【精品课件】高中数学(人教A版)选修2-2第一章章末优化总结

合集下载

人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用复习优质

1 故函数 f(x)的单调递增区间是 (0， )；单调递减 e 1 区间是 ( ，1)和 (1，＋∞)． e
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检验 f′(x) ＝ 0 的根的两侧 f′(x) 的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16，又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． x (3)∵切线与直线 y＝－＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)．切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3：已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx，在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.2 1.2.3 导数的计算综合问题

跟踪训练
(3) 解法一
令 y ＝ u2 ，则 u ＝ cos x ，所以 y′ ＝
栏目链接
(u2)′· (cos x)′＝2u· (－sin x)＝－2cos xsin x＝－sin 2x. 解法二 1＋cos 2x y ＝ cos x ＝，所以 y′ ＝ 2
2
1 1 1 ＋ cos 2x′＝ · (－sin 2x)(2x)′＝－sin 2x. 2 2 2

题型2
曲线的切线方程的综合应用
例2 曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少？
分析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点．解析：曲线在点(3,27)处切线的方程为 y＝27x－54，此直线与 x 轴，y 轴的交点分别为(2,0)和(0，－54)，故切线与两坐标轴围成的三角形面积是 1 S＝ ×2×54＝54. 2
π π (2)∵y＝xcos2x＋2sin2x＋2
1 ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－ xsin 4x， 2
1 1 x ∴y′＝－2xsin 4x ′＝－ sin 4x－ cos 4x· 4 2 2
栏目链接
1 ＝－ sin 4x－2xcos 4x. 2
)
D．6(3x－2)
栏目链接
解析：∵y＝(3x－2)2， ∴y′＝2(3x－2)· (3x－2)′＝6(3x－2)．答案：D

自测自评
2．函数 y＝sin 2x 的导数为( A．y′＝cos 2x C．y′＝2cos 2x
)
B．y′＝2xsin 2x D．y′＝2sin 2x
栏目链接

【讲练测】2014年高中数学人教a版选修2-2教学课件：2、1-3-3

人教
A
版
数
学
第一章导数及其应用 (选修2-2)
(2)当a<0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
(－1,0) 0 (0,2)
f′(x)
－
0＋
人
f(x)
b
教 A
所以当x＝0时，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－29.
版数
学
又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a，
第一章导数及其应用 (选修2-2)
[例3] 已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，
使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，
人
b的值，若不存在，说明理由．
教 A
版
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
数学
①函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在x∈[－1,2]上的最大值为3，
极值与最值的区别和联系
(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部
对函数值的比较；函数的最值是函数在整个定义域上的情
况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较．
人
(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的
教 A
函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性．
版数
(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么学
第一章导数及其应用 (选修2-2)
[例2] 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的
切线方程；
人
教
A
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

人教版高中数学选修2-2全套课件

(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数的增量

人教a版数学【选修2-2】第1章《导数及其应用》归纳总结课件

3 1 ∴x1＝2是极小值点，x2＝2是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，∴Δ＝ 4a2－4a＝4a(a－1)≤0， ∵a＞0，知0＜a≤1. ∴a的取值范围为(0,1]．
1 2 5．(2014· 成都质量检测)已知函数f(x)＝－2x ＋2x－aex. (1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．
故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值， 1 1 即g(x)min＝－e3，所以a≤－e3， 1 即实数a的取值范围是(－∞，－e3]．
典例探究学案
1 2 [解析] (1)当a＝1时，f(x)＝－2x ＋2x－ex， 1 2 3 则f(1)＝－2×1 ＋2×1－e＝2－e， f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e， 3 故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－( 2 －e)＝(1－e)(x 1 －1)，即y＝(1－e)x＋2.
ex· 1＋ax2－2ax [解析] 对f(x)求导得f′(x)＝ .① 1＋ax22 4 (1)当a＝3时，令f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0， 3 1 解得x1＝2，x2＝2.
结合①，可知 x f ′( x ) f ( x) 1 (－∞，2) ＋ 1 2 0 极大值 1 3 (2，2) － 3 2 0 极小值 3 (2，＋∞) ＋
1.(2014· 黄山模拟)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝ ( ) A．e2 ln2 C． 2 B．e D．ln2
[答案] B [解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.

2019数学人教A版选修2-2优化课件：第一章章末优化总结

答案：B
2．已知 P(－1,1)，Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点， (1)求过点 P，Q 的曲线 y＝x2 的切线方程． (2)求与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．
解析：(1)因为 y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线 y＝x2 上的点．过 P 点的切线的斜率 k1＝y′|x＝－1＝－2，过 Q 点的切线的斜率 k2＝y′|x＝2＝4，过 P 点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即：2x＋y＋1＝0. 过 Q 点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即：4x－y－4＝0.
4－1 (2)因为 y′＝2x，直线 PQ 的斜率 k＝＝1， 2＋1 切线的斜率 k＝y′| x＝x0 ＝2x0＝1，
1 1 1 所以 x0＝，所以切点 M2，4， 2
1 1 1 所以切线方程为 y－＝x－，即 x－y－＝0. 4 2 4
专题二
导数与函数的单调性
利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想，所以是高考中常考命题点．一般是给出函数解析式后求其单调区间．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．
[解析]
(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝－
2a . 3
当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2＞0(x≠0)，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
2a 2a 当 a＞0 时，若 x∈－∞，－ 3 ∪(0，＋∞)，则 f′(x)＞0，若 x∈－ 3 ，0，则 f ′ ( x)

2020版人教A版数学选修2-2___第一章导数及其应用定积分的概念

知识梳理
【做一做 1】
在定积分的概念中,定积分
��
��(x)dx 的大小(
)
A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与f(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关解析:根据定积分的概念可知,选项A正确,选项B,C,D都不正确,故
2×2sin
π 3
=
2π 3
−
3,
S 矩形=AB·BC=2 3,
所以 1
-1
4-��2dx=2
3 + 2π −
3
3 = 2π +
3
3.

题型一
题型二
(2)函数y=1+sin x的图象如图所示,
5π
所以
2 π
(1+sin
x)dx=2S
矩形
ABCD=2π.
2
典例透析
��
·1 =
��
∑
�� =1
3(��-1) �� 2
+
5 ��
=
3 �� 2
[0+1+2+…+(n-1)]+5
3 ��2-�� = 2 · ��2 + 5
13 3
= 2 − 2��.
(3)取极限
2 1
−
��+��-1 = 1.
��
��

高中数学第一章导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件新人教A版选修2-2

复习课件
高中数学第一章导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件新人教A版选修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条重点：求函数极值的
件和充分条件方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3，故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)．当x∈－131，1时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如果 f′(x) 在点 x0 的左右两侧符号不变，则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值【答案】C

(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章导数及其应用1.1.3

数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
1.1.3 导数的几何意义
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
自主学习新知突破
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
[思路点拨]
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤：求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k，即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
1 ．设 f′(x0) ＝ 0 ，则曲线 y ＝ f(x) 在点 (x0 ， f(x0)) 处的切线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析：在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或重合，故选B.
答案： B
数学选修2-2
第一章导数及其应用

人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张

n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到不同的结果。若能把一些事看淡了，就会有个好心境，若把很多事看开了，就会有个好心情。让聚散离合犹如月缺月圆那样寻常，让得失利弊犹如花开花谢那样自然，不计较，也不刻意执着；让生命中各种的喜怒哀乐，就像风儿一样，来了，不管是清风拂面，还是寒风凛冽，都报以自然的微笑，坦然的接受命运的馈赠，把是非曲折，都当作是人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1

高中数学第1章《计数原理》课件新人教A版选修23

r n
(r＝0,1,2，…，n)称为二项
式系数，第r＋1项Crnan－rbr称为通项．
• [说明] ①二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关，而后者还与a，b的取值有关．
• ②运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项(或项的系数)．
(2)二项式系数的性质： ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，体现了组合数性质Cnm＝Cnn－m； ②增减性与最大值：当k＜n＋2 1时，二项式系数Ckn逐渐增大；当k＞n＋2 1时，二项式系数Ckn逐渐减小；
•
有3封信，4个信简．
• (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？
• (2)把3封信都寄出，且每个信简中最多一封信，有多少种寄信方法？
• [思维点击] 本题关键是要搞清楚以“谁”为主研究问题．解决这类问题，切忌死记公式，应清楚哪类元素必须应该用完，就以它为主进行分析，再用分步计数原理求解．
(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．
(2)典型的排列问题，共有A34＝24种寄信方法．
• 1．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成( )
• A．7队 B．8队 • C．15队 D．63队 • 解析：由分步乘法计数原理，知共可组成7×9＝63队． • 答案： D
• 2.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
[说明] 公式①主要用于具体的计算，公式②主要用于化简．

高中数学《1.4生活中的优化问题举例》课件新人教A版选修2-2

5ax ∴y′＝－3a＋ 2 2.令 y′＝0，解得 x＝30. x ＋40 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在 x ＝30 km 处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20 (km)． ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省．用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
方法技巧转化与化归思想在生活中优化
问题的应用生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用导数这一工具能够解决的一般数学问题．其解决问题的过程就体
现了转化与化归的思想，基本思路如图：
【示例】某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的 3x＋1 函数关系为 Q＝ (x≥0)，已知生产此产品的年固定投入 x＋1 为 3 万元，每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和． (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数．如果年广告费投入 100 万元，企业是亏损还是盈利？ (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
18 000 18 000x S＝xy＝x x－20 ＋25＝＋25x， x－20
18 000[x－20－x] －360 000 ∴S′＝＋25＝＋25. x－202 x－202
令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x) 的最小值为 S(140)．当 x＝140 时， y＝175.即当 x＝140， y＝175 时，取得最小值 24 500， S 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.1 1.1.3 导数的几何意义

例1 过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)
作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在
点P的切线的斜率．
栏目链接
Δy 分析：割线 PQ 的斜率是，曲线在点 P 的切线的斜 Δx Δy 率为 tan α＝Δ lim . x→0 Δx
解析： ∵Δy ＝ f(1 ＋ Δx) － f(1) ＝ (1 ＋ Δx)3 － 1 ＝ 3Δx ＋ 3(Δx)2＋(Δx)3， ∴割线 PQ 的斜率 Δy Δx ＋3Δx ＋3Δx ＝＝(Δx)2＋3Δx＋3. Δx Δx 当 Δx＝0.1 时，割线 PQ 的斜率为 Δy tan β＝＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31. Δx Δy 曲线在点 P 的切线的斜率为 tan α＝Δ lim ＝3. x→0 Δx
栏目链接
基础梳理
例：曲线 f(x) ＝x2＋ 1 在 x＝2 处的导数 f′(2)＝
4 4 ________ ，在点 P(2,5)处的切线的斜率为__________ ．
3．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数 y＝f′(x)在 x＝x0 处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先用公式求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．
栏目链接
跟踪训练
2 1．曲线 f(x)＝x在点(－2，－1)处的切线方程是________．
2 2 解析：因为点(－2，－1)在曲线 y＝x上，所以曲线 y＝x在点(－2， 2 －1)处的切线斜率就等于 y＝x在 x＝－2 处的导数．所以 k＝f′(－2) 栏目 2 2 接－－2＋Δx －2 f－2＋Δx－f－2 1 1 ＝Δ lim ＝ lim ＝ lim ＝－， x→ 0 Δx→0 Δx→0 －2＋Δx Δx Δx 2 2 1 所以曲线 y＝x在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－ (x＋2)， 2 整理得 x＋2y＋4＝0. 答案：x＋2y＋4＝0

高中数学选修2-2第一章导数及其应用章末复习讲义-版本：人教A版高中数学选修2-2

第一章导数及其应用知识系统整合规律方法收藏1.导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，这时导数不存在，此时的切线方程为x＝x0.2.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.3.对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的导数(高考要求f(ax ＋b)的形式的)，在学习的过程中不要无限制地拔高.4.利用导数判断函数的单调性应注意的几点(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.(3)命题“如果f′(x)>0，则函数为增函数”的逆命题不成立，当f(x)在(a，b)内为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，f(x)也就恒为常数，所以由f′(x)≥0不能得到f(x)是单调增函数．因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件.5.利用导数研究函数的极值应注意的几点(1)可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f′(x)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要非充分条件.(2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导.(3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.6.极值与最值的区别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值.7.导数的实际应用利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求出函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较.8.求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.9.定积分的应用中的两个主要问题一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题．其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.学科思想培优一、导数几何意义的应用例1 设曲线C ：y ＝x 3－3x 和直线x ＝a (a >0)的交点为P ，过P 点的曲线C 的切线与x 轴交于点Q(－a ,0)，求a 的值.[解] 依题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，x ＝a ，解得P(a ，a 3－3a ).y′＝3x 2－3，所以过P 点斜率为3a 2－3的曲线C 的切线方程为 y －(a 3－3a )＝(3a 2－3)(x －a ).令y ＝0得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 33a 2－3，0，则有2a 33a 2－3＝－a ，解得a ＝±155.由已知a >0，所以a 的值为155. 拓展提升要求a 的值，需利用导数的几何意义写出过P 点的曲线C 的切线方程，求出该切线与x 轴的交点，通过列方程求解．本题主要考查导数的几何意义，要注意条件a >0.二、求函数的单调区间例2 设a ∈R ，讨论定义在(－∞，0)的函数f (x )＝13ax 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12x 2＋(a ＋1)x 的单调性.[解] f ′(x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋a ＋1＝(x ＋1)(ax ＋a ＋1)，x <0.(1)若a ＝0，则f ′(x )＝x ＋1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)若a ≠0时，则f ′(x )＝a (x ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a .①若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a，－1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.②若－1≤a <0，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.③若a <－1，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a，0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.拓展提升导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，对函数性质的研究涉及到方方面面，涉及方法思想较多，数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维等等.三、求函数的极值与最值例3 设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. [解] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1，若f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝a ＋527，极小值是f (1)＝a －1. (2)因为函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )趋于＋∞，取足够小的负数时，有f (x )趋于－∞，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点，从(1)中可知f (x )的单调性，可画出草图.当f (x )的极大值a ＋527<0，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527时，它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上.当f (x )的极小值a －1>0，即a ∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13上.故当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与 x 轴仅有一个交点.拓展提升一般地，对于“双峰”函数(只有一个极大值和一个极小值的函数)，当函数f (x )的极大值小于零或函数f (x )的极小值大于零时，图象与x 轴仅有一个交点.四、恒成立问题例4 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1，2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围.[解] ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数. 所以当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝5＋2227；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7.因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，须f (x )m ax <m ，即m >7. 所以所求实数m 的取值范围是(7，＋∞). 拓展提升本题中要使m >f (x )恒成立，只要m 大于f (x )的最大值即可，从而求出f (x )的最大值，问题就可得到解决，若将本题中“f (x )<m 恒成立”改为“f (x )>m 恒成立”，则只需求出f (x )的最小值即可.五、利用导数证明不等式例5 已知a ，b 为实数，且b >a >e ，求证：a b>b a.[证明] 因为b >a >e ，所以要证a b>b a，只需证b ln a >a ln b . 设f (x )＝x ln a －a ln x (x >a )，则f ′(x )＝ln a －a x. 因为x >a >e ，所以ln a >1，且a x<1. 所以f ′(x )>0，且f ′(a )>0.所以函数f (x )＝x ·ln a －a ln x 在[a ，＋∞)上是单调递增函数. 所以f (b )>f (a )＝a ln a －a ln a ＝0，即b ln a －a ln b >0，所以b ln a >a ln b ，故a b>b a. 拓展提升“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.六、利用导数解决实际问题例6 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A ，B 两座烟囱相距20 km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．(比例系数为k )．若C 是AB 连线上的点，设AC ＝x km ，C 点的烟尘浓度记为y .(1)写出y 关于x 的函数表达式；(2)是否存在这样的点C ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC 的距离；若不存在，说明理由.[解] (1)不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出的烟尘量为8，由AC ＝x (0<x <20)，可得BC ＝20－x .依题意，点C 处的烟尘浓度y 的函数表达式为：y ＝k x 2＋k ·820－x2(0<x <20).(2)对(1)中的函数表达式求导得 y ′＝－2k x3＋16k 20－x3＝2k 9x 3－60x 2＋1200x －8000x 320－x 3.令y ′＝0，得(3x －20)·(3x 2＋400)＝0；又0<x <20，∴x ＝203.∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，y ′<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，20时，y ′>0，∴当x ＝203时，y 取最小值.故存在点C ，当AC ＝203 km 时，该点的烟尘浓度最低.拓展提升在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：(1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数定义域)；(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；(3)求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点；(4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值.七、定积分的应用例7 已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切于A 点，直线l 2：x ＝a (a ≠－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程；(2)若△BAD 的面积为S 1，求|BD |及S 1的值；(3)设由抛物线C ，与直线l 1，l 2所围成图形的面积为S 2，求证S 1∶S 2的值为与a 无关的常数.[解] 如下图所示.(1)由y ＝2x 2，得y ′＝4x . 当x ＝－1时，y ′＝－4， ∴直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，x ＝a ，得B 点坐标为(a,2a 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，4x ＋y ＋2＝0得D 点坐标为(a ，－4a －2)，∴点A 到直线BD 的距离为|a ＋1|， |BD |＝2a 2＋4a ＋2＝2(a ＋1)2， ∴S 1＝12|BD |·|a ＋1|＝|a ＋1|3.拓展提升(1)由导数的几何意义求出切线l1的斜率，再由点斜式写出直线l1的方程．(2)求出点A 到直线l2的距离以及B，D两点的坐标，从而由三角形的面积公式可求出S1.(3)由定积分的定义求出S2，注意讨论a的取值，再证明S1∶S2是常数.。

高中数学第一章导数及其应用 1.2 导数的计算导数概念与运算基础知识总结素材新人教A版选修2-2

导数概念与运算基础知识总结知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f（x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

高中数学第一章导数及其应用1.7变化率问题课件新人教A版选修22

[b

f
(x)－g(x)]
dx
图④中，f(x)>g(x)>0，面积S＝____a ______________；
[b

f
(x)－g(x)]
dx
图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积S＝__a___________________．
2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时
1．由直线x＝0、x＝23π、y＝0与曲线y＝2sinx所围成的图形的面积等于( A )
A．3
B．32
C．1 [解析]
D．12 所求面积S＝022π2sinxdx＝－2cosx203π来自＝－2(－12－1)＝3．
2．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为( C )
bv(t)dt 间区间[a，b]上的定积分，即s＝__a_________．
3．变力做功一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所做的功为W＝Fs．如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b．则变
bF(x)dx 力F(x)做的功W＝___a _______．
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用
1．7 定积分的简单应用
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”．定积分这种 “和的极限”的思想，在数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求”和的极限”的数学结构是一样的，那么如何用积分的方法求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题呢？

高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案

导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。

高中数学人教A版选修2-2 第一章1.2.2

1.2.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算学习目标：1.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数；2.会使用导数公式表求函数的导数；重点：会使用导数公式表求函数的导数，会使用导数公式表求简单复合函数的导数难点：会使用导数公式表求函数的导数会使用导数公式表求简单复合函数的导数基础检测（独学） 2y x =在 x =3处的导数为预习提纲：（2）推论：[]'()cf x =探究案：（群学、展示）-------投影展示★例1 根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）2y x = （2）2xy = （3）3xy = （4）3log y x =例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2）sin y x x =⋅；（3）2(251)xy x x e =-+⋅ （4）4xx y =；课堂小结：（群学或对学）1、基本初等函数的导数公式2、导数运算法 ◇课堂检测◇：（独学、展示）10分钟-------投影展示 1．(x －5)′＝( ) A ．－15x －6B.15x －4C ．－5x －6D ．－5x 42．函数y ＝3x (x 2＋2)的导数是( ) A ．3x 2＋6 B ．6x 2C ．9x 2＋6 D ．6x 2＋6 3. 课本85页练习2，习题3.2---4,5（创新题）★★★已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )19 3B.163C.133D.103A.。