，，则﹣[]+=+∈（），∴[﹣[]+]=0．此时方程sinπx=[﹣[]+]=0，此时x=0．②若1≤x＜2，则≤＜1，[]=0，1≤，则﹣[]+=+∈[1，），∴[﹣[]+]=1．此时方程sinπx=[﹣[]+]=1，在[1，2）上无解．③若2≤x＜3，则1≤＜，[]=1，﹣[]=﹣1=∈[），∴[﹣[]+]=0．此时方程sinπx=[﹣[]+]=0，在[2，3）上，x=2．④若3≤x≤π，则≤≤，[]=1，﹣[]=﹣1=∈[1，]，∴[﹣[]+]=1．此时方程sinπx=[﹣[]+]=1，在[3，π）上，方程无解．综上：x=0或x=2是方程的根，∴方程sinπx=[﹣[]+]在区间[0，π]内的所有实数根之和为0+2=2．故答案为：2．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，正确理解[x]的意义是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（本题共6小题，共74分.）17．（2014春•吉林期末）一工厂生产A，B，C三种商品，每种商品都分为一级和二级两种标准，某月工厂产量如下表（单位：件）：A B C一级100 150 400二级300 450 600（Ⅰ）用分层抽样的方法在C种商品中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2件商品，求至少有1件一级品的概率；（Ⅱ）用随机抽样的方法从B类商品中抽取8件，经检测它们的得分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2．把这8件商品的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与这8个数的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）先计算出抽样比，进而计算出5个样本的分布情况，进而求出从中任取2件商品的情况总数和至少有1件一级品的情况个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．（2）先计算出这8个数的平均数，进而分析出满足条件抽出数据与这8个数的平均数之差的绝对值不超过0.5的情况个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（1）设所抽样本中有m个一级品，因为用分层抽样的方法在C类中抽取一个容量为5的样本．所以=，解得m=2，也就是抽取了2件一级品，3件二级品，分别记作S1，S2；B1，B2，B3，则从中任取2件的所有基本事件为：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，其中至少有1件一级品的基本事件有7个：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），所以从中任取2件，至少有1件一级品的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）样本的平均数为=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为=0.75．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．18．（2014春•未央区校级期末）已知，求下列各式的值．（1）sinx﹣cosx；（2）3sin2x﹣2sinxcosx+cos2x．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：常规题型；计算题．分析：（1）由﹣π＜x＜0结合条件可知x是第四象限角，从而sinx＜0，cosx＞0，由此可知sinx﹣cosx＜0．再利用平方关系式求解（sinx﹣cosx）2=（sinx+cosx）2﹣4sinxcosx）即可求得答案．（2）利用条件及（1）的结论得到tanx的表达式，再利用sin2x+cos2x=1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cos2x，得到tanx的表达式，即可求出结果．解答：解：（1）∵sinx+cosx=，∴x不可能是第三象限角，∴﹣＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，则sinx﹣cosx＜0，又sinx+cosx=，平方后得到1+sin2x=，∴sin2x=﹣∴（sinx﹣cosx ）2=1﹣sin2x=，又∵sinx﹣cosx＜0，∴sinx﹣cosx=﹣．（2）由于及sinx﹣cosx=﹣．得：sinx=﹣，cosx=．∴tanx=﹣，∴=．点评：本题利用公式（sinx﹣cosx）2=（sinx+cosx）2﹣4sinxcosx．求解时需要开方，一定要注意正负号的取法，注意角x的范围！本题是基础题，考查三角函数的表达式求值的应用，考查计算能力，注意“1”的代换，以及解题的策略．19．（2015春•晋江市校级期中）如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB 分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设．（1）用表示向量，．（2）若，求实数λ的值．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用表示向量，．（2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值．解答：解：（1）由题意知A是BC的中点，且=，由平行四边形法则得+=2，则=2﹣=2﹣，则=﹣=2﹣﹣=2﹣．（2）由图知∥，∵=﹣=2﹣﹣λ=（2﹣λ）﹣，，∴，解得．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量平行四边形法则和向量共线的条件是解决本题的关键．20．（2015春•晋江市校级期中）已知函数f（x）=cos+（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）若A为钝角三角形ABC的最小内角，求f（A）的取值范围．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由周期公式可求ω，从而可得函数解析式f（x）=cos（2x+）+，由﹣π+2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z，即可解得单调递增区间．令2x+=+kπ，即可解得对称中心．（2）由0＜A＜，可得范围＜2A+＜π，由余弦函数的图象和性质即可求得f（A）的取值范围．解答：解：（1）∵T==π，∴ω=1．∴f（x）=cos（2x+）+，由﹣π+2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤﹣+kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z．令2x+=+kπ，∴x=+，k∈Z．∴对称中心为（+，），k∈Z．（2）依题意，得0＜A＜，∴＜2A+＜π，∴﹣1＜cos（2A+）＜，∴﹣＜cos（2A+）+＜1，∴f（A）的取值范围为．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的化简求值，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．21．（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．解答：解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题．22．（2015春•晋江市校级期中）已知定义在区间上的函数y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称，当时，函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），其图象如图．（1）求函数y=f（x）在的表达式；（2）求方程f（x）=的解．（3）写出不等式f（x）＞的解集（不需要过程）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）当时，由观察图象易得A，T的值，由周期公式可求ω，由点（，1）在函数图象上，结合φ范围可求φ的值，由函数y=f（x）的图象关于直线对称得，时，函数f（x）=﹣sinx，即可得解．（2）由（1）可得=，分类讨论，利用正弦函数的图象和性质即可得解．（3）由（1）可得，分类讨论，利用正弦函数的图象和性质即可得解．解答：解：（1）当时，函数，观察图象易得：A=1，T=4（）=，可得：ω=1，由点（，1）在函数图象上，可得：sin（+φ）=1，结合﹣φ范围，可求φ=，即函数，由函数y=f（x）的图象关于直线对称得，时，函数f（x）=﹣sinx．∴．（2）∵由（1）可得=，∴当时，由得，；当时，由得，．∴方程的解集为．（3）∵由（1）可得，∴不等式f（x）＞的解集是：{x/﹣＜x＜，}∪{x/＜x＜}．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，三角函数的化简求值，属于基本知识的考查．。

福建省泉州市晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题及答案解析

福建省泉州市晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．向量,的坐标分别为(1,-1),(2,3)，则a b ⋅=( ) A.5B.4C.-2D.-12．已知sin A =, 那么cos()=( ) A.-B.C.-D.3.已知角的终边经过点（3，-4），则sin +cos 的值为( ) A.-B.C. ±D. ±或± 4．已知的值( )A ．一定为正数B ．一定为负数C ．可能为正数，也可能为负数D ．不存在5．若向量，，，则( )6．要得到函数的图像，只需将函数的图像 ( )A ．右移个单位 B ．右移个单位 C ．左移个单位 D ．左移个单位 7. 已知向量，，若a ∥b ，则 m 的值为( ) A. 2或-1B. -2或1C. ±2D. ±18.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中,R αβ∈,且1,αβ+=则点C 的轨迹方程为( )A.32110x y +-=B. 250x y +-=C.20x y -=D. 22(1)(2)5x y -+-=a b 21A -23π21212323ααα51515151572tan,αα则为第三象限角()1,1a =()1,1b =-()1,2c =-c =.A 1322a b -+.B 1322a b -.C 3122a b -.D 3122a b -+sin y x =-cos y x =2ππ2ππ(1,2)a =2(2,)b m =9.锐角α满足π2tan(π)3cos()50tan(π)6sin(π)102αβαβ--++=+++-=和，则cos α的值为( )A.D.1310. 若等边△ABC 边长为23，平面内一点M 满足CM →＝12CB →＋23OA →，则MA →·MB →＝( )A ．－1B ． 2C ．－2D ．2 311．在△ABC 中，NC AN 31=，P 是BN 上的一点，若m 112+=，则实数m 的值为( )A.311B.811C.911D.51112. 已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB →＋AC →)满足( ) A ．最大值为16 B ．最小值为4 C ．为定值8D ．与P 的位置有关二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知｜｜＝4,｜｜＝5, 与的夹角为60°，且(k +)⊥(-2), 则k = .14．函数2πcos()13()2πsin()3x f x x +-=+的单调递减区间是________. 15．已知，与的夹角为，则在上的投影为 . 16．关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：a b a b a b a b 2a b ==a b 60︒a b +a①、若存在1x ，2x 有12πx x -=时，()()12f x f x =成立； ②、()f x 在区间ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③、函数()f x 的图像关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④、将函数()f x 的图像向左平移5π12个单位后将与2sin 2y x =的图像重合．其中正确的命题序号 .（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（本小题满分10分）（1）已知,求的值；（2）把cos y x x =-化成sin()y A x ωϕ=+的形式，其中0,πA ϕ><.18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 中，，，，．（1）若，求、的值；（2）求与的夹角的余弦值．tan 2x =)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222x x x x x x ---+++--+πππππ3AB =4BC =1AB e AB=2AD e AD=12AC xe ye =+x y如图，∠AOB ＝π3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB 上，且线段A 1A 2的长为1，线段B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．(1)用向量A 1A 2→与B 1B 2→表示向量MN →；(2)求向量MN →的模．20.（本小题满分12分）已知向量，函数．（1）求的最大值及相应的x 值；（2）若，求的值．()x x x a cos sin ,2sin 1-+=→()x x b cos sin ,1+=→()f x a b =⋅()f x 58)(=θf πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭求下列各式的值：（12sin124cos 122-的值；（2）已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,πβ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，求2αβ-的值.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）函数的图象关于点对称，且，求的值；（2），求实数的取值范围.2()2sin ()21,4f x x x x R π=+-∈()()h x f x t =+(,0)6π-(0,)t π∈t [,],()342x f x m ππ∈-<恒有成立m【参考答案】一、选择题1-12：DAABB CCBCC AC 二、填空题13．-10 14．5ππ(2π-,2π+)33k k 15．3 16．①③ 三、解答题 17.（1）解：，由，得原式=，（2）5π2sin()6y x =-. 18.解：（1），，＝3+4，x = 3， y = 4.（2）设与的夹角为，由，则，，与的夹角的余弦值为． 19.解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1A 2→＋A 2N →，MN →＝MB 1→＋B 1B 2→＋B 2N →，两式相加，并注意到点M 、N 分别是线段A 1B 1、A 2B 2的中点，得MN →＝12(A 1A 2→＋B 1B 2→)．(2)由已知可得向量A 1A 2→与B 1B 2→的模分别为1与2，夹角为π3，所以A 1A 2→·B 1B 2→＝1，由MN →＝12(A 1A 2→＋B 1B 2→)得，|MN →|＝14(A 1A 2→＋B 1B 2→)2 ＝12A 1A 2→2＋B 1B 2→2＋2A 1A 2→·B 1B 2→＝72.20. 解：（1）因为，，所以xxx x x x x x x x x x sin cos )1sin 2(sin )1sin 2(cos cos sin sin 1cos cos sin 222=++=-+++sin tan 2cos x x x ==123AB =4BC =∴BC AB AC +=1e 2e ∴θ2143BD AD BA e e =+=-5AC BD ==∴()()2212212134431697cos 552525e e e e e e AC BD AC BDθ+⋅--⋅====⨯⋅∴725(1sin2,sin cos )a x x x =+-(1,sin cos )b x x =+22()1sin2sin cos 1sin2cos2f x x x x x x =++-=+-，当，即（）时，. （2）由及得，两边平方得，即． ∴．21.解：sin123cos12cos12sin122cos 24-⋅3sin123cos12sin 24cos 24-=)sin12cos60cos12sin 602sin 24cos 24-)sin 4843448==-又∵()0,πβ∈，22.解:（Ⅰ）∵ ，∴ ，∴的图象的对称中心为ππ(,0),26Z k t k +-∈.又已知点为的图象的一个对称中心，∴ππ()23Z k t k =+∈，而，∴或. π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ππ22π42x k -=+3ππ8x k =+k ∈Z ()f x 1()1sin 2cos2f θθθ=+-8()5f θ=3sin 2cos25θθ-=91sin 425θ-=16sin 425θ=ππ16cos22cos 4sin 44225θθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()2sin ()211cos(2)2142f x x x x x ππ=+-=-+--()()2sin(22)3h x f x t x t π=+=+-()h x (,0)6π-()h x (0,)t π∈3t π=56π（Ⅱ）若时，，，由，∴，解得，即的取值范围是. [,]42x ππ∈22[,]363x πππ-∈()[1,2]f x ∈()33()3f x m m f x m -<⇒-<<+3132m m -<⎧⎨+>⎩14m -<<m (1,4)-。

福建省晋江市季延中学年高一年下学期期中考试数学试题及答案

福建省晋江市季延中学高一年下学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题。

（每小题5分，共50分）1．等比数列{}n a 中，5142,16a a a a 则==（）A ．4B ．16C ．-4D ．-16 2．a 、b 为非零实数，a b <，则下列不等式成立的是( )A ．22a b < B ．11a b < C ．2211ab a b< D ．||||a b > 3、不等式032≥-+x x 的解为（） A 、32≤≤-x B 、-2x 3≤≥或xC 、32<≤-xD 、-2x 3≤>或x4.点（a,b ）在直线2x-y+3=0的右下方，则（）A ．2a-b+3<0 B. 2a-b+3>0 C. 2a-b+3=0 D.以上都不成立 5.若x+y=0,则yx22+的最小值是( )A 、21B 、1C 、2D 、4 6、已知ABC ∆中，a=5, b = 3 , C = 1200,则sinA 的值为（）A 、1435 B 、1435- C 、1433 D 、1433- 7．已知数列{}n a 中，3a =2，7a ＝1，若1{}2na 为等差数列，则公差等于（） A ．41-B ．12C ．41D ．1618、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥-03002y x y x y x ，则有（）A ．4,29min max ==z z B ．,29max =z z 无最小值 C ．z z ,4min =无最大值 D ．z 既无最大值，也无最小值9.为测树的高度，在水平地面上选取A 、B 两点（点A 、B 及树的底部在同一直线上），从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点间的距离为60m ，则树的高度为（）A. ()m 31530+B. ()m 33030+ C.()m 33015+ D. ()m 31515+10.给定函数)(x f y =的图像如下列图中，经过原点和（1,1），且对任意)1,0(∈n a ,由关系式)(1n n a f a =+得到数列{n a }，满足)(*1N n a a nn ∈>+，则该函数的图像为（）二、填空题（每小题5分，共25分）11．二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式02<++c bx ax 的解集是_______________________．12.__________012的取值范围是有两个不同正根，则方程a ax x =+- 13.等比数列{}n a 中, ____________S ,12,415105===则S S14．恒成立，对一切的0,42>≥++x ax x x 则a 的取值范围是_________ 15．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设,i ja （i 、j ∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8，则25,51a 为三、计算题（共75分）16（本题满分12分）（1）已知的值与的最小值，及此时求，其中y x xy 0,y 0,412>>=+x yx . （2）0))(1( x ≤-+a x x 的不等式关于，讨论x 的解.12 34567 8 9 10…………………………17.(本题满分12分)等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S . （2）记n n a b 2log =,求}1{1+n n b b 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边（1）若ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值；（2）若B cacos <，试判断ABC ∆的形状．19.（本题满分12分）若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥+-a x y x y x 0101 (其中a>0)表示的平面区域的面积是9.（1）求a 的值（2）求的值。

福建省晋江市季延中学高一数学下学期期中复习试题(无答案)

2014级高一数学下学期期中复习卷参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑ ˆa y b x =-选择题1．与463-︒终边相同的角可以表示为(k Z)∈ w.w.w.k.s.5 u.c.o.m （）A ．k 360463⋅︒+︒B ．k 360103⋅︒+︒C ．k 360257⋅︒+︒D ．k 360257⋅︒-︒2 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是w.w.w.k.s.5 u.c.o.m （）A ．AB OC = B ．AB ∥DE C ．AD BE=D ． AD FC =3．α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（）w.w.w.k.s.5 u.c.o.m A 513B513-C 512D512-4．设()sin()cos()f x a x b x =π+α+π+β+4，其中a b 、、、αβ均为非零的常数，若(1988)3f =，则(2008)f 的值为w.w.w.k.s.5 u.c.o.m （）A ．1B ．3C ．5D ．不确定5.由小到大排列的一组数据x1,x2,x3,x4,x5,其中每个数据都小于-1，则样本1，x1,-x2,x3,-x4,x5的中位数可以表示为（）A.212x +B.212x x - C. 215x + D.243x x - 6. 在区域⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x ，内任意取一点),(y x P ，则122<+y x 的概率是（） A ．0 B ． 214-πC ．4πD ．41π-7．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）BA ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 8．函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A ．)48sin(4π-π-=x y B ．)48sin(4π-π=x y C ．)48sin(4π+π=x y D ．)48sin(4π+π-=x y 9.袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；一个白球一个黑球D.至少有一个白球；红、黑球各一个10．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( )A ．互相垂直B ．同向平行C ．反向平行D ．既不平行也不垂直11.对某班学生一次英语测试的成绩分析，各分数段的分布如下图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（）A.92%B.24%C.56%D.76%12.以集合A={2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（）A.135B.285C.143D.145二、填空题13．若)3,2(=a 与),4(y b -=共线，则y ＝；1421==，与的夹角为3π+ 。

福建省晋江市季延中学高一下学期期中考试数学试题

季延中学2016年春高一年期中考试数学科试卷考试时间：120分钟满分：150分一．选择题（每题5分，共60分）1. 与角﹣终边相同的角是。

（）A ．B ．C ．D ． 2. 函数y=sin(2x-)在区间[-,π]上的简图是。

（）3.若，则等于。

（）A 、B 、C 、D 、4. 设D 为所在平面内一点且，则。

（）A BC D5.已知，则的值等于。

（）A 、B 、C 、 ﹣D 、 6. 已知为第三象限角，且22sin ,2cos sin m m ==+ααα，则的值为。

（）A ．B ．C ．D ．7. 对任意向量，下列关系式中不恒成立的是。

（）A ．B ．C ．D ．()()22-=-+8.要得到函数y=sin （4x-）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像。

（）A 向左平移个单位B 向左平移个单位C 向右平移个单位D 向右平移个单位9. 若非零向量满足，且，则与的夹角为。

（）A 、B 、C 、D 、10. 已知正角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为。

（）A ．B ．C ．D ．11.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是。

（）A B C D12.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数。

下列判断正确的是。

（）A ．函数的最小正周期为B ．函数的图象关于点对称C ．函数的图象关于直线对称D ．函数在上单调递增二．填空题（每题5分，共20分）13. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝__________.14. 方程24cos sin 40x x m ++-=恒有实数解，则实数的取值范围是_________ 15.已知在中，tan tan tan A B A B +=⋅，则角_________16. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．则f (x )＝__________.三．解答题（共70分）17．（10分）已知()()()3cos cos 2sin 223sin sin 2f αααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭πππππ. (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值．18.（10分）已知：()()61232,3,4=+⋅-==b a b a b a ，求（1）（2）19.（10分）在平面直角坐标系中，已知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22,22， x ∈（0，）。

福建省晋江市季延中学高一下学期期中考试数学试题.pdf

一、选择题.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分共50分）． 1．几何体的三视图如左下图，则几何体的体积为 A．B．C．D． 2．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线ABCD在原正方体中的位置关系是 A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60° 共线，则 A．2B．3 C．5 D．1 4．直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为 A．y＝－2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－1D．y＝－x－1 5．与直线平行，且到的距离为的直线方程为 A．B． C． D． 6．长方体中，则所成的角的大小是 A. B. C. D. 7．已知菱形的两个顶点坐标：，则对角线所在直线方程为 A．B． C．D． 8. 空间直角坐标系中，点（－2, 1, 9）关于x轴对称的点的坐标是 A．（－2, 1, 9）B．（－2, －1, －9）C．（2, －1, 9）D．（ 2, 1, －9） 9．如图，在正方体中，、分别为棱、的中点，则在空间中与直线、、都相交的直线有 A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 10．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 A．1B．C．D．3 二、填空题：（每小题5分共30分）． 11. 直线与直线垂直，则＝。

12．圆＝被轴截得的弦长等于，腰和上底均为1. 如图，则平面图形的实际面积为。

14.设集合，.当时，则正数的取值范围。

15. 已知二面角αl-β的平面角为45°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，则异面直线所成角的大小是。

16. 实数x，y满足，则的最大值是。

三、解答题：本大题共6小题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（10分）过点作直线，使它被两相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程．P－ABCDABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，且.证明：平面PAD⊥平面PDC. 19．（12分）设直线和圆相交于点。

福建省晋江市季延中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案

季延中学 2019 年春高一年期中考试数学试卷考试时间： 120 分钟满分： 150 分命题者杨淑芬一选择题：（ 12*5=60 分）1.若 a<b<0, 则以下不等式中不建立的是（）A 、1 1B 、a 1 1 C 、 a bD、 a 2 b 2a bba2. 设会合 Ax x 3 ， Bx ( x 1) 4 x0，则A B()A ．B ．,1 C．1,3D ． (4 ，＋∞)3. 假如 { a n } 为递加数列，则 { a n } 的通项公式能够为 ()．A ． a n ＝－ 2n ＋3B ． a n ＝－ n 2－ 3n ＋ 1C ．a ＝nD ．a ＝ 1＋ log nn1n224. 数列 { a } 知足 a ＝ 1， a ＝ 2a ＋1(n ∈ N )，那么 a 的值为 ()．n1n ＋1n ＋ 4A ． 4B ． 8C ． 15D ．315. △ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的边分别为a ，b ，c ．若 a ＝3， b ＝ 4，∠ C ＝ 60°，则 c的值等于 ()．A ． 5B ． 13C ． 13D ． 376.等差数列 { a n } 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和是 ( )A 、130B、170 C 、 210D、2607. 在△ ABC 中，若cos Acos Bsin C，则△ ABC 是（）ab cA ．有一内角为 30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为 30°的等腰三角形D ．等边三角形8. 点 (x ， y)在直线 x ＋ 3y － 2＝0 上挪动时， z ＝ 3x ＋ 27y＋3 的最小值为 ()11A. 3 B ． 3＋2 3C ． 6D ． 99. 已知△ ABC 中，∠ A ＝ 60°，a ＝6 ，b ＝ 4，那么知足条件的△ABC 的形状大小 () ．A ．有一种情况B ．有两种情况C ．不行求出D ．有三种以上情况10.如右图给出一个“直角三角形数阵”知足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比都相等，记第i 行，第j列的数为aij，（ i j ，i, j N）则 a83(A)1(B)1(C)1(D)184211.若函数 f x x1x a 的最小值为 3 ，则实数a的值为（）A.-2B. 4C.2或4D. 2 或412.若 { a n} 是等差数列，首项 a1＞ 0，a4＋a5＞ 0，a4·a5＜ 0，则使前 n 项和 S n＞ 0 建立的最大自然数 n 的值为 ()．A ． 4B． 5C． 7D． 8二填空题：（ 4*5=20分）13.不等式x 13的解集为。

福建省泉州市晋江市季延中学高一数学下学期期中复习试卷(含解析)

2014-2015学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期中数学复习试卷一、选择题1．与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（）A．k360°+463°B．k360°+103°C．k360°+257°D．k360°﹣257°2．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（）A． =B．∥C．D．3．α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．4．设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非零的常数，f （1988）=3，则f（2008）的值为（）A．1 B．3 C．5 D．不确定5．由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5的中位数为（）A．B．C．D．6．在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）A．0 B．C．D．7．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）9．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个10．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且=2， =2， =2，则与（）A．互相垂直B．同向平行C．反向平行D．既不平行也不垂直11．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（）A．92% B．24% C．56% D．5.6%12．以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（）A．B．C．D．二、填空题13．若与共线，则y= ．14．已知||=1，||=2，与的夹角为，那么|+||﹣|= ．15．函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈．16．下列命题：①终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}；②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x的图象；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数其中真命题的序号是．三、解答题17．（2015春晋江市校级期中）（1）化简：（2）已知tanα=3，计算的值．18．（2012秋新余期末）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．19．（2015春晋江市校级期中）已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．20．（2015秋信阳期中）若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．21．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t 0 3 6 9 12 15 18 2124y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 710经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？22．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；（3）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．2014-2015学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期中数学复习试卷参考答案与试题解析一、选择题1．与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（）A．k360°+463°B．k360°+103°C．k360°+257°D．k360°﹣257°【考点】终边相同的角．【专题】计算题．【分析】直接利用终边相同的角的表示方法，写出结果即可．【解答】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z）即：k360°+257°，（k∈Z）故选C【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．2．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（）A． =B．∥C．D．【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】根据正六边形性质及相等向量的定义可得答案．【解答】解：由图可知，，但不共线，故，故选D．【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．3．α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．4．设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非零的常数，f （1988）=3，则f（2008）的值为（）A．1 B．3 C．5 D．不确定【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣7，再利用诱导公式化简 f（2008）=asinα+bcosβ+4，运算求得结果．【解答】解：∵f（1988）=asin（1988π+α）+bcos（1998π+β）+4=asinα+bcosβ+4=3，∴asinα+bcosβ=﹣1，故f（2008）=asin（2008π+α）+bcos（2008π+β）+4=asinα+bcosβ+4=﹣1+4=3，故选：B．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．5．由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5的中位数为（）A．B．C．D．【考点】众数、中位数、平均数．【专题】计算题；概率与统计．【分析】将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．根据这个定义求出．【解答】解：因为x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜﹣1，题目中数据共有六个，排序后为x1＜x3＜x5＜1﹣x4＜﹣x2，＜故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数，故这组数据的中位数是（x5+1）．故选：C．【点评】注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．6．在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）A．0 B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；数形结合．【分析】首先根据题意，做出图象，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，易得其面积，x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC的内部的面积，由几何概型的计算公式，可得答案．【解答】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；故选C．【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．7．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．8．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由函数的解析式可得A=4， ==6+2，可得ω=．再根据sin[（﹣2）×+φ]=0，可得（﹣2）×+φ=kπ，k∈z，再结合|φ|＜，∴φ=，∴y=4sin（x+），故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．9．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个【考点】互斥事件与对立事件．【专题】概率与统计．【分析】写出从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案【解答】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；至少有一个白球，没有白球互斥且对立；至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，故选：D【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．10．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且=2， =2， =2，则与（）A．互相垂直B．同向平行C．反向平行D．既不平行也不垂直【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据平面向量基本定理和向量的定比分点坐标公式，将、、分别表示出了，再进行运算，即可得出结论．【解答】解：如图所示，△ABC中， =2， =2， =2，根据定比分点的向量式，得==+，=+， =+，以上三式相加，得++=﹣，所以，与反向共线．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题，是基础题目．11．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（）A．92% B．24% C．56% D．5.6%【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距，求出这次测验的优秀率．【解答】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为0.032×10+0.024×10=0.56故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%故选C【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．12．以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】分析出共可得到多少个分数，再在其中分析有多少个分子与分母能约分的分数，相比即为所求的概率．【解答】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成个分数，由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，故这种分数是可约分数的共有个，则分数是可约分数的概率为P==，故答案为：D【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题13．若与共线，则y= ﹣6 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】由已知中向量与共线，我们根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，易构造一个关于y的方程，解方程即可求出y值．【解答】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0解得y=﹣6故答案为：﹣6【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．14．已知||=1，||=2，与的夹角为，那么|+||﹣|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由||=1，||=2，与的夹角为，可得==1．再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为，∴==1×=1．∴|+||﹣|====．故答案为：．【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3] ．【考点】复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用正弦函数的单调性、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵函数y=sin2x﹣2sinx=（sinx﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx≤1，∴0≤（sinx﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）2﹣1≤3．∴函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．故答案为[﹣1，3]．【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．16．下列命题：①终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}；②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x的图象；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数其中真命题的序号是③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】由终边相同的角的集合表示法，可以判断①的假；构造函数f（x）=sinx﹣x，求出导数判断函数的单调性，由f（0）=0，可以判断②的假；根据函数图象的平移变换法则，可以判断③的真；根据诱导公式，将函数化为余弦型，进而根据余弦函数的单调性，可以判断④的假；进而得到答案．【解答】解：①、终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}，故①错误；②、设f（x）=sinx﹣x，其导函数y′=cosx﹣1≤0，∴f（x）在R上单调递减，且f（0）=0，∴f（x）=sinx﹣x图象与轴只有一个交点．∴f（x）=sinx与y=x 图象只有一个交点，故②错误；③、由题意得，y=3sin[2（x﹣）+]=3sin2x，故③正确；④、由y=sin（x﹣）=﹣cosx得，在[0，π]上是增函数，故④错误．故答案为：③．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．三、解答题17．（2015春晋江市校级期中）（1）化简：（2）已知tanα=3，计算的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．【解答】解：（1）==cosαtanα=sinα．（2）已知tanα=3，∴ ===．【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．18．（2012秋新余期末）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．【考点】线性回归方程．【专题】应用题；作图题．【分析】（1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．（2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．（3）将x=7代入回归直线方程求出y的值即为当广告费支出7（百万元）时的销售额的估计值．【解答】解：（1）（2）设回归方程为=bx+a则b=﹣5/﹣5=1380﹣5×5×50/145﹣5×52=6.5故回归方程为=6.5x+17.5（3）当x=7时，=6.5×7+17.5=63，所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）．【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．19．（2015春晋江市校级期中）已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），可得=0， +8=0，化为，代入=0，解出即可．【解答】解：∵向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），∴=0，+8=0，∴=，化为，代入=0，化为： +16﹣cos2θ，∴，∴θ=或．【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（2015秋信阳期中）若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题．【分析】（1）是古典概型，首先分析可得|p|≤3，|q|≤3整点的个数，进而分析可得点M 的纵横坐标的范围，可得M的个数，由古典概型公式，计算可得答案；（2）是几何概型，首先可得|p|≤3，|q|≤3表示正方形区域，易得其面积，进而根据方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）≥0，变形可得p2+q2≥1，分析可得其表示的区域即面积，由几何概型公式，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，其中p、q都是整数的点有6×6=36个，点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=；（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；若方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）＞0，解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，即方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率，P2=．【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．21．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t 0 3 6 9 12 15 18 2124y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 710经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？【考点】已知三角函数模型的应用问题．【专题】计算题．【分析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出b和A；再借助于相隔9小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y=f（t）的解析式；（2）把船舶安全转化为深度f（t）≥11.5，即；再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港．【解答】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，∴=10，且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，因此，，故（0≤t≤24）（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即∴，解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z又0≤t≤24当k=0时，1≤t≤5；当k=1时，13≤t≤17；故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等．22．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；（3）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．（2）根据正弦函数的单调性和最大值，求得f（x）的最大值及取到最大值时x的集合．（3）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：（1）由函数的图象可得A=3， T==4π﹣，解得ω=．再根据五点法作图可得×+φ=0，求得φ=﹣，∴f（x）=3sin（x﹣）．（2）令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，求得5kπ﹣π≤x≤5kπ+，故函数的增区间为[5kπ﹣π，5kπ+]，k∈z．函数的最大值为3，此时， x﹣=2kπ+，即x=5kπ+，k∈z，即f（x）的最大值为3，及取到最大值时x的集合为{x|x=5kπ+，k∈z}．（3）设把f（x）=3sin（x﹣）的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即y=3sin（x+）]．则由（x+m）﹣=x+，求得m=π，把函数f（x）=3sin（x﹣）的图象向左平移π个单位，可得y=3sin（x+）=3cosx 的图象．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性和最值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．21。

福建省晋江市季延中学年高一年下学期期中考试数学试题及答案-推荐精品

福建省晋江市季延中学2013-2014学年高一年下学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题。

（每小题5分，共50分）1．等比数列{}n a 中，5142,16a a a a 则==（）A ．4B ．16C ．-4D ．-16 2．a 、b 为非零实数，a b <，则下列不等式成立的是( )A ．22a b < B ．11a b < C ．2211ab a b< D ．||||a b > 3、不等式032≥-+x x 的解为（） A 、32≤≤-x B 、-2x 3≤≥或xC 、32<≤-xD 、-2x 3≤>或x4.点（a,b ）在直线2x-y+3=0的右下方，则（） A ．2a-b+3<0 B. 2a-b+3>0 C. 2a-b+3=0 D.以上都不成立5.若x+y=0,则yx22+的最小值是( )A 、21B 、1C 、2D 、4 6、已知ABC ∆中，a=5, b = 3 , C = 1200,则sinA 的值为（）A 、1435B 、1435-C 、1433D 、1433- 7．已知数列{}n a 中，3a =2，7a ＝1，若1{}2na 为等差数列，则公差等于（） A ．41-B ．12C ．41D ．1618、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥-03002y x y x y x ，则有（）A ．4,29min max ==z zB ．,29max =z z 无最小值 C ．z z ,4min=无最大值 D ．z 既无最大值，也无最小值9.为测树的高度，在水平地面上选取A 、B 两点（点A 、B 及树的底部在同一直线上），从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点间的距离为60m ，则树的高度为（） A. ()m 31530+ B. ()m 33030+ C.()m 33015+ D. ()m 31515+10.给定函数)(x f y =的图像如下列图中，经过原点和（1,1），且对任意)1,0(∈n a ,由关系式)(1n n a f a =+得到数列{n a }，满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图像为（）二、填空题（每小题5分，共25分）11．二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式02<++c bx ax 的解集是_______________________．12.__________012的取值范围是有两个不同正根，则方程a ax x =+- 13.等比数列{}n a 中, ____________S ,12,415105===则S S14．恒成立，对一切的0,42>≥++x ax x x 则a 的取值范围是_________15．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设,i ja （i 、j ∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8，则25,51a 为三、计算题（共75分）16（本题满分12分）（1）已知的值与的最小值，及此时求，其中y x x y 0,y 0,412>>=+x yx . （2）0))(1( x ≤-+a x x 的不等式关于，讨论x 的解.17.(本题满分12分)等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==.ABC D12 34567 8 9 10…………………………（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S . （2）记n n a b 2log =,求}1{1+n n b b 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边（1）若ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值；（2）若B cacos <，试判断ABC ∆的形状．19.（本题满分12分）若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥+-a x y x y x 0101 (其中a>0)表示的平面区域的面积是9.（1）求a 的值（2）求的值。